Введение к работе
Актуальность темы исследования. Представленная работа касается трех областей, тесно связаных между собой методами, идеями и задачами а) теории полей и их (трансцендентных, вообще говоря) расширений, б) теории представлений топологических групп, в) алгебраической геометрии (бирациональной геометрии и теорий когомологий алгебраических многообразий) Из п в) приходят мотивировки, п б) - это место действия, а п а) - основа для б)
Теория Галуа возникла в работах Н X Абеля и Э Галуа как теория групп перестановок корней многочленов Р Дедекинд ввел поля и кольца, и начал рассматривать группы Галуа как группы автоморфизмов расширений полей Ему же принадлежит идея о том, что группу Галуа следует считать топологической группой Окончательно в случае алгебраического расширения эта идея оформилась в работе В Крулля [15], а для произвольных расширений - в работах Н Джекобсона, И И Пятецкого-Шапиро, И Р Шафаревича и др В этих работах группа автоморфизмов получила вполне несвязную топологию, базу открытых подгрупп которой составляют стабилизаторы конечных подмножеств поля, см [11, 23], и было построено естественное взаимнооднозначное соответствие между промежуточными подполями произвольного расширения, над которыми объемлющее поле является расширением Галуа, и компактными подгруппами группы автоморфизмов этого расширения Аналогичное соответствие было построено и для открытых компактных подгрупп В случае алгебраически замкнутого объемлющего поля было установлено, что группа автоморфизмов расширения локально компактна тогда и только тогда, когда степень трансцендентности этого расширения конечна Как показали Э Артин и О Шрай-ер, группы автоморфизмов алгебраически замкнутых полей, состоящие из элементов конечного порядка, содержат не более двух элементов, причем они тривиальны в случае положительной характеристики Инволюции алгебраически замкнутых полей детально изучались Р Бэром, см [1], в связи с задачей восстановления таких полей по их группам автоморфизмов
Исследовалась также задача восстановления полей по их абсолютным группам Галуа (в случае числовых и р-адических полей - Ю Нойкирхом, в случае функционального поля многообразия размерности >1 над алгебраически замкнутым полем -ФА Богомоловым и др , см [5, 6, 7])
Все вышеупомянутые подгруппы являются группами автоморфизмов алгебраических расширений, т е обычными группами Галуа С другой стороны, интерес к «теории Галуа» трансцендентных расширений в работах [23, 9, 24, 30] связан с теорией автоморфных функций Как известно, группы автоморфизмов полей автоморфных функций являются группами точек алгебраических групп над конечными аделями, а действие этих групп
автоморфизмов на полях автоморфных функций является гладким (то есть все стабилизаторы открыты)
Первый результат о группе автоморфизмов расширения замкнутых полей «в целом» получил Д Ласкар Он показал в [19], что группа автоморфизмов поля комплексных чисел над подполем всех алгебраических чисел проста как дискретная группа Его рассуждение проходит для группы автоморфизмов любого алгебраически замкнутого расширения несчетной степени трансцендентности любого алгебраически замкнутого поля характеристики нуль
В работе [16] В Крулль задает несколько вопросов, один из которых, нельзя ли как-нибудь описать подгруппы автоморфизмов над промежуточными подполями группы автоморфизмов заданного нормального (в смысле Д Барбиляна) расширения полей7 (Вопрос 3b) )
Обратимся теперь к теории представлений групп автоморфизмов расширений полей.
Теория представлений Галуа - весьма обширная область, и ее обзор увел бы далеко от изложения содержания настоящей диссертации
Отмечу только, что а) понятие формации (Э Артин и Дж Тэйт) эквивалентно паре, состоящей из подгруппы проконечной группы и гладкого модуля над ней, и что б) чрезвычайно мощным средством изучения представлений Галуа являются полулинейные представления Первый результат в этой области - это «Теорема 90» Д Гильберта гладкие полулинейные представления Галуа тривиальны Далее полулинейные представления изучались в работах Дж Тэйта, Ш Сена, Ж -М Фонтэна и др в контексте р-адических представлений Галуа
Группы автоморфизмов трансцендентных (то есть не алгебраических) расширений полей изучались мало, а их представления изучались ранее только в специальных случаях Основной, и самый важный случай, описать который здесь также не представляется возможным, - это теория автоморфных представлений Это - активно развивающийся и пространный предмет, связанный с теорией представлений Галуа гипотезами Р Лен-глендса Именно в связи с автоморфными представлениями, изучались гладкие представления локально компактных групп, в особенности, в случае р-адических и адельных групп, см [4] Одним из основных объектов исследования этой теории представлений являются допустимые представления 1
Изучались также унитарные представления некоторых топологических, в т ч вполне несвязных, групп Например, они описаны для бесконечных симметрических групп (А Либерман, Г И Ольшанский)
Представление вполне несвязной топологической группы Н называется допустимым, если оно — гладкое, и неподвижные подпространства всех открытых подгрупп Н конечномерны
И наконец, в алгебраической геометрии настоящая работа затрагивает те из мотивных вопросов, которые относятся к бирациональной геометрии
Мотиввыми инвариантами обычно называют такие функторы на категориях многообразий, которые определяется геометрически, но зависят, безусловно или лишь гипотетически, только от когомологических инвариантов (таких как структура Ходжа, представление группы Галуа, фильтрованный модуль и т п )
Пример бирационального мотивного инварианта, видимо, самый универсальный, - это группа (Чжоу) 0-циклов по модулю рациональной эквивалентности Как установил Д Мамфорд в [22], для поверхностей положительного геометрического рода эта группа «слишком велика», чтобы параметризоваться алгебраическими многообразиями Однако ее «мотив-ность» выражается частным случаем гипотезы Блоха-Бейлинсона о существовании некоторой фильтрации на Х-группах, факторы по которой «определяются когомологиями»
Несколько теорий когомологии алгебраических многообразий ведут себя параллельным образом и связаны изоморфизмами сравнения
Это подвело А Гротендика, П Делиня, А А Бейлинсона и др к гипотезе о существовании универсальной теории когомологии - со значениями в абелевой категории смешанных мотивов - и о тождествах между группами расширений между этими когомологическими объектами и К-группами Ссылками для этого круга идей являются, например, [2], [14]
Для гладких проективных многообразий эта теория задается чистыми мотивами (они же - мотивы Гротендика по модулю численной эквивалентности), но только при условии, что численная эквивалентность совпадает с гомологической Как предположил Гротендик, и доказал У Яннсен в [12], категория чистых ковариантных fc-мотивов М.к абелева и полупроста, и она - это единственный естественный способ превратить категорию гладких проективных многообразий в абелеву полупростую категорию
В А Воеводский, М Левин и М Ханамура (см [31, 20, 10]) определили триангулированные категории, которые, как ожидается, должны быть эквивалентны производной категории смешанных мотивов Основная трудность состоит в построении i-структуры, сердцевиной которой была бы искомая абелева категория смешанных мотивов Это можно было бы сделать, если бы были доказаны «стандартные» гипотезы (в том числе, гипотезы Бейлинсона), см [3]
Другой подход, Делиня и Яннсена, см [13], состоит в рассмотрении согласованных наборов «реализаций» Здесь трудности связаны с недоказанностью гипотез Ходжа и Тэйта
Цель работы - исследование а) строения групп автоморфизмов алгебраически замкнутых полей, б) их гладких линейных и полулинейных представлений, в) связей между теорией таких представлений и алгебраической геометрией (а именно, с бирациональной геометрией, алгебраическими циклами, мотивами, дифференциальными формами и пучками в различных топологиях) и г) аналогов (в данной ситуации) известных результатов теории представлений локально компактных (в особенности,р-адиче-ских) групп
Методы исследования. В работе используются методы алгебраической геометрии, теории представлений локально компактных групп, теории алгебраических групп, теории Галуа и гомологической алгебры
Научная новизна состоит, в первую очередь, в исследовании алгебро-геометрических вопросов методами теории гладких представлений групп автоморфизмов алгебраически замкнутых полей До работы автора [25] такие представления не изучались Все основные результаты диссертации являются новыми Их можно условно разбить на следующие четыре группы
Структура групп автоморфизмов расширений алгебраически замкнутых полей
Бирациональные инварианты алгебраических многообразий и их связь с гладкими представлениями групп автоморфизмов алгебраически замкнутых расширений алгебраически замкнутых полей, общие факты о гладких представлениях
Мотивы и их связь с некоторой абелевой категорией Tq гладких представлений групп автоморфизмов расширений алгебраически замкнутых полей.
Гладкие полулинейные представления, их связи с гомотопическими инвариантами алгебраических многообразий и с абелевой категорией Tq из п 3 при п = оо, см ниже
Обозначения Изучается группа автоморфизмов G расширения F\k алгебраически замкнутых полей счетной (обозначение n = оо) или конечной степени трансцендентности п
Вышеупомянутые четыре группы основных результатов выглядят следующим образом
(1) Установлено, что подгруппа G группы G, порожденная всеми компактными подгруппами, (и сама группа G в случае n = оо) топологически проста
В качестве одного из приложений, при n = 1 в терминах группы G описано сепарабельное замыкание простого трансцендентного расширения поля к
Описаны бинепрерывные автоморфизмы группы G
(2) Построен аналог алгебр Гекке для групп, не являющихся локаль
но компактными, установлены аналоги стандартных критериев по
лупростоты и неприводимости для гладких представлений В слу
чае группы G и нулевой характеристики поля к (что будет отныне
всегда предполагаться), некоторые из алгебр Гекке отождествле
ны с алгебрами невырожденных соответствий Каждому бирацио-
нальному типу сопоставлен G-модуль общих 0-циклов на нем над
полем F, и показано, что такие модули составляют систему об
разующих категории гладких представлений группы G, т е любое
гладкое представление группы G имеет «некоторый геометриче
ский смысл»
Построены примеры пар существенно различных многообразий с одинаковыми наборами неприводимых подфакторов G-модулей общих 0-циклов на них над полем F
(3) При п = оо построен пропредставимый функтор В*, задающий
полное вложение категории A4k в категорию градуированных полупростых допустимых представлений группы G конечной длины над полем рациональных чисел В частности, категория абелевьгх многообразий над к с формально обращенными изогениями (то есть с группами морфизмов, тензорно домно-женными на рациональными числа) описана в терминах представлений G, А н- A(F)/A(k) в степени О
Построена подкатегория Серра (в частности, полная абелева) Ха категории гладких представлений группы G, обладающая хорошими формальными свойствами, объекты которой «гомо-топически инвариантны» Это позволяет объединить a priori разнородные теории когомологий и мотивные инварианты в рамках единой абелевой категории
Каждому бирациональному типу X сопоставлен проективный объект Сь(х) категории Та таким образом, что совокупность объектов Сцх) для всех бирациональных типов задает систему образующих категории Та Установлена связь (а при га = оо - отождествление в случае кривых и некоторых других случаях) таких проективных образующих с группами 0-циклов по модулю рациональной эквивалентности
построен симметричный бифунктор % Та х Та —у Та, который задает тензорную структуру на Та, если образующие Cfc(X) совпадают с группами Чжоу CHq(Xf)q, получен аналог формулы Кюннета С^х) <8>z Cfc(r) = Cfc(X'XkY)) если X (или У) - кривая
(4) Показано, что при n = со расширение коэффициентов с основ-
ного поля к до объемлющего поля F задает полное вложение
категории Та{к) «гомотопически инвариантных» представлений над к в категорию гладких полулинейных представлений
При п = со установлена связь допустимых полулинейных представлений с кэлеровыми дифференциалами Доказано, что допустимые полулинейные представления G над F образуют абе-леву тензорную (но не жесткую) категорию Л, и что F -ее проективный объект Доказано, что любое конечномерное гладкое полулинейное представление G над F тривиально
При п = оо получено явное описание категории Л допустимых полулинейных представлений в случае универсальной области над полем алгебраических чисел В частности, показано, что в этом случае неприводимые объекты категории Л изоморфны прямым слагаемым полулинейного представления (^)^.fi^, и категория Л отождествлена с категорией «когерентных» пучков в гладкой топологии
Научная значимость работы. Работа носит теоретический характер Результаты и методы, представленные и используемые в работе, имеют приложения в алгебраической геометрии, теории представлений вполне несвязных групп и теории трансцендентных расширений полей, и могут иметь приложения в теории чисел и теории автоморфных представлений
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии в Математическом Институте им Стек-лова (2004, 2005, 2006, 2007), в Институте Макса Планка (2004, 2005), на семинарах в Институте Жюсье (2002), в Университетах Геттингена (2004), Регенсбурга (2006), Анже (2007), Тулузы-3 (2002)
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 69 наименований и приложения Объем диссертации - 180 страниц
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [25, 26, 27, 28, 29]
