Введение к работе
Актуальность темы
Ход атмосферных процессов оказывает огромное влияние на многие стороны человеческой деятельности. Важность исследований в этой области становится особенно очевидной в настоящее время, когда эффект глобального потепления вызывает изменения климатических условий и характера воздушных течений на огромной территории, сопровождающиеся также увеличением числа стихийных бедствий в различных регионах планеты.
Течения в реальной атмосфере описываются системой уравнений движения вязкого теплопроводного газа с учетом силы тяжести и силы Кориолиса При этом можно выделить несколько основных направлений, по которым ведется теоретическое исследование атмосферы.
Первое направление связано с применением упрощенных уравнений движения. В рамках этого направления исследуются геофизические течения, применяются упрощения теории тонкого слоя для атмосферы, используются модели мелкой воды и так далее. Однако, такими способами не удается адекватно описывать ряд атмосферных явлений, в особенности мелкомасштабных.
Второе направление связано с применением численных методов для исследования течений в атмосфере на базе полной системы уравнений движения. Так, в работах академика О.М. Белоцерковского и его учеников решаются задачи о взрывах в атмосфере, ударных волнах, эволюции и взаимодействия термиков и вихревых колец, природных атмосферных вихрях большой интенсивности, а также задачи на исследование устойчивости и турбулентности для атмосферных течений. Развитию этого направления способствует продолжающееся развитие электронно-вычислительной техники.
Численные методы используются также для получения
кратковременных прогнозов погоди, при этом используется некоторая
математическая модель атмосферы и данные о ее текущем состоянии. Эти
данные предоставляет система наблюдательных "пунктов, состоящая из
метеорологических станций, находящихся друг от друга на расстоянии 60-
70 км. Для получения ' значений метеорологических величин в
промежутках между станциями применяется интерполяция. Ясно, что при
этом невозможно рассчитывать локальные атмосферные процессы,
имеющие меньшие размеры, но, зачастую, Отличающиеся большой
интенсивностью. '
Наконец, третье направление связано с аналитическим исследований исходной системы уравнений и поиском ее частных решений Каждое частное решение системы уравнений движения вязкого газа соответствует некоторому состоянию атмосферы. Формулы, описывающие покоящуюся атмосферу, которые являются простейшим точным решением полной системы уравнений движения вязкого теплопроводного газа для
атмосферы, легли в основу модели международной стандартной атмосферы, несмотря на ряд ее недостатков, связанных, в первую очередь, с пренебрежением теплообменом с космосом Ясно, что любое новое точное решение, способное описывать некоторое состояние атмосферы, может представлять определенную научную и практическую ценность. Нахождение таких точных решений, однако, представляет весьма сложную задачу, связанную с необходимостью решения сложной, существенно нелинейной системы уравнений в частных производных, для которой даже не доказаны теоремы о существовании и единственности решения в общем случае Серьезный прогресс в решении этой задачи был достигнут лишь в последние десятилетия Этот прогресс основан на достижениях школы академика Л. В. Овсянникова в разработке новых методов получения инвариантных решений уравнений Навье-Стокса для вязкого газа с помощью математического аппарата теории групп. Несмотря на это, работа по поиску точных решений, соответствующих некоторым состояниям атмосферы еще далека от завершения, поскольку при исследовании системы уравнений вязкого теплопроводного газа методами теории групп, массовые силы и приток тепла в исходной системе уравнений не учитывались.
Все вышесказанное свидетельствует о том, что исследования состояния атмосферы вообще, и поиск частных аналитических точных решений уравнений движения вязкого теплопроводного газа для тропосферы в частности, являются актуальными. Чему и посвящена представленная диссертация.
Объект исследования
Объект исследования данной диссертации - течения реального газа в тропосфере. Специфика исследований тропосферных течений состоит в совершенно иной роли граничных условий, чем, например, в технических задачах гидромеханики. Во-первых, граничные условия для течений в свободной атмосфере могут быть поставлены лишь частично - в основном это базовые требования непроницаемости твердой поверхности и, в некоторых случаях, условия на бесконечности (при условии что течение может быть распространено на бесконечную область без возникновения нефизичных ^значений гидродинамических величин) Гі Во-вторых, тропосферные течения имеют ограниченное время существования, и этого времени не всегда может хватать на образование пограничного слоя, который обычно рассматривается в других задачах, имеющих дело с вязкой жидкостью или газом. В-третьих, даже внутри области течения условия нельзя считать полностью заданными, вследствие неопределенности притока тепла к области течения, зависящего от многих внешних факторов. Наконец, при рассмотрении тропосферных течений существенную роль играет учет силы тяжести и сжимаемости газа, что не позволяет проводить упрощения уравнений, возможного в ряде технических задач.
Цели работы.
1 Поиск новых точных решений уравнений движения вязкого теплопроводного газа, при учете силы тяжести и радиационного притока.
Анализ состояний тропосферы, соответствующих полученным решениям.
Сравнение полученных теоретических результатов с данными других авторов и данными экспериментальных и натурных наблюдений.
Научная новизна
Рассматриваемые в диссертации задачи впервые решаются в полной постановке, без ввода существенных упрощений в исходные уравнения движения. Полученные автором точные решения уравнений движения вязкого теплопроводного газа в тропосфере являются новыми и не имеют аналогов в литературе (кроме решений, полученных на основе упрощенных моделей). Впервые представлены формулы, описывающие на основе полной системы уравнений вязкого сжимаемого газа состояния тропосферы, отличные от покоящейся тропосферы, описываемой моделью международной стандартной атмосферы.
Используемый математический аппарат
Для вывода точных решений системы уравнений движения вязкого теплопроводного газа не применялся какой-либо специальный математический аппарат Метод получения решений можно назвать интуитивно-аналитическим. При этом интуитивность заключается в выборе некоторых начальных предположений о виде поля скоростей, а аналитичность — в построении функций температуры, давления и плотности, позволяющих удовлетворить уравнения системы при выбранном виде скорости. При этом применяются различные методы решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных (таких как разделение переменных, выделение полного дифференциала).
Основные результаты, выносимые на защиту
1. В диссертации представлены точные решения уравнений движения вязкого теплопроводного газа в тропосфере с притоком тепла, описывающие:
- сдвиговое течение с двумя проекциями скорости в тропосфере,
прямолинейные течения в тропосфере с одной горизонтальной компонентой скорости, зависящей от вертикальной и поперечной горизонтальной координаты, при нескольких законах изменения скорости;
вращение некоторой части тропосферы вокруг вертикальной оси с распределением скоростей, как для вращающегося твердого тела;
безвихревое вращение воздуха в тропосфере вокруг вертикальной оси с особенностью на оси вращения.
2. Проанализированы состояния тропосферы, отвечающие
построенным течениям.
3. Проведено частичное сравнение полученных в работе
теоретических результатов с аналогичными данными других авторов и
натурных измерений, подтвердившее достоверность результатов
диссертации
Научная достоверность
Достоверность результатов работы подтверждается
- четким математическим выводом решений в явном виде,
позволяющем удостоверится в удовлетворении исходной системе
уравнений
- проверкой полученных решений методами символьного
программирования
переходом полученных формул в формулы международной стандартной атмосферы в случае отсутствии движения газа
соответствием полученных результатов данным натурных измерений и наблюдений
- соответствием результатов данным, полученным другими авторами
при использовании упрощенных уравнений движения
Научная и практическая ценность
Полученные решения для тропосферы способствуют как развитию наших представлений о динамике атмосферных процессов, так и развитию численных методов исследования, прогнозу состояний атмосферы.
Полученные в работе результаты можно использовать для развития методов восстановления полей метеорологических величин по неполным данным измерений в целях повышения точности метеорологического прогноза, в качестве начального приближения при построении решений в виде асимптотических рядов для различных задач динамики атмосферы, в качестве более точных начальных данных при численном исследовании развития некоторых неустойчивых течений
Результаты работы внедрены в учебный процесс кафедры теоретической гидроаэромеханики Южного Федерального университета и используются в ее курсовых проектах.
Апробация
Основные результаты диссертации докладывались автором
на VII международной конференции памяти академика РАН И.И Воровича "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2001),
на VIII международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2002);
на научно-практической конференции "Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания" (Ростов-на-Дону, 2004);
на ХШ международной конференции "Математика. Экономика. Образование" (Ростов-на-Дону,' 2005);
на IX международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН ИИ Воровича "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2005),
на XIV международной конференции "Математика Экономика. Образование" (Ростов-на-Дону, 2006);
на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Нижний Новгород, 2006);
на VIII международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2006).
Структура и объем
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения Основной текст Диссертации содержит 126 страниц, 32 рисунка и 3 таблицы Список литературы насчитывает 116 наименований.
