Содержание к диссертации
Введение
1 Группы ограниченных подстановок 14
1.1. Факторизация группы G 16
1.2. О подгруппах группы G 20
1.3. Связь между F и G['. 25
2 Группы Цассенхауза 30
2.1. Конечность некоторых точно дважды транзитивных групп 33
2.2. Характеризации группы Ь2(Я) над локально конечным полем Q характеристики 2 40
3 Локально конечные группы Судзуки 50
3.1. Вполне А-факторизуемые группы 53
3.2. Локально конечные 2-группы Судзуки 60
3.3. Строение группы So 69
3.4. Характеризация локально конечной группы Судзуки Sz(Q) 71
4 Приложения к группам с инволюциями 77
4.1. Группы с заданными сильно изолированными и сильно вложенными подгруппами 82
4.2. Периодические группы с абелевыми централизаторами инволюций 87
4.3. Число пар порождающих групп L2{2n) и Sz(22k+l) . 96
Литература 105
- О подгруппах группы G
- Характеризации группы Ь2(Я) над локально конечным полем Q характеристики 2
- Локально конечные 2-группы Судзуки
- Периодические группы с абелевыми централизаторами инволюций
Введение к работе
Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Главы делятся на параграфы. Нумерация формул, определений, замечаний, лемм, предложений, теорем сквозная в пределах каждой главы и имеет вид п.т, где п — номер текущей главы. Точные формулировки всех теорем приведены в начале глав. Все обозначения либо стандартны [14, 8], либо оговариваются.
Диссертация посвящена вопросам теории бесконечных групп с инволюциями. В первой главе вводятся и изучаются группы ограниченных подстановок. Во второй и третьей главах исследуются группы Цассенхауза и локально конечные 2-группы Судзуки. В четвёртой главе изучаются группы с сильно изолированной подгруппой и периодические группы с абелевыми централизаторами инволюций.
Особая роль инволюции в теории групп известна давно. Две инволюции всегда порождают группу диэдра. В работах Р. Брауэра (50-е годы прошлого века) была установлена глубокая взаимосвязь между строением конечной группы и централизаторами её инволюций ([8][стр. 10]). В 1962 г. Д. Томпсон и У. Фейт [60] доказали, что любая конечная неразрешимая группа содержит инволюцию. Эти результаты индуцировали многочисленные работы по классификации конечных простых групп в терминах строения централизаторов инволюций.
В группах Новикова-Адяна [21,1] любая конечная подгруппа является циклической, а А.Ю. Ольшанским [22, 23] построены бесконечные простые периодические группы G, в которых все собственные подгруппы циклические. При этом TT{G) может содержать любое простое число, кроме 2. Поэтому теорема Фейта-Томпсона и многие другие результаты теории (локально) конечных групп не оставляют следа в классе периодических групп. С другой стороны, в 1972 г. В.П. Шунков [52] доказал почти разрешимость периодической группы с конечным централизатором инволюции. Появилась надежда, что некоторые теоремы о конечных группах с инволюциями могут быть перенесены на периодические группы (см., например, вопросы 4.75, 10.76, 10.77, 11.11, 11.13. 12.100, 15.54, 15.82, 15.87, 15.100,
15.101 из Коуровской тетради [20]).
Первое описание периодической группы G с заданными бесконечными централизаторами инволюций получено В.Д. Мазуровым [18], а также независимо А.И. Созутовым и диссертантом [33]. Предполагалось, что централизатор каждой инволюции в группе G является элементарной абелевой подгруппой. Более того, результат оставался справедливым и для любой группы, содержащей конечную инволюцию (инволюция і группы G называется конечной, если \гі9\ со для каждого д G.G). Последующие результаты в этом направлении определялись достижениями в изучении групп Цассенхауза (Z-rpynn), т.е. дважды транзитивных групп подстановок с тривиальным стабилизатором каждых трёх точек.
Д. Горенстейн ([8][стр. 157]) отмечает, что "теория дважды транзитивных групп перестановок представляет собой одну из наиболее глубоких и красивых глав теории конечных простых групп". В свою очередь, Z-группы составляют важнейших подкласс класса дважды транзитивных групп. Конечные Z-группы полностью описаны X. Цассенхаузом, У. Фейтом, М. Судзуки и Н. Ито ([8], стр. 378), что послужило, например, основой при изучении групп с абелевы-ми и диэдральными силовскими 2-подгруппами, CN-груш (групп с нильпотентными централизаторами неединичных элементов).
В теории периодических групп с инволюциями классификация Z-групп с локально конечным стабилизатором точки имела бы не меньшее значение. Но лишь в последние годы здесь произошёл определённый сдвиг, благодаря работам Т. Петерфалви [70], В.Д. Мазурова [18], А.И. Созутова и диссертанта [33]-[45]. Если в Z-группе стабилизатор уже двух точек тривиален, то она называется точно дважды транзитивной группой. Класс точно дважды транзитивных групп тесно связан с проективными плоскостями и почти-полями ([47], глава 20). Конечные точно дважды транзитивные группы изучены К. Жорда-ном [68] и X. Цассенхаузом [78]. Результатов же по бесконечным точно дважды транзитивных группам совсем немного. В.Д. Мазуров сформулировал два вопроса о таких группах в Коуровской тетради (11.52, 12.48) и доказал существование регулярного абелева нормального делителя в точно дважды транзитивной группе, если её стаби лизатор точки является FC-группой (группой с конечными классами сопряжённых элементов [9]) [17]. В первом параграфе второй главы дано описание групп, у которых стабилизатор точки — 2-группа.
В работе В.Д. Мазурова [18] доказано, что если G — трижды транзитивная группа, в которой стабилизатор двух точек коммутативен и не содержит инволюций, то G SL2(P), где Р — поле характеристики 2. Т. Петерфалви изучал дважды транзитивные группы со стабилизатором точки вида В = UXH, где U, Я — абелевы подгруппы. Во втором параграфе второй главы и в четвёртом параграфе третьей главы доказаны две теоремы о Z-группах. Направляющим вектором в этих доказательствах служила знаменитая работа М. Судзуки [74], в которой установлено, что конечная Z-группа с фробениусовым стабилизатором точки В = SXH, где ядро S неабелева 2-подгруппа, Я — циклическая подгруппа, изоморфна группе Sz(22n+1). При решении этой задачи Судзуки требовалось в первую очередь знать строение 5, а несложно доказывалась лишь транзитивность действия Я на множестве всех инволюций из 5. Но этого оказалось достаточно Г. Хигману [65], чтобы описать все такие конечные 2-группы S. Следуя Хигману, произвольную неабелеву 2-группу S назовём 2-группой Судзуки (относительно Я), если S содержит более одной инволюции и допускает периодическую локально циклическую группу регулярных автоморфизмов Я, которая транзитивно переставляет её инволюции. Как и в конечном случае, описание 2-групп Судзуки необходимо при изучении бесконечных Z-групп. Будет ли 2-группа Судзуки локально конечной? Диссертанту это пока неизвестно ([20], вопрос 15.87). В параграфах 3.2, 3.3 начато изучение локально конечных 2-групп Судзуки.
В теории конечных групп понятие сильно вложенной подгруппы является фундаментальным ([8], §4.2). Напомним, что собственная подгруппа В называется сильно вложенной в группе G, если В содержит инволюцию и для любого элемента д Є G \ В пересечение В П В9 не содержит инволюций. Основополагающий результат о конечных группах с сильно вложенной подгруппой принадлежит М. Судзуки ([8], теорема 4.22). Заключительная классификация таких групп дана Г. Бендером [59]. Эта классификация тесно связана с теорией дважды транзитивных групп подстановок, в частности, с Z-группами.
В теории периодических и смешанных групп с инволюциями даже фрагменты подобной классификации служили бы мощным инструментом исследования. Один из основных результатов диссертации получен в параграфе 2 четвёртой главы. Доказан периодический аналог известной теоремы М. Судзуки о строении конечной группы с абелевым централизаторами инволюций. Основной анализ был связан с сильной вложенностью.
Потребность в изучении бесконечных групп с сильно вложенной подгруппой проявилась в ряде работ В.П. Шункова [52, 53, 56], а первые исследования периодических групп с сильно вложенной подгруппой были выполнены В.П. Шунковым и А.Н. Измайловым [12, 13] при некоторых дополнительных условиях конечности. Группы L,2(Q) и Sz(Q), где Q — локально конечное поле характеристики 2, содержат сильно вложенную подгруппу Фробениуса, совпадающую с нормализатором силовской 2-подгруппы. Верно ли обратное утверждение для периодических групп? По сути дела, это вопрос 10.76 В.П. Шункова из Коуровской тетради. Сформулируем его точно. Пусть G — периодическая группа, обладающая бесконечной силовской 2-подгруппой 5, которая либо (а) элементарная абелева, либо (б) 2-группа Судзуки, причём нормализатор В = NG{S) сильно вложен в G и является группой Фробениуса с локально циклическим дополнением. Должна ли группа G быть локально конечной? Необходимые пояснения к своему вопросу дал В.П. Шунков. Разумеется предполагалось, что S — ядро группы Фробениуса В, а "2-группа Судзуки" это силовская 2-подгруппа простой локально конечной группы Sz(Q). Как отмечалось, термин "2-группы Судзуки" мы употребляем в более широком смысле.
Вопрос 10.76 (а) положительно решил А.И. Созутов [25]. Ряд идей, которыми он поделился с диссертантом ещё до публикации, были использованы в дальнейших исследованиях. В частности, нами совместно получен положительный ответ на вопрос 10. 76 (б). Более общая ситуация, чем в вопросе 10.76 разобрана в первом параграфе главы 4. Кроме групп с сильно вложенной подгруппой, там также изучаются группы с сильно изолированной подгруппой. Такая подгруппа содержит централизатор каждого своего неединичного элемента. Конечные группы с собственной сильно изолированной подгруппой чётного порядка изучены М. Судзуки [73]. Близкие результаты получил В.М. Бусаркин [5, 6].
При изучении факторизуемых групп G = АВ, где А, В — некоторые подгруппы, даются ответы на естественный вопрос, что можно сказать о группе G при наложении тех или иных условий на подгруппы А и В! Например, если Л, В — абелевы подгруппы, то по теореме Н. Ито [66] группа G разрешима ступени 2. В работах [46, 57, 49] при некоторых ограничениях на группу G была доказана её периодичность при условии, что подгруппы А и В периодические. В.П. Шунков предложил мне выяснить, верно ли это в общем случае? В главе 1 вводятся и изучаются группы ограниченных подстановок целых чисел. В частности, дан отрицательный ответ и на этот вопрос.
В Коуровской тетради С.А. Сыскиным поставлена следующая задача 12.86: для каждой известной простой конечной группы G найти такое максимальное число га, что прямое произведение п экземпляров группы G порождается двумя элементами. Ещё в 1936 г. Ф. Холл [63] доказал, что п = 19 для группы G Аъ 1 (4) с Ь2(5). В третьем параграфе главы 4 задача Сыскина была решена для всех простых групп Ь2{2т) и Sz(22k+1).
Теперь подробно о содержании диссертации. Глава 1. Подстановку д множества целых чисел Z назовем ограниченной, если uj(g) = max \а — ад\ со. Пусть F — группа всех ограниченных подстановок множества Z, a G — её подгруппа, порождённая всеми элементами конечного порядка. В теоремах 1.1, 1.2 доказано, что G = АВ, где А, В — локально конечные подгруппы и в группу G вложима любая счётная г свободная группа и 2-группа Алёшина. В теореме 1.3 установлено, что F = GX{d), где d — сдвиг, ad = а + 1 для любого а Є Z, а по теореме 1.4 если Т — подгруппа из G с тривиальным локально конечным радикалом, то Т L/N, где L — финитно аппроксимируемая подгруппа группы G, а N — локально конечный радикал L. Наконец, если р-простое число, X — произвольная бесконечная конечно порождённая группа, которая аппроксимируется конечными р-группами, Q — локально конечный радикал X, то согласно теореме 1.5 фактор-группа X/Q содержит собственную подгруппу конечного индекса. Глава 2. В первом параграфе доказана Теорема 2.1. Пусть G — точно дважды транзитивная группа и её стабилизатор точки является 2-группой. Тогда G конечна и изоморфна группе Фробениуса порядка З2 • 23 или р • 2", где р = 2п + 1 — простое число Ферма. Пусть G — Z-группа, с локально конечным стабилизатором точки В = Ga. Предположим, что стабилизатор двух точек Н = Ga$ ф 1. Так как для локально конечных групп верна теорема Фробениуса, то В = UXH — группа Фробениуса, где ядро U нильпотентно (Томпсон [76], Хигман [64]). Если 2 Є 7г(С7), a v — инволюция из Nc(H), то следуя Судзуки [74] можно доказать, что существует такая единственная инволюция t Є U, что vtv = и гуи, где и Є U. Это равенство называется структурным тождеством Судзуки и играет исключительно важную роль при изучении Z-rpynn. При наших предположениях справедлива
Теорема 2.2. Если группа G содержит конечную инволюцию, и Є Z{U), то G L 2{Q) над подходящим локально конечным полем Q характеристики 2.
Заметим, что включение и Є Z(U) выполняется автоматически, если U — абелева группа, или G содержит подгруппу, изоморфную 5з- В последнем случае и = t Є Z(U).
Глава 3. Пусть G — группа, Л — конечная подгруппа из AutG, 7r(G) П 7г(Л) = 0 и каждый элемент из G содержится в конечной Л-допустимой подгруппе. В теореме 3.1 доказан некоторый аналог теоремы Машке, т.е. найдено необходимое и достаточное условие, при котором каждая Л-допустимая подгруппа из G имеет в ней -допустимое дополнение. Такие группы G названы вполне А-факторизуемыми. Изучить их диссертанту предложил Ю.М. Горчаков. Оказалось, что группа G тогда и только тогда является вполне А-факторизуемой, когда G = TXR, где Т, R — абелевы вполне А-факторизуемые подгруппы и Т разлагается в прямое произведение инвариантных в G минимальных Л-допустимых подгрупп.
В последующих двух теоремах изучаются локально конечные 2-группы Судзуки.
Теорема 3.2. Пусть U — локально конечная 2-группа Судзуки относительно группы автоморфизмов Н. Если А — максимальная абелева Н-допустимая нормальная в U подгруппа, то период А не превосходит 4, а фактор-группа U/A является элементарной абеле-вой.
Пусть SQ — группа периода 4 с центром Z = {b\b Є So, б2 = 1} и для любого элемента t Є So\ Z справедливо равенство tZ = {х\х Є So,x2 = t2}. Заметим, что в качестве So можно взять силовскую 2-подгруппу простой группы Судзуки Sz{Q) над локально конечным полем Q характеристики 2.
Теорема 3.3. Если U — 2-группа Судзуки относительно группы автоморфизмов Н uU изоморфна группе SQ, то Н uU представимы, соответственно, в виде объединения возрастающих цепочек конечных подгрупп Нг Н2 ... Нп ..., Ui U2 ... Un ...
таких, что каждая подгруппа Un является 2-группой Судзуки относительно Нп.
В последней теореме этой главы дана характеризация простой группы Sz{Q) над локально конечным полем Q характеристики 2.
Теорема 3.4. Пусть Z — группа G содержит конечную инволюцию, а ее стабилизатор точки Ga = В = UXH — локально конечная группа Фробениуса с ядром U So- Тогда G Sz(Q) над подходящим локально конечным полем Q характеристики 2.
Глава 4. В первом параграфе этой главы доказаны три теоремы. Наиболее сильной является
Теорема 4.1 Пусть группа G с конечной инволюцией содержит сильно изолированную неинвариантную подгруппу U и выполняется одно из следующих условий:
1) U — периодическая абелева подгруппа 2-ранга 1/
2) U — периодическая нилъпотентная подгруппа 2-ранга 1 и в G имеется подгруппа, изоморфная S3;
3)U S0.
Тогда при условии 1 или 2 G (Q); а при условии 3 G Sz(Q), где Q — подходящее локально конечное поле характеристики 2.
Если подгруппа U бесконечна и имеет 2-ранг 1, например, U — квазициклическая подгруппа, то пока даже в этом случае неизвестно, будет ли группа G локально конечной (вопрос В.Д. Мазурова 15.54 [20]). Заметим, что В.Д. Мазуров [18] независимо разобрал случай, когда U — абелева 2-группа ранга 1.
М. Судзуки [71] доказал, что неразрешимая конечная группа с абе-левыми централизаторами неединичных элементов изоморфна группе L2{2n), п 1. Из теоремы 4.1 легко выводится
Теорема 4.2. Пусть G — периодическая группа с абелевыми централизаторами неединичных элементов. Если G содержит четверную подгруппу, то либо Cc(i) G для некоторой инволюции і Є G, либо G 2(Q) над подходящим локально конечным полем Q характеристики 2.
Для контрастности, в группах Новикова-Адяна [21, 1] и Ольшанского [22, 23] централизаторы неединичных элементов даже циклические. Но в них нет инволюций. Следующая теорема также легко выводится из теоремы 4.1.
Теорема 4.3. Пусть группа G с конечной инволюцией содержит сильно вложенную подгруппу Фробениуса В — UXH, для ядра U которой выполняется одно из следующих условий:
1) U — абелева 2-группа;
2) U — локально конечная 2-группа и в G имеется подгруппа, изоморфная Sz;
3)U S0.
- Тогда при условии 1 или 2 G L2(Q), а при условии 3 G Sz(Q), где Q — подходящее локально конечное поле характеристики 2.
Из теорем 4.1, 3.2 вытекает
Следствие 4.1. Пусть периодическая группа G содержит сильно изолированную подгруппу U. Тогда U нормальна в G, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1) U — несчётная элементарная абелева 2-группа;
2) U — абелева группа, содержащая четверную подгруппу и элемент порядка 2;
3) V — локально конечная 2-группа, содержащая четверную подгруппу и элемент порядка 16.
При условии 1 данное следствие установлено В.Д. Мазуровым [18], А.И. Созутовым и диссертантом [33].
При условии 3 теорема 4.3 решает вопрос 10.76 с некоторым "запасом". Во втором параграфе доказан периодический аналог теоремы Судзуки [72], который является значительным усилением теоремы 4.2.
Теорема 4.4. Пусть G — периодическая группа, содержащая инволюцию, S — силовская 2-подгруппа из G и централизатор любой инволюции из S абелев. Тогда либо S — локально циклическая группа, либо S G, либо G — R х L2(Q), где R — абелева группа без инволюций, Q — локально конечное поле характеристики 2.
Наконец, в теоремах 4.5, 4.6 третьего параграфа главы 4 решается вопрос 12.86 С.А. Сыскина для простых групп L2(2m) и Sz(22n+1). Обозначим п = n(G) — максимальное натуральное число, для которого прямое произведение п экземпляров группы G порождается двумя элементами.
Теорема 4.5. Пусть (р(т) = —(2т- 2) Um + 2т - 1) т для каждого натурального т. Если т — простое число, mon(L2(2m)) f(m). При составном т имеет место рекуррентная формула п 1 т 1 t т (I2(2-)) = V(m) - 1 ]Г НЬ2(2% t\m Теорема 4.6. Для натурального т полагаем ф(т) = -Lf2m- 2) (16m + 8m + 2 • 4m + 4 • 2m - 1). m Если m — простое нечётное число, mo n(Sz(2m)) = ф(т). При нечётном составном т справедлива рекуррентная формула т 1 t п n(Sz(2m)) = ф(т) - i- J2 НЯг{21)). t t\n
Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы при написании монографий, в учебном процессе при чтении спецкурсов и в научных исследованиях по теории групп.
Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [29]-[45] и докладывались на Всесоюзных симпозиумах по теории групп, на Всесоюзных алгебраических конференциях, на Международных конференциях по алгебре, на семинарах "Алгебра и логика", "Теория групп" (ИМ СО РАН и НГУ), кафедры высшей алгебры МГУ, Красноярском городском алгебраическом семинаре.
Теорема 3.4 и её следствия (теорема 4.1 (при условии 3) и теорема 4.3 (при условии 3) получены в нераздельном и равном соавторстве с А.И. Созутовым. Теоремы 4.5, 4.6 доказаны совместно с Д.М. При-ходько, студентом.
Автор выражает особую благодарность своему научному консультанту А.И. Созутову за плодотворное сотрудничество и разнообразную помощь. Я благодарен В.П. Шункову и В.Д. Мазурову за полезные обсуждения, всем сотрудникам кафедры алгебры и математической логики Красноярского госуниверситета за поддержку, а также Российскому фонду фундаментальных исследований и Красноярскому краевому фонду науки за финансовую поддержку.
О подгруппах группы G
Произвольную группу назовем ограниченной, если она изоморфна подгруппе группы ограниченных подстановок F. Лемма 1.6. Класс ограниченных групп замкнут относительно взятия счетных прямых произведений. Доказательство. Пусть Я = YI Нп — прямое произведение групп п=0 Нп F. Для п = 0,1,... рассмотрим множества Предположим, что Іп П 1т ф 0 при т п. Тогда для некоторых а,Р Є Z выполняется равенство Но правая часть этого равенства делится на 2m+1, а левая нет. Поэтому Inf\Im = (d при тфп. Подстановку h Є Нп отобразим в подстановку t, которая тождественно действует на Z\In, а Тогда uj(t) = 2n+1uj(h) и образ Тп группы Нп при этом отображении изоморфен Нп. Заметим, что — прямое произведение групп Тп F. Следовательно, Н Т F. Лемма доказана. Лемма 1.7. Класс ограниченных групп замкнут относительно конечных расширений. Доказательство. Пусть D — группа, С D, С — ограниченная группа и фактор-группа Я = D/C конечна. Так как D изоморфна подгруппе сплетения L = С I Н, то достаточно доказать, что L — ограниченная группа. Пусть С вложена в F, \Н\ — п. Каждому элементу х Є С поставим в соответствие подстановку у = хір, которая тождественно действует на Z \ {па\а Є Z}, а (па)у = пах. Тогда Далее, будем считать, что Н регулярно представлена подстановками множества {0,1,..., п — 1}. Если (З Є Z, то Для h Я полагаем j3h = ih + па. Тогда Я F и (С , Н) = С 1Н F. Лемма доказана. Лемма 1.8. Любая счетная свободная группа вложима в группу G. Доказательство. Пусть Е — свободная группа со свободными порождающими а, Ь. Так как счетная свободная группа вложима в Е, то достаточно показать, что Е изоморфна подгруппе из G. Пусть ei, ...,еп,... — все неединичные элементы группы Е. Построим попарно непересекающиеся отрезки целых чисел Д; (г = 1,2,...) и такие подстановки Q, d(, которые тождественно действуют на Z \ Дг-, u(ci),uj(di) 2, а если щ — продолжение отображения а — Q, 6 — d{ до гомоморфизма Е на (с,-,с?,-), то г(ег-) ф 1. Предположим, что такие отрезки Дг- и подстановки а, с?г- уже построены для г п. Заметим, что еп — чередующееся произведение ненулевых степеней а и Ъ. Допустим для определенности, что еп начинается со степени а, а заканчивается степенью 6, т.е. где все rrij ф 0. Рассмотрим любой отрезок который не имеет пересечения с отрезками Лі,..., Дп_і. Для к = 1,2,... введем цикл
Очевидно, к-я степень tk переводит 0 в 2к и для любого элемента а цикла tk- Определим теперь подстановки сп = с, dn = d. Считаем, что они действуют тождественно на Z\ Д„, а на Дп следующим образом: ami = a + 2mi, а01 2 =a + 2\mi\ + 2m2,..., aVnM = a + m. Итак, (pn{en) ф 1, а значит, отрезки Д,- и подстановки Q, а?г- с вышеуказанными свойствами построены. Обозначим через х, у такие подстановки множества Z, что х = С{, у = d{ на Дг- (г = 1,2,...) и 0х = /ЗУ = /3 для 0 Є Z \ U Д,-. Тогда о;(х) = ш(у) = 2, х, у — равномерные подстановки по построению сг-, d{, а потому х,у Є G (лемма 1.5). Наконец, продолжим отображение а — х, b — у до гомоморфизма /? свободной группы на группу (х,у). В силу свойств подстановок Q, с?г- справедливы неравенства р(еі) ф 1 (г = 1,2,...). Это равносильно равенству Кепр = 1. Итак, 9? — изоморфизм. Лемма доказана. Лемма 1.9. В группу G вложена 2-группа Алёшина. Доказательство. Как показал Ю.И.Мерзляков [19], 2-группа Алёшина [3] является расширением подпрямого произведения четырех экземпляров группы Григорчука Н с помощью циклической группы порядка 4. Мы докажем, что группа Н является ограниченной. Тогда по леммам 1.6, 1.7 ограниченной будет и 2-группа Алёшина, а значит, она вложима в G. Напомним, что группа Я строится следующим образом. Пусть А — отрезок прямой линии, Ai, А2 — его половины, их половины и т.д., П обозначает перестановку половинок (левая сдвигается вправо, правая — влево), а Т — тождественное преобразование отрезка. Если t действует, как П на А, а и, v действуют на отрезках Ai, А21, А221,..., соответственно, как Т, П,П,...; П,Т, П,..., то Н = (t,u,v). Вместо отрезков A, Ai, А2 мы рассмотрим множества Полагаем Тогда w(t) = l. Пусть Рассматривая преобразования, соответствующие и и v, заключаем, что и{и) — LO{V) = 2. Таким образом, Н = (t,u,v) — ограниченная группа. Лемма доказана. Теорема 1.2 вытекает из двух последних лемм. Лемма 1.10. Пусть д Є F, Q — совокупность бесконечных орбит (д). Тогда Q со. Доказательство. Допустим, что \Q\ = со. Тогда в Q найдется такое бесконечное подмножество {V(\i Є /}, что все орбиты Vi не ограничены сверху (или снизу). Пусть ш(д) — т. Очевидно, для некоторого целого а выполняется неравенство Если, например, Мд(а) т, то и и{д) т. Полученное противоречие доказывает лемму. Напомним, что через d была обозначена подстановка, которая сдвигает каждое целое число на единицу вправо. В силу леммы 1.5 dk Є F \G для k ф 0. Так как G F, то мы можем образовать полупрямое произведение Н = GX(d). Лемма 1.11. Если х Є F и ах а для любого а Є Z, то х Є Я. Доказательство. Заметим, что в силу условия произвольная орбита подгруппы (х) либо одноэлементная, либо бесконечная. По лемме 1.10 множество бесконечных орбит (х) конечно. Обозначим эти орбиты Vi,..., Vk и для каждого j = 1,..., к рассмотрим такой элемент gj Є F, который действует тождественно на Z\Vj,a его действие на Vj совпадает с действием х. Тогда х = g\g2---Qk- Поэтому достаточно установить, что каждый элемент gj содержится в Н. Положим для краткости gj = g, Vj = V. Применим индукцию по u{g) = п. Если п = 1, то д = с?, а значит, д Є Я. Пусть п 1,
Характеризации группы Ь2(Я) над локально конечным полем Q характеристики 2
На протяжении данного параграфа группа G удовлетворяет условию теоремы 2.2, т.е. G — Z-группа на множестве Q, её стабилизатор точки Ga = В = UXH — локально конечная группа Фробениуса с ядром U и дополнительным множителем Я = Gap Ф 1. При этом, как отмечалось перед формулировкой теоремы 2.2, U — нильпотент-ная группа. Поскольку 2 Є 7T(Z7), ТО U = Sx R, где S — силовская 2-подгруппа из U, a R — 2 -группа. Мы будем существенно использовать ряд идей М. Судзуки из его известной работы [74]. Лемма 2.18. Найдется инволюция v Є NG{H) \ В такая, что G = B(v)B и v инвертирует Я. Подгруппа Я локально циклическая. Доказательство. Возьмем инволюцию и Є U. Поскольку u 6Ga = В и и . Gap = Я, то 7 = Ри Ф Р- В силу 2-транзитивности группы G в ней найдется такой элемент д, что /Зд = а и 7ff = Р- Полагая v = и9, получим av = (5, (3V = а. Отсюда непосредственно следует, что v Є NQ{H) \ В и при этом G = B(v)B ввиду 2-транзитивности G. Далее, стабилизатор в G любых двух точек множества Q сопряжён с Я и по свойствам локально конечных групп Фробениуса 7г(Я) П 7г(С/) = 0. Значит, инволюция v оставляет неподвижной точно одну точку 5 = а9. Поэтому если с Є GH{V), ТО 5е = 5, а так как G — Z-группа, то С = 1. Итак, СН{У) = 1, а потому Я — абелева подгруппа и v инвертирует Я ([62], стр. 336). Остаётся заметить, что по теореме Бернсайда ([7], стр. 19) подгруппа Я локально циклическая. Лемма доказана. Определение 2.4. Подгруппа А группы X называется сильно изолированной в X, если А содержит централизатор каждого своего неединичного элемента. Определение 2.5. Собственная подгруппа А группы X называется сильно вложенной в X, если А содержит хотя бы одну инволюцию и для любого элемента g Є X \ А пересечение Л Г) А9 инволюций не содержит. Лемма 2.19. Подгруппа U сильно изолирована eG, В сильно вложена eG,UvC\B = l. Доказательство. Пусть 1 ф и Є U, g Є Q?(/). Заметим, что и стабилизирует точно одну точку а Є Cl (K(U) П 7Г(Я) = 0), а так как и стабилизирует точку а9, то а9 = а и g Є В. Но тогда g Є U, поскольку В — группа Фробениуса с ядром U. Итак, U — сильно изолирована в G. Если х Є G\B, то пересечение ВПВХ есть стабилизатор двух точек. Следовательно, это пересечение сопряжено с Я, а потому не содержит инволюций. Таким образом, В — сильно вложена в G. Наконец, последнее утверждение леммы прямо следует из равенства Bv П В = Н. Лемма доказана. Предложение 2.2 ([55], предл. 1.39). Пусть G — произвольная группа с конечной инволюцией и сильно вложенной подгруппой В, j — инволюция из В, v — инволюция из G\B, Н = В Г) Bv. Тогда 1) В группе G все инволюции сопряжены. Инволюции из В сопряжены в В. 2) В — Св{з) Н, подгруппа Н действует сопряжениями на множестве инволюций из В транзитивно. Любой смежный класс Св(з)Ъ, Ь Є В, содержат точно один строго вещественный относительно v элемент. 3) Любой элемент g из G\B обладает представлением g = Ы, где Ь Є Св{з), а і — инволюция из G\B Из этого предложения для нашего случая непосредственно вытекает Лемма 2.20.
В группе G все инволюции сопряжены. Подгруппа Н действует сопряжениями транзитивно на множестве всех инволюций из U. Любая инволюция подгруппы U содержится в Z{U). Лемма 2.21. Если г Є R игк — г для некоторой инволюции к Є С?, тог = 1. Доказательство. Предположим, что keG\B. Тогда г eUf)Uk Ga-у, где 7 = счк. Но подгруппа Gaj сопряжена с Я, а 7г(/)П7г(#) = 0. Значит, г = 1. Если же к Є U, то по лемме 2.20 rfc = г. Значит, г = г-1, и поскольку подгруппа Я не содержит инволюций, то г = 1. Лемма доказана. Лемма 2.22. Любой элемент g Є G \ В имеет единственное представление в виде g = U\hvu2, где щ,и2 Є U, h Є H. При этом g тогда и только тогда является является инволюцией, когда u\U2 = 1. Доказательство. Существование такого разложения для g следует из леммы 2.18 и строения подгруппы В. Если g = uihvu2 = щкущ, где ui,«2,1 3,и Є U, h,k Є H, то /г"1 ]"1 = v u v Є B( \UV = 1 по лемме 2.19. Значит, «2 = «4 и uj"1 = ЛАГ1. Так как Н П С/ = 1, то /i = &, wi = U3 и первое утверждение леммы доказано. В силу леммы 2.18 hv — инволюция, а потому, если щщ = 1, то g — инволюция. Обратно, если g — инволюция, то из равенства g2 = 1 выводим u\hvu2U\hvu2 = 1, УЩЩУ Є Uv Г) В = 1 и щи2 = 1. Лемма доказана. Лемма 2.23. Пусть i,j — различные инволюции группы G. Тогда либо \ij\ = 2, либо произведение ij сопряжено к элементу kv, где к — инволюция из U. Доказательство. Ввиду леммы 2.20 можно считать, что г Є U. Если j Є U, то \ij\ = 2. Пусть j G\B. Тогда на основании леммы 2.22 j = u lhvu = u Hvt u, где и U, h,t Є Н и t2 = h. Таким образом, ij = (i v)r и и лемма доказана. Предложение 2.3 (Лемма Бусаркина). Пусть G — группа с конечной инволюцией г. Если Сс{г) — (г), то G = FX{i), где F — периодическая абелева подгруппа из G, инволюция і инвертирует F [5 [предложение 4.2]. Лемма 2.24. Пусть і — инволюция изіі, х = iv uQ = CG(X). Тогда Q — периодическая абелева сильно изолированная в G подгруппа без инволюций. Если Q Г) Q9 ф 1 для некоторого g Є G, то g Є NG(Q)-Любая инволюция из NQ{Q) инвертирует Q. Доказательство. Заметим прежде всего, что \х\ оо (условие теоремы, лемма 2.20). Если (х) содержит инволюцию к, то к Є Сс(г) = U. Но тогда v Є Св{к) = U, что противоречит включению v Є G\B (лемма 2.18). Следовательно, \х\ — нечётное число. Предположим теперь, что Q содержит инволюцию j. Тогда j централизует строго вещественный относительно инволюции v неединичный элемент X нечетного порядка. Но поскольку в группе G все инволюции сопряжены по лемме 2.20, то это противоречит лемме 2.21. Итак, Q — подгруппа без инволюций. Далее, так как инволюция г нормализует (х), то мы можем образовать подгруппу N = Q\(i). Предположим, что і централизует некоторый неединичный элемент d Є Q. Тогда d Є Сс{ї) = U. С другой стороны, d Є CG{X), х = iv, а потому d Є CG{V) П U, что невозможно ввиду леммы 2.19. Таким образом, CQ{I) = 1 И ПО лемме Бусаркина Q — периодическая абелева подгруппа, инвертируемая инволюцией і. Пусть теперь 1 ф у Є Q. Тогда у есть произведение двух неперестановочных инволюций і и гу. С учетом леммы 2.23, аналогично вышеизложенному, выводим, что Сс(у) — абелева подгруппа. Но тогда очевидно, что Сс(у) = Q- Этим установлена сильная изолированность подгруппы Q в G. Остальные утверждения леммы легко
Локально конечные 2-группы Судзуки
Доказательство. 1. В силу счетности периодическая локально циклическая группа Я является объединением возрастающей цепочки конечных циклических подгрупп. Фиксируем некоторую такую цепочку и однозначно построим искомую цепочку (3.2). Пусть Ап — минимальная -допустимая подгруппа группы У, 1 ф jn Є Ап. В силу условия v = jV" для некоторого элемента уп Є Я и, значит, v Vn = Аупп, где Vn — минимальная Хп-допустимая подгруппа, причем Vn Vn+i. Ясно, что при любом у Є Я, либо V% — Уш либо Уп П Уп = 1- Отсюда и из транзитивности действия Я на У# следует, что если Нп = {h\h Є Я, V = Vn}, то vHn = Vf, Хп Нп Нп+1. Теперь очевидно, что (J Нп = Я, U Vn = V. Утверждение доказано. п п 2. Пусть W, Т — произвольные минимальные Яп-допустимые подпространства, 0 ф w Є W, 0 ф t Є Т. По условию wh = t для некоторого h Є Я. Тогда Т = Wh, а поскольку группа Я абелева, то Нп действует эквивалентно на подпространствах Т, W. Утвержде ние доказано. 3. В силу пункта 1 Vn = {vh\h Є #n}U{0}. Поэтому если J = V , х Є Я, то W = У — подпространство и утверждение доказано. 4. Это утверждение вытекает из леммы 3.5. Лемма доказана. Напомним, что через А обозначена максимальная абелева Я-допу-стимая нормальная в U подгруппа. Лемма 3.7. Подгруппа А не является полной. Доказательство. Пусть, напротив, подгруппа А полная. Так как А ф U, то найдется такой элемент и Є U \ Л, что си2 Є А. Тогда ш индуцирует на А автоморфизм порядка 2. Если х — произвольный элемент из А, то в силу нашего предположения х = у2 для некоторого у Є А. Мы имеем х = ууи-уу и, уу" Є С = CA(OJ), уу и Є Т = {аа Є Да"- = а-1}. Значит, Л = СТ. Для каждого t Є Т выполняются равенства [ , w] = t lu Hw = Г2, [ , о;, и] = [[t, и], и] = [Г2, а;] = t2uj lr2uj = 4, На основании этих равенств и нильпотентности группы U заключаем, что Т — подгруппа конечного периода q = 2К, а потому Таким образом, А — С = CA(LS). Пусть теперь z — такой элемент из Л, что z2 = и 2. Из перестановочности элементов z и и выводим, что {ZUJ)2 = 1, т.е. ZUJ — инволюция и ZUJ Є R Л, а значит, ш Є А. Полученное противоречие доказывает лемму. Лемма 3.8. Подгруппа А имеет конечный период q = 2" и разлагается в прямое произведение счетного числа циклических подгрупп порядка q. Доказательство. Предположим, что для любого натурального га в подгруппе А найдется элемент порядка 2т. Тогда если Ат — {а\а 6 Л, \а\ 2т}, то А совпадает с объединением строго возрастающей цепочки Я-допустимых подгрупп подгруппа Ат разлагается в прямое произведение счетного числа циклических подгрупп (хт{), і = 1,2,.... При этом a;mj = 2m (г = 1,2,...) поскольку Н транзитивна на R#. Отсюда выводим, что Л = Ат-\ — прямое произведение циклических подгрупп {Х І) (і = 1,2,...). В частности, каждый элемент из Лт_і есть квадрат некоторого элемента из Ат, а значит, подгруппа А полная, что противоречит лемме 3.7. Итак, в А существует элемент максимального порядка q = 2" и А = Ап — прямое произведение счетного числа циклических подгрупп порядка q. Лемма доказана. Согласно лемме 3.8 А = (х\) х ... х (хт) х ..., \хт\ = q — 2п (т — 1 2,...). Обозначим Д- = A2 = (xf) х ... х (х ) х ..., Bt = ВІ/ВІ+І, Ui = U/Bi+i (г = 0,...,n-l). ЛІ. Лемма 3.9. Bi Z(Ui), группа Н действует транзитивно на В{ . Доказательство. Заметим, что ВІ = Ап-{ = {а\а Є А, \а\ 2П }. Пусть Т 6 = 6Д-+1 = 6Л„_г-_і Є В І. Тогда 6 = 2n_i п bs = j — инволюция, где s = 2п г 1. Легко понять, что Ъ = {х\х Є A, xs = j}.
Поэтому из транзитивности действия Н на R# вытекает и транзи —# — тивность действия Н на В{ . Так как Ui\H — группа Фробениуса, Bi Ui, то первое утверждение леммы следует из второго. Лемма доказана. Обозначим через М полный прообраз в U подгруппы Q\ (Z(U/A)). Очевидно, М U и Я-допустима. В силу определения подгруппы А группа М неабелева. Лемма 3.10. Пусть А ф R и А Z(M). Тогда Н транзитивно переставляет инволюции фактор-группы М = М/А. Доказательство. Заметим сначала, что если ш Є М \ А, то ш2 Є А \ А2. Действительно, в противном случае, ш2 = а2 для некоторого элемента а Є А и ввиду условия леммы ш 1а — инволюция, т.е. ш 1а Є R А. Но тогда и Є А. Противоречие. Пусть 1 ф х = хА Є М. Предположим, что лемма неверна. Тогда М содержит такую инволюцию у = уА, что у хн. Как установлено выше, х2А2, у2А2 — инволюции из фактор-группы Во = А/А2. Значит, согласно лемме 3.9 х2А2 = (y2)hA2 для некоторого h Є Я. Обозначим z = yh. Тогда zA - z . хн , xz Є М \ А, х2А2 = z2A2, а потому z2x2 Є А2. Далее, #2, [x,z] Є А Z(M). Поэтому ввиду леммы 2.2.2 [62] [х, z]2 — [x2,z] = 1, т.е. [x,z] Є R А2 (условие леммы) и {xz)2 = [x,z]z2x2 Є А2. С другой стороны, по доказанному выше, (xz)2 Є А \ А2. Противоречие. Таким образом, лемма верна.
Периодические группы с абелевыми централизаторами инволюций
Докажем теорему 4.4. Итак, пусть G — периодическая группа, содержащая инволюцию, S — силовская 2-подгруппа изСи централизатор любой инволюции из S абелев. Лемма 4.9. Подгруппа S абелева, Cc{i) = О? С?) для любых двух инволюций i,j Є S. Доказательство. Так как каждый элемент из S содержится в централизаторе некоторой инволюции из 5, то достаточно установить второе утверждение леммы. Пусть i, j — различные инволюции из S. Тогда i,j Є Сс(к), где к — инволюция из {ij). Теперь из условия теоремы непосредственно вытекают равенства Сс{г) = Сд{к) = Cc{j)- Лемма доказана. Зафиксируем инволюцию і Є S и обозначим U = Сс{г)- По условию теоремы подгруппа U абелева, а потому ввиду леммы 4.9 U = S х R, где R — абелева 2 -подгруппа. Пусть В = NG(U). Если подгруппа S локально циклическая, или В = G, а значит, S G в силу характеристичности S в /, то заключение теоремы выполняется. Поэтому в дальнейшем мы будем считать, что S содержит более одной инволюции и В ф G. Лемма 4.10. Любая инволюция из В содержится в S. Доказательство. Пусть инволюция к Є В. Так как S — абелева подгруппа и S В, то из этого легко вытекает существование такой инволюции j Є 5, что к Є Cc(j) = U (лемма 4.9). Отсюда и получаем включение к Є S. Лемма доказана. Лемма 4.11. Подгруппа В сильно вложена в G. Доказательство. В силу нашего предположения В ф G. Далее, поскольку S Б, то в В есть инволюции. Предположим, что пересечение В f] В9, где g Є G \ В, содержит инволюцию j. Согласно лемме 4.10 j Є S и j = t9, где t Є 5. Поэтому, сопрягая подгруппу Cc{t) = U (лемма 4.9) элементом д, мы получаем подгруппу Q?(i) = T-e- U9 — U, что противоречит выбору элемента д. Таким образом, Bf]B9 не содержит инволюций и подгруппа В сильно вложена в G. Лемма доказана. Лемма 4.12. Если д Є G\ В, то В С (U,g). Доказательство. Положим G\ = {U, д), D = Nc U). Так как D В, то D ф G\ в силу условия. Повторяя рассуждения леммы 4.11, убеждаемся, что подгруппа D сильно вложена в G\. Если теперь х Є В, а і — инволюция из 5, то гх = id для некоторого d Є D (предложение 2.2). Следовательно, xd l Є Со(і) — U, т.е. х Є Ud С D G\. Итак, Б Gi и лемма доказана. Пусть теперь Z = Z(G) — центр группы G. Заметим, что Z U в силу определения подгруппы С/, а поскольку подгруппа В сильно вложена в G (лемма 4.11), то Z не содержит инволюций, т.е. Z R. Рассмотрим фактор-группу G = G/Z. Полагаем, далее, S = SZ/Z, U = U/Z, В = B/Z. Лемма 4.13. Справедливы следующие утверждения: 1) S — силовская 2-подгруппа группы G; 2) C(j() = U для любой инволюции t Є S; 3) подгруппа В — NQ(U) сильно вложена в G; 4) группа G имеет тривиальный центр. Доказательство. 1. Предположим, что S L — 2-подгруппа из G и х Є L. Очевидно, что х = у = yZ, где \у\ = 2п. Если к — инволюция из {у) и к Є S, то у Є Cfc(fc) = U, а значит, у Є S и x — у Є S. Если же к S, то к Є G\ В (лемма 4.10). В силу леммы 4.11 элемент ik имеет нечетный порядок, а поскольку гк Є L, то ік — 1, А: Є iZ В, противоречие. Итак, х Є S и S = L. Утверждение доказано. 2. Инволюция Є 5 имеет вид t = j = jZ, где j — инволюция из S. Так как CQ(J) = U (лемма 4.9), то U CQ(J). Пусть g = gZ Є CQ(J), что равносильно включению j9 Є jZ. Поскольку j — единственная инволюция в смежном классе jZ, то j9 = j, т.е. 9 Є Cc(j) = U и д Є U. Таким образом, U = CQ{J). 3. Очевидно, что В — NQ(U).
В силу утверждений 1, 2 леммы группа G удовлетворяет условиям теоремы, а значит, ввиду леммы 4.11 В сильно вложена в G. 4. Пусть Z\ = Z(G) — центр группы G. Тогда Z\ U по утверждению 2 леммы. Следовательно, если Z\ — полный прообраз Z\ в G, то Z\ U: Обозначим через v произвольную инволюцию из G \ В. Так как Z\ = Z\, то v перестановочна с каждым элементом из Z\ ввиду предложения 2.2. Теперь на основании леммы 4.12 и предложения 2.2 заключаем, что Z\ содержится в Z. Таким образом, Z\ = Z и Z\ — 1. Лемма доказана. Изучим теперь основной частный случай. Будем предполагать, что Z{G) = 1и(? = {В, v), где v — инволюция из G \ В. Лемма 4.14. Если инволюция ш Є CQ(V), то G = {В,ш) = {U,u). Доказательство. Обозначим (В,и) = G\. Для доказательства равенства G = G\ достаточно установить включение v Є Gi- Очевидно, подгруппа В сильно вложена в G\. Пусть V\ — CQX{US), V = CG{UJ). В силу предложения 2.2 в G\ найдется элемент х такой, что шх = і. Тогда V1x = CGl(i) = U = CG(i) = Vx. Отсюда V\ = V и v Є G\. Второе равенство вытекает из леммы 4.12. Итак, лемма верна. Лемма 4.15. г7П и = 1 Доказательство. Полагая в лемме 4.14 и = v, мы заключаем, что N = U П Uv есть нормальная подгруппа группы G. При этом в силу предложения 2.2 N CG(V), а значит, N Z{G) — 1. Лемма доказана. Обозначим через Н пересечение Bf]Bv. Доказательство. Положим L = Uf)Bv = Uf)H. Так как U о В, то L Н и Lv Hv = Я. Ввиду коммутативности подгруппы U и леммы 4.15 отсюда выводим, что (L, Lv) — L х Lv — абелева подгруппа и Lv f] U = 1. Предположим, что Ъф\. Так как подгруппа В сильно вложена в G, то L R — максимальная 2 -подгруппа из U. Пусть и — элемент простого порядка р из L, F = {и) х (гіи). Поскольку uv С/, то ju" j для любой инволюции j Є 5. Этим же свойством обладает и элемент ir = uuv, действие которого сопряжениями на S совпадает с действием на S элемента uv (и Є CQ{S)). Пусть iv = у. Тогда \у\ — 2к — 1 и для инволюции t = ?/fc имеем
