Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Разрешимые минимаксные группы и группы конечного ранга 30.
1. Слабые условия минимальности, и максимальности для подгрупп, 32
1.1. Условия обрыва, двойных цепей подгрупп. 32
1.2. Лемма о. группах с финитла отделимыми подгруппами. 34
1.3. Локально почти разрешимые группы с условием обрыва двойных цепей подгрупп , 38
2. Слабое условие, минимальности, для абелевых и для неабелевых подгрупп 47
2.1. Предварительные утверждения 47
2.2. Теорема о группах с условием 54
3. Теорема о совпадении, рационального и специального рангов 55
3.1. Q локально нильпотентных минимаксных группах 56
3.2. Конечно, порожденные разрешимые группы конечного ранга без кручения 64
3.3. Рациональный и специальный ранги 65
4. Почта разложимость разрешимых групп, конечного ранга . 69
4.1. УЪ -сопряженная дополняемость подгрупп 69
4.2. Нильпотентные добавления 71
4.3. Пример 76
Глава 2. Дополняемые нормальные подгруппы бесконечных групп. 84
5. Дополняемость черниковских нормальных подгрупп в локально конечных группах 86
5.1. Обобщение теоремы Гашюца 86
5.2. F -дополняемость черниковских нормальных подгрупп 92
6. Черниковские модули 97
6.1. Неприводимые, разложения 97
6.2. Неприводимые, модули и их коммутаторные лестницы 99
7. Прямые разложения черниковских модулей 10
7.1. Признак прямой разложимости 103
7.2. Прямая дополняемость подмодулей с F-центром ранга I 107
7.3. Черниковские модули, близкие, к однородным . III
8. Черниковские р -группы с центром ранга I 123
8.1. Характеризационная лемма 124
8.2. Модуль Vdri7 ^2.,---,1^) 128
8.3. Основная теорема 135
Глава 3. Группы операторов конечного ранга и их применение 139
9. Абелевы группы с группами операторов конечного свободного ранга 142
9.1. Локально почти полициклические группы 142
9.2. Группы опараторов 144
10.Произведения абелевых групп 147
10.1. Произведения групп конечных свободных рангов . 148
10.2. Группы конечных секционных рангов и к -свойство 153
10.3. Случай минимаксных множителей и множителей конечного ранга 161
11. Нильпотентные, аппроксимации метабелевых групп .166
11.1. Влияние локальной нильпотентности периодических фактор-групп 166
11.2. Нильпотентность периодических фактор-групп. 174
11.3. Применение к факторизуемым группам 177
12. Локально разрешимые группы с конечными группами операторов 181
12.1. Операторный аналог теоремы Черникова 182
12.2. Лемма о ранге /э -группы 188
12.3. Операторный аналог теоремы Горчакова 192
Глава 4. Прямые дополнения в абелевых группах с операторами и расщепляемость расширений групп 197
13. Условия существования прямых дополнений 200
13.1. U -разложение артинова модуля 200
13.2. Редукционные леммы 210
13.3. Дополнения к артиновым и нетеровым подмодулям 215
14. Расщепляемость расширений артиновых и нетеровых модулей 221
14.1. Случай артинова модуля 221
14.2. Случай нетерова модуля 231
14.3. Пример нерасщепляемого расширения 235,
14.4. Расширения при помощи локально нильпотентных групп. Следствия основных результатов и связь с задачей о дополняемости корадикалов 237
Литература
- Локально почти разрешимые группы с условием обрыва двойных цепей подгрупп
- Почта разложимость разрешимых групп, конечного ранга
- Прямые разложения черниковских модулей
- Случай минимаксных множителей и множителей конечного ранга
Введение к работе
Одним из основных методов исследования бесконечных групп является наложение на них тех или иных условий конечности, т.е. таких свойств, которые присущи всем конечным группам. Систематическое изучение бесконечных групп с условиями конечности началось в самом конце тридцатых годов в работах С.Н.Черникова. Вскоре в изучение таких групп включились многие известные советские и зарубежные алгебраисты - О.Ю.Шмидт, А.И.Мальцев, А.Г.Ку-рош, Р.Бэр, и в результате в общей теории групп появилась новая большая содержательная область исследований, которая обогатила теорию групп многими фундаментальными понятиями, идеями и связанными с ними глубокими результатами.
Условиями конечности определился эффективный подход к изучению бесконечных групп, находящихся на стыке конечных групп с бесконечными. Одним из первых условий конечности явилось условие минимальности для подгрупп, сыгравшее важную роль в развитии исследований по бесконечным группам. В работах, относящихся к 1939 -1940 г.г., С.Н.Черников детально исследовал строение групп с условием минимальности для подгрупп при различных дополнительных ограничениях, таких, как нормализаторное условие, локальная разрешимость и других. Им было, в частности, установлено, что группы такого рода являются конечными расширениями прямых произведений конечного множества квазициклических групп; за ними впоследствии закрепилось название черниковских групп. С черниковскими группами связано очень большое число исследований многих авторов, разнообразные характеризации таких групп получены С.Н.Черниковым, А.И.Мальцевым, Р.Бэром, В.П.Шунковым и др. В значительной степе ни этому способствовала известная проблема Черникова о группах с условием минимальности, поставленная игл в 1940 г. и ставшая одной из центральных проблем теории бесконечных групп. Она была положительно решена для важного специального случая локально конечных групп В.П.Шунковым /1970 г./, отрицательное /в общем случае/ решение ее следует из результатов А.Ю.Ольшанского /1979 г./.
В отмеченных работах U.Н.Черниковым были впервые введены новые важные классы групп, такие, как локально разрешимые и локально нильпотентные группы. В последовавших затем работах С.Н.Черникова, А.И.Мальцева, О.Ю.Шмидта окончательно оформилось понятие локальных свойств групп, были найдены возможности распространения на бесконечные группы классических понятий разрешимости и нильпотентности. Большое значение в становлении теории обобщенно разрешимых и обобщенно нильпотентных групп имела известная работа А.Г.Куроша и С.Н.Черникова, явившаяся источником многочисленных исследований как в нашей стране, так и за рубежом.
Значительную роль в формировании современного направления теории групп, связанного с обобщенно разрешимыми и обобщенно ниль-потентными группами сыграло условие конечности специального ранга. Понятие специального ранга, называемого обычно рангом группы, было введено А.И.Мальцевым. Используя его, он выделил ряд важных классов разрешимых групп и применил к их изучению линейные группы, доказав фундаментальную теорему о том, что любая разрешимая линейная группа над алгебраически замкнутым полем обладает триангулируемой нормальной подгруппой, индекс которой конечен и не превосходит числа, зависящего только от порядка матриц. Результаты А.И.Мальцева стали основополагающими в теории обобщенно разрешимых групп конечного ранга. Основной вклад в ее развитие был внесен советскими авторами - Д.М.Смирновым, В.С.Чариным, м.И.Ка-ргаполовым, Ю.И.Мерзляковым, Ю.М.Горчаковым, В.П.Шунковым.
В работах Ф.Холла, относящихся к 50-м годам, были исследованы взаимоотношения между различными условиями конечности в классе разрешимых групп: конечной порожденностью, условием максимальности для нормальных подгрупп, финитной аппроксимируемостью. Идеи и результаты Ф.Холла стимулировали многие исследования по конечно порожденным разрешимым группам.
В 1967-1968 г.г. в работах Р.Бэра, Д.Робинсона и автора было начато изучение минимаксных групп, т.е. групп, обладающих конечным субнормальным рядом, факторы которого удовлетворяют условию минимальности или условию максимальности. При изучении их возникли понятия слабого условия минимальности и слабого условия максимальности для подгрупп, рассматривавшиеся впоследствии в различных классах групп рядом авторов. Была обнаружена важная принципиальная связь между группами конечного ранга и минимаксными группами, а именно, было доказано, что конечно порожденные разрешимые группы конечного ранга являются минимаксными.
В теории обобщенно разрешимых групп возникла и заняла видное место проблематика, связанная с изучением групп по свойствам их абелевых подгрупп. Здесь был получен ряд замечательных результатов: теорема С.Н.Черникова о локально разрешимых группах с условием минимальности для абелевых подгрупп, теорема А.И.Мальцева о полицикличности разрешимых групп с конечно порожденными абелевы-ми подгруппами, теорема М.И.Каргаполова о разрешимых группах с абелевыми подгруппами конечных рангов, результаты В.СЛарина, Ю.М.Горчакова, Ю.И.Мерзлякова, В.П.Шункова.
В настоящее время вполне осознана существенная роль в этой проблематике вопроса об условиях расщепляемости расширений групп, или, инане говоря, об условиях существования дополнений к нормальным подгруппам групп. Как было выяснено, группы, удовлетворяющие тем или иным условиям конечности, нередко обладают свойства -8 ми расщепляемости над своими нормальными подгруппами в том или ином естественном для бесконечных групп смысле, что обусловливает использование теорем о расщепляемости расширений при изучении., например, бесконечных разрешимых групп. Этим в большой степени определяется значение исследований обобщенно разрешимых расширений абелевых групп. С другой стороны, исследования такого рода испытали сильное влияние теории конечных групп, так как они тесно связаны с задачей о перенесении на возможно более широкие классы групп известных результатов о конечных группах, таких, как теорема щура-Цассенхауса, теоремы Гашюца о существовании дополнений к нормальным подгруппам, а также с задачей о нахождении аналогов отмеченных результатов для определенных видов бесконечных групп. Указанным вопросам посвящены работы многих авторов, среди которых в первую очередь следует назвать работы А.И.Мальцева, С.Н.Черникова, Б.Хартли, д.Робинсона, м.Ньюэлла.
С описанными направлениями исследований в теории бесконечных групп связана настоящая диссертация. Естественно, что значительное место в ней отводится изучению групп конечного ранга и минимаксных, групп, изучению черниковских групп, нахождению условий существования дополнений к нормальным подгруппам бесконечных групп и применению полученных результатов к исследованию расширений абелевых групп, диссертация состоит из четырех глав, в начале каждой главы дается краткий обзор рассматриваемых в ней вопросов и полученных основных результатов. Охарактеризуем ее содержание более, подробно, придерживаясь принятой в ней последовательности изложения.
Локально почти разрешимые группы с условием обрыва двойных цепей подгрупп
Пусть группа О есть расширение конечной подгруппы Г порядка К при помощи группы, обладающей рациональным рядом длины Г . Тогда 3 содержит характеристическую подгруппу Т , обладающую рациональным рядом длины Г и индекс I 5 П конечен и не превосходит некоторого числа, зависящего только от К и Г .
Существование в группе 3 подгруппы конечного индекса, обладающей рациональным рядом, доказано в [50, теорема 3.9J , но ввиду необходимости оценить индекс этой подгруппы приведем здесь другое доказательство сформулированного утверждения.
Доказательство. Сначала докажем такое утверждение: если некоторая группа А обладает конечной нормальной подгруппой , порядка не выше 1с , и фактор-группа к/В абе-лева без кручения ранга не выше ь , то в А существует такая характеристическая абелева подгруппа V без кручения, что порядок фактор-группы А / V конечен и не превосходит некоторого числа, зависящего только от к и L .
Обозначим через 6 централизатор подгруппы О в группе А Тогда . Пусть - подгруппа, порожденная (с 1-ми степенями элементов абелевой группы Так как коммутант С содержится в центральной подгруппе CnD группы С и так как/СпЬ= k! , то подгруппа и абелева.
Положим . Подгруппа V абелева без кручения и харак теристична в А , а ее индекс в А ввиду построения удовлетворя ет соотношению
Следовательно, подгруппа V искомая. Пусть теперь группа S удовлетворяет условиям доказываемой леммы. Так как фактор-группа обладает конечным рациона 5 льным рядом, то в о существует ряд характеристических подгрупп факторы которого являются абелевыми группами без кручения рангов не выше Г . В соответствии с доказанным выше утверждением находим в 5 характеристическую абелеву подгруппу Vj без кручения, висящего только от K,= F И І" . Далее, в Ь /У- находим характеристическую абелеву подгруппу V2 /Vf без кручения, индекс которой также не превосходит некоторого числа, зависящего только от (г и г , Повторив эти рас-суждения $ раз, получаем подгруппу V . Положим Г— v6 Индекс I S Т по построению не превосходит некоторого числа, зависящего только от ь и Г . Подгруппа Т характеристическая в 5 и обладает рациональным рядом, так как в ряду подгрупп факторы абелевы и без кручения. Наконец, длина рационального ряда подгруппы I равна Г , так как I изоморфна подгруппе конечного индекса фактор-группы о/г и длина рационального ряда последней равна Г по условию леммы. Следствие. Локально почти разрешимая группа G , удовлетворяющая условию Yrwi - ftiasc является расширением квазиполной группы при помощи финитно аппроксимируемой группы.
Доказательство. Пусть Q. - пересечение всех подгрупп конечного индекса группы U . Покажем, что Q - квази полная группа. Предположим противное: U имеет нормальную под группу конечного индекса Ytl 1 . Если W есть пересечение всех нормальных подгрупп группы U , имеющих в U индекс in , то конечна, так как по следствию леммы 1.3 Q/W почти без кручения. Фактор-группа Q /и по тому же следствию почти разрешима и ввиду леммы I.I содержит подгруппу конечного индекса 5 /и , обладающую конечным рациональным рядом. По лем ме 1.4 в существует подгруппа T/W конечного индек са, обладающая рациональным рядом. Подгруппа имеет в Q коне чный индекс, значит, по определению подгруппы Q : Q Т Отсюда , что невозможно, так как T/W груп па без кручения. Полученное противоречие показывает, что б квазиполная группа.
Лемма 1.5. Пусть группа ь содержит подгруппу Н конечного индекса, обладающую рациональным рядом длины Г . Тогда G содержит ряд характеристических подгрупп F S Ь , где F - конечная подгруппа, фактор b/F обладает рациональным рядом длины Г , фактор Ь / 3 конечен и его порядок не превосходит некоторого числа, зависящего только от Г .
Доказательство. Сначала докажем такое утверждение: если некоторая группа А обладает характеристической подгруппой и конечного индекса, являющейся абелевои группой без кручения ранга не выше k , то в А существует ряд характеристических подгрупп U V А , где U - конечная подгруппа, фактор V/1/ абелев без кручения ранга не выше к , порядок фактора A/V не превосходит некоторого числа, зависящего только от (с
Действительно, как известно, порядок конечной группы автоморфизмов абелевои группы без кручения конечного ранга не превосходит некоторого числа, зависящего только от этого ранга. Поэтому индекс централизатора V подгруппы В в группе А не превосходит некоторого числа, зависящего только от k . Подгруппа V является конечным расширением своей центральной подгруппы D , следовательно, коммутант группы V конечен и, значит, все элементы конечного порядка группы V составляют подгруппу U , которая, очевидно, конечна. Фактор-группа V / U абелева без кручения ранга не выше к, . Характеристичность подгрупп вытекает из способа их построения.
Почта разложимость разрешимых групп, конечного ранга
Определение. Пусть КУ - натуральное число. Скажем, что нормальная подгруппа Л/ некоторой группы ь hi -сопряженно дополняема в Q , если она дополняема в Ц и множество всех ее дополнений распадается в fv классов сопряженных в ь подгрупп.
В частности, при /г-=/ будем говорить, что подгруппа Л/ сопряженно дополняема в L ; в этом случае все дополнения подгруппы N в группе (ч сопряжены. Именно такая ситуация имеет место, например, в теоремах Шура [33, стр.182] и Гашюца-Шенкмана [97,I35J . Если разрешимая А,-группа Ь представима в виде полупрямого произведения U A Н абелевой подгруппы А без кручения и конечной подгруппы п , то подгруппа А \ь -сопряженно дополняема в Ь для некоторого \Ъ , Этот факт вытекает из известной теоремы Мальцева [40, теорема 9J о том, что множество конечных подгрупп разрешимой А -группы распадается в конечное число классов сопряженных подгрупп, для теоремы Мальцева в конце этого параграфа мы приведем простое доказательство.
Пусть А , Ь две нормальные подгруппы группы U , причем подгруппа А абелева, Если А -сопряженно дополняема в для некоторого натурального It , то в (ц существует такая подгруппа Ц , что D Q. , С : Q Yis и подгруппа А Ьп -сопряженно дополняема в Ц , где Wi УЬ . Если же дополнительно известно, что подгруппа А дополняема в t , то в качестве подгруппы Ц можно взять саму группу С . Доказательство. Возьмем представители - 4? — Ь всех классов сопряженных дополнений к подгруппе А в В и множества
Обозначим через ь. множество всех таких элементов группы U , которым при указанном гомоморфизме отвечают обозначим через В; класс сопряженных в и подгрупп, определяемый представителем Вц . Произвольный элемент Хб t , действуя в Ь сопряжением, переставляет классы В между собой, поэтому возникает гомоморфизм группы ц в группу подстановок подстановки, оставляющие о і на месте. Очевидно, ь?- - подгруппа, содержащая В , и I G : Gj I АЛ/ Имеет место соотношение С.=А\ь/й( ). /4 2/ В самом деле, во-первых, , так как А глN (%) = А/А (%) = С\(Ё) = 1 . Во-вторых, если X б. , ь ] /л J А А х, JQ то по определению подгруппы U« подгруппа с»; сопряжена с 6- в D , Т.е. з» & поэтому X & 6 Д/и fBj) и, значит, X 6 А A/g () .
Выберем среди подгрупп Ь; такую, пусть это будет ЬУ , индекс которой в U есть наименьшее возможное число, и покажем, что подгруппа Ц искомая. Ввиду /4.1/ для этого достаточно установить только, что A Yr\s -сопряженно дополняема в Ц для некоторого Кґі , hV . Возьмем произвольное дополнение 3 подгруппы А в С, . Так как пересечение 5пЬ дополняет подгруппу А вВ то Ьло сопряжено в D с одним из дополнений D, т.е.
В силу выбора подгруппы Ц получаем Ц- Gi , что с учетом соотношений /4.2/,/4.3/ влечет равенство Ввиду доказанного множество классов сопряженных дополнений подгруппы А в Ц не выше /V , т.е. подгруппа A hz -сопряженно дополняема в Q. для некоторого YYV , YYl . in л . Остается заметить только, что если подгруппа А дополняема в U и К одно из ее дополнений, то и потому мож но считать, что и г\ К = р: при некотором J . Тогда и - К и, значит, . Следовательно, в доказа тельстве можно положить G — Ц . Лемма доказана.
Нильпотентные добавления. Теорема 4.1. Пусть U - группа конечного ранга, N некоторая ее нормальная разрешимая А -подгруппа и фактор Ь/Д/ почти нильпотентен. Тогда в группе и существует такая нильпотен-тная подгруппа п , что индекс I G N и I конечен. Иначе говоря, подгруппа N обладает нильпотентным добавлением почти во всей группе .
Слово "добавление" означает, что пересечение не обязательно тривиально как в случае дополнения и может быть,вообще говоря, произвольным. Заметим однако, что хотя в теореме ничего не сказано о пересечении А/л Н , сделать некоторые выводы об особенностях последнего можно, внимательно просмотрев доказательство теоремы.
Напомним определение разрешимой А -группы, принадлежащее А.И.Мальцеву [40] . Абелева группа называется группой типа А , , если ее ранг конечен и периодическая часть черниковская. Разреши -72 мая А -группа - это группа, обладающая конечным субнормальным рядом, факторы которого суть абелевы группы типа А- . Известно, что всякая разрешимая А -группа S обладает конечным рядом характеристических подгрупп в котором К- - полная /абелева/ черниковская подгруппа, а факторы ij /5 у либо абелевы без кручения конечного ранга, либо ко л нечны. Напомним также, что абелевыми группами типа п, называются абелевы группы конечного ранга с конечными периодическими частями; аналогично А.-группам определяются разрешимые А -группы[40j.
Прямые разложения черниковских модулей
Черниковские модули, близкие к однородным. Пусть А -черниковский F o -модуль с абелевой группой F . Если А - однородный модуль /т.е. его однородное разложение /7.1/ состоит из одного члена/, то А разлагается в прямую сумму неприводимых полных подмодулей, причем способ построения такого разложения довольно простой /см. п.д/ 6/. Можно ли указать способ построения прямых разложений модуля А в случае, когда его однородное разложение состоит из 4 членов и i \ Оказывается, что действительно такой способ указать можно, если
В доказательстве теоремы 7.3 описывается процесс построения прямого разложения черниковского модуля А с двумя однородными компонентами, который приводит к такому разложению, каждое слагаемое которого V; является суммой V = B j + Cj двух неизоморфных неприводимых полных подмодулей, или \Л само неприводимый подмодуль.
Основная идея этого процесса построения состоит в выборе под модулей \Л 0 Va таким образом, чтобы
Заметим, что сам метод доказательства теоремы 7.3 позволяет обобщить ее на случай, когда А полная абелева b -группа не обязательно конечного ранга. Отметим также, что в рассматриваемом случае можно дать и полное описание строения слагаемых V;
Существуют простые примеры, показывающие, что утверждение, аналогичное теореме 7.3 для 6 2. уже не верно. Теорема Vi3, Если однородное разложение черниковского F o -модуля А с абелевой группой F состоит из двух членов, то А разлагается в прямую сумму подмодулей, каждый из которых является суммой не более двух неприводимых полных подмодулей.
Доказательство. Пусть A = В -+- Qy _ однородное разложение модуля А I. Рассмотрим сначала случай, когда одно из слагаемых, напри мер, Е , является г -центральным подмодулем. Если п С = 0, то теорема справедлива в силу утверждения д/ 6. Пусть Вп СФО. Пересечение Ъ г\ С содержится в F -центре подмодуля L и потому с г\ С - элементарная абелева b -группа /п.б/ 6/.
Следовательно, 5лС = Ф 2,; Р \ 0 . Так как - од нородные F -модули, то по утверждению д/ 6 7,1 можно включить в неприводимые подмодули D; , С-. подмодулей В , ,соответственно. Положим -центр подмодуля VJ равен D« и J J J .Jo м і потому подмодуль V , порожденный V ,V2: 9 V , распадается в прямую сумму V = V . По утверждению д/ 6 I г имеем соотношения ги, где U ,W некоторые подмодули модуля А . Нетрудно проверить, что подмодули (J ,V ,W дают прямое разложение модуля А , т.е. Подмодули разлагаются в прямые суммы неприводимых подмодулей как однородные г -модули. Следовательно,модуль А обладает разложением, указанным в теореме.
Перейдем теперь к доказательству теоремы в случае, когда обе однородных компоненты В ,С модуля А являются г -нецентральными подмодулями. Это означает, что подгруппы п , Ц , состоящие из элементов группы F , действующих тождественно в подмодулях В , С .соответственно, отличны от г , т.е. Н F , ьФг . 2а. Покажем, что существует такой элемент .р , что F
Действительно, так как D , С - однородные г -модули, то фактор-группы F/H , F/U циклические /6, утв.д//. Следовательно, циклическими будут и фактор-группы Н /Н г\ С » /Hr\G а поэтому в F существуют такие элементы х , v , сь , что F=H , Н=СНп) & , б-бНл) . /7#8/ Из этих соотношений вытекает н -Ц =н % =. н Сн о е) 9 = Н , G -fy «fi =flMC) .JL = HC. /7 9/
Ввиду того, что фактор-группа F/ циклическая, то одна из двух подгрупп Ъ\ 0 , G 4v содержит другую. Если Х U H » то можно положить = %п . Действительно, в этом случае X С L и потому HG = H X -F = F , следо вательно, соотношения/7/9/ дают Ц 4а —F , ь 4га =Р Если же ь ж fi i , то полагаем 4-- = х .В этом случае 1 z. х и потому с учетом соотношений /7.8/ получаем и, кроме того, Н х = F по выбору элемента X
Случай минимаксных множителей и множителей конечного ранга
Один из важных моментов исследования строения групп, фактори-зуемых двумя абелевыми подгруппами, состоит в анализе следующей ситуации, которую в обобщенной форме можно описать таким образом. Пусть А - конечно порожденный ZH -модуль, Н - абелева группа конечного свободного ранга, С - произвольное расширение А при помощи п и каждая периодическая фактор-группа группы U локально нильпотентна. Эта ситуация напоминает ту, с которой приходится сталкиваться при доказательстве важной теоремы Робинсона [I27J о нильпотентности конечно порожденной разрешимой группы, все конечные фактор-группы которой нильпотентны.
Ввиду этой теоремы можно ожидать, что группа Ц , о которой идет речь, также будет в том или ином смысле близка к нильпотент ной. Эта задача решается в теореме II.I - основной в II, в ко торой, в частности, устанавливается, что группа (з , удовлетво ряющая указанным предположениям, является произведением нильпоте нтных нормальных подгрупп и потому она локально нильпотентна.
Усиление ограничений на строение фактора и замена локальной нильпотентности периодических фактор-групп на их нильпотентность приводит к конкретизации теоремы II.I - теореме II.2. Теорема II.3 является результатом применения теоремы II.I к изучению произведений абелевых групп.
Влияние локальной нильпотентности периодических факторгрупп. ZH -модуль А , удовлетворяющий условию теоремы II.I, вообще говоря, не удовлетворяет условию максимальности для подмодулей. Именно это обстоятельство и обусловливает особенности метода доказательства теоремы II.I по сравнению с методом доказательства отмеченной выше теоремы Робинсона [127] .
Теорема II Л. Пусть А - конечно порожденный ZH -модуль, Н - абелева группа конечного свободного ранга, -произвольное расширение А посредством п . Предположим также, что каждая периодическая фактор-группа группы и локально ниль-потентна. Тогда а/ ь является произведением нильпотентных нормальных подгрупп, в частности, группа U локально нильпотентна; б/ группа нильпотентна и имеет конечный свободный ранг - периодическая часть А /.
В доказательстве теоремы II.I используется несколько лемм, первая из них вытекает из теоремы 9.2. Лемма II.I. Если п - абелева группа конечного свободного ранга, А - конечно порожденный ZH -модуль, множество максимальных подмодулей которого конечно, то аддитивная группа А периодическая и фактор-группа Н /Сц (К) также периодическая.
Лемма II.2. Нильпотентная группа G конечного свободного ранга, имеющая ограниченную периодическую часть, обладает такой характеристической подгруппой N без кручения, что факторгруппа U IN ограниченная.
Доказательство. Индукция по сумме Г0 ()+с() свободного ранга и ступени нильпотентности группы Ц . Если группа Ь периодическая, то можно положить А/—1 , поэтому будем считать, что Г0() У О . Возьмем в факторе с/не) по периодической части t(Tu) группы G изолированную нормальную подгруппу без кручения ранга I и рассмотрим фактор группу ц / Q , где G2=r 3G ,J . Ее периодическая часть ограничена, поэтому она выделяется в пря 2. мым множителем: jL h(OIL fi,/G2.
Отсюда вытекает существование такого натурального К , что Й /L Если С9 = ї , то ступень нильпотентности любой подгруппы Ь2, } 73 СІ меньше, чем ступень нильпотентно сти группы QA [ЗЗ, сЛ40] , значит, так как ранг фактора QAIь2 равен. I, то ступень нильпотентности группы k меньше С-С С) .
Поэтому в силу индуктивного предположения для некоторого натура льного ПЪ щ - подгруппа без кручения. В случае ц — 1 это заключение верно при YYI — \ . Таким образом, Ц - подгруппа без кручения ранга I. Свободный ранг фактор-группы ь/Ц меньше Г0 (Q) и пе риодическая часть ее ограничена, значит, по соображениям индукции (ь/С ) - группа без кручения для некоторого натурального \с . Отсюда вытекает, что 4» - группа без кручения и можно по-этому положить hi— Q Следствие. Пусть группа С и ее абелева подгруппа А такие, как в теореме II.I. Если А - ограниченная и фактор и/Сл(Ю - периодический, то группа локально нильпотентна.
В самом деле, возьмем в CJ(A)/A такую конечно порожденную подгруппу к /А » что фактор С л (А) /К периодический. Тогда К - двуступенно нильпотентная подгруппа конечного свободного ранга с ограниченной периодической частью. Ввиду леммы II.2 существует такое натуральное /г- , что К - без кручения. Так как Ал К -1 , то Ь вложима в прямое произведение абелевой группы ь / А и периодической группы h I К , последняя по условию локально нильпотентна, значит, локально нильпотентна и группа U .
Лемма II.3. Пусть группа ь и ее абелева нормальная подгруппа А удовлетворяют предположениям теоремы II.I. Тогда для любого простого числа р фактор-группа G /А локально нильпотентна и фактор G 1С л (к /А / периодический.
