Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общая характеристика работы 19
Глава 2. Предварительные сведения 37
2.1. Методы доказательств 37
2.2. Используемые результаты 37
Глава 3. Решетки классов Фиттинга 43
3.1. Алгебраические решетки кратно Q-расслоенных классов Фиттинга 43
3.2. Решетка тотально канонических классов Фиттинга 50
3.3. Алгебраические решетки кратно ю-веерных классов Фиттинга 52
3.4. Индуктивные решетки кратно Q-расслоенных классов Фиттинга 56
3.5. Булевы решетки кратно Q-расслоенных классов Фиттинга 61
Глава 4. Произведения классов Фиттинга 73
4.1. Произведения кратно со-веерных классов Фиттинга 73
4.2. Произведения кратно Q-расслоенных классов Фиттинга 78
4.3. Однопорожденные произведения кратно ю-локальных классов Фиттинга 83
4.4. Однопорожденные произведения кратно q-биканонических классов фиттинга 89
Заключение 95
Список используемых источников 96
- Решетка тотально канонических классов Фиттинга
- Индуктивные решетки кратно Q-расслоенных классов Фиттинга
- Произведения кратно Q-расслоенных классов Фиттинга
- Однопорожденные произведения кратно q-биканонических классов фиттинга
Введение к работе
Характерной особенностью развития алгебры являлось и является увеличивающаяся общность рассматриваемых ею объектов. И если совсем недавно изучались такие достаточно общие структуры как группы, кольца, поля и т.д., то на сегодняшний день на первый план выходит еще более общая структура - класс. В теории групп класс представляет собой совокупность групп, содержащую вместе с каждой своей группой G и все группы, изоморфные G. Таким образом, группы характеризуются уже по свойствам тех или иных классов, в связи с чем, требуются исследования различных классов групп, а также взаимосвязей между ними. Появляется новое направление в алгебре - теория классов групп. Самостоятельное развитие эта теория начала только в 30-е годы после выхода работ Г. Биркгофа [54] и Б. X. Неймана [67]. На начальном этапе развития теории классов групп в основном изучались различные классы групп, содержащие бесконечные группы (многообразия, квазимногообразия и т.д.). Интенсивное изучение классов конечных групп началось в 1963 г. после выхода работы В. Гашюца [63], где ключевое место заняли формации групп. На сегодняшний день наиболее разработанными в теории классов групп являются теории многообразий и формаций. Кроме того, в последние годы развиваются теории классов Фиттинга и классов Шунка.
В работе В. Гашюца [63] был предложен способ конструирования формаций с помощью специальных функций, называемых экранами. Наложение различных условий на экран привело к рассмотрению локальных и композиционных формаций [50]. Классы Фиттинга двойственны формациям с точки зрения замыкающих их операций. Поэтому в теории классов Фиттинга оказалось возможным применение определений и методологического аппарата теории формаций. По аналогии с экраном вводится радикальная функция, рассматриваются локальные классы
Фиттинга [8]. В 90-х гг. Л. А. Шеметковым и А. Н. Скибой были определены частично локальные формации и классы Фиттинга [39], В. А. Ведерниковым и Д. Г. Коптюх - частично композиционные формации [4]. Все это послужило отправным пунктом к работе В. А. Ведерникова и М. М. Сорокиной по обобщению известных формаций и классов Фиттинга [5,7]. Понятие экрана, радикальной функции было обобщено понятием спутника. Была введена новая функция, названная направлением класса. Различное задание направления класса привело к возникновению новых видов формаций и классов Фиттинга: полных, специальных, центральных, свободных, биканонических, канонических и т.д. Общими понятиями здесь являются веерные и расслоенные формации и классы Фиттинга, имеющие отличие в областях определения спутников и направлений.
Еще одним способом построения классов групп является их произведение. В работах Л. А. Шеметкова [49,51] было показано, что произведение локальных формаций является локальной формацией. Однако произведение двух композиционных формаций не обязано быть композиционной. Тем не менее, при наложении ограничения ЇЯ^щ^Ш на первый множитель Ш произведения аналогичный результат будет получен [50]. Позже эти результаты были распространены на частично локальные и частично композиционные формации [39,19]. Продолжением этих исследований стало выделение условий, при которых однопорожденная локальная формация разлагается в произведение неединичных формаций [52]. Для локальных классов Фиттинга локальность произведения была установлена Н. Т. Воробьевым [14], для р-локальных классов Фиттинга р-локальность произведения - И. В. Дудкиным [16].
Кроме идеи обобщения известных и построения новых классов групп в алгебре также присутствует идея упорядочения, классификации классов. Эта идея получила свое развитие в теории решеток классов групп. Множество всех классов групп образуют решетку относительно отношения "с", подрешетками которой являются все указанные выше классы. Следует отметить, что в ряде зарубежных работ по теории классов групп рассматривается еще один способ упорядочения классов групп. Так, например, если Ш и ф - классы Фиттинга разрешимых конечных групп, то Ш строго содержится в ф (и пишут Ш«ф), если ф-инъектор любой конечной разрешимой группы G содержит в качестве подгруппы 9Я-инъектор группы G. Напомним, что для класса групп \3 подгруппа V группы G называется ^-инъектором в G, если для любой субнормальной подгруппы N группы G пересечение VnN является ^-максимальной подгруппой в N.
Отношение "«" определяет решетку на данном множестве. Решетки с отношением "«" изучались в теориях классов разрешимых конечных групп: локальных формаций, классов Шунка, классов Фшттинга (см. более подробно [55-60,62,64-66,70,71]). В отечественной литературе термин "решетка" ассоциируется с более естественным отношением "с" и исследование произвольных классов групп таким образом сводится к исследованию их составляющих.
Методы общей теории решеток успешно используются при исследовании классов групп. Так при изучении формаций различной длины А. Н. Скиба существенно использовал тот факт, что решетка (локальных) формаций модулярна [35]. Поэтому как в теории формаций, так и в теории классов Фиттинга в основном идет отыскание модулярных и дистрибутивных решеток [34,39,40]. Например, известно, что решетка нормальных классов Фиттинга, классов Фиттинга из секции Локетта являются модулярными [65,55]. Получены также другие свойства решеток формаций и классов Фиттинга [15].
При рассмотрении спутников большинства известных формаций и классов Фиттинга можно увидеть, что эти классы имеют спутники, все непустые значения которых сами являются веерными (расслоенными) классами. В связи с этим возникло понятие кратности класса, введенное А. Н. Скибой в работе [37] для локальных формаций: всякая формация считается 0- кратно локальной; при п>1 формация f n-кратно локальна, если OHLF(f), где все непустые значения спутника f (п-І)-кратно локальны; формация тотально локальна, если она n-кратно локальна для всех натуральных п. Аналогично определяется кратность для других видов формаций и классов Фиттинга.
В данной диссертации исследуются кратно о-локальные и Q-расслоенные классы Фиттинга. Приведены алгебраические и индуктивные решетки классов Фиттинга, описаны п-кратно Q-расслоенные классы Фиттинга с булевой решеткой п-кратно Q-расслоенных подклассов. Доказано, что произведение n-кратно со-локальных классов Фиттинга является п-кратно со-локальным. Тем самым дан положительный ответ на вопрос 25 работы [39]. Также доказано, что произведение n-кратно П-расслоенных классов Фиттинга является Q-расслоенным, описаны однопорожденные кратно со-локальные классы Фиттинга, однопорожденные кратно Q-биканонические классы Фиттинга.
Общая характеристика работы
Актуальность темы диссертации. Среди многочисленных подходов к изучению классов групп можно выделить следующие два подхода. Первый из них связан с представлением исследуемого класса групп в виде произведения Шф более простых классов групп 9R и ф. Второй подход связан с рассмотрением в классе групп решетки всех его подклассов. Впервые применение этих подходов было осуществлено в рамках теории многообразий групп. Позднее Л. А. Шеметковым и А. Н. Скибой было показано, что привлечение данных конструкций весьма полезно и при изучении формаций (Шеметков Л. А., Скиба А. Н. "Формации алгебраических систем", Скиба А. Н. "Алгебра формаций"). В связи с появлением концепций частичной веерности, расслоенности, а также концепции кратности формаций и классов Фиттинга актуальной задачей стало рассмотрение произведений и решеток таких классов. Теория формаций является достаточно разработанной областью теории групп. Поэтому можно проследить успешное обобщение найденных ранее результатов. Однако для классов Фиттинга не установлено до сих пор, является ли решетка всех классов Фиттинга модулярной. До настоящего времени также было неизвестно, что решетка всех классов Фиттинга является алгебраической. Мало исследованы произведения классов Фиттинга. Н. Т. Воробьев изучил локальный случай [14], И. В. Дудкин - р-локальный [16]. В работе [39] был поставлен вопрос об изучении произведений со-локальных классов Фиттинга.
В данной диссертации исследованы решетки и произведения кратно со-веерных и Q-расслоенных классов Фиттинга, показано применение решеточных конструкций к исследованию п-кратно Q-расслоенных классов Фиттинга с дополняемыми п-кратно Q-расслоенными подклассами Фиттинга.
Цель и задачи исследования. Целью данной диссертации является изучение решеток и произведений кратно со-веерных и Q-расслоенных классов Фиттинга. Для достижения поставленной цели в диссертации предполагается решить следующие задачи: найти алгебраические, индуктивные и булевы решетки классов Фиттинга; выяснить, является ли произведение п-кратно ю-локальных классов Фиттинга п-кратно ео-локальным, является ли произведение п-кратно Q-расслоенных классов Фиттинга п-кратно Q-расслоенным; описать однопорожденные произведения кратно ю-локальных классов Фиттинга; описать однопорожденные произведения кратно Q-биканонических классов Фиттинга.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются кратно ю-веерные и Q-расслоенные классы Фиттинга конечных групп, а предметом исследования - решетки и произведения таких классов.
Методы проведенного исследования. В работе использовались методы общей теории конечных групп, теории классов конечных групп, а также методы общей теории решеток.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться при изучении формаций и классов Фиттинга, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах для студентов математических специальностей.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
Решетка всех классов Фиттинга, решетки: QRJ, где Фо^ф; oR^, где Ро<ф; К00 являются алгебраическими.
Решетки QKL , QqK, и Q являются QKL-индуктивными; решетки QBL и Q являются QBL-индуктивными.
3) Описание QR ^-классов Фиттинга с г-направлением ц>, ц><\\>2, с булевой решеткой QR^-подклассов Фиттинга; описание ОВп-классов Фиттинга с булевой решеткой <ЗВп-подклассов Фиттинга.
4) Пусть 1 и ф п-кратно со-локальные классы Фиттинга. Тогда {5=9ЯОф является п-кратно со-локальным классом Фиттинга.
5) Пусть 9Я и ф - п-кратно Q-расслоенные классы Фиттинга с г- направлением ф таким, что ф<М'г'- Тогда \3=Ш0ф - п-кратно Q-расслоенный класс Фиттинга с направлением ф.
6) Описание однопорожденных факторизации кратно со-локальных классов Фиттинга, являющихся классами Локетта.
7) Описание однопорожденных факторизации кратно Q- биканонических классов Фиттинга, являющихся классами Локетта.
Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на заседаниях кафедры алгебры Брянского государственного университета (2000-2002); на третьей Международной алгебраической конференции на Украине (г. Сумы, 2001); на региональной научно-технической конференции "Вклад ученых и специалистов в национальную экономику" (г. Брянск, 2001, 2002); на Международном семинаре по теории групп (г. Екатеринбург, 2001); на Международной конференции по чистой и прикладной математике, посвященной началу работы Д. А. Граве (г. Киев, 2002); на Международной конференции "Алгебра и ее приложения" (г. Красноярск, 2002).
Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях и шести тезисах конференций [21-24,42-47].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 71 наименования. Объем диссертации- 101 страница.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании данной диссертации.
Решетка тотально канонических классов Фиттинга
Доказательство. Любой тотально канонический класс Фиттинга является решеточным объединением всех своих однопорожденных тотально канонических подклассов Фиттинга. Покажем, что каждый однопорожденный їС-класс Фиттинга t5=KR(G) является компактным элементом в решетке К00. Пусть Sc9R=vco(f5il ієі), где г5і=КЩТі), причем в качестве f; возьмем минимальный К -значный спутник класса Фиттинга Si, ієі. Доказательство проведем индукцией по длине / композиционного ряда группы GeS Если /(G)-1, то G=A - простая группа, а значит, 0A,A (G)=1. Так как GsAeSQ5R=K0OR(uSi), то ввиду следствия 3.1.7 получаем ІЄІ AGK(uSi)=l- K(Si), т-е- существует такое jel, что AGK(SJ), и значит, ІЄІ ІЄІ fj(A) 0. Тогда 0A A (G)e (A) и GeKR(fj). Следовательно, ScSj. Пусть /(G) 1 и все тотально канонические классы Фиттинга вида KR(D), где /(D) /(G) являются компактными элементами решетки К. Обозначим через f минимальный К-значный спутник класса S, m минимальный К -значный спутник класса Ш. Тогда по следствию 3.1.7 f(A)=KcoR(0AA (G)) для всех AeK(G) и f(A)=0, если A«sK(G). Так как ScSK, то из следствия 3.1.7 получаем, что f m. Согласно лемме 3.1.9 m=v00(fi І ієі). Рассмотрим композиционный ряд группы G: G=G(pGiZ)...z)Gn=l. Тогда G/GisA - простая группа, и значит, 0A,A (G)cGi и /(0AA (G)) /(G). Следовательно, по индукции найдутся такие индексы ii,...,itel, что Так как G/Gi=A=B для любой BGK(G)\(A), ТО OB B (G)CGI И /(OB B (G)) /(G). Значит, для каждой BGK(G)\(A) найдутся такие индексы ji,...jrєI, что Возьмем объединение всех этих индексов и обозначим ki,...,ks. Тогда по лемме 3.1.9 fbv v fk минимальный К-значный спутник класса Фиттинга ki Vе0...Vе0 Sk .Таккак для любой CeK(G), то GeOfki vC0--v00 к Таким образом, ScOfki ...v00 Sk Значит, В - компактный элемент решетки К00. Теорема доказана. класс Фиттинга. Тогда решетка всех тотально канонических подклассов Фиттинга в классе Фиттинга 81 конечна. Доказательство. Пусть S==KC0R(G). Доказательство проведем индукцией по длине / композиционного ряда группы G. Если /(G)=l, то GfeA - простая группа, и значит, {5==KCOR(A)=A- Тогда решетка всех тотально канонических подклассов Фиттинга в Or конечна. Пусть /(G) 1 и для всех тотально канонических классов Фиттинга вида KR(D), где /(D) /(G), решетка их всех тотально канонических подклассов Фиттинга конечна. Пусть 9Л - произвольный тотально канонический подкласс Фиттинга из S и пусть m и f - минимальные К-значные спутники классов Ш и S соответственно.
Тогда по следствию 3.1.7 f(A)=KcoR(0A A(G)) для всех AGK(G) И f(A)=0, если AgK(G). Кроме того из ЯКсО1, ввиду следствия 3.1.7, получаем m f. Так как 1(0АЛ (G)) /(G), то решетка всех тотально канонических подклассов в f(A) конечна. Так как множество K(G) конечно, то г5 имеет лишь конечное множество тотально канонических подклассов Фиттинга. Теорема доказана. Обозначим символом coR (coR ) множество всех n-кратно (тотально) со-веерных классов Фиттинга с направлением ср. Пусть Ж - произвольная непустая совокупность групп, 0 - полная решетка классов Фиттинга. Если все значения ю -радикальной функции принадлежат 0, то функцию будем называть 0-значной, или коротко coR0-функцией. Символом (oR p0 обозначим множество всех со-веерных классов Фиттинга с направлением ф, обладающих хотя бы одним со0-спутником. Пересечение всех coR p0-iuiaccoB Фиттинга, содержащих дс, обозначим через coR0( ). Лемма. Пусть ЗЄ - непустой класс групп, 0 - полная решетка классов Фиттинга. Тогда -веерный класс Фиттинга {5=R0(3 ) С направлением ф, где ро Ф, обладает единственным минимальным 0 спутником f таким, что f( )=0fit(Ow(G)G3e), fCp fitCG4 GG) для всех рєг 7і(ЗЄ) и f(p)=0, если рє\7с(26). Доказательство. Пусть Зс - непустой класс групп, ф - такая [PR-функция, что ро ф. Очевидно, что @GR p0. Поскольку дс - класс конечных групп, то Хе, и следовательно, 5= 0( ) существует и множество L всех 0-спутников S непусто. Обозначит через fi пересечение всех элементов из L. Тогда по лемме 2.2.7 t5=R(fi ), причем fi(p)=nieIfi(p)G0, и значит, fieL. Так как fi f; для любого fjeL, то fi- единственный минимальный 0-спутник класса Фиттинга S. Пусть f - coR-функция, описанная в заключении леммы. Покажем, что f=fi. Нетрудно проверить, что 3czwR(f ). Поскольку по строению f - СО0 спутник, то S=o)R0( )c:(DR(f ). Как и в теореме 2.2.9, учитывая, что fi - 0-спутник, получаем, что f(co )=9fit(Oro(G) Ge)cf,( ), f(p)=9fit(G p(p) I Ge cf ) для всех рєюп7і(ЗГ) и f(p)=0cfi(p), если Аєа \я(Х). Отсюда f f i и coR(f )cc6R(fi ). Следовательно, S=(oR(f ) и feL. Так как f i - единственный минимальный соЭ-спутник класса Фиттинга S, то f fi влечет f==fi. Лемма доказана. веерный класс Фиттинга S coRn(3 ) с направлением ф, где ро ц , обладает единственным минимальным coR""1-спутником f таким, что f(Gi )=aiRn \{P (G)\GeX),qi), f(p)=Rn-1((G(p(p)Ge3e) ) для всех рєсопті(ЗЄ) и f(p)=0, еслирєсо\7г(). Для произвольной совокупности 0-классов Фиттинга {Sil ієі} положим v(SiliGl)=9fit(uSi). Пусть {ҐІІІЄІ} - система оЖ9-функцией. Тогда через ІЄІ vG(fil iel) обозначим такую RG-функцию, что ve(filiel)(p)=v(fi(p)iel) для любого рєа и{со }.
В дальнейшем, если 9=(0R ,, ТО вместо символов v(fil ієі) и v(Sil ієі) будем использовать символы V fil ієі) и vn(Sil ІЄІ). 3.3.4. Лемма. Пусть 0 - полная решетка и fj - минимальный со0-спутник ю-веерного класса Фиттинга Si с направлением ф, где ро Ф, ієі. Тогда v(f; І ієі) - минимальный ю9-спутник класса Фиттинга S=vcoR(p(Si І ієі). Доказательство. Пусть f=v(filiel) и m - минимальный ш9-спутник класса Фиттинга S v Si ієі). Если рє {со }, то по лемме 3.3.2 т(со )=9Ш(Ой(0) I Ge и fSj)=8fit( и 9fit(Ow(G) I GeSi))= Если peco\rc(S), то т(А)=0 и для любого ієі fj(p)=0, а значит, f(A)=0. Аналогичный случай получаем, когда pe(con7r(S))\rc( u Si).
Индуктивные решетки кратно Q-расслоенных классов Фиттинга
Обозначим через QR pLQ множество классов Фиттинга из QR Q, являющихся классами Локетта; QRL(f,(p) - Q-расслоенный класс Фиттинга с направлением ф и Q-спутником f, являющийся классом Локетта. Полную решетку классов Фиттинга Q назовем QR -HHjryKTHBHoft, если для любого набора {Siliel} классов Фиттинга из QR LG и всякого набора {filiel} внутренних 1в-спутников fj, где i5i=QRL(fi,9), имеет место vnV( i ieI)=QRL(vG(fi І іеІ),Ф). такая, что QKLQczQ, Q@AQG для всех AeQ, причем если фєб, то ф єв. Если S=nKLR (f), где f - его минимальный QG-спутник, то класс Фиттинга 8і обладает единственным максимальным внутренним QQ-спутником h, где h(ft Hf и h(A)=P(A)@A Для всех АєП. Доказательство.
Поскольку S KQRCS), то по следствию 3.1.6 его минимальный QG-спутник f имеет следующее строение: f( )=efit(On(G)GGS), fCA fitCO G Geff) для всех АєПпК(її) и f(A)=0, если АєСІЩВ). Так как ПКЬЄСЄ, то f(A)cQK6R($)=S для всех AeQ.u{Q }. Значит, f- внутренний QG-спутник {?. Тогда по теореме 2.2.14 ij обладает единственным максимальным внутренним Q-спутником h, причем h(Q )=S и h(A)=f(A) A для всех AeQ. Так как f(A)e0, и значит, г (А)є0, то І (А)@АС0А0 И Ь(А)Є0 ДЛЯ всех AeQ. Кроме того, из QKL0C0 следует, что { 0, и значит, Ь(О )є0. Следовательно, h - 0-значный Q-спутник. Лемма доказана. QBL0C0, 0Ас0 для всех Ає0.п"К, причем если фє0, то ф є0. Если i5=QBLR (f), где f - его минимальный П0-спутник, то класс Фиттинга 15 обладает единственным максимальным внутренним О0-спутником h, где h(A)=r, если Ае {П }и(ПЩ и h(A)=f (A)A для всех АеПпУ. Доказательство. Так как S QBOR ), то по следствию 3.1.7 его минимальный П0-спутник f имеет следующее строение: f(Q )=0fit(On(G)GGS), f(A)=0fit(OA (G)Geg) для всех As(Q\2C)nK(S), f(A)=0fit(OA A (G)Ge{5) для всех AeQn2CnK({5) и f(A)=0, если АєПЩф. Поскольку QBL0C0, то f(A)cQB0R(f)=i5 для всех AeQu{Q }, и значит, f-внутренний П0-спутник {?. Тогда по теореме 2.2.15 О обладает единственным максимальным внутренним Q-спутником h, строение которого описано в заключении леммы. Так как f(A)e0, и значит, f (A)e0, то Р(А) АсЄАсЄ и h(A)e0 для всех AeQnU. Так как QBL0C0, то ge0, и значит, h(A)s0, если AG{Q }U(Q\2T). Следовательно, h - 0-значный Q-спутник. Лемма доказана. фє0, то ф є0. Тогда 0 является QKL-индуктивной решеткой. Доказательство. Пусть Sr QKLR (fj), где fj - внутренний Q0-cnyTHmc класса Фиттинга &, ієі. Обозначим через S=vnKL0(SilieI) и 9R=QKLR(f), где f=ve(filiGl). Покажем, что {5=9)1.
Так как fi(A)cui6lfi(A)eefit(uieIfi(A))=f(A) для любой AeQu{Q }, то fj f, ієі. Тогда SjcSft, ієі, и следовательно, ScSR Покажем, что SftczS. Ввиду следствия 3.1.6 и леммы 3.4.1 существуют следующие спутники: ШІ - минимальный QG-спутник Si, m - минимальный QG-спутник S, hi - максимальный внутренний спутник QQ-спутник Si, h -максимальный внутренний QG-спутник S. Пусть АеО.. Так как mi(A)cGfit(Uieiirii(A)), то по лемме 3.1.9 и теореме 2.2.16 nii (A)c(Qfit(Uieimi(A))) =(m(A)) =m (A). Тогда, учитывая строение максимальных спутников классов Фиттинга Si и S, получаем следующие включения: Пусть А є {Q }. Так как fj - внутренний спутник класса Фиттинга S, то fi(A)cSicS, ієі. Кроме того, SGQKLQCQ, и следовательно, f(A)=Qfit(uilfi(A))eS=h(A). Таким образом, f(A)ch(A) для всех AeQu{Q }. Поэтому f h и 9RcS. Теорема доказана. QBLQcQ, QQb AcG для всех AGQPI2C, И если фє0, то ф єв. Тогда Q является QBL-индуктивной решеткой. Доказательство. Пусть Sr=QBLR(fi), f; - внутренний QQ-спутник класса Фиттинга Si, ієі. Покажем, что f=v0(fjl ієі). Так как fj f, то Sic5K, ієі, и значит, Sc9ft. Покажем обратное включение. Ввиду следствия 3.1.7 и леммы 3.4.2 существуют следующие спутники: Ші - минимальный QQ-спутник Si, m -минимальный QQ-спутник S, h - максимальный внутренний спутник QQ спутник fj, h - максимальный внутренний Q0r спутник Of. Как и в теореме 3.4.3 можно показать, что f(A)czh(A) для всех AeQu{Q } (случай АєЄІпЖ рассматривается аналогично случаю AGQ; случай Ae{Q }u(QViC) -аналогично случаю Ає {П }). Следовательно, f h и 5Шс{ . Теорема доказана. относительно взятия гомоморфных образов, справедливы включения: 1) QKQcQ; 2) HBQcQ. Доказательство. 1) Пусть GG 5= KR(I), где все значения f принадлежат Q, и N G. Покажем, что G/NGS. Пусть AeQnK(G/N)cQnK(G). Из GGS следует, что 0A,A (G)ef(A)eQ и On(G)ef(fi )eQ. Тогда 3.4.6. Замечание. Согласно утверждению 2.2.17, классы Фиттинга из Q являются классами Локетта. В частности, формация Фиттинга А является классом Локетта. 3.4.7. Замечание. Нетрудно показать, что А для всех Aes является каноническим классом Фиттинга со спутником f таким, что f(A)=(l) и f(B)=0 для всех Вє$ \(А). Тогда по следствию 2.2.21 А является Q-каноническим классом Фиттинга для любого непустого класса Qcs. По индукции, учитывая строение спутника, получаем, что @AeQK . 3.4.8. Замечание. Можно показать, что формация Фиттинга А для всех AeZs является биканоническим классом Фиттинга со спутником f, причем если А - абелева группа, то f имеет следующее строение: f(A)=(l) и f(B)=0 для всех Вє$ \(А); если А - неабелева группа, то f имеет вид: f(A)=A и
Произведения кратно Q-расслоенных классов Фиттинга
Теорема. Пусть Ш и ф - П-расслоенные классы Фиттинга с внутренними Q-спутниками m и h соответственно и с г-направлением ф таким, что ф і/2 . Тогда гЗ-Ш0ф - Q-расслоенный класс Фиттинга с направлением ф и с Q-спутником f таким, что f(Q )=S; f(A)=9K0h(A), если АєОпК(ф); f(A)=m(A), если АєПЩф). Доказательство. Пусть Si=QR(f,9), где f - Q-спутник, описанный в заключении леммы. По лемме 2.2.31 Sctlfi. Пусть ScSi и GG AS - группа наименьшего порядка с таким свойством. Тогда G - комонолитическая группа с комонолитом M=Gg. Из того, что ЗКс: и GgS\ получаем Gg9R. Тогда G G и из комонолитичности группы G следует, что Gg cM. Кроме того, Gm=Msm, и поскольку Мє{5=9К0ф, то ММ;к=М/0$щєф. Допустим, G/M не является Q-группой. Тогда G=On(G)ef(Q )=i5. Противоречие. Следовательно, G/M является Q-группой. Пусть G/NfeA. Если АєК(ф), то G A)Gf(A)=9K0h(A), т.е. G G gRehCA). Так как G G g CG/GgR) , то (G/G ehCA). Аналогично можно показать, что (G/GgR)4 єh(B) для любой BeQnK()nK(G). Поскольку K(M/Gg»t)cK() и АєК(ф), то K(G/GSK)CK( ), И значит, (G/Gsmf ehCB) для любой BeQnK(G/G(w). Кроме того, так как @п - формация, то On(G/G5R)=On(G)/(On(G))iW. Поскольку On(G) MeS, то 0n(G)/(0(G))gR6 , и значит, ввиду леммы 2.2.30 On(G/GaR)G=h(Q ). Отсюда G/Ggj , и следовательно, GeSR0H5. Противоречие. Пусть АёК(ф). Тогда Gtp(A)Gf(A)=m(A). Так как ф \/2 , то 0A(G)=0A A (G)c G(p(A)em(A)cgR. Тогда по лемме 2.2.12 Ge9Rc9R0$=0f- Противоречие. Значит, SicS и 8Н5ь Теорема доказана. 4.2.2. Следствие. Пусть 9К и ф - п-кратно Q-расслоенные классы Фиттинга с r-направлением ф таким, что (рйщ - Тогда iS-ШОф - п-кратно Q-расслоенный класс Фиттинга с направлением ф. Доказательство проводится по индукции с применением теоремы 2.2.29, леммы 2.2.30 и теоремы 4.2.1. 4.2.3. Следствие. Пусть Ш и ф - п-кратно QFr-классы Фиттинга. Тогда г5 5Я0ф - п-кратно QFr-класс Фиттинга. 4.2.4. Следствие. Пусть Ш и ф - п-кратно QB-классы Фиттинга. Тогда гЗ=Ш0ф - п-кратно ПВ-класс Фиттинга. 4.2.5. Следствие. Пусть Ш и ф - п-кратно ПК-классы Фиттинга. Тогда г5=9ЯОф - п-кратно QK-класс Фиттинга. Рассмотрим случай, когда П=(А), где А - некоторая простая группа. Тогда класс Фиттинга =(A)R(f,(p)=(G: 0A(G)ef((A) ) и G GfCA), если AGK(G)) называется (А)-расслоенным с (А)-спутником f инаправлением ф. 4.2.6. Теорема.
Произведение 5К0ф класса Фиттинга Ш и (А) расслоенного класса Фиттинга ф с r-направлением ф, таким что ф м 2 , является (А)-расслоенным классом Фиттинга с направлением ф тогда и только тогда, когда либо АєК(ф), либо 9R является (А)-расслоенным классом Фиттинга с направлением ф. Более того, ШОф определяется (А)-спутником f таким, что f((A) )=S; f(B)=9K0h(B), если Вє(А)пК(ф); f(B)=m(B), если Вє(А)\К(ф), где m и h - внутренние (А)-спутники классов SR и ф соответственно. Доказательство. Необходимость. Пусть ф=(А)11(п,ф), 5=(A)R(f ), АёК(ф), m - такая (А)К-функция, что m(A )=3H; m(A)=f(A). Обозначим 9fti=(A)R(m ) и покажем, что 9Я=9Яь Пусть GG9R. Если AgK(G), то OA(G)=GG 9R=m(A ) и Gcp(A)Gm(A), и значит, GGSRI. Если AGK(G), то из GG9КСІ5=(А)К(Ґ,Ф) И АК(ф) следует, что G KA)Gf(A)=m(A), а поскольку OA(G) GG 9ft=m(A ), то получаем GGSRI, И значит, 9Hc9Ri. Пусть GeSSKi. Тогда 0A(G)Gm(A )=5R и 0A(G)cGgjj. Следовательно, G/0A(G)/GgK/0A(G)=G/G5KGA. Но из АеК(ф) получаем, что G/Ggn - А -группа. Отсюда G=Ggjje9R. Таким образом, ЯЯісЯЛ и 9Л является (А)-расслоенным классом Фиттинга с направлением ф. Достаточность. Если 9ft=(A)R(m,(p), то в силу леммы S=(A)R(f,(p), где f - (А)-спутник, описанный в заключении теоремы. Пусть Ш - не является (А)-расслоенным классом Фиттинга с направлением ф и АєК(ф). Обозначим Si=(A)R(f,( ), где f - (А)-спутник, описанный в заключении теоремы. Покажем, что 0Н5ь Пусть GG . ЕСЛИ AgK(G), ТО 0A(G)=GeS=f(A ) и G GAA), т.е. GGI5I. В дальнейшем будем считать, что AeK(G). Если AeK(G/GgjO, то поскольку G/G$RG#, получаем (G/GgR ehCA).! как (G/GaR sG VCG iR, то G G gnehCA), и значит, G $tOh(A)=f(A). Если ASK(G)\K(G/GSR), то G/Gsm является А-группой, и значит, по лемме 2.2.11 G KG G e 9Kc9Jt0h(A)=f(A).
Кроме того, так как GGS, ТО 0A(G)GS=f(A ). Отсюда GeSi. Следовательно, ScSi- Доказательство включения i5ic; 5 проводится как и в теореме 4.2.1. Получили требуемое. Теорема доказана. 4.2.7. Следствие. Произведение ЗКОф класса Фиттинга ЯН и (A)Fr-класса Фиттинга ф, является (A)Fr-miaccoM Фиттинга тогда и только тогда, когда либо АєК(ф), либо 9Я является (A)Fr-miaccoM Фиттинга. Более того, 9Ж ф определяется (А)-спутником f таким, что f((A) )=i5; f(B)=5H0h(B), если Вє(А)пК(ф); f(B)=m(B), если Вє(А)\К(ф), где m и h - внутренние (А)-спутники классов Ш и ф соответственно.
Однопорожденные произведения кратно q-биканонических классов фиттинга
Лемма. Пусть 0 - полная решетка классов Фиттинга, являющихся классами Локетта. Если Of=QBR(h), Q-спутник h 9-значен, и f -минимальный О0-спутник класса Фиттинга S, то i5=f2BR.(fi), где fi(A)=h(A) для всех АєП и(П\Ж) и fi(A)=8fit(GGeh(A)nS, 0A(G)=G) для всех АєПп2Г, причем f(A)=fi(A) для всех AeQn2inK(S). Доказательство. Пусть f - минимальный Ш-спутник класса Фиттинга & Ввиду следствия 3.1.8 f(Q )=Qfit(On(G)GeS), f(A)=6fit(0A (G)GG ) для всех Ae(Q\2T)nK(S), f(A)=8fit(0A A (G)GS) для всех AeQn2tnK(S) и f(A)=0, если АєПЩЩ. Пусть GeS. Тогда 0A A (G)Gh(A)nft для любой AeQn2CnK(G). Нетрудно показать, что 0A,A (G)=0A(0A A (G)), и значит, 0A A (G)efi(A). Тогда f(A)cfi(A)ch(A) для любой АєПпП. Кроме того, Оп(0)єп(П НДО ), 0A (G)eh(A)=fi(A) для всех Ae(Q\3C)nK(G). Следовательно, f[A)cfi(A)=h(A) для любой AeQ u(Q\2(). Таким образом, f f\ h и QBR(fi)=i5. Покажем, что fi(A)cf(A) для всех АєОп2СпК( 5). Пусть Geh(A)nS и 0A(G)=G. Так как Ae2f, то AsZp для некоторого рєР. Пусть T=G VZp=KxZp, где К - база сплетения Т. Допустим, что Gef(Zp). Тогда Gf(Zp)5ftp. Так как по лемме 2.2.18 f(Zp)5Hp - класс Локетта, то по утверждению 2.2.35 (G%Zp)f(zp)E«p=Tf(zP)SRp=:Ki, где Кі - база сплетения Gf(zp)5Jip Zp. Ввиду свойства 2.2.34, T f(Zp)Rp:=T/Ki=G/Gf(Zp)5Hp/\/Zp, и следовательно, ZPGK(T/T ZP)5H ) Кроме того, Gefi(Zp), и значит, KGI I(ZP) и KcTfl(Zp). Так как T/K ZpG9Rp, то T/K/Tf1(zP)/KsT/Tf1(Zp)G5Rp, и следовательно, по лемме 2.2.33 Tefi(Zp) pd!H2BR(fi)=fiBR(f). Тогда 0Zp (T)ef(p) и TGfiZ lp&zp - Значит, ZpgKCT/TflZpjm). Противоречие. Следовательно, GGf(Zp), fi(Zp)cf(Zp) и из доказанного выше fi(Zp)=f(Zp) для всех І єСіпК. Лемма доказана. 4.4.2. Лемма. Пусть 0 - полная решетка классов Фиттинга, являющихся классами Локетта, причем QB9c9 и 9А0 ДЛЯ любой AeClnll. В том и только том случае S - однопорожденный ПВ9-класс Фиттинга, когда A=QnK(S) конечно и {5 имеет такой внутренний Q9-спутник f, что f(A) -однопорожденный класс Фиттинга для всех AeQu{Q }.
Доказательство. Необходимость. Пусть S=QB9R(G) и f - минимальный со9-спутник класса Фиттинга \5. Тогда по следствию f(Q )=9fit(On(G)), f(A)=9fit(0A (G)) для всех Ae(n\2f)nK(G), f(A)=9fit(0A A (G)) для всех АєПпІІпЩв) и f(A)=0, если AeQVK(G). Кроме того, А=ПпК( )=ПпК(в) - конечное множество. Достаточность. Пусть A=QnK({5)={Di,...,Dt} - конечное множество и S= BR(f), где f - такой внутренний 9-значный Q-спутник класса Фиттинга 8\ что f(Di)=9fit(Ai), i= 1,...,t, f(Q )=9fit(A). Без ограничения общности можно считать, что Db...,Dn - абелевы группы, т. е. D Z , где РІЄР, Dn+i,...,Dt -неабелевы группы. Для всякого i=l,...,n рассмотрим регулярное сплетение Bi=A; \/Di=Ki\D;, где КІ - база сплетения. Пусть G=Bix...BnxAn+ix...xAtxA и 9R=QB9R(G). Покажем, что S=9R. Так как АІЄПТ);), f - внутренний спутник класса Фиттинга Ї5, то по лемме 2.2.33 ВІЄЦТ)І)9ІРІСІ5. Тогда GeS и 9H=QB9R(G)cS. Обозначим через m - максимальный внутренний Q-спутник класса Фиттинга 9R. Строение этого спутника описано в теореме 2.2.15. Для i=l,..,n допустим Aigm(Dj)=m(D;)5KPi. Как и в лемме можно показать, что еКСВДВОдф ). Так как BJGSR, ТО 0Di Di (Bj)em(Di), и значит, Вієт{рі)5ЯРі0і и DigK(Bi/(Bj)m(D.)SH .). Противоречие. Следовательно, АіЄт(Бі), и из 99lPic0 получаем, что f(Di)cm(Di). Так как QBQ Q, Ae9R=m(co ) и для i=n+l,...,t А}е9Я=т(Д), то f(Q )cm(fi ) и f(Di)cm(Di). Следовательно, f m и 6fc9R. Таким образом, {5 -однопорожденный Q-биканонический класс Фиттинга. Лемма доказана. Рассмотрим случай, когда Q=(A), где А - некоторая простая группа из 4.4.3. Теорема. Пусть 9 - полная решетка классов Фиттинга, являющихся классами Локетта, причем (A)B9cz9 и 9А =9, если Ає2С, и ЗГ=9К0А _ (А)В9-класс Фиттинга, где Ш - неединичный класс Фиттинга. 1) Пусть A=ZP - абелева группа. Тогда и только тогда S однопорожденный (ZP)B9-Kriacc Фиттинга, когда класс 0 (Ш) однопорожденный. 2) Пусть А - неабелева группа. Если В - однопорожденный (А)В9-класс Фиттинга, то класс 0 (Ш) однопорожденный. 3) Класс Фиттинга 0 (9Я) определен однозначно. Доказательство. Необходимость. Пусть G - такая группа, что 0 =(A)B9R(G) и f - минимальный П9-спутник класса г5. Тогда, согласно следствию 3.1.8, f((A) )=9fit(0A(G)), f(A)=9fit(0A (G)), если А - неабелева группа, f(A)=9fit(0A A (G)), если А - абелева группа. Кроме того, ввиду следствия 4.2.12, класс гЗ имеет такой (А)-спутник fb что fi(A)=9R0h(A)=9K0A=S=fi((A) ). Если A Zp - абелева группа, то, применяя лемму, как и в теореме, нетрудно показать, что f(Zp)= О0Р (9K)=0 (9R). Пусть А - простая неабелева группа. Покажем, что f((A) )=0 (5H). Действительно, так как GeS=5R0@A, то OA(G)=OA(Gg 0)e 0(9Jt), и значит, Пусть Тє5Ясі5. ТогдаОА(Т)єЩА) ). Следовательно, Таким образом, О (ЗЯ) - однопорожденный класс Фиттинга. Достаточность. Пусть f - минимальный П9-спутник класса $. Тогда, согласно следствию 3.1.8 f((A) )=9fit(0A(G)Ge{5), f(A)=9fit(0A (G)Gei5), если А - неабелева группа, A)=9fit(0A A (G) GGS), если А - абелева группа. Пусть AsZp. Тогда как и в теореме f((Zp) )= 0 р (Ж)=Орв(Ш). По условию f(D) - однопорожденный класс Фиттинга для любой De(Zp)u(Zp) . Кроме того, A=(Zp)nK(i5) - конечное множество. Значит, по лемме 4.4.2 i5 - однопорожденный класс Фиттинга. Пусть ШгО А ШгО&А. Тогда 0 ( 0= )0=0 (9). Теорема доказана. 4.4.4. Следствие. Пусть 9 - полная решетка классов Фиттинга, являющихся классами Локетта, причем (А)В9с9 и QQ$AaB, если АєЖ, и І5-9К0А - (А)В9-класс Фиттинга, где Ш - неединичный класс Фиттинга.
Тогда S=aR0A=O (9K)0(S5A=f((A) )05np. Пусть 9 - решетка всех классов Фиттинга, являющихся классами Локетта. 4.4.5. Следствие. Пусть 8г=9Д0А - n-кратно (А)В-класс Фиттинга, являющийся классом Локетта, Ш - неединичный класс Фиттинга, 0А(Ш) -класс Локетта. 1) Пусть A=Zp - абелева группа. Тогда и только тогда В однопорожденный (Zp)B-itnacc Фиттинга, когда класс Op(9ft) однопорожденный. 2) Пусть А - неабелева группа. Если S - однопорожденный (А)В-класс Фиттинга, то класс 0А(5Ш) однопорожденный. 3) Класс Фиттинга 0А(ЗЯ) определен однозначно. Будем говорить, что QR-класс Фиттинга J5 ограничен, если Sr -подкласс некоторого однопорожденного QR-класса Фиттинга, т.е. если найдется такая группа G, что SfczQR(G). 4.4.6. Теорема. Пусть О ЯКОф - однопорожденный ПВ-класс Фиттинга, Ш - неединичный класс Фиттинга, ф — QB-класс Фиттинга, причем Qn2CnK($)K(3R) и классы \3, Ш, ф - классы Локетта. Тогда Ш является ограниченным классом Фиттинга, и если Шс:21, то Ш однопорожденный. Доказательство. Пусть G - такая группа, что Of=nBR(G) и f -минимальный спутник класса S- Обозначим через Si класс Фиттинга fitL(0B B (G)BGQn2CnK(G)). Так как Qn2fnK(G) - конечное множество, то класс Si будет однопорожденным. Пусть Gi - произвольная комонолитическая группа из Ш и АєОпгСпК(ф). Тогда 0A(Gi)=Gb Согласно следствию 4.2.12 S обладает внутренним Q-спутником fi таким, что fi(A)=9K0h(A), где h - внутренний спутник класса Фиттинга S- Значит,
