Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Многообразия m-групп 13
1. Классы кручения т-групп 13
2. Базис тождеств произведения многообразий т-групп 20
ГЛАВА 2. Накрытия в решетке многообразий т-групп 23
ГЛАВА 3. Накрытия в решетке квазимногообразий -групп 36
Литература 47
- Классы кручения т-групп
- Базис тождеств произведения многообразий т-групп
- Накрытия в решетке многообразий т-групп
- Накрытия в решетке квазимногообразий -групп
Введение к работе
Решеточно упорядоченная группа (1-группа) - это алгебраическая система сигнатуры I = .,_1,e,V,A , совмещающая в себе структуру группы и решетки, связанные естественными соотношениями
х(и V v)y = хиу V xvy, х(и Л v)y = хиу Л xvy.
В настоящее время интенсивно развивается теория многообразий и квазимногообразий -групп, которая берет свое начало с работ Г. Биркгофа [1], [2] и А.И. Мальцева [3] по теории алгебраических систем. Теория многообразий и квазимногообразий -групп достаточно полно отражена в монографической литературе (см. М. Дарнел [4], А. Гласе, Ч. Холланд [5], А. Гласе [6], В.М. Копытов [7], В.М. Копытов, Н.Я. Медведев [8]).
Сравнительно недавно М. Жираде и И. Рахунек [9] ввели в рассмотрение новый класс алгебраических систем, тесно связанный с классом решеточно упорядоченных групп. Эти алгебраические системы называются m-группами. Более точно, m-группой называется алгебраическая система G сигнатуры т = {•, е,-1, Л, V, } такая, что (G; •, е,-1, V, Л) является решеточно упорядоченной группой, а унарная операция является реверсивным автоморфизмом второго порядка -группы G = (G; -,е,-1, V,A), т.е. является автоморфизмом группы (G;-,e,_1) и антиавтоморфизмом решетки (G;V,A). Если х -элемент m-группы G = (G\ •, е,-1, V, Л, ), то аг обозначает результат применения унарной операции к элементу х [10].
В работах М. Жираде и И. Рахунека [9], В.М. Копытова и И. Рахунека [10], [11] построена теория многообразий т-групп, установлена связь этой теории с теорией многообразий решеточно упорядоченных групп. Интерес к исследованию т-групп объясняется тем, что само понятие т-группы появилось в результате формальной характеризации групп монотонных преобразований линейно упорядоченных множеств усилиями многих математиков: П. Лоренцена [12], [13], А. Клиффорда [14], П.Г. Конторовича и А.И. Кокорина [15], В.В. Блудова и А.И. Коко-рина [16], М.Жираде и Ф. Люка [17].
Одним из основных методов исследования решеточно упорядоченных групп и m-групп является теория групп автоморфизмов линейно упорядоченных множеств, которая была создана, в основном, работами американских ученых Ч. Холланда в [18], [19], [20], А. Гласса в [21], [22], С. Макклири в [23], [24].
Напомним ряд определений и вспомогательных результатов необходимых в дальнейшем.
Как обычно, \х\ = xVa;"1, [х,у] = x ly lxy, N, Z - множества натуральных и целых чисел, х у означает, что \х\ \у\п для любых х, у и для любого п Є N. Символ обозначает конец доказательства.
Подгруппа Н частично упорядоченной группы G называется выпуклой, если для любых элементов x,y,z Є G таких, что x,z Є Н и х у z, следует, что у Є Н.
Подгруппа Н решеточно упорядоченной группы G называется (.-подгруппой, если Н замкнута относительно групповых опер-ций -,"1 и решеточных операций V, Л.
Подгруппа Н произвольной m-группы G называется т-подгруппой, если Н является -подгруппой m-группы G и Н замкнута относительно унарной операции , определенной на m-группе G. Выпуклая нормальная т-подгруппа m-группы G называется т-идеалом m-группы G.
Тождеством сигнатуры т называется формула узкого исчисления предикатов, имеющая вид
(Vzi)... (Vz„)(A(xi, ...хп) = е),
где A(xi,.. .хп) - некоторый терм сигнатуры т.
Класс m-групп X называется многообразием m-групп, если существует множество Е тождеств сигнатуры m такое, что X состоит из всех m-групп, на которых истинны все тождества из
Е.
В основе теории многообразий лежит следующая теорема, доказанная для многообразий алгебр Г. Биркгофом [25] в 1935г.
Теорема 1. (Г. Биркгоф) Для того, чтобы непустой класс т-групп X был многообразием, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) декартово произведение т-групп из X принадлежит X;
2) всякая т-подгруппа т-группы из X принадлежит X;
3) гомоморфный образ т-группы из X принадлежит X. Квазитождеством сигнатуры называется формула Ф узкого исчисления предикатов, имеющая вид
(Vsi)... (Va?„)(i4i = Bi&... kAk = Bk Ak+1 = Bk+1),
где Ai = Ai(xi,...xn), B{ = Bi(xi,.. .xn) - некоторые термы сигнатуры І для і Є {1,2,... , k + 1}.
Класс -групп X называется квазимногообразием -групп, если существует множество Е квазитождеств сигнатуры I такое, что X состоит из всех -групп, на которых истинны все квазитождества из Е.
Основной для теории квазимногообразий -групп является следующая теорема (см., например, [25]):
Теорема 2. (А.И. Мальцев) Для того, чтобы непустой класс (.-групп X был квазимногообразием, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) фильтрованное произведение l-групп из X принадлежит
X;
2) всякая 1-подгруппа l-группы из X принадлежит X. Хорошо известно, что множество Л всех квазимногообразий
-групп является решеткой относительно естественных решеточных операций объединения и пересечения [25]. Поскольку любое многообразие является квазимногообразием [25], то множество всех квазимногообразий -групп Л содержит множество всех многообразий -групп L. Более того, решетка L всех многообразий -группа является собственной подрешеткой решетки Л всех квазимногообразий -групп [8].
Говорят, что квазимногообразие -групп (многообразие т-групп) У накрывает квазимногообразие -групп (многообразие m-групп) X в решетке квазимногообразий 7-групп Л (многообразий m-групп Lm), если У D X и из того, что У Э Z D X следует У = Z или Z = X.
Среди всех многообразий -групп выделим следующие:
(1) Л - многообразие всех абелевых -групп. Е. Вейнбергом [27], Ю.С. Гуревичем и А.И. Кокориным [28], Н.Г. Хисамиевым [29] показано, что Л является наименьшим нетривиальным элементом в решетках L и Л.
(2) Aft - многообразие всех --групп с субнормальными скачками. Это многообразие определяется следующим тождеством
(я V е) 1(у V е) 1(х V е)2(у V е)2 Л е = е.
Описание этого класса -групп в терминах тождеств дано С. Вольфенштейном в [30]. Ч. Холландом в [31] доказано, что многообразие Afe является наибольшим собственным подмногообразием -групп в решетке многообразий всех трупп L.
(3) Wa - многообразие всех жестких -групп, т.е. -групп, в которых выполнено тождество
х 1\у\х\у\ 2 У е = е.
Среди всех многообразий m-групп выделим многообразия, задаваемые тождествами только лишь сигнатуры решеточно упорядоченных групп. Разумеется, такими многобразиями не исчерпываются все многобразия га-групп. Например, многообразие m-групп Z, порожденное бесконечной циклической группой Z, с естественным линейным порядком и унарной операцией „, определенной по правилу: re = ж-1, является наименьшим собственным многообразием m-групп и не совпадает с многообразием всех абелевых m-групп. Тем не менее, очень многие многообразия m-групп, играющие важную роль в теории многообразий га-групп задаются с помощь тождеств сигнатуры решеточно упорядоченных групп і = .,_1,е, V,A . В частности,
большую роль в теории многообразий m-групп играет многообразие ттг-групп с субнормальными скачками J\fm. Это многообразие задается в классе всех m-групп (как и в классе всех -групп) тождеством
(х V е) 1(у V е) 1{х V е)2{у V е)2 Л е = е
сигнатуры и состоит из таких m-групп, которые являются -группами с субнормальными скачками. В.М. Копытов и И. Ра-хунек [10] показали, что многобразие Afm всех m-групп с субнормальными скачками является наибольшим собственным многообразием в решетке всех многообразий m-групп.
Класс m-групп Т называется классом кручения [7], [8], если он обладает следующими свойствами:
1) замкнут относительно взятия выпуклых т-подгрупп;
2) замкнут относительно взятия m-гомоморфных образов;
3) замкнут относительно взятия объединения выпуклых т-подгрупп из Т.
Пусть X и У - произвольные многообразия m-групп. По определению m-группа G принадлежит произведению многообразий m-групп X - У, если в G существует m-идеал М Є X такой, что G/M 6 У.
Диссертация посвящена изучению свойств многообразий m-групп, изучению строения решеток многообразий m-групп и квазимногообразий решеточно упорядоченных групп.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНЕСЕННЫЕ НА ЗАЩИТУ:
- доказано, что любое многообразие m-групп является классом кручения (теорема 1.8);
- найден базис тождеств для произведения многообразий т-групп (теорема 1.9);
- доказано, что произведения IX и АщХ любого конечноба-зируемого многообразия m-групп X и многообразий абелевых
m-групп X и Лт являются конечнобазируемыми многообразиями (следствия 1.10 и 1.11);
- построено счетное множество накрытий многообразия всех абелевых m-групп Лт в решетке многообразий m-групп Lm (теорема 2.6 );
- построено счетное множество накрытий многообразия абелевых -групп в решетке квазимногообразий -групп Л (теорема 3.6, следствия 3.7 и 3.8).
Диссертация состоит из трех глав, связанных между собой единой методикой и техникой исследования.
Целью главы 1 диссертации является доказательство того, что произвольное многообразие m-групп является классом кручения и изучение базисов тождеств произведений многообразий m-групп. М. Жираде, И. Рахунек ([9], вопрос 3.2) поставили вопрос о том, является ли произвольное многообразие 777-групп классом кручения. В §1 данной главы приводится доказательство того, что произвольное многообразие m-групп является классом кручения (теорема 1.8), что дает положительный ответ на поставленный вопрос. В §2 главы 1 найден базис тождеств произведения произвольных многообразий m-групп (теорема 1.9). Доказано, что если X - конечнобазируемое многообразие m-групп, то многообразия ЛтХ и XX также конечноба-зируемые (следствие 1.10, следствие 1.11), где Лт - многообразие всех абелевых m-групп, а многообразие m-групп X порождается линейно упорядоченной группой целых чисел с естественным порядком и унарной операцией , определенной по правилу # = х 1.
Результаты главы 1 получены автором лично и опубликованы в [43], [44].
Во второй главе изучаются накрытия многообразия абелевых m-групп Лщ в решетке многообразий m-групп Lm. Исследования строения решетки многообразий m-групп проводились М. Жираде и И. Рахунеком [9], В.М. Копытовым и И.
Рахунеком [10], [11]. В работе [10] показано, что многообразие М. всех га-групп накрывает многообразие т-групп с субнормальными скачками Мт в решетке Lm. В работе [9] показано, что многообразие абелевых т-групп Am не является наименьшим нетривиальным многообразием в решетке многообразий т-групп Ьш и найден наименьший нетривиальный элемент в решетке Lm - многообразие т-групп X. В этой же работе М. Жираде и И. Рахунек показали, что многообразие абелевых т-групп Ащ накрывает многообразие т-групп X в решетке многообразий т-групп Lm. В главе 2 диссертации построена счетная серия накрытий многообразия абелевых т-групп Ащ в решетке многообразий т-групп Lm (теорема 2.6). Все эти накрытия определяются следующим образом. Пусть р - простое число, Sp = 9Р a,Q,a\,... ,ар_і,Ь [а а,-] = е, b laib = cij,i + 1 = j(mod р) - группа, порожденная элементами ао °ь • • • %-ь Ь и х = bna0°ai ... apv { е в Sp, тогда и только тогда, когда п О или п = 0 и ко 0, &i 0,... , kp-i 0. Хорошо известно, что группа 5Р, относительно этого порядка, является -группой [7]. Следуя [9] на -группе Sp, где р 3 определим унарную операцию по следующему правилу: 6 = б-1, (ао) = о-п1, {щ) = а р г
для всех г ф 0, где число р — і - остаток от деления числа р — г на число р. Для р = 2 определим унарную операцию на I-группе 5г по правилу: 6 = б"1, (ао) = аї"1» (аі) = ао • Тогда Sp является m-группой. Через Sp обозначим т-многообразие, порожденное т-группой Sp. Во второй главе доказано (теорема 2.6), что многообразие га-групп Sp накрывает многообразие абелевых га-групп Ащ в решетке многообразий га-групп Lm для любого простого числа р.
Результаты главы 2 получены автором лично и опубликованы в [45], [46].
Целью главы 3 является построение накрытий многообразия абелевых -групп А в решетке квазимногообразий -групп Л. Из описания известных накрытий многообразия абелевых
-групп Л в решетке многообразий -групп L, полученного Е. Скримджером [32], Н.Я. Медведевым [33], В.М. Копытовым [34], Д. Бергманом [35], следует, что каждое из этих многообразий -групп X порождается одной неабелевой -группой G%, т.е. X = variGx- Если Gx не является нильпотентной -группой, то любая неабелева -группа из X = var Gx содержит в качестве -подгруппы -группу Gx, и поэтому квазимногообразие -групп qiGx, порожденное -группой Gx, накрывает Л в решетке квазимногообразий трупп Л. В главе 3 построено счетное множество различных квазимногообразий -групп, накрывающих Л в решетке квазимногообразий -групп Л и отличных от перечисленных выше (теорема 3.6, следствия 3.7 и 3.8). Все построенные накрытия Л порождаются двуступенно разрешимыми линейно упорядоченными -группами, содержатся в многообразии жестко упорядоченных -групп Wa и не содержат нильпотентных -групп. Все эти накрытия определяются следующим образом. Пусть G = (а)г(Ь) - прямое сплетение двух бесконечных циклических групп (а) и (Ь). Известно, что нижний центральный ряд
G = yiG 72G ...7iG ...
группы G имеет единичное пересечение и фактор-группы
jk+iGJ jk+2G = ([а, Ь,... , Ц7к+2@) бесконечные циклические
к группы, порожденные элементом [а, 6,... , bJjk+2G для любого
fc Є N [37] (здесь ъ+iG = [lkG, G]).
Для любой бесконечной последовательности є = (є0,єі,... ,єп,...), где є0 = +1, ЄІ = ±1 (і Є N), определим линейный порядок
Q(e) = Q(SQ,єі,... ,єп,єп+і,...)
на группе G следующими соотношениями:
6 ає° [а, Ь]Є1 » [а, Ь, Ь]Єз » ...» [а, &11 JJ P » ... є.
к
Через є(п) = (єо, Є\,... , єп-і) обозначим бесконечную последовательность є со свойствами: 1) єо = +1; 2) ЄІ = є$, если і = j (mod n) (n,i,j Є N). Всюду в дальнейшем группу G, линейно упорядоченную относительно линейного порядка Q(er(n)), будем обозначать через (G, Q(e(n))) и последовательность є(п) будем называть периодической. В главе 3 доказано (теорема 3.6 и следствие 3.7), что для любой периодической последовательности є(п) (п Є N) квазимногообразие -групп
qt{G,Q(eQ,ei,... ,єп-і)),
порожденное линейно упорядоченной группой
(G,Q(eo,ei,... ,єп-і))
накрывает многообразие абелевых -групп Л в решетке квазимногообразий -групп Л и найдены условия при которых определенные выше накрытия многообразия Л в решетке квазимногообразий -групп Л различны (теорема 3.9).
Результаты данной главы получены совместно с Н.Я. Медведевым и опубликованы в [48], [49], [50], [51], а также совместно с Е.А. Исаковой и опубликованы в [47]. Некоторые результаты главы 3 (следствие 3.7) вошли в монографию В.М. Копытова, Н.Я. Медведева ([8], глава 14).
Методы, используемые автором для доказательства результатов, опираются на абстрактную теорию групп, универсальную алгебру и теорию решеточно упорядоченных групп.
Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях решеток многообразий m-групп и квазимногообразий -групп, а также при чтении спецкурсов.
Результаты диссертации докладывались на семинарах "Теория групп" и "Алгебра и логика" Института математики СО РАН, на 5-ой Сибирской школе по многообразиям алгебраических систем (Барнаул, 1988 г.), международной конференции
"Упорядоченные алгебраические системы" (Гейнесвил, США, 1991 г.), Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ - 1998" (Новосибирск, 1998 г.), Международной конференции "Мальцевские чтения - 2001" (Новосибирск, 2001 г.), Международной летней школе "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры " (Эрлагол, 2003 г.), Международной конференции "Мальцевские чтения - 2003" (Новосибирск, 2003 г.).
Диссертация содержит 51 страницу, состоит из введения, трех глав и библиографии. Библиография включает 51 наименование.
В диссертации используется терминология и обозначения, принятые в теории групп (см. книгу М.И. Каргаполова, Ю.И. Мерзлякова [37]), теории алгебраических систем (см. книгу А.И. Мальцева [25]) и теории решеточно упорядоченных групп (см. книги В.М. Копытова [7], В.М. Копытова и Н.Я. Медведева [8]).
В заключении отметим, что при ссылках на утверждения используется двойная нумерация. Например, ссылка на лемму 3 главы 1 имеет вид 1.3.
Классы кручения т-групп
Класс т-групп Т называется классом кручения, если он обладает следующими свойствами: 1) замкнут относительно взятия выпуклых т-подгрупп; 2) замкнут относительно взятия гомоморфных образов; 3) замкнут относительно взятия объединения выпуклых т-подгрупп из Т. Класс m-групп Т называется радикальным классом, если он обладает свойствами 1) и 3) из определения класса кручения. Напомним, что для любого неединичного элемента g некоторой -групп G существует непустое множество {V ( 7) а Є 1} выпуклых -подгрупп -группы G, не содержащих g и максимальных с этим свойством. Тогда выпуклая -подгруппа Va(g), порожденная Va(g) и g такова, что между Va(g) и Va(g) нет выпуклых -подгрупп -группы G. Пара выпуклых -подгрупп Va(g) - Va(g) называется скачком в решетке L(G) выпуклых -подгрупп -группы G, определенным элементом д. Скачек Va(g) - Va{g) будем называть субнормальным, если Va(g) является идеалом в Va(g). Группу G, в которой для любого неединичного элемента д любой скачок Va(g) - Va(g) выпуклых -подгрупп -группы G, определенный элементом д, является субнормальным будем называть і-группой с субнормальными скачками. Через ЛҐт обозначим многообразие m-групп с субнормальными скачками, определяемое тождеством Многообразие Мт состоит из всех таких -групп G, у которых все скачки системы выпуклых -подгрупп субнормальны и, следовательно, факторы этих скачков являются архимедовыми линейно упорядоченными группами. Как показали В. М. Копытов и И. Рахунек [10], многообразие Mm обладает следующим свойством. большим собственным многообразием в решетке многообразий т-групп. Заметим, что если G является m-группой, то она является также и -группой. Пусть Н - произвольная -группа. Определим на Н обратный порядок д : для любых элементов а,Ь Є Н полагаем a Rb тогда и только тогда, когда Ь а в -группе Н. Пусть HR =
Для многообразия -групп V через Vn обозначим многообразие, состоящее из всех -групп HR, для которых Н принадлежит V. Многообразие -групп V называется реверсивным, если V = Vя [26]. Хорошо известно, что Mi является реверсивным [26]. Следующие утверждения хорошо известны и мы приводим их для полноты изложения. Предложение 1.2. [9] Если X реверсивное многообразие і-групп, тогда многообразие т-групп Хт, определяемое i-групповыми тождествами, которые определяют многообразие і-групп X, является классом кручения. следствие 1.3. [9] Многообразие т-групп Мт является классом кручения. Через X [9] обозначим многообразие m-групп, определяемое тождеством # = х 1 (в работе [9] унарная операция обозначена как Inv) . предложение 1.4. [38] Пусть G - і-группа с субнормальными скачками, пороэюденная конечным числом элементов #1, , дп, и в G имеется идеал N ф Е, содержащийся в любом другом і-идеале G. Тогда выпуклая і-подгруппа в G, пороэюденная одним из элементов gk, 1 к п, совпадает с G. Пусть G — (G; , е,-1, V, Л, ) - m-группа, / - произвольный элемент из G и Я = {t Є G (/ V / )"n t (/ V / )n, п Є N}. Предложение 1.5. Подмножество Н является выпуклой т-подгруппой G, порожденной элементом /. Доказательство. Хорошо известно, что для произвольного элемента / Є G выполняется равенство / = / -1. Поэтому (I/I VIM)"1. Пусть теперь (/МЛ)-" х (ШМГ (п Є N). Так как - антиавтоморфизм второго порядка, то (1/1 V Л)П х, (/ V Л)"П. Это означает, что подмножество Н устойчиво относительно унарной операции . Стандартные рассуждения показывают, что Н замкнуто относительно операций V, Л, -,-1. По определению Н является выпуклым подмножеством и, следовательно, Н - выпуклая m-подгруппа т-группы G. Пусть L - произвольное подмножество m-группы G, L -подмножество {х х Є L}. Предложение 1.6. Пусть G - т-группа и N - наименьший неединичный т-идеал G. Предполооюим, что существует і-идеал L в G, такой, что ECLCNuL N, L ф Е. Тогда N = LxL . Доказательство. Стандартная проверка показывает, что L является -идеалом группы G. Тогда очевидно, что L f] L является m-идеалом. Так как Lf]L CLCNnN- наименьший т-идеал, то L f]L = Е. Пусть L\/L - объединение -идеалов в решетке выпуклых -подгрупп -группы G. Легко убедиться, что L Y L является m-идеалом в т-группе G. Следовательно, т-идеал N разлагается в прямое произведение -идеалов L и L , т.е. N = Lx L . Заметим, что в этом случае L является минимальным
Базис тождеств произведения многообразий т-групп
Пусть X и 3 - произвольные многообразия m-групп. По определению т-группа G принадлежит произведению многообразий т-групп X У, если в m-группе G существует m-идеал М Є X такой, что G/M Є У. В данном параграфе определим базис тождеств произведения Х-У произвольных многообразий т-групп X и У через базисы тождеств X и У. Пусть {vi(x,x ) = є \і Є 1} - базис тождеств m-многообразия X и {uj(y,y+) = e I j Є J} - базис тождеств m-многообразия У, где I,J- некоторые произвольные множества индексов, У = (Уь-.. іУр), У = ((ї/і) ... , (% ) )і Р Є N. Произвольная m-группа С? принадлежит X - У тогда и только тогда, когда фактор-группа G/M У и М Є X. Поэтому значение Vi(g,gt) слова Vi(x,x ) принадлежит М для любого і Є I и для любых #1 = #ъ ,xa = 7а. Ясно, что это будет справедливо тогда и только тогда, когда Uj{h\,... , hp, (Ді) ,..., (hp) ) — є для любого j Є J и для любых элементов h\,.... , hp из m-группы H(i,д), где Н(г,д) - выпуклая m-подгруппа группы G, порожденная всеми значениями Vi(g,g ) слова Vi(x,x ) для любых значений #1,... ,х3,і Є /. Произвольный элемент h из H(i,g) можно записать в виде h = {fA{\vi{g,g )\ v Ыд,дМ)п) v Ыд,д )\ v кЄ,2 ) ІГп для некоторых n Є N, / Є G. Пусть ( = (ft Л (KG/, 7 ) V N( , ) )nt)v(K&, ) v\vi(g,g U)-nt, t Є {1,2,...,p}. Поэтому равенство Uj{h\,... , hp, (/її) ,..., {hp) ) — e перепишется в виде или rAe = (/ A(t;i( f JVt;j&, ir)V(t;i&, )Vt; & ) )-n и = (ЛЛ Ыд,д )\ V Іг; , ) !) ) V (№(&&)! V Мо.).) . A; = max{ni, П2, ..., np}, Є {1, 2,... ,p} для любых выбранных индексов і G / и j 6 J и целых положительных к. Тем самым доказана теорема. Теорема 1.9. Пусть многообразия т-групп Л! и У определяются соответственно системами тождеств {VJ(X, х ) = е \г Є 1} и {uj(y,y ) = е j Є J}. Тогда произведение X У определяется системой тождеств 2 ewt = (ztA(vi(p,pOVvi(p,yO l) )v(lvi&. )Vh( , ) )"fc, длл любых выбранных индексов ilujJu целых положительных к и t Є {1,2,... ,р}. Следствие 1.10 Пусть многообразие т-групп X определяется тождеством v(x,x ) = е. Тогда тождество [?/ Л (\v(x,x )\ V v(z,x«) ), z Л (\v(x,x )\ V v(z, ж )»)] = є Доказательство. Непосредственная проверка показывает, что это тождество истинно в любой группе из Am X. Обратно, пусть G - произвольная т-группа, в которой выполнено тождество [у Л (і;(ж,ж ) V г;(ж,ж ) ), \z\ Л (г (х,я )1 V и(ж,ж ) )] = X и У через базисы тождеств X и У. Пусть {vi(x,x ) = є \і Є 1} - базис тождеств m-многообразия X и {uj(y,y+) = e I j Є J} - базис тождеств m-многообразия У, где I,J- некоторые произвольные множества индексов, У = (Уь-.. іУр), У = ((ї/і) ... , (% ) )і Р Є N. Произвольная m-группа
С принадлежит X - У тогда и только тогда, когда фактор-группа G/M У и М Є X. Поэтому значение Vi(g,gt) слова Vi(x,x ) принадлежит М для любого і Є I и для любых #1 = #ъ ,xa = 7а. Ясно, что это будет справедливо тогда и только тогда, когда Uj{h\,... , hp, (Ді) ,..., (hp) ) — є для любого j Є J и для любых элементов h\,.... , hp из m-группы H(i,д), где Н(г,д) - выпуклая m-подгруппа группы G, порожденная всеми значениями Vi(g,g ) слова Vi(x,x ) для любых значений #1,... ,х3,і Є /. Произвольный элемент h из H(i,g) можно записать в виде h = {fA{\vi{g,g )\ v Ыд,дМ)п) v Ыд,д )\ v кЄ,2 ) ІГп для некоторых n Є N, / Є G. Пусть ( = (ft Л (KG/, 7 ) V N( , ) )nt)v(K&, ) v\vi(g,g U)-nt, t Є {1,2,...,p}. Поэтому равенство Uj{h\,... , hp, (/її) ,..., {hp) ) — e перепишется в виде или rAe = (/ A(t;i( f JVt;j&, ir)V(t;i&, )Vt; & ) )-n и = (ЛЛ Ыд,д )\ V Іг; , ) !) ) V (№(&&)! V Мо.).) . A; = max{ni, П2, ..., np}, Є {1, 2,... ,p} для любых выбранных индексов і G / и j 6 J и целых положительных к. Тем самым доказана теорема. Теорема 1.9. Пусть многообразия т-групп Л! и У определяются соответственно системами тождеств {VJ(X, х ) = е \г Є 1} и {uj(y,y ) = е j Є J}. Тогда произведение X У определяется системой тождеств 2 ewt = (ztA(vi(p,pOVvi(p,yO l) )v(lvi&. )Vh( , ) )"fc, длл любых выбранных индексов ilujJu целых положительных к и t Є {1,2,... ,р}. Следствие 1.10 Пусть многообразие т-групп X определяется тождеством v(x,x ) = е. Тогда тождество [?/ Л (\v(x,x )\ V v(z,x«) ), z Л (\v(x,x )\ V v(z, ж )»)] = є Доказательство. Непосредственная проверка показывает, что это тождество истинно в любой группе из Am X. Обратно, пусть G - произвольная т-группа, в которой выполнено тождество [у Л (і;(ж,ж ) V г;(ж,ж ) ), \z\ Л (г (х,я )1 V и(ж,ж ) )] = е. Пусть у(д,д+) - значение слова v(x,x ) в G при х1 = 9\i-"ix8 — 9s- Тогда все элементы множества B = {beG\e b \v(g,g )\ V \v(g,gj \} коммутируют друг с другом. Пусть е h \v(g,g) )\ V \v(g,gt) \, тогда по теореме Рисса h = h\h,2.. .hn, где для любого h е Ы \у(д,д +)\\/\у(д,д+) \. Из этого следует, что выпуклая -подгруппа G, порожденная г;( , ) V (#, # ) является абелевой и поэтому содержится в абелевом m-радикале A{G). Следовательно, G/A(G) Є X и G Є Am X. П Следствие 1.11. Пусть многообразие т-групп X определяется тождеством v(x,x ) = е. Тогда тождесе. Пусть у(д,д+) - значение слова v(x,x ) в G при х1 = 9\i-"ix8 — 9s- Тогда все элементы множества B = {beG\e b \v(g,g )\ V \v(g,gj \} коммутируют друг с другом. Пусть е h \v(g,g) )\ V \v(g,gt) \, тогда по теореме Рисса h = h\h,2.. .hn, где для любого h е Ы \у(д,д +)\\/\у(д,д+) \. Из этого следует, что выпуклая -подгруппа G, порожденная г;( , ) V (#, # ) является абелевой и поэтому содержится в абелевом m-радикале A{G). Следовательно, G/A(G) Є X и G Є Am X. П Следствие 1.11. Пусть многообразие т-групп X определяется тождеством v(x,x ) = е. Тогда тождество
Накрытия в решетке многообразий т-групп
Исследования накрытий многообразий решеточно упорядоченных групп в решетке L имеют давнюю историю и отражены в литературе (см. соответствующие главы в [4], [6], [7], [8]). В главе 2 диссертации исследуются накрытия многообразия абеле-вых т-групп Ащ в решетке многообразий т-групп Lm. Построено счетное множество накрытий многообразия Лщ в решетке многообразий т-групп Lm (теорема 2.6). Результаты главы 2 получены автором лично и опубликованы в работах [45], [46]. Через Лщ будем обозначать многообразие абелевых т-групп, т.е. многообразие определяемое тождеством [х, у] = е. В [9] доказано, что данное многообразие порождается группой Z х Z , где Z - линейно упорядоченная относительно естественного порядка группа целых чисел, причем пара (а,Ь) 0 тогда и только тогда, когда а 0 и Ь 0 в линейно упорядоченной группе Z; линейно упорядоченная группа Z получается из группы Z обращением порядка, т.е. а 0 в группе Z тогда и только тогда, когда а 0 в группе Z ; а - унарная операция, определенная на -группе Z х Z по правилу: (а, &) = (6, а) для произвольного элемента (а, Ъ) Є Z х Z ; бинарная операция на -группе Z х Z определена по правилу: (аі,&і) ( 2)) = ( 1 + 2 1 + М- В отличии от решетки многообразий -групп, многообразие абелевых т-групп Лщ не является наименьшим нетривиальным многообразием в решетке многообразий т-групп Lm. В работе [9] показано, что многообразие Т, порожденное m-группой Z, является наименьшим нетривиальным многообразием в решетке многообразий т-групп Lm, где унарная операция определена на линейно упорядоченной группе Z по правилу: z = z для любого z Є Z. Говорят, что многообразие m-групп У накрывает многообразие т-групп X, если X С У и для любого многообразия т-групп такого, что XCZCy следует, что X = Z или J = Z. Пусть Ga - произвольные m-группы, где а принадлежит некоторому множеству индексов J. Тогда декартово произведение Yi Ga этих m-групп является 771-группой, при этом выпол aeJ нено: где D(a) = da Є Ga для любого элемента D Є П а т-е. -D(a) есть значение элемента D на а Є J. Пусть С? - произвольная -группа и - реверсивный автоморфизм второго порядка на G, тогда для любого z Є G выполняется следующее равенство \z\ = z -1 [40]. Из этого факта непосредственно следует справедливость следующего утверждения. Через Ср будем обозначать многообразие -групп, определяемое тождеством [хр, ур] = е. Пусть р - простое число и Р = {0,1,2,... ,р — 1}. Для любой -группы G и любых элементов х,у Є G положим [32]: Заметим, что аДя, у) є в G для любых элементов х,у Є G и любого индекса і Є Р. Для этого достаточно показать, что di(x,y) Сі{х,у).
Действительно, di(x,y) di(x,y) Adj(x,y) для любого j Є P и j ф і. Поэтому Тогда справедливы следующие утверждения. Лемма 2.2. [32] В любой (.-группе G Є Ср справедливы следующие равенства: Лемма 2.3. [32] Пусть G Є Р\Л. Тогда существуют элементы х,у Є G такие, что аг-(#,?/) е, для всех і Є Р. Пусть G-произвольная m-группаи Н-ее -подгруппа. Тогда Н называется m-подгруппой т-группы G если для произвольного элемента х Є Н следует, что х% Є Н. Таким образом га-подгруппа Н является га-группой относительно индуцированных операций -,-1, V, Л, данной га-группы G. По теореме 1.8 любое многообразие га-групп является радикальным классом (см. также [44]), поэтому в любой га-группе G есть наибольшая выпуклая абелева га-подгруппа, которая называется абелевым радикалом га-группы G и обозначается A(G). Пусть G и Н - произвольные га-группы и г - гомоморфизм -группы G в -группу Н такой, что для всех х,у Є G выполняются следующие равенства: Тогда т называется га-гомоморфизмом (гомоморфизмом га-групп) G в Н. Пусть р - простое число, Sp = др ао,а\,... ,ap-i,b \ [аг-,а -] = е, b laib = a,j,i + 1 = j(mod р) - группа, порожденная элементами ао, аі,... , ар_і, b. Считаем, что х = bnaQa± ... a Z\ е в Sp, тогда и только тогда, когда п 0 или п = 0 и ко 0, &i 0,... , fcp_i 0. Непосредственная проверка показывает, что группа Sp, относительно этого порядка, является -группой и Sp Є Ср [7]. Следующие утверждения (по-видимому) хорошо известны. Мы приводим их с доказательствами для полноты изложения. Лемма 2.4. Решеточно упорядоченная группа Sp является конечно определенной l-группой для любого простого числа р.
Накрытия в решетке квазимногообразий -групп
В данной главе изучаются накрытия многообразия абелевых -групп Л в решетке квазимногообразий -групп Л. Из описания известных накрытий многообразия абелевых I-групп Л в решетке многообразий трупп L, полученного Е. Скримджером [32], Н.Я. Медведевым [33], В.М. Копытовым [34], Д. Бергманом [35], следует, что каждое из этих многообразий I-групп X порождается одной неабелевой -группой Gx, т.е. X = vare(Gx)- Отметим, что в решетке квазимногообразий нильпотентных -групп существует единственное накрытие [36]. Если Gx не является нильпотентной -группой, то любая неабелева -группа из X = vart(Gx) содержит в качестве -подгруппы I-группу Gx, и поэтому квазимногообразие -групп Qe(Gx), порожденное -группой Gx, накрывает Л в решетке квазимногообразий -групп Л. Основным результатом данной главы является построение счетного бесконечного множества различных двуступенно разрешимых квазимногообразий -групп, накрывающих Л в решетке квазимногообразий -групп Л. Все по-строеные накрытия Л порождаются двуступенно разрешимыми линейно упорядоченными -группами, содержатся в многообразии жестко упорядоченных -групп Wa и не содержат нильпотентных -групп. Первый пример такого квазимногообразия -групп X был приведен в работе [47] (результат получен совместно с Е.А. Исаковой). Позднее, в 1992 году в совместной работе с Н.Я. Медведевым [48] было найдено бесконечное множество квазимногообразий -групп, которые накрывают многообразие абелевых -групп Л в решетке квазимногообразий -групп Л. В 2000 году в совместной работе с Н.Я. Медведевым [51] были найдены новые накрытия многообразия абелевых -групп А в решетке квазимногообразий -групп Л. Все найденные накрытия порождаются двуступенно разрешимой линейно упорядоченной группой, содержатся в многообразии жестко упорядоченных I-групп и не содержат нильпотентных -групп. В данной главе приводится описание накрытий, полученных в работах [47], [48], [51]. Некоторые результаты этой главы (следствие 3.7) опубликованы в монографии [8]. Результаты главы 3 получены автором совместно с Е.А. Исаковой (опубликованы в [47]) и Н.Я. Медведевым (опубликованы в [48], [49], [51]). Пусть G — (а)г(Ь) - прямое сплетение двух бесконечных циклических групп (а) и (6). Известно, что нижний центральный ряд группы G имеет единичное пересечение и фактор-группы ryk+iG/,jk+2G — ([а, 6,... ,6J7fcH-2 ) - бесконечные циклические к группы, порожденные элементом [a, b,... fbJjk+2G для любого
Для любой бесконечной последовательности є = (є0,еі,... ,єп,...)і гДе о = +1» i = ±1 (« Є N), определим линейный порядок на группе G следующими соотношениями: 6»ао » [a,b]l где а $ Ь означает, что положительные элементы а и Ъ архимедова неэквивалентны, т.е. а Ьп для любого п Є N. Через є(п) = (єо, Єї,... , єп-\) обозначим бесконечную последовательность є со свойствами: 1) є о = +1; 2) є І = j, если і = j (mod n) (n,i,j Є N). Такую последовательность будем называть периодической. Всюду в дальнейшем группу G, линейно упорядоченную относительно линейного порядка Q(e), будем обозначать через (G,Q(e)). В данной главе доказано, что для любой периодической последовательности є(п) квазимногообразие qt(G, Q(e(n))), порожденное линейно упорядоченной группой (G, Q(e(n))), накрывает многообразие абелевых -групп Л в решетке квазимногообразий Е-груип Л (теорема 3.6). Найдены необходимые и достаточные условия, при которых эти накрытия различны (теорема 3.9). Замечание. Ограничение єо = +1, для последовательностей на самом деле не существенно, так как линейно упорядоченные группы (G, Q(e)) и (G, Q(—є)) порядково изоморфны при изоморфизме, продолжающем отображения а —У а 1 и Ъ —У b ([8], с. 363). Здесь -є = (-єо, -сі, , -єп,...). Предложение 3.1. Для двух бесконечных последовательностей є и є таких, что Q — є 0 = 1, линейно упорядоченные группы (G,Q(e)) и (G,Q(e )) порядково изоморфны тогда и только тогда, когда последовательности є и є совпадают. Доказательство. Пусть последовательности є = (ео, і,... , еп, ) и е = (є 0, є[,... , є т,...) совпадают, т.е. о = STQ, "І = є[,Є2 — єГ2» Тогда, согласно определению порядка на группе G, линейно упорядоченная группа (G, Q{e)) порядково изоморфна линейно упорядоченной группе (G, Q(e )). Предположим, что линейно упорядоченные группы (G, Q(e)) и (G, Q(e )) порядково изоморфны относительно порядкового изоморфизма (р. Тогда порождающие элементы группы (G, Q(s)) при изоморфизме (р переходят в порождающие эле менты группы (С?, Q(;)) и с учетом порядков на группах (G,Q(e)) и (G,Q(e )) имеем р(Ъ) = bf2 е, tp(a) = /і є в (G,Q{e )), где /і = а6 , /2 Є fun((b), (а)). Поскольку [а, o]l е в линейно упорядоченной группе (G, Q(s)), то у ([а, о]Єі) = [ab ,Ь/г]Єі = [а, 6]і з е Для некоторого элемента з Є 7з - Так как в линейно упорядоченной группе (G, Q(e)) выполняется неравенство \[а,Ь]\ з, то [а,Ь]Єіірз е в (G, Q(e )) тогДа и только тогда, когда [а, Ь]Єі е в (G, Q(e ))-Но это возможно лишь в случае когда є\ — e v Аналогично [а,Ь,6]2 е в (G,Q(e)) и ([аДо] 2) є в (, 2(є )), но у?([а, 6, о]2) = [а, Ь, Ь]Є2(р4, где (р± Є 74 2 и [а, Ь, Ь]2 е в (G, Q(e )). А это возможно тогда и только тогда, когда є2 = є г-Продолжая этот процесс получаем, что последовательности є = (его, ei,... , єПі...) и є = (бг о, єі,... , 4i» ) совпадают. П группе Через М = {(G,Qn)i,(G,Qnh,--- ,{G Qn)m} обозначим множество всех порядково неизоморфных линейно упорядоченных групп вида где 0 n — 1 и 1 m п. Пусть V = {G,Q{e{n)))JjF - произвольная ультрастепень линейно упорядоченной группы (G, Q(s(n)))J, где Т - некоторый ультрафильтр над множеством индексов «7. Лемма 3.4. Пусть xJ7, уТ - неединичные элементы линейно упорядоченной группы V. Если [х,у]Т ф е, то подгруппа Н = (1( ,2/)1 ,(1 1 V Ы).?7), порожденная элементами Wx yWF и {\х\ V І2/) ", порядково изоморфна одной из линейно
