Введение к работе
Актуальность темы
Гомологическая теория градуированных алгебр и супералгебр Ли насчитывает более 30 лет интенсивного развития. За это время были разработаны основные методы изучения гомологии и найдены гомологические характеристики многих важных и интересных объектов1 Выявились, однако, и принципиальные трудности теории: однообразие и относительная элементарность используемых методов и высокая комбинаторная сложность доказательств. Часто (например, в случае L\ -подалгебр алгебры Витта W или супералгебры К(1, 1)) поведение размерностей групп гомологии совершенно очевидно, но доказательство, казалось бы очевидного утверждения, трудно или вообще неизвестно.
К началу 90-х годов были описаны (ко)гомологии алгебры полиномиальных векторных полей от п переменных Wn и некоторых ее подалгебр, причем не только с тривиальными коэффициентами. Гомологические свойства L* подалгебр этих алгебр были изучены лишь для алгебры Wi (т.е. для алгебры Витта W): описание i/„(Lfc), к > 1, было дано в работах Л.Гончаровой2 и Ф.Вайнштейна3, а описание H*(Li, М), где М — т.н. дифференциальный модуль, в работе Фейгина-Фукса 4. Кроме того, был достигнут существенный прогресс в описании гомологии с тривиальными коэффициентами и деформаций конечномерных супералгебр векторных полей.5
Нерешенными остались задачи описания (ко) гомологии с нетривиальными коэффициентами алгебр Ли векторных полей с числом переменных ^ 2, описания (ко)гомологий Lt подалгебр таких алгебр и описания (ко)гомологий с нетривиальными коэффициентами подалгебр Lk С W\, к > 2, а также некоторые задачи о конечномерных супералгебрах Ли векторных полей. Задача вычисления (ко)гомологий Lk подалгебр алгебр Wn представляется безнадежной уже для алгебры W^. Для ее подалгебры гамильтоновых
1Фукс Д-Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли — М. Наука, 1984.
'Гончарова Л.В. Когомологии алгебр Ли формальных векторных полей на прямой // Функц. анал. и его прил. — 1973. — 7(2). — С. 6-14.
3Weinstein. Filtering Bases: A Tool to Compute Cohomologies of Abstract Subalgebras of the Witt Algebra // Advances in Soviet Math. — 1993. — 17. — С 155-216.
Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Гомологии алгебры Ли векторных полей на прямой // Функц. анал. и его прил. — 1980. — 14(3). — С. 45-60.
5Leites D., Fuchs D. Cohomology of Lie superalgebras // С. r. Acad. Bulg. Sci. - 1985. - 37(12). - C. 1595-1596.
векторных полей на плоскости доказана лишь частичная теорема конечности.6 Но для К(1,1) — супералгебры Ли формальных векторных полей от одной четной и одной нечетной переменной задача представляется более доступной.
Суммируя можно сказать, что первоочередные задачи гомологической теории (супер)алгебр Ли векторных полей — это описание гомологии с тривиальными коэ4>фициентами подалгебр L* алгебр Ли формальных векторных полей от двух переменных и описание деформаций таких алгебр, а также описание (ко)гомологий с нетривиальными коэффициентами (в том числе деформаций) подалгебр Lk С W\. Недавно Д.Фукс и А.Фиаловски7 дали полное описание деформаций подалгебры L\ С W\. В своей следующей работе8 они предложили процедуру построения базы миниверсаль-ной деформации данной алгебры Ли. Применение этой техники к алгебре Li С W\ позволило дать более прозрачное доказательства основного результата их предыдущей работы. Следующий по сложности объект — это подалгебра г С W\. Однородные деформации (т.е. деформации, отвечающие однородным в смысле градуировки коциклам) были впервые изучены автором и Постом.9 В недавней работе Поста и Фиаповски10 были обобщены результаты предыдущей работы автора и Поста и была предпринята попытка дать описание базы миниверсальной деформации алгебры L^. Эту попытку нельзя считать вполне удачной: описание базы столь громоздко, что понять геометрию базы из этого описания нельзя. Этот результат показывает, что надежды, возлагавшиеся на метод Фиаловски-Фукса вряд ли обоснованы.
В приложениях особенно важны три задачи: задача о соотношениях, задача об одномерных центральных расширениях и задача о деформациях. Среди задач о когомологиях с нетривиальными коэффициентами задача о деформациях самая важная, в том числе и потому, что алгебры Ли векторных полей играют заметную
Фукс Д.Б. Конечномерность гомологии алгебры гамильтоновых векторных полей на плоскости // Функц. анал. и его прил. — 1985. — 19(4). — С. 68-73.
7Fialowski A., Fuchs D. Singular Deformations of Lie Algebra L\ // Amer. Math. Soc. Transl. - 1997. - 180(2). — С 77-92.
8Fialowski A., Fuchs D. Construction of miniversal deformations of Lie algebras I/ J. Funct. Anal.- 1999. - 161(1). - С 76-110.
Кочетков Ю.Ю., Пост Г.Ф. Деформации бесконечномерной нильпотентной алгебры Li И Функц. анал. и его прил. — 1992. — 26(4). — С. 90-92.
10Fialowski A., Post G. Versal Deformations of the Lie Algebra L% // J. of Algebra. - 2001. - 236. - С 93-109.
роль в физике, и деформации таких алгебр имеют отчетливый физический смысл. Задача о соотношениях сводится к вычислению второй группы гомологии с тривиальными коэффициентами, задача об одномерных центральных расширениях — к вычислению второй группы когомологий с тривиальными коэффициентами, задача о деформациях — к вычислению второй группы когомологий с коэффициентами в присоединенном представлении. Описание соотношений позволяет понять структуру бинарной операции — скобки в алгебре Ли, т.е. насколько алгебра отличается от свободной. Центральные расширения и деформации позволяют строить новые алгебры Ли, интересные для приложений (как, например, алгебра Вирасоро — центральное расширение алгебры Витта W\).
Особый интерес вызывает изучение гомологических свойств ниль-потентных подалгебр L* градуированных алгебр Ли (т.е. линейных оболочек однородных элементов степени ^ к, к ^ 1). Во-первых нильпотентность позволяет изучать бинарную операцию в "чистом"виде, следя за образующими и игнорируя элементы неположительной степени; во-вторых знание (ко)гомологий нильпотент-ной подалгебры позволяет находить гомологии самой алгебры с нетривиальными коэффициентами, используя спектральные последовательности. Как отмечал Ф.Вайнштейн11, вычислить группу Щ{Ьк) — задача той же сложности, что и вычислить все группы H*(Lk). Чисто комбинаторные рассуждения, которых достаточно для вычисления групп H2(Lk,-), не работают в случае высших (ко)гомологий.
Цель работы.
Целью работы является вычисление соотношений и изучение деформаций ряда классических (супер)алгебр Ли формальных векторных полей и их подалгебр.
Структура и объем диссертации
