Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Генетика универсальных групп Шевалле стр 18
1. Генетика симплектических групп над коммутативными полуло кальными кольцами стр 18
2. Предварительные сведения о группах Шевалле стр 27
3. Определяющие соотношения универсальных групп Шевалле над коммутативными кольцами стр 31
ГЛАВА 2. Условия матричной представимости бесконечных групп стр 41
4. Матричная представимость нильпотентных произведений групп стр 42
5. О группах, допускающих изоморфное представление матрицами над полями различной характеристики стр 55
Заключение
Выводы
- Генетика симплектических групп над коммутативными полуло кальными кольцами
- Определяющие соотношения универсальных групп Шевалле над коммутативными кольцами
- Матричная представимость нильпотентных произведений групп
- О группах, допускающих изоморфное представление матрицами над полями различной характеристики
Введение к работе
В современной теории групп заметное место занимают группы преобразований—линейные группы и группы автоморфизмов различных алгебраических систем.
Диссертация посвящена изучению линейных групп.
Одним из важных направлений теории линейных групп является нахождение их порождающих множеств М и соответствующих им определяющих соотношений R. Пару {M\\R) иногда называют генетикой группы (см. [12])
Классическим объектом изучения в этом направлении являются универсальные группы Шевалле Сг(Ф, R), здесь Ф — тип группы, R — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Произвольная группа Шевалле является гомоморфным образом универсальной группы Шевалле С?(Ф, R) соответствующего типа Ф с ядром из ее диагональной подгруппы Я(Ф, R), по этому определяющие соотношения универсальных групп Шевалле Є(Ф, R) играют важную роль в изучении произвольных групп Шевалле.
В изучении этого вопроса существенным оказывается, что конгруэнц-подгруппа Е(Ф, R, J), по модулю квазирегулярного идеала J R, фак-торизуется ее пересечениями с диагональной подгруппой Н(Ф, R), верхней (У+(Ф, R) и нижней и (Ф, R) унипотентными подгруппами. Факторизации конгруэнц-подгрупп Е(Ф, R, J) при различных ограничениях на пару (Ф, R) установили Е. Abe [35] и M.R.Stein [44], в общем случае факторизацию конгруэнц-подгрупп доказал В.М.Левчук ([15], теорема 2), на скрученные группы факторизационная теорема перенесена С.А.Зюбиным [10].
Другим направлением в изучении линейных групп является нахо ждение необходимых и достаточных условий представимости матрицами абстрактных бесконечных групп. На фундаментальное значение этих исследований обратил внимание в своей работе А.И. Мальцев [16]. Этим вопросам посвящены работы таких авторов, как М.И. Кар-гаполов [11], В.М.Копытов [13], Е.М.Левич [14], Ю.И.Мерзляков [19] [20], [21] В.Н.Ремесленников [26], Н.С. Романовский [27], В.СЛарин [32], W. Magnus [48], R Swan [46] и др. Наряду с этими исследованиями особый интерес приобретают вопросы, связанные с нахождением условий, при которых те или иные теоретико-групповые операции не выводят из класса линейных групп. Так В.Л.Нисневич [23] показал, что свободное произведение линейных групп будет линейной груп-пой,Ю.Г.Вапнэ [6] описал условия, когда сплетения линейных групп будут представимы матрицами над полем, а в работе [7] частично исследовал вопрос о матричной представимости нильпотентных произведений линейных групп.
Еще одним важным направлением является изучение строения линейных групп. Этой теме посвящена обширная литература (см. А.И. Мальцев [17], Ю.И.Мерзляков [21], Д.А.Супруненко [30], B.A.F.Wehrfritz [48] и др.) Классическим результатом является альтернатива Титса [47], утверждающая, что произвольная линейная группа G либо содержит свободную группу F-i, либо является расширением разрешимой группы при помощи линейной периодической.
В настоящей диссертации получены следующие результаты.
1) Показано, что определяющими соотношениями универсальных групп Шевале в исследуемом случае являются стандартные соотношения Стейнберга и соотношения вида
Xa(t)X-a(u) = X_a(u/p) ha(p) Xa(t/p),
где р = 1 + tu, tu є rad R.
2) Дан критерий матричной представимости нильпотентных произведений конечно порожденных линейных групп. В общем случае, вопрос о матричной представимости нильпотентного произведения линейных групп сведен к вопросу матричной представимости нильпо-тентной группы, специально построенной по данному нильпотентному произведению.
3) Показано, что если группа G представима матрицами над полями различных характеристик и не содержит двупорожденной свободной группы Fi, то она почти абелева. В случаях, когда группа G разрешимая или периодическая, приведены оценки индекса искомой абелевой подгруппы.
В исследовании применяются как стандартные методы теории групп, так и методы теории линейных групп и групп Шевалле. В частности, при исследовании матричной представимости бесконечных групп применяется метод расщепляемых координат, разработанный Ю.И.Мерзля-ковым (см. [19], [21]).
Основные результаты диссертации являются новыми. Диссертация носит теоретический характер.
Результаты диссертации докладывались на 25-ой ВНСК (Новосибирск, 1987 г.), на конференции по итогам научно-исследовательской работы за 2001-2002 учебный год (СибУПК, Новосибирск, 2002 г.), на Мальцевских чтениях (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2002 г.), на конференции ЭРЛАГОЛ-2003, на семинаре "Эварист Галу а" и опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5].
Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на пять параграфов и списка литературы, содержащего 48 наименований. Объем диссертации занимает 65 страниц. Нумерация утверждений включает последо вательно номер параграфа и порядковый номер утверждения в параграфе.
В первой главе диссертации вычисляются определяющие соотношения универсальных групп Шевалле Є(Ф, R), рассматриваемых над ассоциативными коммутативными кольцами R с единицей.
Важную роль в изучении групп Шевалле Є(Ф, R) играет её подгруппа Е(Ф, R), порождённая элементарными унипотентными элементами xa(t), а є Ф, t є R (см. [29 ], [44]).
Известно, что группы Є(Ф, R) и Е(Ф, R) совпадают в следующих случаях: 1) R - поле, 2) R - евклидово кольцо, 3) R - коммутативное полулокальное кольцо [3], 4) R - полиномиальное кольцо вида F(xf\...,x ,xn+i,...,xm), F -поле, гапкФ 2, Ф ф G2. Как показал Стейнберг [29], группа Е(Ф, R), где R - поле, имеет следующие определяющие соотношения: x-\t)x-\u)xa{t + u) = 1, (0.1) xp{t)xa{u)x x(t)x l(u) Y[ xia+jfi(CijtluJ) = 1, (0.2) i,j 0 где і, jcij є Z и произведение берется по всем корням вида і а + у /? в некотором фиксированном порядке, Wa(t)xa(u)W-\t)xZa(2u) = 1, (0.3) где wa{t) = xa(t)x-a(—t)xa(t), t - обратимый элемент кольца R, ha{t)ha{u)h-\tu) = \ (0.4) где ha{t) = wa(t)wa(—\), t — обратимый элемент кольца R. Причем, если гапкФ = 1 (соответственно гапкФ 2), то достаточно соотношений (0.1), (0.3), (0.4) (соответственно (0.1), (0.3), (0.4)). Этот результат также верен для групп Е(Ф, R), если 1) R — кольцо целых чисел [40]; 2) R — коммутативное полулокальное кольцо, аддитивно порожденное квадратами своих обратимых элементов, Ф = С/ [44 ] ; 3) R — коммутативное полулокальное кольцо и все корни из Ф имеют одну длину [41] (см. также [45]); 4) R — кольцо полиномов от одной переменной над произвольным полем [42]; 5) R — локализация кольца целых чисел Z по некоторому конечному множеству простых чисел [38], [22]. Случаи некоммутативных колец разобраны в работах Г. А. Носкова [24] и Сильвестера [43]. В связи с результатами работы Денниса и Штейна [41] возникает естественный вопрос: насколько испортятся определяющие соотношения универсальных групп Шевалле (_г(Ф, R) над коммутативными полулокальными кольцами, для произвольной корневой системы Ф. В первом параграфе диссертации в явном матричном виде найдены порождающеее множество и определяющие соотношения для симплек-тической группы Sp2n{R), п 2, над коммутативным полулокальным кольцом R. Вначале вычисляется генетика конгруэнц-подгруппы GL„(R, rad R) общей линейной группы по модулю радикала Джекобсона rad R кольца R. Теорема 1.1. Пусть R — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, rad R — его радикал Джекобсона, т.е. пересечение его максимальных идеалов, п 2. Тогда группа GLn(R, rad У?) = гр{е + а\е + а є GL„, atj є rad і?} порождается матрицами w,y(0 = е + teij, dt{\ + t) = є + tea, t є rad і? и определяется в них следующими соотношениями Ujj(t)Uij(u)u -l(t + и) = 1 [uij(t), и и (ц)] = 1, при j ф к, і фі [uij(t),Ujk(u)]u kl = 1 при различных/, j,k Uij(t)uJi(u)[uji(u/p)di(p)uu(t/p)] l = 1, p=l+tu, d l{\+u)uij(t)di{\+u)uT/{t{\ +u)-{) = 1, dj\\ +u)uu(t)dj(l +и)и (1(1+и)) = 1, [4(1 + и), Uijit)} = 1, при к {/, j) й(Ц-и), (1+0] = 1, 4(1 + 04(1 + М)Й?Г ((1 + 0(1 + ")) = 1 Следующим шагом вычисляется генетика симплектическои группы Sp2„{R) над локальным коммутативным кольцом R. Теорема 1.2. Если R — локальное коммутативное кольцо, J — его максимальный идеал, то группа Sp2n(R), п 2 порождается множеством М матриц "iy(0 = е + teu - tej+n i+n Wiy(0 = е + teiJ+n - tejJ+n, o,(0 = e + teiJ+n, пі jit) =e + tei+nJ, t є R; huij(t) =e + (t - l)e„ + (Г1 - \)ejj + (?_1 - l)ei+n i+n + (t - \)eJ+nJ+„, hoij(t) =e + (t - \)eu + (t - X)en + (Г1 - 1)еі+Піі+„ + ( -1 - \)eJ+nj+„, hniJ(t) = e + (t - l)e„- + ( -1 - l)ejj + (t - l)ei+„ i+n + (t - l)ej+nJ+n, hUi(t) = e + (t- l)e,-,- + (Г1 - \)ei+n i+n, hniif) =e+ (Г1 - 1)6,-,- + (t - 1)еі+п,і+п, где t — обратимый элемент кольца R, и определяется в этих порождающих множеством W соотношений x(t)x(u)x l(t + и) = 1, x(t)x (u) [x (u/p)hx(p)x(t/р)\ = 1, при р = 1 + tu, tu є J h-\t)x(t)x (-rl)x(t)x(-\)x (l)x(-\) = 1, h;\t)hx(u)h;l(tu) = 1 где x — недиагональная матрица из М, [ии{1), ии(и)] = 1, при к ф j, їф\, [ujk(t), Ujj(u)]ujk(tu) = 1, при кфі, [vk(t),Uij(u)] = l, при кф] [VjiO ijiu VijitU iitU2) = 1, [vij(t),Uij(u)]vi(2tu) = 1, [vjk{t),uij(u)]uik(tu)=\, при кфі, [Uij(t), vki(t)] = 1, ПРИ ./ {к,І), [Vkl(.t),Vij(t)]= 1, МО, «/(")] = 1, [п ДО.и.-ДіОЗи.- м) = 1, при і ф к [ni(t),Vij(u)]Ujj(tu)Vj(tU2) - 1, [я /(0. «•/(")] = 1, ПРИ ( } 7 ( , Л, [иі(0,»у(")] = 1, при /#у с добавленными к ним коммутаторными соотношениями между недиагональными матрицами из Л/, получающимися из уже выписанных соотношений матричным тождеством [V,y] = [у ],х ]] . В теореме 1.2 генетика группы Sp2n(R) собирается из генетик кон-груэнц-подгрупп Sp2n(R, J) и фактор группы Sp2n(R/J) аналогичным способом, как у Ф.Холла [31] (см.доказательство леммы 1). Далее доказывается Теорема 1.3. Если R — коммутативное полулокальное кольцо, J, — т его максимальные идеалы, і = 1, ..., га, J = f] J;, то группа Sp2n(R) /=1 порождается множеством матриц М и определяется в них множеством соотношений W (как в теореме 1.2).
Во втором параграфе диссертации даётся более подробно определение элементарной подгруппы Шевалле Е(Ф, R) и перечисляется ряд её свойств.
Третий параграф диссертации посвящен нахождению определяющих соотношений подгрупп Е(Ф, R), типа Ф над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей, удовлетворяющему условию i?/rad R = П,є/ R/Ji где radT? — радикал Джекобсона, {J/h =/ — множество всех его максимальных идеалов. И так как в этом случае группы Е(Ф, R) и Є(Ф, R) совпадают (см.Абе [39]), тем самым найдена генетика универсальной группы Шевалле Є(Ф, R).
Как и в первом параграфе, генетика группы Е(Ф, R) собирается из генетик конгруэнц-подгруппы (Ф, R, radi?) и фактор-группы (Ф, R/radR).
В конгруэнц-подгруппе Е(Ф, R,mdR) кроме стандартных соотношений Стейнберга (0.1), (0.2), (0.3), (0.4) выполняются соотношения xa(t)x-a{t)[x-a(u/p)ha(p)xa(t Ip)] l = 1, p=l+tu (0.5) где tu є rad/?. Генетику конгруэнц-подгруппы Е{Ф, R, radi?) описывает Теорема 3.4. Если rank Ф 2, то соотношения (0.1), (0.2), (0.4), (0.5) являются определяющими для группы Е(Ф, R,radR) в порождающих xa(t), ha(\ + t). Если гапкФ = 1, то соотношения (0.1), (0.3), (0.4), (0.5) являются определяющими для группы Е(Ф, R, radR) в порождающих xa(t), wa(l + t), ha{\ + t). Везде а є Ф, t є radi?. Доказательство теоремы 3.4 опирается на факторизационную теорему В.М. Левчука ([15], теорема 2). Генетику группы Е{Ф, R) описывает
Теорема 3.6. Пусть R — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, удовлетворяющее условию i?/rad R = Y\isI R/J,, где {J,} — множество всех максимальных идеалов кольца R. Если rank Ф 2, то множество соотношений из (0.1), (0.2), (0.4), (0.5) является определяющим для подгруппы Е(Ф, R) универсальной группы Є(Ф, R) Шевалле в порождающих xa(t), ha(u), t є R, и — обратимый элемент кольца. Если гапкФ = 1, то множество соотношений (0.1), (0.3), (0.4), (0.5) является определяющим для подгруппы (, R) универсальной группы Шевалле Є(Ф, R) в порождающих xa(t), wa(u), ha(u), t є R, и — обратимый элемент кольца R, а є Ф.
Теорема 3.6 даёт описание генетики и для универсальной группы Шевалле Є(Ф, R) в силу равенства (Ф, R) = Сг(Ф, R) для колец R из условия теоремы ([39], 2.3 и 2.4).
Во второй главе диссертации исследуются вопросы, связанные с условиями матричной представимости абстрактных бесконечных групп. Под матричным представлением понимается изоморфное представлении матрицами конечной степени с элементами из некоторого поля. На важность этих исследований обратил внимание А.И.Мальцев [16].
В 1940 году А.И.Мальцевым ([16], теорема 1) были описаны необходимые и достаточные условия матричной представимости для абе-левых групп. Вопросы о матричной представимости нильпотентных, полициклических и разрешимых групп исследованы в работах таких авторов, как М.И.Каргаполов [11], В.М.Копытов [13], Е.М.Левич [14], Ю.И.Мерзляков [19] [20] [21], Н.С.Романовский [27], В.Н.Ремесленни-ков [26], В.С.Чарин [32], Д.М. Смирнов [28], R Swan [46] и др.
Следуя О.Н.Головину [9] и-м нильпотентным произведением групп А и В называют фактор-группу А(п)В = А В /[А, В] f] уп+\(А В), где п 2, [А, В] — взаимный коммутант групп А и В, ym(G) — m-vi централ группы G. Группы А и В вложены в своё нильпотентное произведение А(п)В и порождают его. Возникает естественный вопрос: когда нильпотентное произведение двух матричных групп представимо матрицами над некоторым полем?
Отвечая на этот вопрос, Ю.Г.Вапнэ [7] описал необходимые и достаточные условия представимости нильпотентного произведения А{п)В матрицами над полем нулевой характеристики в следующих случаях: 1) А, В — абелевы группы матриц; 2) А, В — произвольные группы матриц, п = 2. В начале четвертого параграфа приводится несколько технических лемм и свойств, связанных с нильпотентными произведениями групп, и делается одно замечание к лемме 2 из работы Ю.Г.Вапнэ [7]. А именно, в лемме 2 утверждается, что если нильпотентное произведение А{п)В представимо матрицами степени т над полем нулевой характеристики, то из того, что некоторый элемент а є А в какой-то степени к є N \ {0} централизует группу В, то он централизует группу В в некоторой фик-сированнной степени 1(т,п), зависящей только от т и п. В диссертации доказана Лемма 4.4. Пусть G — нильпотентная подгруппа ступени п из группы GLm{P), Р — поле. а) Если charP = 0, то любой элемент g є G, попадающий в центр Z(G) группы G в некоторой степени к, попадает в Z(G) в фиксирован ной степени 1(т,п) зависящей только от т и п.
б) Если charP = р 0, то любой элемент g є G попадает в центр Z(G) группы G в некоторой фиксированной степени 1{т,п,р), зависящей только от т, п, р .
Из леммы 4.4 непосредственно следует и лемма 2 [7] и её аналог для полей ненулевой характеристики. Как следствие из леммы 4.4 получаем, что над полями нулевой характеристики фактор по центру линейной нильпотентной группы обладает конечной периодической частью, а над полями положительной характеристики фактор по центру нильпотентной группы будет ограниченного периода, т.е. почти унипо-тентным.
В диссертации доказана
Теорема 4.1. Пусть А, В — конечно порожденные группы матриц над полем Р.
а) Если charP = 0, то нильпотентное произведение А(п)В представимо матрицами над полем Р.
б) Если chari5 = р 0, то нильпотентное произведение А(п)В представимо матрицами над полем характеристики р тогда и только тогда, когда индексы \А:СЛ{В)\, \В\СВ{А)\ конечны.
В своих работах [19], [20], [21] Ю.И.Мерзляков, опираясь на созданный им метод расщепляемых координат, построил матричные представления голоморфа полициклических групп, группы внешних автоморфизмов черниковских групп и описал необходимые и достаточные условия представимости матрицами над полем нулевой характеристики разрешимых групп. Напомним суть этого метода. Лемма о расщепляемых координатах (см. [21] с.433) Пусть К — поле, G — группа с ІС-значньши координатами t\,..., tj, причем N ta(xy) = fap(x)hp(y), х,у є G, 1 a d p=\ где fap, hp — функции со значениями в К. Существует изоморфизм р : G —» GLn(K) такой, что: 1) р х линейно на Gp, 2) если функции fap полиномиальны на G (в координатах ta), a hp на подмножестве G\ с G, то р — полиномиально на G\. Используя метод расщепляемых координат, в диссертации доказана
Теорема 4.2. Пусть К - поле произвольной характеристики, А, В — группы матриц над полем К. Нильпотентное произведение А{п)В представимо матрицами над полем К тогда и только тогда, когда пред-ставима матрицами над полем К группа А(п)В, где А = А/СА(В), В = В/Св(А), Cx(Y) — централизатор группы Y в группе X.
Теорема 4.2 позволяет свести вопрос о матричной представимости группы А{п)В к исследованию представимости матрицами ниль-потентной группы А(п)В. Используя теорему 4.2 доказано
Следствие 4.1. Нильпотентное произведение F(X)(n)F(Y), п 2, представимо матрицами над полем нулевой характеристики и не представимо матрицами ни над каким полем положительной характеристики (здесь F(X) — свободная группа со свободно порождающим множеством X).
В заключительном пятом параграфе второй главы диссертации рассматривается случай, когда группа G допускает изоморфное представление матрицами над полями различных характеристик.
Возможность представления группы матрицами над некоторым полем накладывает ограничения на её строение. Так по альтернативе Тит-са [21], линейная группа G, которая не содержит свободной группы Fit является расширением разрешимой группы при помощи периодической (линейной), а в случае поля характеристики ноль она будет почти разрешимой.
В своей книге [48] Верфриц приводит ряд утверждений, в которых доказывается, что некоторые линейные группы при наложенных на них дополнительных условиях, являются почти абелевыми. Во всех таких случаях исследуемые группы допускали представление матрицами над полями различных характеристик. Так, например, он замечает, что группа с условием минимальности на подгруппы допускает представление матрицами над некоторым полем тогда и только тогда, когда она почти абелева. В этом случае абелева подгруппа является прямой суммой конечного числа квазициклических групп, а сама группа черни-ковской. Из работы А.И.Мальцева [16] следует, что эта группа предста-вима матрицами над полями различных характеристик. В диссертации доказывается следующее утверждение
Теорема 5.2. Периодическая группа G допускает точное представление матрицами над полями различных характеристик рад тогда и только тогда, когда в ней найдется абелева подгруппа А конечного индекса, ранги примарных компонент которой ограничены в совокупности, а примарные компоненты хрА, xqA конечны. Индекс группы А ограничен целозначной функцией f(m,n,p), где т, п — степени данных матричных представлений, р — ненулевая характеристика.
Доказательство теоремы 5.2 опирается на теорему Брауэра-Фейтса [48], теорему Бернсайда о конечности периодических линейных групп (см. [48], [21]) и локальную теорему А.И.Мальцева.
Также Верфриц отмечает (см.[48]), что полициклическая группа допускает точное представление матрицами над полем ненулевой характеристики тогда и только тогда, когда она почти абелева. В диссертации доказывается следующая обобщающая Теорема 5.3. Разрешимая группа G допускает точное представление матрицами над полями различных характеристик р и q тогда и только тогда, когда в ней найдётся абелева подгруппа А конечного индекса, ранги примарных компонент которой ограничены в совокупности, а примарные компоненты тр{А), rq(A) конечны. Индекс группы А ограничен целозначной функцией f(m,n,p), где т, п — степени данных матричных представлений, р — ненулевая характеристика.
Теорема 5.3. позволяет сделать вывод, что свободная метабелева группа, которая, как известно, представима матрицами над полем нулевой характеристики, не может быть представлена матрицами над полями ненулевой характеристики. Этот вывод верен и для свободных нильпотентных групп, которые представимы матрицами над полями нулевой характеристики [27]. Для нильпотентных групп верна Лемма 5.3. Пусть G — нильпотентная группа ступени s, представи-мая матрицами степени п над полем характеристики р О и матрицами степени т над полем характеристики q, q ф р. Тогда G:Z(G) 1{т, п, р, s), где Z(G) — центр группы, l(m,n,p,s) = (npy6b-l?+m\a6b-»5b+™-V+V+mt. В силу альтернативы Титса, из теоремы 5.2 и теоремы 5.3 выводится Теорема 5.4. Пусть группа G не содержит свободной группы F2. Группа G представима матрицами над полями различных характеристик р и q тогда и только тогда, когда в ней найдется абелева подгруппа А конечного индекса, ранги примарных компонент которой ограничены в совокупности, а примарные компоненты хрА, xqA конечны. Приведем еще два примера утверждений, где возникают почти абе-левы группы, представимые над полями различных характеристик. В.П.Платонов [48 ] показал, что группа матриц над полем ненулевой характеристики, имеющая конечный ранг, будет почти абелевой. Отметим более глубокий результат В.П. Шункова [34] о черниково-сти локально конечных групп с условием минимальности на подгруппы. Требование, чтобы группа G из условия теоремы 5.3 не содержала свободной группы F2, существенно. Как показал В.Л.Нисневич [23], свободная группа Fn представима матрицами над полем любой характеристики, а свободное произведение А В двух линейных групп представляется матрицами над некоторым чисто трансцендентным расширением поля представления групп А и В. В частности, свободное произведение А В групп А и В, допускающих точное представление матрицами над полями характеристик р и q само допускает точное представление матрицами над полями тех же характеристик.
Ясно, что она содержит подгруппу, изоморфную свободной группе / и не является почти абелевой. Очевидно, что и конечное расширение групп, допускающих матричное представление над полями различных характеристик, так же обладают этим свойством.
В заключение автор выражает благодарность за консультации и поддержку в работе всем участникам семинара "Эварист Галуа" и лично В.Г.Бардакову, В.Я.Блощицыну, А.А.Викентьеву, В.А.Чуркину, а также С.А.Зюбину.
Генетика симплектических групп над коммутативными полуло кальными кольцами
Доказательство теоремы 3.4 опирается на факторизационную теорему В.М. Левчука ([15], теорема 2). Теорема 3.6. Пусть R — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, удовлетворяющее условию i?/rad R = Y\isI R/J,, где {J,} — множество всех максимальных идеалов кольца R. Если rank Ф 2, то множество соотношений из (0.1), (0.2), (0.4), (0.5) является определяющим для подгруппы Е(Ф, R) универсальной группы Є(Ф, R) Шевалле в порождающих xa(t), ha(u), t є R, и — обратимый элемент кольца. Если гапкФ = 1, то множество соотношений (0.1), (0.3), (0.4), (0.5) является определяющим для подгруппы (, R) универсальной группы Шевалле Є(Ф, R) в порождающих xa(t), wa(u), ha(u), t є R, и — обратимый элемент кольца R, а є Ф.
Теорема 3.6 даёт описание генетики и для универсальной группы Шевалле Є(Ф, R) в силу равенства (Ф, R) = Сг(Ф, R) для колец R из условия теоремы ([39], 2.3 и 2.4).
Во второй главе диссертации исследуются вопросы, связанные с условиями матричной представимости абстрактных бесконечных групп. Под матричным представлением понимается изоморфное представлении матрицами конечной степени с элементами из некоторого поля. На важность этих исследований обратил внимание А.И.Мальцев [16].
В 1940 году А.И.Мальцевым ([16], теорема 1) были описаны необходимые и достаточные условия матричной представимости для абе-левых групп. Вопросы о матричной представимости нильпотентных, полициклических и разрешимых групп исследованы в работах таких авторов, как М.И.Каргаполов [11], В.М.Копытов [13], Е.М.Левич [14], Ю.И.Мерзляков [19] [20] [21], Н.С.Романовский [27], В.Н.Ремесленни-ков [26], В.С.Чарин [32], Д.М. Смирнов [28], R Swan [46] и др.
Следуя О.Н.Головину [9] и-м нильпотентным произведением групп А и В называют фактор-группу А(п)В = А В /[А, В] f] уп+\(А В), где п 2, [А, В] — взаимный коммутант групп А и В, ym(G) — m-vi централ группы G. Группы А и В вложены в своё нильпотентное произведение А(п)В и порождают его. Возникает естественный вопрос: когда нильпотентное произведение двух матричных групп представимо матрицами над некоторым полем?
Отвечая на этот вопрос, Ю.Г.Вапнэ [7] описал необходимые и достаточные условия представимости нильпотентного произведения А{п)В матрицами над полем нулевой характеристики в следующих случаях: 1) А, В — абелевы группы матриц; 2) А, В — произвольные группы матриц, п = 2.
В начале четвертого параграфа приводится несколько технических лемм и свойств, связанных с нильпотентными произведениями групп, и делается одно замечание к лемме 2 из работы Ю.Г.Вапнэ [7]. А именно, в лемме 2 утверждается, что если нильпотентное произведение А{п)В представимо матрицами степени т над полем нулевой характеристики, то из того, что некоторый элемент а є А в какой-то степени к є N \ {0} централизует группу В, то он централизует группу В в некоторой фик-сированнной степени 1(т,п), зависящей только от т и п. В диссертации доказана
Лемма 4.4. Пусть G — нильпотентная подгруппа ступени п из группы GLm{P), Р — поле. а) Если charP = 0, то любой элемент g є G, попадающий в центр Z(G) группы G в некоторой степени к, попадает в Z(G) в фиксирован ной степени 1(т,п) зависящей только от т и п. б) Если charP = р 0, то любой элемент g є G попадает в центр Z(G) группы G в некоторой фиксированной степени 1{т,п,р), зависящей только от т, п, р . Из леммы 4.4 непосредственно следует и лемма 2 [7] и её аналог для полей ненулевой характеристики. Как следствие из леммы 4.4 получаем, что над полями нулевой характеристики фактор по центру линейной нильпотентной группы обладает конечной периодической частью, а над полями положительной характеристики фактор по центру нильпотентной группы будет ограниченного периода, т.е. почти унипо-тентным. В диссертации доказана Теорема 4.1. Пусть А, В — конечно порожденные группы матриц над полем Р. а) Если charP = 0, то нильпотентное произведение А(п)В предста вимо матрицами над полем Р. б) Если chari5 = р 0, то нильпотентное произведение А(п)В представимо матрицами над полем характеристики р тогда и только тогда, когда индексы \А:СЛ{В)\, \В\СВ{А)\ конечны. В своих работах [19], [20], [21] Ю.И.Мерзляков, опираясь на созданный им метод расщепляемых координат, построил матричные представления голоморфа полициклических групп, группы внешних автоморфизмов черниковских групп и описал необходимые и достаточные условия представимости матрицами над полем нулевой характеристики разрешимых групп. Напомним суть этого метода. Лемма о расщепляемых координатах (см. [21] с.433) Пусть К — поле, G — группа с ІС-значньши координатами t\,..., tj, причем N ta(xy) = fap(x)hp(y), х,у є G, 1 a d p=\ где fap, hp — функции со значениями в К. Существует изоморфизм р : G —» GLn(K) такой, что: 1) р х линейно на Gp, 2) если функции fap полиномиальны на G (в координатах ta), a hp на подмножестве G\ с G, то р — полиномиально на G\. Используя метод расщепляемых координат, в диссертации доказана Теорема 4.2. Пусть К - поле произвольной характеристики, А, В — группы матриц над полем К. Нильпотентное произведение А{п)В представимо матрицами над полем К тогда и только тогда, когда пред-ставима матрицами над полем К группа А(п)В, где А = А/СА(В), В = В/Св(А), Cx(Y) — централизатор группы Y в группе X. Теорема 4.2 позволяет свести вопрос о матричной представимости группы А{п)В к исследованию представимости матрицами ниль-потентной группы А(п)В. Используя теорему 4.2 доказано Следствие 4.1. Нильпотентное произведение F(X)(n)F(Y), п 2, представимо матрицами над полем нулевой характеристики и не представимо матрицами ни над каким полем положительной характеристики (здесь F(X) — свободная группа со свободно порождающим множеством X).
Определяющие соотношения универсальных групп Шевалле над коммутативными кольцами
Пусть V (соответственно ТУ) — группа верхнетреугольных (соответственно нижнетреугольных) унипотентных матриц, Т - группа диагональных матриц (N, Т, V є Matn(R)). Лемма 3.3. Равенство ntv = 1, где п є N,t є T,v є V равносильно равенствам п = \,t = \,v = \. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение леммы 3.3 следует из равенства NTH V = I, NOT = 1
Теорема 3.1. ЕСЛИ гапкФ 2, то соотношения (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) являются определяющими для группы Е(Ф, R, rad R) в порождающих х«(0 а(1 +0- Если гапкФ = 1, то соотношения (2.1), (2.3), (2.4), (2.5) являются определяющими для группы Е(Ф, R, rad R) в порождающих xa(t) wa(l + t),ha{\ + t) Везде а є Ф, t є rad і?. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть гапкФ 2 и выполнено равенство w = 1, где w - произведение порождающих группы Е(Ф, R,radR). Тогда по лемме 3.2 произведение ш, при помощи соотношений (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) можно записать в виде где ta,up,ty є rad R. По свойству 1 и лемме 3.2 равенство равносильно трем равенствам
По лемме 2.2 (точнее по следствию 2.1) равенства Y[a 0 Ха Оа) = 1 Пу оху у) = 1 являются следствиями соотношений из (2.1), (2.2), a по свойству 4 равенство ГЬЄФ ДО + w/0 = 1 является следствием соотношений из свойства 3 и (2.4). Таким образом, теорема 3.1 в случае, когда гапкФ 2, доказана. Если гапкФ = 1, то в предыдущих рассуждениях соотношения (2.2) нужно заменить на соотношения (2.3). Доказательство окончено.
Далее мы построим множество определяющих соотношений группы Е(Ф, R) по множествам определяющих соотношений групп Е(Ф, R, radR) и Е(Ф, R/radR) в предположении, что фактор - кольцо R/radR изоморфно прямому произведению полей П/є,/} i?/J/, где Wi}iei — множество всех максимальных идеалов кольца R.
Очевидно, что группа Е(Ф, R/radR) изоморфна декартову произведению групп П/єі/) Е( R/Ji)- Следовательно, если гапкФ 2, то в порождающих xa(t),ha(t) группа Е(Ф, R/radR) определяется соотношениями (2.1), (2.2), (2.4), (см. [12], 2.12), а если гапкФ = 1, то в порождающих xa(t),wa(u),ha(u) определяются соотношениями (2.1), (2.3), (2.4), и соотношениями
Лемма 3.4. Если гапкФ 2 , то любое произведение порождающих a(t), hp{u), при помощи соотношений из (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) можно переписать в виде wn, где w - произведение таких порождающих а(0 hp{u), t tf radR, и 1 +radi?, что произведение любых двух из них либо тривиально, либо не лежит в группе Е(Ф, R, radR), an -произведение порождающих группы Е(Ф, R,radR). Если гапкФ = 1, то любое произведение порождающих xa(t), hp{u) можно переписать к такому же виду при помощи соотношений из (2.1), (2.3), (2.4), (1.5). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем лемму индукцией по числу порождающих из нашего произведения, не лежавших в группе Е{Ф, R, radR) и не удовлетворяющих утверждению леммы 3.1. Индукционный шаг состоит в следующем: все порождающие у из нашего произведения такие, что у є хеЕ(Ф, R, radR), = ±1, при помощи соотношений из (2.1), (2.4) заменим на хеп(у), где п(у) є Е(Ф, R,radR), х — самый левый порождающий, не лежащий в группе Е(Ф, R, radR) и не удовлетворяющий утверждению леммы, а затем, используя соотношения (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) и свойство 3, все порождающие группы Е(Ф, R, rad R) перенесем вправо. Получаем, что наше произведение записывается в виде wn при помощи соотношений из (2.1), (2.2), (2.4), (2.5), если rank Ф 2 и соотношений из (2.1), (2.3), (2.4), (2.5), если гапкФ = 1. Лемма 3.4 доказана. Теорема 3.2. Пусть R — ассоциативное коммутативное кольцо с 1, удовлетворяющее условию R/mdR = Y[iei R/Ji, где {Л}/є/ — множество всех масимальных идеалов кольца R. Если гапкФ 2 , то множество соотношений из (2.1), (2.2), (2.4), (1.5) является определяющим для подгруппы Е(Ф, R) универсальной группы Шевалле G( 3 , R) в порождающих xa(t),ha(u), t є R, u — обратимый элемент кольца R,a є Ф. Если rank Ф = 1, то множество соотношений (2.1), (2.3), (2.4), (1.5) является определяющим для подгруппы Е(Ф, R) универсальной группы Шевалле G(0, R) в порождающих xa(t), wa(u), ha(u), t є R, u — обратимый элемент кольца R. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть гапкФ 2 и выполнено равенство v = 1, где v - некоторое произведение порождающих группы Е(Ф, R) из условия теоремы 3.1. По лемме 3.1 произведение v, при помощи соотношений (2.1), (2.2), (2.4), (1.5) можно переписать в виде wn. Понятно, что wv = 1 в группе \{іє[ Е{Ф, R/Jj), р - гомоморфизм групп Е(Ф, R) — Піє/ (Ф R/Ji) индукцированный гомоморфизмом колец R — Y[je!R/Jj. Следовательно, произведение w9 можно записать в эквивалентном виде v lw\V\ .. .v ]wsvs , где V, - некоторые произведения порождающих группы Е(Ф, R/radR), ад, - левые части соотношений из множеств (2.1), (2.2), (2.4), (2.5) группы Е(Ф, R, mdR). Построим прообраз этого произведения в группе Е(Ф, R) так, чтобы а) прообразом каждого порождающего был порождающий, причем прообраз порождающего х9, х є ад совпадал с х. б) прообразы взаимнообратных порождающих были взаимнообрат ными.
Матричная представимость нильпотентных произведений групп
Рангом группы G называют наименьшее число г, обладающее тем свойством, что всякая ее конечно порожденная подгруппа может быть порождена не более чем г элементами. Если такое число существует, будем писать rankG = г, в противном случае rankG = со. Через Fn будем обозначать свободную группу со свободным порождающим множеством из п элементов.
Возможность представления группы матрицами конечной степени над некоторым полем накладывает ограничение на ее строение. Так из альтернативы Титса следует, что линейная группа, не содержащая свободной подгруппы Fi, является расширением линейной разрешимой группы при помощи линейной периодической. В абелевом случае полное описание строения групп, представимых матрицами конечной степени над полем, дает теорема А.И. Мальцева.
Теорема 5.1. ([16],теорема 1) Пусть G — абелева группа. а) Группа G представима матрицами степени п над полем нулевой характеристики тогда и только тогда, когда ранги ее примарных компо нент не превосходят, т.е. rank(zG) п. б) Группа G представима матрицами степени п над полем поло жительной характеристики р тогда и только тогда, когда ее примарная компонента zpG конечного периода не больше ps, а ранги остальных примарных компонент ограничены числом n — s. Из теоремы 5.1 непосредственно следует что абелева группа G представима матрицами над полями различных характеристик р и q тогда и только тогда, когда ранги ее примарных компонент ограничены в совокупности, а примарные компоненты тр G, xq G конечны. В этом случае rank(tG) oo и группа G представима матрицами над полем нулевой характеристики. Лемма 5.1. Пусть G — р-группа представимая матрицами степени п над полем характеристики р и матрицами степени m над полем характеристики q, р Ф q. Тогда \G\ pem (np)m , где є = [log n] + 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как /?-группа матриц степени п над полем характеристики р, G унитриангулируема и является группой конечного периода рг. В этом случае выполнены неравенства рг ] п рг, а на группе G верно равенство Gp" = 1, где е = [log n] + 1. По теореме Бернсайда \G : Uq{G)\ (pe)m , где Uq(G) — унипо-тентный радикал группы G, как группы матриц степени m над полем характеристики q. Так как G — р-группа и (p,q) = 1, то Uq{G) тривиален и \G\ pem , где е = [logp п] 4- 1. Из неравенства ре пр получаем G (np)m . Лемма 5.2. Пусть G — группа конечного периода / представимая матрицами степени п над полем характеристики р 0, и матрицами степени m над полем характеристики q 0, р ф q. Тогда \G\ I" pem , где е = [\ogpn] + 1, или G ln\np)m\
ПО теореме Бернсайда \G : UP(G)\ = ln\ где UP{G) — унипотентный радикал группы G, как группы матриц степени п над полем характеристики р. По лемме 5.1 \UP(G)\ pem , где е = [logpn] + 1, и, следовательно, \G\ Vх pem или \G\ I" (np)m .
Теорема 5.2. Периодическая группа G допускает точное представление матрицами над полями различных характеристик р и q тогда и только тогда, когда в ней найдется нормальная абелева подгруппа А конечного индекса, ранги примарных компонент которой ограничены в совокупности, а примарные компоненты трА, zqA конечны. Индекс нужной группы А ограничен целозначной функцией f(m,n,p), где m,n — степени данных представлений, р — ненулевая характеристика.
Пусть группа G представима матрицами степени п над полем характеристики р О и матрицами степени m над полем характеристики q О, р ф q. Как линейная периодическая, группа G является локально конечной. По лемме 5.1, силовские р -подгруппы конечно порожденных подгрупп группы G имеют порядок не больше рет , где е — [\ogpn] + 1. Тогда, по теореме Брауэра-Фейта (см. [48], теорема 9.6.) о почти абелевости конечных групп матриц над полем ненулевой характеристики, имеем, что каждая конечно порожденная подгруппа группы G содержит нормальный абелев делитель индекса не больше i(pem ,п), где i(pem ,п) — целозначная функция, зависящая от порядка силовской р-подгруппы рет и степени матричного представления п. По локальной теореме Мальцева (см. [12], упражнение 27.3.2) этот вывод можно сделать и для всей группы G. Положим f(m, п, р) = i(pem ,п).
Если А — абелева подгруппа из условия теоремы, то она по теореме 5.1 представима матрицами над полями характеристики р nq. Так как А конечного индекса в группе G, то и вся группа G допускает изоморфное представление матрицами над полями характеристики р и q. Если, при этом, rank,4 = г, \G : А\ = i, (zpA)pSi — 1, (rqA)qi2 — 1, то G представима матрицами степени і (г +S]) над полем характеристики р и матрицами степени / (г -Ь S2) над полем характеристики q.
О группах, допускающих изоморфное представление матрицами над полями различной характеристики
Поэтому матричная представимость групп F(X)(n)F(Y) и Fn(X U Y) равносильна, по теореме 4.2, матричной представимости нильпотент-ного произведения Fn-\(X)(ri)Fn-\{Y). Известно, что свободная ниль-потентная группа представима матрицами над полем нулевой характеристики. С другой стороны, она не может быть группой матриц над полем положительной характеристики, так как в этом случае ее фактор по центру был бы группой ограниченного периода (см. лемма 4.4). Таким образом, группа F(X)(n)F(Y) представима матрицами над полем нулевой характеристики и не представима матрицами над полями положительной характеристики.
Отметим, что хотя свободные группы F{X), F(Y) представимы матрицами над полями произвольной характеристики (см. [23],[48]), их нильпотентное произведение представимо матрицами только над полями нулевой характеристики.
Рангом группы G называют наименьшее число г, обладающее тем свойством, что всякая ее конечно порожденная подгруппа может быть порождена не более чем г элементами. Если такое число существует, будем писать rankG = г, в противном случае rankG = со. Через Fn будем обозначать свободную группу со свободным порождающим множеством из п элементов.
Возможность представления группы матрицами конечной степени над некоторым полем накладывает ограничение на ее строение. Так из альтернативы Титса следует, что линейная группа, не содержащая свободной подгруппы Fi, является расширением линейной разрешимой группы при помощи линейной периодической. В абелевом случае полное описание строения групп, представимых матрицами конечной степени над полем, дает теорема А.И. Мальцева.
Теорема 5.1. ([16],теорема 1) Пусть G — абелева группа. а) Группа G представима матрицами степени п над полем нулевой характеристики тогда и только тогда, когда ранги ее примарных компо нент не превосходят, т.е. rank(zG) п. б) Группа G представима матрицами степени п над полем поло жительной характеристики р тогда и только тогда, когда ее примарная компонента zpG конечного периода не больше ps, а ранги остальных примарных компонент ограничены числом n — s. Из теоремы 5.1 непосредственно следует что абелева группа G представима матрицами над полями различных характеристик р и q тогда и только тогда, когда ранги ее примарных компонент ограничены в совокупности, а примарные компоненты тр G, xq G конечны. В этом случае rank(tG) oo и группа G представима матрицами над полем нулевой характеристики. Лемма 5.1. Пусть G — р-группа представимая матрицами степени п над полем характеристики р и матрицами степени m над полем характеристики q, р Ф q. Тогда \G\ pem (np)m , где є = [log n] + 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как /?-группа матриц степени п над полем характеристики р, G унитриангулируема и является группой конечного периода рг. В этом случае выполнены неравенства рг ] п рг, а на группе G верно равенство Gp" = 1, где е = [log n] + 1. По теореме Бернсайда \G : Uq{G)\ (pe)m , где Uq(G) — унипо-тентный радикал группы G, как группы матриц степени m над полем характеристики q. Так как G — р-группа и (p,q) = 1, то Uq{G) тривиален и \G\ е = [logp п] 4- 1. Из неравенства ре пр получаем G (np)m . Лемма 5.2. Пусть G — группа конечного периода / представимая матрицами степени п над полем характеристики р 0, и матрицами степени m над полем характеристики q 0, р ф q. Тогда \G\ I" pem , где е = [\ogpn] + 1, или G ln\np)m\ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПО теореме Бернсайда \G : UP(G)\ = ln\ где UP{G) — унипотентный радикал группы G, как группы матриц степени п над полем характеристики р. По лемме 5.1 \UP(G)\ pem , где е = [logpn] + 1, и, следовательно, \G\ Vх pem или \G\ I" (np)m . Теорема 5.2. Периодическая группа G допускает точное представление матрицами над полями различных характеристик р и q тогда и только тогда, когда в ней найдется нормальная абелева подгруппа А конечного индекса, ранги примарных компонент которой ограниче ны в совокупности, а примарные компоненты трА, zqA конечны. Индекс нужной группы А ограничен целозначной функцией f(m,n,p), где m,n — степени данных представлений, р — ненулевая характеристика.
