Содержание к диссертации
Введение
І. О строении бесконечной симметрической группы 21
I. Задача В.Скотта о расщеплении симметрических групп. .. 21
2. Среди композиционных факторов бесконечной симметрической группы изоморфных нет , 26
3. Вложение надгрупп знакопеременной группы в ограниченные симметрические группы 34
2. Теоремы вложения для бесконечных симметрических групп 40
4. Теорема о стабилизаторе транзитивной подгруппы (У, Л) , которая изоморфна 40
5 Убывающие полные ультрафильтры и теоремы вложения для ограниченных симметрических групп 46
6. Прямые пределы симметрических групп и универсальные группы 54
3. 2-транзитивные группы автоморфизмов линейно упорядоченных множеств 63
7. Предварительные результаты о 2-транзитивных группах автоморфизмов линейно упорядоченных множеств 63
8. Нормальные делители 2-транзитивной группы автоморфизмов линейно упорядоченного множества. 70
9. 2-однородные линейно упорядоченные множества с изоморфными группами автоморфизмов 83
Литература
- Задача В.Скотта о расщеплении симметрических групп.
- Теорема о стабилизаторе транзитивной подгруппы (У, Л) , которая изоморфна
- Предварительные результаты о 2-транзитивных группах автоморфизмов линейно упорядоченных множеств
Задача В.Скотта о расщеплении симметрических групп.
В статье Супруненко [іб] (см. такие книгу [id] , стр. 52) до-;азано, что транзитивную подгруппу группы. S(X,CO) нельзя предста-ЇИТЬ в виде произведения двух неединичных поэлементно перестановочных нормальных делителей, в частности, она неразложима в прямое фоизведение. Приведем обобщение этого утверждения на ограничение, 5 определенном ниже смысле, группы подстановок.
Семейство Z , подшожеств множества X образует локаль-гую систему множества X если I) X UXi , Xі Є ; 2) для побых Хі, л J Є найдется такое Хк Є , что XL UXj s Яд- .
Говорят, что семейство вписано в семейство , если цья любого У,еЕ найдется такое Xj Є , что Ус - Xj
Трансверсалыо семейства называется подмножество множества UXi ,ХІЄЕ , которые с каждым пересекается по одному элементу.
Следствие 1.2. Транзитивную подгруппу группы S(X,oC)tcC /xl нельзя представить в виде произведения двух неединичных поэлементно перестановочных нормальных делителей. В частности, она неразложима в прямое произведение.
Предложение 1.3. Если группа (У обладает такой подгруппой Н , что V)H - простая группа; 2) индекс любой собственной подгруппы. Н не меньше « ; 3) существует такой элемент ієСг , что Ч и tHt поэлементно перестановочны, то (У не вкладывается в группу S(X, ] ни при каком X
Доказательство: Пусть группа О" удовлетворяет условиям предложения и существует вложение f:u— S(X,o(). Різ условий 1)-3) вы текает , т.е. группа и обладает подгруппой
Н х ttit . Фиксируем не единичную орбиту подгруппы. (HxtHt J на множестве X . Так как И - простая группа, которая не вклады-_вается в сиг/метрическую группу степени меньше cL , то неединичная фактор-группа группы, не вкладывается в 5(У) ,/УАьС.
Следовательно, . Ограничение Y/(HxtHt ) на Z. не может индуцировать точное представление Y".H tHt —S(Z] , ибо в противном случае - транзитивная разложимая в прямое произведение подгруппа S(Z, oij , что противоречит следствию 1.2. Так как нетривиальные нормальные делители Н tHt исчерпываются Н, tHt ( это следует из простоты /"/ ), то одна из этих подгрупп совпадает с ядром представления У . Пусть для определенности этой подгруппой является tHt . Тогда Z является орбитой группы. Г(н) и элементы, из действуют тождественно на Z , следовательно, . Так как /Z/ - А , то это противоречит принадлежности группе
Теорема о стабилизаторе транзитивной подгруппы (У, Л) , которая изоморфна
В статье Маккензи [6lJ сформулирована проблема, изучение кото-юй было начато работать Де-Брейна [36] , [37] : каїше группы, вкладываются в группы 3(Х) , S(X,oiJ и S(X, o(.)/S (X, ft) ,/8 при жксированном бесконечном / , в частности, для каких пар этих прупп одна изоморфна подгруппе другой?
В настоящей главе исследуется вторая часть этой проблемы, сформулированная в следующем виде: для множества групп состоящего із бесконечной симметрической группы S(X) , её нормальных делителей S(X, ) , и /XI и их фактор-групп S(X)IS(X,j3) ,S(XA)IS(X,fb),, когда одна группа этого класса изоморфна подгруппе гругой?
Целью этого параграфа является доказательство теоремі о стабилизаторе, которая позволяет во многих случаях решать вопрос группы S(X,e .)/S(X, р ) в группу S(X,A)
Пусть D - ультрафильтр над X . Рассмотрим JJ как структуру (т.е. как подструктуру структуры всех подмножеств X ) и обозначим Aut и группу всех автоморфизмов этой структуры. Как іегко видеть, имеет место следующее утверждение.
Предложение 4.1. Если D - ультрафильтр надбесконечным дножеством X , то AutP AutO = {seS(X)l для любого УєО для некоторого У5ЄDS индуцирует гождественную подстановку на У$}
Обозначим пересечение AutD с группой
Очевидно, nift V - S(X, &) тогда и только тогда, когда V содер- шт все подтшожества А , дополнения которых -41 эньше А.
Теорема 4.2. Если S( X, А)- 5(У, Л)\ Л /XI транзитивное эедставление группы S(X, ) ограниченными подстановками и Сг - ста-мизатор точки множества У в группе Y(S(X, A.J) , то найдётся акой ультрафильтр V над X , что У (Cr)-Aut Т)
Доказательство. Если У - точное представление, то из теоре-j. 3.1. следует, что в качестве Т) может быть взят некоторый навный ультрафильтр.
Пусть Kezf AiX) . Б силу следствия 1.2. У не может быть ранзитивным представлением, ибо r(S(X, )) S(X, )//l(X) a) S(X )IS(X,a))t где а - элемент порядка 2.
Предварительные результаты о 2-транзитивных группах автоморфизмов линейно упорядоченных множеств
Подмножество У Х называется и -блоком группы, подстано зок и , если для любого 9Є& либо $(У) -У , либо (У)/1 У - fi . Группа (f-Aut(X, ) называется 0 - примитивной, эсли не существует нетривиальных выпуклых 0 -блоков (ряд определений 0-примитивности группы, автоморфизмов л.у. множества, которые зішивалентньї данному, приведены. Холландом [47] ). Заметим, что 3-примитивность группы А и с (л, =/ еще не гарантирует её транзитивность. Действительно, пусть группа Аис(л, =) _ 2-транзитивна і л.у. множество (л,-) содержит возрастающую ограниченную cOf -тоследовательность (где / - первое несчётное порядковое число), тогда группа всех автоморфизмов дедекиндова пополнения (Xt ) л.у. даюжества (Х, =) О-примитивна, но не транзитивна, так как интер-. вальные топологии полных л.у. множеств с транзитивными группами автоморфизмов удовлетворяют первой аксиоме счётности (см.Трейбик [79] ).
Предложение 7..І. Зішивалентньї следующие условия:
1) группа - 2-транзитивна;
2) группа Aut{X, =) - -транзитивна для любого К «? /( ;
3) X не обладает ни наименьшим, ни наибольшим элементом, и два его интервала [a, 3J , а 3 , [с, d] , c d no бны (т.е. изоморфны);
4) flut(X,4) - 0-примитивная транзитивная нерегулярная группа установок.
Эквивалентность условий 1)-3) доказана Г.Хигманом [44] (см. ікже книгу Виландта [84] ), а условий 1)-4) Ллойдом [55] , Хол-іядом [47] . Обобщение этого результата в работе Макклери [59] . у. множества, группы автоморфизмов которых удовлетворяют услови-i предложения 7.1, называют 2-однородными.
В дальнейшем часто используется следующее утверждение ( см. сландт [84] ).
Предложение 7.2. Пусть s /J(Jt(X,4) , тогда для каждого xfX тцествует единственное минимальное выпуклое подмножество (блок), щержащее х и неподвижное относительно G- . Обозначим это под-южество &[х] , тогда
1) tr[x]=ly(XI для некоторых g,f(G gfr)4y4f&)} ;
2) Glx]=GLy] для всех y{0[jc] .
Для каждой подстановки y(S(X) положим Fmn XI\g Для )дмножеств Д,ВСХ выполняется Я & , если для любых х t /7 , (fQ х у . Для fX положим L (х)- ( ,х] (у fXly4 } » 1(хЫл,-)= {у(Х1у Х} .
