Содержание к диссертации
Введение
1. Инвариантные решения 16
1.1. Предварительные сведения 16
1.2. Уравнения вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости и алгебра Ли 18
1.3. Оптимальные системы подалгебр : 21
1.4. Точные решения, построенные с помощью оператора Капитанского 24
2. Частично инвариантные решения 35
2.1. Новый класс точных решений 35
2.2. Линеаризация 41
2.3. Движение в полубесконечном цилиндре с особенностями на оси симметрии 43
2.4. Задача о движении жидкости под штампом 48
2.5. Стационарные решения 55
2.6. Автомодельные решения 63
3. Решения, построенные на основе частично инвариантных 69
3.1. Построение решения на основе частично инвариантного 69
3.2. Начально-краевая задача для гиперболического уравнения 73
3.3. Обобщенная задача Гурса 78
Заключение 86
Приложения 89
Список литературы
- Уравнения вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости и алгебра Ли
- Точные решения, построенные с помощью оператора Капитанского
- Движение в полубесконечном цилиндре с особенностями на оси симметрии
- Начально-краевая задача для гиперболического уравнения
Введение к работе
Вращательно-симметричные движения жидкости представляют большой интерес в связи с возможностью описать на их основе катастрофические явления в природе, такие как водовороты, смерчи, торнадо, циклонические вихри, а также использовать их в вихревых технологиях (сепараторы, циклоны-пылеуловители и др.) и при проектировании гидроэнергетических установок. Плодотворные исследования этих природных явлений и моделирование технологических процессов выполняются на основе модели идеальной несжимаемой жидкости [1-
4].
Для плоского и осесимметричного движения идеальной несжимаемой жидкости доказаны глобальные теоремы существования и единственности решений основных задач, таких как задача Коши и задача протекания, в то время как в случае вращательной симметрии до сих пор имеются только локальные результаты. Поэтому важно иметь широкий набор точных решений этих уравнений. Точные решения можно использовать для анализа конкретных начально-краевых задач, выявления новых эффектов, описываемых моделью, тестирования численных методов. Они часто отражают асимптотику и позволяют исследовать качественные свойства системы.
Один из наиболее мощных и универсальных методов интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными - это групповой анализ дифференциальных уравнений, разработанный С. Ли и Э. Нётер, и развитый в 60-80 гг. XX века в работах Г. Биркгофа [5], Л.В. Овсянникова [6,7], Н.Х. Ибрагимова [8], П. Олвера [9], и других ученых. Основной идеей группового анализа в области интегрирования дифференциальных уравнений, является поиск непрерывных групп симметрии системы дифференциальных уравнений, то есть непрерывных преобразований зависимых и независимых переменных, оставляющих уравнения инвариантными. Далее вычисляются комбинации независимых и зависимых
переменных, не меняющиеся при групповых преобразованиях - инварианты группы симметрии системы, которые выбираются в качестве новых переменных. Такая процедура приводит к понижению размерности системы уравнений, а в некоторых случаях - к понижению ее порядка или к разделению переменных.
Групповой анализ дифференциальных уравнений давно стал мощным инструментом исследования нелинейных уравнений и краевых задач. Особенно плодотворно его применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладываются уже при выводе этих уравнений. Различные примеры точных решений моделей механики сплошных сред можно найти в работах Л.В. Овсянникова, В.К. Андреева, О.И. Богоявленского, СВ. Головина, О.В. Капцова, СВ. Мелешко, П. Олвера, В.В. Пухначева, К. Роджерса, В.И. Фущича, СВ. Хабирова, А.А. Чеснокова, А.П. Чупахина и других авторов.
Цель работы заключается в изучении групповых свойств модели вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости, интегрировании редуцированных систем уравнений, построении новых точных решений и их физической интерпретации. В работе используется техника группового анализа, методы общей теории дифференциальных уравнений, а также численное моделирование.
В диссертации представлены три класса точных решений: инвариантные решения, полученные с использованием оператора Л.В. Капитанского [10], частично инвариантные решения и решения, построенные с помощью частично инвариантных.
На защиту выносятся следующие основные научные результаты.
Вычислена группа, допускаемая системой уравнений Эйлера вращательно-симметричного движения (в переменных радиальной и осевой компонент скорости, квадрата циркуляции окружной скорости и азимутальной компоненты вихря). Построены одно- и двумерные оптимальные системы
подалгебр бесконечномерной алгебры Ли, отвечающей найденной группе. Даны различные примеры инвариантных и частично инвариантных решений, полученных с помощью аналога оператора Капитанского.
Получены точные решения, являющиеся частично инвариантными относительно некоторой 6-ти параметрической группы. В качестве примера приложения этих решений решена задача о неустановившемся движении жидкости в полубесконечном цилиндре, поверхность которого непроницаема, а на оси распределен вихреисточник переменной интенсивности. Показано, что выбором начальных данных можно добиться концентрации особенностей на оси.
Решена задача о деформации цилиндрического слоя со свободной боковой поверхностью под штампом в случае непотенциального поля скоростей и наличии вихреисточника на оси симметрии.
Подробно исследован класс стационарных неавтомодельных течений, которые определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4-го порядка, интегрируемой в квадратурах. Приведены типичные фазовые портреты течений.
Рассмотрены решения, построенные на основе частично инвариантных, с помощью метода, предложенного В.В. Пухначевым [11]. Установлена локальная по времени разрешимость начально-краевой задачи для гиперболического уравнения 4-го порядка, описывающего такие решения. Кроме того, для этого уравнения рассмотрена обобщенная задача Гурса. Получены достаточные условия разрушения ее решения за конечное время, а также условия существования классического решения в ситуации, когда оно определено для всех значений радиальной координаты. Установлено, что в классе изучаемых решений уравнений Эйлера задание начального поля скоростей во всем пространстве не определяет однозначно решение задачи Коши.
Достоверность полученных в диссертации результатов устанавливается доказательствами. Результаты иллюстрируются численными примерами и наглядным графическим материалом.
Все результаты являются новыми.
Результаты выполненных в диссертационной работе исследований вносят вклад в теоретическую гидродинамику, пополняя набор известных точных решений и существенно обобщая некоторые существующие точные решения вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости. Точные решения могут быть использованы при физическом моделировании вихревых течений, а также использоваться в качестве тестовых при конструировании численных методов. Результаты работы представляют интерес для специалистов в следующих областях: теоретическая гидродинамика, моделирование вихревых течений, групповой анализ дифференциальных уравнений.
Основные результаты докладывались
на семинаре под руководством академика РАН Л.В. Овсянникова и д.ф.-м.н. А.П. Чупахина в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,
на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В.В. Пухначева в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,
на семинаре под руководством д.ф.-м.н. P.M. Гарипова и профессора Б.А. Луговцова в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,
на семинаре под руководством чл.-корр. РАН И.А. Тайманова в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН,
на семинаре под руководством чл.-корр. РАН СВ. Алексеенко в Институте теплофизики им. С.С. Кутателадзе СО РАН,
на семинаре под руководством профессора О.В. Капцова в Институте вычислительного моделирования СО РАН,
а также на следующих научных конференциях:
Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 2001),
Международная молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения -2001" (Казань, 2001),
II и III Международные конференции "Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов" (Сочи, 2001; 2002),
XL Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2002),
Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2004),
Всероссийские конференции "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)" (Абрау-Дюрсо, 2004) и "Аналитические методы в газовой динамике (САМГАД)" (Санкт-Петербург, 2006),
Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2005),
Международная конференция "Проблемы современной математики и механики" (Казахстан, Алматы, 2005),
VI и VII Международные конференции "Симметрия в нелинейной математической физике" (Украина, Киев, 2005; 2007).
Основные положения диссертации опубликованы в работах [29-32]. Работа [31] выполнена в соавторстве с В.В. Пухначевым. Вклад авторов в совместной работе является равным.
Диссертация объемом 92 страницы состоит из введения, трех глав, заключения, 1 приложения, 25 иллюстраций и списка литературы из 32 наименований.
В первой главе рассматривается вращательно-симметричное движение идеальной несжимаемой жидкости в отсутствие внешних сил. В системе
уравнений Эйлера, описывающей такие движения, был сделан переход к новым искомым функциям и, w, Q = (rv) , q = г'1 {иг - wr). Здесь u,v,w - проекции вектора скорости на оси г, в, z цилиндрической системы координат. Функции и, w, q и Q удовлетворяют следующей системе уравнений:
ur+wz+r~lu = 0, uz-wr=rq,
q, + uqr + wqz = r~4Cl2, Clt + uQr + wQz = 0.
Базис алгебры Ли L, соответствующей наиболее широкой группе, допускаемой системой (1), имеет вид:
Х,=д„ Х2=дп, X3=tdt-udu-wdw-2Qdn-qdg,
Х4 = rdr + zdz + иди + wdw + 4fidn - qdq, (2)
{<р) = <р(і)дж + ф(і)д„,
где <р(і)єС - произвольная функция, {) - обозначение для оператора,
содержащего произвольную функцию. Кроме того, система (1) допускает три дискретных преобразования:
Ix\ t->-t, г-ї-г, z->-z, I2: t->-t, z-±-z, u-> -u, /3: z -> -z, w -> -w, q -> -q.
Следует отметить, что оператор Х2 характерен именно для вращательно-симметричного движения. Этому оператору соответствует нелинейное
преобразование окружной скорости v' = (v2 + 2ar~2) и преобразование давления
р'~р-аг~г {a = const), сохраняющее исходную систему уравнений Эйлера. Допустимость такого преобразования была обнаружена Л.В. Капитанским [10]. Для алгебры Ли L были выписаны одно- и двумерные оптимальные системы подалгебр, среди которых были выделены подалгебры, содержащие оператор Х2.
Даны различные примеры инвариантных и частично инвариантных решений, полученных с помощью оператора Х2. Рассмотрен пример инвариантного решения с особенностью в плоском движении с вращательной симметрией, построенное относительно подгруппы {Х\ + Х2} из оптимальной
системы подалгебр (2). Данное решение можно интерпретировать как закрученное движение жидкости в кольце 0 < Tj < г < г2 с проницаемыми стенками. Этому движению соответствует обобщенное решение уравнений Эйлера, в котором все искомые функции непрерывны, однако окружная скорость имеет бесконечную производную на границе области закрутки. Полученное решение определено на конечном интервале времени, поэтому рассматривается задача о возможности продолжения решения с сохранением непрерывности всех искомых функций. Построенный пример описывает вытеснение закрученного потока в кольце незакрученным, так что в некоторый указанный момент времени вся область течения заполняется чисто радиальным движением. Рассмотрены и другие примеры сопряжения закрученных потоков с осесимметричными, а также потенциальных течений с вихревыми.
Подробно исследован класс стационарных решений, близких к автомодельным, в которых функции и, w обратно пропорциональны г, а функция Q имеет логарифмическую особенность по г:
где = zlг. Заметам, что компоненты скорости и, w автомодельны, в то время как поле завихренности этим свойством не обладает. Эти решения определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4-го порядка, которая интегрируется в квадратурах. Привидены типичные фазовые портреты течений.
Во второй главе рассмотрены вращательно-симметричные движения идеальной несжимаемой жидкости в отсутствие внешних сил. Уравнения Эйлера, описывающие такие движения, допускают точные решения, которые выделяются свойством частичной инвариантности относительно некоторой 6-параметрической группы Ли [12]. Эти решения имеют ранг два и максимально возможный в данной модели дефект, равный трем. Осевая компонента скорости в них не зависит от радиуса, в то время как остальные искомые функции зависят от всех трех независимых переменных в цилиндрической системе координат:
w = w(z,t), u = u(r,zit), v = v(r,z,t), p = p(r,z,t).
Примечательно, что редуцированная система уравнений сводится к системе гиперболического типа, хотя исследуются движения несжимаемой жидкости. Изучаемые решения разбиты на классы по числу входящих в них априори произвольных функций. Наиболее богатый из них содержит четыре произвольных функции осевой координаты и одну произвольную функцию времени. Решения этого класса с помощью нелинейных подстановок и квадратур выражаются в терминах решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
В качестве примера приложения полученных решений рассматривается задача о неустановившемся движении жидкости в полубесконечном цилиндре, поверхность которого непроницаема, а на оси расположен вихреисточник переменной интенсивности. Для этого случая показано, что возможно периодическое по времени движение жидкости (сильно нелинейные колебания), с
поверхностью сильного разрыва, по одну сторону от которой жидкость движется как вращающийся поршень. Это движение порождается взаимодействием источников и вихрей, распределенных на оси симметрии. Показано, что выбором начальных данных можно добиться концентрации особенностей на оси, т.е. промоделировать распределенный источник со сколь угодно малым носителем.
На основе проведенной классификации уравнений, полученных путем анализа переопределенной системы с тремя "лишними" искомыми функциями, также была рассмотрена система гиперболического типа с одной пространственной переменной, которая описывает деформацию цилиндрического слоя со свободной боковой поверхностью под штампом. Для определяющего дифференциального уравнения была поставлена следующая начально-краевая задача
+
^ = 0,
дг (3)
кг +q(t)
dt [_ 2(\ + kt) г
r(r,Q) = S(r) при 0<г<п; Г(0,ґ) = К0 при ґ>0
где Т = 2nrv, q(t) - произвольная функция времени, которая физически означает интенсивность источников (стоков), отличную от нуля константу к можно считать равной 1 или -1. Отметим, что при к > 0 верхняя стенка движется вверх, при к < 0 - вниз.
Ранее Л.В. Овсянниковым [13] рассматривалась задача о потенциальном движении цилиндрического слоя под штампом; особенности поля скоростей отсутствовали, поле скоростей по пространственным координатам было линейным. Более общая задача о движении жидкости под штампом, рассмотренная в данной работе, предполагает наличие вихреисточника на оси симметрии. Отличительными особенностями рассматриваемой задачи является то, что интенсивность источника или стока может быть задана произвольной
функцией времени и может быть рассмотрена начально-краевая задача для определяющего дифференциального уравнения. Кроме того, поле скоростей по пространственным координатам нелинейно.
Таким образом, получен класс новых точных решений, описывающих вихревые движения идеальной несжимаемой жидкости, включая движения с особенностями - вихреисточниками переменной интенсивности, расположенными вдоль оси симметрии.
Также рассмотрены точные стационарные и автомодельные решения уравнений Эйлера, частично инвариантные относительно упомянутой 6-параметрической группы Ли. Приведены новые примеры вихревого движения жидкости с закруткой в криволинейных каналах. Найден новый случай интегрируемости уравнения Грэда-Шафранова - основного уравнения стационарных вращательно-симметричных течений идеальной несжимаемой жидкости. Проведена классификация автомодельных решений редуцированной системы с двумя независимыми переменными, которая допускает трехпараметрическую группу растяжений, в то время как исходная система уравнений Эйлера обладает двухпараметрической группой.
В третьей главе исследуются точные решения уравнений вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости, записанные в следующей форме [11]
гг (и, + uur + wuz + р~хрг) - Q, = О, w, + uwr + wwz + p~xpz = О, ur+r~lu + wz=0, Qt+uQr+wQ2=0,
где Q = (rv) - квадрат циркуляции окружной компоненты скорости, и, v, w
обозначают проекции вектора скорости на оси г, в, z цилиндрической системы координат соответственно, р - давление жидкости, р - ее плотность.
Исследуется новый класс решений, построенных на основе частично инвариантных с помощью метода, предложенного в [11]. Полагая в (4) Q = 0, приходим к "укороченной" системе, которая допускает трехпараметрическую
группу G, образованную операторами [dz,tdz + dw,d\. Согласно алгоритму,
предложенному в [11], решение, частично инвариантное относительно данной группы, было подставлено в исходную систему (4). Полученная переопределенная система уравнений была исследована на совместность и сведена к одному гиперболическому уравнению четвертого порядка для функции y(^,t) = r2/S [11]:
(5)
где о - произвольная функция лагранжевой координаты .
Такое уравнение допускает разные постановки краевых задач. Естественной начально-краевой задачей для (5) является следующая:
y{t,0) = y0(t), 7/(,0) = y,(), <<, (6)
y(tvt) = cv y(2,t) = c2, />0, (7)
где ,, 2 и c2>cl>0 - заданные постоянные; y0()>0, .)>,() - заданные функции. Предполагается, что у0 єС2[,,2], ух єС][,,2] и, кроме того, выполнены условия согласования ^() = с,., у,(.) = 0 (/ = 1,2) и условие
монотонности у0 ()>0 для є[,,2].
Начально-краевая задача (5)-(7) описывает движение в полубесконечном цилиндрическом слое (<>0, <т = ±1) или в полубесконечном цилиндре,
включающем ось ( = 0, <т = ±2).
При выполнении сформулированных выше условий гладкости, согласования и монотонности входных данных задачи (5)-(7), для нее доказана теорема существования и единственности классического решения на достаточно малом интервале времени.
Для уравнения (5) рассмотрена также обобщенная задача Гурса, характеризующаяся тем, что часть данных задается на линии вырождения Для ее анализа в (5) перейдем к новой переменной x = g2 и искомой функции q = (lnyx) , затем проинтегрируем полученное равенство по х. Уравнение примет вид: qt = g2+z+gi=0-g2x=0, (8) * 3 t. где х~~ \G [s)—ds - сохраняющая знак функция я:, о У Помимо начального условия ^(д;,0) = ^0(д;)для уравнения (8) ставится краевое условие q\x=Q=axa, (9) где a(t)- гладкая положительная функция t, а(0) = 1. Получены достаточные условия разрушения решения задачи (8)-(9) за конечное время, а также условия существования классического решения в ситуации, когда оно определено для всех значений радиальной координаты. Установлено, что в классе изучаемых решений уравнений Эйлера задание начального поля скоростей во всем пространстве не определяет однозначно решение задачи Коши. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Владиславу Васильевичу Пухначеву за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор весьма признателен Сергею Валерьевичу Головину за ценные замечания, высказнные во время неоднократных обсуждений результатов данной работы. Полная группа симметрии системы дифференциальных уравнений G - это наибольшая локальная группа преобразований, действующих на независимые и зависимые переменные системы и обладающих свойством переводить решения системы в другие ее решения. Методы группового анализа дифференциальных уравнений позволяют получать точные решения рассматриваемой системы дифференциальных уравнений Е, используя эту группу. Так, если известна группа Ли G преобразований, допускаемых системой Е, то возможно построение инвариантных и частично инвариантных решений за счет наложения дополнительного требования инвариантности (или частичной инвариантности) решения относительно некоторой подгруппы HdG [7]. Основная теорема об инвариантных относительно группы решениях утверждает, что все решения, инвариантные относительно данной г-параметрической группы Н, могут быть найдены при решении системы дифференциальных уравнений, содержащих на г меньше независимых переменных, чем искомая система. Эта система уравнений называется подмоделью исходной модели [14]. В частности, если число параметров г на 1 меньше, чем число независимых переменных системы, то все решения, инвариантные относительно соответствующей группы, могут быть найдены с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Почти всегда имеется бесконечное число различных групп симметрии, которые можно применять для нахождения инвариантных решений, поэтому существенно уметь определять, какие группы дают принципиально разные типы инвариантных решений. Подмодели, построенные относительно разных подгрупп допускаемой группы совпадают (с точностью до замены переменных), когда выбранные подгруппы сопряжены (подобны) относительно внутренних автоморфизмов допускаемой группы. Поэтому встает вопрос о нахождении максимального набора несопряженных подгрупп допускаемой группы, т.е. оптимальной системы подгрупп. В силу известной теоремы об изоморфизме групп и алгебр Ли, на практике работа ведестся с алгеброй Ли L, соответствующей группе G. Для линейных и некоторых нелинейных уравнений такая алгебра может быть бесконечномерной. Подгруппам группы G ставятся во взаимно-однозначное соответствие подалгебры алгебры L. Две подгруппы сопряжены относительно действия группы внутренних автоморфизмов G в том и только том случае, если соответствующие подалгебры переводятся одна в другую внутренними автоморфизмами алгебры Ли L. Сравнительно просто построение оптимальных систем подалгебр осуществляется лишь в случае конечномерных алгебр Ли малых размерностей. Примеры построения оптимальных систем конечномерных подалгебр бесконечномерных алгебр можно найти в работах [15,16]. С целью отыскания новых точных решений, вычислена группа, допускаемая системой уравнений Эйлера в новых переменных. Соответствующий базис алгебры Ли порожден пятью операторами, один из которых содержит произвольную функцию времени. Для этой алгебры были выписаны одно- и двумерные оптимальные системы подалгебр, среди которых были выделены подалгебры, содержащие оператор, специфичный для вращательно-симметричного движения. Этому оператору соответствует нелинейное преобразование окружной скорости и надлежащее преобразование давления, сохраняющее исходную систему уравнений Эйлера. Допустимость такого преобразования была обнаружена Капитанским [10]. Даны различные примеры инвариантных и частично инвариантных решений, полученных с помощью указанного оператора. Один из них описывает процесс вытеснения плоского закрученного потока осесимметричным в кольце с проницаемыми стенками. Этому движению соответствует обобщенное решение уравнений Эйлера, в котором все искомые функции непрерывны, однако окружная скорость имеет бесконечную производную на границе области закрутки. Рассмотрены и другие примеры сопряжения закрученных потоков с осесимметричными, а также потенциальных течений с вихревыми. Поскольку переход к новым искомым функциям в системе (1.1) является нелокальным преобразованием, алгебры Ли, допускаемые системами (1.1) и (1.2), не обязаны быть изоморфными, и групповые свойства системы (1.2) приходится изучать заново. Вычисления показывают, что алгебра Ли L, соответствующая наиболее широкой группе, допускаемой системой (1.2), порождена следующими операторами: Как известно, система квазилинейных уравнений (1.1) имеет составной тип, что затрудняет исследование начально-краевых задач для этой системы. Преобразование системы (1.1) к виду (1.2) путем введения новых искомых функций делает ситуацию более прозрачной. Действительно, при заданной функции q первые два из уравнений (1.2) образуют неоднородную систему Коши-Римана для функций и, w. В свою очередь, два последних уравнения (1.2) представляют систему гиперболических уравнений для функций q, Q, в коэффициенты которой входят и и w. Последняя система имеет кратную траєкторную характеристику, причем матрица, образованная коэффициентами при qz, Qz, обладает жордановой структурой. Возможно, с этим связано отсутствие глобальных теорем о разрешимости начально-краевых задач для системы (1.1), в то время как для осесимметричных движений (v = 0) такие теоремы имеются [19]. Данное обстоятельство придает дополнительный интерес точным решениям системы (1.1), в частности, решениям, допускающим слабые и сильные разрывы, а также решениям с особенностями на оси симметрии. Согласно результатам п. 1.3, у системы (1.2) имеется 8 классов существенно различных (т.е. не переводимых друг в друга групповым преобразованием) инвариантных решений ранга 2 и 26 классов различных инвариантных решений ранга 1. Ниже рассматриваются решения, построенные с использованием оператора Х2 и до сих пор подробно не исследованные. Рассмотрим подгруппу, порожденную оператором Хх - Х2 (вследствие дискретного преобразования /,, она подобна подгруппе [Хх + Х2) из оптимальной системы 0j). Ей соответствует решение системы (1.2) вида u = u(r,z), w = w(r,z), q = q{r,z), Q = s(r,z). Функции и, w, q, s определяются из системы уравнений Система (1.7) имеет решения, в которых и и s зависят лишь от г, a w и q линейны по z. Им соответствуют инвариантные решения системы (1.1), выражающиеся в элементарных функциях [10, 17]. Характерной чертой этих решений является возникновение особенности за конечное время у функции V. Ниже строится пример инвариантного решения с особенностью в плоском движении с вращательной симметрией. Полагая в (1.7) w = 0, q = 0, получим и = (2br) , s = br2, где Ъ = const; далее считаем Ъ О. Соответствующее решение системы (1) имеет вид Решение (1.8) можно интерпретировать как закрученное движение жидкости в кольце с проницаемыми стенками. В момент tx = brf на внутренней границе кольца производные функции v обращаются в бесконечность, и решение непродолжимо на большие значения времени в классе гладких функций. Однако, полагая - і,г мы можем его продолжить с сохранением непрерывности всех искомых функций. Физически это означает, что закрученный поток в кольце вытесняется незакрученным, и в момент t2 = br22вся область течения ц г г2 заполняется чисто радиальным движением. Рассмотрим теперь решение системы (1.7), в котором s - квадратичная функция z, w и q -линейные функции г,ам от z не зависит. Соответствующее ему поле скоростей представимо в виде где С и а О - произвольные постоянные, а и - решение уравнения (штрих обозначает дифференцирование по г). Вследствие (1.9), функция тока Р течения имеет вид 4/ = zru(r). Поскольку Ш не зависит от ty то неподвижные линии F = const являются образующими поверхностей вращения, ограничивающих жидкий объем. Это позволяет интерпретировать решение (1.9) как описывающее закрученное течение в части криволинейного канала XF1 4/(r,z) x2, выделенной неравенством O(r,z,t) 0, где Ф -подкоренное выражение в формуле для v. Здесь также естественно поставить задачу о вытеснении закрученного потока незакрученным, однако она оказывается значительно сложнее рассмотренной выше. Данная задача имеет много общего с известной задачей протекания для уравнений Эйлера [22]. Опуская подробности, отметим, что для задачи вытеснения, переформулированной в терминах функций и, w, q, Q, справедлива локальная теорема существования в классе кусочно-аналитических функций. где cp(i) - произвольная функция. Функции и, q, f, h определяются из последовательно решаемых линейных уравнений, при подходящих начальных и краевых условиях. Мы получили пример эффективно вычисляемого инвариантного решения ранга 2 системы (1.2) с функциональным произволом. Положим в (1.11) 0 = 1, тогда среди решений указанного вида имеются стационарные, произвольные постоянные). Отметим, что решение (1.12) может быть также получено как инвариантное решение ранга 1 относительно подгруппы 1 , 2+(1)). Уравнение Q = 0 определяет линию за которую соответствующее (1.12) решение системы (1.1) непродолжимо как инвариантное. Однако можно поставить задачу о сопряжении закрученного потока, заданного формулами (1.12), с незакрученным. Если допустить существование контактного разрыва на линии /, то возможно сопряжение решения (1.12) с решением, описывающим потенциальное осесимметричное течение. Для этого достаточно вычислить давление в течении (1.12) на линии тока / и из интеграла Бернулли определить касательную скорость примыкающего потенциального потока Задача о вращательно-симметричном движении идеальной несжимаемой жидкости в полуцилиндре рассмотрена в [21]. Приведем основные результаты, полученные в [21] для задачи в полубесконечном цилиндре с особенностями на оси симметрии. Положим х - const В этом случае система (2.15) имеет семейство решений Q = -R2F, B = R2(F2-A), где i?=const 0; функции F, А удовлетворяют системе (2.14). Согласно (2.5), для этих решений u = -(r-R2r l)wz/2, так что и = 0, если r = R, / 0. (2.28) Это означает, что цилиндрическая поверхность г = R является твердой стенкой. Пусть FQ(), AQ() - четные функции. Тогда функции F(,i), A(,i), являющиеся решением задачи (2.14), (2.16), также четные по . Полагая в формулах (2.26) z0 = 0, получим нечетную по z функцию w(z,t). Отсюда Таким образом, рассматриваемое решение удовлетворяет условию непротекания на основании полуцилиндра SR = [г, z: 0 г R, z 0}. В силу (2.5), (2.8), (2.16), (2.17), (2.26) и принятых предположений относительно функций Q и В начальные данные для функций и, v, w имеют вид Требование неотрицательности выражения в фигурных скобках для (r,z)eSR накладывает ограничения на функции F0, AQ И параметры R, %, К. В частности, необходимыми условиями неотрицательности являются К i?4F02 [z), К -R x добавляя к ним условие A0(z) + z 0, получим достаточные условия. Решение задачи (2.30) для системы (2.4) с начальными и граничными условиями (2.28), (2.29) описывает вихревое движение идеальной несжимаемой жидкости в полуцилиндре, оганиченном твердыми стенками. Это решение зависит от двух произвольных функций FQ (z), \ (z) и трех констант К, %, R. Как следует из результатов п. 2 данной главы, если = const, то решение задачи (2.14), (2.16) может быть выражено в элементарных функциях. Из (2.26) следует параметрическое представление функций и, v, w в квадратурах. В результате получен широкий класс точных решений уравнений Эйлера, описывающих нелинейное взаимодействие между вихреисточниками, распределенными на оси симметрии, при нестационарном вращательно-симметричном движении идеальной несжимаемой жидкости в полуцилиндре. В работе [21] рассмотрен пример решения задачи (2.14), (2.16), когда х -1 начальные данные F0 и А$ - конечные функции с носителем [-1Л]. В диссертации построено решение для случая j = l с другими начальными данными. Из (2.32) - (2.34) легко найти третью компоненту скорости и выражение для z в параметрической форме. В частности, w = Zt, если 0 , и w = h{t), если 8. Это означает, что условие непротекания выполнено на любой поверхности z = h(t) + N, гдеN= const 0. Кроме того, и = 0, v = r l(K + r4) при z h(t), так как F = A = 0 при С, 8. Заметим, что константа К должна удовлетворять неравенству К R4F +R4(A0-FQ) Д4 [А +1)), которое обеспечивает положительность подкоренного выражения в (2.8). Таким образом, жидкость, заключенная между поверхностями z = h(t) и z = h(t) + N, движется как вращающийся поршень (см. рис. 2.1). Поверхность z = h{t) является поверхностью сильного разрыва, на которой имеет место разрыв касательных компонент скорости. Нетривиальное движение, периодическое по времени, находится в области 0 r R, 0 z h(t). Это движение порождается взаимодействием вихреисточников, распределенных на сегменте [0,/г( )] оси симметрии. В силу масштабной инвариантности системы (2.4) без потери общности отличную от нуля константу к можно считать равной 1 или -1. Для уравнения (2.37) можно рассмотреть задачу о движении цилиндрического слоя под штампом (рис. 2.4). Нижняя стенка штампа неподвижна, верхняя может двигаться вверх или вниз в зависимости от знака постоянной скорости к. Отметим, что при к 0 верхняя стенка движется вверх, при к О - вниз. Ранее Л. В. Овсянниковым [13] рассматривалась задача о потенциальном движении цилиндрического слоя под штампом; особенности поля скоростей отсутствовали, поле скоростей по пространственным координатам было линейным. В задаче, рассмотренной в данной работе, движение непотенциальное и имеется вихреисточник на оси симметрии. Особенностью рассматриваемой задачи является то, что q - произвольная функция времени и для определяющего уравнения (2.37) может быть поставлена начально-краевая задача. Кроме того, поле скоростей по пространственным координатам нелинейно. Задача рассматривается без учета капиллярности, поскольку при учете капиллярности в выражении для давления появится только аддитивный член: р = p + cr/R(t), где сг 0 - коэффициент поверхностного натяжения; r = R(t) уравнение свободной поверхности; р задается формулой (2.36). На компоненты скорости и, v, w учет капиллярности не влияет. Полагая V константами, получим уравнения материальных поверхностей. Условия непротекания при z = 0 и z = z0(\ + kt) выполняются автоматически. Полагая rj = r0, получим материальную цилиндрическую поверхность, определяемую вторым уравнением в (2.39). Таким образом, характеристики уравнения (2.37) имеют вид На рис. 2.5 показаны характеристики (2.41) для случая источник-сток, на рис. 2.6 - характеристики (2.42) для случая сток-источник. Характеристики, выделенные жирной линией, разделяют область влияния начальных данных, обозначенную через D,, и область влияния краевых условий DB. Следует отметить различие характера особых точек для случаев источник-сток и сток-источник. В случае источник-сток, продолжая характеристики в "нефизическую" полуплоскость г О, легко убедиться, что особой является точка r = 0, t = l (см. рис. 2.5) - особенность типа центра. Начальная циркуляция задается при 0 t 1. В случае сток-источник эта точка является особенностью типа седла (см. рис. 2.6). В этом случае при t 1 можно задать начальную циркуляцию. Рассмотрим случай источник-сток. Возвращаясь к начально-краевой задаче для уравнения (2.37) и выбирая в качестве начальных данных S(r) = l-r2, а в качестве краевых условий y(t) = \ + t2, находим, что в области D, функция Г имеет вид Аналогичным образом можно найти точки покоя и для других значений произвольных констант в формуле (2.51а), однако наиболее интересны случаи, не содаржащие точек покоя и представленные на рис. 2.95, г. Определим расход жидкости через сечение г = 0,6 для выделенного криволинейного канала (рис. 2.9а). Внутренняя и внешняя стенки канала задаются уравнениями y/(r,z) = 11,355 и ,2) = 11,155 соответственно, где функция у/ определяется из формул (2.51). В данном случае расход равен произведению разности значений функции тока на ж. Решая уравнения у/(0,6, z) = 11,355 и у/(0,6, z) = ll,155, находим, что для верхней ветви канала zx= 0,660 097 и z2 =0,692 672, для нижней z, = 0,384 397 и z2 =0,417 106. Обозначим ,, Q2 расход через верхнюю и нижнюю ветви канала соответственно. Окончательно получим Qx =-0,628 319, Q2 =0,628 319, т.е. жидкость втекает через верхний канал и вытекает через нижний, в целом обеспечивая равенство нулю расхода через заданное сечение. Хотя этот случай представляется интересным, однако типичным является случай криволинейных каналов с ненулевым расходом, как например на на рис. 2.96, г. Как известно, установившиеся вращательно-симметричные движения (с закруткой) идеальной жидкости можно описать с помощью уравнения Грэда -Шафранова [17,20,25] где G, F - произвольные функции ц/. Уравнение (2.52) было впервые выведено Е. Майзелем в 1873 г. (см. [26]), но основательно забыто и переоткрыто позже. Случаи интегрируемости уравнения (2.52) и характерные портреты течения приведены в [17, 20, 25, 26]. Случай линейной зависимости F и G от у/ был исследован в работах [1, 25, 26]. О.В. Капцов [20] нашел нашел случаи интегрируемости уравнения (2.52) при нелинейной зависимости F от у/. Можно показать, что построенное в данной работе решение не входит ни в один из известных классов. В силу явного вида функции тока (2.51) можно ввести краткое обозначение у/ = r2a(z) + b(z), подставляя которое в (2.52), получим Таким образом, получен новый класс стационарных частично инвариантных решений уравнений Эйлера, описывающий движения с закруткой в криволинейных каналах. Поскольку при построении решений из предыдущих параграфов группа растяжений не использовалась, приведем двухпараметрическую группу растяжений для (2.4) Для редуцированной системы (2.43) совместно с уравнением / = wz/2 возникает задача групповой классификации по элементу %{t), которая здесь не рассматривается. Возьмем функцию х в виДе Х СЬ » где с, « - константы. Следует отметить, что при произвольном п 2 система (2.43) допускает лишь тривиальное преобразование растяжения q- kq, b- -kb (к = const). Если я = 2, то допускаемая уравнениями (2.43) группа растяжений становится трехпараметрической, а ее генераторы имеют вид Рассмотрим три оператора, которые являются линейной комбинацией операторов (2.55): Y{ + fiY1 + yYi, Y2+SY и 73- Заметим, что невозможно построить инвариантное решение относительно оператора 73, поскольку не выполнены необходимые условия его существования. В случае оператора Y2 + SY3 представление решений имеет вид (5 = const) Если а + сГ2 = g2, то система для функций р и g сводится к комплексному уравнению Риккати, которое точно решается в элементарных функциях. Несмотря на линейность, последние два уравнения в (2.56) не имеют простого решения. Наиболее широкий класс автомодельных решений получается на группе с оператором Yx +/3Y2+yY3. Обозначим автомодельную независимую переменную через С, - zt P, тогда искомые функции имеют вид Следует отметить, что в случае у = 1 функция q (плотность источников или стоков) совпадает с функцией ст. Поэтому полученное решение можно рассматривать как движение, индуцированное распределенными на оси z источниками и стоками, которые расположены с периодом Пространственный период стремится к нулю при ґ-»оо, что означает концентрацию вихреисточников на оси симметрии. где Q = (rv) - квадрат циркуляции окружной компоненты скорости, и, v, w обозначают проекции вектора скорости на оси г, в, z цилиндрической системы координат соответственно, р - давление жидкости, р - ее плотность. Эти уравнения содержат всего две пространственные переменные г, z и время /. Для плоского и осесимметричного движения идеальной несжимаемой жидкости получены нелокальные результаты существования и единственности [19]. Однако наличие окружной компоненты скорости v вносит существенные трудности. Дополнительное понижение размерности задачи возможно на базе теоретико-группового подхода [7]. В данной главе исследуется новый класс решений, которые не являются частично инвариантными (ЧИР), но могут быть получены на базе ЧИР путем применения эвристического подхода к построению точных решений [11]. Положив Q = 0 в (3.1), приходим к "укороченной" системе, которая допускает трехпараметрическую группу G, образованную операторами ід2, tdz + dw,dp\. По отношению к указанной группе в [11] было выписано частично инвариантное решение ранга 2 и дефекта 2. С помощью полученного ЧИР "укороченной" системы было построено новое решение полной системы (3.1).Уравнения вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости и алгебра Ли
Точные решения, построенные с помощью оператора Капитанского
Движение в полубесконечном цилиндре с особенностями на оси симметрии
Начально-краевая задача для гиперболического уравнения
Похожие диссертации на Точные решения уравнений вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости
