Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные понятия 13
1.1. Аппроксимируемость и отделимость 13
1.2. Свободные конструкции групп 17
1.3. Корневые классы 20
1.4. Расщепляемые расширения и ретракты 22
1.5. Изолированность 25
1.6. Регуля рность и квазирегуля рность 27
Глава 2. Аппроксимируемость свободных произведений с нормальными объединенными подгруппами 30
2.1. Общие условияаппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп 30
2.2. Некоторые свойства рассматриваемых обобщенных свободных произведений 36
2.3. Основнаятеорема 39
2.4. Случай, когда группа AutG(H) является абелевой или совпадает с одной из подгрупп AutA(H) и AutB(K)-1 41
2.5. Случай, когда группа AutG(H) конечна 47
2.6. Случай, когда объединеннаяподгруппа имеет конечный ранг Гирша-Зайцева 49
2.7. Примеры 50
Глава 3. Аппроксимируемость свободных произведений с объединенными ретрактами 54
3.1. Случай, когда объединенная подгруппа является ретрактом в одном из свободных множителей 54
3.2. Случай, когда объединенная подгруппа является ретрактом в каждом свободном множителе 59
3.3. Примеры 62
Глава 4. Аппроксимируемость HNN-расширений с совпадающими связанными подгруппами 65
4.1. Общие условияаппроксимируемости HNN-расширений групп. 65
4.2. Строение и некоторые свойства рассматриваемых HNN-расширений 70
4.3. Основнаятеорема 73
4.4. Случай, когда группа AutG(H ) я вля ется абелевой 76
4.5. Случай, когда группа AutG(H) является конечной 84
4.6. Случай, когда AutG(H) = AutB(H) 86
4.7. Случай, когда связанная подгруппа имеет конечный ранг Гирша-Зайцева 87
4.8. Случай, когда связанная подгруппа является ретрактом в базовой группе 88
4.9. Примеры 90
Заключение 92
Список литературы
- Расщепляемые расширения и ретракты
- Некоторые свойства рассматриваемых обобщенных свободных произведений
- Случай, когда объединенная подгруппа является ретрактом в каждом свободном множителе
- Случай, когда связанная подгруппа имеет конечный ранг Гирша-Зайцева
Расщепляемые расширения и ретракты
Заметим, что если X — некотораягруппа, Y — ее нормальнаяподгруппа, то ограничение на эту подгруппу любого внутреннего автоморфизма группы X оказываетсяавтоморфизмом группы Y. Множество Autx(Y) всех таких автоморфизмов является подгруппой группы Aut Y всех автоморфизмов группы Y.
Предложение 1.1.5. Пусть класс групп С замкнут относительно факторизации, X — произвольная группа, Y — нормальная подгруппа группы X. Если существует подгруппа Z Є С {Х) такая, что Z ПУ = 1, то группа Aut (У) принадлежит классу С. В частности, если класс С замкнут относительно взятия подгрупп, фактор-групп и прямых произведений конечного числа сомножителей, группа X С-аппроксимируема и ее подгруппа Y конечна, то группа Autx(Y) принадлежит классу С.
Доказательство. Так как Y Г\ Z = 1, то подгруппы Y и Z поэлементно перестановочны. Следовательно, Z содержитсяв централизаторе CxiY) подгруппы Y в группе X. Поэтому X/CxiY) = {X/Z)/(Сx(Y)/Z) и, так как класс С замкнут относительно факторизации, то X/Cx(Y) Є С Группа Аігсх(У), как легко видеть, изоморфна фактор-группе X/Cx(Y), следовательно, Autx(Y) Є .
Если класс С замкнут относительно взятия подгрупп, фактор-групп и прямых произведений конечного числа сомножителей, группа X -ап проксимируема и ее подгруппа Y конечна, то согласно утверждению 2 предложения1.1.1 существует подгруппа Z Є {Х) такая, что Y Г\ Z = 1. В силу доказанного выше отсюда следует, что группа Autx( ) принадле жит классу С Предложение доказано. Говорят (см., например, [38]), что группа имеет конечный ранг Гир-ша-Зайцева, равный г, если она обладает конечным субнормальным рядом, каждый фактор которого является либо периодической, либо бесконечной циклической группой, и число бесконечных циклических факторов данного ряда равно г.
Предложение 1.1.6. Пусть С — класс групп без кручения, замкнутый относительно взятия подгрупп и прямых произведений конечного числа сомножителей, X С-аппроксимируемая группа, Y подгруппа группы X, имеющая конечный ранг Гирша-Зайцева. Тогда существует подгруппа Z Є С (Х) такая, что Z C\Y = 1. В частности, Y является С-группой.
Доказательство. Пусть 1 = Yo і п = субнормальный ряд группы Y, каждый фактор которого является либо периодической, либо бесконечной циклической группой. Доказательство будем вести индукцией по длине этого ряда.
Если п = 0, то утверждение предложенияочевидным образом следует из -аппроксимируемости группы X. Поэтому далее будем считать, что п 1 и длявсех подгрупп, обладающих рядом указанного выше вида длины, меньшей п, искомое утверждение имеет место.
Так как группа X, а, значит, и ее подгруппа УЇ, аппроксимируется группами без кручения, то она сама не имеет кручения. Поэтому Y\ — бесконечнаяциклическаягруппа, порожденнаянекоторым элементом у. Также из / -аппроксимируемости группы X следует, что существует нормальнаяподгруппа М этой группы такая, что Х/М Є С и у ф М. Из отсутствиякрученияв фактор-группе Х/М вытекает, что элемент у имеет бесконечный порядок по модулю подгруппы М. Поэтому М C\Y\ = 1. то группа М П Y также обладает субнормальным рядом, каждый фактор которого является либо периодической, либо бесконечной циклической группой, причем длина этого ряда строго меньше п. Поэтому в силу индуктивного предположениясуществует подгруппа L Є С (Х) такая, что L П (М П Y) = 1. Обозначим L Г\ М через Z. Тогда Z П Y = 1 и ввиду утверждения1 предложения1.1.1 подгруппа Z содержитсяв семействе С (Х). Следова тельно, Z — искомаяподгруппа. Предложение доказано.
В данном параграфе приводятсяопределенияи некоторые известные свойства свободных конструкций, встречающихсяв настоящей работе. Используемые здесь и далее обозначенияи термины согласованы с монографией [15]. Свободным произведением двух групп Х1иХ2с подгруппами Y1 Х1 иY2 Х2, объединенными относительно изоморфизма а: У1 - Y2, (или просто обобщенным свободным произведением групп Х1 и Х2) называется группа Р = (Х1 Х2\ Y1 = Y2, а), образующими которой являются образующие групп Х1 и Х2, а определяющими соотношениями — соотношения групп Х1 и Х2, а также всевозмож-ные соотношениявида у = у а, где у — слово от образующих группы Х1, определяющее элемент из подгруппы Y1, у а — слово от образующих группы Х2, определяющее образ данного элемента относительно изоморфизма о. Группы Х1 и Х2 называются свободными множителями группы Р, подгруппы У1 и Y2 объединенными подгруппами.
Хорошо известно, что тождественные отображенияобразующих свободных множителей Х1 и Х2 в соответствующие образующие группы Р определяют инъективные гомоморфизмы. Поэтому группы Х1 и Х2 можно считать подгруппами группы Р. Объединенные подгруппы Y1 и Y2 при этом оказываютсясовпадающими, а изоморфизм а превращаетсяв тождественное отображение.
Легко видеть, что каждый элемент z Є Р может быть записан в виде произведения Z = Z1Z2 ...zn, где П 1, Zi Є Х1 U Х2 (1 і п) и, если п 1, то длялюбого г Є {1,..., п — 1} элементы Zi и z +1 лежат в разных свободных множителях и, следовательно, не содержатся в объединенных подгруппах. Запись такого вида называется несократимой, а элементы Zi, 1 і п, — слогами данной записи. Хотянесократимаязапись заданного элемента z определена неоднозначно, количество слогов во всех таких записях одинаково и называется длиной несократимой записи элемента z.
Одним из основных свойств конструкции свободного произведения с объединенными подгруппами является утверждение о том, что каждый элемент, имеющий несократимую запись неединичной длины, отличен от 1. Это свойство будет неоднократно использоватьсяв данной работе.
Обобщением конструкции свободного произведениядвух групп с объединенными подгруппами служит свободное произведение произвольного семейства групп с одной объединенной подгруппой, определяемое следующим образом.
Некоторые свойства рассматриваемых обобщенных свободных произведений
Напомним, что группа X представляет собой расщепляемое расширение группы Z при помощи группы Y, если Y — подгруппа группы X, Z — нормальнаяподгруппа группы X, X = YZ и Y П Z = 1. Отображение 5 группы Y в группу автоморфизмов группы Z, сопоставляющее элементу у Є Y ограничение на подгруппу Z внутреннего автоморфизма группы X, производимого элементом у, является гомоморфным и называется сопровождающим гомоморфизмом этого расщепляемого расширения.
О подгруппе Y говорят также, что она является ретрактом в группе X, а естественный гомоморфизм группы X на фактор-группу X/Z называют ретрактирующим. Иначе говоря, подгруппа Y служит ретрактом в X, если существует гомоморфизм группы X на группу У, действующий на подгруппе Y тождественно.
Предложение 1.4.1. Пусть К - корневой класс групп, X - расщепляемое расширение группы Z при помощи группы Y, 5: Y — Aut Z — сопровождающий гомоморфизм, L = кегб. Тогда имеют место следующие утверждения. 1. Подгруппа LZ нормальна в группе X и представляет собой прямое произведение подгрупп L и Z; X/LZ Y6. 2. Если группы Z иY К-аппроксимируемы, а группа Y6 принадлежит классу 1С, то расщепляемое расширение X 1С-аппроксимируемо. 3. Если класс 1С замкнут относительно факторизации и группа Y5 конечна, то из 1С-аппроксимируемости группы X следует, что группы Z иY К-аппроксимируемы, а группа Y6 принадлежит классу 1С.
Доказательство. 1. Так как подгруппа L нормальна в группе Y и подгруппа Z нормальна в группе X, то подгруппа LZ нормальна в X и
Очевидно, что подгруппа L поэлементно перестановочна с Z. Поэтому подгруппа LZ является прямым произведением групп L и Z.
Так как группы Z иY /С-аппроксимируемы, то подгруппа LZ представляет собой прямое произведение двух /С-аппроксимируемых групп и, следовательно, /С-аппроксимируема. Таким образом, группа X является расширением /С-аппроксимируемой группы LZ при помощи /С-группы Y5 и потому /С-аппроксимируема в силу утверждения3 предложения1.3.4. 3. Из /С-аппроксимируемости расщепляемого расширения X следу ет /С-аппроксимируемость его подгрупп Z и Y, а также (в силу предло жения1.1.3) /С-отделимость централизатора Cx{Z) в группе X. Как уже было отмечено в доказательстве предложения1.1.5, Autx{Z) — X/Cx{Z). Отсюда, из замкнутости класса /С относительно факторизации и предложе ния1.1.2 следует /С-аппроксимируемость группы Autx{Z). Значит, ее под группа YS также /С-аппроксимируема. При этом YS конечна, следователь но, она содержитсяв классе /С в силу утверждения3 предложения1.1.1. Предложение доказано.
Предложение 1.4.2. Пусть класс групп С замкнут относительно взятия подгрупп и расширений, и пусть X — расщепляемое расширение группы Z при помощи группы Y. Пусть также М — произвольная подгруппа семейства (Х), U = MC\Z, V = MC\Y, W подгруппа из C (Y) такая, что W СУ, и пусть L = WU. Тогда L Є С {Х) и X/L — расщепляемое расширение ZL/L при помощи YL/L.
Так как подгруппа Z нормальна в группе X, то [И7, Z] С Z. Так как М — нормальнаяподгруппа группы X и W М, то [W, Z] СМ. Поэтому [И7, Z] С U и, следовательно, Wz С WU. Тогда Lx С WU = L. Значит, L — нормальнаяподгруппа группы X.
Покажем, что фактор-группа X/L принадлежит классу С Так как L нормальна в группе X, то L нормальна ивМ. Рассмотрим фактор-группу M/L:
Так как X — расщепляемое расширение группы Z при помощи группы У, то Y Г\ Z = 1. Поэтому Y/W(Y П Z) = Y/W. Теперь, воспользовавшись замкнутостью класса С относительно взятия подгрупп и тем, что W Є C (Y), получаем, что M/L Є С Заметим, что (X/L)/(M/L) = Х/М. При этом M/L Є , Х/М Є С и класс С замкнут относительно взятия расширений. Следовательно, X/L Є С
Предложение 1.4.3. Пусть класс групп С замкнут относительно взятия подгрупп и расширений, и пусть X — расщепляемое расширение группы Z при помощи группы Y. Если группа X С-аппроксимируема, то подгруппа Y С-отделима в группе X.
Доказательство. Пусть х — произвольный элемент группы X, не принадлежащий подгруппе Y. Тогда он представим в виде х = yz, где z Є Z \ {1} иу Є Y. В силу -аппроксимируемости группы X существует подгруппа М Є С {Х) такая, что z ф М. Положим U = М HZ, V = М C\Y и L = VU. Тогда по предложению 1.4.2 L Є С (Х).
Предположим, что х Є YL. Заметим, что YL = YVU = YU. Поэтому существуют элементы у Є Y и и Є U такие, что х = у и. Следовательно, yz = у и. Отсюда и из того, что Y П Z = 1, получаем, что z = и Є U. Тогда z Є М, что противоречит выбору подгруппы М. Следовательно, х YL.
Говорят, что подгруппа Y некоторой группы X ті1-изолирована в X, если дляпроизвольного элемента х группы X и произвольного 7г -числа q из того, что xq — элемент подгруппы У, следует, что х также является элементом подгруппы Y. Если С — некоторый класс групп, состоящий только из периодических групп, то через 7г() будем обозначать множество всех простых делителей порядков элементов всевозможных -групп. Следующее предложение дает весьма общее необходимое условие -отделимости подгрупп.
Предложение 1.5.1. Пусть С - произвольный класс групп, состоящий только из периодических групп, X — некоторая группа, Y — ее подгруппа. Если подгруппа Y С-отделима в группе X, то она ТТ(С) -изолирована в X.
Доказательство. Пусть q — 7г() -число и х — элемент группы X такой, что xq Є Y. Пусть также TV — произвольнаяподгруппа семейства {Х). Тогда X/N — периодическая 7г()-группа. Обозначим через s порядок ее элемента xN. Отсюда Xs Є N, а потому Xs Є YN. С другой стороны, xq Є У, поэтому xq Є YN. Таким образом, xs Є YN и xq Є YN, причем q и s взаимно просты. Следовательно, х Є YN. Так как подгруппа ./V Є С (Х) была выбрана произвольным образом, то
Если класс С является корневым, а группа X — конечно порожденной нильпотентной, то необходимое условие С-отделимости подгруппы, доставляемое предложением 1.5.1, оказывается и достаточным, как показывает приводимое далее предложение 1.5.3. Его доказательство опирается на следующее известное утверждение, частный случай которого дляодноэлементного множества 7Г доказан в [16].
Случай, когда объединенная подгруппа является ретрактом в каждом свободном множителе
В данной главе рассматриваютсяусловияаппроксимируемости замкнутыми относительно факторизации, а также произвольными корневыми классами групп обобщенного свободного произведениядвух групп. До конца главы будем считать, что А и В — некоторые группы, Н и К — подгруппы групп А и В соответственно, ср — изоморфизм подгруппы Н на подгруппу К, G = (А В] Н = К, ср) — свободное произведение групп А и В с подгруппами Н и К, объединенными относительно изоморфизма ср. Кроме того, всюду, за исключением параграфа 2.1, предполагается, что Н и К являются нормальными подгруппами групп А и В соответственно.
Напомним ряд понятий и утверждений, восходящих к работе Г. Ба-умслага [32]. Подгруппы R и S групп А и В соответственно называются (Н, К, ф)-совместимыми, если выполнено равенство (HnR)(f = KnS. Легко видеть, что если подгруппы R A, S В (Н, К, (/ -совместимы и нормальны в свободных множителях, то отображение (fR,s HR/ R — KS/S, действующее по правилу (hR)(fRjs = (hcp)S, где h Є Н, определено корректно и являетсяизоморфизмом подгруппы HR/R фактор-группы A/R на подгруппу KS/S фактор-группы В/S. Это позволяет наряду с обобщенным свободным произведением G = (А В; Н = К, ср) построить свободное произведение GR S = {A/R В/S; HR/R = KS/S, (PRS) групп A/R и B/S с подгруппами HR/R и KS/S, объединенными относительно изоморфизма (fR,s. Нетрудно показать также, что существует сюръ-ективный гомоморфизм PR,S - G —GR S, действие которого на подгруппах А и В совпадает с действием естественных гомоморфизмов А — A/R Предложение 2.1.1. Пусть N нормальная подгруппа группы G, R = AnNuS = BnN. Тогда подгруппы R и S являются (Н,К,ср)-совместимыми и существует гомоморфизм группы GR,S на группу G/N, действующий на подгруппах A/R и B/S инъективно.
Обратно, если для (Я, К, ф) -совместимых нормальных подгрупп R и S групп А и В соответственно существует гомоморфизм а группы GRjS па некоторую группу, действующий на подгруппах A/R и B/S инъективно, и N = kei(pRjso-), то R = АП N и S = В П N.
Доказательство. Если группы А и В считать подгруппами группы G, то в этой группе длялюбого элемента h Є Я выполнено равенство hip = h, откуда легко следует, что (Я П N)ip = К П N.
В самом деле, если элемент х группы В входит в ее подгруппу (HnN)ip, то х = hip длянекоторого h Є Я П N. Тогда х Є К и, так как х = h, то х Є N, откуда х Є К П N. Обратно, если х Є К П N, то х Є К, и потому х = hip длянекоторого h Є Я. Поскольку h = х, имеем также h Є N, следовательно, х Є (Я П N)ip. и, аналогично, К П S = К П N, в силу предыдущего получаем (Я П R)ip = К П S, и (Я, К, (/ -совместимость подгрупп R и S доказана.
Хорошо известно (и легко видеть), что ядро М гомоморфизма PR:S группы G на группу GR S совпадает с нормальным замыканием в группе G объединенияподгрупп R и S. Следовательно, МС и потому существует гомоморфизм а группы GR S на фактор-группу G/N, действующий по правилу: длялюбого элемента х Є GR S полагаем хо = gN длянекоторого элемента g Є G такого, что х = gpR,s.
Действительно, если дляэлементов / и g группы G выполнено равенство fpR,s = 9PR,S, то элемент f g лежит в подгруппе М, а потому и в подгруппе N. Следовательно, fN = gN, и корректность определения отображения а доказана. Гомоморфность и сюръективность этого отображенияочевидны.
Произвольный элемент х из подгруппы A/R группы GR S имеет вид х = aR длянекоторого элемента а Є А. Поскольку по определению гомоморфизма PR:S выполнено равенство apR s = aR, имеем хо = aN. Таким образом, если х лежит в ядре гомоморфизма т, то а Є N и потому а Є А П N = R. Следовательно, х = 1, и инъективность действиягомоморфизма а на подгруппе А/R доказана. Инъективность действиягомоморфизма а на подгруппе В/ S проверяется аналогично.
Предположим теперь, что длянекоторых (Н, К, (/ -совместимых нормальных подгрупп Rи S групп Аи В соответственно существует гомоморфизм а группы GR S на некоторую группу, действующий на подгруппах A/R и В/S инъективно. Полагая TV = ker(рд сг), покажем, что R = А П N и S = В П N.
Так как длягомоморфизма PR,S справедливо равенство RpRg = 1, включение R С А П N очевидно. Обратно, если элемент а Є А принадлежит подгруппе ЛГ, то 1 = {apR,s)(T = {aR)a, и так как а на подгруппе A/R действует инъективно, имеем aR = 1, т. е. а Є R. Таким образом, включение А П N С Л также справедливо, и равенство і? = Л П N доказано. Равенство S = В C\N проверяется аналогично. Предложение доказано.
Следуя[32], семейство {l }iGj нормальных подгрупп некоторой группы X будем называть фильтрацией, если Пусть С — некоторый класс групп, X — произвольнаягруппа, Y — подгруппа группы X. Через C (X,Y) обозначим семейство всех подгрупп группы Y вида Z C\Y, где Z — произвольнаяподгруппа семейства {Х).
Будем говорить, что подгруппа Y группы X отделима семейством Е нормальных подгрупп этой группы, если длялюбого элемента х Є X, не принадлежащего подгруппе У, среди подгрупп семейства Е найдется подгруппа ./V такая, что х ( YN. Если в качестве Е взять семейство С (Х), получаетсяобычное определение отделимости подгруппы Y классом С, которое было сформулировано в параграфе 1.1. Очевидно также, что под 33 группа Y отделима семейством в том и только в том случае, когда имеет место равенство и потому семейство является фильтрацией тогда и только тогда, когда этим семейством отделима единичнаяподгруппа группы X.
В работе [32] Г. Баумслаг указал необходимые и достаточные условия финитной аппроксимируемости обобщенного свободного произведения G, которые с использованием введенного выше определениямогут быть сформулированы следующим образом.
Предложение 2.1.2. [32, предложение 2]. Пусть {(R\, 5А)}АЄЛ — семейство всех пар нормальных (Я, К, ср)-совместимых подгрупп конечного индекса групп А и В соответственно.
1. Если группа G финитно аппроксимируема, то ее единичная подгруппа отделима семействами {ЛЛ}лел и {Sx}XeA.
2. Если единичная подгруппа группы G отделима семействами ШхеА и {Sx}XeA, подгруппа Н отделима семейством {Rx}XeA и подгруппа К отделима семейством {Sx}XeA, то группа G финитно аппроксимируема.
Покажем, что условия1 и 2 предложения2.1.2 можно сформулировать в других терминах.
Как уже было отмечено во введении, класс J- всех конечных групп является корневым. Если R Є J- (G, А) и подгруппа TV Є J- (G) такова, что R = N П А, то по предложению 2.1.1 подгруппы R и S = N П В (Н, К, ср)-совместимы и являются, очевидно, нормальными подгруппами конечного индекса групп А и В соответственно. Поэтому R = Rx длянекоторого Л Є .
Обратно, пусть подгруппа R группы А совпадает с некоторой подгруппой Rx, и пусть S = S\. Тогда группа GR S представляет собой обобщенное свободное произведение двух конечных групп A/R и В j S. Следовательно, она финитно аппроксимируема [32, теорема 2].
Случай, когда связанная подгруппа имеет конечный ранг Гирша-Зайцева
С этого момента и до конца главы будем считать, что связанные подгруппы Н и К совпадают. Понятно, что изоморфизм ср при этом превращаетсяв автоморфизм подгруппы Н. Кроме того, при данном предположении группа G представима в виде обобщенного свободного произведения. А именно, имеет место
Предложение 4.2.1. Пусть А подгруппа группы G, порожденная подгруппой Н и элементом t. Тогда 1) подгруппа А является расщепляемым расширением группы Н при помощи бесконечной циклической группы, порожденной элементом t, с сопровождающим гомоморфизмом р, переводящим t в автоморфизм ер группы Н; 2) группа G представляет собой свободное произведение своих подгрупп А и В с объединенной подгруппой Н.
Доказательство. Пусть Н — изоморфнаяподгруппе Н группа и— изоморфизм. Обозначим через А расщепляемое расширение группы Н при помощи бесконечной циклической группы, порожденной элементом , с сопровождающим гомоморфизмом
Пусть Р — свободное произведение групп А и В с подгруппами Н и Н, объединенными относительно изоморфизма ф. Нетрудно показать, что с помощью преобразований Тице представление группы Р может быть преобразовано в представление группы G. При этом элементы подгруп пы Н переходят в элементы подгруппы Н, а элемент t — в элемент t. Таким образом, оба утвержденияпредложенияимеют место. Предложение доказано.
Из предложения4.2.1 вытекает, что к группе G, исследуемой в данной главе, применимы все понятия, определенные для обобщенного свободного произведениядвух групп, а также ряд утверждений, полученных дляэтой свободной конструкции. В частности, если подгруппа Н нормальна в группе В и корневой класс групп замкнут относительно факторизации, то ввиду предложения2.2.1 оказываетсясправедливой следующаяболее удобная в применении версияпредложения4.1.3.
Остаетсяверным для рассматриваемой группы G и предложение 2.2.3, указывающее, в каких случаях сформулированное в предложении 4.2.2 достаточное условие аппроксимируемости группы G становитсянеобходимым (в качестве дополнительного комментарияк формулировке указанного предложениязаметим, что в данной главе свободный множитель, порожденный Hиt, всегда отличен от Н).
Следует, однако, подчеркнуть, что при помощи предложения4.2.1 удаетсяне только переинтерпретировать результаты первых двух глав в других терминах, но также, используяспецифические свойства HNN-расширений, упростить формулировки и усилить некоторые из них так, что полученные в итоге утвержденияпредставляют самостоятельный интерес.
Введенные в предложении 4.2.1 обозначения Аир зафиксируем до конца изложения. Кроме того, всюду далее С будет обозначать ядро сопровождающего гомоморфизма р. Приведем теперь два предложения, касающиесясвойств группы А.
Предложение 4.2.3. Пусть К корневой класс групп и, если К состоит только из периодических групп, то группа ((f) принадлежит классу К. Пусть также подгруппа Н /С-аппроксимируема. Тогда группа А -аппроксимируема.
Доказательство. Если класс /С содержит хотябы одну непериодическую группу, то отсюда и из замкнутости класса /С относительно взятияподгрупп следует, что бесконечнаяциклическаягруппа принадлежит классу /С. Поэтому в силу утверждения3 предложения1.3.4 группа А /С-аппроксимируема как расширение /С-аппроксимируемой группы Н при помощи /С-группы (t).
Пусть теперь класс /С состоит только из периодических групп и группа ((f) принадлежит классу /С. Ввиду первого утвержденияпредложения1.3.4 группа (t) /С-аппроксимируема. Поскольку группы (t)p и ((f) совпадают, из условия (ер) Є /С вытекает, что группа (t)p также принадлежит классу /С. Таким образом, расщепляемое расширение А /С-аппроксимируе-мо в силу утверждения2 предложения1.4.1. Предложение доказано.
Предложение 4.2.4. Пусть К корневой класс групп и, если К состоит только из периодических групп, то группа ((f) принадлежит классу К. Тогда группа А К-регулярна и К-квазирегулярна по подгруппе Н.
Доказательство. Предположим сначала, что класс /С содержит хотябы одну непериодическую группу. Тогда в силу замкнутости класса /С относительно взятия подгрупп группа (t) принадлежит классу /С, а потому /С-регулярность и /С-квазирегулярность группы А по подгруппе Н следуют из предложения1.6.1.
Пусть теперь /С состоит только из периодических групп и ((f) — /С-группа. Пусть также М — произвольнаяподгруппа семейства JC (H). В силу утверждения1 предложения1.4.1 подгруппа СН, где, напомним, С = кег/9, нормальна в А и А/СН = (t)p. Так как группы (t)p и ((f) совпадают, то из условия ((f) Є /С вытекает, что А/СН — /С-группа. Значит, подгруппа СП принадлежит семейству /С (А). Подгруппы С и Н поэлементно перестановочны согласно тому же утверждению и М нормальна в Н, поэтому СМ — нормальнаяподгруппа группы СН. Заметим, что
Всюду далее, за исключением параграфа 4.8, подгруппа Н является нормальной в В. При таком условии она оказываетсянормальной и в С Как и в главе 2, это позволяет рассмотреть группу Аика(Н), которая, как легко видеть, порождаетсясвоей подгруппой Autв{Н) и автоморфизмом ср. Основным результатом данной главы является
Теорема 4.3.1. Пусть К корневой класс групп, В К-группа, Н нормальная подгруппа группы В. Если В/Н Є К, AutG(H) Є К, то существует гомоморфизм группы G на группу из класса /С, инъектив-ный на подгруппе В, и, в частности, группа G /С-аппроксимируема.
Доказательство. Напомним, что в соответствии с предложением 4.2.1 подгруппа А группы G, порожденнаяподгруппой Н и элементом t, является расщепляемым расширением группы Н при помощи группы (t) и что С обозначает ядро сопровождающего гомоморфизма этого расширения. Так как Н П С = 1, то подгруппа НС /С фактор-группы А/С изоморфна группе Н и потому принадлежит классу /С.
