Содержание к диссертации
Введение
1 Используемые методы 21
1 Носители, многогранники весов и параболическая индукция . 21
2 Геометрия сферических многообразий 30
3 Многогранник Бриона и отображение моментов 35
4 Другое описание многогранника Бриона 40
2 Классификация квазизамкнутых орбит 46
1 Описание возможных стабилизаторов точек квазизамкнутых орбит 46
1.1 Квазизамкнутые орбиты первого типа 52
1.2 Квазизамкнутые орбиты второго типа 64
2 Вычисление сферических данных 86
3 Завершение классификации квазизамкнутых орбит 110
3 Описание многогранников Бриона 122
1 Описание многогранников Бриона присоединенных представлений 122
2 Описание многогранника Bri(V) для большинства неприводимых представлений 128
3 Описание внутренней границы многогранника Bri(A/"(V)) . 137
3.1 Ограничения с внутренней стороны 137
3.2 Описание многогранника Вп(Л/"(0)) 141
3.3 Описание многогранника Бриона Bri(A/"(V)) 141
Список литературы 147
- Многогранник Бриона и отображение моментов
- Завершение классификации квазизамкнутых орбит
- Описание многогранника Bri(V) для большинства неприводимых представлений
- Описание внутренней границы многогранника Bri(A/"(V)) .
Введение к работе
В теории представлений редуктивных алгебраических групп естественно возникает понятие многогранника весов представления группы. Каждому вектору пространства представления можно поставить в соответствие подмножество этого многогранника, называемое носителем вектора. Изучение носителей векторов является удобным инструментом в теории инвариантов (см., напр., [4]). Целью диссертации является применение метода носителей к некоторым задачам теории представлений и теории алгебраических групп преобразований.
Стандартной задачей теории представлений является задача о разложении тензорной степени данного представления редуктивной алгебраической группы в сумму неприводимых. Часто бывает естественно разлагать не конкретную тензорную степень, а всю тензорную алгебру. Подобный подход привел М. Бриона к определению некоторого многогранника, соответствующего пространству представления V группы G, или, более общо, любому коническому G-инвариантному многообразию X в V, и в некотором смысле описывающего разложение тензорной алгебры и алгебры функций на X в сумму неприводимых пространств представлений. Многогранник Бриона является подмножеством многогранника весов. Задача описания многогранников Бриона для замыканий проективизаций орбит в присоединенном представлении была поставлена В.Л. Поповым в докладе на конференции по теории инвариантов (Кингстон, 2002, см. [29]). В некоторых случаях эти многогранники были описаны Сьямааром [30]. В диссертации с помощью метода носителей описаны многогранники Бриона для "большинства" неприводимых представлений редуктивных групп и их нуль-конусов.
Другая задача, решенная в диссертации при помощи метода носителей, — задача классификации квазизамкнутых орбит, или двухорбитных много- образий. Хорошо известно, что замкнутые орбиты связной полупростой комплексной линейной алгебраической группы G С GL(V) в проективном пространстве P(V) — это проективизации орбит старших векторов. Естественно рассмотреть орбиты, замыкание которых состоит из двух орбит (одна из которых замкнута). Назовем их квазизамкнутыми. Квазизамкнутые орбиты впервые рассматривались Э.Б. Винбергом и Д.Н. Ахиезером в 1977 году. Ими были получены некоторые результаты, но они не были опубликованы ввиду своей незавершенности.
Похожая задача возникла у Д. Луны при изучении сферических многообразий. Напомним, что С-многообразие называется сферическим, если оно нормально и борелевская подгруппы группы G имеет на нем открытую орбиту. Луна в 1987 году сформулировал гипотезу о том} что все нормальные полные двухорбитные многообразия являются сферическими.
Нормальные полные двухорбитные многообразия были ранее классифицированы при некоторых допущениях. Д.Н. Ахиезср [10] и, независимо, А. Хаклберри и Д. Сноу [22] классифицировали двухорбитные многообразия с замкнутой орбитой коразмерности один. М. Брион [14, 13] повторил эти результаты, используя теорию однородных вложений Луны-Вюста [27]. Затем Д. Фельдмюллер [20] описала двухорбитные многообразия с замкнутой орбитой коразмерности два. Классификация всех нормальных двухорбитных многообразий была независимо получена С. Кюпи-Футу [19].
В диссертации получена полная классификация квазизамкнутых орбит. Как следствие, получается классификация абстрактных полных двухорбитных многообразий, а также апостериорное доказательство гипотезы Луны.
Введем некоторые понятия и обозначения, необходимые для формулировки результатов. Пусть G — редуктивная алгебраическая группа, V — пространство ее представления, Т ~ фиксированный максимальный тор группы G, 0 и t — касательные алгебры групп G и Т соответственно, t(R) — веще- ственная форма алгебры t, состоящая из элементов с вещественными собственными значениями, Е = t(R)*, Х(Т) С Е — группа характеров тора Т, Д С Х(Е) — система корней группы G, А+ С А — множество положительных корней относительно фиксированного упорядочения на Д, П — система простых корней, С С Е — доминантная камера Вейля, V(A) — неприводимое представление со старшим весом А С С П Х(Т), Ф{У) с Е — система весов группы G в пространстве представления V и — весовое разложение пространства V. Выпуклую оболочку множества Ф(У) в Е назовем многогранником весов группы G и обозначим через M{V).
Для каждого вектора v = ХлєФ(Г)Vx опРеДелим множество его весов (&(v) = {A G Ф(У)|ї;а ф О}- Выпуклую оболочку этого множества назовем носителем вектора v и обозначим suppu. Для любого множества S С Е положим Vs= 0 Vxnvs= J2 ^- AgSn<(V) АЄПФ(і>)
Очевидно, что для веса А имеется равенство г>{д} = v\.
Напомним определение многогранника Бриона. Пусть X С V — G-инва-риантный неприводимый конус. Положим BripQ = {х Є Е ] Зп Є Z+, А Є Х(Т) : х = \/п,тх*,п{Х) ф 0}, где А* — вес, сопряженный весу А (старший вес представления V*(A)), а т\п{Х) — кратность вхождения неприводимого G-модуля V(A) со старшим весом А в С[.Х]П. В работе Бриона [16] доказывается, что Bri(X) — выпуклый многогранник. Мы будем его называть многогранником Бриона конуса X. Пусть X — проективное многообразие, соответствующее конусу Х\ положим Вгі(Х) = Вгі(Х).
Поясним как это понятие возникает из теории представлений. Если мы интересуемся разложением алгебры S'V — Y^n^^ ~ ^IX*L т0 имеется один дополнительный параметр - степень в которой содержится представление. Таким образом, нас интересуют числа m\jT1(V). Можно еще несколько упростить задачу, и задаться вопросом, для каких пар (А, п) верно m\jn(y) ф 0. Очевидно, что если это верно для пары (Л, п), то это верно и для пары (fcA, кп) для всех целых к. Таким образом, можно заинтересоваться всевозможными отношениями А/n, для таких (А,п), что тд>Т1(У) Ф 0, что и приводит к понятию многогранника Бриона.
Как достаточно легко показать, многогранник Бриона содержится в многограннике весов. Также можно заметить, что все старшие веса представления G : V лежат в Bri(V). Если отказаться от требования неприводимости конуса X) то аналогичным образом определенный многогранник будет совпадать с объединением многогранников Бриона неприводимых компонент, то есть может оказаться и не выпуклым. Описание многогранника Бриона для нуль-конуса является хорошим приближением к описанию представления группы G в градуированной алгебре функций на V. Например, в случае присоединенного представления мы имеем равенство С?-модулей:
СЫ = [в}сС[Щ9)}, (0.1) где C[q]g — алгебра инвариантов, aJV(V) С V — нуль-конус (многообразие нильпотентных элементов в V), см. [26].
Это описание является одной из задач диссертации. С другой стороны, многогранники Бриона естественным образом возникают в задаче классификации квазизамкнутых орбит. Сейчас мы опишем две конструкции, введенные в диссертации, которые позволяют существенно упростить последнюю задачу.
Пусть Г — грань многогранника M(V), дг — подалгебра алгебры д, по- рожденная картановской подалгеброй t и корневыми векторами, соответствующими корням, параллельным Г, а С?г — соответствующая связная подгруппа группы (?. Подпространство Vr, очевидно, инвариантно относительно Сг[\ В диссертации показано, что пересечение любой G-орбиты с Vr либо пусто, либо является одной Gr-орбитой, а разнесение любого Gr-инвариантного замкнутого подмногообразия пространства P(Vp) при помощи группы G также является замкнутым многообразием.
Применим это к случаю квазизамкнутых орбит. Пусть пересечение Gv П Vr не пусто. Получается, что орбита G{v) С P(V) квазизамкнута тогда и только тогда, когда орбита Gr{v) С P(Vr) квазизамкнута (через {и) обозначается точка проективного пространства, определяемая вектором и). В последнем случае будем говорить, что квазизамкнутая орбита G{v) индуцирована с грани Г. Как показано в теореме 1, грань Г с указанными условиями определена однозначно с точностью до действия группы Вейля.
Будем называть квазизамкнутую орбиту простой, если ее нельзя индуцировать ни с какой собственной грани. Ввиду вышесказанного изучение произвольных квазизамкнутых орбит сводится к изучению простых квази-замкнутьгх орбит.
Перейдем к следующей конструкции. Пусть Gv — орбита группы G в пространстве V. Рассмотрим множество пар (У, v), где G : V — конечномерное представление, v Є V, и линейная оболочка орбиты Gv совпадает с V. Введем на этом множестве частичный порядок следующим образом: будем говорить, что пара (W, w) доминирует пару (V,v), и писать (W,w) >~ (У, v), если существует такое G-эквивариантное линейное отображение 7Г: W —* V что -k(w) = v, и соответствующее отображение 7г : P(W) —> P(V) проективных пространств индуцирует конечный морфизм G{w) —* G{v). Если (W,w) У (V,v) и (V,v) У (W,u/), то будем называть пары (W,w) и (Vtv) изоморфными. Очевидно, что пары (W, w) и (V, v) изоморфны тогда и толь- ко тогда, когда существует G-эквивариантный изоморфизм пространства W на У, переводящий го в v. Множество классов изоморфных пар обозначим через Г(&); класс изоморфных пар, содержащий пару (W,w), — через \W, w]. Отношение доминирования индуцирует на Г(С) частичный порядок. Рассмотрим отношение эквивалентности на T(G), порожденное отношением порядка. Классы эквивалентности будем называть связными компонентами множества Г(<3).
В диссертации показано (теорема 7), что любая связная компонента множества T(G) содержит конечное количество элементов и имеет наибольший и наименьший элементы, а, кроме того, если элементы [У, г>] и [W, w] лежат в одной связной компоненте, то стабильные подалгебры точек (v) и (w) сопряжены, а количество замкнутых орбит в многообразиях G{w) и G(v) одно и то же.
В случае квазизамкнутых орбит легко показать, что векторное пространство из наименьшего элемента связной компоненты пары [У, v] неприводимо. Благодаря этому классификация квазизамкнутых орбит в значительной степени сводится к случаю, когда группа G действует в пространстве V неприводимо.
Дальнейшее изучение позволяет получить сравнительно короткий список полупростых комплексных линейных групп Ли, которые могут иметь простые квазизамкнутые орбиты, а также описать носители и стабилизаторы подходящим образом выбранных точек этих орбит.
Все орбиты из найденного списка оказываются сферическими, что позволяет применить теорию сферических вложений [11, 17, 14, 27]. Для каждого из полученных однородных пространств находятся все полные двухорбит-ные (нормальные) сферические вложения (для всех случаев, кроме одного, имеется ровно одно такое вложение). Затем для каждого из найденных сферических вложений X рассматриваются пространства сечений всевозмож- ных линейных G-расслоениЙ на нем и таким образом находим все линейные представления G —» GL(V), для которых в пространстве P(V) имеется такая квазизамкнутая орбита, что нормализация ее замыкания С?-эквивариантно изоморфна X.
Как уже было сказано выше, в пространстве представления, проекти-визация которого содержит квазизамкнутую орбиту, естественным образом выделяется одна неприводимая компонента. Дальнейшей целью является описание "дополнительных неприводимых компонент" пространства, содержащего квазизамкнутую орбиту, что равносильно описанию кратностей неприводимых компонент у наибольшего элемента в классе эквивалентности точки
Обозначим множество старших весов наибольшего элемента классе эквивалентности пары (V, v) через A(V, v) и рассмотрим множество С(V, v) :— и^=1Л((У, v)n)/n. В диссертации показано (теорема 8), что множество C(V, v) зависит только от класса эквивалентности точки [V,u], для некоторого п выполняется равенство C(V,v) = conv A((V,u)")/n, и C(V7v) = Bri(G{w)). Эти идеи в том числе дают один из методов описания многогранников Бри-она.
Таким образом, в общем случае единственным естественным ограничением является условие, что все старшие веса этого пространства содержатся в многограннике Бриона Bn(G(v)). Но теория сферических многообразий позволяет получить точное описание — весами этого пространства оказываются все точки некоторой решетки, содержащиеся в многограннике Бриона, причем все они входят с кратностью 1. Более того, этот многогранник описывается через сферические данные многогранника.
Теперь можно сформулировать классификацию квазизамкнутых орбит. Как было сказано выше, достаточно дать описание простых квазизамкнутых орбит. Эта классификация резюмирована в таблицах 1 и 2 (подробное описание получено во втором параграфе второй главы). В первом столбце таблицы указывается тип алгебры д, во втором — тип подалгебры Леви стабилизатора точки квазизамкнутой орбиты, в последнем — вершины носителя подходящим образом выбранной точки этой орбиты, В третьем столбце мы указываем старший вес А основной неприводимой компоненты представления группы G, в котором реализуется данная квазизамкнутая орбита. Параметры а и Ь суть произвольные натуральные числа, а 7Гі,..., 7Г„ — фундаментальные веса алгебры Q, В последнем столбце указана коразмерность d замкнутой орбиты в замыкании квазизамкнутой орбиты.
Таблица 1.
В качестве дополнительных неприводимых компонент можно брать с кратностями 0 или 1 любые неприводимые представления группы G, стар- шиє веса которых лежат в множестве (Р Л (A + X(G/iJ)))\A, где ~K(G/H) — некоторая подгруппа решетки весов группы G, описанная во втором параграфе второй части, а Р — многогранник Бриона замыкания квазизамкнутой орбиты в соответствующем неприводимом представлении. Вершины этого многогранника указаны в четвертом столбце таблицы. При этом квазизамкнутые орбиты, соответствующие данным рассматриваемой строки таблицы, образуют семейство, число параметров которого равно числу дополнительных неприводимых компонент. В частности, в неприводимом представлении имеется ровно одна квазизамкнутая орбита этого типа. a^\+ Ьк<і
СЇ7Г1+ &7Г2
Таблица 2.
Стабилизаторы точек орбит из таблицы 1 содержат тор коразмерности 1 в максимальном торе, стабилизаторы точек орбит из таблицы 2 содержат максимальный тор. В пункте 1 стабилизатор А\ вкладывается диагонально в Ai@Ai.
Перейдем к формулировке результатов, связанных с описанием многогранников Бриона пространств представлений и их нуль-конусов.
Как известно, старший вес представляется в виде линейной комбинации фундаментальных весов щ с неотрицательными целыми коэффициентами. Эти коэффициенты называются числовыми отметками старшего веса.
Выберем такую компактную вещественную форму К группы G, чтобы пересечение Т П К являлось максимальным тором в К. Пусть 6 — касательная алгебра группы К, а (-,-) — ^"-инвариантное эрмитово скалярное произведение на V. Рассмотрим отображение моментов р, : X —> 6*. Как известно, оно задается формулой *<*»м = ад- (-2>
Имеем С С Е = i(R)* = i(tn t)* С it* и ъц(Х) С it; таким образом, можно рассмотреть пересечение i}J>(X) ПС В работе Бриона [16] доказывается, что гя(Х)ПС = Вгі(Х). (0.3)
Это дает другой подход к описанию многогранника Бриона. В частности, непосредственным следствием этого равенства является утверждение Bri(X) С П M(V). Такой подход был использован в работе Сьямаара [30], где были описаны многогранники Bri(V) для некоторых пространств V (ниже об этом будет сказано подробнее). Кроме того, использование отображения моментов сводит изучение многогранника Бриона для полупростых групп к его изучению для простых групп.
Пусть G : q — присоединенное представление. Оно имеет нетривиальные инварианты, следовательно, 0 Є BriQj), согласно формуле 0.1. Кроме того, формула 0.1 имеет более сильное следствие: Bri(g) = conv (Bri(A/"(fl)), 0), (0.4)
Введем теперь понятия внутренней и внешней границ многогранника Р, содержащегося в каком-либо векторном пространстве: plnt = {х є Р | гх ф Р Vr с R, 0 < г < 1}, если 0 Р, иначе Pmt = {0} Pext = {^ Р | гх . Р Vr С К, г > 1}.
Грани многогранника, содержащиеся во внутренней и внешней границах многогранника также будем называть внутренними и внешними соответственно. Как следует из формулы 0.4, Bri(g)int = {0} и
Вгі(я)еті = Віі(Щд))ехЬ.
Как хорошо известно, нуль-конус присоединенного представления неприводим; поэтому его многогранник Бриона выпукл. Из того, что многогранник Бриона выпукл, следует, что знание его внутренней и внешней границ полностью его определяет. Таким образом, задача распадается на две независимые — описать внешнюю границу многогранника Вгі(^) и внутреннюю границу многогранника Вп(М).
Используя метод отображения моментов, возможно строить некоторые точки многогранника Бриона. Если бы мы могли получить ограничения на многогранник, совпадающие с тем, что дает отображение моментов, мы получили бы точное описание. Все ограничения, которые будут получены в диссертации, можно разделить на два типа. В обоих случаях у будет иметься некоторое множество ЛсЕ, пересекающее любой луч, лежащий в камере Вейля и начинающийся в нуле, ровно один раз. Ограничениями с внутренней стороны будем называть ограничения вида Bri(X) С К>іЛ, ограничениями с внешней стороны — ограничения вида Ът1(Х) С R<\R: где R>iR (]R
Чтобы получить ограничения с внешней стороны, используется конструкция Гроссханса [21] и каскад Костанта. Конструкция Гроссханса была независимо изобретена Брионом, Луной и Бюстом (теорема о локальной структуре — см. [18]) и использована Брионом в его работе [16] для описания структуры многогранника Бриона в окрестности его точки. Это описание, в свою очередь, было использовано Сьямааром [30] для получения некоторого ограничения на Вгі(У). На самом деле, применение локального описания является лишним шагом, а более правильным путем представляется непосредственное применение конструкции Гроссханса, что можно делать многократно, тем самым строя каскад Костанта. В диссертации применение этого метода позволило описать внешнюю границу многогранника Бриона для присоединенных представлений алгебр Лі, Л2, Л%, Вп, Сп, Dn, G2, F4, Е7 и Eq (теорема 15). К сожалению, для случаев А>а и Е этих ограничений оказывается недостаточно, и нужен другой метод.
Кроме того, в диссертации получен следующий результат: внутренняя граница многогранника Бриона для нуль-конуса присоединенного представления получается как пересечение доминантной камеры Вейля и аффинной плоскости, натянутой на простые корни. Вершинами этого многогранника являются точки Сітгі, где Сі — число, обратное к сумме элементов ї'-ого столбца обратной матрицы Картана. Описание вершин внешней границы многогранника Бриона для нуль-конуса присоединенного представления для указанных выше алгебр дано в таблице 3.
В случае V 4- 9 задача описания многогранника Бриона для нуль-конуса резко усложняется. Во первых, перестает быть верным разложение С[V] = C[V]G
Таблица 3.
Сьямаар, используя метод носителей, получил (см. [30]) описание многогранника Bri(V) для представлений, все числовые отметки которых отличны от единицы. В диссертации при помощи метода носителей и конструкции Гроссханса получен более сильный результат — описан многогранник Bri(V) почти для всех представлений, у которых среди числовых отметок не встречаются ноль и единица, соединенные ребром на диаграмме Дынкина (для случаев с ветвящейся диаграммой Дынкина накладывается небольшое дополнительное ограничение); в частности, к этому классу относятся все представления со строго доминантными старшими весами.
Опишем структуру работы по главам и параграфам.
В первой главе описываются методы, используемые в работе, как разработанные автором, так и известные ранее.
В первом параграфе рассказывается о многогранниках весов и о свойствах носителей и доказывается теорема о параболической индукции орбит.
Во втором параграфе напоминаются понятия и теоремы теории сферических многообразий (см. [17, 11, 14, 27]).
В третьем параграфе рассказывается о связи многогранника Бриона с отображением моментов и о применении метода отображения моментов для его описания. Часть из описанных здесь результатов была получена Сья-мааром [30]. Также в этом параграфе доказывается теорема, позволяющая применить теорему о локальной структуре к описанию многогранника Бриона.
В четвертом параграфе описывается конструкция, позволяющая получить другое описание многогранника Бриона и применить метод носителей к его описанию.
Во второй главе описанные выше методы применяются для получения классификации квазизамкнутых орбит.
В первом параграфе описываются возможные стабилизаторы точек ква- зизамкнутых орбит. В основном доказательство опирается на метод носителей, а также важную роль играют теорема о параболической индукции из первого параграфа первой главы и конструкция из четвертого параграфа первой части, позволяющие свести изучение к случаю простой квазизамкнутой орбиты в неприводимом представлении.
Во втором параграфе доказывается, что все полученные в первом параграфе пары сферичны, и описаны их сферические данные.
В третьем параграфе завершается классификация квазизамкнутых орбит.
Третья глава посвящена описанию многогранников Бриона для пространств представлений и их нуль-конусов.
В первом параграфе описываются многогранники Бриона пространств присоединенных представлений. При доказательстве используется метод отображения моментов и теорема о локальной структуре, рассмотренные в третьем параграфе первой главы.
Во втором параграфе описываются многогранники Бриона для некоторых неприводимых пространств представлений, а в третьем - для их нуль-конусов.
Список обозначений: G связная редуктивная алгебраическая группа;
Т фиксированный максимальный тор в G;
В фиксированная борелевская подгруппа группы G, содер- жащая Т; U максимальная унипотентная подгруппа группы G, содер- жащаяся в В]
К такая компактная вещественная форма G, что пересечение TDK является максимальным тором в К.
В, t, b, u, t касательные алгебры групп G, Г, В, U и К соот- ветственно; і(Ж) вещественная форма алгебры t, состоящая из эле- ментов с вещественными собственными значениями;
Е — t(R)*; точки пространства Е будем в некоторых случаях для удобства считать векторами
Л система корней группы G; Af, система корней регулярной подалгебры Ї) С д;
Д+ = Дь множество положительных корней; W = NG(T)/T группа Вейля пары (G,T);
С доминантная камера Вейля; га Є W отражение относительно гиперплоскости, ортого- нальной корню а;
Уд неприводимое пространство представления со старшим весом Л; V* пространство, сопряженное пространству V;
А* сопряженный вес — вес пространства V*(A); Gx = {д Є G\gx = х) стабилизатор точки х в группе G; &х = {є Є Q\ex = 0} стабилизатор точки х в алгебре д;
М С Е многогранник весов группы G в пространстве V;
Ф(У) множество весов представления V;
Ф{у) множество весов вектора v V; M(V) = conv (Ф(У)) многогранник весов; supp (V) = conv (Ф(г")) носитель вектора; Vs = Фає5пф(у) ^ подпространство, задаваемое множеством S; vs — Y;\zsm{v)v* проекция вектора v на V5; P(V) проективизация векторного пространства V; (v) , точка проективного пространства, которая соот- ветствует прямой, натянутой на вектор v\ X С P(V) проективное многообразие, соответствующее ко- нусу X С V; Af(V) нуль-конус (многообразие нильпотентных элемен- тов в V)\ (, ) К"-инвариантное скалярное произведение на V"; /і : X —» I* отображение моментов; Bri(X) = Bri(X) = многогранник Бриона; щ{Х))ПС {cti,... ,ап} система простых корней алгебры g (см. [3]); {7Гі,..., 7гп} система фундаментальных весов алгебра д;
Кроме того, мы будем использовать принятые в [3] обозначения єі для весов. Если а Є t(R)*, то ha обозначает такой элемент из t, что ha ортогонален ядру Кега и a(ha) — 2. Если а Є А, то символом еа будет обозначаться корневой вектор, соответствующий этому корню (определенный с точностью до пропорциональности). Мы будем требовать, чтобы [еа, е_а] — ha (таким образом, набор {ha, еа,е_а} будет ^-тройкой).
Операция сопряжения, определенная на множестве старших весов, продолжается до линейного автоморфизма множества Е, которое мы также будем обозначать символом *.
Автор глубоко благодарен Эрнесту Борисовичу Винбергу за подлинное научное руководство, постоянное внимание и поддержку, а также Дмитрию Андреевичу Тимашову за полезные обсуждения и ценные замечания и Владимиру Леонидовичу Попову за постановку задачи, которая легла в основу одного из направлений диссертационной работы.
Многогранник Бриона и отображение моментов
Как уже было сказано во введении, в работе Бриона [16] доказывается, что где [і - отображение моментов, а BripT) — многогранник Бриона. Как нетрудно показать, множество г//(Р(Х)) П Е эквивариантно относительно действия группы Вейля, и его описание равносильно описанию многогранника Бриона. Первым очевидным следствием формулы 1.3 является утверждение: Конечно, описание множества векторов, удовлетворяющих условию из формулы 1.4, само по себе является непростой задачей, но мы получаем метод проверки, лежит ли образ конкретной точки в Е. Определение 11. Будем говорить, что вектор v не имеет соседних весов, если разность любых двух элементов мнооюества Ф(и) не является корнем. Лемма 7. Если X — конус в V, и v Є X — вектор, не имеющий соседних весов, то suppvDC С Bri(X). Из предложения 1.3.2 вытекает, что если вектор v не имеет соседних весов, то І{Л((У)) Є Е. Рассмотрим многообразие Xі :— T{v). Заметим, что любой вектор г/ Є X не имеет соседних весов. Рассмотрим теперь вышеописанную конструкцию отображения моментов, взяв в качестве большой группы Т, а вместо К — группу К Г\Т. На точках, удовлетворяющих условию ifj,({v)) Є Е, то есть в том числе на всем многообразии Х \ эти два отображения моментов, относительно всей группы и относительно тора, совпадают. Следовательно, при изучении множества щ{Х ) = щ{Х ) П Е мы можем ограничиться отображением моментов относительно тора. Множество X — неприводимое Т-инвариантное многообразие, следовательно, его образ при отображении моментов — выпуклый многогранник (см., например, [12]). Пусть теперь Л — вершина носителя вектора v. Согласно утверждению 1.1.9, (VA) Є T{V). Выполняется равенство «д({« )) = Л, после чего из выпуклости следует равенство suppu — ifi(T{v)). Следовательно, Bri(X) э Bri(Jt ) = ipt(T{v)) П С = suppv П С.
Эта лемма позволяет строить точки многогранника Бриона. Заметим теперь, что для любого множества весов Ус Ф(У) мы можем построить такой вектор v, что Ф(и) = У. Более того, если это множество отделимо от нуля, то есть Эх Є Х(Т) : (гп, х) 0 Vm Є Y, такой вектор будет лежать в нуль-конусе (см., например, [4]). Таким образом, доказано предложение: Предложение 1.3.3. Пусть У С Ф(У) — такое множество, что Действительно, множество У = W, где — старший вес этого представления, удовлетворяет условию предыдущей леммы, а его выпуклая оболочка совпадает с многогранником весов этого представления. Покажем теперь, как можно применить теорему о локальной структуре к описанию многогранника Бриона Вгі(У). Будем рассматривать /_-инвариантные функции на V, где U- — противоположная к U унипотентная подгруппа. Тогда определение многогранника Бриона можно переписать как Bri(V) — {—Л/пЛ — вес [/--инвариантной однородной функции на У, а п — ее степень} Начнем с конструкции, изобретенной независимо Гроссхансом (см. [21]) и Брионом, Луной и Вустом (см. [18]). Пусть и — какой-либо старший вектор пространства V. Пусть Р — стабилизатор точки (и), Р_ — противоположная параболическая подгруппа, a L — их общая подгруппа Лсви. Символами р, р_ и [ будем обозначать соответствующие касательные алгебры. Пусть V — L-инвариантное дополнение прямой (и) в V, W — L-инвариантное дополнение пространства р-и до V, a W — W (и). Положим V = V\V и W = W\W . Тогда выполняется ел едущее: Эта достаточно простая теорема является важным инструментом во многих случаях. Из третьего утверждения теоремы следует изоморфизм алгебр инвариантов: К сожалению, в этой формуле нельзя заменить V на У, a W на W. Однако легко видеть, что при этом отображении порядок нуля функции на дополняющей гиперплоскости к {и}} может только увеличиться. Следовательно, мы имеем вложение, получаемое ограничением функций: Более детальное изучение этого отображения позволило Бриону доказать теорему о устройстве многогранника Бриона в окрестности его точки (см. [16]). В общем случае она неприменима для конкретных вычислений, но применение ее в окрестности старшего веса немедленно дает результат
Завершение классификации квазизамкнутых орбит
Из результатов двух предыдущих параграфов следует, что если G(v) С P(V) — простая квазизамкнутая орбита, то нормализация X С Р(И ) многообразия Ху = G{v) сферична. Как хорошо известно, морфизм нормализации проективного многообразия можно представить как композицию проекции и отображения, обратного к отображению Веронезе. Таким образом, пространство W задает на X очень обильный дивизор, и, следовательно, V задает обильный дивизор. Л Действительно, очевидно, что прообраз открытой орбиты в G(v) состоит из одной орбиты. Прообраз замкнутой орбиты состоит из замкнутых орбит, которым соответствует один и тот же старший вес (получаемый как вес пространства V, умноженный на степень отображения Веронезе). Таким образом, нам остается показать, что спектр пространства P(V) прост, что следует из сферичности пространства G/H.
Многообразие X, в свою очередь должно являться полным двухорбит-ньш вложением сферического пространства G/H. Такое вложение, как было сказано во втором параграфе первой главы, является простым вложением и задается телесным цветным конусом, внутренность которого содержит конус нормирований. С другой стороны рассмотрим однородное пространство G/H из предыдущего параграфа, его простое вложение X, задаваемое телесным цветным конусом П, внутренность которого содержит V\{0}, и обильный дивизор 5 на X. Образ отображения Q{X) (см. формулу 1.2) является или двухорбит-ным многообразием (в таком случае, образ открытой орбиты квазизамкнут), или орбитой старшего вектора. Но 0(Х) не может быть орбитой старшего вектора, так как морфизм $ конечен, и fj не является стабилизаторы точки орбиты какого-либо старшего вектора. Итак, многообразие С(Х) двухорбитно. Рассмотрим связную компоненту точки [W, w subsetT(G), где w - вектор из открытой орбиты этого многообразия. Из построения следует, что точка [W, w] — наибольшая элемент этой связной компоненты. Из леммы 7 следует, что пространство V, отвечающее наименьшей точке [V, v] в этом связной компоненте неприводимо, и что для любой проекции 7г вдоль подпространства, пересекающегося cV ио нулю, образ п((Х)) соответствующего отображения проективных пространств 7г также двухор-битен. Старший вес пространства V также определяется как единственный вес из Р(Х,8) такой, что соответствующий многогранник весов содержит все многогранники весов, отвечающими другим старшим весам из Р(Х, ). Таким образом, нами доказана теорема:
В изучаемой нами ситуации существует 6 классов картинок сферических данных (см., рисунок 4), для каждого из которых многогранники старших весов P(X,S) устроены по своему. Опишем эти многогранники: a) гк = 1, конус нормирований — полуось, одна краска (?і) и ее об раз не содержится в этой полуоси, стороны. В этом случае существует единственное полное двухорбитное вложение — когда конус совпада ет с конусом нормирований, а красок нет. Дивизор Картье имеет вид 6 — aDi. Тогда b) г к = 1, конус нормирований — полуось, две краски, образ первой из которых не содержится в этой полуоси (D{) и одна (1) с нулевым образом. В этом случае существует единственное полное двухорбитное вложение — когда конус совпадает с конусом нормирований, а красок нет. Дивизор Картье имеет вид S = aD\ + bDj. Тогда c) гк = 1, конус нормирований — полуось, две краски ( i и D2), об разы которых равны и не содержатся в этой полуоси. В этом случае существует единственное полное двухорбитное вложение — когда ко нус совпадает с конусом нормирований, а красок нет. Дивизор Картье имеет вид 8 = aDi 4- 61.
Описание многогранника Bri(V) для большинства неприводимых представлений
Целью этого параграфа является описание многогранников Бриона для пространств неприводимых представлений. Результат сформулирован в конце параграфа. Предположим сначала, что все числовые отметки гщ старшего веса Л — Y i ШІ\І не меньше двух. Как нам говорит теорема Сьямаара, многогранник Бриона для всего пространства получается как пересечение многогранника весов и камеры Вейля, то есть как пересечение двух конусов: С и А — соп П. Вершины этого многогранника могут получаться только как пересечения fc-мерных граней одного конуса с п — -мерными гранями другого. Пусть грань ЕІЄ/ »71 }» гДе » — 0 пересекается с гранью А - ( гДе t .; 0 . Заметим, что в разложении простого корня по фундаментальным весам положительным может быть только коэффициент при весе с тем же номером. По предположению, старший вес А строго доминантен, следовательно, /U J — {1,..., п}. Более того, множества / и J не пересекаются из соображений размерности. Пусть Qi — подалгебра, отвечающая подмножеству I диаграмы Дынкина. То, что любые грани, отвечающие дополняющим друг друга множествам, пересекаются, следует из того, что для подалгебры Qi доминантная камера Вейля лежит в конусе, натянутом на простые корни. Таким образом, доказана лемма: Лемма 22. Пусть все отметки старшего веса не меньше двух. Тогда многогранник Bri(V) имеет 2" вершин. Эти вершины задаются подмиоэ/се-ствами множества {1, ...,п}. Подмнооїсеству I С {1,...,п} соответствует вершина А[, определяемая условиями Пусть Г/ — грань многогранника весов, имеющая центром точку Aj. Тогда Qi — полу простая часть алгебры Qrr Положим Vj = Vry Будем считать, что (t П g/) (IR) = Afr (Г/), тогда ноль этого пространства есть точка А/. Представление 0/ : Vj неприводимо, и пусть его старший вес есть А . Отмеченная диаграмма Дынкина веса А получается из отмеченной диаграммы Дынкина веса А стиранием вершин, не содержащихся в/.
Предложение 3.2.1. Пересечение многогранника Bri(V) с гранью Г/ многогранника M(V) совпадает с многогранником Bri(V/). Доказательство этого предложения можно найти в [15]. Теперь, в случае, когда отметки старшего веса не меньше двух, легко получить альтернативное доказательство теоремы Сьямаара о том, что если числовые отметки отличны от единицы, то Bri(V) — M(V). Действительно в таком случае любое представление g/ : Vj имеет нетривиальные инварианты (проверяется в списке из [9]), следовательно, О Є Bri(Vr) и Aj є Bri(V) для всех І. Пусть теперь нет нулевых отметок, но возможны единичные. Аналогичное доказательство не проходит, так как при / = {1,..., п}\{г}, где гщ = 1, мы получаем д/ : Vj = А\ : Vni, а это представление нетривиальных инвариантов не имеет. Однако, как легко убедиться, для остальных / сохраняется свойство существования инвариантов, поэтому если VI ф {1, - ,п}\{г} для такого г, что т» = 1, то А/ Є Bri(V). Пусть теперь Н — множество точек, лежащих с той же стороны от плоскости Н, натянутой на множество Л — П, что и 0. Применим теперь теорему 5 и получим, что где га W — отражение относительно гиперплоскости, ортогональной а, а Ф(У) = Ф(У)\{Л — П}. Каждая плоскость гаі(Н) пересекает все ребра [ {І,...П}\{І}Ї- {І,...П}\{Ї }]) и содержит вершину Aijw n. Кроме того, согласно лемме 1.3.3, примененной к множеству raj(A—П): мы получаем, что Bri(K) D rQi(H) П С. Таким образом, мы доказали теорему: Теорема 17. Пусть старший вес строго доминантен. Тогда многогранник Бриона всего представления равен Р П С.
Вершинами этого мноэюества являются точки Ai для I ф {1,.,. ,п}\{г}т = 1 и точки, имеющие вид H{i,...n}\{ } Ai.-n}\{ J }] ПГ«І(Н) дДЯ таких і, что mi = 1. Далее будет получено аналогичное описание в более общем случае, включающем и случай, рассмотренный Сьямааром, и случай строго доминантного старшего веса. Пусть старший вес не строго доминантен. В таком случае все равно вершины пересечения М(V) П С лежат в множестве {А/}, но на этот раз некоторые точки А/ будут совпадать. Более детальное изучение доказывает следующие предложения: графе с вершиной из {1,..., n}\J, не проходя через вершину из I (заметим, nmoKlN C.IUJ). Тогда V/ I С / С N : Aj = Л//. Предложение 3.2.3. Пусть J = {ъ\тщ = 0}, а I С {1,.. .,п}. Положим N с /П J — множество вершин, не соединенных с вершинами {1,..., п}\1 ребрами диаграммы Дынкипа. Тогда У Г N с Г С J : Aj — Ai . Таким образом, если все представления QA У А имеют нетривиальные инварианты, то все точки А\ лежат в Bri(V), и многогранник Бриона устроен крайне просто. Однако, такое происходит только в случае mj ф 1 для всех %у то есть как раз в случае, разобранном Сьямааром. Заметим, что наш подход дает альтернативное доказательство этой теоремы. К сожалению оказывается, что если на диаграмме Дынкипа есть отметки 0 и 1 соединенные ребром, то теорема о локальной структуре в общем случае не дает достаточных ограничений (есть некоторые исключения). Перейдем к остальным случаям. Пусть на диаграмме Дынкина нет отметок 0 и 1 соединенных ребром, а, кроме того, выполняется еще одно небольшое дополнительное ограничение: для Еп выполняется mn_3 ф 0, а для Dn — если mn_2 = 0, то и m„-i = тп 0. Тогда мы можем получить описание многогранника Бриона.
Описание внутренней границы многогранника Bri(A/"(V)) .
Займемся задачей описания внутренней границы многогранника Bn(Af[V)). Начнем с получения ограничений на многогранник Бриона. Для этого мы используем его другое описание, полученное в четвертом параграфе первой главы. Пусть S — множество векторов, разнесение которого является неприводимым конусом X, а А — такой старший вес, что Докажем, что A . Вгі(Х). Действительно, в противном случае, согласно теореме 7, существовали бы такие положительное целое п и (7-инвариантный конус Xw С W = V"" ф Vnx = {Xw}, что отображение проективных многообразий jt, отвечающее проекции 7Г вдоль Vnx, конечно на Xw. Пусть v & S — такой вектор, Зги Xw, тг(го) = v} w = v. Тогда согласно формуле 3.2 и лемме 1.1.9 точка (w — v) лежит в Xw, что противоречит конечности мор-физма. Следовательно, 7Г 1(г ) П Xw = {v} для всех v Є S, а благодаря G-эквивариантности проекции, и 7Г-1(Х) П Xw Х} что приводит нас к противоречию. Таким образом, нами доказана теорема: Применим эту теорему к случаю нуль-конуса. Для любого доминантного вектора h Є Е пусть Л4 = {ф Є Ф{У) Н,(ф) 0} и Xh = GVMh- Как известно, многообразие Х является неприводимым подмножеством нуль-конуса, и все его неприводимые компоненты можно получить таким образом. Теорема 20. Выполняются включения Заметим, что эти ограничения были получены без каких-либо требований на представление. Перейдем к описанию внутренней границы многогранника Bri(Af(V)). Нам понадобится дополнительное условие: пусть теперь старший вес S присоединенного представления содержится во множестве весов пространства V. Заметим сразу, что это условие эквивалентно условию "старший вес пространства V лежит в решетке корней" с точностью до одного случая, а именно, ситуации, когда старший вес пространства V является старшим коротким корнем. В таком случае мы можем описать внутренние границы многогранников
Бриона неприводимых компонент нуль-конуса, использовав метод отображения моментов вместе с полученными выше ограничениями. Нам понадобится следующая лемма: в (conv Mh)mb и пересекающая внутренность камеры Вейля. Тогда направляющее подпространство аффинной плоскости, натянутой на Н, пересекается с конусом соп (П) только по нулю. М Пусть это не так. Тогда найдется ненулевой вектор v из этого перс-сечения. Выберем точку р Н, содержащуюся во внутренности камеры Вейля. Тогда р — 2aiai и и = J2 iai гДе «І 0 и bj 0. Заметим теперь, что П С Mh, поэтому 2щ 1. Следовательно, найдется такое неотрицательное число і, что 2(щ + tbj) — 1. Положим pr р + tv. Тогда р Є сопуП С conv(М ). Напомним, что точка р, а, следовательно, и р лежит в грани Н многогранника conv(M ). Следовательно, точки ( тоже лежат в этой грани, но тогда р = р1. Таким образом, то есть НПС С conv (П), но тогда вектор v лежит в плоскости, натянутой на разности простых корней, а она пересекается с конусом соп (П) только по нулю. Противоречие. Эта лемма имеет три важных следствия, первое из которых ей равносильно. Пусть V, h, Мь и Н — такие, как было определено выше. Тогда: Предложение 3,3.1. Направляющая гиперплоскость гранив имеет строго доминантный нормальный вектор, который мы обозначим через п(Н). 4 Включение в одну сторону очевидно, так как для любой точки х из Сд найдется такая точка у из С Г\ М/,, что х Є ffi ij/, но тогда х Є у + соп (П). Докажем обратное включение. Пусть х Є (Мд+соп (П))ПС. Чтобы доказать тот факт, что х Є Ch, достаточно проверить выполнение условий (х, п(Н)) (Н,п(Н)) для всех Н из леммы 23. Представим х в виде у + Yli h гДе у Є Mhi a Cj 0. Тогда ввиду предложения 3.3.1 (ж,гг(Н)) (у, п(Н)), из чего и следует выполнение необходимых условий.
Непосредственным следствием этих предложений является следующая теорема: Теорема 21. Пусть старший вес 5 присоединенного представления содержится во множестве весов пространства V, ah выбрано так, что Хъ, — неприводимая компонента нуль-конуса. Тогда нио/сняя граница многогранника Bri(Xfc) совпадает с conv (М ) П С. Действительно, в одну сторону ограничение уже доказано, осталось только построить это множество в образе отображения моментов. А для этого достаточно применить предложение 1.3.3 ко всем множествам Н П Ф(У). Положим Полученное нами ограничение является "ограничением с внутренней стороны" относительно множества Я. Как было только что показано, і? С Вгі(Л/ХУ")), что нам дает описание внутренней границы многогранника Бриона для нуль-конуса. Приведем явное описание в случае присоединенного представления. Теорема 23. Внутренняя граница многогранника Бриона для нулъ-копуса присоединенного представления имеет вид conv (П) П С. Эта теорема является прямым следствием теоремы 22, достаточно заметить, что в этом случае имеется наибольшее множество М , а именно, conv (А+), и единственная его нижняя грань есть conv (П).
В случае присоединенного представления многогранника Бриона выпукл, поэтому сочетая эту теорему с теоремой 15, мы получаем описание многогранников Бриона для нуль-конусов присоединенных представлений всех простых алгебр, кроме Ев и Л„ 4. В случае представления, отличного от присоединенного, многогранник Бриона для нуль-конуса может не быть выпукл (и, чаще всего, выпуклым не является), поэтому знания внутренней и внешней границ не достаточно для его полного описания, и нужны дополнительные теоремы. Перейдем к этому описанию.
