Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Большое значение для теории классов конечных групп имеет работа [38] В. Гашюца. В этой работе В. Гашюц определил локальные формации, используя функцию, отображающую множество простых чисел в формации групп. В 1975 году Л.А. Шеметков в [34] ввел принципиально новые спутники, отображающие множество всех простых групп I в формации. Формации со спутниками такого вида называются композиционными. Локальные и композиционные формации занимают важное место в теории классов групп, большой вклад в изучение таких формаций внесли А.Н. Скиба, Л.А. Шеметков и их ученики [16, 25, 27, 32-34, 37-38, 39].
В 90-х гг. Л. А. Шеметковым и А. Н. Скибой были определены частично локальные и частично композиционные формации и классы Фиттинга [35], [28] . Независимо частично композиционные формации были определены также В. А. Ведерниковым и Д. Г. Коптюх [1-2,19].
Принципиальное значение для дальнейшего развития теории формаций и классов Фиттинга имела работа В.А. Ведерникова и М.М. Сорокиной [5], в которой был найден общий способ конструирования формаций и классов Фиттинга с помощью функции направления . Формация F=WF(f,j)=(G: G/OW(G)f(W) и G/Gj(A)f(A) для всех АWK(G)) называется W-расслоенной формацией с W-спутником f и с направлением j, где j – некоторая FR-функция, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах, то есть j: I{непустые формации Фиттинга}. Задание различных направлений расслоенной формации позволило определить уже ранее изученные формации и классы Фиттинга, а также ввести бесконечное множество новых формаций и классов Фиттинга. Так, при задании направления (А)=EAEA для всех простых групп A получаем -каноническую формацию.
Наряду с частично локальными и композиционными формациями наибольшие применения нашли частично канонические формации. Хотя все три класса являются попарно различными, но они обладают рядом общих свойств, а именно у них сходное описание минимальных и максимальных спутников. Как показано в работах Л.А. Шеметкова [35-36] (Воробьева Н.Н. [7]) произведение двух локальных формаций (классов Фиттинга) является локальной формацией (классом Фиттинга), а для композиционных формаций как показал А.Н.Скиба [28]- это неверно. В.А. Ведерниковым [40] , Ю.А. Еловиковой [11] (В.А.Ведерниковым [40], О.В. Камозиной [31]) установлено, что произведение двух канонических формаций (классов Фиттинга) является канонической формацией (классом Фиттинга) и т.д. Изучением расслоенных и в частности, канонических формаций и классов Фиттинга и их применениями занимались В.А. Ведерников [1-5], М.М. Сорокина [29,30], А.Б.Еловиков [9-10], Ю.А. Скачкова [11-12, 24], О.В. Камозина [14-15, 31], Н.В. Силенок [23], М.А. Корпачёва [17-18] и др.
В связи с этим задача изучения строения канонических формаций и классов Фиттинга в зависимости от тех или иных свойств решёток подформаций и подклассов Фиттинга является актуальной.
К этому направлению относится настоящая диссертация.
Для изучения внутреннего строения формаций и классов Фиттинга эффективно использование решеточных методов и конструкций. Они позволяют получить как более простые доказательства уже известных фактов, так и получить новые результаты. Примерами решеток в теории формаций и классов Фиттинга являются критические неоднопорожденные локальные формации и классы Фиттинга. Такие объекты рассматривались в работах [20,21,13]. Поэтому актуальным является вопрос изучения подобных объектов для канонических формаций. Использование модулярности решетки позволяет рассматривать вопросы длины формаций и классов Фиттинга. Так в работе [26] были описаны локальные формации длины 5 , в [6] получено полное описание строения формаций длины 3, изучены композиционные формации длины 3 [4] и W-расслоенные формации длины 3 [3]. Кроме того, интерес представляет свойство алгебраичности решетки. В работах [8,25-26] показано, что решетка всех формаций, решетка всех n-кратно локальных формаций, решетка всех разрешимых тотально локальных формаций являются алгебраическими, в работах [22,25] доказана алгебраичность решеток -замкнутых кратно и тотально локальных, насыщенных формаций, в работе [11] была доказана алгебраичность решетки кратно -расслоенных -формаций. В работах [20] и [14] соответственно получено полное описание строения неоднопорождённых тотально локальных формаций, все собственные тотально локальные подформации которых однопорождены и неоднопорождённых тотально локальных Фиттинга, все собственные тотально локальные подклассы Фиттинга которых однопорождены.
В связи с этим несомненный интерес представляет описание аналогичных свойств решёток канонических формаций и классов Фиттинга, а также изучение свойств канонических формаций и классов Фиттинга в зависимости от свойств их решёток канонических подформаций и подклассов Фиттинга, чему и посвящена данная диссертация.
Цель и задачи исследования. Целью данной диссертации является изучение свойств канонических формаций и классов Фиттинга и их решеток. Для достижения поставленной цели в диссертации предполагается решить следующие задачи:
описать критические неоднопорожденные тотально канонические формации и классы Фиттинга конечных групп;
описать канонические нормально наследственные формации длины 4;
установить алгебраичность ряда решёток канонических формаций.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются канонические формации и классы Фиттинга, предметом исследования –свойства канонических формаций и классов Фиттинга и их решеток.
Методы проведенного исследования. В работе использовались методы общей теории конечных групп, теории классов конечных групп, а также методы общей теории решеток.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться при изучении формаций и классов Фиттинга, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах для студентов математических специальностей.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
-
Описание критических неоднопорожденных тотально канонических формаций конечных групп.
-
Описание критических неоднопорожденных тотально канонических классов Фиттинга конечных групп.
-
Описание канонических нормально наследственных формаций ksn-длины 4.
-
Алгебраичность решетки всех n-кратно W-расслоенных -замкнутых формаций с направлением таким, что 0.
-
Алгебраичность решетки всех -замкнутых тотально канонических формаций K.
Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры алгебры Брянского государственного университета (2002-2004); на VI международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чудакова (Саратов, 2004), на международной алгебраической конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша (Москва, 2008); на семинаре, руководимым профессором В.А.Ведерниковым (2005-2007); на алгебраическом семинаре, руководимым профессором А.А. Фоминым.
Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях и четырех тезисах конференций, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 77 наименования. Объем диссертации – 84 страницы.
