Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Известные результаты, определения, вспомогательные предложения 11
Глава 2. Мр-группы с ручками порядка, отличного от трех 17
2.1. Мр-группа, примеры, основные результаты 17
2.2. Подгруппы второго рода и типа 20
2.3. Выбор более удобного контрпримера 34
2.4. Строение подгрупп типа Ьд — (а, а9), д Є G\H 39
2.5. Завершение доказательства результатов главы 2 45
Глава 3. Группы Фробениуса с неинвариантным множителем 51/2(3) 49
3.1. Основная теорема и предварительные леммы 49
3.2. Строение множества ПЯ ядер групп Фробениуса вида Lg = {а,а9} 56
3.3. Завершение доказательства результатов главы 3 64
Список литературы 70
- Мр-группа, примеры, основные результаты
- Выбор более удобного контрпримера
- Строение подгрупп типа Ьд — (а, а9), д Є G\H
- Строение множества ПЯ ядер групп Фробениуса вида Lg = {а,а9}
Введение к работе
Актуальность темы. Изучение бесконечных групп с разного рода условиями конечности началось еще в 30-х—40-х годах прошлого века в школе О.Ю. Шмидта. Это было связано с попытками обобщить некоторые результаты по конечным группам на бесконечные группы. Результаты по этому направлению можно также найти в работах С.Н. Черникова J28, 29], М.И. Каргаполова [12, 13], В.П. Шупкова [31, 32] и др.
Диссертационная работа также относится к этому разделу теории групп. В ней получены признаки непростоты некоторых бесконечных групп с условиями конечности и охарактеризованы Мр-группы. Признаки непростоты находят применение во многих областях теории групп. Одним из основных признаков неиростоты является теорема Фробениуса. В 1901 году Г. Фробениус доказал, что в конечной группе (7, обладающей парой Фробениуса (G,H), совокупность элементов, не содержащихся ни в if, ни в одной сопряженной с Н подгруппе, вместе с единицей составляют нормальный делитель F группы G [40]. Теорема Фробениуса в полном объеме переносится па класс локально конечных групп [3, 4]. Также она справедлива и в классе (периодических) бинарно конечных групп, т.е. групп, в которых любая пара элементов порождает конечную подгруппу [20]. Однако теорема Фробениуса неверна в общем случае, более того, она неверна в классе периодических групп. В связи с этим фактом В.П. Шунковым определение пары Фробениуса было распространено на бесконечные группы. Напомним, что (С?, Н) называется парой Фробениуса, если Н П На = 1 для любого элемента geG\H.
В.П. Шунковым был введен следующий аналог определения группы Фробениуса для бесконечных групп.
Определение. Группа вида G — F X Н называется группой Фробениуса [33], если выполняются следующие условия:
1) Нз П Я = 1,д Є G \ Я;
2)G\F = \JgGW\{l}.
Идея рассматривать произвольные, не обязательно конечные группы Фробениуса Lg = {а,д~1ад) с циклическим неинвариантным множителем (а) принадлежит В.П. Шуикову [20]. Признаки непростоты групп с произвольными подгруппами Фробениуса Lg позволяют делать более сильные заключения о строении групп с дополнительными условиями конечности. В диссертационной работе методика исследования групп также основана на изучении бесконечного множества подгрупп Фробениуса. В исследованиях бесконечных групп с различными условиями конечности потребовались более сильные признаки пепростоты, чем теорема Фробениуса. Как правило, в них утверждается существование в G нормальной подгруппы — ядра некоторой группы Фробениуса. Подобные теоремы в школе В.П. Шункова принято называть признаками непростоты и они близки но содержанию к теореме Фробениуса. В значительной мере их появление было продиктовано потребностями развиваемой В.П. Шунковым и его учениками "положительной теории периодических групп". Получение признаков пепростоты и исследования групп Фробениуса проводились А.И. Созутовым и В.П. Шунковым [19, 21, 22, 23, 24, 31, 33, 3G].
Мр-группы с ручками порядка, отличного от двух, в группе без инволюций изучались в работах В.П. Шункова [34, 35, 36]. Мр-группы с ручками порядка 2 изучал В.О. Гомер [б]. В диссертации получен признак непростоты бесконечной группы. Из него как следствие получена характеризация М^-групп с ручками порядка, отличного от трех.
Напомним определение Мр-группы.
Группа G называется Мр-группой, если для ее бесконечной нормальной полной абелевой /мюдгруппы В с условием минимальности и элемента а порядка р выполняются следующие условия: а) локально конечные р-подгруппы из Сс{а)В/В конечны; б) если некоторая полная абелева р-подгруппа С группы Gсодержится в множестве U eG{a, aff), то С < В.
Подгруппы В, (а) называются соответственно ядром и ручкой Мр-группы G.
Определение Мр-группы было введено В.П. Шунковым в конг;е 1983 года [34]. К классу М/Ггрупп относятся, например, черииковские группы, обладающие бесконечной р-подгрупной и почти регулярным элементом порядка р. Голоморфное расширение таких групп с помощью всякой группы внешних автоморфизмов является Мр-гру иной. Можно указать пример Мр-группы, у которой в некотором сечении элемент ручки и с ним сопряженный порождают бесконечную периодическую группу. Ядро Мр-группы нс обязано совпадать с максимальной полной абелевой р-подгруппой [34]. В работах В.П. Шункова можно найти более специальные примеры [34, 36].
Цель работы. Охарактеризовать Мр-группы ср-конечными ручками порядка, отличного от трех. Получить признак пепростоты бесконечной группы, содержащей бесконечную систему подгрупп Фробениуса вида Ьд = {а, а9) с неинвариантным множителем 51/2(3).
Методика исследования. Применяются теоретико-групповые методы исследования, в том числе разработанные научным руководителем автора В.П. Шунковым.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории групп и при чтении специальных курсов лекций по алгебре.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Конференции молодых ученых (ИВМ СО РАН в г. Красноярске, 2002, 2003, 2004 гг.), на Международном семинаре по теории групп, посвященном 70-летию А.И. Старостина и 80-летию Н.Ф. Сесекина (УрГУ в г. Екатеринбурге, 2001 г.), на Международной конференции "Мальцсвские чтения"(НГУ в г. Новосибирске, 2002, 2003 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42]-[52], [54]-[55].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы (55 названий), занимает 75 страниц текста. Нумерация теорем, лемм, следствий и примеров в диссертации двойная: первое число — номер главы, второе номер теоремы, леммы, следствия или примера.
Содержание работы. К основным результатам диссертации относятся теоремы 2.1, 3.1 и следствия 2.1, 2.2, 3.1, 3.2.
Остановимся более подробно на содержании диссертации,
В первой главе приведены некоторые известные результаты и определения специальных терминов, использующихся в диссертации. Доказывается ряд вспомогательных утверждений.
Во второй главе вводится понятие Мр-груипы, приводятся некоторые примеры Мр-групп и доказывается признак попростоты бесконечной группы (теорема 2.1) из которого, как следствие, получается характеризация Мр-груин с ручкой порядка, отличного от трех.
Теорема 2.1. Пусть G — группа, В — её бесконечная р-подгруппа (р — простое число, отличное от трех), удовлетворяющие условиям:
Н = Nc{B) является Мр-группой с ядром В и р-копечпой ручкой (а); для произвольного элемента g Є G\ R# подгруппы вида (а, а9) конечны и разрешимы; S) \Сс{а) ' В П Сс{а)\ < со и Н П Cq{o) содержит все р'-элементы конечного порядка из Сд{а);
4) если Q — конечная {а)-инвариантная q-подгруппа из Н с условиемQ Г) Cg{o) ф 1, то Ng{Q) < Я (q — простое число, отличное от р);
5) в G все конечные (а)-инвариантные р'-подгруппы разрешимы. Тогда B В 2.2 приводятся некоторые свойства тройки-контрпримера (G, В, а), используемые при дальнейшем доказательстве. Вводятся и рассматриваются группы, свойства которых используются при дальнейшем доказательстве теоремы 2.1 — подгруппы второго рода и тина (*). Подгруппы второго рода — это такие конечные нетривиальные (а)-инвариантные подгруппы из В, нормализатор которых не содержится в Я. Подгруппы типа (*) — конечные нетривиальные {а)-инвариантныс р-подгруппы X из Н, для которых Na{X) ft Я. Изучается строение этих групп и расположение в ранее введенных группах. Доказано, что подгруппа Н — Ng{B) обладает подгруппами второго рода. Данный факт используется в дальнейшем при выборе контрпримера. В 2.3 проводится выбор более удобного контрпримера для утверждения теоремы 2.1 следующим образом. Строится и изучается строго возрастающая цепочка подгрупп второго рода из нижнего слоя группы В Y 1\ < ±2 5; 5Ї Тп < ..., здесь Тт = NG(Ym-i). Далее доказывается, что если существует подгруппа Р типа (*), лежащая в централизаторе подгруппы Y\ из нижнего слоя группы Я, то ядро В Мр-группы содержится в централизаторе подгруппы Р. Пользуясь данным фактом и уже доказанными свойствами подгрупп типа (*), проводится выбор максимальной подгруппы группы G с наименьшим рангом ядра Я, являющейся контрпримером к условиям теоремы 2.1. В 2.4 устанавливается строение и изучаются свойства двунорождснных подгрупп Lg — (а,а9), д 6 G \ Н. Полученные спойства существенно используются при дальнейшем доказательстве теоремы 2.1. Доказательство теоремы 2.1 завершается в 2.5. Из теоремы 2.1 вытекают следующие следствия. Следствие 2.1. Пусть G — группа, В — её бесконечная р-подгруппа (р — простое число, отличное от трех), удовлетворяющие условиям теоремы 2.1. Тогда G является Мр-группой. Следствие 2.2. Пусть G — группа, В — бесконечная р-подгруппа (р — простое число, отличное огп трех), а — элемент порядка р группы G, V — подгруппа из ВГ\Сс{о) конечного индекса в ВГ\Са(а), для тройки(G, No(B),a) выполняются условия 2)-5) теоремы 2.1 и Н — Nq{B) является Мр-группой с ядром В и ручкой (а). Тогда Ng(V) < Н. В третьей главе получен признак непростоты бесконечной группы: Теорема 3.1. Пусть G — группа, Н — ее собственная подгруппа, а — элемент порядка 3 из G, Q — группа кватернионов из G, такая чтоQ X (a) = SL2(3), и выполняются условия: нормализатор любой конечной нетривиальной (а)-инвариантной подгруппы из Н содержится о Н; почти для всех (то есть кроме, быть может, конечного числа) элементов вида g~lag (g Є G \ Н) подгруппы Lg = (а, g~lag) являются группами Фробениуса с иеинвариантным мпоэюителем (а) или с негтвариантным множителем Q X (а). Тогда имеет место одно из следующих утверэюдений: I. Элемент а содержится в конечной нормальной в G подгруппе; II. G ~ F X (QNG((a))) и F X (Q X (а)) — группа Фробениуса с абелевым ядром F и негтвариантным мпоэюителем Q X (а). Наиболее близкий результат к данной теореме принадлежит В.П. Шункову: Теорема. Пусть G — -группа, H — ее собственная подгруппа, а — элемент простого порядка рф 2 из G такие, что: *) почти для всех (то есть кроме, быть может, конечного числа) элементов вида g~lag, (g Є G\H), подгруппы Lg — (a^g^ag) являются группами Фробепиуса с неинвариантным множителєлі (а). Тогда либо G — F X Nq((o)) и F X (а) — группа Фробепиуса с ядром F и неинвариантпым мноэюителем {а), либо элемент а лежит в конечном нормальном делителе группы G. Отметим, что группа Фробепиуса вида F X (Q X (а)) удовлетворяют всем условиям теоремы 3.1, но для нее не выполняются условия теоремы В.П. Шункова. Теорема 3.1 доказывается на протяжении главы 3 диссертационной работы. В 3.1 изучаются группы Фробениуса вида Lg = (а, а9) с неинвариантпым множителем 5/^(3), доказываются некоторые их свойства, используемые при дальнейшем доказательстве теоремы 3.1. Изучается строение вспомогательных множеств: множества 33, состоящего из всех элементов, сопряженных с элементом а и множества ЙЯ, состоящего из элементов, содержащихся в ядрах груші Фробепиуса Lg = (а, а3). В 3.2 изучается строение множества f), которое является пересечением подгруппы Н и объединения ядер двупорожденных групп Фробениуса с неинвариантным множителем (s), s Є Ш \ Н. Доказано, что если В — нормальная в G подгруппа, порожденная множеством 93, то либо выполняется утверждение I) теоремы 3.1, то есть В — конечная подгруппа, содержащая элемент а, либо множество Ш бесконечно и в этом случае группа G является произведением подгрупп В и R = Ng({o)). Доказательство теоремы 3.1 завершается в 3.3. Из теоремы 3.1 вытекают 2 следствия. Следствие 3.1. Пусть G = F X (Q X (а)), а — элемент порядка 3 такие, что почти для каждого элемента g из G подгруппы L = (а, а?) — группы Фробепиуса с псипвариантным множителем либо (а), либо Q X (a) (Q — группа кватернионов). Пусть Сс(а) = (а) х (і), \г\ = 2. Тогда: любая фактор-группа G/N, отличная от подгруппы (aN) и подгруппы QN X {aN)7 — группа Фробепиуса с неинвариаптным множителем либо (aN), либо QN X (aN); любая нециклическая подгруппа из G, содержащая элемент а, отличная от подгруппы Q\(a) и подгруппы (а) х (г), является группой Фробепиуса с пеинвариаитпым мнооїсителелі либо (а), либо Q X (а). Следствие 3.2. Пусть G — группа, Н ~ ее собственная подгруппа, а — элемент порядка 3 из G, содероісащийся в бесконечном классе сопряоїсеппьіх с ним элементов, Q — группа кватернионов из G, такая что Q\ (a) = S 1*2(3), удовлетворяющие условиям теоремы 3.1. Тогда G — F X (QNo((a))) и F X (Q X (а)) — группа Фробепиуса с абслевым ядром F и неинвариантпым множителем Q X (а). Следствие 3.2 является признаком ненростоты бесконечной группы, содержащей бесконечную систему подгрупп Фробепиуса с неинвариаптным множителем 5^г(3). Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Российского фонда фундаментальных исследований, грант 99-01-00432, грант 02-01-00078, а также грант № 9 шестого конкурса-экспертизы 1999 г. научных проектов молодых ученых. Особую благодарность автор выражает научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Владимиру Петровичу Шункову за постоянное внимание к работе. В параграфе вводится понятие Мр-группы и начинается доказательство основной теоремы второй главы. Определение. Группа G называется Мр-группогї, если для се бесконечной нормальной полной абелевой р-подгруппы В с условием минимальности и элемента а порядка р выполняются следующие условия: а) локально конечные р-подгруппы из CQ{O)B/B конечны; б) если некоторая полная абелева р-подгруппа С группы G содержится в множестве U eG{a,a9), то С В, Подгруппы В, (а) называются соответственно ядром и ручкой Мр-группы G. В Мр-группе G ручка (а) может быть одного из следующих типов: 1) в Сд(а) локально-конечные р-подгрунпы конечны; 2) в Са(а) локально-конечные р -подгруппы конечны; 3) в CG{O) локально-конечные подгруппы конечны; В соответствии с указанными разграничениями относительно ручек в Мр-группе G назовем ручку типа 1) р-конечной, типа 2) — р -конечной и типа 3) — конечной. Приведем примеры Мр-групп с конечными ручками. Пример 2.1. Всякая черниковская группа, обладающая бесконечной р-подгруппой и почти регулярным элементом порядка р, является Мр-груипой. Пример 2.2. Голоморфное расширение группы из примера 2.1 с помощью всякой группы внешних автоморфирмов. Пример 2.3. Всякое голоморфное расширение бесконечной черниковской р-группы с помощью группы внешних автоморфизмов является Мр-группой. Утверждение примера 2.1 очевидно, а утверждения примеров 2.2 и 2.3 вытекают из предложения 1. Пример 2.4. Если G — М -группа с конечной ручкой (а), то Сс{р) может обладать бесконечными р-подгруппами. Например, достаточно взять прямое произведение группы из примеров 2.1, 2.2 и свободной периодической группы Новикова-Адяна [1]. Пример 2.5. Можно указать пример Мр-группы G с ручкой (о), в которой для некоторого элемента t подгруппа {a,al)BjB — бесконечная периодическая группа. Например, пусть Р — р-груниа типа Р = ВХ(с), где В — полная аболева группа, \с\ = р, Ср(с) конечен, Т — свободная группа Но викова-Адяна периода р и Т = V X (s). Рассмотрим группу Н — Р X Т, а в ней подгруппу G (В X V) X (а), где a = cs. Очевидно, G — Мр-группа с ручкой (а) и ядром В. Используя свойства группы Новикова-Адяна [1], легко найти в V такой элемент t, что {а,о})В/В будет бесконечной периодической группой. Пример 2.6, Ядро Мр-группы не обязано совпадать с максимальной полной абелевой р-подгруппой группы. В самом деле, пусть G = Н х Т, где Н = Р X (с). Р — бесконечная полная абелсва р-группа, \с\ — р, С#(с) конечен, Т — свободное произведение квазициклической р-группы S и циклической группы (6) порядка р. Очевидно, G является Мр-группой с ядром Р и конечной ручкой {be), причем В вкладывается в максимальную полную абелеву р-подгруппу В х S ф В. Во второй главе диссертационной работы доказывается теорема 2.1. Теорема 2.1. Пусть G — группа, В — ее бесконечная р-подгруппа (р — простое число, отличное от трех), удовлетворяющие условиям: 1) H — NQ{B) является Мр-группой с ядром В и р-конечпой может быть одного из следующих типов: 1) в Сд(а) локально-конечные р-подгрунпы конечны; 2) в Са(а) локально-конечные р -подгруппы конечны; 3) в CG{O) локально-конечные подгруппы конечны; В соответствии с указанными разграничениями относительно ручек в Мр-группе G назовем ручку типа 1) р-конечной, типа 2) — р -конечной и типа 3) — конечной. Приведем примеры Мр-групп с конечными ручками. Пример 2.1. Всякая черниковская группа, обладающая бесконечной р-подгруппой и почти регулярным элементом порядка р, является Мр-груипой. Пример 2.2. Голоморфное расширение группы из примера 2.1 с помощью всякой группы внешних автоморфирмов. Пример 2.3. Всякое голоморфное расширение бесконечной черниковской р-группы с помощью группы внешних автоморфизмов является Мр-группой. Утверждение примера 2.1 очевидно, а утверждения примеров 2.2 и 2.3 вытекают из предложения 1. Пример 2.4. Если G — М -группа с конечной ручкой (а), то Сс{р) может обладать бесконечными р-подгруппами. Например, достаточно взять прямое произведение группы из примеров 2.1, 2.2 и свободной периодической группы Новикова-Адяна [1]. Пример 2.5. Можно указать пример Мр-группы G с ручкой (о), в которой для некоторого элемента t подгруппа {a,al)BjB — бесконечная периодическая группа. Например, пусть Р — р-груниа типа Р = ВХ(с), где В — полная аболева группа, \с\ = р, Ср(с) конечен, Т — свободная группа Но викова-Адяна периода р и Т = V X (s). Рассмотрим группу Н — Р X Т, а в ней подгруппу G (В X V) X (а), где a = cs. Очевидно, G — Мр-группа с ручкой (а) и ядром В. Используя свойства группы Новикова-Адяна [1], легко найти в V такой элемент t, что {а,о})В/В будет бесконечной периодической группой. Пример 2.6, Ядро Мр-группы не обязано совпадать с максимальной полной абелевой р-подгруппой группы. В самом деле, пусть G = Н х Т, где Н = Р X (с). Р — бесконечная полная абелсва р-группа, \с\ — р, С#(с) конечен, Т — свободное произведение квазициклической ручкой (а); 2) для произвольного элемента g G \ Н& подгруппы вида (а, а9} конечны и разрешимы; 3) \CG{O) Н C\CG[G)\ ОО и Н П Сс{а) codepotcum все р -элементы конечного порядка из Сс(а); 4) если Q — конечная {а)-инвариантная q-подгруппа из Н с условием Q П Сс{о) ф 1, то NG(Q) Н (q — простое число, отличное от р); 5) в G все конечные (а)-инвариантные р -подгруппы разрешимы. Тогда B«G. В параграфе проводится выбор более удобного контрпримера для утверждения теоремы 2.1 следующим образом. Строится и изучается строго возрастающая цепочка подгрупп второго рода из нижнего слоя группы В которой соответствует убывающая цепочка подгрупп її Т2 ... Тп ..., здесь Т„г — Л с( т-і)- Далее доказывается, что если существует подгруппа Р типа ( ), лежащая в централизаторе подгруппы Y\ из нижнего слоя группы В, то ядро В Мр-групиы содержится в централизаторе подгруппы Р. Пользуясь данным фактом и уже доказанными свойствами подгрупп типа ( ), проводится выбор максимальной подгруппы группы G с наименьшим рангом ядра В, являющейся контрпримером к условиям теоремы 2.1. Пусть У — подгруппа второго рода из нижнего слоя В, причем наибольшего порядка в множестве всех таких подгрупп. По лемме 2.7, У ф 1, а по лемме 2.1 (Ті/У,B/Y,aY) Є 3, где Тг = NG(Y). По лемме 2.7, в T\jY существует подгруппа Y\ второго рода. Если Y\ — полный прообраз Y\ в Ті, то Уі — подгруппа второго рода в Ті. Если Т2 - NTl(Yi), то (Г2/Уі,/Уі,аУі) Є S (лемма 2.1). Относительно этой тройки рассуждаем аналогично предыдущему. Повторяя эти рассуждения, построим строго возрастающую цепочку подгрупп второго рода Ей будет соответствовать убывающая цепочка подгрупп Ті Т2 -" Т„ ... такая, что некоторого номера п, подгруппа Yn р, где тпр — параметр, введенный в предложении 18, обладает элементами порядка р2. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что уже Yp обладает такими элементами. Пусть Е — Ста(Уі), V — {Е,а}. По предложению 12, V — Е\ (а). Лемма 2.8. Пусть Р — подгруппа типа ( ) и Р Е. Тогда В Су{Р). Доказательство. Так как У\ Су(Р) и УЇ обладает элементами порядкар2, то, ввиду предложения 20, Су{Р)Г\В — бесконечная группа. Отсюда, из леммы 2.1 и определения подгрупп типа ( ), вытекает утверждение леммы 2.8. Ввиду лемм 2.1, 2.7, 2.8 группа V обладает такой подгруппой К типа ( ) из Е, что УІ /Г, и если К\ — подгруппа типа ( ) из Е и К К\7 то Кі = (ВП Кг)К. Очевидно, (Су{Н) X (а), В, а) Є S, причем всякая подгруппа типа ( ) из Су{К), содержащая Z(K), является подгруппой группы BZ(K). Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что К — абелева группа. Положим: Vi = CV(K) X (a), Q = Н HVU Ei = ЕПУЪ Gi = Vi/K, Щ = Q/K, В = BK/K, A = Ei/K, ai = aK. Нам будет необходимо следующее Замечание. Если S — конечная {а{) -инвариантная р-подгруппа из Hi П Ei и NGl{S) ft Нь то S В. Доказательство этого утверждения вытекает из определения подгруппы К и леммы 2.8. Лемма 2.9. Тройка (Gi, ІЗ, аі) лсоїсигп в G, причем любая подгруппа типа ( ) из Ні Пї принадлежит В и С -, (OI) Hi. Доказательство. Если CQY{O \) #і, то, ввиду замечания и леммы 2.1, утверждение леммы 2.9 справедливо. Пусть, Со сч) ft Н\. Положим Xi — Са аі) П Яі, Zi — Q?,(ai). Очевидно, \Zi : Xi\ со, Lj = В П Zi ф 1 и \Zi : C ,(JJI) oo. Следовательно, по лемме Дицмана (предложение 14) замыкание S подгруппы L\ в Z\ конечно. Ввиду выбора подгруппы К и предложения 24 в полном прообразе подгруппы Op(S) в Vi любая его р -подгруппа централизует элемент а. Отсюда и из условия 4) теоремы 2.1 вытекает, что Nc1(Op(S)) Hi. Но Op(S) Zi и, значит, Zi Hi, вопреки предположению. Следовательно, Op(S) = 1 и S — конечная {аі)-иішариантная/міодгруіпіа из ї, причем Li S. Если Р = Hi П S ф S, то, ввиду нормализаторного условия в S ([14], теорема 16.2.2), NdiP) Hi и, согласно замечанию, Р В и Li = Р. Если же Р = 5, то по аналогичным соображениям L\ S и JVGl(Li) tfi. Обозначим G2 - NGl{Li), G2 = G2/Lh H2 = G2 П Яь Я2 = Я2/ь а2 = aiLi, Zi — С Даг), . = Я2 П 5. Очевидно, И2 Х2, \Z2 : Х2\ со, L2 = BjL\ П Z2, где Z-2 — полный прообраз L2 в Gi. Рассуждая относительно тройки (G2,H2,a2) и пары (X2,Z2) так же, как при рассмотрении тройки (Gi,Hi,ai) и нары (XiyZ\), докажем, что NQ LI) #2- Возвращаясь к полным прообразам в Gi, получим Сз = NGi{L2) it Hi. Повторяя эти рассуждения, построим строго возрастающую цепочку (аі)-иішариантпьіх конечных подгрупп группы В таких, что По предложению 13 полный прообраз подгруппы Zn в Gi содержится в BZi, а так как \Zi : Х\\ со, где Xi = CQ CLI) П ЯІ, ТО, не нарушая общности рассуждений, можно считать, что каждая подгруппа Gn, п = 1,2,..., содержит элемент hn = dnrnt, где t/„ Є 5, rn Є Xi = Gtf ai), і некоторый элемент, не зависящий от номера п, из Zi \ Х\, п = 1, 2,... . По определению подгруппы Ln имеем Так как (dn, Ln-\) В и В — абелева группа, то Если L — объединение цепочки (3), то из (4) и включений гп Є Н\, п = 1,2,..., вытекает, что L В1 Н\. Следовательно, в ВС\В1 содержится бесконечная (аі)-инвариантная подгруппа L. Отсюда, переходя к прообразам в группе V и используя лемму 2.1, легко показать, что В = В и і Є Ну — вопреки предположению. Полученное противоречие завершает доказательство леммы 2.9. В следующей лемме мы подведем итоги выбора более удобного контрпримера. Лемма 2.10. Если теорема 2.1 неверпа, то существует такая группа G, обладающая бесконечной полной абелевой р-подгруппой В и элементом а порядка р, что имеют место следующие утверждения: 3) если R — конечная {а)-инвариантная подгруппа второго рода и R T, где Т — конечная подгруппа из G и T/R — р -группа, mo R Z{T); 4) если U — конечная подгруппа из D, то пересечение CG(U) П В В параграфе устанавливается строение и изучаются свойства двупорожденных подгрупп Ьд = (а, а9}, д Є G\H. Полученные свойства существенно используются при дальнейшем доказательстве теоремы 2.1. По условию 2) теоремы 2.1 подгруппы Lg конечны и разрешимы. В дальнейшем при рассмотрении подгрупп Ьд предполагается, что д G\ Н. Лемма 2.11. Для G справедливы утверждения: 1) если Р — конечная р-подгруппа группы G и а Є Р, то Р Н; 2) если а3 Є Н, то g Н и CG(a) Н. Доказательство. По лемме 2.10, Р = Р\ X (а), где Pi Е и / = Р\ П D. Если (а) ф Р, то Р ф 1 (утверждение 6) леммы 2.10 и теорема 16.2.3 из [14]). Предположим, что Рч ф Р\. Так как Р — (а)-инвариаптная подгруппа и Рз = Л Рг) П Р\ jt Н ([14],теорсма 1G.2.2), то Р2 — подгруппа типа ( ) и, по лемме 2.10, Ра С В. Снова по лемме 2.10 (NG(P2)/P2,B/P2iap2) Є8ив подгруппе Р3 X {аР2), где Рз = Р3/Р2, пересечение Срд(аР2)ПРз = РА отлично от Pj (теорема 16.2.3 из [14]). Отсюда и из леммы 2.10 вытекает, что Д (D П Na(P2))/p2-Возвращаясь к полным прообразам, получим Pj D, где РА — полный прообраз Pi в G и Рг Р4, что противоречит определению подгруппы Р 2. Следовательно, Р Р, и утверждение 1) доказано. Что касается утверждения 2), то оно фактически уже доказано (см. соответствующее утверждение из леммы 2.G). Лемма 2.12. Пусть Рд — силовская р-подгруппа группы L9, содержащая элемент а. Тогда: Доказательство. Так как д G \ Н, то по лемме 2.11 а9 $ Н и La ft Н и, как отмечалось выше, Lg — конечная разрешимая группа. Отсюда и из леммы 2.2 вытекает утверждение 4). Покажем, что случай Fs Н невозможен. Пусть Q — (а)-инвариантная силоізская подгруппа группы 0P p{Lg). По лемме 2.11, Q Н. Отсюда ввиду Fg Н получим Op p(Lg) И. Далее, Lg = Op p(Lg)NLa{Q) (предложение 8) и Ьд ft Н. Следовательно, NL3{Q) ft Н. По лемме 2.10, Q\ = Q П Е NL (Q) поэтому Q\ — подгруппа тина ( ) при Q\ ф 1 и по лемме 2.10 Q\ Rg. Если бы было Q = Q\ Rg, то на основании леммы 2.10 (см. в ней утверждение 5)) и определения подгруппы Optp(Lg) мы заключили бы, что hg = Op p{Lg). А так как по доказанному выше Opip{L3) Н, то и Lg Н, что невозможно. Следовательно, Q\ ф Q, причем \Q : Qi\ = р. Но тогда и п этом случае ввиду представления G = Е X {а) получим Ьд = Op-p{Lg), что, как отмечалось выше, приводит к противоречию с предположением Lg it Н. Следовательно, Fg it Н. Докажем, что Rg Lg. По лемме 2.2, Rg Cba{Fg) Lg. Пусть Q — силовская (а)-иіівариантная р-подгруниа из Cba{Fs) f\E = W. По лемме 2.11, Q Я, и так как Fg ft Я, то Q — подгруппа типа ( ) при Q ф 1. По лемме 2.10, Q В. Но Rg W и, значит, Q — Rg. Отсюда и из абелевости группы Rg вытекает, что Rg ЯВЛЯетСЯ СИЛОВСКОЙ ПОДГРУППОЙ В OpipiW). По лемме 2.2, Op p(W) " Op (W) х Rgi а так как Op p(W) автоморфио допустима в W и W Lg, то Rg Lg. Введем обозначения: Lg = Lg/Rgi Рд = Рд /Rg, Fg — FgRg/Rg, Sg — Sg/Rg, где Sg — компонента подгруппы Pg в E, а — aRg. Пусть X — максимальная элементарная абслева подгруппа группы С (а). Разберем отдельно два случая: Полный прообраз любой циклической подгруппы (г), г Є Х#, является (а)-инвариантной р-подгруппой группы D и, как вытекает из леммы 2.10 и условия Rg ф Sg, не является подгруппой типа ( ). Но тогда, очевидно, из (5) получаем Fg Н — вопреки доказанному выше соотношению Fg jt Н. Следовательно, имеет место второй случай: 2) Х р. Если X — 1, то Sg — 1 и, очевидно, Lg — Fg X (а). Используя лемму 2.3 (см. в ней утверждение 1)) и порождаемость группы Lg двумя элементами порядка р, легко доказать ее фробениусовость с ядром Fg. Отсюда, очевидно, следует, что Fg X {а) и Fg\ (а9) — группы Фробениуса с ядром Fg. Пусть \Х\ = р. Рассмотрим в Рд подгруппу A = {z) х (а), где (z) — X. Докажем, что а Є Z{Pg). Очевидно, z Є Z{Pg). Если Cp (А) ф Рд, то ввиду нильпотентности группы Рд в Np (А)\Ср (А) существует элемент h такой, что аь = az. Отсюда получаем, что все элементы вида az@t 1 /3 Р, сопряжены с а. Если Тд — нильпотентный радикал подгруппы Fg, то ввиду леммы 2.3 и условия Fg ft Н подгруппа Тд ft Н и Тд\ (а"), и Lg, — группы Фробениуса. По предложению 4, в А существует такой элемент с ф 1, что Сі (с) Л Тд ф 1, где Тд = TgRgfRg. Если бы для некоторого /Зі было с Є {az@l), то, очевидно, не для каждого и ЄЕ Lg подгруппы Tg\{au) являлись бы группами Фробениуса— вопреки доказанному выше. Следовательно, с (z) и, более того, Тд Ci (zy Однако последнее включение противоречило бы условию Тд ft Н, так как полный прообраз подгруппы (z) в G являлся бы подгруппой типа ( ), не принадлежащей В, вопреки лемме 2.10. Следовательно, Cp (А) = Рд и а Є Z(Pg)- Но тогда Sg — циклическая группа (предложение 9) и, очевидно, Lg — Fg\ Pgj где Рд — элементарная абелева группа порядка р2. Отсюда, из леммы 2.3 и порождаемости группы Lg элементами а, а9 вытекает, что Fg\(a), Fg\(a9) — группы Фробениуса с дополнительными множителями (а), (а3). Все утверждения леммы 2.12 доказаны. Лемма 2.13. Пусть А — подгруппа типа А = {г) X (а), где г — элемент порядка р из D, d — гаа. Если Cc{d) jd Н, то пересечение CG{d) П В конечно. Доказательство. Предположим, что Ca{d) Г) В бесконечно. По лемме 2.1, (CG( ),5, а) Є S, где S — полная часть пересечения C(?(d) П В, Но тогда В Cc(rf). С другой стороны, по лемме 2.10 (см. в ней утверждение 5)) Св(га) бесконечен. Следовательно, N = Bf\Cc{ra)r\CG{d) бесконечно и N CQ{O), что невозможно. Полученное противоречие доказывает лемму 2.13. Лемма 2.14. Пусть d — элемент из леммы 2.13 и R — В П CG{d). Тогда R CG{d). Доказательство. Пусть Т = CG(d), V = Т П Я, X = NT(R), Пусть сначала \Т : Х\ оо. По лемме Дицмана (предложение 14) замыкание U подгруппы R в Т конечно. Так как U порождается некоторыми подгруппами, сопряженными с R в Т, то на основании лемм 2.1, 2.2 заключаем, что Op (U) Z(U). Отсюда следует, что если Q — силовская р-подгрупна группы Ор-р(С/), то Q \U \Т. Очевидно, U Е и, ввиду леммы 2.11, Q D. По лемме 2.10 (см. в пей утверждение 3)) Q В и Q = R. Отсюда и из определения подгруппы U вытекает, что U — R. Но тогда R X. Теперь ясно, что если R У, где Y — конечная подгруппа группы G и Т NG(Y), то R CG{d). Предположим, что R ф X. Тогда можно считать, что Nr{R\) X для всякой нетривиальной (а)-инвариантной подгруппы Ri группы R. Действительно, это легко показать, опираясь на начало доказательства, второе утверждение предложения 13 и четвертое утверждение леммы 2.10. Теперь рассмотрим нашу ситуацию в Ca(d)/{d). Для простоты рассуждений сохраняем те же обозначения. По лемме 2.11, Ст(а) V. Сначала докажем, что аь X =$ Ъ Є X (b Є Т). Импликация ab.V bV X верна ввиду леммы 2.11. Предположим, что ЬєТ\ХиаьєХ. Рассмотрим подгруппу Ьь = (а,аь). Так как В 3.2 изучается строение множества І), которое является пересечением подгруппы Н и объединения ядер дну порожденных групп Фробениуса с неинвариантным множителем (s), s Є 23 \ Н. Вводятся и рассматриваются подгруппы, свойства которых используются при дальнейшем доказательстве теоремы 3.1: подгруппа М — (93 П Н) и подгруппа К из Я, порожденная множеством SjUM. Изучаются свойства множества Ки{а)9Я и взаимное расположение перечисленных подгрупп и множеств в группе G, относительно подгруппы Н и множества Ш. Доказано, что если В — нормальная в G подгруппа, порожденная множеством 93, то либо выполняется утверждение I) теоремы 3.1, то есть В — конечная подгруппа, содержащая элемент а, либо множество 9Я бесконечно и и этом случае группа G является произведением подгрупп В и R. Лемма 3.7. Пусть дЯ — бесконечное множество. Если для элемента і из 93 и бесконечного подмножества 21 из ЯЯ пересечение 21 П Н пусто, то 21 обладает таким бесконечным подмножеством 91, что 01 С АЙЛ. Доказательство. Если бы 21 обладало различными элементами 6, с, такими, что tbAb H l = tcAc lt l, или ЬАЬ"1 = сАс г, то получили бы Ъ = тс. Из леммы 3.4 следует, что г = (і), а так как Ь ф с, то г — і. Так как элементы Ь и с попарно различны, то существует бесконечное число различных элементов вида tbab t l, b Є 21. По условию леммы 3.7 tb $ Н, и но условию 2) теоремы 3-ій лемме 3.3 21 обладает бесконечным подмножеством 2li, таким, что выполняется одно из следующих двух условий. Группа (a tbab H-1) = A(a,tbab 1t 1), b Є 21і. В этом случае утверждение леммы 3.7 вытекает из леммы 6.7 из [36]. Пусть теперь (a, tbab lt l) = В(а, bab-1i-1), b Є 2Ц. По лемме 3.3 tb = сьгь, где сь Є ЯЯ и гь Є R. Если для почти всех b 2li имеет место 6а Є . то очевидно, Ht ф Н и в силу леммы З.б 6а2 Ht для почти всех Ъ 5li. Следовательно, существует такое число т (1 т 3), а в 211 такое бесконечное подмножество 2І2, что Ьат $ Ht для любого 6 Є 2І2-Элемент Ь принадлежит некоторой группе Фробениуса Lz = Fz X (Q X Л). Так как b Є Fz \ Q и а Fz \ Q, то Ьаш FZ\Q. Значит порядок элемента Ьат равен либо 3, либо 6. В случае, если не суіцестЕїует бесконечно много элементов 6 Є 2І2, таких, что \bam\ = 3, то в множестве 2І2 будет бесконечно много элементов Ъ Є 2І2, для которых элемент 6am — порядка G. В этом случае рассматриваем в дальнейших рассуждениях вместо элемента bam элемент b\am = bami порядка 3. Таким образом, не нарушая общности рассуждений считаем, что существует бесконечно много элементов 6 2І2 таких, что \bam\ = 3. По условию 2) теоремы 3.1 либо {, bam) = A(t,bam), либо (f,6am) = B(t,bam) для любого b Є 2І2- В любом из случаев из леммы 3.3 следует, что 6am Є 93 U 9. 1. В 2І2 найдется бесконечное подмножество 21з, такое, что tbam 53, b Є 21з. По условию леммы 3.7 tbam $ Н. Из условия 2) теоремы 3.1 вытекает существование такого бесконечного подмножества 91 из %$, что выполняется одно из двух следующих условий. Группа (a, tbain) = А(а, tbam) для любого 6 Є 91. В этом случае утверждение леммы 3.7 вытекает из леммы G.7 из [36]. Пусть теперь (a,tbam) = B(a,tbam) для любого b Є 91. По лемме 3.3 (a,tbam) = B{aitbamaa-mb-1t-1). Но tbam = сьгьа171 (определение2І2) и, следовательно, {a,tbam) = В{а щас 1) (лемма 3.3). Это влечет п Є R П (а, сь) = Л и 91 С ЛЯП. 2. Почти для всех 6 Є 2І2 имеет место tbam Є ЯЯ . Снова рассматриваем равенство tbam — съгьа. Элементов вида сь, Ь Є 2І2 бесконечно много, так как элементов вида bab_1f бесконечно много. В силу леммы 3.6 в 2І2 найдется бесконечное подмножество Шз, а в А элемент г , такие, что СЬУ Є Ve\B t- Далее, по условию 2) теоремы 3.1 в Шз Для бесконечного числа элементов 6 выполняется равенство (, cj,v) ф B(t, СЬУ). Множество таких элементов b обозначим через 21 Так как а ф 2, то для некоторого іп Є Af и некоторого бесконечного подмножества 2І5 из 2Ц выполняется tncbv 93, Ъ Є Щ. Имеем tn+1bam = tncbvv lrham = tntbam Є 93, так как tbam Є 9Л(. Если t Є Н, то очевидно іп+16ат" и i"c(,v содержатся в G\H. Тогда по условию 2) теоремы 3.1 в 2ls найдется такое бесконечное подмножество 97, что для любого b є 07 выполняется одно из следующих условий. Группа (a,tncbv) = Л(а,Гс ) и {a,n+16am) = А(а,Г+1Ьат), либо группа (a,tncbv) - B(a,tncbv) и {a,tn+1bam) = B(a,tn+1bam). В любом из случаев из леммы 3.3 вытекает tnCbV, tn+1bam А9Л. По лемме 3.4 v lryam = (tcbv) l(tn+lbam) Є Ах (г), что влечет гь Є А х (г). Отсюда 97 С Affl и лемма 3.7 для f ЄФПЯ доказана полностью.Мр-группа, примеры, основные результаты
Выбор более удобного контрпримера
Строение подгрупп типа Ьд — (а, а9), д Є G\H
Строение множества ПЯ ядер групп Фробениуса вида Lg = {а,а9}
Похожие диссертации на О бесконечных группах Фробениуса и M_p-группах
