Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы 12
2 Неприводимые линейные группы над некоммутативными телами 20
2.1 Обснначепия. Некоюрые своисіва неприводимых чинейных групп 20
2.2 Линейные группы над иском, содержащие специальную линейную .40
2.3 Линейные группы над іе юм к на і ерн понов, содержащие группу над иском м 40
3 Подгруппы полной линейной группы над телом кватернионов, содержащие классическую подгруппу над подполем 63
3.1 Линейные группы над і слеш кваїернионон, содержащие специа іьную унитарную группу
3.2 Линейные группы с гепепи 1 над і с юм кнаїернионов. содержащие специальную ни гарную группу индекса 2 78
3.3 Линейные группы с іепени 1 над і с юм кватернионов, содержащие специа іьн\ю ушпаримо і р\ин\ индекса 1. . 93
3.1 Группы Уг{2) как под!руппы ]р\ппы Spm8 112
3.5 Линейные группы над ісіом кнаїернионов. содержащие симігісктическую і рунну 130
4 Линейные группы над телом кватернионов, содержащие корневую подгруппу 143
4.1 Линейные і руины с іепени п над іе юм кватернионов, содержащие -мсриуго подірушіу 143
4.2 Подіруппьі потной линейной группы сіепеии 4 над іе.том кваїернионов, содержащие подіруппу 170
4.3 Неприводимые и впо іне приводимые пшенные і рз (ты над телом квліеріпгонов, содержащие корневую подгруппу , 218
5 Некоторые линейные группы над полями, содержащие квадратичные унипотентные элементы вычета два 221
5.1 Линейные і р\ пиві над по іем, порожденные дв\ мя д шнпыми корневыми подтипами 222
5.2 Линейные і рушил, содержащие подір\пп„ орюгонатьной группы индекса ботыпе 1 230
Заключение 249
Литература 251
- Линейные группы над иском, содержащие специальную линейную
- Линейные группы с гепепи 1 над і с юм кнаїернионов. содержащие специальную ни гарную группу индекса 2
- Линейные группы над ісіом кнаїернионов. содержащие симігісктическую і рунну
- Подіруппьі потной линейной группы сіепеии 4 над іе.том кваїернионов, содержащие подіруппу
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Теория пшенных ірупп яв іяекя олним in 0( ионных направ іений в современной а л обре, чрезвычайно обширным, иніенсивно развивающимся и имеющем чноіочш іошше і очки соприкосновения с pa личными разделами как маїемагики. гак и ооіесівознания в це юм. Сердцевину -иой іеории состав іяеі изучение подгруппового строения линейных і руни над ассоциативными ксньцами разчичной (гепони общности. Возникнув із XIX иске как час тая задача о конечных матричных ір>ипах, исходящая и 5 потребное і ой і сорим Га па, пробчема описания и классификации подгрупп в заданных линейных ірунпах. пройдя через многие этапы своего еіаиов іепия и развшия. преврагичась в обширную ветвь мачематческого знания, об іадаюіщ ю своим собственным языком и пробчемаї икой Ее ісс тонно, чк) поручение описания всех мысчимых чиненных і р\пп над ра з шчными кочыыми ма юверояпю, и по і ому постановка проб юмы в такой чрезвычайно широкой общнос їй представ іяегся совершенно непрод\кіивной, В связи с -ним дчя по іучения с уіцеч і венных рез\ іьіатов на изучаемые чаїричньїе іришьі и иа ааоцилптпыо ко и.на, над которыми -їїи [р.мшы определен!)], приходний наїаіаіь pa личные и юния, характеризующие эчи группы и кошца с разчичных сторон. Начожение таких оіраничений приводит к расщеплению Еіредмоіа и зучения подірупповою строения на множесіво разделов и огвочв іений. ієсно между собой переичеіенішх и в заимодойс і вующих.
Одним из иаибо іео важных обе юяіе пи їв, способе івовавших сіаиовчечіию и pa зви і ию учення о подірмпювом с і роении шлейных групп, явичось обнаружение юіо факіа, чю ш> сіроение в значите іьноіі мерс1 определяемся нокоюрыми )іементами специа паюю вида, содержащимися в рас смаїриваемьіх і р\ пиах Первым примером подобного рода бычо, вероятно, осознание значения на шчия ирос іейших унипоіеитиьіх злементов (іраневскций), із ночной чинойной і рупію конечной степени над почем при описании норма литых дсмтиоіей ной труппы (ісорома Жордана-Диксона). Указанное выше обе юяіе іьс іво сіи\\\ тирова ю аыивные поиски із матричных ['руинах тех матриц, коюрые в гой иш иной еюнени оіиеіспзенпьі за сіроение эшх і pyrin. С друїой стороны, наличие в некоюрых важных (в юм числе и дчя при южений) и предомв 1ЯЮШИХ ипгерое дчя нее тодований линейных і руинах помои іов, определяющих свойства и сіроение них ір\пп, есіесівонпо приводні к пек миовке до некоюрой с іепеип обра той проб юмы к іасс нфпкании линейных гр\по. коюрые содер/каї -ни -немоты и ш ими порождаются.
Данная проблема очень і рудна, и рез^лыаты. ид\щис в направ кчши ее решения, почутены го'іько при весьма ма іои ехидное пі ра((маг]>инаемых і р>пи и зчемеїпов. Гіівсчтпо, «по мноіие наиболее важные линейные ірупиьі (например. классические) порождаюня содержащимися и них унипоіешньїмн -э іементамп Пежом\ кіасс нтнейных трупп, содержащих и ні порожд(чн[ы\ міииоіеніньїми ) іемечнами. о( обепно ин і єресей п нуждаеіся ь изучении. Этот к часе, а іакже ірмшьі Шевачче, порожденные разчичнычи содержащимися в них йоді рушачи >ниіюіеніньіх зчеченгов, привлекали к себе в течение дпшчьною времени внимание мненич авюров (см., например, [19|, [21|, [43|, [50], [87], [91], [1()6]-[1()8|, [120], [145], [163], [166], [183|, [190|, [192], |229], [230], [237]) Однако рсчуіьгатьі этих и друї и\ работ, посвященных ^ і ой іечатике. были ночучены мри весьма жестких оіраничениях Поті ому о чиненных і руинах, содержащих некоюрую фиксировамн)ю группу унимоіеніньїх маїриц тисе то в общем счучае сравнительно пемною, и кроме кно, oics к ів\еі свяшое и последовательное и з южепие данною иредчеіа 91 им данное направ іение іеории линейных ір)мп оіличаеня оі направ ієния. patt маіі)ивающеіо линейные ір\ппи, коюрые (одержал нодірмшьі, (осюящие юзько и J по іупрос ibix )іеменюв, где за последние 30 чем трудами 3 N Боревича и его поеледоваїе іей Н. А Вавилова, В. А. Койбаева, Е, В. Дыбковой и др. бы іа разработана і і>бокая и весьма развеїв нчіпая іеорпя чиненных іруни, содержащих подгруппу диагональных маі]>иц. Гіменію в сиі\ лою обеюяте іьсіва в ej>0Kv\ce данной диссеріационной рабо і ы находя к я воиіюсьі іеории пшенных і рупії, связанные1 с иачичием в этих группах унмпотентных элеменюв, В диссертации создана іехника обращения с іакими влечен і ач и, и на основе нон іехники нос і роены мемоды изучения шнейныч і р>пп над ра з іичньїми а< с ониашвными іе іами Разработка іакой техники и методов, еннскящнчея ко всей совок\пнос in унипотешныч матриц, есіесівенмо, маю pea іьна, и )іо обе юяіе іьс іво вынуждаем (пециачизироваїь рассматриваемые \нимоіеніньіе печенш. Один ш способов іакой (ііециа їй мини, дающий возможное іь ироникн\ іь в предчеі до( іаточно іл\боко, и іем самым опред(мнюіций направление исследований, содержащихся в диссеріашш, сек і on і в следмощеч.
Пусть R ассоциативное ге ю, n,r — цечые чиеча гакне, чго п > 2,0 < г < [Ц]. и иусіь к - подією тела R. Квадратичной унипотептной к-ііоді рупмой вычега г труппы GLn(R) будем называть любую йоді рідшу группы GLn{R), сопряжению в GLn{R) с ірідіпой, сек іояшей из всеч
матриц
v v '
Г [Mi
Всякий зіемені иі GLn(R), содержащийся в некоюрой квадраіичной унипоченіной /мюдіруппе вьічеіа г [руппы GLn(R), б>деч нашваїь квадратичным унипоіешньїм ^ іеменюм вычсча г группы GLn(R). Квадратичный \нипоіеніньій люмені вычем 1 {сооїветственно 2) называемся Іраневекцией (сооївеїс івенно дчинным корневым ^чємсчігом), а сооївететвующая ем> квадра пічная унипотешная подір>ппа наіьтаеня корневой А'-подіруппой (сооїветственно дчинной корневой /.'-подгруппой). Трансвекции явчяючтя, по-видимому, наибочее и жученными из всех унипотеніньїх цементов, что, впрочем, весьма ее іес івеннно. ибо к час с линейных і рупії, содержащих гране векпии включає! в себя наибочее важные к іасеичеекие группы.
Основная проб іема, решаемая в диссеріации ш> проб іема описания линейных і руни, содержащих квадрашчные ушшоїенінне ) іеменчьк Дчя чинейныч і руни над конечными іечами (по іями) оівеї бы і дан ви шестиой рабоїе Дж. Томікона [216|. Сиі>ацпя. связанная ( рассмоірением произвочьных, і, є, не обязаіе іьно конечных почеп, окаїачась значиїечьно более ечожиой, іак как при и ту чении линейных і рупп. с одержащих квадратичные унипотешные Л'-поді р\ ппы вычем г > 1 во шикает необходимость расемоірения матричных і руни над некомм\ іаіивньїмп течами, имеющими конечную рашерномь над своим цеп і ром. Так, погкочьку любое тело кватернионов реализ>еіея маїрицами степени 2 над своим максима іьньїм йодно іем, ю при г = 2 мы стачкиваемся с задачей исследования матричных і р\ пи над іе іами кваїериионов. Этим обстоятечкчвом мотивир\екя одно и} направлений диссеріации — изучение ііоді рупп по іной пшенной і руппы с КЧІЄШ1 п > 2 над гечом кватернионов Д содержащих кориев\ю /1,-под[р\иіц, где к подпочо цешра ieia D, іакое, чю D а пебраично над /.' Замеїим, чіо іакое изучение и мес і самое юяіельньїй интерес, явтяясь одной и і давно поставченных пробчем теории линейных і рупії, восходящей к с іавіпей классической с гатье Ж, Дьедоппе [111].
Итогом применения созданных в дінсоріапни меюдов являекя снятие многих ограничений, при собчюдении коюрых дока^ыначись ранее резульчаїьі. касающиеся подгрупповоіо с і роения линейных ір\пп, содери\апшх унипотешные -эчемешы. Эм менее оіранпчиїельная ситуация, в конечном с чеме, приводні к бо іее ясному п четкому пониманию іеорсчико-іруиповой с ір>кі^\ры и природы мнеи и\ важных (в юм числе
кчассических) пшейных ipuin life это іюкаіьпмеї как необходимое іь исследования, проведенною в діксеріации, іак и актуальное іь іемьі -этою исследования.
Цель работы и задачи исследования Целью рабо їм является описание подгр>пповой аруыуры ночной линейной і руины над іечами. 9іа цель реачппепя решением ыдачп описания подірмпі по іньіч линейных гр.міп над іе іамп мыгернионои. содержащих корнев\ю подгруппу, а іакже подірміи по піьіх шнейных ірупп над поіями, содержащих коммутант орююна іьной труппы индекса бо іьше 1
Объект и предмет исследования Обьектом ткследования явіяекя подгрміповая стр^кпра маїрпчньтх ірміп над те іами. а ею предмеї сосюит в выявлении связей между ви: іренним с і роением ассониаіивньїч алгебр с делением и строением матричных і руш над ними ли обрами.
Методология и методы проведенного иследования. В своей части, относящейся к линейным группам над іеіами кватернионов, настоящая диссеріания оріанично сия мил ( псе юдованпем чиненных і рупії над пекоммї, ыптвными (аесоїщаінвньїмн) іемами, проводившимся Д. Л. Сміруненко и Л Е. Злчееским ([37] [30], ]07|). В ходе мою исследования бы ш приведены примеры, показынющпо. чю хотя ряд результатов о линейных группах над поіями еекчівеино обобщаемся на с чу чай некомм\ іаіивньїч км, некоторые важные і сором ы її ^ом случае і еря ют спту. Другие (|мкіьі подобного рода можно най ей в кпиіе [202], где сие іемати зировлны некоюрые реп чьтагы, касаклциеся линейных групп над некоммутативными кмами Вышооклмнное показывает, что дчя изучения подгрупповоюсіроения линейных ірупп над hckommj іативпьіми телами должны разрабаїьшаїься и примени і ыя меюды. радика іьпо отличающиеся оі чешдов, созданных дія исследования чинейныч ірміп над иочями. Методы іакою и<( іедоваиия. созданные в настоящей рабоїе, базируются на {результатах Ж. Дьедонне и Л. Лчберта о ю іах кгміернионов. В своей рабою [ill] {см іакже [,'Jlj) Ж. Дьедонне обімру/К и і сущее івование юмоморфи іма меж.чд, с одной с троны, уннырной гр\ппой с іепени И над те еом кЕмтерниопов, омреде іенной с помощью ічосо-фміпсшой формы индекса 1 опюсчтю іьно єдине і венной ИЕНючюпии сими еєкіичосічоіо типа пою іеча, и, с другой строїш, уииіарной группой степени 1 над максима іьеіьім подію іем эчою і о та Зюі гомоморфизм лежні в основе докаміемьс їв данной работы, посьо іьм он дає і возможность ікпо іьюіміь доказанные ранее авюром ([3], [4]) реіу.плаїьі о линейных группах над поіями, содержащих корневою подгруппу, дія исследования линейных груші над кмами кваїернионов.
В диссертации создан мої од исследования неприводимых линейных
групп над а пебрами с делением, основывающийся на свойствах понятия множества параметров трапевокций, введенного в диссертации. Хотя упомянутые атгебры с делением чог>т быть комм\ гативными, сам экп метод может быть создан лишь при исследовании линейных групп над некоммутативными юлами, которые до тжны при mm расемаїриваїься не с точки зрения их чи< 10 внешней структуры, а как аттебры над
ПОДІЮ ІЯМИ СВОИХ ЦЄН1 рОВ. ТаКОЙ ПОДХОД ЬСДеї К (утес ГВеНПЫМ ГруДНОС ІЯМ,
связанным со ( южное іью ті рашообрашем < і рук при пекомм\ гаптвпых а пебр, и требует новой техники обращения с -лементами линейных трупп над зтими алтебрамн Такая техника еендана в диссертации, и на ее основе удаеісм выявить и распознан» такие подгруппы линейных rpjini над юлами кваїерпионов, коюрые в принципе не мог> і бьпь обнаружены применявшимися ранее чік то внешними методами
Докдза і о іьс тва практически все\ і чайных речучыатов диссертации базируются на расе мої рении содержащихся и шсчед\емы\ і руинах
ПОДГруПИ уНИПОТеНТНЫХ адРМеНТОЬ. НО ВОЗМОЖНОСТИ, бо теє пропою
вида (в основном подгрупп квадратичных >нипогентны\ эчоментов вычетов 1 и 2). Однако в некоторых <ит\ациях псиотьюваиие простейших квадратичных \ ни по тетиных моментов приводит к чрезвычайно громоздким вычис тениям. В ж>\! ( т)час>добно испо іь зопаїь унипоюнтные -лементы бо теє с южною вида, т. є. іс, минимальные по тиномы которых имеют с ютпчть ббп>ш\ю чем 2. Обьяснепие 31010 феномена, по-видимому, состоит в Юм, чю погикчшые нами резучьшы, каеаютдиес я под і руппоіїоі о < іроения чиненных ]р\пп, имеют', строго юворя, абсіракіїю-іруппемюй харакюр и іребуют разработки именно нореіико-і раиновой техники обращения с униноюшными этементами. не зависящей от их маїричной природы В дисеріании ы южена разработка методов доказан1 чье їв, основанных на учете зюю обе тояютьпва.
Кроме лих, созданных автором меюдов, із рабою исіюіьз^іогся обшиє традиционные методы теории трупп и линейной апсбры, а также белее специальные методы теории питейных ipjiui и нории конечномерных алгебр с де іенпем.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Все результаты в днеееріашш лвшюкя новыми. В дшесріации впервые пелучено описание широкої о кіаеса йоді р\ пи потной линейной труппы над іелом, определяемым пппь подпелем центра -jioio тела, а не всем цен і ром. Эю проясняет подірушювую сірукіуру по той шнейной ipjniibi и явчярня основой дія дачьнойшпх исследований в ^ і ой обчаетп.
Практическая значимость полученных результатов. Реплыаш диссертации имеюі іеоретическии характер.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту. На
защиту выносятся:
ктассификанші подір\іш потоп шириной 1р\ппы над имом кватернионов, содержащих классическою нодірмшу над подтелом;
классификация неприводимых йоді руин по той чпиейной і руины над телом кватернионов, содерлчащих корневую подгруппу.
подгрупповое сіроение по іноґі тииейпой ірушш с іепени 4 над течом кваїернионон;
классификация подгрупп полной шириной іруппьі над аліеброіі с детонием, содер/кащих специа іьн\ло 'іинейн>ю гр>пп> над пода неброГі;
классификация под[р>пп потной шириной группы над поіем, содержащих комм\ іані ортоюнатьиой ірупиьі.
Личный вклад соискателя. Рабсна ныпо інена соискаїетем лично Совмесіньгх рабої неї.
Апробация результатов диссертации. Ре \\ л ы а і ы дне сер іацип и пагалисъ па Международной а:н ебраической конференции нами і и М. И. Каріапотова (Красноярск. 1993), конференции ,А.тіебра и анаті-и'" (Казань, 1994), Белорусских маїематических конс1)еренция\ (Минск, 1996, 2000), Международном а ігебраичеч кой конференции памяім Д. К Фаддеена (Санкі-Пеїербург, 1997). Международной маїсмаїичсчкой коп([)еррнции памяти Л. С. Помірні ина (Москва. 1998). Меж,цнародной алі ебраической конференции нами і и Ч. II. Боревича (Санкі-Петербурі. 2002), конференции „Группы и групповые ко п.ца" (Усіронь, 2003), конференции по обшеи а пебре (Дреиен, 2004). а іакже на заседаниях аліебраическемо семинара Пне їй і > іа маїемаїикп Академии на\к Белар>си, Сапкі-Иеіербургскоїо іородекоїо атіебраичекої о семинара, семинара по іеории групп унивсреиіеіа проншшии Мани і оба
Опубликованность результатов диссертации. Результат диссертации оп\бтико^аны в 13 с іаіьях и 9 пчисах конференций
Структура и объем диссертации. Диссермция сое юш m введения, пяти глав основной части (вк іючан лшераіурньїй об юр), зак ночриин и списка испо іьзоваиньїх не ючников. Рабо і а изтожена па 270 сіраницах. включая список использованных ис ючников из 216 найменований.
Линейные группы над иском, содержащие специальную линейную
Пусть D — темо кваїерниоиов. центром которого является поле F характерне тки ф 2. В и ом плраірафе іпучаюкя подіруппьі іруппьі GLn(0) сіепени п З, содержащие ір.мшу Т„{Л,Ф,ф), іде А некомчулашвное подіє ю іс іа І) {необходимо яв іяющееся подтечом кваїерниоиов), ф инво іюция іс іа А Ф — форма из ьс\і)(А".ф) Основной результат параграфа формулируемся следующим образом. Теорема 2.3.1. Пуапь F поле іаракт еристики ф 2, D тело кватернионов, центром которого являетія F, А некоммутативное подтело тела D, ф — инволюция тела А,п — целое число, 71 З, Ф 6 РьсЦЛ", /і), Н = Тп[А,Ф,ф). Предположим, что множество II(А.ф) содержит подполе поля F, над которым F алгібраично Если II X GLn(D), то X содержит нормальный делитель, совпадающий либо с группой SLn(A ), либо с группой Тп(А ,Ф ,ф ), где А - подтело тела D, (одержища А, ф инволюция тела Л , ограничение которой па А совпадает с ф, Ф1 — Ф( v y Пели ф имеет унитарный тип, то ф также имеет унитарный тип; если ф имеет ортогональный тип, то ф имеет ортогональный или унитарный тип; С(ли ф имеет симплектический тип, то ф имеет симплектический или унитарный тип Me юл доказакчьыва -мои н оргмы cocmin в оїдечьном рассмоірении случаев, когда ф явчяекя инво пещией %\ниіарноіо, орююначьного и їй спмп тактического ІИПОВ, Дтя нача ы \с іаиав іиваюня іри впюмоіаіе іьнььх іверждеиия, относящиеся к произвочьным аосоциаіинньїм іечам харакіерииики ф 2. Эти }тверждения, а также некоюрые анатоги первою из них, б\д\ і і-нпо и,зонам я весьма часто в последующих дв\х главах. Прежде всею сделаем два замечания, которые будут учитываться на протяжении всей данной рабоїьі, иногда даже без специальных упоминаний.
Пусть В — произвотыгое ассоциативное тою, С — сто подтело с инволюцией CF, Ф — невырожденная ст-косоэрмитова форма 01 п 2 переменных над С. Тогда в сичу своей линейности по вюро.м аргументу Ф распрос іраняеня но линеиносіи до отображения С" х В 1 - В, коюрое іакже обозначаекя через Ф Да іее, зафиксируем в Сп какой-нибудь базис {с} 1 г п] Эюі базис явімеїся іакже базисом просі ране гва Вп (над В). Если h Є Uu(G\ f?,a), юФ(}і(ег),Іі(с ) Ф{е{,с при i,j = 1,2, ...,п Тогда учіпьівая пшоГшсн іь Ф по второму арі у менту, получаем, чю Ф(Л (./), /J (//)) = Ф{. , у) дія всех JT Є Сп и всех уЄВп. Лемма 2.3.1. Пуапь В произвольное ассоциативное тело тракте рис тики ф 2, Д — его подтело с инволюцией и и П С D. Пу(-ть До = Я(Д,(т),7ї - натуральное число, п ІІ,Ф Є Vh(\o(An.a) В пространстве Д" выберем бате {г, 1 г п) так, что матрица-формы Ф относительно этого батах равна diag(A 03,04, -., cv„), где аз,аі,... ,о„ фиксироваиньи ненулевые ыелинты из Я (Д,ст). Положим щ = ijfVi (і = 3,4,..., 7i). Пасть g — g(s, ф) T{SLn{D)) {s Є Оп,Ф (Du) ), причем дія любого / Є Кт(Д",Ф) выпо ішпо в , мочение Предположим также, что выпо тени два с лед цю щи г условия справедливы следующие г/тверисдения а) A2/fi Є П,Аі//2 Є П; б) при всех а Є До в) яри err/ /іє Д и «гг = 3,4,..., 7 «шш іпяития включения г) ГОШ 77 4, 7Н0 ?pW Of P Г 7, j, 3 J "г ОССЇ fi Є Д# U ОССГ у Д такиг, что 7 — 7, 7 + /5стП:г/ 5 -f fij = 0 выполняются включения \2(іф Докаштелытво. Берм в (2.3 1) / нос іедовакчьно равным ( і,е доказываем а). Е( ш а Є До, то возьмем в (2.3.1) t равным сначача с\ + с Сї, а затем г і - С2 У- СЛОЖИВ полученные включения и учитывая, ЧГО char D ф 2, доказываем б).
Иуиь іеперь fi Є Д# и 3 7 п. ПОЧОЖИВ в (2.3.1) t еф — єф аух + ег, заменим заюм в по і чоином вк кочений ft на —/?. Сложив но ученное вктючение с исходным и учитывая, что chai D ф 2. будем имеїь Так как Д0 П F 5, ю в До П І 1, можно найчи ненулевые тд, r2 такие, что Г] ±1,т\) ф ±1:П " ± 2- Заменив в (2 З.б) /і сначача на гф, а затем на 7 2/5, и учшывая стовия 2). нотучаем (2 3.2) Вк мочения (2.3.3), (2.3.4) потучакшя HJ (2.3.7) заменой в на гв, іде / До П F.r2 ф ±1. и \чеюм условия 2). Пус іь юпорі./ ,7 «убраны іак как к г) Тої да (Д -rcr, ±cie-\-eJ Є Ы(Д",Ф). Взяв )іи век юры в (2 3.1) как /, и пожив по і\ чаемые при -лом включения, приходим к (2.3.5). Лемма доказана.
Линейные группы с гепепи 1 над і с юм кнаїернионов. содержащие специальную ни гарную группу индекса 2
Пусть F — поле характеристики ф1, D 6 Qda(F), А; — подполе пот я f1 такое, чю расширение Fjk ашебраично. и п пь А - не содержащееся в F иодпоте іе іа Д явтяющееся квадраіичньїм расширением почя к. В мой ситуации єдине ПКЧЕНЫЙ автоморфизм тютя К над к совпадаег с ограничением J на А . Пус іь Е = А 4, и Ф форма ти РясЦД./), индекс Вит та которой равен 2 В этом параграфе описываются подгруппы X группы GLt{D), содержащие подіруппьі Д(А, Ф, J) при условии, чю множесіво Х-пара\нчров каждой іраневекции из А содержится и F. Основной рсзульїаі параграфа в перечисленных здесь обозначениях формулируемся следующим образом. Теорема 3.2.1.
Пусть Т.\{К,Ф, J) X GL,\(D). Предположим, что множество X-параметров ымгдой трашвещий us X содержится в F. Тогда X содержит нормальную подгруппу G, для которой выполняется одно из следующих утверждений: 1) G = А(А, Фщ,«/), где L - подтело тела D, LD К; 2) G июморфна (шторной группе Sp\nw{P,f), где Р - подполе поля F, (одержанус /г, т = 7 ти т = 8, / - невырожденная (имметричеекая би щік иная форма от т перелитіш над полелі Р, индекс ватта которой равен 2. Продолжим в ведение обозначений, используемых в z і ом параграфе Зафиксируем н Е ба ЛІС {/±І, /±І} іакой. чю Ф(/,, fj) = C(5(I_J. іде є, шак индекса , (5, — симво і Кронекера Все vtinіарпью ірідпіьі, упоминаемые в : іом параірафе, имею і иепень 4. а индекс I3m м косоэрмиювых форм, определяющих эти группы равен 2. Полому при обозначении Э1их групп и их подгрупп 74 символ, указывающий косоэрмитову форму будеї опускаться. Ее \\\ к і ому же зли группы сооївсіч і вую і инволюции J, то опускаїьея буде і іакже и символ, обозначающий л\ инволюцию. Таким образом, запись 1\{L) означает Т Ї Фщ, ]). Группу Т±{К) обозначим через П. Вместо г,,г ,т ч будем писаіь соответственно T$J,T$ . Пусть A,t Є Ы((д),Ф), причем Ф(я,/) = 0, и пусть /З Є /?. Обозначим через r$t\ = rSifj преобразование пространава Е такое, чю т (г) = х + ь/1Ф{і,т) + ;Ф(л, г) при любом г Є E(D). Очевидно, rMj /j (/.)), и (ч ш л Л Є и /і Є Л , ю T,.tj Є Т4(Л ). Лемма 3.2.1. ////(ть С — произвольное шсоциативиое тело і арактеристики не равной 2, II подгруппа аддитивной группы тела С, Д - подтело тела С, а Є ІПУ(Д),ДП = Я(Д,сг),Ф Є Fbd0(A4,fr).
Предположим, что индекс Виттп формы Ф рн ян 2. п пусть {/ц./±2} йа шг пространства Д1, тайні, что Ф(/,, /,) = "г ! ,,г Пусть g — /(б, ф) T{GL4{C)) (я Є C\t/ Є (С4) ), причел Ф(Лл) (0 Є П Ьл е/ f Є Ы(Д4,Ф). 7Ыа если Докаштельство. Положив / = /г, получим (3.2.1). Пусіь ovo — произвольный элемент из До- Приняв t равным /,±/_,ao, по IJ чаем (3.2.2). Положив, наконец, t = /, =b/,a, где г +j 0, и a — произвольный племені Обозначим через « некоюрый злемені ИЇ /f такой, чю « — —и. Тогда К = /ф/), и м можно вкпочшь в некоторую пару из Ps( , F), скажем в пару («, ). Зафиксировав элемент v, положим Ы = К + F{;;)u и гс = но. Не будем енлмчать эндоморфизмы просірансіва Е щ от матриц, определяемых л ими эндоморфизмами оі носите іьно базиса {їй hi /-2- 7-і}- Если г/ є GLi(D), іо гр\ ші\ (Я. (/) епдем обозначай, через Лемма 3.2.2. Пусть д = //(.s, Ф) Є T{GL{{D)) (.-, 0\ф Є ( 4) ) Предположим, что ф(ь)Ф(1) Є к при шп ft{f,cj) Є Т(#) (t Є Е.ф Є Е ) Тогда g = гч,г Є T\(D), где г Є /.-#, ;/ если Покажем, чіо о Є 74(D). Д ія гош # можно шіенніь чюбым -)че\іенюм, сопряженным с g подходящим -леменюм ИІ // И часпюии. молено счиїать, что нее А 0 (г — ±1,±2). Поз і о му первое ні включений (3.2.5) показывает, чю /хг = rtXLt для пекоюрого г, Є F&. Подстановка этого значения fa в іретье из включений (3.2.5) дает Ее чи е г, гг,, то a A-jA , 6 F при всех а Є Л , что пропшоречиг предпочо/кеншо А-і ф 0, A-j 7 0. Потому / = г,с;ггА_; для всех j — ±1,±2, и положив г = —? j, получаем, чю і. е. г/ = г )Г, причем равенс і на (3.2.6) вьшотняюіся д ія тюбых (а не гочько для ненулевых) -значений Х±и А±2- Подставив (3.2 б) в (3.2,5), найдем, что гАгА/ к (г = =Ы,±2), гА,А/ Є М (г,; = ±1,±2л + ±j). Среди элементов А±і,А±2 обязаіеіьно найдеіея отличный от нуля, скажем Ар. Тогда rA Ajj Є А , и носко и.к\\ g = л;і гД Aj, 10 заменив А, на ХгХ 1 (г = ±1,±2) и г па гХрХ1, приходим к (3.2.1) a
Линейные группы над ісіом кнаїернионов. содержащие симігісктическую і рунну
В этом параірафе опис ывакжя подгр\ппы по той линейной іруппьі над телом кватернионов, (одержащио симплемическую группу над некоторым подполем -этого тела. Основной результат параграфа заключается в том. что если такая группа не нормачизуст симпчекгическую или специальную линейную группу над некоторым подпочем, ю она содержит специальную унитарную группу над подпочем. определяемую косоэрчиювой формой максимального индекса. Следовательно, описание групп, указанных в названии параграфа, сводится к описанию линейных і рупії, содержащих специальную униіарнуїо іруїіпу максима іьноїо индекса над подію іем, и значит вьнекаеі из хч лыаюв параірафов 3.1, 3.2 Пусть D ассоциаіивное кмо, п 2 чепюе чи( ю, v = 2т. Будем счиїаіь. чю с і роки и сюїбцьі киадратых маїриц степени п над D занумерованы как 1, —1,2, -2,... ,ги, — т соответственно сверху вниз и слева направо. Обозначим через q кососимметрическую матрицу степени п над D іакую. чю qt] = A,- , где г — знак индекса г, StJ — симвоч Кронекера, qtJ — злемент маїрицьі, їанимающий пошцию (ij). Таким образом, q = diag(A ..., Л), где Л = {1\1). Предположим теперь. т раї что тело D коммутативно. Тогда симплекгическая і руина Spn(D) — эю подгруппа группы GL„(D), состоящая из маїриц у Є GLn(D) іаких, что yqy = q, где // — матрица, іранспонпропанная к у. Еі чи /(-мерное векторное 0-щюеі\)лш іво Е снабжено невырожденной знакопеременной формой Ф, то бате просіранства Е наіьінекя пшербочическим, если матрица формы Ф оіноснтечьно этою базиса равна q. Симплектичесьая группа формы Ф, оболіачаемая Sp(E,4!). оюждесів шеіси с помощью фиксированного гииербочического базиса иросіранс тва Е с і ручной Spn(D). Пусть ноче D\ явіяекя квадратичным расширением поія D, и пусіь о\ — инво 1Ю1ИШ1ЫЙ анюморфіпм по іл D\ над D. Матрица q как маїрица in GLn(D\) яв іяекя (7і-косо рмиіовой, и следовательно определяем унитарную іруппу и Un{D\,q,(7\). Если векюрное D-пространспю Е снабжено невырожденной знакопеременной формой Ф, ю на пространстве Е ) однозначно определяемся о -косоэрми юна форма Ф{о,), совпадающая на Е с Ф. Введя зі и обозначения, можно сформулировать основной резульїаі параірафа Теорема 3.5.1. Пусть F — поле гарактеристики 2, D — тело кватернионов над F, К — подполе тела , 7» 2 — f evwe число, п = 2т. Предполооюим, что
К содержит подполе к поля F такое, что расширение F/k алгебриичпо Тогда t j\u Sp,,{K) X GLn(D), то либо X содержит нормальную подгруппу, с обладающую SLn(L) или ( Spn(L), где L подтело тела D, (одержащее к, коммутативное в случае Spn(L), либо существует подполе К\ тела D, содержащее к и обладающее ииволютивным автоморфштом а, такое, 4moTn(K\,q.a) X. Ия теоремы 3.5.1, а іакже из георем 3.2.1 и 3,1.1. нотифицирующих линейные і руины над і ел ом кватернионов, содержащие специальную ушпарную группу над подполем, почучаеіся следующее описание линейных групп над телом кваїерпионоп, содержащих (имплеыичеекую і руппу. Теорема 3.5.2. Пусть F, D, KJc,X,n обозначают то оке и удовлетворяют тем же предположениям, что и в теореме 3.5.1. Тогда X (одержит нормальную подгруппу G, для которой выполняется одно in (ледующиг утверждений: 4} п = 4, и G изоморфна спинорной группе Spin P,/), где Р — подполе поля F, содержащее к, I = 7 или I 8, / невырожденная симметрическая билишйная форма от І їнріш ньи над Р, ипдеы Витти которой равен Прежде чем приступи іь к доказателіх іву іеоремьі 35.1. установим дна вепомогаїе іьньїх утверждения, испо плуечых и доказательстве "этой теоремы. Пуеіь вновь D проишотыюе ассоциативное і їмо харакіерш птки Ф 2, и к - некоторое ело подією, т — цеюе чгк ю. т 2, и = 2т. Обозначим через / множесшо {±1, ±2,..., ±т}. Раггчоїрим 2п элементов A±i,A±2,...,A±m,/(±i,/i±2,.-.,/i±m Є D, удовлетворяющих следующему условию: Лемма 3.5.1. Пусть элементы А±і,А±2...., A±m,//±i,(1 2,---, ft±.m D удовлетворяют условию (3.5.1). Тогда если \ц,..., А±т (соответственно }i±i,..., fi±m) лешіт в к, и не оее тш элементы равны нулю, то ц±і,..., (і±т Є к ((оответственно А±і,..., А±ш Є А ). Дока ттельство. Докажем лишь первое утверждение ісммьі, ибо второе доказывается совершенно аиачоїично 11)( іь ) / Покажем, чю //г 6 к. Если А_, т 0, то --эю t іедуеі in (3 5.1), где в качестве пары (i,j) взяїа пара (;,?) Предпотожим. что А_, = 0. Тогда в множестве /\{—г] найдется г о іакое, что A_J(1 ф 0. и требуемое утверждение вытекает HJ (3.5.1), где пара (?,j) заменена на (г о,?). Лемма 3.5.2. Предположим, что тело к коммутативно. Пусть Е — n-мерное векторное, k-пространство, снабженное невырожденной знакопеременной формой Ф, {РІ,Г_І,Є2,Є_2,. - .,emtJ-m} — гиперболический базис пространства Е, Предполоэтш, что все Ап//г удовлетворяют (3.5.1), м ?лл некоторого г Є / выполнено одно из условии: Доказательство Потожим д = Л)Є/ЄіА,, / = Y ici f e r Предположим, что выполнено уповие а). Так как ry = (j(bfi,fiZ] f), 10 можно счиїаіь //_г = 1. Тогда (3.5.1), где пара (i,j) заменена на (—?,—./), показываем чю А7 А при всех j Є I. По лемме 3.5.1 /tj /: при всех j Є /.
Поэтому (/ Є SLn(k). Очевидно, g ф Sptl(k), и лемма доказана Докаштелъство теоремы 3.5.1. П отож им II = Sp„(k). Очевидно. // X. Применение леммы Цорна, a ыкжо леммы 2 1.6 и теоремы 3-1 [4] показьінаеі, чю Я можно счиїаіь максимальной среди всех подгрупп ір ппьі X, содержащих II и явчяющихся іруппами типа Spn над некоюрым подлотем по ія F, содержащим к. Пусіь Е п-мерное веморное /міространсіво, на ко юром определена невырожденная знакопеременная форма Ф. Зафиксируем іиперболический оіносительно Ф ба ліс { 1, -1, 2, -2) )Єт:Є_„,} пространсіна Е, и не будем отличать линейные преобразования просл ране і ва Е от матриц, оиреде іяемьіх йми в этом базисе. Потожи.м С = М(еие г,Х), і. є С {а Є D\tn{ct) Є X]. Из максимальносіи Н вытекает максимальное іь іючя /, среди всех подпочей поля F, содержащихся в С и содержащих к. По теореме 2.1 2 4) С — подалгебра йордановой алгебры D +\ Позі ому, принимая во внимание максимальность к, и І лемм 2.2.4, 2.2 5. 2.2.6, 2.2.7 следует, что дчя С могу і иредсіавигься следующие пять возможное іей:
Подіруппьі потной линейной группы сіепеии 4 над іе.том кваїернионов, содержащие подіруппу
В папоящем параграфе показьшаеюя, чю к ысеификация групп, указанных в ею названии, приводи г к еще одному неіривиачьному семейству промежуточных подгрупп. Описание подгрупп эюго семейсіва дає гея по модулю наборов некоторых іеменюв основною обьемлющею тела кваїернионов, и нашей бтижайгпей целью явтяеіся опроде іение эшх наборов. Определение 4.2.1. Пкіь F -- по іе харакюристики ф 2, и к - ею подполе. Пусть D — і ело кватернионов с цен і ром F, и пусть г Є к#, Ь Є F, (и, г)) Є Рз(Д F). Упорядоченный набор (k,r,b,u,v) называется Vй-пяіеркой (оіносиїельно к), если все -пометы тА $112+ v2, b+2rv 2 лежа І в к. Если D Qda(F) и D обчадает "-пя юркой Т = (k,r,b,u,v), ю k(v2) = k(h), и степень злемоніа b над к (равная сіепони над к элемента v2) не превосходи і 3. Кроме того, если А — k(b,u) + k(b,u)v, то А — к(Ь)-податіебра кваїернионов іета D, причем T яіпяеіся "-пя юркой в А. Этими обе і оят ольи вами мотивируюкя стелующие определения. Определение 4.2.2. Пус и D Є Qda(/,T), причем D обладает -пятеркой (k,r,b,u,v). Эта пяіерка называется -пятеркой (оіноеиіельно к), если [/;(&) : к] 1, и -пятеркой (относиюльпо к), если [к(Ь): к] = 3. Определение 4.2.3. П\слъ D Є Qda(F). Предположим, что D обчадает -пятеркой Т = (k,r,b,u,v). Будем говорить, чю Т являекя точной -пятеркой (ошосигслыю А;), если k(b) = F. Любая точная -пятерка (относительно к), которая одновременно явчяется -пятеркой называется точноіі -пяюркой (относитетыю к). Большая часть поняіий, введенных в определениях 4.2.1 — 4.2.3, носиг технический харакіер и имееі своей ночью избожаїь іромоздкооїи в формулировках основных утверждений. Паибочее важную рочь в последующем изчожении будеї трать пони і не Р-пяіерки. Пусть D Qda(F). Предположим, ччо I) обладав і Р"-пяторкои 7 (к, г, Ь, и, v). Почожим a = 2ru, v = пі, р = bu + v, q = 2р + тГ2, К = к(и) и рассмоірим подгруппу группы GL\{D), порожденную корневой к-подіруиной t\i{k) и маїрмпами Так как Х "-пятерка Т полносіью определяет эту группу, то последняя будет обозначаться череі Y{T). Ее чи A = K{h) + K(b)v, то Л Є Qbda(AA:(6)) и У{ ) GL\(A).
Зафиксируем в пространстве Л4 = Е базис {с, { 1 г 4} и снабдим # формой Ф Є Fsdy(/?, J), матрица которой оіносиїельно лого базиса равна bag(/i,а, (у-1)- Тогда указанная выше сиеіема образующих группы У (.77) сое ГОИІ ИЗ корневой Амюдгруппы 7 \ (А:) и следующих іраневекций in \шпарной [руины ЩІА.Ф): Поэтому У (J7) Т!і(Л,Ф) и, как буде і показано далее, Y(F) — с обе і венная подгруппа в 74(Л,Ф). Обозначим теперь через 1 о ограничение формы Ф на ірехмерное векюриое /("-пространство, натянуто на СІ,Є2,Ґ З- Так как то Y{!F) diagfTsf/sT, Фо), 1). Эго обе юяіельство и vice і своим с.чедсівием ют факт, чш Y[T) явчяеіся неприводимой под[р пиой группы GL D). Основная цечь данною параірафа cot кип в дока мимы і во следующей теоремы, явчяющейся, до некоюрой сіепени, обрашым уїверждениом к точько чш сделанному замечанию Теорема 4.2.1. Пусть F — поле і арактериетики отличной от 2, D - тело кватернионов с центром F, К - подполе тела D с а и в ол ю т ион им авт. ом орфи шом а, Ф« — невырожденная о- Kocojp м, ит ова форма от трег переменны! над К и к = Н(К,а). Предположим, что к (одержит подполе К{] поля F такое, что расширение F/Кц алгебраичио, и индекс Витта формы Фо равен 1. Зафик щщем ненулевой а-кососимметричный элемент и К, и пусть г — элемент из к# такой, что Фо(,а;) = (f2 — С2Сі + Щ» «Сз Оля всеї х = ((1,(2,(1) Є К3. Пусть d\ag(Ti{K, Фо), 1) G GLA(D), и G - неприводимая Т-подгруппа группы GLn(D). Предположим, что G не содержит никакой подгруппы, сопряженной в GL {D) с SLi(.)/I\(A,Q.t),Sp i(A}, где А — подтело тела D, коммутативное в случае Sp \ и допускающее инволюцию І в случае Т,}, а 0 форма из FsdofA 1,/). Тогда, во-псрвыг, a = J\K и, во-вторых, существуют подполе Р поля F, ыемеиты Ь. о Є D и матрица у = diag(i.3,A) Є GL\{D) такие, что набор Т = (P.v.b.u.v) являелия V-пятеркой в D и Ю = Y{T). С учеюм порченных із главо 2 описаний подгрупп группы GLn(D) над зелом кватернионов D, содержащих одну из ірупп 5//4(Д),гД(Д,в,/),5р4(А), теорема 4.2.1 имеет своим непосредственным следствием следующее утверждение Теорема 4.2.2. Пусть F, D, К,а,Фо,к,%г обозначают то owe, что в теореме 4.2.1 и удовлетворяют всем предположениям указанной теоремы. глм diag(7;j(К", Фо), 1) X GL${D) и X — неприводимая подгруппа группы GL4(D), то X с одер мит нормальную подгруппу G для которой выполнено одно їй слсдуюіциі утверждена till) yGy l = SLi{L), где у = diag{I3» А) Є GL\{D), L — подтело тела D; (2) yGy-1 = 71,(/,, Ф, а ), Ж і) = diag(l3,A) Є GLA{D), L - подтело телаО, и Є Inv(L), Ф Є FsdQ{L\a ), (3) a = J\K, G = Spin,„(P, f) где P подполе поля F, m = 7 или m = 8, f — певыроэ/сдепная квадратичная форма от т переменны і над Р, индекс Витта которой равен 2; (4) а = J\K, существуют подполя Р, PQ поля F такие, что PQ С Р, [Р : Ра] = 2, G изоморфна подгруппе ZQ некоторой группы Z GL%{K{P)), изоморфной спииорной группе квадратичной формы от восьми переменны г над полем Q = K(PQ), коэффициенты которой лежат в PQ, индекс Витта равен 3, и Zo порождается всеми квадратичными унипотентиыми элементами вычета 2 из Z, коммутирующими с подюдящеи J -полулинейной полуииволюцией прострапетва (K(P))S; (5) a = J\K, суща твуют подполе Р поля F, элементы 6, v Є D и матрица у = diag(l3,A) Є GL\{D) такие, что Т = {P.r.b,u.v) V-пятерка тела D и yGy l = У{Т). В доказательстве іеоречьі 4.2.1 удобно будем иикпьижаїьодин частный случай описания надірупп группы d\dg{T [K, Фо), 1) и специальной линейной іруппе степени 4 над іелом кватернионов, для которою К являеіся максимальным подполом. Эюг случай выделяется в отдельную лемму для последующих ссылок.
Докачаїельетво леммы проводикя меюдом, использованным дія доказаіельсіва предложения 4.1.2. Лемма 4.2.1. Пусть Р — поле і ара кт ерш тики ф 2, А — тело кватернионов с центром Р, К - максимальное подполе тела Л, Е = Л4. Зафиксируем базис {е, 1 / 4} пространства Е и элемент а Є H (K,J)tt Положим W — {РІ-Ґ 2І З)(Л) Пуапъ Фо форма ги Ybd()(W,J) матрица которой omnoi ительпо базиса {с, 1 3} равна diag(zi,a) Положим Н = (\ mg(T (K,Фо), 1), и пусть — транівещия из GL\{A) (A2, A3, Л4.//4 Є А). Предполош им, что Аз Є К, а группа G = {HJi) пеприводилш. Тогда справедливо одно из следцющиг утверждений: (a) G сопряжена в GL$[A) с группой Т±{К,Ф), где Ф - невырожденная J-косоэрмшпова форма от четыре г перемепньи над К, индекс Витта которой отличен от нуля, (6) G (овпадает с группой Ті(Л,Ф), где Ф невырожденная J косоэрмитова форма от четыре і переменные над А, индекс Витта которой отличен от нуля. Доказательство. Если ft = АзА а, ю /% = Я, 3.W Ф l(t4) Є П. Поскольку io можно положить A3 = 0 Так как G иеприводима, то А4 ф 0. Предположим сначача, чю А2 Є К. Тогда, положив у = diag(l3, Aj1), почучаеч, что yG — Т\(К,Ф), где Ф і-косозрмиїова форма, определенная следующим обранні ил векторном /С-просіраіктве. порожденном W И (;4
