Содержание к диссертации
Введение
1. Решение задачи о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения 23
1.1. Построение решения задачи РПР СПС для газа Дюпре в области физически допустимых значений входных параметров 23
1.1.1. Выбор типа и определение параметров модели РПР СПС 23
1.1.2. Втекание 27
1.1.3. Истечение 44
1.2. Ограничения на входные параметры задачи РПР СПС для идеального газа при звуковом истечении 64
1.3. О некоторых аспектах численной реализации варианта схемы С.К. Годунова для квазиодномерных уравнений в случае газа Дюпре 70
Выводы 78
2. Решение задачи о распаде произвольного разрыва в узле стыковки трех параллельных каналов и на локальном препятствии 80
2.1. Разделение потоков в узле стыковки трех параллельных каналов 80
2.2. Смешение потоков вузле стыковки трех параллельных каналов 89
2.3. Два типа моделей РПР для трубы с локальным препятствием 94
Выводы ИЗ
3. Расчет параметров газов в системах разветвленных каналов 115
3.1. Распад произвольного разрыва в узле стыковки под произвольным углом двух и трех каналов 115
3.2. Распад произвольного разрыва в узлах стыковки L- и Т-образных каналов 131
3.3. Распад произвольного разрыва в узлах стыковки П- и Ш-образных каналов 135
Выводы 139
Заключение 141
Список использованной литературы
- Выбор типа и определение параметров модели РПР СПС
- Ограничения на входные параметры задачи РПР СПС для идеального газа при звуковом истечении
- Смешение потоков вузле стыковки трех параллельных каналов
- Распад произвольного разрыва в узлах стыковки L- и Т-образных каналов
Введение к работе
Проблема расчета параметров газа на внутренних и внешних границах расчетных областей является одной из самых важных проблем в вычислительной газовой динамике. Граничные условия варьируются достаточно широко в зависимости от типа решаемых задач, поэтому вряд ли можно предложить метод, пригодный для всех случаев. Ниже рассматривается подход, приемлемый для расчета параметров газа на внутренних границах высокоскоростных легко газовых установок. Потребность в исследовании процессов и явлений, происходящих при высокоскоростном (свыше 3 км/с) полете и ударе, возникла и постоянно поддерживается в результате интенсивного развития космической техники. Поскольку прямые эксперименты на космических объектах чрезвычайно дороги и не всегда возможны, были разработаны средства высокоскоростного метания,
# то есть установки и устройства, позволяющие разгонять твердые тела (элемен ты) до высоких скоростей в лабораторных и полигонных условиях. Разные средства высокоскоростного метания базируются на различных физических принципах. Так, например, при метании взрывом тело ускоряется продуктами детонации взрывчатых веществ [83, 84, 66, 64, 85], в легкогазовых установках метаемый элемент разгоняется предварительно сжатым легким газом (водородом, гелием) [82, 87, 19, 40], а в электродинамических контактных ускорителях на тело действует сила Лоренца [114]. Среди средств высокоскоростного метания легкогазовые установки (ЛГУ) занимают особое место, поскольку предна значены для метания тел заданной массы и формы в заданном направлении.
Первая ЛГУ была разработана в США [103] в 1948 году и, судя по входным параметрам, предназначалась в качестве альтернативы существующим в то время артиллерийским системам. Однако в силу ряда причин она не смогла составить серьезную конкуренцию артиллерийским пушкам. К концу пятидесятых годов XX века легкогазовые установки оказались востребованными, и с тех пор Соединенные Штаты Америки являются мировым лидером в области высокоско-ростного метания из легкогазовых систем. Серьезным конкурентом США в этой области с начала 60-х годов прошлого века был только Советский Союз. В на 6 стоящее время ЛГУ, кроме Соединенных Штатов Америки, разрабатываются и используются при проведении экспериментов в Канаде, ФРГ, Франции, Израиле, Китае, Японии и в некоторых научных организациях России, в том числе в НИИ прикладной математики и механики (г. Томск) и в ВНИИ экспериментальной физики (г. Саров).
Классические легкогазовые установки состоят из имеющих общую ось симметрии пороховой камеры, поршневого и баллистического стволов, которые сопряжены между собой коническими переходниками. Пороховая камера ограничена неподвижной стенкой, а баллистический ствол вакуумирован. Объем поршневого ствола между метаемым телом и поршнем заполняется легким (рабочим) газом. После инициирования заряда в пороховой камере поршень под действием образующихся газов приходит в движение и начинает сжимать рабочий газ, который затем ускоряет метаемый элемент.
Одновременно с экспериментальной отработкой классических легкогазовых систем шел поиск новых схем метания из ЛГУ. Так в [22] предложена схема центрированного подгона метаемого тела. Чтобы исключить разрушение метаемого тела при больших сдвиговых напряжениях, в [48-51] сформулирован принцип свободного метания (метаемое тело в процессе разгона не должно соприкасаться со стенками канала), а в [58, 59] предложены легкогазовые системы с перетоком продуктов сгорания из пороховой камеры в камеру высокого давления. В Ливерморскои национальной лаборатории (США) разработан проект использования легкогазовых систем для непосредственного вывода в ближний космос капсул с грузами, которые могут выдержать большие ускорения. Для этого в [99] предложены L-образная, а в [37] Т- образная легкогазовые системы. Для уменьшения общей длины ЛГУ сотрудниками Балтийского государственного технического университета (г. Санкт-Петербург) предложена П-образная, а в [13] Щ-образная легкогазовые установки. Из перечисленных новых (нетрадиционных) схем ЛГУ были реализованы в металле только L- и П-образыые легкогазовые системы.
Высокая стоимость изготовления и эксплуатации легкогазовых систем требует тщательной предварительной теоретической проработки баллистических схем метания и математического сопровождения экспериментов. Такой теоретический анализ проводится в настоящее время с помощью компьютерных программ, позволяющих рассчитать внутрибаллистические характеристики выстрела из ЛГУ, Компьютерные программы реализуют конкретные алгоритмы решения систем уравнений в частных производных с краевыми условиями, которые моделируют процессы высокоскоростного метания в легкогазовых системах. Поэтому работы, связанные с математическим моделированием процессов выстрела из ЛГУ, а также с теоретическим обоснованием и построением алгоритмов и программ расчета внутри баллистических параметров как внутри, так и на границах расчетных областей, являются актуальными.
К середине 70-х годов прошлого века в Советском Союзе и США были созданы компьютерные программы расчета выстрела из классических ЛГУ, учитывающие его основные особенности, в частности, волновые процессы в легком и пороховых газах, силы сопротивления поршню и снаряду при их движении по поршневому и баллистическому стволам, силы сопротивления деформации материала поршня при его движении в коническом переходнике [35, 39, 36, 76, 45]. К настоящему времени при расчете предельных режимов выстрела из ЛГУ учитывается взаимодействие потока легкого газа со стенками поршневого и баллистического стволов (теплоотдача стенкам, плавление и унос материала стенок, засорение рабочего газов), реальные термодинамические свойства легкого газа, сжимаемость материала поршня [17, 101, 87, 88,38].
Частные точные и оригинальные численные алгоритмы решения задач о метании свободного тела, а также расчеты одноступенчатых баллистических установок как со свободным метаемым элементом, так и со скачком площади поперечного сечения представлены в [48, 51,36, 60, 61, 81, 58, 59,42,43, 53-56, 67, 33]. Параметрические расчеты П-образных легкогазовых систем и ЛГУ с пере током продуктов сгорания из пороховой камеры в камеру высокого давления проводились Л.С. Нарежневым и 10.Ф. Христенко. В [24] разработан пакет программ для расчета течения газа в каналах, содержащих характерные типы местных сопротивлений. Каждая нетрадиционная ЛГУ, как объект математического моделирования, представляет собой систему каналов постоянного и переменного сечения, в которых движутся газы, поршень и метаемое тело. В отличие от классических легкогазовьгх систем в этих каналах имеются особенности типа скачков площади поперечного сечения, препятствий, не полностью перекрывающих каналы, узлов разветвлений и соединений, как параллельных каналов, так и под углом, а также узлов поворота и разворота газа. В газовой динамике по аналогии с гидравликой особенности подобного типа часто называются местными сопротивлениями (МС). В некоторой окрестности каждого МС поток газа испытывает заметное пространственное воздействие, Конечно, высокоскоростные потоки газа в таких каналах можно рассчитывать, привлекая для всей области расчета или для некоторой ее части нестационарные уравнения газовой динамики с двумя или тремя пространственными координатами. Однако проведение неодномерных расчетов не всегда оправдано, поскольку требует привлечения большого объема вычислительных ресурсов [27, 28, 67, 20]. Поскольку во всех легкогазовых системах продольные длины каналов существенно превосходят их поперечные размеры, ниже рассматривается следующий альтернативный подход.
Эксперименты показывают, что при взаимодействии ударной волны с МС течение, возникающее после распада ее начального фронта, существенно неодномерное. Однако в некоторой окрестности МС устанавливается квазистационарное течение, а вне ее у вновь образованных волн поперечные возмущения за их фронтами затухают [63, 90, 100, 102, 104-113, 115]. Поэтому при описании течений газа в каналах с местными сопротивлениями возможна следующая схематизация. С помощью сечений выделяется участок (зона) локального воздействия. Вне зоны течение считается одномерным, а разделяемые этим участком потоки связываются между собой соотношениями на некоторой искусственно вводимой поверхности разрыва (в ряде случаев вводятся две поверхности разрыва). При этом интегральное влияние разрыва (разрывов) на поток должно быть эквивалентно воздействию на поток выделенной зоны. Кроме этого упростить математические модели позволяют следующие обстоятельства. В первом приближении легкий и пороховые газы можно полагать невязкими и нетепло-проводными, а теплоотдачу газов стенкам стволов не учитывать. Таким образом, при выбранном подходе процессы в нетрадиционных ЛГУ описываются квазиодномерными уравнениями газовой динамики и газодинамическими уравнениями внутренней баллистики в приближении Эйлера в ряде подобластей, каждая из которых ограничена либо двумя внутренними, либо одной внутренней и одной внешней границами. Внешней границей может быть либо неподвижная стенка пороховой камеры, либо левая сторона метаемого тела или правый конец баллистического ствола, а внутренней - левая или правая сторона поверхности разрыва, моделирующего соответствующее местное сопротивление. На поверхностях разрывов выполняются энтропийное неравенство, а таюке законы сохранения массы и энергии. В законе сохранения импульса учитываются его потери на МС, которые зависят от вида местного сопротивления. В каждой подобласти вводится в общем случае неравномерная по времени и по пространственной координате разностная сетка. В начальный момент времени значения скорости, давления и плотности газа в узлах этой сетки известны. Для определения параметров газа в следующий момент времени, как правило, привлекаются явные, однородные конечно-разностные схемы, аппроксимирующие исходную для данной подобласти систему уравнений в частных производных [21, 46, 5, 101, 34]. Расчеты обычно проводятся с общим для всех подобластей шагом по времени, выбираемым из условия устойчивости разностных уравнений. Чтобы замкнуть алгоритм расчета, на каждом шаге по времени необходимо определить параметры газа на внешних и внутренних границах каждой подобласти. После этого процесс расчета повторяется. Особые сложности возникают при определении параметров газа на внутренних границах. Цель диссертационной работы - теоретически обосновать и построить алгоритмы и программы расчета параметров газа на внутренних границах, моделирующих в нетрадиционных ЛГУ местные сопротивления. Она достигается следующим образом. Поверхность разрыва, соответствующую конкретному МС, располагают на границе подобластей между соседними узлами разностной сетки. Тогда параметры газа на поверхности можно определить, решив задачу об обобщенном распаде произвольного разрыва, который возникает при взаимодействии двух масс газа, находящегося в соседних ячейках. Полученное решение справедливо в течение шага по времени. Заметим, что при расчете легкогазовых систем можно считать, что для легких и пороховых газов справедливо уравнение состояния Дюпре [47, 57, 79].
Специфика течений газов в ЛГУ предъявляет вполне определенные требования к решениям задач обобщенного РПР:
- адекватность решений задач обобщенного РПР реальным физическим про цессам, происходящим в переходной области;
- существование и единственность решений задач обобщенного РПР для всех физически допустимых значений входных параметров;
- простота в реализации алгоритмов решения обобщенных задач РПР.
Удовлетворить в максимальной степени всем перечисленным выше требовани ям вряд ли возможно, поэтому приоритет отдавался первым двум. Соблюдение первого требования означает верифицируемость законов сохранения массы, импульса и полной энергии а также условия неубывания энтропии на линии разрыва. В алгоритме следует также предусмотреть возможность согласования результатов численных расчетов с имеющимися экспериментальными результатами, либо расчетными данными задач в более строгой постановке. Такое согласование достигается за счет разумной схематизации РПР, отражающей сущест венные физические аспекты рассматриваемого процесса и в то же время содер жащей неопределенность (параметрические соотношения) в задании характери стик МС, которая не может быть снята без привлечения дополнительной ин формации извне. Второе требование означает возможность доказательства су ществования и единственности решений задач обобщенного РПР во всей облас ти определения её входных параметров. То есть предварительно должно быть исследовано качественное поведение решений соответствующих задач для всего диапазона значений входных параметров, и при необходимости предусмотрена возможность доопределения решений там, где они не существуют. Третье из перечисленных требований предполагает «экономичность» алгоритма в смысле максимально возможного сбережения ресурсов (машинных, логических и т. п.).
Построение алгоритмов решения обобщенных задач РПР для некоторых типов МС в контексте перечисленных выше требований и составляет новизну результатов данной работы. Основная идея решения состоит в том, что члены, учитывающие потери импульса на соответствующих МС, задаются с константным произволом. Впервые параметрический способ задания реакции потока на уступ для скачка площади поперечного сечения канала был предложен в работе [29]. Дальнейшее развитие этого подхода в настоящей работе позволило сконструировать алгоритмы РПР для ряда характерных типов МС, полностью удовлетворяющим первым двум упомянутым выше требованиям. Особо следует отметить, что с методологических позиций в работе реализован один из возможных подходов к решению обобщенных задач РПР, который, по мнению автора, позволяет с наибольшей полнотой и конкретностью осветить важнейшие аспекты этих решений. Получить аналогичные результаты на основе иных подходов, например, [95, 97, 23], либо не удается, либо представляется проблематичным.
Практическая применимость работы состоит в том, что предложенные в ней обобщенные алгоритмы РПР могут быть использованы при расчете течений газа в каналовом приближении в системах труб постоянного и переменного сечения с такими местными сопротивлениями как скачки площади поперечного сечения, препятствия, не полностью перекрывающие трубу, узлы разветвлений и соединений как параллельных труб, так и под углом друг к другу, а также узлы поворотов и разворотов газа.
К настоящему времени решения классической задачи РПР построены для достаточно широких классов уравнений состояния. Так для изотермического газа задача РПР как основная модельная задача для описания разрывных течений была рассмотрена ещё в позапрошлом веке Б. Риманом [77]. В [62] Н. В. Кочи-ным был рассмотрен случай политропного газа, а в [65] Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем проведено качественное исследование задачи РПР для нормального газа. В более поздних работах [68, 78, 91] приведено решение классической задачи РПР для нормального газа, причем в [68, 78] доказываются существование и единственность решения, а также приводятся формулы для расчета параметров течения. В [91] рассмотрен алгоритм решения задачи РПР для сред с двучленным уравнением состояния. В [1] решение задачи РПР получено для произвольного выпуклого уравнения состояния, удовлетворяющего условиям Бете-Вейля, При этом авторами отмечено, что нарушение условия выпуклости может повлечь неединственность решения. Алгоритм, предложенный в [92], при тех же ограничениях на уравнение состояния, что и в [1], требует меньшего объема вычислительных ресурсов. Использование условия выпуклости позволяет свести расчет распада разрыва к последовательному интегрированию систем дифференциальных уравнений для определения давления и плотности на контактном разрыве с учетом монотонной зависимости разности давлений на КР от шага интегрирования. В [93] для выпуклых уравнений состояния значения газодинамических параметров вблизи точки распада разрыва рассчитываются с помощью разложений соответствующих функций в ряды. Такой подход позволяет рассчитать газодинамические функции на линии t = const для всех возможных конфигураций распада разрыва. При отсутствии автомодельных решений у неоднородных систем уравнений гиперболического типа решение задачи РПР в [80] предложено искать в классе ДП-решений.
Можно выделить два основных аспекта практического использования решений классической задачи РПР. Первый - при получении решений некоторых задач газовой динамики о взаимодействии сильных разрывов, например [78, 89], второй - при построении ряда разностных схем для численного интегрирования газодинамических уравнений и при расчете граничных параметров газа, например, [21, 91, 46, 32, 101].
В работах [63, 90, 100, 102, 104-113, 115] проведено детальное исследование волновых процессов в каналах переменного сечения. На основе изучения экспериментальных данных были установлены закономерности, подтверлсдаю-щие гипотезу о квазиодномерном характере течения в окрестности изменения поперечного сечения канала. Эти исследования подготовили почву для обобщения классической задачи РПР на случай канала со скачком площади поперечного сечения. Впервые задача РПР СПС поставлена и решена В.Г. Дуловым [29], а позднее независимо - И.К. Яушевым [95]. Более поздние работы этих авторов и их сотрудников привели к появлению теории обобщенных задач о распаде произвольного разрыва [31].
Для дозвуковых течений идеального газа в [16] приведен алгоритм расчета течения в окрестности скачка площади сечения, основанный на предположении об изоэнтропичности течения в этой зоне. Показано хорошее совпадение численного решения с аналитическим и данными эксперимента. В [86] решение задачи РПР СПС конструируется в области допустимых значений параметров. Реакция R уступа предполагается функцией числа Маха набегающего потока. В [18] для описания нестационарного движения идеального газа в системе каналов используется понятие сеточного графа, узлы которого содержат МС. Для определения параметров течения в узлах графа используются интегральные законы сохранения и соотношения на характеристиках.
В рассмотренных выше моделях квазиодномерньгх течений влияние МС на поток учитывается посредством привлечения дополнительной информации, полученной гипотетически или из эксперимента. Возможен иной подход к определению интегральных характеристик потока в зонах локального воздействия. В [25, 26] для замыкания системы уравнений, связывающих параметры газа в переходной области, привлекается гипотеза о независимости коэффициента восстановления давления от любых геометрических воздействий на поток. В [25] приведены результаты расчета весового коэффициента среднего давления РР для адиабатических течений идеальной сжимаемой жидкости и несжимаемых течений газа в канале с внезапным расширением. В последнем случае с доверительной вероятностью, большей 0.95 и удовлетворительной погрешностью показано совпадение расчетного и опытного значений рр. Сформулированная в [25, 26] гипотеза позволяет расширить область применения квазиодномерного подхода при описании течений газа в каналах сложной геометрии.
В цитируемых выше работах решение задачи РПР получено для различных типов конфигурации переходной области. В [16] рассматривается процесс дозвукового истечения из широкой части канала в узкую. Выбор соотношений на СПС обуславливается предположением об изоэнтропичности течения. В [23] исследуется процесс распада произвольного разрыва на перфорированной перегородке, возникающий при "нормальном" падении на нее ударной волны. Перетекание газа через перегородку трактуется в модели как поджатие газа в минимальном сечении перегородки, которое происходит изоэнтронически, с последующим его расширением. В [29, 95,30, 86] алгоритм решения задачи РПР СПС рассчитан на достаточно широкий диапазон начальных данных, включающих как дозвуковые, так и сверхзвуковые течения.
Соотношения на разрыве в этих работах (кроме [16] и, при сужении потока, в [23]) выражают законы сохранения массы, импульса и энергии. Для стыковки произвольной геометрической конфигурации в [31] качестве одного из возможных вариантов реакцию МС на поток предлагается учитывать с помощью коэффициента местного сопротивления (КМС). В этом случае используется соотношение, выражающее зависимость разности полных давлений от величины КМС.
В цитируемых различия в подходах разных авторов формально обуславливаются выбором скалярной формы уравнения импульса. Фактически же эти различия отражают конкретные методологические аспекты поставленной проблемы и подходов авторов к ее решению. Дополнительным доводом в пользу выбора конкретной модели служат, как правило, результаты экспериментальных исследований либо расчетные данные аналогичных задач.
В случае скачка площади поперечного сечения реакция уступа на поток в [95, 96, 98, 86, 23, 29-31, 8] характеризуется силой лобового сопротивления R = p (S] -S2), где 5] и 5 2- площади поперечного сечения соответственно для широкой и узкой частей канала, а величина р представляет собой среднее значение давления на уступе. В соответствии с терминологией [95] движение газа из широкой части канала в узкую будем называть истечением, а в обратном направлении - втеканием. В [95] р полагается равным давлению в широкой части канала для любого из указанных направлений. Система уравнений на разрыве оказывается при этом однозначно разрешимой относительно параметров за скачком (по направлению движения), так как число уравнений в этом случае совпадает с числом неизвестных. Более сложная зависимость величины р от параметров потока на скачке площади сечения представлена в [30]. Для процесса истечения величина р задается в виде р -р0 +с pQitQ /2, 0 с 2, а для процесса втекания в виде р = ср\, 0 с 1, где с и с - параметры, индексы "0" и "1" соответствуют значениям параметров в широкой и узкой части. При этом допустимыми считаются только те значения параметров потока, которые удовлетворяют условию неубывания энтропии при переходе через СПС.
Задача о разделении потоков на два параллельных [98] трактуется как обобщение задачи о распаде разрыва в канале со скачком сечения. Величина р в этом случае определяется как р = р0 + p0Mo - Система уравнений для определения неизвестных за линией разрыва при определенных ограничениях на входные параметры, которые подробно рассмотрены во второй главе, оказывается замкнутой после введения вспомогательного сечения, которое условно разделяет канал, стыкующийся с двумя другими, вдоль его осевой линии. Алгоритм решения сводится к последовательному решению двух задач РПР СПС, которое в этом случае определяется однозначно. В схеме решения задачи о смешении потоков [96] также используется условное разбиение вдоль осевой линии канала, в котором происходит смешение, а величина р в соответствующих задачах РПР СПС в зависимости от величины промежуточного сечения принимает одно из возможных значений давления слева от линии разрыва.
В случае перфорированной перегородки [23] связь между параметрами в минимальном сечении перегородки и в канале постоянного сечения при расширении потока задается также с помощью величины р\ характеризующей среднее давление на перегородку справа от нее. Для режимов дозвукового перетекания, а также для режимов с "запертыми" отрывными зонами, при которых справа от перегородки значения параметров потока не зависят от волновой структуры, величина р полагается равной давлению в минимальном сечении перегородки. Если распределение давления по стенкам переходной области заранее неизвестно, то уравнение импульса может быть задано иным способом. В [69-75, 31 ] влияние МС на поток учитывается с помощью коэффициента местного сопротивления у, который характеризует потери полного давления при переходе через МС и задается соотношением [31] рк - pl =%klpku\i2, где звездочкой отмечаются значения полного давления в каналах с индексами к и /, а величина к! полагается известной априори. В [41] исследуется зависимость КМС от геометрических характеристик МС для каждого из случаев поворота, внезапного расширения или сужения канала, а также для плоского тройника.
Следует отметить, что исследование и выявление математических и физических закономерностей для каждой из рассматриваемых моделей распада разрыва является достаточно сложным и трудоемким процессом даже в том случае, когда газ идеальный. Для более сложного уравнения состояния (например, газа Дюпре) емкость математических выкладок существенно возрастает. Кроме того, в этом случае невозможно получить точное решение в явном виде в зоне волны разрежения, и для его отыскания в первой главе конструируется итерационный алгоритм с использованием метода касательных Ньютона.
В настоящей работе решение задачи о распаде произвольного разрыва в случае газа Дюпре отыскивается в области допустимых значений входных параметров для некоторых типов МС. Реакция R в уравнении импульса для рассматриваемого класса задач задается в виде функции, зависящей от величины среднего давления р на стенках переходной области и геометрических параметров МС. При этом зависимость величины р от параметров потока задается с константным произволом, что позволяет варьировать величину реакции потока на МС в границах области допустимых значений параметров-констант. Система соотношений на разрыве, рассматриваемая как система квадратных уравнений относительно параметров потока в зонах, прилегающих к линии разрыва, оказывается однозначно разрешимой, и анализ важнейших свойств квазиодномерного процесса фактически сводится к исследованию соответствующих функций параметров потока с одной стороны от линии разрыва, что позволяет в ряде случаев определить границы областей допустимых значений параметров, в которых эти свойства выполняются.
В частности, в случае скачка площади поперечного сечения и проницаемой поверхности удается определить границы областей существования и единственности решения, удовлетворяющего законам сохранения массы, импульса и энергии, а также условию неубывания энтропии. Указаны также условия, при которых оказывается возможным возникновение специфических режимов течения газа, в частности, "запертых" режимов, течения с неподвижной ударной волной в переходной области.
Отметим, что выбранный способ задания соотношений на разрыве основан на использовании информации о геометрических характеристиках местных сопротивлений и дополнительных упрощающих предположений о распределении давления на стенках переходной области.
Резюмируя вышеизложенное, основные задачи диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:
1. Построение замкнутого алгоритма решения задачи о распаде произвольного разрыва для характерных типов местных сопротивлений. В частности, решены задачи:
- о распаде произвольного разрыва на скачке площади поперечного сечения для газа Дюпре. В том числе случае исследуется решение задачи РПР для газа Дюпре при отсутствии МС как обобщение [68,91];
- о распаде произвольного разрыва на перфорированной перегородке; - о распаде произвольного разрыва на проницаемой поверхности;
- о разделении потоков;
- о смешении потоков;
- о распаде произвольного разрыва в каналах, стыкующихся под углом друг к
Другу;
- о распаде произвольного разрыва в произвольном тройнике.
2. Исследование проблемы существования и единственности решения задач, перечисленных в п. 1.
3. Исследование параметрической структуры соотношений на разрыве с целью формулирования условий возникновения возможных конфигураций и режимов течения газа.
Решение перечисленных задач строится в соответствии с методологическими принципами исследования, которые можно сформулировать следующим образом.
1. В качестве граничных условий расчетных областей квазиодномерных течений в каналах сложной конфигурации предложено точное решение задачи о распаде произвольного разрыва для характерных типов местных сопротивлений. Решение задачи отыскивается в области допустимых значений входных параметров.
2. Границы области допустимых значений параметров отыскиваются с помощью варьирования параметров-констант для заданного типа реакции местного сопротивления, зависящей от геометрических характеристик переходной области и величины среднего давления на ее стенках.
3. Возможный произвол в задании параметров-констант позволяет согласовать решение задач РПР с экспериментом либо с расчетными данными задач в более строгой постановке.
4. На основе проведенного исследования конструируется достаточно эффективный алгоритм расчета граничных условий расчетных областей квазиодномерных течений в каналах сложной конфигурации.
В первом разделе на примере задачи РПР СПС рассмотрены принципиальные аспекты моделирования течения газа в окрестности МС и предложена схема РПР, которая служит основой алгоритмов более сложных моделей, рассматриваемых в последующих разделах.
В 1.1 рассматривается задача РПР СПС для газа Дюпре. Требования к модели РПР СПС определяются спецификой прикладных задач, в которых эта модель используется (выше эти требования были рассмотрены детально), а тип модели РПР СПС определяется структурой соотношений на разрыве (СПС). Естественно, модель должна быть в максимальной степени информативной, т.е. содержать характеристики наиболее существенных аспектов решения задачи, таких, как проблема существования и единственности решения, условия возникновения различных режимов и т. п. Этим требованиям удаётся удовлетворить, если соотношения на СПС задавать с параметрическим произволом. Показано, что в этом случае зависимость от параметров-констант отношения энтропийных функций по обе стороны от СПС носит монотонный характер. Указан допустимый интервал изменения параметров-констант. Показано, что при фиксированном значении параметров в задании реакции уступа на поток условия возникновения конфигурации с промежуточным скачком площади сечения оказываются выполненными на некотором подмножестве начальных данных при втекании и не выполняются при истечении. Доказана совместность системы квадратных уравнений, связывающих параметры газа на разрыве, для произвольных значений начальных параметров потока. Исследована зависимость типа конфигурации от величины скачка площади поперечного сечения. Заметим, что в случае, когда реакция потока на уступ при втекании задавалась как функция параметров потока в широкой части канала [97], аналогичные результаты получить не удалось.
В 1.2 исследуется специфика так называемых "запертых" режимов истечения, при которых скорость газа за СПС при истечении равна скорости звука. Указаны условия возникновения различных режимов течения газа, в частности, ограничения на входные параметры задачи при звуковом истечении. Найдена верхняя граница значений СПС, при которых возможно сверхзвуковое истечение газа. В 1.3 рассматривается вариант схемы С. К. Годунова, учитывающий изменение скачка поперечного сечения. Показано, что явное решение в волне разрежения может быть получено только для идеального газа. Обоснован алгоритм выбора начального приближения при использовании метода Ньютона для нахождения значения р плотности в волне разрежения.
Второй раздел посвящен конструированию моделей, являющихся прямым обобщением либо модификацией модели РПР СПС и содержащих такой же либо меньший набор входных параметров. Первый тип моделей представлен системой параллельных каналов и перфорированной перегородкой, второй - проницаемой поверхностью.
В 2.1 решение задачи о разделении потоков в параллельных каналах, в отличие от [98], строится в области допустимых значений входных параметров. Условное разделение основного канала на два вдоль его осевой линии позволяет свести эту задачу к двум последовательным задачам РПР СПС при выполнении условия совпадения значений давления и скорости для каждой из задач РПР СПС в основном канале. Предложена модель, позволяющая расширить область допустимых значений входных параметров за счет изменения параметров-констант либо площади поперечного сечения потока в одном из разветвлений в результате предполагаемого отрыва потока от стенок канала.
В 2.2 рассматривается задача о смешении потоков в параллельных каналах. Здесь также решение отыскивается в области допустимых значений параметров. Поиск решения осуществляется в два этапа. Сначала отыскивается такое разбиение основного канала на два, при котором значения давления и скорости в каждом из этих каналов совпадают. Затем потоки массы, импульса и энергии в основном канале рассчитываются с применением процедуры осреднения.
В 2.3 с частичным обобщением для газа Дюпре исследуется задача о распаде произвольного разрыва на перфорированной перегородке. Предложено два варианта решения данной задачи. В первом случае перфорированная перегородка заменяется двумя последовательными скачками площади сечения с «проходным» сечением, равным сумме площадей отверстий перегородки. В качестве значений параметров потока по обе стороны перегородки берутся последовательные решения задач РПР СПС для случаев истечения и втекания. Для данного типа МС указана нижняя граница области допустимых значений параметра с„ в задании реакции уступа на поток при истечении. Во втором случае переходная зона заменяется поверхностью разрыва (проницаемой поверхностью), а реакция МС в этом случае пропорциональна величине скоростного напора. Показано, что энтропийное неравенство выполнено для любых наборов входных параметров, а ограничения на область допустимых значений параметров обусловлены требованием совместности системы квадратных уравнений на разрыве.
В третьем разделе задача РПР СПС обобщается на случай каналов, стыкующихся друг к другу под произвольным углом, а задачи о разделении и смещении потоков в параллельных каналах обобщаются для произвольного тройника. Решения этих задач для частного случая стыковки под прямым углом используются при расчете параметров газа в узле стыковки баллистического и поршневых стволов L-, Т-, П- и Ш-образных легкогазовых установок нетрадиционного типа.
В 3.1 решение задачи РПР для двух плоских стыкующихся под углом каналов и в общем случае плоского тройника конструируется на основе тех же подходов, что и в рассмотренных выше случаях. Для двух возможных вариантов стыковки каналов под острым и тупым углом соответственно указаны значения параметров, в окрестности которых решение задачи существует и единственно. В случае плоского тройника расчет РПР осуществляется в соответствии с методикой, изложенной в [69].
В 3.2 конструируется алгоритм расчета параметров газа в узле стыковки баллистического и поршневых стволов L- и Т-образных легкогазовых установок, предназначенных для непосредственного вывода в космос метаемых тел. Принципиальная схема Т-образной установки, в которой два одинаковых поршневых ствола с общей осью состыкованы под прямым углом с баллистическим стволом, предложена в работе [37]. Процесс выстрела происходит так, что поршни движутся симметрично относительно баллистического ствола. Хотя конструкция установки существенно отличается от классической легкогазовой системы, для описания течения легкого газа в каждом из стволов вполне применима схема, использованная в предыдущих разделах.
В 3.3 алгоритм РПР модели легкогазовой установки L-образного типа обобщен для П- и Ш-образных легкогазовых установок. В П-образной ЛГУ оси баллистического и поршневого стволов параллельны друг другу, что позволяет существенно уменьшить обшую длину установки. Так же, как и в схемах предыдущих разделов, выделяется участок локальной неодномерности (переходная область), в которой происходит двукратное скачкообразное изменение площади поперечного сечения, а поток газа разворачивается на 180 . Расчет параметров газа в узле стыковки поршневых и баллистических стволов сводится, таким образом, к решению задачи РПР в П-образной системе каналов.
Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной научной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике» (Томск, 1997), Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах» (Улан-Удэ, 1999), Международной научно-практической конференции «Вторые Окуневские чтения» (Санкт-Петербург, 2000), Второй Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2000), Второй научной конференции Волжского регионального центра РА РАН «Современные методы проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения» (Саров, 2001), Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003).
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [2, 6-15], тезисах и аннотациях докладов [3, 4].
Автор диссертации выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю старшему научному сотруднику к.ф.-м.н. В. В. Жаров-цеву за огромную помощь, постоянную заботу, терпение и внимание и профессору д.ф.-м.н. Л. В. Комаровскому за большую организационную поддержку при выполнении работы.
Выбор типа и определение параметров модели РПР СПС
Скачок площади поперечного сечения можно считать одним из наиболее характерных типов местных сопротивлений в системах каналов сложной конфигурации. При численном интегрировании уравнений газовой динамики, описывающих течение газа в квазиодномерном приближении в прямолинейном канале, имеющем СПС, решение задачи РПР СПС, как было указано выше, может быть использовано в качестве граничных значений расчетных областей плоских одномерньж течений. Ниже будет показано, что такое решение (параметрическое) в классе автомодельных решений существует и при фиксированных значениях входных параметров задачи является единственным. Указаны также границы области изменения входных параметров, в которой решение задачи РПР СПС удовлетворяет условию неубывания энтропии.
Автомодельное решение задачи РПР СПС конструируется из скачка площади сечения, контактного разрыва, ударных волн и центрированных волн разрежения, которые граничат с зонами постоянного течения. Каждый из перечисленных выше элементов разделяет эти зоны таким образом, что параметры газа по обе стороны оказываются связанными однозначно разрешимыми соотношениями. Принципиальные отличия в подходах разных авторов к решению задачи РПР СПС обусловлено выбором трех конкретных соотношений, связывающих параметры газа по обе стороны от скачка. Два из них - это законы сохранения массы и полной энергии, а в качестве третьего используется либо условие сохранения энтропии [78, 23, 16] либо закон сохранения импульса [29-31, 95, 96, 98, 8].
При всей общности подходов в моделировании газодинамических процессов, возникающих при РПР на СПС, и сходстве построенных математических моделей, необходимо отметить, что каждый способ задания функциональной зависимости параметров одномерного потока по обе стороны от СПС диктует собственную логику исследования и выявления закономерностей течения для данной модели. Предложенный ниже способ задания соотношений на разрыве позволяет выявить существенные свойства решения задачи РПР СПС с точки зрения корректности математического моделирования (существование и единственность решения), построения алгоритма решения (выявление условий возникновения конфигураций заданного типа и доказательство возможности либо невозможности их появления при заданных начальных условиях), а также адекватности математической модели реальным физическим процессам (возможный произвол в задании входных параметров модели, позволяющий при необходимости осуществлять ее коррекцию).
Для вывода соотношений на разрыве воспользуемся уравнениями, выражающими интегральные законы сохранения в эйлеровых координатах. Рассмотрим в фазовой плоскости x,t прямоугольный контур С с боковыми сторонами х = х , х-х" и основаниями t tu t = t2 (рис. 1.1, а). Здесь х , х" -координаты произвольных сечений х1 - х и х" - х" соответственно слева и справа от СПС, х - координата СПС (рис. 1.1, б), Ц и t2 - произвольные моменты времени. \Si,X X Здесь полагаем по определению s(x,?) = -j _, р = p {x ,t) = p (x",t), [s2,x х Предполагая также отсутствие в пространстве объёмных источников энергии и пренебрегая процессами теплопроводности, уравнение энергии можно записать в виде jsp(e + и212)dx - [spii(e + и2/2 + p/p)]dt = 0. (1.3) с
При неограниченном сближении боковых сторон контура с учетом того, что дифференциал dx стремится к нулю, а пределы интегрирования по времени произвольны, получаем предельные соотношения для подынтегральных функций, связывающие параметры газа слева и справа от линии разрыва s\Pkuk=SlPlub (1 4) «і ІРк + Pkul) = si(Pi + Piul) + К (1 -5) s)Pkuk(ek +pkfpk+ul 12) = s2p,u1(e, +Pi/pi+ uf 12). (1.6) В (1.4)-(1.6) "1" и "2" - соответственно индексы площадей большего (широкой части) и меньшего (узкой части) поперечных сечений канала, к я і индексы прилегающих к СПС зон постоянного течения в широкой и узкой частях канала соответственно, Rs = /? (S] -s2).
Величина р в последнем равенстве представляет собой усредненную реакцию единицы площади стенки уступа на поток. Для ее определения необходима дополнительная информация. Представляется очевидным, что при выборе р следует исходить из того, чтобы функциональная зависимость была достаточно простой, решение задачи при этом не противоречило второму закону термодинамики, и для согласования с экспериментальными или теоретическими данными оставался некоторый произвол. Поэтому ниже соотношение для р взято не с функциональным, как в [86], а с константным произволом, причем при выборе соотношения учитывались рекомендации монографии [30]. На основе подходов, изложенных в [29, 95, 86], ниже конструируется замкнутый алгоритм решения задачи РПР СПС для газа Дюпре, удовлетворяющего на скачке площади поперечного сечения законам сохранения массы, импульса, энергии и неубывания энтропии. Рассматриваются вопросы существования и единственности решения, а также исследуются особенности решения для идеального газа (в этом случае указаны ограничения на входные параметры задачи, при которых в узкой части канала не происходит сверхзвукового истечения). Требование выполнения энтропийного неравенства накладывает ограничения на область изменения величины р . Покажем, что решение рассматриваемой задачи всегда существует, причем величина р изменяется в пределах, естественных с точки зрения физической интерпретации.
Процесс перетока газа из широкой части канала в узкую согласно терминологии [29, 95] будем называть истечением, из узкой части в широкую -втеканием. Положительным считается направление истечения. С учётом введенных обозначений конкретная конфигурация, возникающая при РПР, может быть представлена как последовательность символов, например, RBRTS, (R,S)TB(R,S). Зоны постоянного течения будем обозначать цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Цифрами 1 и 2 соответственно обозначаются зоны слева и справа от скачка сечения до распада разрыва, 4 и 5 - после распада, 3 и У - по обе стороны от контактного разрыва в конфигурациях типа RBRTS, STSBR. Индексы параметров соответствуют номерам зон, которые для двух типов конфигураций схематически представлены на рис. 1.2, а, б.
Ограничения на входные параметры задачи РПР СПС для идеального газа при звуковом истечении
Нахождение величины давления, при котором дискриминант D обращается в нуль, является необходимым элементом расчета процесса истечения. Решение уравнения D = 0, в котором величины МА и р4 рассматриваются как функции давления р4, всегда существует. Для идеального газа факт существования и единственности решения в области допустимых значений остальных параметров удается доказать строго. Для газа Дюпре в силу непрерывности по а решение уравнения D = 0 существует и будет единственным, когда 0 а а . К сожалению, точное значение а аналитическими выкладками получить не удалось, так же, как и доказать при а О отсутствие промежуточного скачка сечения. Эти трудности удается обойти алгоритмически, если предусмотреть перестройку решения по a, a также допустить возможность появления промежуточного СПС.
Для газа Дюпре уравнение D = О может быть решено только с помощью итерационного процесса, в котором все искомые величины рассматриваются как функции давления р4. Практически искомая величина отыскивается в интервале (0, р} ). Хотя с теоретической точки зрения нижней границей интервала изменения величины р4 является значение давления, при котором скорость газа на (р,и)-диаграмме с центром в точке (рьщ) равна скорости звука. Однако эта величина не может быть вычислена аналитическим способом. При построении итерационного процесса в случае газа Дюпре следует учитывать, что для достаточно больших значений а неравенство JW2 1 может нарушаться.
В случае идеального газа значения тг и т2 отыскиваются по формуле (1.25), а давление р4 рассчитывается только для «запертых» режимов, когда либо начальная скорость газа меньше скорости звука, либо торможение сверхзвукового процесса осуществляется за счет превышения СПС критического значения и. Во всех остальных режимах истечения, ввиду эквивалентности неравенств р4 рсув и т, Мсув достаточно определить величины, входящие во второе неравенство. При а = 0 после вычисления значения #2j по формуле (1.25) величина р4 при необходимости отыскивается в интервале (0,jt j), если т{ М} ив интервале (р{,Р\ ) в противном случае.
Отметим, что значение а, при котором реализуется упомянутый выше алгоритм газодинамической перестройки течения, в случае газа Дюпре отыскивается также с помощью итерационного процесса.
Таким образом, переход от идеального газа к газу Дюпре в принципе не меняет структуры решения задачи РПР СПС. Однако как трудоемкость аналитических выкладок, так и сложность алгоритма решения существенно возрастают.
Изложенный выше алгоритм решения задачи РПР СПС является обобщением [95] на случай варьирования коэффициентов с и с в определении реакции уступа на поток для газа Дюпре. Параметрическая структура соотношений на СПС позволяет рассматривать с более общих позиций различные подходы к проблеме выбора конкретного способа задания этих соотношений, например, [23], когда в качестве двух уравнений используются законы сохранения массы и энергии, а в качестве третьего - условие сохранения энтропии при истечении и импульса при втекании, поскольку в представленной модели РПР СПС, с одной стороны, найдены ограничения на коэффициенты ср и с в уравнении импульса, с другой стороны, при определенных значениях параметров ср а с оказывается выполненным условие сохранения энтропии.
Следует, правда, отметить, что в случае дозвукового перехода через СПС условие сохранения энтропии выполняется только в области с 0 при истечении и с \ при втекании, и физическая интерпретация величины реакции уступа на поток в этих случаях затруднена.
Переход от сверхзвукового начального состояния газа "1" к дозвуковому (звуковому) на СПС возможен, как отмечалось в п. 1.1.2, в результате действия противодавления справа либо торможения сверхзвукового потока на уступе. Рассмотрим подробнее механизм этого перехода с алгоритмической стороны. По начальным данным определяются параметры исув,рсув,рсув,Мсув за стоячей ударной волной, а также рассчитываются величины S4, 4,p4,m1 значения параметров на (р,м)-диаграмме левого газа с начальным состоянием (р], щ). Если нарушается неравенство Щ МСУВ (РА РСУВХ (1-41) то по формулам перехода (1.21)-(1.24) со значениями исув,рсув,рсув,Мсув в правой части рассчитываются параметры и5,р5 переходной (р,и)-диаграммы. В этом случае возможность перехода к дозвуковому (звуковому) состоянию на СПС полностью определяется начальным состоянием правого газа и реализуется при выполнении неравенства и5 у/2(Р5) [95]. При нарушении этого неравенства в области допустимых значений параметра ср (см. 1.1.2) реализуется сверхзвуковой релшм истечения, при котором по обе стороны от СПС скорость газа больше скорости звука.
Если неравенство (1-41) оказывается справедливым, ситуация существенно меняется. Теперь давление в зоне слева от СПС превосходит либо равно величине p yg, и влево по газу "1" распространяется ударная волна (возможно, неподвижная). От начальных значений параметров правого газа зависит только, будет ли скорость справа от СПС дозвуковой либо равна скорости звука. В случае идеального газа величина тх (корень уравнения D(M4) = 0) путем несложных преобразований может быть представлена в виде функции параметров
Смешение потоков вузле стыковки трех параллельных каналов
Для определенности ниже рассматривается вариант, когда (р,и) диаграммы газов "2" и "3" не пересекаются и р2 Рз (рис. 2.2). В этом случае возможны следующие комбинации режимов для соответствующих значений sx; а) s2 sx s} - s2 дозвуковое истечение на переходе " 1 "-"2" дозвуковое истечение на переходе "і"_"3" 6)sl-s3 sx sl дозвуковое истечение на переходе "1"-"2" дозвуковое втекание на переходе "Г -"3" в)0 2 сверхзвуковое втекание на переходе "1 "-"2" сверхзвуковое истечение на переходе "1"-"3" сверхзвуковое истечение на переходе "1"-"2" сверхзвуковое истечение на переходе "1"_"3" Д) 5, - s3 1 сверхзвуковое истечение на переходе "1"_"2" сверхзвуковое втекание на переходе "і"_"з" Вариант б) расположения (р,м)-диаграмм процессов схематически изображен на рис. 2.3. Линии дозвукового перехода "Г -"2" и "1"-"3" обозначены соответственно /]2 и /]3. Комбинация дозвукового втекания на переходе "Г "2" и дозвукового истечения на переходе "1"-"3" невозможна, поскольку в этом случае одновременно выполняются неравенства р} р3 при истечении и Р\ р2 при втекании, причем всегда р2 Рз, и с ростом СПС величина pj при истечении возрастает, а при втекании удовлетворяет неравенству р\ р , где р - абсцисса точки пересечения (р,и)-диаграмм газов "1" и "2" с центрами в точках (pf,Ui) и (р2,и2). Таким образом, в случае дозвукового перехода искомое значение sx удовлетворяет неравенствам s2 sx s1.
Отметим, что при фиксированном значении рг величина р3 вычисленная по формулам перехода при дозвуковом втекании, с ростом скачка сечения сначала возрастает, затем убывает. Если же величину р рассматривать как решение задачи втекания на переходе "Г -"3", то свойство немонотонности сохраняется только при определенном расположении (р,и)-диаграммы газа "3".
Этому случаю соответствует на рис. 2.4, где схематически изображены (р,и)-диаграммы газов при втекании, линия "2" (/ ,и)-диаграммы правого газа. Расчеты показывают, что в достаточно широкой области изменения входных данных решение задачи втекания монотонно изменяется с увеличением скачка сечения, и в этом случае минимальное значение давления слева от линии разрыва при дозвуковом втекании получается при максимально допустимом значении величины sx которое определяется из дополнительных соображений (например, при рассмотрении вычислительных аспектов задачи).
Для заданных значений , 3 комбинации дозвукового перехода при разделении потоков могут быть реализованы только при определенном соотношении между входными данными задачи. Если точка р лежит в достаточно малой окрестности точки рх , то при изменении сечения sx решение задачи РПР СПС на переходе "1"-"2" будет находится в области, не имеющей общих точек с областью изменения решения соответствующей задачи РПР СПС на переходе "Г -"3". Первую из указанных областей можно расширить и тем самым доопределить решение посредством газодинамической перестройки течения за счет уменьшения значения А2. Физически это соответствует отрыву потока газа от стенок в канале "2" [30]. При этом новое значение сечения канала "2" находится из условия Ри=Р в (2-3) где ps - минимальное значение давления, которое получается при решении задачи втекания на переходе "1"-"3", ри - соответствующее значение давления, полученное при решении задачи истечения на переходе "1"-"2". Поскольку при достаточно малых s2 на переходе Т -"2" возникает «запертый» режим истечения (см. 1.1.2), то для любого фиксированного sx имеем ри — Р\ при 52- 0, и равенство (2.3) всегда достижимо. Другой способ увеличения величины ри при заданном значении sx заключается в увеличении коэффициента с при истечении. Однако в этом случае максимальное значение ри, соответствующее значению с„ = 2, строго меньше величины р\ , и задача, как было указано выше, может не иметь решения. Доопределение решения может быть осуществлено комбинацией указанных способов.
Поскольку величина рг при втекании на переходе "1"."3" изменяется немонотонно с ростом скачка сечения, то из приведенных выше рассуждений следует, что при определенном соотношении между входными параметрами решение исходной задачи может оказаться неединственным. Этот факт подтверждается проведенными расчетами.
Чтобы гарантировать однозначную разрешимость алгоритма в случае дозвукового перехода, ограничим диапазон изменения величины sx требованием убывания давления ру с ростом sx. ( Как было указано выше, это условие для широкого диапазона начальных данных выполняется при любых допустимых значениях sx ). Таким образом, решение задачи либо отыскивается в области допустимых значений величины sx, либо при максимально возможном значении sx осуществляется газодинамическая перестройка течения, при которой решение доопределяется.
Для комбинаций сверхзвукового перехода физически очевидно, что малые изменения параметра sx не могут нарушить сверхзвуковой режим перетока газа. В этом случае решение задачи отыскивается в некотором интервале изменения величины sx, границы которого определяют степень свободы выбора данного сечения.
Результаты расчетов конкретных конфигураций, соответствующих вариантам а) - д), приведены на рис. 2.5-2.9, где буквой В обозначено поперечное сечение препятствия, разделяющего канал "1" на два параллельных, и величины соответствующих сечений численно равны ширине продольного разреза, изображенного на схемах. Различные значения параметров в зонах "2", "3" на рис. 2.7 - 2.9 соответствуют одним и тем же значениям начальных данных при разных значениях sx в случае сверхзвукового перехода.
Распад произвольного разрыва в узлах стыковки L- и Т-образных каналов
Алгоритм расчета конфигураций А) Выбирается начальное значение р4 в отрезке [р ,Р\ ] и вычисляются параметры потока за (R,S) в зоне 4. Затем по формулам дозвукового перехода (2.8)-(2.10) рассчитываются параметры потока в переходной области (зоне сужения). По этим параметрам, в свою очередь, с помощью формул (2.11)-(2.13) рассчитываются параметры потока в зоне 5. Если при значении давления, равном р5, скорость щ за (R,S) в зоне 3 не совпадает с заданной точностью с величиной и5, выбирается новое значение р4 по методу деления отрезка пополам и итерационный процесс продолжается. Б) Если одновременно выполнены неравенства Мх т2, и5 i//} (р5), либо соотношения Mi т2, р4 р4 то возникают конфигурации смешанного типа (R,S)B(R,S)T(R,S). В первом случае влево от ЛП идет ВР, во втором -УВ. Слева от ЛП имеем дозвуковой поток (М тх), в зоне сужения скорость потока звуковая, значения справа от ЛП вычисляются по формулам сверхзвукового перехода (2.11)-(2.13), за ЛП влево распространяется ВР либо УВ, сносимая сверхзвуковым потоком вправо, Значение давления перед КР принадлежит интервалу (0, р$ ). Алгоритм расчета конфигураций Б)
Параметры потока иу, ру, ру, Му = 1 в зоне сужения вычисляются по значениям u4fp4p4,mi. Затем по формулам сверхзвукового перехода (2.11)-(2.13) вычисляются параметры потока и5 р5,р5. Начальное приближение р2 выбирается в отрезке [0,р5], вычисляются параметры потока и3,р3,р3 за (R,S) (начальное состояние соответствующей (р,и)-диаграммы -(Ps,u5)), и значение скорости в зоне 3 , вычисленное за (R,S) при р-р3, сравнивается с величиной щ. Итерационный процесс прекращается при равенстве скоростей на КР. В) Пусть М\ т2 и її,р у, Му- значения параметров в зоне сужения, вычисленные по начальным значениям щ,р{,М1г а и р М значения справа от ЛП, вычисленные по формулам сверхзвукового перехода (2.11-2.13), иСуВ,рсув,Мсув - параметры потока за СУВ, найденные по этим значениям. Если предыдущие группы неравенств не выполняются, но верно соотношение сув \ ІРСУВ ) то возникают конфигурации смешанного типа
BlB2ScyBB2T(R,S), где [- сужение, а В2 и В2 два последовательных расширения, заменяющих расширение В2- В конфигурациях этого типа сверхзвуковой поток не тормозится и сносится в узкую часть переходной зоны, несмотря на воздействие ЛП и противодавление справа. Однако противодавление справа оказывается все же достаточным, чтобы под воздействием СУВ скорость газа стала дозвуковой в зоне между двумя промежуточными СПС В2 и В2, под воздействием которых трубка тока расширяется. Соответствующие расширениям В2 и В2 СПС ах и гх таковы, in г что JX(?X =сг. Заметим, что ах и гх принадлежат интервалу (1,(7), а когда ах і(ст"х І),гоВ2 В2(В2 В2). Алгоритм расчета конфигураций В) _ і Параметры потока иу,ру,ру,Му, в зоне сужения перед СПС В2 вычисляются по формулам сверхзвукового перехода (2.8) - (2.10) по значениям И],р\Р\,Mj. Затем выбирается начальное значение s в отрезке [$у зш]. По формулам сверхзвукового перехода (2.8) - (2.10) со значениями и ,р ,р ,М в правой части и значениями а ох, crx s /s вычисляются параметры і +— их,рх рх Мх в переходной области между В2 и поверхностью СУВ ScyB. По этим параметрам вычисляются параметры потока usx,psx,psx Msx за фронтом ScyB перед В2, по ним, в свою очередь, со значениями т = тх, ах =S IS на переходе В2 вычисляются параметры иА,рА,рА в зоне 5 справа от переходной области, С помощью итераций отыскивается значение s в отрезке [ , ] и значение ев отрезке [ОД], при которых скорость и4 совпадает с заданной точностью со скоростью иъ, вычисленной за (R,S)uo значению р4, и на переходе "2"-"х" выполняется соотношение Ф = const 1 (Ф-энтропийная функция, введенная в гл. 1). Г) Если не выполняются все предыдущие группы неравенств, то реализуются конфигурации сверхзвукового перехода B{R,S)T(R,S). В этом случае влево за ЛП по газу «1» распространяется УВ либо ВР, которая сносится сверхзвуковым потоком вправо, а справа за КР распространяется ВР либо УВ.
Алгоритм расчета конфигураций Г) По формулам перехода (сверхзвукового) (2.8)-(2.10) со значениями и],р1р[,М1 в правой части вычисляются параметры потока йьр ьМ\ в зоне 5 справа от переходной области . Начальные значение ръ выбирается в отрезке [0,рсув]к вычисляются параметры потока в зоне 3 за (R,S). Условием прекращения итерационного процесса является равенство скоростей на КР.
