Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Определения. необходимые сведения. Общие результаты 13
1. Основные определения и понятия 13
2. Необходимые сведения 19
3. Конечные расширения К-групп 21
ГЛАВА II. Разрешимые R -группы конечного ранга 25
4. Основные теоремы 25
5. Описание разрешимых R-групп конечного ранга. Примеры 34
6. О пополнении разрешимых R -групп конечного ранга 42
ГЛАВА III. Разрешимые матричные R -группы . 47
7. Треугольные R-группы 47
8. Пополнение подгрупп конечного индекса . 57
Литература 66
- Основные определения и понятия
- Конечные расширения К-групп
- Описание разрешимых R-групп конечного ранга. Примеры
- Пополнение подгрупп конечного индекса
Введение к работе
Группа иг называется К-группой, полной группой, S&-группой если в ней уравнение
имеет соответственно не более одного, не менее одного и в точности одно решение-
Изучение различных классов г\ -групп, пополнений К-групп, вложение R-групп в ф-группы, а также изучение SD -групп являются различными сторонами теории извлечения корней -важной части теории групп без кручения. Понятие R-группы было введено П.Г.Конторовичем fl,2]. Однако началом теории К-групп следует, по-видимому, считать теорию нильпотентных групп без кручения, в которой центральное место занимает мальцевская теория извлечения корней. В классической работе А.И,Мальцева [ЗІ важную роль сыграл тот факт, что произвольная локально нильпо-тентная группа без кручения является К-группой, т.е. в ней извлечение корня натуральной степени является однозначной, хотя и не всегда определенной операцией. Следующая теорема Мальцева является основной во всей теории нильпотентных групп без кручения.
Всякая локально нильпотентная группа без кручения иг может быть вложена в полную локально нильпотентную группу Q-без кручения, любой элемент пополнения группы иг » возведенный в некоторую натуральную степень, попадает в иг . Если иг^ и
L* - два пополнения группы иг , то между ними существует изоморфизм, притом единственный, продолжающий произвольный автоморфизм У группы иг .
А.И.Мальцев доказал эту теорему при помощи аппарата теории групп и алгебр Ли. Попытки доказать эту теорему чисто алгебраическими методами привели к бурному развитию теории извлечения корней. Новые доказательства и различные обобщения теоремы Мальцева были даны в работах М.Лазара [4], А.Л.Шмелькина [5І, Г.Баум-слага [б], Ф.Холла Г7І и других авторов. Теорема Мальцева была перенесена и на случай упорядоченных нильпотентных групп (см. Г 87). В работах Б.И.Плоткина [9,10] многие результаты, доказанные ранее для локально нильпотентных групп без кручения были перенесены на более широкие классы п -групп.
Позднее Ю.В.Кузьмин доказал [ill. что произвольная метабе-лева R-группа вкладывается в метабелеву 50 -группу. Пополнение в этом случае, вообще говоря, не однозначно. Проблема о том, вкладывается ли произвольная R-группа в Ф-группу в общей постановке, решается отрицательно. В той же работе Ю.В.Кузьмина построен пример трехступенно разрешимой К-группы, которая не вкладывается ни в какую Ф-группу.
В связи с дальнейшим развитием теории возникла проблема исследования К-групп, в том или ином смысле близких к нильпо-тентным группам без кручения. Одними из наиболее интересных классов групп, близких к нильпотентным группам без кручения, являются класс полициклических R-групп и более широкий класс разрешимых R-групп конечного специального ранга (в смысле Мальцева). Группы конечного специального ранга исследовались в работах многих авторов. Характерной чертой многих работ в этом направлении является использование линейных групп для исследования абстрактных групп. Эта идея А.И.Мальцева наиболее выпукло проявилась в его работе Г127, где он, используя понятие ранга
выделил пять классов разрешимых л/-групп и доказал для них ряд фундаментальных теорем. Результаты многих авторов можно отнести к стыку двух теорий: теории извлечения корней и теории групп конечного ранга, Кроме результатов А.И.Мальцева сюда можно отнести, например, результаты В.М.Глушкова, Б.И.Плоткина, В.С.Чарина (см. 2). Основные результаты диссертации также относятся к стыку .этих двух теорий, а именно, к исследованию разрешимых R-групп конечного специального ранга.
В диссертации важную роль играет понятие сильно изолированной подгруппы. Сильно изолированные нормальные подгруппы группы Lr - это в точности ядр гомоморфизмов из группы иг в R-группу. Техника исследований основывается на работе с коммутаторами с использованием некоторых специальных квазитождеств, выполняющихся в произвольной R-группе. Эта техника была развита автором в целях исследования разрешимых R-групп конечного ранга. Та же техника используется для доказательства теорем о конечных расширениях R-групп.
В первой главе диссертации приводятся основные определения и понятия, необходимые сведения, а также доказываются некоторые общие утверждения. В первом параграфе доказывается лемма об эквивалентности трех определений R -группы через различные системы квазитождеств, которая дает нам основной технический инструмент диссертации. Во втором параграфе для удобства ссылок приводятся формулировки некоторых известных утверждений. В третьем параграфе мы доказываем основные теоремы первой главы о конечных расширениях R-групп. Через г? обозначим множество операторов вида i+J + ,"+i? "" группы G , рассматриваемой как иг-операторная группа, где элемент Q<= G действует на иг сопряжением.
Теорема І. Пусть иг —группа без кручения, Н - её нормальная подгруппа, фактор-группа иг/п - периодическая локально разрешимая группа. Для того, чтобы группа up была R-группой необходимо и достаточно, чтобы б подгруппе п не было R -кручения.
Группа иг называется г\ -группой С К -группой), если каадая фактор-грутша группы иг является И -группой (соответственно каадая фактор-группа подгруппы группы иг является R-группой.
Теорема 2. Пусть иг - группа без кручения, п - её нормальная подгруппа, иг/п - периодическая локально разрешимая группа. Тогда для того, чтобы группа иг была К -группой достаточно, чтобы всякая изолированная в п нормальная в иг подгруппа А^ Н была R -изолирована в п .
Отметим, что теорема I примыкает к результатам Б.Неймана-Шепперда о конечных расширениях упорядоченных групп [із].
Центральное место в диссертации занимает вторая глава, которая посвящена изучению разрешимых R -групп конечного ранга. В четвертом параграфе приводятся основные результаты главы.
В.С.Чарин 14] доказал, что произвольная разрешимая группа без кручения конечного ранга обладает рядом нормальных подгрупп
где - конечная группа, - свободная абелева группа конечного ранга, /V - нильпотентная группа конечного ранга. Для R- группы иг мы доказываем следующую теорему.
Теорема 3. Произвольная разрешимая К-группа иг конечного ранга является расширением нилъпотентнои группы конечного ранга с помощью свободной абелевой группы конечного ранга.
В.М.Глушковым доказано [19], что локально нильпотентная группа без кручения тогда и только тогда имеет конечный ранг Л , когда она нильпотентна и обладает рациональным рядом длины Ґ .
Из теоремы 3 вытекает
Следствие I. Локально разрешимая R-группа тогда и только тогда будет иметь конечный ранг Л , когда она разрешила и обладает рациональным рядом длины Г* .
Важным подклассом класса И-групп является класс групп со строго изолированной единицей [8] или, короче, О-групп. Проблема о том, совпадают ли классы упорядочиваемых групп и о -групп (Гі8], вопрос 1.47) в общей постановке решена отрицательно В.В.Блудов[17]). Из теоремы 3 , а также результата В.М.Копытова об упорядочиваемости произвольной о -группы, имеющей нильпотент-ный коммутант (см.[8]) вытекает
Следствие 2. Всякая о -группа, обладающая локальной системой из разрешимых групп конечного ранга, упорядочиваема.
Теорема 4. Пусть г - разрешимая R-группа, Н - её изолированная нормальная подгруппа конечного ранга. Тогда факторгруппа Gr/H являє т ся к-группой.
Отсюда получаем, что внутри класса разрешимых групп конечного ранга подклассы R-групп, R -групп, К -групп (см. 1) совпадают. В пятом параграфе приводятся необходимые и достаточные условия для того, чтобы разрешимая группа конечного ранга была R-группой. Рассматривается произвольный центральный ряд нильпотентного радикала N группы 6г , состоящий из изолированных подгрупп : N ~ Nk & Л/^.у ^ .. > Л^ ^ Л/0 =i . Секции этого ряда естественным образом становятся модулями над
целочисленным групповым кольцом ZIGM . Группа U будет
R- группой, тогда и только тогда, когда Р = 6г//У- абелева группа без кручения и в каждом *U5j- модуле Л/ — N[/ N[-i , нет
К -кручения, где R - мультипликативная система кольца ZLB],
порожденная элементами віща (Предложение I
или, несколько иначе, когда для каждой секции М{ среди собственных значений действия произвольного элемента ое О на М[ нет нетривиальных корней из I (Предложение 2). В этом же параграфе в качестве иллюстрации приводятся несколько примеров. Существует неупо-рядочиваемая полициклическая К-группа (Пример 2), метабелева
К -группа конечного ранга, не имеющая упорядочиваемой подгруппы конечного индекса (Пример 3). Пример 4 дает отрицательный ответ на вопрос А.Л.Шмелькина, определяет ли "метабелева часть" br/N полициклической группы иг без кручения свойство быть /\-группой ( /V - нильпотентный радикал группы иг ).
В.С.Чариным fl5] доказано, что полная группа конечного ранга нильпотентна. В частности, разрешимая 5) -группа конечного ранга нильпотентна. Более того, оставаясь в классе разрешимых групп конечного ранга, нельзя " пополнить" ни один элемент, не принадлежащий нильпотентному радикалу. Сам же нильпотентный радикал можно пополнить, оставаясь при этом в классе разрешимых К-групп того же ранга. В шестом параграфе доказывается
группы иг является пополнением подгруппы N
Теорема 5. Пусть Lr - разрешимая R-группа конечного ранга, N - её нильпотентный радикал. Тогда группа 1т вкладывается в такую R-группу Lr , что нильпотентный радикал N
и имеют место
) G*=G/V* ; г) G*//V*eff/A/.
В этом же параграфе доказывается следующая Теорема 6. Пусть иг - локально разрешимая R-группа, иг - её подгруппа конечного ранга, и пусть всякий элемент группы Lr , возведенный в некоторую натуральную степень, попадает в иг . Тогда группа 6г имеет конечный ранг, причем а) Г(Г= Г; б) JV=/V7IG;
в, QVN*^G/M.
где /V и Л/ - нильпотентные радикалы групп иг и LT соответственно.
Согласно теореме Б.М.Копытова (см. 2) всякая разрешимая группа конечного ранга без кручения вкладывается в группу игі-дІЩ/ невырожденных матриц степени ҐІ над полем рациональных чисел, при этом нильпотентныи радикал представляется унипотентными матрицами. Известно, что если матричная группа над полем характеристики 0 имеет нильпотентныи коммутант, который состоит из унипотентных матриц, то группу можно одновременным сопряжением привести к треугольному виду.
Третья глава настоящей диссертации посвящена изучению матричных R-групп. В седьмом параграфе доказывается
Теорема 7. Пусть группа С$ТпШне имеет кручения, /V= -её унипотентный радикал. Тогда
а) группа ц- будет И -группой в том и только в том слу
чае, если в Д/ нет /?&-кручения.
б) группа ц- будет К -группой в том и только в том
случае, если всякая изолированная в /V нормальная в (х под
группа А^Л/ R6- изолирована в N .
Ввиду сделанных выше замечаний класс разрешимых f\-групп конечного ранга содержится в классе треугольных г\-групп ко-
- II -
нечного ранга. Для описания последнего класса вводится понятие относительной чистой треугольной группы (см. 7). Оказывается, что всякая относительно чистая треугольная группа является /?-группой (теорема 8). Основным результатом седьмого параграфа является описание разрешимых R-групп конечного ранга в терминах треугольных групп:
Теорема 9. Пусть иг треугольная группа конечного ранга без кручения. Группа иг будет И-группой в том и только в том случае, если она относительно чиста.
Б восьмом параграфе доказывается, что если Tn(D,k) -группа таких матриц из Тд (л ) , У которых диагональные элементы принадлежат некоторой полной подгруппе без кручения и мультипликативной группы а поля п. , то группа ln(D9K/ будет - 9) -группой (теорема 10). Применив эту теорему, получаем следующие теоремы.
Теорема II. Конечно порожденная разрешимая матричная группа ur^ IxL^ik) над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 содержит такую подгруппу П конечного индекса, которая сопряжена в группе Lft (к) о подгруппой треугольной &-
группы: Х'1ИХ * Ta(D,lc), &GLn,(k).
Теорема 12. Всякая разрешимая группа конечного ранга без кручения почти вся является гл-группой, вложимой в Ф -группу с нильпотентным коммутантом.
Результаты диссертации докладывались на ХУІ и ХУІІ Всесоюзных алгебраических конференциях в Ленинграде (1981г.) и в Минске (1983г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры и на семинаре по теории групп в МГУ. Основная
- 12 ~
часть результатов опубликована в работах автора [20 - 23J.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность профессору А.Л.Шмёлькину, под руководством которого выполнена данная работа, за постановку задач, глногократные полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.
- ІЗ -
Основные определения и понятия
В связи с дальнейшим развитием теории возникла проблема исследования К-групп, в том или ином смысле близких к нильпо-тентным группам без кручения. Одними из наиболее интересных классов групп, близких к нильпотентным группам без кручения, являются класс полициклических R-групп и более широкий класс разрешимых R-групп конечного специального ранга (в смысле Мальцева). Группы конечного специального ранга исследовались в работах многих авторов. Характерной чертой многих работ в этом направлении является использование линейных групп для исследования абстрактных групп. Эта идея А.И.Мальцева наиболее выпукло проявилась в его работе Г127, где он, используя понятие ранга выделил пять классов разрешимых л/-групп и доказал для них ряд фундаментальных теорем. Результаты многих авторов можно отнести к стыку двух теорий: теории извлечения корней и теории групп конечного ранга, Кроме результатов А.И.Мальцева сюда можно отнести, например, результаты В.М.Глушкова, Б.И.Плоткина, В.С.Чарина (см. 2). Основные результаты диссертации также относятся к стыку .этих двух теорий, а именно, к исследованию разрешимых R-групп конечного специального ранга.
В диссертации важную роль играет понятие сильно изолированной подгруппы. Сильно изолированные нормальные подгруппы группы Lr - это в точности ядр гомоморфизмов из группы иг в R-группу. Техника исследований основывается на работе с коммутаторами с использованием некоторых специальных квазитождеств, выполняющихся в произвольной R-группе. Эта техника была развита автором в целях исследования разрешимых R-групп конечного ранга. Та же техника используется для доказательства теорем о конечных расширениях R-групп.
В первой главе диссертации приводятся основные определения и понятия, необходимые сведения, а также доказываются некоторые общие утверждения. В первом параграфе доказывается лемма об эквивалентности трех определений R -группы через различные системы квазитождеств, которая дает нам основной технический инструмент диссертации. Во втором параграфе для удобства ссылок приводятся формулировки некоторых известных утверждений. В третьем параграфе мы доказываем основные теоремы первой главы о конечных расширениях R-групп. Через г? обозначим множество операторов вида i+J + ,"+i? "" группы G , рассматриваемой как иг-операторная группа, где элемент Q = G действует на иг сопряжением.
Теорема І. Пусть иг —группа без кручения, Н - её нормальная подгруппа, фактор-группа иг/п - периодическая локально разрешимая группа. Для того, чтобы группа up была R-группой необходимо и достаточно, чтобы Б подгруппе п не было R -кручения. Группа иг называется г\ -группой С К -группой), если каадая фактор-грутша группы иг является И -группой (соответственно каадая фактор-группа подгруппы группы иг является R-группой. Теорема 2. Пусть иг - группа без кручения, п - её нормальная подгруппа, иг/п - периодическая локально разрешимая группа. Тогда для того, чтобы группа иг была К -группой достаточно, чтобы всякая изолированная в п нормальная в иг подгруппа А Н была R -изолирована в п . Отметим, что теорема I примыкает к результатам Б.Неймана-Шепперда о конечных расширениях упорядоченных групп [із]. Центральное место в диссертации занимает вторая глава, которая посвящена изучению разрешимых R -групп конечного ранга. В четвертом параграфе приводятся основные результаты главы. В.С.Чарин 14] доказал, что произвольная разрешимая группа без кручения конечного ранга обладает рядом нормальных подгрупп где - конечная группа, - свободная абелева группа конечного ранга, /V - нильпотентная группа конечного ранга. Для R- группы иг мы доказываем следующую теорему. Теорема 3. Произвольная разрешимая К-группа иг конечного ранга является расширением нилъпотентнои группы конечного ранга с помощью свободной абелевой группы конечного ранга. В.М.Глушковым доказано [19], что локально нильпотентная группа без кручения тогда и только тогда имеет конечный ранг Л , когда она нильпотентна и обладает рациональным рядом длины Ґ . Следствие I. Локально разрешимая R-группа тогда и только тогда будет иметь конечный ранг Л , когда она разрешила и обладает рациональным рядом длины Г . Важным подклассом класса И-групп является класс групп со строго изолированной единицей [8] или, короче, О-групп. Проблема о том, совпадают ли классы упорядочиваемых групп и о -групп (Гі8], вопрос 1.47) в общей постановке решена отрицательно В.В.Блудов[17]). Из теоремы 3 , а также результата В.М.Копытова об упорядочиваемости произвольной о -группы, имеющей нильпотент-ный коммутант (см.[8]) вытекает Следствие 2. Всякая о -группа, обладающая локальной системой из разрешимых групп конечного ранга, упорядочиваема. Теорема 4. Пусть г - разрешимая R-группа, Н - её изолированная нормальная подгруппа конечного ранга. Тогда факторгруппа Gr/H являє т ся к-группой.
Конечные расширения К-групп
Если единичная подгруппа R -изолирована в п , то будем говорить, что п не имеет R -кручения.
Ясно, что подгруппа А будет сильно изолирована в (г в том и только том случае, если А будет R -изолирована в LT 1.5. Полные группы. Группа иг называется полной, если в ней произвольное уравнение (6) xn=$, где иг її - натуральное число, имеет решение, хотя, возможно и не единственное. Более узок класс полных R-групп, короче, ф -групп. В Ф-группе извлечение корня произвольной натуральной степени является однозначной всюду определенной операцией, ф -группа интересна тем, что её можно рассматривать как новую алгебраическую систему, добавив к групповой операции бесконечное множество унарных операций извлечения корней. 1.6. о -группы. Важным подклассом класса R-групп явля ется класс групп со строго изолированной единицей, или, короче, S -групп. 1.5.I. Определение. Группа иг называется о -группой, если она удовлетворяет системе квазитождеств где І» 2 » Уп произвольный набор переменных. Такие группы называются ещё группами без G"-кручения ( см.[в]). Более узок класс линейно упорядочиваемых групп. 1.6.2. Определение. Группа Lr называется упорядочиваемой, если в ней можно задать линейный порядок , : , устойчивый относительно умножения на элементы группы Lr , т.е. для произ вольных следует І Ранг группы. Всюду в диссертации под рангом группы будем понимать специальный ранг Мальцева. 1.7.1. Определение. Говорят, что группа иг имеет конечный ранг Гиг , если всякая конечно порожденная подгруппа группы может быть порождена не более чем Гот элементами, и Ґіт - наименьшее положительное число с таким свойством. Если же таких чисел нет, то полагают, что Ґиг 00 . 1.7.2. Определение. Говорят, что группа (г обладает рациональным рядом, если существует субнормальный ряд = все секции Іхі иі+і которого являются подгруппами группы (U рациональных чисел по сложению. Наименьшую длину К рационального ряда грушш [д- называют рациональным рангом группы ft . 1.7.3. Ввиду результата Д.И.Зайцева [24] рациональный ранг группы Gr , обладающей рациональным рядом, совпадает с рангом Л ur . Отсюда легко следует Лемма. Пусть группа иг обладает рациональным рядом , ; проходящим через нормальную подгруппу п. Тогда - 18 1.8. /\l - группы. Используя понятие ранга А.И.Мальцев \t ] выделил 5 важных классов разрешимых л -групп. I.8.I. Определение. Разрешимой п -группой называется группа, обладающая субнормальным рядом с факторами, являющимися f\L -группами. При этом абелева А ,-группа есть абелева группа, фактор-группа которой по периодической части имеет конечный ранг; абелева п -группа при L-2,3,4 есть абелева п± -группа, периодическая часть которой соответственно имеет конечный специальный ранг, удовлетворяет условию минимальности для подгрупп или же конечна; абелева А5-группа есть абелева группа с конечным числом образующих. А.И.Мальцев доказал, что разрешимая А -группа, L-ir-j5 обладает конечным характеристическим рядом с абелевыми л/-факторами. Разрешимые группы конечного ранга это в точности разрешимые А -груплы. В силу результата А.И.Мальцева о том, что фактор-группа разрешимой Аj-группы по её максимальной периодической нормальной подгруппе является Aq -группой, всякая разрешимая группа конечного ранга без кручения является разрешимой А -группой. В этом параграфе для удобства ссылок приводятся формулировки некоторых известных результатов. 2.1. Изоляторы подгрупп в R-группах. 2.1.1. Определение. Единственная максимальная локально ниль потентная нормальная подгруппа группы иг называется локально нильпотентным радикалом группы иг . Ввиду того, что локально нильпотентная группа без кручения конечного ранга нильпотентна (В.М.Глушков 19]), у разрешимой группы конечного ранга без кручения & существует единственная максимальная нильпотентная нормальная подгруппа N . Её мы будем называть нильпотентным радикалом. 2.1.2. Теорема (Б.И.Плоткин Г9]). Пусть -группа Н - её подгруппа, обладающая возрастающим центральным рядом, Тогда 1 (Н ) также обладает возрастающим центральным рядом, присем класс подгрупп - один и тот же. Отсюда следует, что локально нильпотентный радикал группы Lj- является изолированной подгруппой группы Сг . 2.1.3. (Б.И.Плоткин [9]). Если г? - группа обладает рациональным рядом, то рациональный ранг её нормальной подгруппы F равен рангу изолятора этой подгруппы: fr = / (1(F)), (Как мы отметили в п.1.6.4, для таких групп рациональный ранг совпадает со специальным рангом).
Описание разрешимых R-групп конечного ранга. Примеры
Последнее означает, что отношение диагональных элементов $#/$5 матрицы % U является нетривиальным корнем из I. Это вместе с (5) противоречит тому, что группа иг относительно чиста. Теорема доказана. 7.2.5. Теорема 9. Пусть - треугольная группа без кручения конечного ранга. Группа иг будет г?-группой в том и только в том случае, если она относительно чиста. Доказательство. Необходимость. Если группа сг относительно чиста, то по теореме 7.2.4 она является г\-группой. Достаточность. Пусть группа Сг является треугольной К - 55 группой конечного ранга. Как мы отметили выше (см. следствие 4.1.2), она будет также К -группой. Допустим, что группа 6г не является относительно чистой, то есть отношение Оц / $ц диагональных элементов матрицы аннулируется ЇЇІ-м многочленом деления круга: Рассмотрим в унипотентном радикале N подгруппу Легко видеть, что подгруппа N( ,i) нормальна в группе Q . Ввиду того, что 0 CW) - нильпотентная группа без кручения, подгруппа является изолированной в /V нормальной подгруппой R -группы иг По теореме 2 подгруппа изолирована в /V . Покажем, что это противоречит нашшл предположениям. Действительно, из (7) следует, что существует Q -Щ-іїІ такой, что Q6t(fl) - Тогда о"-, ввиду того, что согласно нашему предположению (4) Выражения (6) и (7) вместе противоречат подгруппы изолированности Теорема доказана. к. существует такая ІШиЦ ІХ что ( 7.2.6. Замечание. Относительная чистота группы означает, что из условия А, следует Б. в группе UT нет матриц типа I, где Q О , на незаполненной части стоят нули, а на заштрихованной части - произвольные элементы. Если же группа Ц является К -группой (г частности, если Сг имеет конечный ранг), то в ней из условия А. следует более сильное условие Л/ Б. в группе (jr нет матриц типа 2. Действительно, существование такой матрицы в иг означало бы, что изолированная в N нормальная в Сг подгруппа не R -изолирована в В этом параграфе мы построим серию треугольных 2)-групп Т [0,к)9 с помощью которых докажем, что всякая конечно порожденная разрешимая матричная группа имеет подгруппу конечного индекса, сопряженную с треугольной Ф-группой, т.е. она почти вся вложима в л)-группу (Теорема II); всякая разрешимая группа конечного ранга без кручения почти вся вложима в л) -группу с нильпотентным коммутантом (Теорема 12) 8.1. Группы Пусть К - алгебраически замкну тое поле характеристики О, К. - её мультипликативная группа, Е - 1/1 - группа корней из единицы поля к. . Из алгебраической замкнутости поля К следует, что мультипликативные группы К и t полны. Хорошо известно, что полная подгруппа абе-левой группы выделяется в ней прямым сомножителем, поэтому группа К разлагается в прямое произведение группы корней из единицы С и некоторой подгруппы U , являющейся прямым дополнением подгруппы t в группе К :
Пополнение подгрупп конечного индекса
Заметим, что диагональные элементы любой матрицы из треугольной группы Z НІХ лежат в подгруппе группы k , порожденной числами /1 ,/ ,..., Aj . Поэтому в силу (10) диагональные элементы любой матрицы из группы Х п Х в степени попадают в Положим
Поскольку фактор-группа - конечно порожденная разрешимая группа экспоненты ЇЇІ , то индекс подгруппы Н в подгруппе Hf конечен. Следовательно, индекс подгруппы г/ в группе иг также конечен. Теорема доказана. Следствие. Всякая разрешимая конечно порожденная матричная группа над полем характеристики 0 почти вся является К -группой, вложимой в треугольную 3) -группу. Отсюда, в частности, получаем, что всякая полициклическая группа, а также всякая конечно порожденная метабелева группа почти вся вкладывается в 1Ї) -группу. Оказывается, что то же самое верно и для произвольной разрешимой группы конечного ранга без кручения. 8.2.3. Теорема 12. Всякая разрешимая группа конечного ранга без кручения почти вся вкладывается в разрешимую 2) -группу с нильпотентным коммутантом. Доказательство. По теореме В.С.Чарина (см. п.2.2.1) в разрешимой группе конечного ранга без кручения тлеется ряд нормаль- ных подгрупп таких, что фактор-группа является конечной группой, факторгруппа Gt/N - свободной абелевой группой конечного ранга, а подгруппа Л/ - нильпотентной группой без кручения конечного ранга. Поскольку группа СГ интересует нас с точностью до подгруппы конечного индекса, то мы можем считать, что группа Lf является расширением своего нильпотентного радикала /V с помощью свободной абелевой группы конечного ранга и Ьг/п/-В силу теоремы Б.М.Копытова (см. 2.2.2), а также леммы 7.2.1 можно считать, что и нильпотентный радикал /V группы цг совпадает с её унипо-тентным радикалом Пусть о і і v% "1 -свободные порождающие свободной абелевой группы пусть 0 ,..., какие-либо их представители в группе УГ . Ввиду того, что подгруппа N унитреугольна, диагональные элементы матриц из одного и того же смежного класса по подгруппе /V совпадают. Отсюда следует, что диагональные элементы произвольной матрицы из if принадлежат мультипликативной группе, порожденной всеми диагональными элементами матриц Ъ±, р у ) # . Далее мы так же, как и в теореме 8.2.2, находим натуральное число ЇЇІ такое, что Тогда подгруппа будет принадлежать Нам остается заметить, что фактор-группа является конечной группой, поскольку она имеет конечный ранг и конечную экспоненту.
