Содержание к диссертации
Введение
1 Обозначения, определения и предварительные результаты 8
1.1 Обозначения и определения 8
1.2 Предварительные результаты 9
2 Квазираспознаваемость конечных простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности 16
2.1 Доказательство теоремы . 16
2.2 Доказательство теоремы А 20
3 Квазираспознаваемость конечных простых групп DA{q)nFA{q) 34
3.1 Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп 3 )4(9) и ^()) Ч нечетно (доказательство теоремы В) 34
3.2 Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп sZ?4(g), q четно (доказательство теоремы С) 48
Список литературы
- Предварительные результаты
- Доказательство теоремы
- Доказательство теоремы А
- Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп sZ?4(g), q четно (доказательство теоремы С)
Введение к работе
Изучение конечных групп по свойствам порядков их элементов — известная и актуальная задача теории групп. Необходимость изучения изменения множества порядков элементов конечной группы при её расширении впервые возникла в 1956 г, в классической работе Ф. Холла и Г. Хигмаиа [29].
Пусть G — конечная группа. Обозначим через w(G) множество всех порядков элементов группы G. Конечная группа G называется распознаваемой (по множеству порядков элементов), если для любой конечной группы Н с w{H) = u(G) имеем Н = G.
В 1984 г. Ши [37] доказал распознаваемость группы PSL,2{7). Этот результат положил начало широкому направлению исследований распознаваемости групп. Так как конечная группа с нетривиальной разрешимой нормальной подгруппой нераспознаваема, то проблема распознаваемости во многом сводится к случаю почти простых групп. К настоящему времени по этой проблеме получено большое количество результатов (см. обзор В.Д. Мазурова [33]).
Множество u)(G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга-Кегеля) GK(G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины р и q соединены ребром тогда и только тогда, когда G содержит элемент порядка pq. Множество cj(G) частично упорядочено относительно делимости и однозначно определяется подмножеством p.(G) своих максимальных по делимости элементов. Обозначим через щ = fii(G) множество тех п Є fJ>{G), для которых каждый простой делитель числа п принадлежит щ. Обозначим число компонент связности графа GK{G) через (G), а множество его связных компонент — через {ttj(G) | 1 < г < t{G)}\ при этом для группы G четного порядка считаем, что 2 Є tti(G).
Грюнберг и Кегель доказали следующую структурную теорему для конечных групп с несвязным графом простых чисел.
Теорема Грюнберга-Кегеля [39, теорема А]. Если G — конечная группа с несвязным графом GK(G), то верно одно из следующих утверждений:
(а) G — группа Фробениуса;
(б) G — ЛВС, где А и АВ — нормальные подгруппы группы G, АВ
и ВС группы Фробениуса с ядрами А и В и дополнениями В и С
соответственно;
(в) G является расширением нильпотентной tti(G)-группы посред
ством группы А, где 1пп(Р) < А < Aut(P), Р — простая неабелева
группа с t{G) < t(P) и А/Р — -K\{G)-группа.
Из этого результата следует, что если G — неразрешимая группа с несвязным графом GK(G), не изоморфная группе Фробениуса, то G имеет единственный неабелев композиционный фактор Р, для которого «(G)
В 1981 г. Уильяме, ученик Грюнберга, в работе [39] получил явное описание связных компонент графа GK{G) для всех известных конечных простых неабелевых групп G, кроме групп лиева типа четной характеристики.
В 1989 г. А.С. Кондратьев в работе [18] получил описание связных компонент графа GK(G) для оставшегося неисследованным случая, когда G — конечная простая группа лиева типа четной характеристики.
В работе,[Z9] было показано, что для любой конечной простой группы Р с t(P) > 1 справедливо равенство \&{Р)\ — 1 при і > 1; пусть Пі = щ(Р) обозначает единственный элемент из щ{Р) для г > 1. Отсюда и из упомянутой выше работы Уильям са следует, что если G — конечная группа с несвязным графом Грюнберга-Кегеля, для которой выполняется случай (в) теоремы Грюнберга-Кегеля, и Р — неабелев композиционный фактор в G, то {щ(С) | г > 1} С {щ(Р) \ і > 1}.
Результаты о конечных группах с несвязным графом Грюнберга-Кегеля нашли большое применение в исследованиях распознаваемости конечных групп по множеству порядков элементов (см. [33]). До последнего времени большинство групп, для которых был решен вопрос распознаваемости, имели несвязный граф простых чисел.
Первый этап решения вопроса распознаваемости конечных простых групп с несвязным графом Грюнберга-Кегеля заключается в доказа-
тельстве условия квазираспознаваемости, более слабого, чем распознаваемость. Конечная простая неабелева группа Р называется квазираспо-знаваемощ если любая конечная группа G с w(G) = и>(Р) имеет композиционный фактор, изоморфный Р. Это понятие было введено А.С. Кондратьевым в [5].
Отметим, что из квази распознаваем ости конкретной конечной простой группы Р для неё следует положительный ответ на вопрос Ши [36], записанный в "Коуровскую тетрадь" [21] под номером 12.39: если G — конечная группа такая, что u){G) = oj(P) и ]G| = |Р|, то G изоморфна P.
Свойство квазираспознаваемости простой группы имеет также и самостоятельное значение, потому что существуют примеры квазираспознаваемых, но не распознаваемых простых групп (см. [33]).
Диссертационная работа посвящена доказательству квазираспознаваемости по множеству порядков элементов конечных простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности, и конечных простых исключительных групп лиева типа F^q) (q нечетно) и ^D^q), граф Грюнберга-Кегеля которых имеет точно две компоненты связности.
Основными методами исследования являются методы теории конечных групп и их представлений, теоретико-числовые методы.
Методы данной диссертационной работы могут быть использованы для исследования квазираспознаваемости других конечных простых групп.
Результаты диссертации докладывались на 32-36 региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Кунгурка, 2001-2005 гг.), на международном семинаре "Алгебра и линейная оптимизация" (Екатеринбург, 2002 г.), на Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма" (Омск, 2003 г.), на международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2003-2004 гг.), на международной алгебраической конференции (Москва, 2004 г.) и на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2]-[15].
Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Ссылка на утверждение i.j.k означает, что оно находится под номером к в параграфе j главы і. Объем диссертации составляет 60 страниц, библиография содержит 40 наименований.
Во введении дается общая характеристика и содержание работы.
Первая глава носит вспомогательный характер, в ней приводятся необходимые обозначения, определения и предварительные результаты.
Во второй главе исследуется вопрос квазираспознаваемости конечных простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности. Доказывается следующая
Теорема А (2.2.1) [7],[10]. Конечные простые группы, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности, квазираспознаваемы, за исключением группы Aq.
Группа Аб не квазираспознаваема, так как она имеет то же множество порядков элементов, что и расщепляемое расширение элементарной абелевой группы Е порядка 16 посредством группы As, действующей транзитивно на Е \ {1}. Существование такого расширения хорошо известно, в качестве него можно взять полупрямое произведение группы Е на группу Ag, где Аб индуцирует на Е естественный 2-мерный С^(4)512(4)-модуль.
Заметим, что результат о квазираспознаваемости групп FA[2m) (графы Грюнберга-Кегеля этих групп имеют три компоненты связности), который следует из теоремы А, недавно был использован в [17] для доказательства распознаваемости этих групп.
В третьей главе исследуется вопрос квазираспознаваемости конечных простых исключительных групп лиева типа F^q) (q нечетно) и 3>4(
Теорема В (3.1.1) [12], [14], [15]. Если L — одна из простых групп 3Di(q) или F±{q)f где q нечетно, a G — конечная группа с u(G) = oj(L), то коммутант группы G/F(G) изоморфен L, а дмктор-группа G/G' есть циклическая {2,3}-группа.
Теорема С (3.2.1) [3],[4]. Если G — конечная группа с множеством порядков элементов как у простой группы D^{q): где q четно, то коммутант группы G/F(G) изоморфен %D±{q), а фактор-группа G/G' есть циклическая {2,3}-группа.
Доказательство теорем А, В и С проведено с использованием теоремы Грюнберга-Кегеля, классификации конечных простых групп с несвязным графом Грюнберга-Кегеля, отмеченного выше результата [19], результата М.Р. Зиновьевой (Алеевой) [1] и теоретико-числовых методов. В теоремах В и С привлекалась также информация о порядках максимальных торов групп Fi(q) и 3Di(q) (см. [22], [27]).
В теореме В квазираспознаваемость групп ^D^iq) доказывается аналогично квазираспознаваемости группы F^(q).
Распознаваемость группы 3Х?4(2) доказана в работе В.Д. Мазурова [20] и была использована при доказательстве теоремы С.
Необходимо сказать, что исследование квазираспознаваемости простой группы зависит от количества связных компонент графа простых чисел этой группы. При доказательстве квазираспознаваемости конечных простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности, в нашем распоряжении была система из двух уравнений, которая возникает из упомянутого выше включения {rit(G) ] г > 1} С {щ(Р) \ г > 1}, где G — конечная группа с t(G) > 1, для которой выполняется случай (в) теоремы Грюнберга-Кеге ля, и Р — неабелев композиционный фактор в G. В случае групп с двумя компонентами связности получается только одно уравнение, и поэтому нужна дополнительная информация.
Заметим, что в недавней работе А.В. Васильева и М.А. Гречкосеевой [16] доказана квазираспознаваемость конечных простых групп 2D2m(2fe), 2Z?2m+i(2) (m > 1) и С2^(2к) (т > 2) и их распознаваемость при к = 1. Теоремы А и В доказаны в нераздельном соавторстве с научным руководителем. Теорема С получена автором самостоятельно.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Анатолию Семеновичу Кондратьеву за постановку задачи, постоянное внимание, всестороннюю помощь и поддержку. Автор выражает так же благодарность профессору Виктору Даниловичу Мазурову за полезные обсуждения результатов работы, профессору Вячеславу Александровичу Белоногову за ценные критические замечания, которые помогли сделать рассуждения более понятными, кандидату физико-математических наук Зиновьевой Марианне Рифхатовне и аспиранту Носову Виталию Валерьевичу за дружескую помощь на различных этапах работы над диссертацией.
Предварительные результаты
Предположим, что (г, д) 1. Если г д2, то ввиду 3.4 получаем р — 3 и, следовательно, по 3.2 число д2 делит (р,г — el) — 1, откуда (р,г — el) = 1 и снова ввиду 3.2 имеем г = д2; противоречие. Поэтому г q2 и по 3.2 число г делит (р,г — el) — 1. Отсюда либо є = — и г + 1 = р, либо (р,г — el) = 1. В первом случае по лемме 1.2.5 число г есть степень 2, что противоречит нечетности д. Во втором случае ввиду 3.2 имеем г = д2, откуда по 3.4 получаем р = 3 и е = —. Но тогда имеем 7Гі(Р) = 7r(g(g4 — 1)) С 7Гі{Х) = 7г(д(д6 — 1)), что противоречит теореме Жигмонди. Следовательно, М) = 1. (3.5)
Предположим теперь, что (р, г — el) = 1. Тогда равенство 3.2 запишется в виде гр 1 — 1 = g2(g2 — l)(r — el)/r. Отсюда ввиду 3.5 число г делит д2 — 1, а так как (г р-1"2 — 1,7- -1 2 + 1) делит 2, то д2 делит либо т Р-1 2 — 1, либо rfp-1 2 4- 1. Теперь из 3.4 легко видеть, что р = 3 и, следовательно, г + el — q ,." Отсюда г + el = ад2 и д2 — 1 = Ъг для некоторых а, Ъ Є N, поэтому г 4- el — а(Ьг + 1) и, следовательно, a = d = 1 и е = +. По лемме 1.2.5 получаем g = 3 и г — 8. Отсюда Я = 3(8). Ввиду леммы 1.2.2 и [26] имеем TY(G/F{G)) = {2,3,7} и 7Ti(G) = {2,3,5,7,41}. Отсюда {5,41} С TV(F(G)) и, следовательно, в F(G): а значит, и в L есть полупростой элемент порядка 205. Этот элемент содержится в некотором максимальном торе Т группы L, откуда 205 делит \Т\. Но это по лемме 1.2.6 противоречит всем возможностям для Г. Итак, (p,r-el)=p. (3.6)
Предположим, что р = 3. Тогда ввиду 3.2 имеем r[r + el) = Sq2(q2 — 1) + 2, откуда (г — є1)(г + є2) = 3g2(g2 -!) Так как (г — el,r + e2) делит 3, то q2 делит либо г — el, либо г + е2. Если г — el = ад2 для некоторого а Є N, то a(aq2 + еЗ) = 3(q2 — 1); противоречие. Аналогично приходим к противоречию в случае, когда q2 делит г + е2. Поэтому Р 5. (3.7) Положим / = pq2{q2 — 1) + р — 1 и q\ = /s, где s — простой делитель числа q. Тогда ввиду 3.2, 3.4, 3.5 и 3.6 имеем rp-i -If f — г- = -, 91 = ( )s = (р- 1), г — el г г
Ввиду леммы 1.2.7 в L есть полупростой элемент порядка - . Этот элемент содержится в некотором максимальном торе Т группы L, поэтому f- делит (/, \Т\). Сначала оценим сверху наибольший общий делитель числа / с возможными ввиду леммы 1.2.5 делителями д2 ± 1, д4 + 1 и q2 ± q + 1 числа \Т\. Имеем
Пусть р = 5. Тогда / — 5g2(g2 -1)+4. Так как 8 делит q2 — 1, то fi — 4. Если г четно, то по 3.2 число -\_ i = 7 нечетно и, следовательно, г = 4, что противоречит 3.3. Поэтому г нечетно и ()2 = 4. Так как gi = 1, то по лемме 1.2.6 и 3.8 число делит одно из чисел 44, 42 14, 24, 42 91. Но fi = 4, поэтому делит одно из чисел 4, 28, 12, 4 91 = 364. Отсюда / 364г. Так как 10 делит г — el, то г 9. Ввиду 3.4 имеем г д4/3, поэтому q 7 и, следовательно, д2 3 3,64. Таким образом, / 364 74/3 = Ду ffg2 - ЮОд2. Но / - 100g2 = 5g4 - 105g5 + 4 = 5g2(g2 - 21) + 4 5g2(49 - 21) + 4 0; противоречие.
Итак, p = 7 и, следовательно, / = 7q2(q2 -1)+6. Так как 8 делит q2 — 1, то /2 = 2. Если г четно, то по 3.2 число г "[ = нечетно и, следовательно, г = 2, что противоречит 3.3. Итак, г нечетно и ( )2 = 2. По лемме 1.2.6 и 3.8 число - делит одно из чисел (6/gi)4, (6/gi)2 20, 202, 48/gi, (6/gi)2 183. Но ()2 = 2, поэтому делит одно из чисел 2(3/дх)4, 2(3/91)2 5, 50, 6/Й, 2(3/91)2
Пусть qi ф 1. Тогда gi = 3 и, следовательно, /з = 3. Если 3 делит г, то по 3.2 число rr_ = не делится на 3 и, следовательно, г = /з — 3, что невозможно. Итак, г не делится на 3 и, следовательно, — не делится на 3. Отсюда -- делит одно из чисел 2, 10, 50, 2 91, поэтому / 546г. Если qi = 1, то делит одно из чисел 192, 90, 50, 6, 18 183 = 3294.
Итак, / 3294г. Так как 14 делит г — el, то г 13. Ввиду 3.4 имеем г д4/5, поэтому q г5 4 135 4 13 и, следовательно, д6/5 ІЗ3/2 46. Таким образом, / 3294д4/5 = gig2 722. Но / - 72g2 = lqA - 77g5 + 6 = 7g2(g2 - 11) + 6 0; противоречие.
Доказательство теоремы
Пусть G — конечная группа с OJ(G) — w(), где L — одна из простых групп D {q) или F {q), где q нечетно. Ввиду теоремы Грюнберга-К егел я (1.2.1), результата М. Р. Зиновьевой (Алеевой) лемма 1.2.9 (см. [1]) и лемм 1.2.2 и 1.2.3 имеем Inn(P) G = G/F{G) Aut{P), где Р -конечная простая группа с t(P) t(L), K(F(G))[JTT(G) С ITI(G) И ri2(L) = g4 — g2 + 1 Є {ni( P) I 2 г 2(P)}- Далее рассматриваются все возможности для Р, описываемые в лемме 1.2.2.
Пусть сначала L F {q) q нечетно. Если Р = F (r), то д4 — д2 + 1 є {г4 -(- l,r4 — г2 + 1}, откуда q = г, что не противоречит теореме.
Если Р изоморфна одной из спорадических групп или одной из групп 2Л3(2), 2F4(2) , 2Л5(2), ?7(2), V(3), А2(4), 26(2), то непосредственными вычислениями показываем, что включения д4 — q2 + 1 Є {гц(Р) 2 t{P)} и 1( 3) Q 1( ) приводят к противоречию.
1) Пусть Р = Ап. По лемме 1.2.2 либо п Є {р, р 4- 1,р + 2}, одно из n, п — 2 не простое и д4 — д2 + 1 = р, либо числа п — р, р — 2 простые и g4 — g2 + 1 {р,Р — 2}. Ясно, что 1 д4 — д2 — 1 п — 2 и д4 — д2 — 1 нечётно. Поэтому в Р существует элемент (цикл) порядка g4 — q2 — 1. Следовательно, в L существует полупростой элемент х порядка g4—q2 — 1. Значит, х принадлежит некоторому максимальному тору Т группы L. Поэтому д4 — q2 — 1 делит Г. Так как число д4 — д2 — 1 взаимно просто с числами д2 — 1, д2 + 1, д4 — д2 + 1, то по лемме 1.2.6 число \х\ делит (g2 і q + 1)2 или g4 + 1. Первый случай невозможен, так как (q2 ± q +1)2 не делится на g4 — q2 — 1. Во втором случае g4-g2-i = (g4-g2-i,94 +1)-((/ + 1)-(92 + 2))94+ 1) = (g2 + 2,q4 + 1) = (g2 + 2,g2(g2 + 2)- 2(g2 + 2) + 5) = (q2 + 2, 5). Следовательно, g4 — q2 — 1 = 5, откуда g2 = 3; противоречие.
Пусть P = 3L 4(r). По лемме 1.2.2 имеем q4 - g2 + 1 = r4 - r2 + 1, откуда непосредственно вытекает, что q = г. Имеем Aut(P) Inn(P) X F, где F — циклическая группа полевых автоморфизмов группы Р и qr3 = p\F\ для некоторого нечётного простого числа р.
Предположим, что порядок группы GJ1пп(Р) делится на простое число 5 3. Тогда по [28, (9-1)] в G\Inn(P) существует элемент х порядка s такой, что Ср(х) = 3 4( 7о) где q — q . Тогда 0 + 1 Делит 7о + 1 = д6 + 1. Но (q4 - q2 + l.gi2 + 1) = ((2 + 1)(2 -2)+ 3,# + 1) = (3,2 + 1) = 1, так как 3 делит g0(gj - 1), a {qo(q2 — 1), g -h 1) = 2. Поэтому gj - g2, + 1 делит q4 — q2 + 1, а это противоречит тому, что s Є TYI(G).
Итак, G/P является {2,3}-группой и, следовательно, 7Гі(б/Р)СТі(Р) = тг(9(дв-1)). Так как (д8 - 1, g(g6 - 1)) = g2 - 1 и (g2 + l,g2 - 1) = (4 + 1, -1) =2, то тг((д2 + l)(g4 +1)/4) Птг(?(96-1)) = 0. Отсюда тг((д2+1)(д4+ 1)/4) С 7r(F(G)). Так как подгруппа F(G) нилытотентна, то в ней найдется элемент порядка S1S2, где s\ (2- -), S2 Є 7г( —). Значит, и в L найдётся полупростой элемент порядка siS2- Этот элемент содержится в некотором максимальном торе Т группы L, и значит, s делит \Т\, Но это по лемме 1.2.6 противоречит всем возможностям для \Т\.
Пусть Р S „(г), Cn{r), 2Dn{r), 2Dn+1(2) или 2Dn+1(3) (п+1 не просто), где n = 2т 2. Мы рассмотрим только случай, когда Р = Сп(г) и п = 2т 2, так как остальные указанные возможности рассматриваются аналогично. По лемме 1.2.2 имеем
Если (2, г — 1) = 1, то г" + 1 = д4 — д2 + 1, откуда rn = q2{q2 — 1); противоречие. Поэтому (2, г — 1) = 2 и +1 = д4 — q2 + 1, т. е. гп — 1 = 2д2(д2 - 1). Положим п = гп/2. Тогда (п - 1)( + 1) = 2g2(g2 - 1). Ясно, что (гі — 1, т1! + 1) = 2. Поэтому 2д2 делит либо г і — 1, либо ri + 1. Отсюда т\ + єі = 2aq2 для некоторого а Є N и є 6 {±}. Если є — —, то 2aq2(2aq2 + 2) = 2g2(g2 - 1), откуда g2 - 1 2a(ag2 + 1) = g2 - 1; противоречие. Если = +, то 2aq2{2aq2 — 2) = 2q2(q2 — l), откуда q2 — l 2a(aq2 — 1) = q2 — 1; противоречие.
Пусть p — нечетное простое число и Р -Sp(3), Ср(г) (г = 2,3), 2 р(3), р(г) (р 5, г = 2,3,5) или Dp+l(r) (г = 2,3). Мы рассмотрим только случай, когда Р = Ср{г) иг = 2,3, так как остальные указанные возможности рассматриваются аналогично. По лемме 1.2.2 Н--1 4 , Если г = 2, то 2р - 1 - q4 - q2 + 1, откуда 2Р - q2(q2 - 1) + 2. Но g2 - 1 делится на 4; противоречие. Итак, г = 3 и, следовательно, откуда 3(3 -1) = 2 -1). Ясно, что 3 делит q2 — 1. Положим t З -1 2. Тогда (i-l)(i+ 1) = 2 , и мы так же, как в случае 3), приходим к противоречию.
Пусть Р = Ар(г), где є = ±, р — нечетное простое число, (г—є1)(р+ 1) и (р,г) (3, 3), (5, 2) при е = —. По лемме 1.2.2 имеем q4 — g2 + 1 — f, откуда (7--61)( -1)=7-(7 -1). Если (g,r) 1, то г = q2, и значит, тр х — 1 равно (г — I)2 при є — + и г2 — 1 при е = —, что возможно только при є = — и (p,r) = (3,3); противоречие с условием.
Итак, (g,r) = 1. Имеем q2(r — el)(g2 — 1) = r(rk — 1)(тк + 1), где 2к = р — 1. Поскольку (rfc — l,r + 1) делит 2, то g2 делит rk — 1 или rfe + l.
Пусть q2 делит rk — 1. Тогда г — 1 = q2a для некоторого а Є N. Предположим, что а 1. Тогда (г — el)(g2 — 1) = ra(q2a + 2), откуда q2(ra2 — г + el) = —r(2a + 1) + el; противоречие. Следовательно, a = и rk — q2 = 1. По лемме 1.2.5 это возможно лишь при q = 2, что противоречит нечетности q.
Пусть q2 делит гк + 1 . Тогда гк + 1 = д2а, для некоторого а N. Если а 1, то (г — el){q2 — 1) = ra(q2a — 2); противоречие. Следовательно, а 1 и д2 — гк — 1. По лемме 1.2.5 это возможно лишь при g = 3 и rfe = 8. Если к = 1, то г — 8 и р == 3, что противоречит условию (г — І) (р + 1). Поэтому /с 3, г = 2, р = 7, откуда равенство q2{r — el)(g2 — 1) = r(rp l — 1) неверно.
Доказательство теоремы А
Пусть G — конечная группа с ш{С) = OJ(L), где L = zD±{q) и q = 2т для т N. Будем считать т 1, так как распознаваемость группы Ь = 3 )4(2) доказана в [20]. Ввиду теоремы Грюнберга-Кегеля, результата М. Р. Зиновьевой (Алеевой) [1] и лемм 1.2.2 и 1.2.3 имеем Inn(P) G = G/F(G) Aut(P), где Р — конечная простая группа с t(P) t(L), 7T{F(G))\JTV(G) С m(G) и n2{L) -?4-g2 + l {гц(Р) \2 і t(P)}. Далее рассматриваются все возможности для Р, описываемые в лемме 1.2.2.
Если Р = 3 4(г), то q4 — q2 + 1 г4 — т2 + 1, откуда q — г, что не противоречит теореме. Если Р изоморфна одной из спорадических групп или одной из групп М3(2), 2F4(2) , М5{2), J57(2), Я7(3), А2(4), 26(2), то непосредственными вычислениями показываем, что включения q4 — q2 + 1 Є {щ(Р) 2 і ( )} и я\{Р) Я: тгі(Х/) приводят к противоречию.
1) Пусть Р = Ап. По лемме 1.2.2 либо п Є р,р+ 1,2 + 2}, одно из п: п — 2 не простое и д4 — q2 -f 1 = р, либо числа n = р, р — 2 простые и q4-g2 + le{p,p- 2}. Ясно, что l q4-q2-l n-2nq4-q2-l нечётно. Поэтому в Р существует элемент (цикл) порядка с?4 — q2 — 1. Следовательно, в L существует полупростой элемент х порядка qA—q2 — 1. Значит, х принадлежит некоторому максимальному тору Т группы L. Поэтому qA — q2 — 1 делит Т. Так как число q — q2 — 1 взаимно просто с числами q2 — 1 и д4 — q2 + 1, то по лемме 1.2.6 число х делит q2 zkq + 1; противоречие.
2) Пусть Р = Р4(0- ТогДа Я4 42 + 1 {г4 + ! 4 - г2 + !} Если g4 —g2 + l = г4 + 1, то q2(q2 — 1) = г4; противоречие. Поэтому д4 — д2 +1 г4— г2 + 1 и, следовательно, g — г. Но тогда (Р) = тг(д(д6 —l)(g8 —1)) С 7Ti(L) = тг(д(д6 — 1)), что невозможно по теореме Жигмонди.
3) Пусть Р В„(г), С„(г), (г), 2Г»п+і(2) или 2 n+1(3) (n + 1 не просто), где п = 2к 2. Мы рассмотрим только случай, когда Р = Сп(г) и n = 2к 2, так как остальные указанные возможности рассматриваются аналогично. По лемме 1.2.2 имеем гП + 1 4 2 , Если (2, г - 1) = 1, то гп + 1 = д4 - q2 + 1, откуда rn = q2{q2 1); противоречие. Поэтому (2, г - 1) = 2 и — д4 — q2 + 1, т. е. гп — 1 = 2g2(g2 - 1). Положим гу = г" 2. Тогда (п - 1)(гі + 1) = 2g2(g2 - 1). Ясно, что т\ нечетно и (г! — l,ri + 1) = 2. Поэтому д2 делит либо гі — 1, либо т\ + 1. Отсюда гі + el = aq2 для некоторого а 6 N. Если є = —, то ад2 (ад2 + 2) = 2g2(g2 - 1), откуда (а2 - 2)д2 = —2(а+1) и, следовательно а = 1 и g = 2; противоречие. Если е = +, то (а2 — 2)д2 = 2(а — 1), откуда а 1 и а(ад2 — 2) 4(д2 — 1) 2(д2 — 1); противоречие.
4) Пусть р — нечетное простое число и Р = Вр(3), Ср{г) [г — 2,3), 2 р(3), Dp{r) (р 5, г = 2,3,5) или Dp+i(r) (г = 2,3). Мы рассмотрим только случай, когда Р = 2р(0 и г = 2,3, так как остальные указанные возможности рассматриваются аналогично. По лемме 1.2.2 имеем Если г = 2, то 2Р — 1 = д4 — q2 +1, откуда 2Р = q2 (q2 — 1) + 2; противоречие с чётностью . Итак, г = 3 и, следовательно, 3" - 1 4 2 , . откуда 3(3Р-1 — 1) = 2g2(g2 — 1). Ясно, что 3 делит д2 — 1. Положим t = з "1)/2. Тогда (-l)(t+l) 2g2 , и мы так же, как в случае 3), приходим к противоречию. 5) Пусть Р = А„(г), где е = ±, р — нечетное простое число, (г—el)(p+ 1) и (р, г) ф (3, 3), (5,2) при є = —. По лемме 1.2.2 имеем q4 — q2 + 1 = rp-el Tr f: откуда g2(r-1)( -1) = 7-(7- -1). Если (g,r) ф 1, то r = g2, и значит, гр_1 — 1 равно (г — I)2 при є = + и г2 — 1 при с — —, что возможно только при е = — и (р, г) = (3,3); противоречие с условием. Итак, (g,r) — 1. Имеем g2(r — el)(g2 — 1) = r{rk — l)(rk + 1), где 2fc = р — 1. Поскольку (rfc — 1, rfe + 1) = 2, то g2 делит rfc — 1 или rk + 1.
Пусть g2 делит rk — 1. Тогда rfc — 1 = g2a для некоторого а Є N. Предположим, что а 1. Тогда (г — el)(g2 — 1) = ra(q2a + 2), откуда q2(ra2 — г + el) = —r(2a +1) + el; противоречие. Следовательно, a = и rk — q2 = 1. По лемме 1.2.5 это возможно лишь при q — 2, что противоречит предположению q 2.
Пусть q2 делит гк +1 . Тогда rfc + 1 = g2a, для некоторого а Є N. Если а 1, то (г — t\)(q2 — 1) = ra(q2a — 2); противоречие. Следовательно, а = 1 и g2 — rfc = 1. По лемме 1.2.5 это возможно лишь при q 3; противоречие. 6) Пусть Р Ае г(г)} где р — нечетное простое число и (р,г) ф (3,2),(3,4) при = +. Тогда ТР — ЄІ 4 9 - 94 - 72 + 1, (3-9) (г-є1)(р,г-є1) откуда J 1 = (р, г — cl)(g4 — g2 + 1). Вычитая единицу из обеих частей последнего равенства, получим тг _ - = (р,г — l)(g4 —g2 + 1)-1, откуда гР-1 - 1 = (p,r-el)q2{q2-l) + (p,r-el)-l г — el г
Пусть г — el = р. Тогда из леммы 1.2.5 получаем г 2к. Предположим, что е = +. Тогда к 2, 4 делит д2, а по 3.10 число г делит pg2(g2 — 1)+г — 2, что невозможно. Итак, є — —. Если р = 3, то равенство 3.10 приводит к противоречию. Поэтому р 3 и к 1. Равенство 3.9 записывается в виде ТР+1 -1 = ( -1), (г + I)2 поэтому 7-(7 -1 — г — 2) = (r + l)2g2(g2 — 1). Так как гид четны, получаем 2т = д2, следовательно, гр — т{г -f 2) = (г + 1)22г(2г — 1). Таким образом, гр 2 — 4г + 6г + 1; противоречие. Предположим, что (г, q) ф 1. Если г q2, то ввиду 3.12 получаем р — 3 и, следовательно, по 3.10 число д2 делит (3,г — el) — 1, откуда (3,г — єі) = 1 и снова ввиду 3.10 имеем г = q2; противоречие. Поэтому г q2 и по 3.10 число г делит (р, г — el) — 1. Отсюда ввиду 3.11 получаем (р, г — el) = 1. Ввиду 3.10 имеем г — q2, откуда по 3.12 получаем р = 3 и е = —. Но тогда имеем тгі(Р) = тг(д(д4 - 1)) С щ(Ь) = ir(q(q& — 1)), что противоречит теореме Жигмонди. Следовательно, М) = 1. (3.13) Если (р, г — el) — 1, то, рассуждая как в 5), придем к противоречию. Поэтому (р,г-е1)=р. (3.14) Предположим, что р = 3. Тогда ввиду 3.10 имеем г (г + el) = 3g2( ?2 — 1) + 2, откуда (г — el)(r + е2) = 3q2(q2 — 1). Так как q четно, то q2 может делить только г — el, то есть г — el = aq2 для некоторого а Є N. Но тогда a(aq2 + еЗ) = 3(q2 — 1); противоречие.
Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп sZ?4(g), q четно (доказательство теоремы С)
Предположим, что (г, q) ф 1. Если г q2, то ввиду 3.12 получаем р — 3 и, следовательно, по 3.10 число д2 делит (3,г — el) — 1, откуда (3,г — єі) = 1 и снова ввиду 3.10 имеем г = q2; противоречие. Поэтому г q2 и по 3.10 число г делит (р, г — el) — 1. Отсюда ввиду 3.11 получаем (р, г — el) = 1. Ввиду 3.10 имеем г — q2, откуда по 3.12 получаем р = 3 и е = —. Но тогда имеем тгі(Р) = тг(д(д4 - 1)) С щ(Ь) = ir(q(q& — 1)), что противоречит теореме Жигмонди. Следовательно, М) = 1. (3.13) Если (р, г — el) — 1, то, рассуждая как в 5), придем к противоречию. Поэтому (р,г-е1)=р. (3.14)
Предположим, что р = 3. Тогда ввиду 3.10 имеем г (г + el) = 3g2( ?2 — 1) + 2, откуда (г — el)(r + е2) = 3q2(q2 — 1). Так как q четно, то q2 может делить только г — el, то есть г — el = aq2 для некоторого а Є N. Но тогда a(aq2 + еЗ) = 3(q2 — 1); противоречие. Поэтому р 5. (3.15) Положим / — pq2(q2 — 1) +р — 1 и щ = /2. Тогда ввиду 3.10, 3.12, 3.13 и 3.14 имеем Г = ", ft = ( )2 = (p-l)2. г — el г г
Ввиду [15, лемма 6] в L есть полупростой элемент порядка - -. Этот элемент содержится в некотором максимальном торе Т группы L, поэтому -- делит (/, ехр(Т)), где ехр(Т) — экспонента группы Т. Сначала оценим сверху наибольший общий делитель числа / с возможными ввиду леммы 1.2.6 делителями g ± 1 и g2 ± g + 1 числа ехр(Т). Имеем (/,92 1)-(р-1,52-1) Ь-1)Аь (/,g2-eg + l) = (р(д2-єд+1)((д2 + д-1)-є(2рд-Є2р + б1),д2-Єд+1) = = (2pg - е2р + el, q2 - eq + 1) = (2pg - e2p + 1,4p2(g2 - eg + 1)) = = {(2pq - e2jt? + el)(2pg - el) + 4p2 - 2p + 1, 2pg - 2p + 1) 4p2 - 2p + 1.
Таким образом, наибольший общий делитель числа / с числами д±1и g2 + g + 1 делит соответственно (3.16) числа (р — l)/?i и Ар2 — 2р + 1. Ввиду 3.11 имеемр (г+1)/2. Из леммы 1.2.6 следует, что экспонента любого тора группы L, кроме тора д4 — q2 + 1, делит (д2 — 1)(д2 ± д + 1). Поэтому из леммы 1.2.6 и 3.16 получаем, что число - делит 1р - (4р JJ. л.. . « vr.j. „ ш «, liu .,. - - ИРТТТЛТ i і- Ґ/ІП2 2р + 1). Поэтому { (Р - 1)(V - 2р+ 1) (р - 1)(4( ±1)2 - 2±±) + 1) з (r2 + r + l) y, откуда / г4/2. По 3.12 имеем г4 д1б/(р 2). Если р 7, то / 2— — д4, что невозможно. Поэтому ввиду 3.15 имеем р = 5 и / = 5g2(g2 -1)+4. Так как 8 делит д2 и г нечетно, то дх = /2 = (-) = 4. Отсюда по лемме 1.2.6 и 3.16 число - делит 91, т.е. делит 4 91 = 364. Отсюда 364. Так как 10 делит г — єі, то г 9. Ввиду 3.12 имеем г д4/3, поэтому q 7 и, следовательно, д2 3 3,64. Таким образом, / 364д4/3 = Дд2 fgg2 = ЮОд2. Но / - 100g2 = 5g4 - 105g2 + 4 = 5g2(g2 - 21) + 4 5g2(49 - 21) + 4 0; противоречие.
7) Пусть P S6(r). Тогда g4 - g2 + 1 = . Пусть (3, г -1)-1. Тогда g2(g2 — 1) = r3(r3 + 1). Если (g,r) ф 1, то г = g2 и, следовательно, г3 — 1 — г3 + 1; противоречие. Следовательно, (д, г) = 1, откуда д2 делит [тг +1) иг3 делит (д2 — 1), то есть г3 + 1 = д2а, д2 = тгЬ + 1 для некоторых а, 6 Є N. Поэтому г3 + 1 = (г36 + 1)а, откуда о = Ь = 1 и, следовательно, д2 — г3 = 1. Из леммы 1.2.5 получаем, что g = 3 и г — 2; противоречие. Итак, (3, г - 1) = 3 и, следовательно, g4 - q2 + 1 = (г6 + г3 + 1)/3, откуда 3g2(g2 - 1) = (г - l)(r2 + г + l)(r3 + 2). Поскольку г2 + г + 1 нечетно (г3 + 2)2 2, то д2/2 делит г — 1. Отсюда д2/2 г - 1 и, следовательно, (г2 + г + 1)(г3 + 2) 6(д2 1) 6q2 12(г — 1); противоречие.
8) Пусть Р - Е6(г), г 2. Тогда д4 - д2 + 1 = += . Пусть (3,r + 1) = 1. Тогда g2(g2 -1)- r3(r3 - 1). Предположим, что (g,r) ф 1. Тогда г3 = д2 и, следовательно, q = g3 иг= для некоторого числа gi. Имеем тп(Р) = тг(91(й + l)(gj6 - l)(g24 - 1)) с Tl(L) = тгЫд}8 - 1)).
Заметим, что {д20 — l,g];8 — 1) = g2 — 1. По теореме Жигмонди существует простой делитель / числа q{ + 1, который не делит д[ — 1 для всех 1 і 20. В частности, / не делит д2 — 1, а значит, / не делит gj8 — 1. Поэтому / Є тгі(Р) \ 7Ti(G); противоречие.
Таким образом, (g,r) = 1, откуда д2 (г3 — 1) и э 3 (д2 — 1), то есть г3 — 1 = д2а ид2 — г3Ь + 1 для некоторых а, Ь є N. Отсюда г3 — 1 = {гъЬ + 1)а; противоречие.
Пусть (3, г + 1) = 3. Тогда д4 — д2 + 1 — т - +1 и мы приходим к противоречию как в пункте 7). 9) Пусть Р Ai(r), г 3. Если г = 2Ь, то д4 - д2 + 1 = 2Ь - 1, откуда g2(g2 — 1) = 2(2Ь_1 — 1); противоречие. Поэтому г = el(4) и г = s6, где s — простое число и Ь Є N. Тогда g4-g2 + le{s,— —}.
Предположим, что g4 — g2 + 1 — 5. Если 6 четно, то - - делит ryk Если Ъ нечетно, то - делит . В любом случае в L есть полупростой элемент порядка = g % +2. Тогда q \+ делит порядок некоторого максимального тора группы L. Так как (д4 — д2 + 2, д2 — 1) = 1и (д4 — д2 + 2, д2 ± q + 1) делит 7, то по лемме 1.2.6 число (д4 — g2 + 2)/2 делит 7. Следовательно, д4 — д2 -I- 2 = 14, откуда q = 2; противоречие.
Таким образом, д4 — д2 + 1 = 1 . Предположим, что є = —. Тогда д4 — д2 +1 = , откуда д4 — д2 + 2 = . Рассуждая, как в предыдущем абзаце, приходим к противоречию.
Итак, є = + ид4-д2 + 1 = . Отсюда г - 2g2(g2-l) + l и g2(g2-l) = т . По лемме 1.2.2 имеем тг(Р) = тг(г(г2 - 1)) и xi(G) = тг(д{д6 - 1)).
Предположим, что порядок группы G/Inn(P) делится на нечетное простое число t. Тогда в G\Inn{P) существует элемент х порядка t и по [28, (9-І)] Os (Cp(x)) = 2(7-0), гДе го — г- В группе 2( 0) есть элемент порядка ru L. Но і Є TTI(G) и делит = g4 — q2 + 1; противоречие С ТЄМ, ЧТО 7I"(g4 — q2 -f 1) = 7T2(G). Итак, G/Inn{P) является 2-группой. Имеем = q4 + q2+l (q2 + q + l)(q2 q+l). q 1
Легко проверить, что числа (g4+g2 + l)/3 и q(q2 — 1) взаимно просты. Так как числа (г, q2 ± q + 1) делят 13, то тг(д4 + g2 + 1)/3) \ {13} С TT(F(G)). Предположим, что (г, g2 + eg + 1) 7 1- Тогда (г, q2 + eq + 1) 13 и г есть степень 13. Если g2 + eg + 1 есть степень 13, то либо г = 13, либо g2 + eq + 1 = 13, что невозможно. Поэтому взаимно простые числа g2 + g + 1 и д2 — g + 1 не могут быть степенями 13 и, следовательно, в нильпотентной подгруппе F(G) найдется элемент порядка S1S2, где si є ((з +Д++і)) \ і13} и s2 Є тг((3 , +1)) \ {13}. Значит, и в L найдётся полупростой элемент порядка siS2- Этот элемент содержится в некотором максимальном торе Т группы L, и значит, S1S2 делит ехр(Т). Но это по лемме 1.2.6 противоречит всем возможностям для ехр(Т).
