Подпрямые суммы абелевых групп без кручения первого ранга Трухманов Вячеслав Борисович

Элементарные свойства простых специальных групп

Как доказано в предыдущем параграфе подпрямая сумма двух бесконечных циклических групп имеет ранг два тогда и только тогда, когда ее индуцирующая группа изоморфна группе Z(n). В данном параграфе изучаются свойства подпрямых сумм ранга два двух бесконечных циклических абелевых групп для данной индуцирующей группы при различных парах определяющих эпи -морфизмов. В предложениях 1.2.1 - 1.2.3 формулируются условия, определяющие принадлежность различных пар элементов бесконечных циклических групп А и В одной и той же подпрямой сумме второго ранга данных групп. В теореме 1.2.5 и предложениях 1.2.6,1.2.7 формулируются некоторые характеристические свойства элементов подпрямой суммы второго ранга групп А и В. В теоремах 1.2.8, 1.2.9 определяются условия при которых элемент группы А и элемент группы В образуют элемент данной подпрямой сумме второго ранга данных групп. определение. Подгруппу G прямой суммы бесконечных циклических абелевых групп А и В будем называть простой специальной группой, если для некоторого целого положительного числа п 1, группа G является подпрямой суммой данных групп, индуцированной конечной циклической группой Z(n). предложение 1.2.1. Пусть А и В - бесконечные циклические абелевы группы, G - простая специальная группа, элементы а\ и a-i принадлежат группе А, элементы Ь\ и Ъг принадлежат группе В, и пусть Пара (а\, Ь\) является элементом группы G тогда и только тогда, когда пара (a-i, Ь?) является элементом группы G. Доказательство. Пусть пара (а\,Ь\) является элементом группы G, следовательно, по определению подпрямой суммы, По условию, тогда принадлежит группе GA и, следовательно, следовательно, пара (а2, Ьг) Является элементом группы G. Обратное утверждение доказывается аналогично. следствие. Пусть А = а и В = р - бесконечные циклические абелевы группы, G - подпрямая сумма групп А и В с индуцирующей группой Z(n), где п - целое положительное число, большее единицы, и пусть группа G содержит пару (a, kj3), где к - целое число, в качестве своего элемента. Тогда, для любого целого числа т пара (а, тр) принадлежит группе G тогда и только тогда, когда в кольце целых чисел Z числа кит сравнимы по модулю п. Доказательство. Необходимость непосредственно следует из предложения 1.2.1, поскольку, как легко заметить, сравнение в группе В равносильно сравнению в кольце целых чисел Z. Достаточность непосредственно следует из предложения 1.2.1. предложение 1.2.2. Пусть А и В - бесконечные циклические абелевы группы, G — простая специальная группа, содержащая одновременно пары (а и Ъ}) и (а2, Ьг) в качестве своих элементов, где элементы а\ и я2 принадлежат группе А, а элементы Ь\ и Ь2 принадлежат группе В. Тогда [а{\"д = [а2]"А если и только если [bj] "в = [Ь2] I.

Доказательство. Пусть Обратное утверждение доказывается аналогично. ТЕОРЕМА 1.2.3. Пусть А = а и В = В - бесконечные циклические абелевы группы, тик- целые числа, не сравнимые с нулем по модулю п в кольце целых чисел Z, и пусть dk - наибольший общий делитель чисел пик, dm - наибольший общий делитель чисел пит. Тогда выполняются следующие условия: 1) если dk= dm , то существует простая специальная группа G такая, что 2) если dk dm = 1, то существует единственная простая специальная 3) если dk = dm = d 1, то существует менее или ровно d различных про 4) если dk dmy то не существует простой специальной группы G такой, Доказательство. Пусть dk— dm = d, тогда отображения где г - произвольное целое число, г - класс вычетов по модулю п, содержащий число г, являются эпиморфизмами групп А и В на группу Z(n), соответственно. Следовательно, fA (ка) = к, /в(т0) = т. Тогда, очевидно, существуют целые числа t и s такие, что определяющих эпиморфизмов подпрямой суммы отображения: фл = tfA , фв = sfB. Тогда, множество пар (х, у) таких, что рА (х) = ц в (у), будет являться подпрямой суммой групп А и В с индуцирующей группой Z(n), содержащая пару (а,Ь), поскольку, из выше сказанного следует выполнение равенств: образом, искомая подпрямая сумма групп А и В существует. Пусть dk = dm= 1, покажем, что подпрямая сумма групп А и В индуцированная группой Z(n) единственная. Предположим, что существует еще одна подпрямая сумма G групп А и В с парой определяющих эпиморфизмов ф и ф в, содержащая в качестве своего элемента пару (а, Ь). Тогда, по определению подпрямой суммы двух групп, выполняются равенства: (рА(а) = щ(Ь) = т, ($ А(а) = q B(b) = к, для некоторых элементов тик

Простые специальные группы с неизоморфными индуцирующими группами

В четвертом параграфе изучаются простые специальные группы, имеющие различные, неизоморфные индуцирующие группы, а также решеточные свойства множества всех простых специальных групп. В теореме 1.4.1 и 1.4.2 формулируются необходимые и достаточные условия, при которых одна простая специальная группа является подгруппой другой простой специальной группы, причем их индуцирующие группы неизоморфны. В следствиях теоремы 1.4.2 доказывается, что множество всех простых специальных групп образует верхнюю полурешетку относительно включения, формулируется необходимое, но недостаточное, а в теореме 1.4.3 - достаточное, но не являющееся необходимым, условие, при котором семейство различных простых специальных групп образует решетку. Вводится понятие минимальной и максимальной простой специальной группы. В теоремах 1.4.4 -1.4.6 даются различные характеристики таких групп. ТЕОРЕМА 1.4.1. Пусть А и В - бесконечные циклические абелевы группы, G и G — простые специальные группы, индуцированные группами Z(n) и Z(n % соответственно, где п и п - целые положительные числа, отличные от единицы, и парами определяющих эпиморфизмов фл, р5 и р А, (р в, соответственно. Группа G является подгруппой группы Gr тогда и только тогда, когда для любых элементов а группы А, не принадлежащего подгруппе пА, и Ъ группы В, не принадлежащего подгруппе пВ, выполняется условие: если 4 л(а) = Рв(Ь), то у А(а) = у в(Ь). Доказательство. По определению подпрямой суммы двух бесконечных циклических абелевых групп, нетрудно видеть, что равносильны следующие условия: 1) группа G является подгруппой группы G ; 2) для любых элементов а группы А, не принадлежащего подгруппе пА, и Ь группы В, не принадлежащего подгруппе пВ, выполняется условие: если пара (а, Ь) принадлежит группе G, то пара (а, Ъ) принадлежит группе G ; 3) для любых элементов а группы А, не принадлежащего подгруппе пА, и Ъ группы В, не принадлежащего подгруппе пВ, выполняется условие: если фл(а) = Ув(Ь), то ф А(а) = р в(Ъ) ТЕОРЕМА 1.4.2. Пусть А = а и В = j3 - бесконечные циклические абелевы группы, G и Gm - простые специальные группы, индуцированные группами Z(ni) и 2(пщ), соответственно, где щ и пт — целые положительные числа, отличные от единицы. Группа G является подгруппой группы Gm тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: 1) число щ делится на число пт ; 2) числа кит сравнимы по модулю пт в кольце целых чисел Z. Доказательство. Пусть группа G является подгруппой группы Gm, тогда группа Gm одновременно содержит пары (а, к/3) и (а, тр}. Следовательно, по предложению 1.2.2, в кольце целых чисел Z выполняется сравнение: к = т (nmZ). С другой стороны, для любых элементов а группы А, не принадлежащего подгруппе щА, и Ъ группы В, не принадлежащего подгруппе щВ, выполняется условие: если пара (а, Ъ) принадлежит группе G , то пара (а, Ъ) принадлежит группе Gm. Следовательно, по теореме 1.2.9, для любых целых чисел t и s, взаимно простых с числом и , имеет место следующее условие: если в кольце целых чисел Z выполняется сравнение s = tk (nkZ), то числа t и s взаимно просты с числом пт и в кольце целых чисел Z выполняется сравнение Следовательно, число пк делится на число пт . Обратно. Пусть число пк делится на число пт, числа кит сравнимы по модулю пт в кольце целых чисел Z и пара (а, Ъ) является элементом группы Gk.

Тогда, если пара (а, Ъ) принадлежит группе пк А Ф пкВ, то, очевидно, пара (а, Ъ) также принадлежит группе птА птВ. Если пара (а, Ь) не принадлежит группе пкА пкВ, то, по теореме 1.2.4, существуют целые числа t и s, имеющие равные наибольшие общие делители с числом пк, такие, что в кольце целых чисел Z выполняется сравнение: Тогда и, следовательно, получаем, что пара (а, Ъ) принадлежит группе Gm. СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть А- а и В = /? - бесконечные циклические абелевы группы. Для любой простой специальной группы G существует собственная подгруппа G группы G, являющаяся простой специальной группой. Доказательство, очевидно, непосредственно следует из теоремы 1.4.2. СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть А = а и В = /3 - бесконечные циклические абелевы группы, G и G — простые специальные группы, индуцированные группами Z(n) и Z(n% соответственно, где п и п - целые положительные числа, отличные от единицы. Группа G является подгруппой группы G то гда и только тогда, когда прямая сумма GA Ф GB является подгруппой прямой суммы G AG B. Доказательство. Очевидно, что прямая сумма GA Ф Gg пЛ ф пВ является подгруппой прямой суммы G A Ф G B = п А Ф п В тогда и только тогда, когда число п делится на число п , а это равносильно условию, что группа G является подгруппой группы G . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пару целых положительных чисел (п, т), для которых выполняется условие: 1 т п , будем называть инвариантом простой специальной группы G, если она индуцирована группой Z(n), а склеивающий автоморфизм х группы G определяется условием: г(1) = т. СЛЕДСТВИЕ 3. Пусть А и В — бесконечные циклические абелевы группы. Простые специальные группы G и G равны тогда и только тогда, когда их инварианты совпадают. Доказательство непосредственно следует из теоремы 1.4.2. СЛЕДСТВИЕ 4. Пусть А и В - бесконечные циклические абелевы группы, G, G\, Gi — простые специальные группы с инвариантами (п, к), (щ, к\), (пъ к , соответственно. Группа G является пересечением групп G\ и Gi тогда и только тогда, когда число п является наименьшим общим кратным чисел щ и «2, а число к удовлетворяет системе сравнений : в кольце целых чисел Z. Доказательство, очевидно, следует из теоремы 1.4.2. СЛЕДСТВИЕ 5. Пусть АиВ - бесконечные циклические абелевы группы, G, Gh G2 - простые специальные группы с инвариантами (п, к), (щ, кх), (пъ к , соответственно. Группа G является наименьшей простой специальной группой, содержащей группы G\ и G2 в качестве подгрупп тогда и только тогда, когда: 1) число п является общим делителем чисел щ и п2 ; 2) числа к\ и А:2 сравнимы по модулю п в кольце целых чисел Z. Доказательство, очевидно, следует из теоремы 1.4.2. Замечание. Нетрудно видеть, что для данных подпрямых сумм G\ и G2 групп А и В , подпрямая сумма G групп А и В, содержащая группы G\ и G2 в качестве подгрупп, всегда существует. В крайнем случае, число п, удовлетворяющее условиям 1) и 2) следствия 5 теоремы 1.4.2, равно единице. В этом случае, G = А Ф В. Следовательно, множество всех подпрямых сумм циклических абелевых групп А и В образует верхнюю полурешетку по включению. СЛЕДСТВИЕ 6. Пусть А и В - бесконечные циклические абелевы группы. G = {G, } - семейство различных простых специальных групп, где для каждого номера і инвариантом группы G, является пара целых чисел (пь kj). Если для различных номеров і и j числа kt и kj равны, а числа л, и и,- различны, то множество G образует решетку по включению. Доказательство. Пусть для различных номеров / и j числа kt и kj равны, а числа и, и tij различны. В этом случае, по теореме 1.4.2, группа Gt содержится в группе Gj тогда и только тогда, когда число и7 делится на число ПІ. Отсюда, очевидно, следует, что множество G образует решетку по включению. ТЕОРЕМА 1.4.3. Пусть А и В — бесконечные циклические абелевы группы. Если семейство различных простых специальных групп G = {G,}, где для каждого номера і инвариантом группы G, является пара целых чисел (щ kj), образует решетку по включению, то числа и, и и, различны для различных номеров / и ). Доказательство. Необходимость. Пусть семейство различных подпрямых сумм G={G,} групп А и В, где для каждого номера і инвариантом группы G, является пара целых чисел (п{, к{), образует решетку по включению, и пусть для различных номеров / и j числа п{ и rij равны и

Подгруппы специальной группы ир-специальные группы

Второй параграф посвящен изучению некоторых подгрупп специальных групп. Пусть А и В - делимые рациональные группы, G - специальная группа с определяющим элементом (а, /3). Тогда для любого простого числа р, через О3 будем обозначать подмножество группы G, состоящее из всех пар вида т т (—-а, —(3), где і = 0, 1, 2, ... ; т, т — целые числа, взаимно простые с чис Р Р лом р . Заметим, что, по аналогии с определением группы Gn, также произведение ги содержится в О3 для любого целого числа г и любого элемента и є (Т. ЛЕММА 1. Множество О3 образует подгруппу группы G. Доказательство. Данное утверждение следует из очевидной замкнутости множества (Т относительно операции сложения. ЛЕММА 2. G jCZ О3, для любого натурального числа j. Доказательство непосредственно следует из определения множества О . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть р - простое число. Абелеву группу без кручения второго ранга G, будем называть р-специальной, если 1) группа G является подпрямой суммой рациональных групп, изоморфных рациональной группе QP; 2) группа обладает образующим элементом. ПРЕДЛОЖЕНИЕ П.2.1. Пусть А и В - делимые рациональные группы, G - специальная группа Тогда, для любого простого числа р, выполняются условия: 1) подгруппа G? группы G является р-специальной подгруппой; 2) группа О3 может быть получена как объединение бесконечной возрастающей цепи своих подгрупп где я/ - естественное вложение G , -» G і (i j), образует прямой спектр, причем Доказательство.

Пусть р — простое число. Рассмотрим множество О3. По определению, G с А В , покажем, что множество (? образует под-прямую сумму групп A = (fa и В = gp, индуцированную группой QP/Z, с парой образующих элементов а и В, причем группа О3 является подгруппой группы G. Сначала докажем, что множество (f замкнуто относительно операции сложения и, следовательно, образует подгруппу прямой суммы А ф В . Действительно, рассмотрим два произвольных элемента группы Gp : причем, і j. Поскольку число р1 является делителем числа /У, то, по определению группы G j, элементы uj и U2, а также их сумма, принадлежат группе G ,, а, следовательно, множеству (У. Таким образом, доказано, что (У - группа. Далее, пусть элемент — а принадлежит группе А тогда числа тир вза имно просты, и, следовательно, существует число т \ взаимно простое с числом р такое, что элемент М/ = (—а, —г р) принадлежит группе G , — подгруппе группы Gp, причем, по предложению П. 1.5, ни для какого числа т ", не сравни мого с числом т по модулю/? в кольце целых чисел, элемент v = (— а, —-р) принадлежит группе G ,, а, следовательно, и группе О3. Таким образом, проекция %А СУ — А является эпиморфизмом, аналогично, получаем, что проекция Пв : (У - В также является эпиморфизмом. Следовательно, группа Gp есть подпрямая сумма групп А и В , индуцированной, как следует из приведенных выше рассуждений, группой QP/Z. Условие 2) непосредственно следует из определения группы О3, а также из определения групп G , для каждого целого положительного числа /. Условие 3) предложения непосредственно следует из определения прямого спектра. ПРЕДЛОЖЕНИЕ П.2.2. Пусть А иВ- делимые рациональные группы, G - специальная группа Тогда для любого элемента v группы G, не принадлежащего группе GA GB , существуют и причем единственные, с точностью до нумерации, простые числа/?/, р2, ..., рг такие, что Доказательство. Пусть n - целое положительное число, отличное от единицы, такое, что п =р/pj ...р\г, где числа pi, р2, ... , рг - различные простые, и пусть элемент v = (— а, —в), где числа кит- целые, взаимно про стые с числом п, принадлежит подпрямой сумме G групп А и В, индуцированной группой Q/Z. Тогда, очевидно, пара (—а, — В) может быть представлена в виде: s и t- целые числа, а к и т - наименьшие целые положительные числа такие. что к сравнимо с к, а т сравнимо с т по модулю nZ в кольце целых чисел Z к т По теореме ИЛ.5, пары (—а, —в) и (sa, ф) принадлежат группе G, причем к т нетрудно заметить, что пара (— а, — Д) может быть представлена в виде: где Что и требовалось доказать. ЛЕММА. Пусть А и В - делимые рациональные группы, G - специальная группа. Тогда для любого целого положительного числа к и любых целых взаимно простых чисел ph р2,..., рь выполняется условие: если сумма Ш], т2, .... Шк — целые числа, причем, для каждого номера / = 1, принадлежит группе G. Доказательство проведем методом математической индукции по числу к. Пусть к = 2, то есть сумма пар V" Лі принадлежит группе G. Следовательно, если одна из пар (—a, —ft) или Pi Pi (—2- а, — Р) принадлежит группе G, то, очевидно, и другая пара также принад-Рг лежит группе G. Поэтому, предположим, что никакая из пар (—а, —в) и (— а, —— Д) не принадлежит подпрямой сумме G групп А и В, индуцированной Р2 Р2 группой Q/Z. Но тогда, по определению подпрямой суммы групп, существуют целые числа у), у 2 такие, что 1 \у)\ ри 1 \у 2\ р2 и такие, что пары принадлежит группе G. Тогда, по теоремам II. 1.7 и 1.2.5, числа у}р2 + y2pi и у іР2 + У2Р1 сравнимы по модулю рір2 в кольце целых чисел Z, следовательно, в кольце целых чисел Z имеет место сравнение: Но, поскольку, для чисел уі, у], у2, у2 выполняется условие:

Прямые слагаемые и прямые разложения специальной группы

В третьем параграфе изучаются подгруппы подпрямой суммы делимых рациональных групп А и В, индуцированной группой Q/Z, формулируется необходимое и достаточное условие разложимости такой подпрямой суммы в прямую сумму своих подгрупп, а также рассматриваются условия при которых одна специальная группа является подгруппой другой специальной группы. Предложение П.3.1. Пусть Аи В - делимые рациональные группы, G - специальная группа. Тогда для любых различных целых положительных чи сел р и q, отличных от единицы, ранги групп G р и G q равны. Доказательство. Если предположить, что группа G совпадает с группой Q(a, Р), то, очевидно, что для любого целого положительного числа р, отличного от единицы группа G р является группой первого ранга. Далее полагаем, что группа G не совпадает с группой Q(a, fi), Без нарушения общности доказательства предположим, что числа р и q являются про-стыми, и допустим, что ранги групп G р и G q различны, то есть, например, группа Gp — первого ранга, а группа G q - второго ранга. Тогда для некоторого целого числа т, отличного от единицы и взаимно простого с числом q, пары принадлежат группе G, и, следовательно, пары (а, т/3), (a, (m+q)/3) также являются элементами группы G. С другой стороны, в группе G содержится пара (— a, —f$) и, следовательно, пара (ос, J3), а также пара (та, т/1). Таким образом, Р Р группе G принадлежат пары : и, следовательно, пара Тогда и сумма принадлежит группе G, так как, очевидно, числа/? и pq+І взаимно просты и число pq+І отлично от единицы. Значит, пары (а, Д) и (a, (pq+l)/$) одновременно принадлежат группе G р, А, поскольку, как легко видеть, эти пары являются линейно независимыми элементами, то ранг группы G р не может быть равен единице. Следовательно, поскольку ранг группы G равен двум, то и ранги групп G рМ G q равны и равны двум, что и требовалось доказать. Редложение П.3.2. Пусть А и В - делимые рациональные группы, G - специальная группа, Н— собственная подгруппа группы G. Группа //изоморфна группе Q тогда и только тогда, когда Н = Q(a,P). Доказательство. Рассмотрим пересечение группы Н с группой GA@GB = оо@ Р . Поскольку, группа Н является группой первого ранга, то HC\(GA@GB) является циклической группой, то есть существуют целые числа к и т такие, что Поскольку, по условию, группа Н является делимой, то, как нетрудно YYI К, видеть, пары (а, —j3) и (—а, Р)принадлежат группе Н, а, значит, и группе G, к т что, по определению группы G, возможно, если только выполняется равенство: к = ± т. Следовательно, Н = Q(a, ±Р). Предложение доказано. Предложение И.3.3. Пусть А и В - делимые рациональные группы, G - специальная группа. Тогда для любого простого числа р группа G не является р-делимой. Доказательство. Проведем методом от противного, предположим, что для некоторого простого числа р данная подпрямая сумма G является р делимой. Тогда, для любых целых чисел тип, пары (— а, —В) и (—а, —В) являются элементами группы G, поскольку, по определению подпрямой суммы, пары (а, тВ) и (a, nfi) принадлежат прямой сумме GA Ф GB ядер группы G. Откуда, по теореме 1.3.2, следует, что группа G совпадает с прямой суммой А В, получено противоречие. Таким образом, группа G не является р-делимой.

Что и требовалось доказать. ТЕОРЕМА П.3.4. Пусть А и В - делимые рациональные группы, G - специальная группа. Группа G разложима тогда и только тогда, когда она содержит в качестве собственной подгруппы делимую рациональную группу, причем в этом случае группа G представима в виде прямой суммы делимой рациональной и циклической групп. Доказательство. Докажем сначала достаточность данного условия. Пусть подпрямая сумма G групп А и В, с парой образующих элементов (а, Р), индуцированная группой Q/Z, содержит в качестве собственной подгруппы группу Q(a, /3). Следовательно, группа Q(a, Р), как делимая подгруппа группы G, выделяется прямым слагаемым. Далее, пусть пара (— а, — Д), где п - целое положительное число, отлич п п ное от единицы, к и т — целые числа, взаимно простые с числом п, является элементом группы G Поскольку, группа Q(a, р) является подгруппой группы G, то, по теореме II. 1.5, числа кит сравнимы по модулю п в кольце целых чисел Z. Следовательно, существует целое число t С другой стороны, Таким образом, G Q(a,P)@Z(0,P), G с Q(a, P) 0 Z(a, 0). Обратные включения очевидны. Следовательно, Достаточность доказана, докажем необходимость. Пусть группа Q(a, Р) не является подгруппой группы G, но группа G разложима в прямую сумму своих подгрупп: G = U V. Тогда, для любого простого числа р, каждая подгруппа GP группы G, во-первых, разложима в прямую сумму: С = 0 а, во-вторых, группа f(a, Р) не является ее подгруппой. Далее, поскольку, Z(a, р) с С?, то возможны два случая; либо группа Z(a, Р) является подгруппой одного прямого слагаемого группы (У, например, Z(a, р) a. If, причем, очевидно, Z(a, р) Ф V\ либо группы Z(a, 0) и Z(0, Р) являются подгруппами различных прямых слагаемых группы Cf, например, Z(a, 0) cz If, a Z(0, P)c:lf. Следовательно, так как группы If и V — это группы без кручения первого ранга, то в первом случае имеем, что группа СТ содержит подгруппу ff(cz, Р), что противоречит условию теоремы; а во втором случае имеем, что GP з Q а Ф Q P, что противоречит определению группы О3, таким образом, наше предположение о разложимости группы (У, а, значит, и группы G неверно. Следовательно, группа G не разложима. Теорема доказана. ТЕОРЕМА П.3.5. Пусть А и В - делимые рациональные группы, GHG -специальные группы с различными образующими элементами. Тогда 1) группа G является собственной подгруппой группы G тогда и только тогда, когда существует целое число т, отличное от единицы, такое, что G = т G; 2) для любого целого числа т, существует специальная группа G , где такая, что группа G является подгруппой группы G ; G групп А и В, индуцированной группой Q/Z, с парой образующих элементов (у, 5). Поскольку, по условию теоремы, элемент у принадлежит группе А, а элемент 8 принадлежит группе В, то существуют целые взаимно простые числа т и п, и взаимно простые числа т и ri, причем числа п и « положительные, такие, что Так как группа G является подпрямой суммой групп А и В, индуцированной группой Q/Z, с парой образующих элементов (а, Р), то для любого целого числа

Похожие диссертации на Подпрямые суммы абелевых групп без кручения первого ранга

Абелевы группы без кручения малых псевдо-рациональных ранговЦарев Андрей Валерьевич

К теории извлечения корней в некоторых классах групп без крученияАсасян, Армен Рафикович

Радикалы колец эндоморфизмов некоторых классов абелевых групп без крученияБуданов, Александр Викторович

-вполне транзитивные абелевы группы без крученияРогозинский, Михаил Иванович

Многообразия и классы кручения m-групп Исаева Ольга Владимировна