Введение к работе
Актуальность темы. Теория L-функций и е-функций является обобщением классической теории дзета-функций и восходит к работам Гекке и Хассе
ИаЧаЛа ПрОШЛОГО СТОЛсіил ни сШсШШИИ U ЛЛсІІХИЧесний іеирИВИ р<1ЦИОН<1ЛЬ-
ных чисел Х-функции вводятся при доказательстве теорем о распределении простых идеалов в полях алгебраических чисел В свою очередь, теория е-функций возникает в связи с необходимостью исследования функциональных уравнений для L-функций
В 20-х гг прошлого века Гекке1 обобщил классическое функциональное уравнение для обычной дзета-функции на случай L-функции с характерами групп идеалов полей алгебраических чисел Спустя 30 лет Тэйт в своей диссертации обобщил результаты Гекке, — он вывел функциональное уравнение для 1,-функций с мультипликативными характерами локальных полей, что позволило определить соответствующие е-функции для характеров локальных полей С развитием локальной теории полей классов оказалось возможным отождествить характеры локального поля К с одномерными (комплексными) представлениями группы Вейля W(K/K) этого поля посредством изоморфизма Артина К* = W(K/K)ab, где К* = GLi(K) и W(K/K)ab есть фактор-группа группы W{K/K) по замыканию ее коммутатора, которая естественным образом отождествляется с группой одномерных характеров группы W(K/K) Таким образом, с помощью изоморфизма Ар-тина можно определить L-функцшо и є-функцию для одномерных представлений группы W(K/K) Это обстоятельство послужило толчком к дальнейшему обобщению понятия Ь-функции, теперь уже для представлений группы W{K/K) произвольной размерности2 Построение соответствующего обобщения е-функции является гораздо более сложной задачей, так как в одномерном случае определение е-функции, в отличие от ^-функции, существенно опирается на изоморфизм Артина Пытаясь обобщить изоморфизм Артина и
'Неске, Е Erne neue Art von Zetafunktionen und lhre Beziehungen zur Verteilung der Pnmzahlen / E Hecke II Math Z - 1920 - V 6, »1/2 - P 11-51
2Artm, E Zur Theone der L-Reihen nut allgememen Gruppencharakteren / E Artin // Hamb Abh - 1930 - V 8 - P 292-306, collected papers - P 165 - 179
е-функцию на случай представлений произвольной размерности, Ленглендс в своей неопубликованной статье (1970) доказал теорему о существовании естественного обобщения е-функции для представлений группы W(K/K) произвольной размерности В 1973 г Делинь3 предложил другое, сравнительно легкое доказательство теоремы Ленглендса Он ввел понятие группы (Вейля— Делиня) W(K/K) локального поля К и построил теорию ее представлений, которая является обобщением теории представлений группы Вейля Делинь определил L- и е-функции для представлений группы W(K/K) и (совместно с Гротендиком) сконструировал естественный функтор из категории представлений группы Ga\(K/K) в векторных пространствах над Q; (так называемых l-адических представлений) в категорию комплексных представлений группы W(K/K) (I — простое число, отличное от характеристики поля вычетов поля К) С помощью этого функтора можно определить представления группы W{K/K), соответствующие естественным J-адическим представлениям группы Ga\(K/K) в Z-адических группах когомологий многообразий над К, и, как следствие, определить соответствующие і-функции, є-функции и связывающие их (гипотетические) функциональные уравнения
Существование локальных е-функций (т е е-функций для представлений групп Вейля—Делиня локальных полей) позволяет определить глобальные е-функции (т е е-функции для представлений групп Галуа глобальных полей) как произведения соответствующих локальных е-функций Глобальным (локальным) корнем Артина называется отношение глобальной (локальной) е-функции к ее абсолютному значению
В начале 60-х годов прошлого столетия Бэрч и Суиннертон-Дайер4 исследовали эллиптические кривые над Q и связанные с ними ^-функции На основе полученных данных они выдвинули гипотезу о равенстве ранга группы E(Q) (Q-значных точек эллиптической кривой Е над Q) порядку ords=j L(E,s) L-функции L(E,s), ассоциированной с этой кривой Впоследствии гипотеза, сформулированная для эллиптических кривых, была перене-
3Dehgne, Р Les constantes des equations fonctionnelles des fonctions L / P Dehgne // Modular functions of one variable - New York Springer-Verlag - 1973 - V 2 - P 501-595
4Birch, В J Notes on elliptic curves II / В J Birch, H P F Swinnerton-Dyer // J Квіпе Angew Math - 1965 - V 218 - P 79-108
сена на более общие объекты, в частности, на абелевы многообразия Из гипотезы Бэрча и Суиннертон-Дайера вместе с гипотетическим функциональным уравнением для функции L(A, s), ассоциированной с абелевым многообразием А над Q, следует, что корень Артина И^(А), ассоциированный с А, равен (—i)r~" *VM' Появление этой гипотетической формулы, называемой иногда гипотезой четности, стимулировало интерес к исследованию корней Артина, а сама формула оказалась богатым источником информации об абелевых многообразиях и, в частности, эллиптических кривых В этом контексте была получена явная формула для локального корня Артина, ассоциированного с эллиптической кривой5, и изучены глобальные корни Артина некоторых эллиптических кривых6
Исследование абелевых многообразий над числовыми полями привело к необходимости изучения локальных корней Артина вида W(A,, т„), где А — абелево многообразие над числовым полем F,t — неприводимое представление группы Gal(F/F), v — простой дивизор поля F, Д, = А ХрFv, Fv обозначает пополнение поля F относительно ііитв- ограничение представления т на подгруппу Gal(Fv/Fv) <-) Gb1(F/F) Пусть a'v — представление группы Вейля—Делиня W(FV/FV), ассоциированное с первой Z-адической группой когомологий многообразия Av (I — простое число, отличное от характеристики поля вычетов поля Fv) Тогда, по определению, И^Аг,, т„) = W(a'vTv)t где т„ рассматривается как представление группы W(FV/FV) В 1996 г Рорлик7 вывел формулу для локального корня Артина W(E, г), ассоциированного с эллиптической кривой Е над локальным полем К и представлением т группы Gal(K/K) с вещественнозначным характером, в случае, когда характеристика р поля вычетов поля К строго больше трех, что позволило определи гь, при некоторых дополнительных условиях, глобальный корень Артина, ассоциированный с эллиптической кривой над числовым полем F и неприводимым
5Robrlich, D Е Variation of the root number in families of elliptic curves / D E Rohrlich // Compositio Math - 1993 - V 87, №2 - P 119-151
eKobayashi, S The local root number of elliptic curves with wild ramification / S Kobayashi // Math Ann
- 2002 - V 323, №3 - P 609-623
'Rohrlich, D E Galois theory, elliptic curves, and root numbers / D E Rohrlich // Compos Math -1996
- V 100 - P 311-349
представлением группы Gai(F/F) с вещественнозначным характером Этот результат был обобщен автором диссертации на случай абелевых многообразий Известно, что для глобального корня Артина W(A, т) существует аналог гипотезы четности В работах автора диссертации показано, в частности, что этот аналог согласуется с полученными результатами, что является еще одним подтверждением гипотезы четности
Ряд работ, выполненных в рамках построения общей теории е-функций, посвящен нахождению формул для глобальных и локальных корней Артина в различных специальных случаях Было доказано, что корень Артина W(t) представления т группы Галуа Gal(F/F) глобального поля F с вещественнозначным характером равен единице, если т — ортогональное представление, и приведены примеры представлений, имеющих вещественнознач-ные характеры и корень Артина, равный -I8 Хотя в общем случае явная формула для локальной е-функции отсутствует, Делинь9 дал ее описание с помощью классов Штифеля—Уитни для ортогональных представлений группы W(K/K), а спустя 19 лет была получена явная формула для локальной е-функции представления группы Ga\(K/K), индуцированного единичным характером группы Галуа Gal(L/L) конечного сепарабельного расширения L поля К, при условии, что характеристика поля вычетов поля К не равна 210 С учетом некоторых свойств е-функции последний результат дает конкретное описание поведения е-функции при индуцировании представлений подгруппы Ga\(L/L) на группу Gal(K/K) Были получены также новые формулы для локальных корней Артина в случаях унитарных и ортогональных представлений Галуа с использованием "явной" версии теоремы Брауэра11 и др
Другое важное направление в исследовании корней Артина представлений Галуа связано с их применением в теории модулей Галуа Основы этой теории
8FroUich, A On the functional equation of the Artm i-function for characters of real representations / A Prohhch, J Queyrut // Invent Math - 1973 - V 20 - P 125-138
'Deligne, P Les constantes locales de l'equation fonctionnelle de la fonction L d'Artra d'une reprfentation
orthogonale I P Deligne // Invent Math - 1976 - V 35 - P 299-316
10Saito, T Local constants of Ind^ 1 / T Saito // Comment Math Helv -1995 -V 70, №4 -P 507-515
"Snaith, V Topological methods in Galois representation theory / V Snaith - Canadian Mathematical
Society Series of Monographs and Advanced Texts A Wiley-Interscience Publication John Wiley к Sons, be ,
New York, 1989
были заложены Фрелихом в 70-х гг прошлого столетия в связи с изучением кольца целых элементов On конечного расширения Галуа N числового поля F с группой G = Gal(N/F) как модуля над кольцом Z[G] В рамках этой теории был определен аддитивный инвариант Qa(N/F), который "из-меряеі" u-струкгуру кольца On, сформулирован и доказан ряд глубоких гипотез, связывающих аддитивный инвариант Qa(N/F) с корнями Артина симплектических представлений группы G12 В 80-х гг Чинбург13 предложил так называемый мультипликативный аналог теории Фрелиха Пусть S — достаточно большое конечное множество простых дивизоров поля N, инвариантное относительно действия группы G, и U — группа S-обратимых элементов кольца On Изучая ZfGJ-модуль U, Чинбург ввел новый мультипликативный инвариант Cim(N/F), который, подобно аддитивному инварианту, "измеряет" G-структуру группы U Чинбург выдвинул и частично разрешил новые гипотезы, касающиеся, в частности, связи между мультипликативным инвариантом Qm(N/F) и корнями Артина симплектических представлений группы G В дальнейшем эта теория, развитая для расширений Галуа N/F, была перенесена на мотивы и объекты /С-теории и переросла в теорию Q-инвариантов14
Начиная с 1992 г, ведется работа по созданию геометрической теории модулей Галуа, т е изучению вопросов классической теории модулей Галуа числовых полей в контексте алгебраической геометрии15
Цели диссертации
Вывод явной формулы для локального корня Артина, ассоциированного с абелевым многообразием над локальным полем К и комплексным непрерывным конечномерным представлением группы Ga\(K/K) с вещественнознач-ным характером
12Frohhch, A Classgroups and Hermitian modules / A Prohhch, M J Taylor - Progress m Mathematics, 48 Birkhauser Boston, Inc , Boston, MA, 1984
13 Chmburg, T The analytic theory of multiplicative Galois structure / T Chmburg//Mem Amer Math Soc - 1989 - V 77, №395 - 158 pp
14Chinburg, T Galois structure of if-groups of rings of integers / T Chmburg, M Kolster, G Pappas, V P Snaith /I Jf-theory - 1998 - V 14, №4 - P 319-369
15Chmburg, T Duality and Hermitian Galois module structure / T Chmburg, G Pappas, M Taylor // Proc London Math Soc (3) - 2003 - V 87, №1 - P 54-108
Применение полученных результатов к вычислению глобального корня Артина, ассоциированного с абелевым многообразием над числовым полем F и комплексным непрерывным конечномерным неприводимым представлением группы Gal(F/F) с вещественнозначным характером
Описание допустимых унитарных, ортогональных и симплектических представлений группы Вейля—Делиня неархимедова локального поля
Методы исследования При получении результатов диссертации использовались методы алгебраической геометрии и гомологической алгебры, теория представлений групп, а также теория униформизации абелевьгх многообразий и теория Серра—Тэйта абелевых многообразий над неархимедовыми локальными полями с потенциально хорошей редукцией
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты
а) Пусть F — числовое поле, L С F — его конечное расширение Галуа, г
— комплексное неприводимое представление группы Gal(L/F) с веществен
нозначным характером ид — произвольное фиксированное натуральное чис
ло Доказано, что если подгруппы (группы Gal(L/F)) разложения всех про
стых дивизоров поля L, делящих все простые числа < 1д + 1, абелевы и
индекс Шура 7Bq(t) представления г равен 2, то W(A,t) = 1 для всякого
абелева многообразия А размерности д над F
б) Пусть К — локальное неархимедово поле нулевой характеристики и д
— произвольное фиксированное натуральное число В предположении, что
характеристика поля вычетов поля К строго больше, чем 2д + 1, получена
формула для локального корня Артина, ассоциированного с абелевым много
образием размерности д над К и комплексным непрерывным конечномерным
представлением группы Ga\(K/K) с вещественнозначным характером
в) Дано описание допустимых унитарных, ортогональных и симплектиче
ских представлений группы Вейля—Делиня неархимедова локального поля
г) Классифицированы неприводимые симплектические представления по
лупрямого произведения конечной и бесконечной циклических групп
Теоретическая и практическая значимость Полученные результаты подтверждают версию гипотезы Бэрча—Суиннертон-Дайера и могут быть ис-
пользованы в изучении рангов Морделла—Вейля абелевых многообразий
Апробация работы Результаты диссертации докладывались на международных российских и зарубежных семинарах и конференциях International Summer School "Recent Problems in Field Theory", 22 06-02 07 2004, Казань, Россия, Семинар Іалуа, University ot Pennsylvania, USA, 05 11 2004, Семинар по алгебре, Boston University, USA, 15 11 2004, Семинар по теории чисел, Caltech, USA, 02 12 2004, Семинар по алгебре, University of Southern California, USA, 06 12 2004, Семинар по алгебраической теории чисел, University of Illinois at Urbana-Champaign, USA, 27 01 2005, Семинар no теории чисел, University of California at Berkeley, USA, 15 04 2005, Special session on "Arithmetic Geometry" of the AMS Western Section Meeting, 16 04 — 17 04 2005, Santa Barbara, USA, Quebec-Vermont Number Theory Seminar, Universite de Montreal, Canada, 27 10 2005, Mathematical Sciences Research Institute Seminar, MSRI, USA, 03 04 2006, Семинар по алгебре, University of Washington, USA, 24 04 2006, Семинар по алгебре, Математический институт им В А Стеклова, 22 05 2007
Публикации По теме диссертации опубликованы 4 работы, в том числе 2 — в изданиях из списка ВАК
Структура и объем работы. Диссертация, изложенная на 89 страницах, состоит из введения, трех глав, заключения, пяти приложений и списка литературы, включающего 138 наименований
