Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор теоретических подходов к описанию развитых турбулентных течений . 13
1.1 Общая характеристика современных моделей развитой гидродинамической турбулентности 13
1.2 Прямое численное моделирование турбулентности 20
1.3УравненияНавье-Стокса,осредненныепоРейнольдсу 22
1.4 Моделирование большими вихрями 26
1.5 Детерминированный хаос и гидродинамическая турбулентность ..29
1.6 Другие перспективные подходы к описанию турбулентности. 34
1.7 Выводы по первой главе 38
2. Обобщение модели локального баланса и обобщенные решения Кармана 41
2.1 Вывод основных уравнений модели 41
2.2 Стационарное решение диссилативной модели для плоского течения Куэтта 55
2.3 Безнапорное турбулентное течение в цилиндрической щели 57
2.4 Крупномасштабность модели обобщенного локального баланса 67
2.5 Модель турбулентности. Стационарность и нестационарность... 69
2.6. Развитое турбулентное течение Тэйлора-Куэтта между двумя соосными вращающимися цилиндрами 71
2.7 Сравнение с экспериментами 75
2.8 Закон сопротивления для турбулентного течения Тэйлора-Куэтта при очень больших числах Рейнольдса при вращении только
внутреннего цилиндра 81
2.9 Турбулентное течение в круглой трубе 87
2.10 Выводы по главе 90
3. Нестационарное крупномасштабное моделирование плоского турбулентного течения Куэтта 92
3.1 Феноменологическое уравнение переноса удельной скорости диссипации турбулентной энергии и саморегуляризация его разностной аппроксимации 98
3.2 Об уравнении переноса импульса в приближении постоянства во времени удельной скорости диссипации турбулентной энергии 105
3.3 Взаимодействие крупномасштабных полей скорости и диссипации в приближении локального баланса турбулентной энергии 111
3.4 Регуляризация уравнений модели введением операторов высокого порядка по пространственным переменным 114
3.5 Анализ проведенных численных экспериментов 122
3.6 Выводыпо главе... 130
4. Новое уравнение для мелкомасштабных поляризационных Фурье-компонент в анизотропной турбулентности . 132
4.1 Введение 132
4.2 Вывод уравнений для мелкомасштабных фурье-компонент скорости в анизотропной турбулентности 133
4.3 Приложение для моделирования большими вихрями 141
4.4 Сравнение с некоторыми другими моделями 142
4.5 Вывод основных уравнений в спектральном пространстве 144
4.6 Вывод основных уравнений в физическом пространстве 153
4.6.1 Выводы 155
4.7 Баланс турбулентной энергии в спектральном пространстве... 156
4.8 Линейная неустойчивость сдвиговых турбулентных течений, создаваемая мелкими вихрями 159
4.8.1 Введение 159
4.8.2 Линейный анализ устойчивости мелкомасштабных поляризационных Фурье-компонент скорости в анизотропной турбулентности 160
4.8.3 Анализ результатов и заключение 164
4.9 Выводы по главе 165
5. Обобщенная модель Навье-Стокса-Бюргерса для метода моделирования большими вихрями в неизотропной турбулентности 168
5.1 Мотивация постановки задачи 168
5.2 Уравнения модели 169
5.3 Спектры напряжений Реинольдса и энергии квазиоднородной турбулентности 174
5.4 Спектры энергии и напряжений Реинольдса для случая однородного сдвига 176
5.5 Асимптотики одномерных спектров Реинольдса в области очень больших волновых чисел 180
5.6 Поведение спектров в области малых волновых чисел... 187
5.7 Численный расчет спектров напряжений Реинольдса и энергии. Сравнение с экспериментами 191
5.8 Графики спектров энергии и напряжений Рейнолъдса 193
5.9 Выводы по главе 195
6. Заключение 200
Список литературы
- Детерминированный хаос и гидродинамическая турбулентность
- Развитое турбулентное течение Тэйлора-Куэтта между двумя соосными вращающимися цилиндрами
- Регуляризация уравнений модели введением операторов высокого порядка по пространственным переменным
- Вывод основных уравнений в спектральном пространстве
Детерминированный хаос и гидродинамическая турбулентность
Движение газов и жидкостей в природе и технике носит, как известно, преимущественно турбулентный характер. Лишь сравнительно очень небольшая часть явлений, обусловленных относительно медленным движением водных и воздушных масс может быть отнесена к ламинарным : ток крови в мелких сосудах , задачи анализа движения простейших микроорганизмов в лужах, капиллярные струи окрашенной жидкости в печатающих устройствах и т.п. Большинство исследователей в настоящее время полагают, что движение несжимаемой жидкости, не только ламинарное но и турбулентное описывается уравнениями Навье-Стокса [113,114,155]. діщ + щд щ - udjdjUi = -дГ1дір (1) dm = о (2) где ді - частная производная по і-й пространственной координате, uy(x, t) - j- компонента скорости (j=l,2,3), g- плотность, р- давление, и- коэффициент молекулярной вязкости жидкости . Здесь и далее по тексту по повторяющимся индексам подразумевается суммирование ( соглашение Эйнштейна). В качестве граничных условий обычно берется условие прилипания на твердых границах. В качестве начальных условий задается значение скорости во всем пространстве, занятом жидкостью. Если обозначить через U и L характерные скорость и длину течения, то уравнения Навье-Стокса (1) и (2) можно привести к безразмерному виду: V{ = щ/U, Уі = ХІ/L, т = t/(L/U), P = P/(QU2) drV{ + VjdjVj - Re ldjdjV{ — -d{P (3) где Re-число Рейнольдса. При больших числах Рейнольдса коэффициент при операторе Лапласа в (3) становится малым, что приводит к большим математическим трудностям в описании развитой турбулентности на основе уравнений (1),(2).
Прежде чем переходить к классификации моделей турбулентности, обратимся к определениям, что же понимается под словосочетанием "гидродинамическая турбулентность". Поскольку в настоящее время не существует общепризнанной теории турбулентности , дающей исчерпывающее ее количественное описание, то обратимся к качественным динамическим свойствам жидкости, характеризующим турбулентность. Согласно [372J, турбулентность- это движение жидкости , обладающее сложной и , по-видимому, случайной структурой на некотором макроскопическом масштабе, важном для динамики. Одним из наиболее существенных свойств развитой турбулентности является усиление процессов переноса импульса, энергии и пассивной примеси в жидкости. Турбулентное течение содержит в себе гораздо в большей степени мелкомасштабную структуру, чем ламинарное течение. Наличие такой структуры при этом свидетельствует об увеличении транспортных свойств жидкости, поскольку эта мелкомасшабная структура развивается из разрушения крупномасшабных структур, которая затем переходит в тепловую энергию жидкости. Другой важной особенностью турбулентных потоков жидкости является их случайность и неустойчивость к малым возмущениям. Два турбулентных потока, которые были почти одинаковы в некоторый момент времени, не остаются тождественными на временных масштабах, представляющих интерес. Эта неустойчивость тесно связана с ограниченной предсказуемостью атмосферных движений . Под развитой турбулентностью обычно понимают турбулентное движение , осуществляемое при числах Рейнольдса, во много раз превышающих критическое число Рейнольдса ReCVi которое определяет переход от ламинарного движения к турбулентному. Статистика развитых турбулентных течений обладает устойчивыми свойствами, в отличие от переходных режимов. Систематическое изложение современной 1К теории турбулентности содержится в [113,114]. Модели турбулентности должны согласоваться с каскадным процессом переноса энергии от больших масштабов к малым и последующей диссипацией мелких вихрей непосредственно в тепло (процесс Колмогорова-Ричардсона [80]), или необходимо дать альтернативные механизмы иерархии масштабов. Кроме того, развитая турбулентность характеризуется с одной стороны пространственно-временным хаосом, с другой стороны наличием в жидкости упорядочных образований - когерентных структур [35,37]. И, если при установлении режима развитой турбулентности говорят о переходах "порядок - хаос", то при больших числах Рейнольдса говорят, что хаос порождает порядок [37]. Одна из целей данной диссертации и состоит в том, чтобы дать феноменологичский подход для режима развитой турбулентности, который согласовался бы с хаотическим поведением жидкости, процессом Ричардсона-Колмогорова и давал бы разумные значения коэффициентов сопротивления и пространственных распределений характеристик турбулентности.
Один из аспектов трудностей, с которыми сталкиваются при построении теории развитой турбулентности , связывают обычно с незамкнутостью системы моментных уравнений [113]. Поскольку гидродинамические поля в развитой турбулентности быстро изменяются в пространстве и времени, было предложено О.Рейнольдсом в 1890 году (см.
Развитое турбулентное течение Тэйлора-Куэтта между двумя соосными вращающимися цилиндрами
Существующие модели развитой турбулентности можно классифицировать как крупномасшабные и мелкомасштабные. Мелкомасштабные имеют дело с вихрями меньшими, чем интегральный масштаб турбулентности моделирование крупными вихрями. В этих моделях напряжения Рей-нольдса понимается как осреднение по пространственному масштабу, определяемому минимальным размером расчетной сетки. То есть вклад в напряжения Рейнольдса вносят те вихри, которых не может разрешить расчетная сетка (модели типа Смагоринского). Крупномасштабные модели должны определять интегральный масштаб турбулентности через свои переменные. Кроме того эти модели содержат уравнения переноса для переменных модели, число которых определяется искусством модельера, чтобы удовлетворить по возможности максимально большому числу экспериментов. Относительно недавно большой интерес был вызван возможной связью детерминированного хаоса и развитой турбулентностью. Кроме того в развитых турбулентных течениях выявлены крупномасштабные когерентные структуры. Наличие этих объектов в турбулентных течениях указывает на сложную динамику даже самых крупных вихрей, и требует развития не только полуэмпирических моделей, но и достаточно сложных аналитических моделей турбулентности. Имеется свидетельство, что по крайней мере некоторые турбулентные течения имеют странный хаотичный аттрактор с размерностью порядка 10 даже для больших чисел Рейнольдса [199]. Следовало бы ожидать, что крупномасшабные модели турбулентности будут демонстрировать такое поведение, однако такие модели как "& — є модель", "к — ш модель" , модели переноса напряжений Рейнольдса дают слишком гладкое пространственное и временное поведение таких переменных как крупномасштабная скорость, кинетическая энергия, скорость диссипации. Таким образом, создание новых моделей турбулентности со сложным поведением в пространстве и времени весьма желательно как в теоретическом аспекте, так и практическом (распространение электромагнитных волн через турбулентную среду, предсказание погоды). Интересный подход к динамике сложных систем, в том числе турбулентности, предложен в концепции самоорганизованной критичности (слабый ха-ос)[177]. Однако если в развитой турбулентности старший показатель
Ляпунова положителен , то "самоорганизованная критичность" может не реализовываться.
Исследование детерминированного хаоса в распределенных системах щироко проводится на основе модели Курамото-Сивашинского [345]. Существенная зависимость от начальных условий обеспечивается отрицательным коэффициентом диффузии. Регуляризация быстро растущих мелкомасштабных гармоник обеспечивается билапласианом (квадратом оператора Лапласа). Модели с отрицательным коэффициентом турбулентной вязкости были рассмотрены в [123,128,129,241,267,475].
Гипотеза отрицательности коэффициента диффузии диссипации была выдвинута автором диссертации в [15] и развита в [18-23,181,183], соображения, положенные в основу модели, изложены в предыдущих главах. dtUi + UjdjUi = -dp + dj[uT(djUi + дщ)] - ад2(Отд2щ) (46) dte + Ujdje = P{KS - K djiuTdje)) - fd\DTd2s) (47) dm = 0 (48) где -Uj-средняя или крупномасштабная скорость (1=1,2,3), є = \ НОА + d f (49) - удельная скорость диссипации турбулентной энергии, д2 = діді- сумма по і, р = g pi- u iU i (50) - модифицированное давление , а, /3,7 - константы модели ,к- констан та Кармана ,8-инвариант скорости деформации S = \/2SijSji с Sij = \{djUi + diUj), DT = 2/55-коэффициент "супервязкости ", полученный из соображений размерности и служащий для регуляризации модели . Соображения, положенные в основу уравнения для диссипации, из ложены в предыдущих главах. Выражение для турбулентной вязкости рт = є/S2 легко может быть выведено из приближения локального ба ланса энергии турбулентности: производство энергии турбулентности = диссипации. Граничные условия выбираются как в стандартной "k-є модели" с помощью пристеночных функций и = щк 1\п(Си:х/и)1 (51) є = «;/(« ), (52) х - 0 где х— расстояние от стенки, w+- динамическая скорость трения. Первый член в правой части в уравнении переноса диссипации обес 7П печивает общее увеличение завихренности под действием сильного круп-номасшабного градиента скорости. Второй член компенсирует первый в логарифмическом слое (таким образом "отрицательная диссипация" появляется в этом уравнении некоторым формальным образом). Дополнительные соображения о структуре этого уравнения излагаются в следующей главе. Члены, содержащие четвертые производные по пространству в обоих уравнениях переноса крупномасштабной скорости и диссипации, не приводят к уничтожению логарифмического слоя, а лишь срезают мелкомасштабные гармоники, ограничивая рост оставшихся мелкомасштабных компонент из-за третьей степени соответствующих членов уравнения .
Рассмотрим турбулентное течение между двумя вращающимися цилиндрами в противоположном направлении (или один из них покоится), V\- линейная скорость точек на поверхности внутреннего цилиндра ,Уг-скорость точек на поверхности внешнего цилиндра, радиусы цилиндров а, Ь{Ь а). Угловые скорости вращения цилиндров ш\ = vi/a, и 2 = vijh. Пусть внутренний цилиндр вращается против часовой стрелки (или
Регуляризация уравнений модели введением операторов высокого порядка по пространственным переменным
Полученные уравнения, точнее их линейная часть, более просты чем, используемые в теории "Быстрого искажения турбулентности", что облегчает дальнейший аналитический анализ . В согласии с принципом подчинения Хакена [156] ( специальный случай теорем об "центральном многообразии" [214]) динамика нелинейных систем в первую очередь определяется динамикой наиболее неустойчивых мод ( в нашем случае моды с Лі по направлениям , максимизирующим Лі). В подсе-точном моделировании - моделирование большими вихрями - до сих пор используется параметризация Смагоринского [423], где коэффициент подсеточной турбулентной вязкости щ определяется инвариантом а именно: щ = ciL25, где сі это эмпирическая постоянная . Но иногда лучшие результаты получаются при использовании для параметризации подсеточного коэффициента турбулентной вязкости крупномасштабной завихренности \ft\: vt = C2.Z/22 [125], где сг - еще одна эмпирическая постоянная. Согласно нашему приближению для параметризации этого коэффициента vt необходимо использовать действительную часть (5К(Аі))т,шж : vt = c3L2(K(A1))mas, (28) где максимум берется по всем направлениям вектора к, где сз - еще одна эмпирическая константа . Этот инвариант можно назвать основным инвариантом турбулентности тензора-градиента крупномасштабной скорости dV, так как именно этот инвариант в большей степени, чем другие инварианты определяет переход энергии от крупных вихрей к мелким, за исключением районов с большими значениями завихренности (ядра когерентных вихрей) и малых S , где max\ffi\i\ очень мал. Эта область требует специального рассмотрения.
Сравним наш результат с еще некоторыми другими моделями. Уменьшение коэффициента турбулентной вязкости при увеличении крупномасштабной завихренности - явление достаточно известное. Так в [486] была предложена феноменологическая модель турбулентности с учетом крупномасштабной завихренности с коэффициентом турбулентной вязкости: ит = щ(к2/є)[1 + О.ЗбШ/є)], где VQ- константа, к- кинетическая энергия турбулентности, е- удельная скорость диссипации турбулентной энергии, ft = JWijWjj- модуль 149 крупномасштабной завихренности, Wij- антисимметричная часть тензора градиента скорости d\J . Похожее выражение использовалось в [346] для коэффициента турбулентной вязкости: где /р- коэффициент, зависящий от числа Рейнольдса, т\ = к/є- характерное время оборота энергосодержащих вихрей, і/-кинематический коэффициент молекулярной вязкости, cft = А\ + A0Ti max(5, fi) А\ = 8, А0 = І/ЗСОБФ, Ф = vT3arccos(\/6a;), S6 В нашем подходе и в этих работах коэффициент турбулентной вязкости уменьшается с увеличением завихренности. В указанных работах коэффициент турбулентной вязкости стремится к нулю при стремлении завихренности к бесконечности, в нашем подходе v? ос aS -f- \/b2S2 — №, если fi bS, где а и b некоторые численные константы, при О S, коэффициент турбулентной вязкости VT пропорционален характерной величине тензора деформации S, то есть коэффициент турбулентной вязкости перестает зависеть от крупномасштабной завихренности. Какая ситуация более близка к действительности - сказать пока трудно. 143
Кроме того сами величины к, є могут зависеть от крупномасштабной завихренности через свои уравнения переноса. Так же следует иметь ввиду, что наш подход наиболее просто приспособлен для моделирования подсеточных эффектов с заданным шагом разностной сетки (моделирование большими вихрями) , а упомянутые модели относят к крупномасштабным моделям с осреднением по Рейнольдсу. Этот раздел был основан на работе автора диссертации [29].
Вывод основных уравнений в спектральном пространстве
По-видимому, построить полностью адекватную модель турбулентности в настоящее время не представляется возможным. В отдаленном будущем, когда с помощью новых комьпютеров исследователи рассчитают по уравнениям Навье-Стокса турбулентные течения во всех геометриях, представляющих интерес, а экспериментаторы представят исчерпывающий материал по основным характеристикам крупномасштабной и мелкомасштабной турбулентности, только тогда можно будет говорить об исчерпывающем описании турбулентности с помощью математических моделей. Пока турбулентность следует рассматривать в рамках концепции сложности. Согласно этой концепции ни одна из моделей не может дать исчерпывающее описание. Можно говорить лишь об отражении лишь той или иной стороны явления в той или иной модели. В данной докторской диссертации, которая представляет единоличный вклад автора в решение проблемы турбулентности, разработаны теоретические положения: сформулирована и исследована обобщенная модель Кармана, а также предложены упрощенные подходы для анализа мелкомасштабной структуры турбулентности несжимаемой жидкости. Автор полагает, что совокупность этих теоретических положений можно квалифицировать как новое крупное научное достижение. Более подробно совокупность теоретических достижений состоит в по 9.ПП следующих пунктах. К практическим применениям результатов диссертации следует отнести возможное использование обобщенной концепции локального баланса для расчета основных характеристик прибора Куэтта, который применяется для смешения смесей и разделения крупнодисперсных фракций. Полученные закономерности могут быть использованы для анализа закономерностей теплообмена в паровых турбинах. Преимущество перед моделями других авторов состоит в том, что обобщенные решения Кармана для течения Тэйлора-Куэтта в пределе очень больших чисел Рейнольдса содержат только постоянную Кармана. Этим модель отличается , в частности, от модели Дюбрюля -Херсанта [243]. Полученные спектры подсеточных напряжений Рейнольдса могут быть использованы для расчета подсеточных напряжений Рейнольдса в рамках моделирования большими вихрями многочисленных прикладных задач гидродинамической турбулентности, таких, как обтекание судов, космических аппаратов и т.п.
Преимущество суррогатной модели, представленной в данной диссертации , перед известной моделью Канюто-Дубовикова [210,211], которая тоже не содержит эмпирических констант, состоит в более прозрачной физической постановке, явностью выражений для подсеточных напряжений Рейнольдса. (Справедливости ради следует отметить, что модель Канюто-Дубовикова для турбулентности со сдвигом выведена не 9П1
посредственно из уравнений Навье-Стокса с использованием ряда упрощений.) Суррогатная модель образована феноменологическим путем, как и , например, недавно опубликованная модель Коннатона-Назаренко [225]. Однако суррогатная модель Навье-Стокса-Бюргерса дает не только спектр энергии, как [225], но и все спектральные компоненты подсе-точного тензора Рейнольдса в явном виде, не решая дифференциальных уравнений, что делает суррогатную модель пригодной для приложений в рамках подхода моделирования большими вихрями. В итоге следует заключить:
.Получены обобщенные решения Кармана для развитых турбулентных течений, содержащие только две универсальные константы Кармана: к = 0,4, С = 9,5 турбулентного пограничного слоя. Рассмотрено круговое течение Тэйлора-Куэтта движения несжимаемой жидкости между двумя соосными цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями ( а так же , когда один из цинидров покоится); течение в цилиндрической щели, когда один из цилиндров смещается относительно другого с постоянной скоростью вдоль осей цилиндров (численное решение).
Эти решения переходят в известное решение Кармана для распределения средней скорости когда ширина канала (щели) становится много меньшей по сравнению с каждым из радиусов. Для течения Тэйлора-Куэтта законы сопротивления и распределение средней скорости хо 9П9 рошо согласуются с одними экспериментальными данными и плохо с другими . Наличие в решениях лишь двух универсальных констант Прандтля-Кармана позволяет провести систематизацию практически всех экспериментов (за исключением случая малых градиентов скорости при близких угловых скоростях вращения цилиндров), выполненных для разного соотношения радиусов цилиндров и для разных скоростей вращения.
Автором данной диссертации выдвинута гипотеза (и обоснована) об отрицательности коэффициента диффузии скорости диссипации турбулентной энергии (единственная величина, входящая в знаменитый закон Колмогорова -5/3 в качестве свободного макроскопического параметра). Это предположение находится в противоречии с положительностью этого коэффициента в известной "к-эпсилон" модели Лаундра -Джонса, широко используемой до сих пор в приложениях и имеющей несколько "теоретических выводов" из исходных уравнений Навье-Стокса. С другой стороны гипотеза об отрицательности коэффициента диффузии диссипации согласуется с рассуждениями известного специалиста по нелинейной теории устойчивости Стюарта (J. Stuart) об возможной отрицательности эффективного коэффициента завихренности. Следует отметить, что автор данной диссертации выдвинул свою гипотезу независимо от Стюарта, вначале не зная об этой работе 1981 года, в 1983 году на конференции по энергетике океана в г. Владивостоке.
Похожие диссертации на Математическое моделирование на основе обобщенных моделей Кармана и Навье-Стокса-Бюргерса течений несжимаемой жидкости в развитой турбулентности
