Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Технология программирования задач расчета физических полей в условиях ГП серии "Поле" . 12
1.1. Основная система - функций 12
1.2. Краевая задача и структура ее решения . 15
1.3. Применение метода й - функций при расчете физико-механических полей 18
1.4. Источники и типы задач алгебры 24
1.5. Основные принципы построения автоматизированной системы (ГП) "Поле-3" 29
ГЛАВА II. Реализация задач алгееры в условиях эксплуатации ГП "Поле-3" 36
2.1. Язык заданий 37
2.2. Системное наполнение 43
2.3. Функциональное наполнение 56
2.4. Формирование матриц 65
2.5. Архив методов алгебры 68
2.6. Эксплуатационные возможности сегмента обработки матриц 74
ГЛАВА III. Тестирование матриц 77
3.1. Применение гь - функций к построению матриц . 77
3.2. Применение тестовых матриц при решении задач алгебры 83
3.3. Эксплуатационные возможности блока тестовых матриц 102
Заключение 105
Литература 107
Приложение 117
- Применение метода й - функций при расчете физико-механических полей
- Основные принципы построения автоматизированной системы (ГП) "Поле-3"
- Эксплуатационные возможности сегмента обработки матриц
- Применение тестовых матриц при решении задач алгебры
Применение метода й - функций при расчете физико-механических полей
Известно, что при применении сеточных методов (в их классическом варианте) приходят к хорошим системам уравнений, однако значительные трудности возникают при учете геометрической информации и заданных краевых условий [45] . Метод конечных элементов и возник из стремления, сохранив достоинства сеточного метода - хорошую обусловленность систем, получить достаточно эффективные средства для привязки к геометрическим формам областей произвольного вида. Однако при этом возник ряд других проблем, связанных с формализацией процесса дискретизации и зависимостью от нее результатов решения задачи, учетом краевых условий, большим объемом вычислений и получаемых результатов в виде таблиц, которые трудно использовать при проведении расчетов, необходимых для принятия инженерных решений и т.д. [46] .
Этих недостатков лишены классические вариационные методы, в которых в качестве алпроксимационного аппарата используются не сплайны, как в методе конечных элементов, а те или иные классические полиномы. Однако, с одной стороны, до последнего времени не было универсальных методов, позволяющих при построении базисных функций обеспечить удовлетворение краевых условий, а с другой - при таком подходе получались плотно заполненные матрицы, обусловленность которых быстро ухудшалась с ростом размерности аппроксимирующих цространств. Эти трудности считались принципиальными и сдерживали применение вариационных методов при решении краевых задач. Оказалось, однако, что их можно преодолеть на основе теории Ц - функций [зі,38]. В качествеаппроксимационного аппарата можно использовать как классические полиномы, так и функции с локальным носителем (сплайны, атомарные функции [34J ).
Решение задач алгебры является одним из сегментов единого пакета решения задач математической физики в условиях ГП "Поле" и поэтому обладает своей спецификой и определенными трудностями [47J , некоторые из которых перечислим: - все известные пакеты программ по линейной алгебре разрабатывались для их индивидуального использования, поэтому без серьезных переделок они не могут быть включены в более общие пакеты, так и в ГП серии "Поле"; - отдельные модули по решению конкретных задач обработки матриц, имеющиеся в библиотеках стандартного математического обеспечения ЭВМ не обладают программной совместностью с ГП серии "Поле", т.к. имеют разное количество формальных параметров и их назначение; - существующие программы в большинстве своем не снабжены модулями, производящими диагностику матриц, а в их описаниях отсутствуют указания об области оптимального применения конкретной программы; - практически отсутствуют программы для решения систем большого порядка с профильными матрицами и еще трудней обстоят дела с обобщенными задачами на собственные значения с разреженными матрицами больших порядков (1000 и более). В связи с вышейзложенным.. возникла необходимость в создании специального математического обеспечения, которое бы не только покрывало предметную область задач математической физики, решаемых в условиях ГП серии "Поле", но и автоматически стыковалось со всем вычислительным процессом. В настоящее время библиотекой модулей ГП серии "Поле" адекватно покрывается предметная область задач алгебры, возникающих при решении задач расчета полей различной физико-механической природы. Предметная область данного сегмента состоит из 1) формирования соответствующих краевым задачам матриц; 2) решения систем линейных алгебраических уравнений; 3) решения обобщенной проблемы собственных значений; 4) решения нелинейной проблемы собственных значений для полиномиальных матриц [48] . Данная диссертационная работа: посвящена математическому обеспечению задач линейной алгебры,возникающих при расчете полей различной физической природы,в условиях эксплуатации генератора программ (ГП) "Поле-3". Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. В первой главе приводится основная система к - функций, рассматриваются вопросы математической постановки задач расчета физических полей, делается краткое описание структурно-вариационного метода решения задачи, решается задача обтекания бесконечного цилиндра, для которой автор построил структурную формулу, делается анализ источников и типов вычислительных задач алгебры, возникающих при редукции задач математической физики, излагаются основные цринципы построения автоматизированной системы программирования "Поле-3", базовым математическим аппаратом которой является метод Ц - функций.
Основные принципы построения автоматизированной системы (ГП) "Поле-3"
Опишем более подробно, как зависят от информации А - Е (с учетом сервиса) вычислительные алгоритмы и режим работы ПС.
Информация А влияет почти на все вычислительные схемы алгоритмов, реализованных как в отдельных программах, так и в рабочем комплексе программ в целом.
Это значит, во-первых, что все модули с переменной структурой, т.е. алгоритм которых зависит и от информации А, должны адаптироваться к ней. Под адаптацией модуля здесь понимается не только внутрення перестройка модуля на данный алгоритм, а и осуществление вырезок (или вставок) в модулях тех операторов, идентификаторов и массивов, которые при реализации данных алгоритмов в работе не должны (или должны) участвовать; во-вторых, должна видоизменяться (расширяться или сужаться) внешняя связь между модулями; в-третьих, вычислительный процесс должен настраиваться на решение поставленной проблемы.
Вся эта настройка производится специальной программой-конструктором с помощью таблиц, содержащих, в соответствии с предметной областью информации А, список имен текстов в определенном порядке следования, согласно которому будут компилироваться модули, и таблиц, содержащих тексты групп модулей, близких по своей структуре, из которых компилируются тела модулей.
Информация Б содержит аналитическую информацию о физических процессах, происходящих внутри тел (в оощем случае сложных геометрических форм), которая сопровождается информацией (если она необходима) о возбудителях поля и их форме, о формах подобластей с разнородными средами и функциями, характеризующими эти разнородные среды. Информация Б влияет на отдельные вычислительные алгоритмы и, в зависимости от вида уравнений, может подключать необходимые модули к рабочему комплексу программ для реализации соответствующих вычислительных алгоритмов.
Информация В является также аналитической и сопровождается следующей информацией: - о нагружающих функциях и участках границ (в общем случае сложных), на которых они заданы; - о функциях и участках границ, присутствующих в краевых условиях с косой производной; - о формах подобластей с разнородными средами и их характеристиками. Кроме отмеченной выше информации краевые условия (в зависимости от применяемых конструктивных средств метода R, -функций) могут сопровождаться дополнительной, обладающей некоторым сервисом, информацией: - об аппроксимационных средствах и их носителях; - об участках границ, на которых заданы различные типы краевых условий, и особенностях их построения; - о функциях, продолжающих граничную информацию во внутрь области; - о весовых функциях и т.д. Информация В в основном влияет на выбор специальных (сменных) модулей, реализующих вычислительные алгоритмы по данным краевым условиям.
Присутствие информации Г о форме областей и участков их границ, задаваемой системой уравнений, неравенств и логическими формулами, вызвано необходимостью решать краевые задачи в областях сложной формы. Эта информация используется как для конструирования решений, так и для определения областей (с помощью предикатов), в которых действуют возбудители поля или функции, характеризующие разнородные среды и др. Информация Г сопровождается базовыми подобластями и влияет на вычислительные алгоритмы по преобразованию (методом II - функций) геометрической информации в аналитическую.
Информация Д о методах решения формирует "инструментальную базу", с помощью которой решается задача, и требует наличия больших сервисных возможностей. Она включает в себя информацию о методе, с помощью которого формируются матрицы, и о методе, с помощью которого решаются системы алгебраических уравнений или находятся собственные числа и собственные векторы. При этом каждый из указанных методов сопровождается своей дополнительной информацией.
Так, например, если задача решается с помощью метода Ритца, то для того, чтобы сформировать матрицу системы Ритца, необходимо задать информацию о методе интегрирования по области (подобластях) и контуру (участках контура) в сопровождении соответствующих сеток, а также формулы для подинтегральных выражений, зависящих от вида основного уравнения, краевых условий, их коэффициентов. Естественно, что эта информация влияет и на все вычислительные алгоритмы.
Информация для оформления результатов от полученного решения по заданным расчетным формулам сопровождается информацией о виде формул, о подобластях, в которых необходимо получить результаты, о методе интегрирования и сопровождающей его сетке, а также в каком виде должны быть оформлены результаты, т.е. в виде ли таблиц, картин линий уровня на плоскости или объемных картин. Эта информация влияет на вычислительные алгоритмы по оформлению результатов и другие алгоритмы, имеющие непосредственную связь с данными.
Эксплуатационные возможности сегмента обработки матриц
Весь процесс генерации рабочего комплекса программ можно разбить на следующие фазы: трансляция директив; формирование имен модулей; генерация текстов информационных таблиц и модулей; формирование временной библиотеки; коррекция имен.
Входной пакет перфокарт для генератора программ серии "Поле" имеет паспорт для ОС - ДИСПАК и управляющую информацию. Управляющей информацией являются директивы мониторнои системы ДУБНА и программа, написанная на входном языке генератора. После установки режима работы генератора программ первая встреченная текстовая карта (если она не начинается с символа " х " ) воспринимается мониторнои системой как программа. В этом случае активизируется головной сегмент (резидентная часть) генератора, который загружает в оперативную память управляющую часть процессора входного языка, монитор синтаксических анализаторов (дешифраторов ).
Процессор входного языка осуществляет ввод всей исходной программы и ее трансляцию. Процессор трансляции сегментирован по каждой из директив.
Во время трансляции создаются управляющие и числовые параметры в виде массивов РКП (рабочего комплекса программ), а также информационные таблицы для его компоновки. Массивы РКП заносятся в буферную память, а таблицы для его компоновки - в информационное поле системы (ИПС), которое используется только во время генерации РКП. После трансляции директив активизируется компоновщик, который для своей работы использует таблицы, созданные процессором входного языка. В функции компоновщика входит формирование имен модулей и блоков, а также компиляция текстов макрообращений и информационных таблиц для последующих фаз генерации РКП. Макрообращения осуществляют стыковку различных модулей в один функциональный блок. Информационные таблицы содержат данные для формирования временной библиотеки и коррекции собственных имен некоторых модулей с целью приведения их к стандартным для данной системы. Скомпилированные тексты модулей и таблиц, а также образы управляющих карт записываются на системный магнитный барабан в виде информации, аналогичной пакету перфокарт, обычно задаваемому пользователем, для мониторной системы ДУБНА. Обработка смоделированного пакета производится по управляющей директиве READ DRUM , которая включена в пакет пользователя.
При обработке смоделированного пакета транслируются макрообращения, информационные таблицы и аналитические модули, полученные в процессе трансляции исходной программы. Для их трансляции задействованы компилятор с АЯГОЛа ІДР, ассемблер с автокода МАДЛЕН и транслятор с ФОРЗРАНа, входящие в состав мониторной системы ДУБНА.
После трансляции формирователь временной библиотеки для доукомплектования РКП осуществляет поиск требуемых модулей в банке и загрузку их на системный магнитный барабан. В каталоге сформированной временной библиотеки корректор имен производит подмену собственных имен определенной части сменных модулей на стандартные для настройки рабочего комплекса программ решения конкретной задачи. Формирование временной библиотеки и коррекция имен происходит по информационным таблицам, составленным компоновщиком. Загрузка управляющего блока РКП в оперативную память ЭВМ осуществляется управляющей картой R Е A D DRUM 2 из пакета пользователя.
После ввода информации производится трансляция директив. Монитор дешифраторов распознает заголовок очередной директивы и сравнивает его с набором заголовка, имеющимся в таблице монитора. Если директива опознана, то вызывается соответствующий ей синтаксический анализатор.
Процессор директивы по решению задач линейной алгебры (рис. 5) состоит из управляющей программы монитор, транслятора, компилятора и блока адаптации модулей.
Монитор генератора реализует ввод входной информации и упаковку; распознает синтаксические единицы (директивы); анализирует полноту исходных данных; контролирует соответствие описанных (определенных) и встреченных (подлежащих определению) функциональных объектов; выдает листинг исходной программы и диагностику ошибок к ней.
Транслятор, состоящий из лексического и синтаксического анализаторов, осуществляет трансляцию директивы решения задач линейной алгебры. Компилятор - осуществляет генерацию аналитических модулей, реализующих вычисления значений аналитических выражений, заданных в директиве, в процессе счета. В случае отсутствия аналитических выражений в директиве компилируется фиктивный модуль. Блок настройки (адаптации) модулей осуществляет поиск в таблице имен модулей (стыковочный и исполнительный модуль по решению задач алгебры). Таблица содержит текстовую информацию, в которой попарно расположены имена модулей. Информационное поле представляет собой временные таблицы, которые используются в процессе трансляции директивы по линейной алгебре.
Основной временной таблицей создаваемой при трансляции входной программы, является таблица имен блоков и модулей, которые заданы пользователем во входной программе. По этим именам формируется РКП решения поставленной задачи. Элементы этой таблицы (ШШР) жестко закреплены за каждым синтаксическим анализатором. Так с 7 по 12 элементы таблицы ШШР, это имена модулей блока обработки матриц; 38 - имя модуля формирования матриц (FOR МАТ). Таблица КАРТЫ предназначена для работы компоновщика и заполняется в зависимости от информации присутствующей в директиве СВОИ. За каждым блоком РКП закреплена фиксированная ячейка таблицы КАРТЫ. Если в директиве СВОИ присутствует имя блока РКП, подключаемого с перфокарт, в соответствующую ячейку таблицы заносится специальный код. Для обработки матриц - 4, для формирователя матриц - 7. Компоновщик, анализируя таблицу КАРТЫ, устанавливает модули, которые не следует выбирать из банка генератора для компоновки РКП.
Применение тестовых матриц при решении задач алгебры
Для систем, полученных при помощи тестовых матриц, можно решать вопрос достоверности полученных решений. Для этого, исходя из реальных условий, можно вводить шумы как в матрицу, так и в решение, и в зависимости от этого получать оценки для правой части уравнения, или же выяснять влияние шумов на само решение, используя при этом известные формулы оценки достоверности решений, приведенные в работах [49, 50, 51, 52, 54] .
Наилучшим образом блок тестовых матриц зарекомендовал себя при подключении модулей алгебры для решения больших систем с профильными матрицами.
Так, для получения матрицы со следующей конфигурацией рис. 22 , с известным характером изменения элементов матрицы К ис N iOOO» достаточно использовать конфигурацию матрицы, представленную на рис. 20, и закон изменения элементов задать формулой указанную систему, т.е. )\ и 6 на МБ. В случае тестовой матрицы эта операция происходит менее чем за 10 минут.
В настоящее время в ГП "Поле-3" возникла необходимость решения систем линейных алгебраических уравнений с большими профильными матрицами [87] и в решении задач на собственные значения с большими матрицами ( N 1000 ). Тестовые матрицы в данном случае играют большую роль в ; апробации методов по решению вышеуказанных задач алгебры. В настоящей диссертационной работе получены следующие основные результаты: 1. Разработан пакет по линейной алгебре, функциональное на полнение которого, адекватно покрывает предметную область ге нератора программ "Поле-3", предназначенного для расчета полей различной физической природы и включает: - формирование систем линейных алгебраических уравнений; - решение систем линейных алгебраических уравнений с различными матрицами; - решение задач на собственные значения для регулярного и квадратичного пучка. 2. Разработан и реализован входной язык, обеспечивающий постановку задач алгебры в естественном для математики виде. 3. Создан процессор директивы по решению задач линейной алгебры, связанный с генератором программ посредством управляющей программы монитор. Созданы свои транслятор и компилятор. Интерфейс между рабочим комплексом программ генератора и пакета по линейной алгебре осуществляется с помощью сменного блока управления. 4. Создан блок тестовых матриц, математической основой которого является метод R. - функций. Матрицы строятся при помощи специализированных формул, которые несут информацию о геометрии матриц и законах изменения их элементов. Это позволяет оперативно тестировать алгоритмы, программы и пакеты программ по линейной алгебре на квазиреальных задачах в условиях реальной конкретной ЭВМ. 5. Предложенные результаты реализованы в системном наполнении генератора программ "Поле-3", который в течении 5 лет успешно эксплуатируется в Институте цроблем машиностроения АН УССР при решении задач математической физики на ЭВМ БЭСМ-6. Содержание диссертационной работы отражено в публикациях [36, 37, 90, 91, 92]. Результаты работы внедрены в генераторе программ "Поле-3" Института проблем машиностроения АН УССР, отчет о научно-исследовательской работе по теме В 56-78 : Разработка пакета алгоритмов и программ, реализующих метод R - функций для двумерных задач математической физики",У гос. регистрации: 78069289; в версии ГП "Поле-3" для ЕС ЭВМ в Харьковском авиационном институте; в версии ГП "Поле-3" на ВЦ СО АН СССР г. Новосибирск и в Днепропетровском госуниверситете. Данное математическое обеспечение разрабатывается в рамках тематического плана Института цроблем машиностроения АН УССР: бюджетная тема № 69, В IP 80023021 "Развитие математической теории R - функций и создание автоматизированного программного обеспечения современных ЭВМ для решения задач исследования, расчета и оптимизации физико-механических полей", руководитель академик АН УССР Рвачев В.Л., 1979-1983 г., постановление Президиума АН УССР от 16.02.79 г. №81. Автор выражает благодарность всем участникам разработки генератора программ серии "Поле", и в особенности своему научному руководителю академику АН УССР Рвачеву Владимиру Логвиновичу.
Похожие диссертации на Специальный комплекс программ для решения и исследования задач линейной алгебры в генераторе программ "Поле-3"
