Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель неравновесного сверхзвукового обтекания тел в рамках уравнений Навье-Стокса 15
1.1. Постановка задачи 15
1.2. Начальные и граничные условия 21
1.3. Приведение уравнений к безразмерному виду 23
1.4. Постановка задачи в криволинейных координатах 23
1.4.1. Сферическая система координат 23
1.4.2. Основные уравнения в сферической системе координат 26
1.4.3. Формулировка задачи в векторном виде 34
1.4.4. Нормированная система координат 38
1.4 5 Уравнения в нормированной системе координат 41
1.5. Уравнения Навье-Стокса в приближении тонкого слоя 48
Глава 2. Численный метод решения 51
2 1. Конечно-разностный метод расчета течения газа в ударном слое 51
2.2. Расщепление по физическим процессам 51
2.3 Расчетная сетка 56
2.4. Разностная схема 57
2.5. Построение области интегрирования 60
2.6. Удовлетворение граничным условиям 61
2.7. Монотонизация схемы 64
Глава 3. Результаты расчетов 67
3.1. Совершенный газ 67
3.2. Неравновесное обтекание 69
3.2.1. Осесимметричые течения 69
3.2.2. Пространственные течения 76
Глава 4 Методика расчета затухания радиоволн 80
Заключение 85
Основные условные обозначения 88
Список литературы
- Начальные и граничные условия
- Сферическая система координат
- Расщепление по физическим процессам
- Неравновесное обтекание
Введение к работе
Настоящий обзор посвящен теоретическим исследованиям пространственных задач обтекания гладких тел сверх- и гиперзвуковым потоком вязкого, теплопроводного газа в широком диапазоне изменения чисел Рейнольдса от малых, для которых применима модель сплошной среды, и до умеренно больших, когда поток уже можно разделить на невязкое течение и пограничный слой около обтекаемого тела
Пространственный вязкий ударный слой
Уравнения пограничного слоя качественно и количественно правильно описывают течение в тонком слое около поверхности тела при больших числах Рейнольдса. Однако в верхних слоях атмосферы, когда характерные числа Рейнольдса становятся Re^ < 103, классическая модель разбиения возмущенной области течения на невязкое течение и пограничный слой становится неприменимой. Поэтому для исследования течения при умеренных числах Рейнольдса широкое распространение получила теория вязкого ударного слоя. Основное преимущество этой теории состоит в пригодности соответствующих уравнений во всей возмущенной области течения от ударной волны до поверхности тела. В зависимости от числа Маха набегающего потока различают модель гиперзвукового или тонкого вязкого ударного слоя (ТВУС) (при Мл »1) и модель полного вязкого ударного слоя (ПВУС).
Гиперзвуковой вязкий ударный слой
Впервые модель ТВУС для расчета гиперзвукового обтекания плоских и осесимметричных тел при умеренно больших числах Рейнольдса предложил в 60-е годы Н. К. Cheng. В предположении у -» 1, Мк » 1, Re0 = p^VJ^I/лл -» о,
К = sRe0 =()(]) вся область течения разбивалась на два подслоя: вязкий
ударный слой, примыкающий к телу и зона перехода через скачок уплотнения. Поскольку уравнения, описывающие течение в области перехода через скачок,
5 допускают однократное интегрирование, то полученные таким образом соотношения, называемые обобщенными соотношениями Рэнкина-Гкмонио, можно использовать в качестве граничных условий на внешней границе вязкого ударного слоя. Поэтому задачи о течении в собственно ударном слое и в структуре ударной волны можно решать отдельно друг от друга. В отличие от классических условий Рэнкина-Гюгонио обобщенные условия учитывают влияние эффектов молекулярного переноса в области непосредственно за головным скачком уплотнения и тем самым влияют на течение во всем ударном слое.
Полный вязкий ударный слой
Полные уравнения вязкого ударного слоя являются естественным обобщением модели ТВУС. Они содержат все члены, вносящие вклад во второе приближение пограничного слоя, включающее эффекты вытеснения пограничного слоя, вихревого взаимодействия, влияние продольной и поперечной кривизн, эффект скольжения и скачка температуры на обтекаемой поверхности, и все члены уравнений Эйлера. Уравнения рассматриваются во всем ударном слое от тела до ударной волны, которая является внешней границей области течения. Впервые такой подход для двумерных течений совершенного газа предложил А И Толстых (см. О М Белоцерковский и
ДР- [6])
В качестве граничных условий к системе уравнений ПВУС на ударной волне используются обобщенные условия Рэнкина-Гюгонио, а на поверхности тела для тангенциальных компонент вектора скорости ставятся условия прилипания, для температуры - условия, соответствующие охлажденной или теплоизолированной поверхности. В случае малых и умеренных чисел Рейнольдса граничные условия видоизменяются с учетом эффектов скольжения и скачка температуры.
Сопоставление полных уравнений Навье-Стокса с системой уравнений ПВУС показывает, что в последних опущены члены, имеющие порядок
6 O(Re0)-1 и выше. При К = eRe0 = (){\) точность такого приближения совпадает
в асимптотическом смысле с точностью уравнений ТВУС в области их применимости.
Важным достоинством модели ПВУС является то, что в ней можно не предполагать, что ударный слой тонок, т.е. не требовать, чтобы параметр є был мал. Отсюда следует возможность применения рассматриваемой модели для расчета обтекания тел при небольших сверхзвуковых скоростях набегающего потока, включая режимы, для которых ударный слой не является тонким на всей наветренной части обтекаемого тела
В большинстве задач обтекания в потоке имеются области как дозвуковых, так и сверхзвуковых скоростей. Например, при обтекании со сверхзвуковой скоростью тел имеющих затупленную носовую часть Это усложняет решение задачи.
Одним из первых методов решения уравнений ПВУС, позволивший преодолеть трудности, связанные с дозвуковым течением газа в некоторых областях ударного слоя, был метод глобальных итераций по всему полю течения, предложенный для двумерных задач R. Т. Davis'oM [53]. В рамках этого метода форма ударной волны и эллиптические члены в уравнениях, учитывающие распространение вверх по потоку, считаются известными из предыдущей итерации, причем для расчета первого приближения используется модель ТВУС. Однако попытки использовать метод глобальных итераций в этом виде для сферически затупленных конусов с малыми углами полураствора встретили ряд затруднений, т.к. модель ТВУС дает отрыв на подветренной стороне тела.
Для преодоления этих трудностей было предложено изменить способ задания начальных данных, а также применить метод релаксации при определении формы ударной волны. Кроме того, было введено сглаживание угла наклона ударной волны, а в окрестности разрыва кривизны поверхности тела использована специальная разностная запись продольных производных, учитывающая условие непрерывности физических составляющих вектора
7 вдоль контура тела. Для получения устойчивого решения при расчете течения около тел, где ударный слой не является тонким, важным было также предложение совместного решения системы уравнений первого порядка (уравнение неразрывности и уравнение импульсов в проекции на нормаль) путем векторной прогонки.
Первые работы по применению метода глобальных итераций к решению трехмерных уравнений ПВУС выполнили A. L. Murray и С. Н. Lewis [63]. Был проведен расчет обтекания однородным газом сферически затупленных конусов с малыми углами полураствора под углами атаки # =0-ь38. В этих работах численное решение начиналось на сферическом затуплении в осесимметричной постановке Результаты, полученные на границе осесимметричной области, использовались в дальнейшем как начальные данные для решения трехмерной задачи, начинающейся от плоскости симметрии на наветренной стороне тела При этом необходимое для замыкания задачи значение градиента давления в окружном направлении аппроксимировалось по расчетным данным из таблиц невязкого сверхзвукового обтекания этого же тела. По завершению цикла по окружной координате делался шаг по маршевой координате вниз по потоку. В каждой расчетной области уравнения решались последовательно в следующем порядке, уравнение импульсов в проекции на окружную координату, уравнение энергии, уравнение импульсов в проекции на маршевую координату, уравнение неразрывности для определения отхода ударной волны, совместное решение уравнения неразрывности и уравнения импульсов в проекции на нормаль. На основании проведенных расчетов сделан вывод, что уравнения ПВУС позволяют с хорошей точностью получить полную картину обтекания при малых углах атаки. При больших углах атаки модель вязкого ударного слоя дает удовлетворительные результаты на наветренной стороне и непригодна для исследования течения на подветренной стороне тела.
В дальнейшем указанный метод был распространен на решение трехмерных уравнений ПВУС с учетом протекающих в потоке различных
8 физико-химических процессов. S. Swaminathan, М. D. Кип и С. Н. Lewis [69] рассмотрели неравновесное течение диссоциированного воздуха около затупленных по сфере конусов, обтекаемых под небольшими (до 10) углами атаки. Режимы полета соответствуют высотам 70.104, 83.82 км и числу Маха 27.18. В качестве химической модели применяется семикомпонентная гаювая смесь. Граничные условия на теле- полностью каталитическая поверхность Диффузионная модель ограничена бинарной диффузией. В работе [50] показано, что концентрация электронов слабо зависит от степени упрощения диффузионной модели Рассматривается влияние различных типов граничных условий (прилипания, скольжения) на концентрацию химических компонентов смеси. Сравнение показывает, что результаты расчетов с граничными условиями прилипания ближе к экспериментальным данным.
Другой метод, нашедший наряду с методом глобальных итераций достаточно широкое применение для решения системы уравнений ПВУС - это метод установления. В этом методе в качестве исходных используются нестационарные уравнения ПВУС, а искомое решение получается как предел установления по времени. В этом случае вначале установлением решалась задача в области затупления, а затем, также установлением по времени, находилось решение в узких перекрывающихся областях, последовательно перемещающихся вдоль тела. Возникающие при этом интенсивные осцилляции параметров поперек ударного слоя сглаживались методом четвертого порядка. Отмечено, что если для определения формы ударной волны и распределения давления по телу требуется порядка 103 шагов по времени, то для получения стационарного значения теплового потока требуется гораздо большее число шагов [24].
Решение параболизованных уравнений Навье-Стокса
Остановимся теперь на работах, использующих для решения рассматриваемых в обзоре задач, параболизованные уравнения Навье-Стокса (ПУНС). Несмотря на значительные вычислительные трудности, связанные с созданием устойчивых численных алгоритмов для этой модели, начиная с
9 середины 70-х годов известно большое число работ (особенно зарубежных), в которых сверхзвуковое обтекание тел потоком вязкого газа изучается в рамках параболизованных уравнений Навье-Стокса. Сравнение проведенных в ее рамках расчетов с экспериментом позволяет считать, что для решения многих практически важных задач можно с успехом использовать такие параболизованные модели течения. Можно отметить большую эффективность модели параболизованных уравнений Навье-Стокса для решений струйных задач, течения в следе.
Система ПУНС получается из исходной системы уравнений Навье-Стокса пренебрежением эффектом молекулярного переноса в направлении основного течения газа в ударном слое (маршевом направлении) При этом возможны два случая. В первом из них данные эффекты учитываются лишь в направлении, перпендикулярном по отношению к поверхности тела (система уравнений ПУНС в приближении тонкого слоя), а во втором производится учет эффектов молекулярного переноса и в окружном направлении. В последнем случае система ПУНС позволяет изучать течения, в которых могут иметься возвратные в окружном направлении течения. Это становится особенно важным при расчете обтекания тел под большими углами атаки, когда, как показывает опыт, на подветренной стороне тела возникает протяженная зона возвратных поперечных течений, простирающаяся в окружном, направлении.
С использованием ПУНС в работе авторами J. D. Waskiewicz и С. Н Lewis [73] было рассмотрено обтекание сферически затупленных конусов с углом полураствора 6 = 1 и 10 при параметрах набегающего потока а = 10, 23, 38, Л^. =10.17, 18,22.7 и Rea = 104-106. Вся исходная область
течения разбивалась на две В первой из них, расположенной в окрестности затупления, где скорость газа в маршевом направлении была дозвуковой, решение находилось в рамках модели ПВУС методом, который предложили в работе [74] J. D. Waskiewicz, A. L. Murray и С. Н. Lewis Метод базируется на схеме с последовательным решением уравнений, с тем отличием, что дифференциальные уравнения первого порядка (уравнения неразрывности и
движения в проекции на нормаль) решаются совместно Отмечено, что предложенная модификация существенно повышает устойчивость схемы и качество полученного решения В сверхзвуковой области решение продолжалось в рамках модели ПУНС методом S С Lubard'a и W. S. HelliweFa. Поскольку в процессе решения головная ударная волна выделялась, то для замыкания задачи и определения формы скачка использовалось уравнение неразрывности, в котором производные по нормали к скачку аппроксимировались односторонними разностями. В работе подробно исследован вопрос о влиянии различных способов определения окружного градиента давления на основные характеристики течения и размеры шага в маршевом направлении. На основании сравнения с экспериментом сделан вывод, что применение указанного комбинированного метода расчета позволяет удовлетворительно рассчитать структуру течения вязкого газа около сферически затупленных конусов под большими углами атаки при сверх- и гиперзвуковых скоростях потока.
Как отмечают R. Т. Davis и S. G. Rubin, при расчете ПУНС точность получаемого решения в сильной степени зависит от правильного выбора маршевого направления Это становится особенно важным при больших углах атаки, когда линии тока достаточно сильно отклоняются от направлений, задаваемых при обычно используемых системах координат, связанных с телом. В связи с этим М. D. Kim, R. R Thareja и С Н Lewis [59] предложили выбирать в качестве маршевого направления линии тока внешнего невязкого течения на поверхности тела. Сравнение результатов расчета для умеренных углов атаки хорошо согласуется с решениями полученными ранее.
В работе [49] авторами [Bhutta, Lewis] разработан метод решения параболизованных уравнений Навье-Стокса, позволяющий рассчитывать трехмерные неравновесные гиперзвуковые течения при больших углах атаки около конусов с изломами образующей. Используется расщепление задачи о течении неравновесной газовой смеси на две: решение газодинамической задачи и расчет химических превращений В результате поочередного решения
11 итерационным методом этих задач учитывается взаимное влияние газодинамических и химических процессов. Интегрирование уравнений производится маршевым методом при помощи схемы, построенной по типу «предиктор-корректор». Особое внимание уделяется адекватному учету сильного взаимодействия продольного течения с поперечным потоком в отрывной области на подветренной стороне тела. В качестве примера использования настоящего метода решения ПУНС проведены расчеты трехмерного обтекания затупленного по сфере конуса при числе Маха, равном 20, и угле атаки соответствующем 20 градусам Причем для оценки точности данного метода и его эффективности при больших углах атаки проведено сопоставление решений, полученных на трех различных сетках. Анализ результатов расчета трехмерного обтекания тела неравновесным гиперзвуковым потоком показывает, что при больших углах атаки диссоциация кислорода и азота, а также образование N(f протекают гораздо интенсивнее с подветренной стороны тела, чем с наветренной. Более сильная диссоциация газа по мнению авторов обусловлена тем, что на подветренной стороне тела формируется обширная область высокотемпературного газа. В этой области на подветренной стороне тела будет наблюдаться значительное увеличение концентрации свободных электронов. Сравнение результатов расчетов на сетках с различным числом узлов показывает, что измельчение сетки сопровождается вполне приемлемым (до 2-х раз) увеличением затрат машинного времени. Кроме того, сопоставление этих результатов позволяет заключить, что для достижения необходимой точности расчета распределений плотности теплового потока и коэффициента поверхностного трения, используемая в расчетах сетка должна иметь достаточное сгущение узлов в области отрыва поперечного потока Причем такое сгущение необходимо как по нормали к оси тела, так и в поперечном к потоку направлении. Разработанный метод решения трехмерных уравнений, алгоритм которого предусматривает нахождение решения на каждом маршевом шаге при помощи итерационной процедуры (т.е. методом установления). Метод позволяет
12 рассчитывать пространственные течения с высокой точностью при относительно малых затратах машинного времени Это обсюятельство дает возможность вести интегрирование уравнений с большим шагом по маршевому направлению, что значительно сокращает суммарное время счета.
Наряду с анализом трехмерных течений с использованием точных моделей, основанных на уравнениях Навье-Стокса, достаточно широкое распространение получили различные приближенные подходы в расчете уравнений пространственного пограничного слоя, позволяющие в ряде случаев получить достаточно точное для инженерных приложений решение исходной задачи.
Метод осесимметричной аналогии.
В основе метода лежит предположение о том, что в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения (Xі = canst- линии тока невязкою течения на поверхности тела, х2 = const - их ортогональные траектории), скорость и , поперечная линиям тока внешнего течения и ее производные малы по сравнению со скоростью вдоль линии тока Отметим, что поскольку поперечная скорость на поверхности тела и на внешней границе пограничного слоя равна нулю, предположение о малой интенсивности вторичного течения достаточно обосновано. Этот метод использует поле рассчитанного невязкого трехмерного течения, необходимое для вычисления поверхностных линий тока, метрических коэффициентов и граничных условий пограничного слоя.
В работе [55] рассмотрено обтекание сферически затупленного конуса с углом полураствора 15. Приведено сравнение с экспериментальными данными. Режим обтекания соответствует «=0, 20, Mv = 10.6,
Rew = I.31-106 [1/м], радиус затупления равен 0.95 и 2.79 см. Отмечается
хорошее согласование отношений тепловых потоков с экспериментальными данными как на наветренной, так и на подветренной сторонах тела.
13 Однако в литературе достаточно часто встречаются упоминания о хорошем согласовании приближенных подходов на наветренной стороне тела и о значительных погрешностях результатов, когда возникает отрыв потока.
Заключение
Уравнения вязкого ударного слоя (ВУС) описывают течение во всем ударном слое с помощью единой композитной системы уравнений, одинаково пригодной как в невязкой, так и в вязкой областях течения Тем самым исключается проблема асимптотического сращивания решений уравнений пограничного слоя и уравнений Эйлера при не очень больших числах Рейнольдса
(Re^ < 103). Эта система уравнений обычно решается методом установления в дозвуковых областях течения и маршевым методом в сверхзвуковых с той или иной аппроксимацией маршевого градиента давления в дозвуковом приповерхностном слое. В последнее время для решения двумерных уравнений ВУС развит метод глобальных итераций, позволяющий эффективно рассчитывать течение во всем ударном слое с наличием до- и сверхзвуковых областей единообразным способом в широком диапазоне параметров без привлечения каких-либо других расчетных данных Развитие метода глобальных итераций на трехмерные задачи позволит значительно сократить затраты времени на решение и даст возможность практически осуществить серийные расчеты задач сверхзвукового обтекания в широком диапазоне чисел Рейнольдса и Маха
Наиболее популярной моделью для решения подавляющего числа задач сверх- и гиперзвукового обтекания, особенно у американских авторов, является модель ПУНС, для решения которой в настоящее время разработан ряд эффективных численных методов. Эта модель оказалась достаточно точной, сравнительно просто поддающейся эффективному численному решению и экономичной по затратам машинного времени по сравнению с решением
14 полных уравнений Навье-Стокса. В связи с чем она стала весьма полезной в инженерных приложениях
Разработка численных методов остается в будущем в центре внимания математиков-вычислителей и специалистов по вычислительной аэродинамике. В процессе естественного отбора наибольшее распространение получат методы, дающие более точные результаты, обладающие высокой скоростью сходимости, легко программируемые и надежные, даже в ущерб их универсальности.
Необходимость разработки нового программного комплекса была обусловлена тем, что имеющиеся программы не позволяют надежно рассчитывать режимы течения с учетом физико-химических превращений в ударном слое, соответствующие высотам менее 40 км и числам Маха более 10 в набегающем потоке. Кроме того, применение известных программ для параметрических расчетов трехмерных течений в инженерной практике неэффективно в силу неоправданно больших временных затрат.
Начальные и граничные условия
Распределение энергий по поступательным и вращательным степеням свободы принимается равномерным, т.е. молярные теплоемкости при постоянном давлении (С ) равны: для атомов 5/2 и 7/2 для молекул. Колебания молекул считаются возбужденными равновесно, или же по модели Лайтхилла.
В работе [65] показано слабое различие между моделью Лайтхилла и строгой неравновесной моделью учета колебательной энергии молекул, вследствие того, что она составляет лишь небольшую часть от величины статической энтальпии. Таким образом, колебательная энергия молекул для модели Лайтхилла принимается равной половине максимально возможного R Т равновесного значения при данной температуре, т.е. evl=— —, 11д универсальная газовая постоянная Для атомов cvX = ev2 = 0 При равновесии для энергии колебаний двухатомной молекулы, просуммированной по всем R О колебательным уровням, используется соотношение evi == в Ат v [32], где 0V - характеристическая температура (см таблицу 4). Модель диффузии ограничена бинарной диффузией с коэффициентами, определяемыми числом Льюиса. В работе [50] показано, что концентрации компонентов слабо зависят от степени упрощения диффузионной модели для рассматриваемых режимов обтекания.
Замыкают систему уравнений (1 1.1-1 14) сведения о константах равновесия и скоростях химических реакций [2,22], которые приведены в таблице 2, и уравнения состояния
Сформулируем основные предположения, при которых исследуется рассматриваемая задача: 1) набегающий на затупленное тело поток газа сверхзвуковой, однородный и невозмущенный, у = 1.4; 2) течение во всей возмущенной телом области ламинарное и симметричное относительно плоскости, проходящей через ось симметрии тела; 3) уравнения Навье-Стокса справедливы для описания течения во всей возмущенной телом области; 4) из вязкостных эффектов учитывается динамическая вязкость
Естественные граничные условия для системы заданы на ударной волне и на самом теле. Индекс «w» соответствует параметрам на стенке На поверхности обтекаемого тела задавались условия прилипания К=\ = =0 Режим теплообмена - охлаждение стенки или изменение температуры по закону, близкому к линейному. Для некаталитической поверхности стенки граничные условия для концентрации компонентов (атомов О и N, молекул N0) имеют вид
В отношении рекомбинации заряженных частиц используются условия идеально каталитической поверхности 6d=o.
Для задания «внешней» границы области интегрирования необходимы априорные данные о структуре поля течения. Для высоких чисел Рейнольдса (Re Ю3) можно пренебречь влиянием структуры тонкой головной ударной волны на течение вниз по потоку и принять, что ударная волна является поверхностью разрыва газодинамических параметров, на которой выполняются нестационарные условия Рэнкина-Гюгонио [24]. -» где I) - скорость распространения волны по частицам газа, Vn, Vt- проекции вектора скорости на нормаль и касательную плоскость к поверхности ударной волны.
Переход через ударную волну происходит «замороженным» образом, т.е. на ней концентрации совпадают с соответствующими значениями набегающего потока. С учетом модели Лайтхилла это означает, что на ударной волне со стороны обтекаемого тела у, = 1.3333.
На замыкающей область численного интегрирования границе, через которую газ вытекает из области, ставятся так называемые «мягкие» граничные условия вида линейной экстраполяции искомых функций.
Сферическая система координат
Построение численного решения для системы уравнений Навье-Стокса разностным методом в области значительной протяженности предъявляет специфические требования к методике расчета Это связано с тем, что одновременно должны рассчитываться такие разные по свойствам области резких изменений всех искомых функций, как область ударной волны и область пограничного слоя вблизи поверхности обтекаемого тела. Расчет таких областей предъявляет высокие требования к точности, которую могут обеспечить достаточно мелкие (подробные) разностные сетки. Структура этих сеток в какой-то мере должна согласовываться с получаемым решением, что может быть достигнуто путем введения существенно неравномерных в физической плоскости сеток.
Во всей расчётной области численно строится методом установления стационарное решение полной системы уравнений Навье-Стокса. При этом не используются никакие априорные предположения о структуре течения и предположения, позволяющие упростить систему уравнений. В каждой из областей на правой границе, через которую газ вытекает из области, ставятся так называемые «мягкие» граничные условия вида линейной экстраполяции искомых функций. В дифференциальной форме для любой искомой функции такие условия соответствуют с известной степенью точности равенству нулю второй производной по направлению линии тока (или близкому к нему). На стенке обтекаемого тела, на границе с внешним потоком и на оси симметрии граничные условия были сформулированы ранее. Таким образом, для первой расчетной области все граничные условия определены Во всех остальных областях на левой границе, через которую газ втекает в область, в качестве начальных условий брались значения искомых функций, полученные при решении задачи в предыдущей области.
Для расчета течения около лобового затупления использовались уравнения в сферической системе координат xl =R,x2 =0, JC = ср. Пусть 1(т(в,(р) есть уравнение поверхности лобового затупления, а RB(l,e,(p) -поверхность разрыва, где выполняются нестационарные условия Рэнкина-Гюгонио.
Численное интегрирование уравнений Навье-Стокса сопряжено с большими затратами машинного времени и памяти. Особенно это верно в отношении уравнений Навье-Стокса для сжимаемой жидкости, которые образуют смешанную систему эллиптически-параболических уравнений для стационарных течений и гиперболически-параболических уравнений для нестационарных течений. Обычно даже для расчета стационарного течения применяется зависящая от времени процедура решения, т. е. нестационарные уравнения Навье-Стокса интегрируются по времени до тех пор, пока не будет достигнуто установившееся решение. Таким образом, при расчете трехмерного течения с использованием уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа необходимо решать четырехмерную (три пространственных измерения и время) задачу.
Во многих задачах расчета вязких течений, в которых уравнения пограничного слоя нельзя применять, можно решать систему уравнений, которая по сложности занимает промежуточное положение между полными уравнениями Навье-Стокса и уравнениями пограничного слоя. Эти уравнения принадлежат к классу так называемых уравнений в приближении тонкого слоя или параболизованных уравнений Навье-Стокса. В этот класс попадает несколько систем уравнений: уравнения в приближении тонкого слоя, параболизованные уравнения, частично параболизованные уравнения Навье-Стокса, уравнения вязкого ударного слоя.
Системы уравнений этого класса характеризуются тем, что их можно применять как в невязкой, так и в вязкой областях поля течения. Во всех этих уравнениях содержится ненулевой градиент давления в нормальном направлении. Это позволяет рассчитывать течения в вязкой и невязкой областях одновременно.
Когда эти уравнения используются вместо полных уравнений Навье-Стокса, это имеет два преимущества. Во-первых, эти уравнения состоят из меньшего количества членов, что приводит к сокращению времени счета Во-вторых, что более важно, в стационарном случае большинство систем этого класса состоит из гиперболически-параболических уравнений по координате в направлении основного потока (при соблюдении некоторых условий) Другими словами, уравнения Навье-Стокса «параболизуются» в продольном направлении. Как следствие этого их можно решать маршевыми методами типа применяемых в теории пограничного слоя, что уменьшает число измерений с четырех до трех пространственных. Тем самым достигается существенная экономия памяти и уменьшается время счета.
Формально нестационарные уравнения пограничного слоя можно получить, пренебрегая в полных уравнениях Навье-Стокса членами порядка —7jz и выше Вследствие такого анализа порядка величин все вязкие члены с Re)/2 производными по направлению, параллельному поверхности тела, опускают, так как они существенно меньше вязких членов с производными по направлению, нормальному к стенке. Помимо этого, уравнение движения в нормальном направлении сводится к совсем простому уравнению в декартовой системе координат, означающему, что нормальный градиент давления очень мал. В приближении тонкого слоя в нестационарных уравнениях Навье-Стокса вязкими членами с производными по направлениям, параллельным поверхности тела, также пренебрегают, но остальные члены в уравнениях движения сохраняются. Одно из основных достоинств сохранения членов, которыми обычно пренебрегают в теории пограничного слоя, заключается в возможности прямого расчета отрывных и возвратных течений. Без труда рассчитываются также и течения с большими градиентами давления в нормальном направлении.
Расщепление по физическим процессам
Для получения стационарного решения при обтекании тела равномерным сверхзвуковым потоком используется метод установления для нестационарной системы уравнений Навье-Стокса, дополненной уравнениями химической кинетики.
Численное исследование задачи основано на конечно-разностной аппроксимации исходных уравнений и решении полученной системы алгебраических уравнений на разностной сетке, покрывающей область решения. Краевая задача, как было уже сказано, решается способом установления. При решении полных уравнений Навье-Стокса возникает следующая проблема. При больших числах Рейнольдса области с преобладающим влиянием вязкости становятся тонкими, поэтому для достоверности результатов расчета необходимо измельчение разностной сетки вблизи поверхности тела. При этом шаг по времени становится очень маленьким, что приводит к существенному увеличению времени счета Для преодоления этой проблемы используется метод расщепления задачи обтекания по физическим процессам. Метод делит расчет на четыре этапа. По два этапа используются для решения системы газодинамических уравнений Навье-Стокса и уравнений химической кинетики соответственно. Численное интегрирование всех уравнений проводится в ИСК.
Эта схема имеет второй порядок аппроксимации, как по времени, так и по пространству. Для пространственных производных на шаге предиктор используется разность вперед, а на шаге корректор - разность назад Разность вперед и назад можно последовательно чередовать как на шагах предиктор-корректор, так и при аппроксимации производных по пространственным координатам. Это устраняет любое рассогласование, обусловленное дискретизацией односторонними разностями. шаге Л/, что и в явной схеме Мак-Кормака. Здесь последовательно решаются разностные уравнения движения, записанные неявно относительно искомых параметров. Затем с использованием полученного поля скоростей решается уравнение энергии
В результате по прошествии двух шагов имеем все газодинамические параметры уже в вязкой постановке.
Применение описанной процедуры позволяет снять ограничение на шаг интегрирования по времени, связанное с вязким критерием устойчивости. Уравнения химической кинетики
Для интегрирования уравнений диффузии метод прогонки применяется в сочетании со специальной неявной разностной схемой, используемой для аппроксимации источниковых членов. В уравнениях химической кинетики используются параметры после первых двух шагов схемы.
Вследствии «жесткости» и явной зависимости друг от друга разностные нелинейные уравнения данной системы решаются совместно при помощи полностью неявного метода Ньютона.
Четвёртый этап. Учитывается диффундирование компонентов смеси dY, ! і П п 22Л dt р Уравнения последней системы решаются последовательно и независимо друг от друга методом прогонки. В результате находятся концентрации компонентов, а по ним новое распределение у, [27].
Предложенный метод расщепления уравнений диффузии позволяет рассчитывать химически неравновесные течения в широком диапазоне значений параметров набегающего потока вплоть до околоравновесного режима протекания химических реакций.
Таким образом, полный шаг интегрирования системы уравнений для неравновесного потока складывается из четырех подшагов для каждой физически обособленной подсистемы уравнений.
Шаг интегрирования Из-за большой сложности уравнений Навье-Стокса невозможно получить аналитическое выражения устойчивости для схемы Мак-Кормака, когда она применяется к этим уравнениям. Можно, однако, воспользоваться эмпирической формулой [3] о-Ал АФ7 где а - коэффициент запаса ( 0.9), с - местная скорость звука; Re = min(ReAe,Rew,Rev) - минимальное сеточное число Рейнольдса; Аікфл определяется по критерию Куранта-Фридрихса-Леви для линейных гиперболических уравнений в частных производных А( Перед очередным шагом по времени для всех точек сетки рассчитывается А/. Затем наименьшее из них используется для получения решения на следующем временном слое.
Практическое применение алгоритмов показало возможность использования, без потери устойчивости счета, более простой формулы
Наличие узких областей с большими градиентами параметров потока, таких как пограничный слой вблизи тела, зона размазанной ударной волны при низких числах Рейнольдса, не позволяет получать надежные количественные результаты, используя равномерные сетки Для адекватного учета поведения параметров в этих областях больших градиентов вводится сгущение в радиальном направлении вида
Неравновесное обтекание
Для того чтобы продемонстрировать возможность исследования неравновесных пространственных течений при помощи предложенного в данной работе численного метода, проведены расчеты под углами атаки сферически затупленного конуса. Параметры течения при этом соответствуют условиям полета тела с гиперзвуковой скоростью при больших углах атаки. Угол полураствора конуса составляет 7, радиус затупленного носка равен 5.08 см, общая длина тела - 50.8 см. Характеристики набегающего потока, использовавшиеся в расчетах, приведены в таблице 5. Так, высота полета равна 53.3 км, число Маха составляет 20, а угол атаки - 5-20. Температура поверхности тела принималась неизменной и равной 3600К. В сравниваемых данных [49] принималось, что концентрации компонентов на поверхности тела равны концентрациям в невозмущенном потоке Все линейные размеры отнесены к радиусу затупления.
На рис.42-43 изображены распределения концентраций атомарного кислорода О в поперечном сечении, свидетельствующие об образовании с подветренной стороны тела диссоциированного слоя довольно большой толщины. Линии равных концентраций на рис.42,44,46 соответствуют данным работы [49]. Максимальная концентрация О с подветренной стороны тела примерно в два раза превосходит ее наибольшее значение с наветренной стороны. Расположение линий равных концентраций ()2 [49] также подтверждает сильную диссоциацию молекулярного кислорода с подветренной стороны тела Подобным же образом распределены изолинии концентраций JV2 (рис.44) Для атомарного азота N максимальная концентрация с подветренной стороны превышает ее максимальное значение с наветренной стороны тела примерно в 60 раз (рис.48).
Распределение электронов в логарифмическом масштабе изображено на рис.47, соответствующие линии равной электронной плотности приведены на рис.46 [49]. Они свидетельствуют о том, что в рассматриваемом случае максимальная степень ионизации газа с подветренной стороны конуса в три раза меньше, чем с наветренной стороны. Однако необходимо подчеркнуть, что ионизованный слой с подветренной стороны имеет существенно большую (примерно в 13 раз) толщину, чем с наветренной
Распределение концентраций N0 (рис 486) показывает, что с наветренной стороны тела уровень максимальной концентрации в узком пристеночном слое выше, чем с подветренной. Распределение компоненты в сечении имеет характерную особенность - концентрация распространяется на подветренную сторону, огибая отрывную зону, где образуется своеобразная пустота для рассматриваемой компоненты. Для ионов окиси азота М7+ из рис.48в видно повышение концентрации с подветренной стороны.
На рис 42-56 приведены распределения концентраций химических компонентов в двух поперечных сечениях для неравновесного течения с различными углами атаки. Сравнивая концентрации для разных углов атаки в сечении, соответствующем расстоянию от носка в 10 калибров, можно отметить подтверждение наличия с подветренной стороны, в отличии от наветренной, значительного слоя диссоциировавшего кислорода с повышенным уровнем концентраций для угла атаки 20. Толщина которого с уменьшением угла атаки становится тоньше (рис.52а), сливаясь с образовавшимся с наветренной стороны слоем атомарного кислорода той же степени интенсивности при малом угле атаки («=5, рис.54а). Поведение атомарного азота N в этом сечении (рис.48а, 526, 546) при углах атаки 5 и 10 градусов характеризуется меньшей степенью диссоциации с наветренной стороны и образованием локальных максимумов концентрации с подветренной стороны.
Окись азота N0 для больших углов атаки образует тонкий слой максимальных концентраций с наветренной стороны. С уменьшением угла атаки с наветренной стороны происходит его утолщение с понижением уровня интенсивности. С подветренной же стороны для больших углов атаки в отрывной зоне наблюдается локальное снижение концентрации окиси азота и повышение концентрации ионов окиси азота (рис.48б,в;52в,г). Наличие локальных максимумов концентраций с подветренной стороны объясняется для больших углов атаки влиянием интенсивного поперечного течения газа. Поле скорости (рис49в,г) вблизи точки отрыва поперечного потока таково, что снос средним течением (конвективный перенос) компонентов по направлению к точке отрыва осуществляется не только с наветренной, но и с подветренной сторон тела. Отрыв поперечного потока для угла атаки а =20 наблюдается на расстоянии примерно соответствующем четырем калибрам от носка Расчет отрывной зоны оказался возможен только с применением полных уравнений Навье-Стокса
Для сечения, соответствующего пятому калибру, где эффекты отрыва поперечного потока менее выражены, наблюдается схожая картина с распределением концентраций химических компонентов, что и для дальнего сечения (10 калибров) при малых углах атаки (рис 50-55). Отход ударной волны на подветренной стороне меньше приблизительно в 1.5-1.7 раза для различных углов атаки Локальные максимумы с подветренной стороны для атомов ярко выражены в передней части тела, хотя также наблюдаются и на боковой поверхности. Причем для малых углов атаки концентрации слабо различаются на наветренной и подветренной сторонах (рис.55) в конкретном сечении тела
Распределение электронных концентраций в зависимости от угла атаки и сечения показаны на рис.47,516,56 Так, сравнивая значения в одинаковых сечениях и при различных углах атаки, можно отметить, что для приблизительно одинаковых уровней электронных концентраций различия в толщинах плазменных зон на подветренных сторонах составляют от 1.4 до 1.8 раз. При этом занимаемая заряженными частицами по ширине относительная область ударного слоя остаётся приблизительно постоянной.
