Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ задачи на плоскости интенсивностей волн 12
1.1. Газодинамические разрывы 12
1.2. Ударно-волновые структуры 13
1.3. Анализ сердцевидных кривых 16
1.4. Постановка задачи нулевого порядка об интерференции газодинамических разрывов 19
1.5. Постановка задачи о распаде произвольного стационарного разрыва 20
1.6. Решение задачи на плоскости интенсивности волн. 23
1.7. Выводы по главе 1 24
2. Точное определение типа исходящего разрыва и границ существования решения 25
2.1. Область существования решения для /Зо > /Зг(
2.2. Область существования решения для /3/(Jo) < /Зо < Д.( Jo) 36
2.3. Область существования решения для /Зо < /3/(«То) 41
2.4. Параметрический анализ областей существования решения 46
2.5. Практические рекомендации к расчету особых чисел Маха, границ существования решения. Алгоритм решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва 51
2.6. Выводы по главе 2 61
3. Приближенное решение задачи о распаде разрыва 62
3.1. Постановка задачи 62
3.2. Область существования решения для / > A-(Jo) 63
3.3. Область существования решения для ^I(JQ) < А) < Д.(70) 73
3.4. Область существования решения для / < Pi(Jo) 79
3.5. Сравнение точных областей существования решения с областями существования решения при ограничении 83
3.6. Алгоритм решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва при ограничении 85
3.7. Выводы по главе 3 89
4. Решение задачи о распаде разрыва, при условии сверх звукового течения за ним 90
4.1. Постановка задачи 90
4.2. Область существования решения для > /3r(Jo) 91
4.3. Область существования решения для /3s(Jo) < А) < ЭД) 101
4.4. Область существования решения для /Зо < PI(JQ) 106
4.5. Сопоставление областей существования решения и областей существования решения, при условии сверхзвукового течения за разрывами 110
4.6. Алгоритм решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва при условии сверхзвукового течения за ним 112
4.7. Выводы по главе 4 116
Заключение 117
Литература 118
- Постановка задачи о распаде произвольного стационарного разрыва
- Практические рекомендации к расчету особых чисел Маха, границ существования решения. Алгоритм решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва
- Сравнение точных областей существования решения с областями существования решения при ограничении
- Алгоритм решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва при условии сверхзвукового течения за ним
Введение к работе
Актуальность темы диссертации При проектирования устройств топливно-энергетического комплекса и ракетно-космической техники, создании новых наукоемких технологий в химической и металлургической промышленности необходимы эффективные методы расчета параметров сверхзвуковых течений газа, характеризующихся наличием газодинамических разрывов, взаимодействие которых приводит к появлению сложных ударно-волновых структур. Типичным примером ударно-волновых структур в таких течениях являются тройные конфигурации ударных волн, догоняющие и встречные скачки уплотнения, рефракция скачка на тангенциальном разрыве. Расчет такого рода структур сводится к общей задаче о распаде произвольного стационарного разрыва.
В представленной работе эта задача впервые рассматривается в своей полной постановке, без каких-либо дополнительных ограничений на определяющие задачу параметры. Приводятся аналитические решения, определяющие типы разрывов исходящих из точки распада, а также границы областей существования решения в рамках традиционных условий динамической совместности на исходящем тангенциальном разрыве.
Значимость полученных результатов для практических приложений, таких как анализ взаимодействия струи с преградой, истечения газа в спутный поток и т. д., связана, главным образом, с наличием областей отсутствия решения задачи. Как показывают проведенные в настоящей работе расчеты, всегда существуют исходные параметры, при которых задача не имеет решения. Часто с областями отсутствия решения связывают возникновение нестационарных режимов.
Полученные аналитические решения представляются актуальными не только для анализа струйных задач, но и для газодинамического проектирования сверхзвуковых воздухозаборников, аппаратов струйных технологий и других технических объектов. Приведенные в работе зависимости также могут быть использованы в численных методах расчета сверхзвуковых течений.
Цель работы: создание методологии решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва в его полной постановке, в рамках традиционных условий динамической совместности на исходящем тангенциальном разрыве, а, также приближенных решений, используемых при решении целого ряда задач интерференции газодинамических разрывов и в вычислительных методам.
Научная новизна работы:
1. Сформулированы критерии, позволяющие по заданным значениям параметров встречающихся под произвольным углом потоков определять тип отраженного разрыва в потоке с меньшим статическим давлением.
-
Получены точные аналитические зависимости, отвечающие на вопрос о существовании решения задачи. На основе этих зависимостей определены границы областей существования решения. Проведен их параметрический анализ.
-
Доказано, что области существования решения, полученные приближенным методом находятся строго внутри областей существования решения. Проведен их сравнительный анализ.
-
Получены аналитические зависимости, отвечающие на вопрос о существовании решения задачи при условии сверхзвукового течения за разрывом. На основе этих зависимостей определены области существования решения при этом ограничении.
Достоверность представленных результатов подтверждается сравнением с экспериментальными и численными данными других авторов, а также использованием точных аналитических соотношений.
Практическая ценность работы На основе проведенных исследований впервые получены явные аналитические решения, позволяющие решать задачу о распаде произвольного стационарного разрыва, а так же задачи об интерференции стационарных разрывов, путем сведения к задаче о распаде произвольного стационарного разрыва. Сформулировано аналитическое решение задачи при ограничении, используемом в ряде численных методов. Предложен алгоритм решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва. Проведенный параметрический анализ областей отсутствия решения позволил углубить знания о закономерностях сверхзвуковых течений.
Положения, выносимые на защиту:
-
Методика решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва, как обобщающей задачи об интерференции стационарных разрывов.
-
Аналитическое решение задачи о распаде произвольного стационарного разрыва в точной постановке, в рамках традиционных условий динамической совместности на исходящем тангенциальном разрыве.
-
Аналитическое решение задачи о распаде произвольного стационарного разрыва в приближенной постановке, при ограничении интенсивностей скачков уплотнения.
4. Аналитическое решение задачи о распаде произвольного стационарного разрыва, при сверхзвуковом течении за разрывами, исходящими из точки взаимодействия.
Апробация работы. Основные результаты работы доложены и обсуждены на XVI Всероссийском семинаре "Струйные и нестационарные течения в газовой динамике" (Новосибирск, 1995); IV, V и VI научных конференциях ученых России, Белоруссии и Украины "Прикладные проблемы механики жидкости и газа" (Севастополь, 1996, 1998); Всероссийской научной конференции "Первые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 1997); Всероссийских молодежных научных конференциях "XXIII Гагаринские чтения" и "XXIV Гагаринские чтения" (Москва, 1997, 1998); XVII Всероссийском семинаре "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург, 1997); II Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Сантк-Петербург, 1998); XII Международном симпозиуме по газовым и химическим лазерам; научном семинаре кафедры Плазмогазодина-мических импульсных систем ВГТУ под руководством проф. В.Н. Ус-кова (Санкт-Петербург, 2000);
Публикации. Результаты диссертационного исследования представлены в 12 научных трудах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 43 наименования. Работа содержит 121 страницу, 58 рисунков и 7 таблиц.
Постановка задачи о распаде произвольного стационарного разрыва
Обычно в задачах интерференции скачков уплотнения из двух возможных решений выбирают решение с наименьшими значениями интенсивностей участвующих в процессе интерференции волн [4]-[8], [12]. В данной задаче такому решению соответствует точка h\. С ростом Мд она приближается к точке О, а при числе М сливается с ней. При этом волна /, которая в диапазоне Мд Є [Мд \Мд ] представляет собой скачок уплотнения, вырождается в слабый разрыв (рис. 1.5.в). Дальнейшее увеличение Шд приводит к смещению точки h\ вниз по кривой /, а, следовательно, и к изменению типа разрыва, / - последняя при таких Мд будет волной разрежения (рис.1.5.б).
Описанная ситуация имеет место до тех пор, пока точка hi не выйдет на нижнюю границу области II — кривую гд. Затем она начинает двигаться в обратном направлении и при Мд = М достигает точки О, что приводит к смене типа волны: в диапазоне [Мд , М ] волна / вновь представляет собой скачок уплотнения.
Числа Маха Мд определяются из условия касания поляр д и /, как это было показано в предыдущем разделе. Таким образом, для любого М/ Є (1,МІ) область существования решения по Мд ограничена числами Маха М и Мд , которые определяются по формулам (2.6) и соответствуют касанию изомах д\ и д ± с кривой fj. При этом в диапазонах Мд Є [М ,Mg ] U [М , Мр ] волна / является скачком уплотнения, а при Мд Є [Мд , М ] — волной разрежения.
Аналогичные проделанным в предыдущем разделе рассуждения показывают, что с приближением М/ к числу Маха M.J величина М стремится к бесконечности. При My М.у верхняя по Мд граница области существования решения отсутствует. На рис.2.12 представлена область существования решения на плоскости Mf- Мд для случая, когда произвольный разрыв отображается в область П. Как видно из рисунка, область решений с / = /; представляет полубесконечный прямоугольник со сторонами Mf = 1, Мд = м3) и Мд = МдА). Вне этого прямоугольника решение либо отсутствует, либо отвечает случаю / = fj. При этом кривая, соответствующая верхней по Мд границе отсутствия решения, исходит из точки с координатами (1, М ) и имеет вертикальную асимптоту М/ = М\ , а нижняя граница, начинающаяся в точке (1, Мд ), изменяется немонотонно, достигая минимума при Мд — Мд , и имеет горизонтальную асимптоту. Когда точка О находится на границе существования одиночного скачка уплотнения гд в потоке д, числа Маха Мд и Мд равны, при этом полубесконечный прямоугольник, отвечающий решению / = fi, вырождается в прямую.
Если точка О находится на предельной кривой 1д потока д, числа Мд и Мд равны и, следовательно, совпадают горизонтальная асимптота и граница полубесконечного прямоугольника, отвечающего решению / = /г- (рис.2.12.б). Определение особых чисел Маха М , М и М производится аналогично определению в предыдущем разделе.
Через каждую точку этой области по-прежнему проходят две изомахи д с различными числами Маха — М3) и М 4). Однако, те-перь изомаха с меньшим числом Маха (Мд = Мд ) пересекает произвольную точку области 3 своей сильной ветвью. Так как углы наклона касательных к таким участкам кривых д отрицательны, то появляется возможность касания кривой д с частью /г-изомахи /, соответствующей волне разрежения. Одновременно остается возможность касания кривых / и д в точках, отвечающих случаю / = fj. Для выяснения возможности смены типа волны / на границе области существования решения в уравнениях (2.6) следует положить Jf = 1. При этом первые два уравнения системы (2.6) совпадают с уравнениями, определяющими
Практические рекомендации к расчету особых чисел Маха, границ существования решения. Алгоритм решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва
Сначала рассмотрим влияние изменения угла взаимодействия / при неизменных прочих параметрах Jo,jf,jg на вид областей существования решения. Как было показано выше изменение вида областей существования решения связано с изменением положения точки (Ло,/) на плоскости интенсивностей волн относительно предельной кривой 1д и огибающей гд скачков уплотнения д. Очевидно, что при любом Jo 1 при изменении угла интенсивности Ро Є [0,7г] точка (Ло, А)) последовательно проходит все характерные области параметров задачи. Рассмотрим подробнее вид областей существования решения, для различных / при неизменных Jo,Jf,Jg (рис.2.19.а). Кривая 1 на рис.2.19.а ограничивает область существования решения для параметров задачи из области I, т. е. для параметров задачи, удовлетворяющих неравенству / (3r(Jo,yg). Таким образом точка О находится справа от огибающей гд (J0 = 2,/Зо = 13.8558, 7/ = 1-4,7 — 1-8)- При уменьшение (Зо до величины 10.6719 и неизменных прочих параметрах точка (Ло,Д)) располагается на огибающей rg , т.е. выполняется соотношение /Зо = /Зг(/о)7з) и граница области существования решения касается прямой Mf = 1 (рис.2.19.а (кривая 2)). В областях, ограниченных кривыми 1 и 2 (рис.2.19.а), как было показано, разрыв в потоке / всегда является скачком уплотнения.
Кривая 3 показывает границу области существования решения для параметров задачи, удовлетворяющих условию (2.8) (Jo — 2,/30 = 9.7639,7/ = 1-4,7ff = 1-8). Значения Мд = MfA) (Mff(3) = 1.5140 и Мд = 2.1637) при М/ = 1 задают границы существования решений для волны разрежения в потоке /. При Мд Мд и Мд Мд в потоке с меньшим статическим давлением образуется скачок уплотнения. Значение Мд = Мд определяет слабый разрыв в потоке / .
При уменьшении угла взаимодействия /Зо до величины 8.9131 точка (Ло, /Зо) располагается на предельной кривой 1д, т.е. выполняется соотношение /Зо = /3/(Jo, 7(/)- Величины Мд = Мд принимают в этом случае значения 1.5140 и 2.1637, соответственно. Как видно из рис.2.19.а (кривая 4), нижняя граница в этом случае вырождается в прямую. Для всех значений /3Q 8.9131 при JQ = 2,7/ = 1-4, уд = 1.8 нижняя граница области отсутствия решения совпадает с границей области, для параметров из которой в потоке с меньшим статическим давлением образуется волна разрежения. Верхней границей области существования волны разрежения является прямая Мд = Мд . Для /Зо = 6.8558 граница области отсутствия решения приведена на рис.2.19.а (кривая 5). Для этих значений параметров задачи Мд = 3.3443.
Таким образом, из рис.2.19.а следует, что уменьшение угла взаимодействия /Зо при прочих неизменных параметрах ведет к смещению областей существования решения на плоскости (Mf,Mg) справа налево. При этом расчеты показывают что, область для большего угла /3Q находится внутри области для меньшего угла При Jo = 1 при любых значениях /Зо, j/, jg точка (AQ,/3Q) попадает в область справа от огибающей, и, следовательно, вид области существования решения всегда будет аналогичен виду области, ограниченной кривой 1 на рис.2.19.а.
Рассмотрим вид областей существования решения при фиксированных значениях /3o,jf,jg и переменном Jo- На рис.2.19.b приведены кривые, полученные для различнных JQ и /Зо = 22, 7/ = 1-4,7(/ = 1-8- Кривая 1 (Jo = 1) соответствует отсутствию разрыва статического давления между взаимодействующими потоками, т.е. точка (Ло, /Зо) расположена на оси абсцисс и справа от огибающей гд . Во всей области значений М/, Мд в потоке / существует скачок уплотнения. Кривая 2 ( Jo = 5.1405) соответствует положению точки (Ло, /Зо) на огибающей гд поляр скачков уплотнения потока д. В этом случае граница области существования решения на плоскости (М/ , Мд) касается оси ординат. Во всей области значений М/, Мд в потоке / существует скачок уплотнения. При дальнейшем увеличении интенсивности Jo (Jo = 5.2898) точка (Ло, /Зо) находится между огибающей гд и предельной кривой 1д , и, следовательно, существует область в которой в потоке / образуется волна разрежения Мд Є (2.3969,2.6542) (рис.2.19.b кривая 3.) . Кривые 4 и 5 (рис.2.19.Ь) соответствуют положению точки (Ло,/Зо) на предельной кривой ( Jo = 5.4401 кривая 4) и внутри нее (Jo = 6.4391 кривая 5). Как было показано выше, в этих случаях при любых Мд Мд (для кривых 4 и 5 Мд = 2.7555 и Мд = 3.2556 соответственно) в потоке с меньшим статическим давлением / может существовать только волна разрежения.
Таким образом, из рис.2.19.Ь следует, что увеличение интенсивности Jo при прочих неизменных параметрах ведет к смещению областей существования решения на плоскости (М/, Мд) слева направо и снизу вверх.
При / = О при любых значениях Jo,7/57 / точка (AQ,(3Q) попадает в область слева от предельной кривой lg, и, следовательно, вид границы области существования решения всегда будет аналогичен кривой 5 на рис.2.19.Ь.
Влияние показателя адиабаты потока с большим статическим давлением 7/ показано на рис.2.20.a (Jo = 2.7,/ = 22 1 — 7/ = 2.0; 2 — 7/ = 1-8; 3 — 7/ = 1-4; 4 — 7/ = 1-І;)- Очевидно, что изменение показателя адиабаты 7/ в основном сказывается на значениях верхней ветви области отсутствия решения, что связано с изменением значения МЇ (см. рис.2.7). Для различных значений показателя адиабаты потока с меньшим статическим давлением уд ВИД областей существования решения меняется больше. Это связано с тем, что при различных значениях уд меняется вид характерных областей параметров задачи, задаваемых огибающей и предельной кривой гд и 1д. Из рис.2.20.b (Jo = 2.7,/ = 22, 1 — 7, = 1-1,2- Ъ = 1.4; 3- Ъ = 1.8,4 — уд = 2.0;) видно, что меняется не только нижняя граница, определяемая величиной Мд (см. рис.2.7), но и положение областей на плоскости (М/, Мд). Заметим, что изменение показателя адиабаты jg влияет на критерии смены разрыва. Так на рис.2.20.b при уд = 2.0 (кривая 4) при всех значениях из области существования решения Mf, Мд в потоке / существует скачок уплотнения, а при jg = 1.1 (кривая 1) имеется область существования волны разрежения.
Сравнение точных областей существования решения с областями существования решения при ограничении
На основе приведенных в главе рассуждений опишем алгоритм решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва. 1. По параметрам взаимодействующих потоков определяются параметры задачи JQ 1 /Зо 0. 2. Определение предельного угла задачи (За = Ах(т/) + f3a(lg) для показателей адиабаты 7/ и Ід и проверка необходимого условия существования решения Заметим, что выше необходимое условие существования решения записывалось / /За. Однако равенство А) = /За соответствует бесконечным значениям интенсивностей исходящих разрывов и, следовательно, при расчетах относится к случаю отсутствия решения. 3. Для параметров задачи JQ , / и jg определяется положение на плоскости интенсивностей волн точки (Jo5 А)) относитель но предельной кривой 1д и огибающей гд потока с большим статическим давлением д. Формально проверяется выполне ние одного из трех неравенств Далее происходит ветвление алгоритма в зависимости от выполнения того или иного из вышеприведенных неравенств. Заметим, что существующие граничные значения параметров задачи А — (3r(Jo,Jg) и А) — Pi(Joilg) отвечают изменению зависимостей, определяющих границы существования решения, и их включение во второе неравенство носит произвольный характер. Если выполняется неравенство А( Ль7з) А) : При дальнейшем рассмотрении задачи, зависимость /3( J, М, 7) для потока с меньшим статическим давлением / будет определяться по формуле (1.1) для скачков уплотнения. По приведенному выше алгоритму решается система нелинейных уравнений (2.2) и находятся значения чисел Маха М\ и Мд . Проверяется выполнение неравенств являющихся необходимым условием существования решения задачи. Определяются значения числа Маха М\ и проверяется условия выполнения одного из двух неравенств М\ Mf и М, Mf. В первом случае существует конечный интервал значений Мд области существования решения [Мд ,Мд ], во втором полубесконечный интервал [Мд , со). По приведенному выше алгоритму находятся значения границ интервала Мд ,Мд и проверяется необходимое условие существования решения
Если выполняются неравенства /3/(Jo,7#) А) (3r(Jo,7g) По зависимости (2.9) определяется значение чисел Маха Мд и Мд . Если выполняется достаточное условие существования решения для любого Mf Мд Є (Мд \Мд ), то при дальнейшем решении задачи зависимость /3(J, М, 7) для потока с меньшим статическим давлением / будет определяться по формуле (1.2) для волны разрежения. При равенстве числа Мд = Мд или Мд = Мд необходимость в численном решении задачи отпадает, т. к. разрыв в потоке с меньшим статическим давлением вырождается в слабый разрыв с Jf = 1, а интенсивность скачка уплотнения в потоке с большим статическим давлением равна Jg = JQ . Если Мд Мд или Мд Мд , то определяются значение числа Маха М\ и проверяется условие выполнение одного из двух неравенств М\ Mf и М\ Mf. В первом случае существует конечный интервал значений Мд области существования решения [Мд ,Мд ], во втором полубесконечный интервал [Мд , оо). По приведенному выше алгоритму находятся значения границ интервала Мд ,Мд и проверяется необходимое условие существования решения
Если условие выполняется, то при дальнейшем рассмотрении задачи, зависимость (3(J, М, 7) для потока с меньшим статическим давлением / будет определяться по формуле (1.1) для скачков уплотнения.
Если выполняется неравенство /3/(Jo,7#) Аз Определяются значения числа Маха М\ и проверяется выполнение одного из двух неравенств МЇ Mf и М\ Mf. В первом случае существует конечный интервал значений Мд области существования решения [Мд , М5, ], во втором полубесконечный интервал [Мд , оо). По приведенному выше алгоритму находятся значения границ интервала Мд ,Мд и проверяется необходимое условие существования решения
Для определения зависимости /3(J,M,y) для потока с меньшим статическим давлением / проверяется выполнение неравенства Мд Мд, если оно выполняется, то берется зависимость для скачка уплотнения, если нет, то для волны разрежения. При равенстве числа Мд = Мд необходимость в численном решении задачи отпадает, т. к. разрыв в потоке с меньшим статическим давлением вырождается в слабый разрыв с Jj = 1, а интенсивность скачка уплотнения в потоке с большим статическим давлением равна Jg = JQ. 4. Если выполняются все необходимые условия существования решения задачи, то по приведенному в [3] алгоритму находятся интенсивности J/ и Jg во взаимодействующих потоках. По параметрам до взаимодействия и по исходящим из точки взаимодействия интенсивностям находятся параметры потоков за исходящими разрывами.
В отличие от известных результатов [3, 10] впервые получено точное аналитическое решение, позволяющее определить тип исходящего разрыва, а так же границы области существования решения в рамках традиционных условий динамической совместности на исходящем тангенциальном разрыве. На основе полученных зависимостей проведен полный параметрический анализ задачи. Определен вид характерных областей для параметров задачи. Получены особые числа Маха. Проанализировано влияние показателей адиабаты на полученное решение.
Алгоритм решения задачи о распаде произвольного стационарного разрыва при условии сверхзвукового течения за ним
Еще раз заметим, что обе кривые проходят через точку своими слабыми ветвями. Соответствующие этим кривым числа Маха М и М являются нижней и верхней границами существования решения для случая М/ = 1. Действительно, при малых числах Мд поляра д находится левее прямой / и, следовательно, существование решения задачи невозможно (кривая д 1 рис.3.8), вплоть до числа Маха Мд , отвечающего пересечению полярой д(3) точки О (кривая д рис.3.8). При дальнейшем увеличении числа Мд решение существует вплоть до числа Мд , при котором поляра д вновь пересекает точку О (кривая д(4 рис.3.8). Для поляр д, отвечающих числам Мд Мд , решения не существует.
Мы получили интервал чисел Маха потока д [Мд \Мд ], при которых существуют решения при ограничении Mf = 1. Заметим, что при Мд Є [Мд ,Мд ] решения существуют при любом Mf 1. Данный факт является очевидным следствием рассуждения, приведенного выше, так как через любую точку из области на плоскости интенсивностей волн, ограниченной сверху условием Ло, слева (3 / и справа огибающей гд, проходят две поляры д, (причем своими слабыми ветвями) и обе удовлетворяют условию
Зафиксируем теперь число Му Є (1,Му. ). В этом случае появляется участок fj изомахи /, отвечающий скачку уплотнения. Очевидно, что ограничение М/ M.J не уменьшает общности рассуждений. Заметим, что, как и в разделе 3.2, при определении областей существования решения при разрыве /, являющимся скачком уплотнения f = fj, интервал (1,М ) необходимо разбить на два подинтервала М/ Є (1,М$!) и М/ Є (Mfll\uf), каждый из которых рассматривать отдельно. Число М\ определяется из условия пересечения предельных кривых If и 1д поляр fug соответственно (3.5, 3.7).
При фиксированном числе Mf є [і,м}/0] рассуждения о существовании решения аналогичны рассуждениям в предыдущем разделе, за исключением интервала чисел Мд Є [Мд ,Мд ], при котором решение существует, но разрыв в потоке / является волной разрежения. Таким образом, в этом случае решение задачи существует в диапазоне чисел Маха М и М , при которых поляра д пересекает предельную точку поляры /, соответствующего числу Маха Mf. При этом для чисел Маха Мд Є [Mf\ My ] волна / является волной разрежения (рис.1.4.б), а для чисел Мд Є [М ,М 3)] U [М(4),М 2)] - скачком уплотнения (рис.1.4.а).
При Mf М\ границы области существования решения определяются аналогично случаю, рассмотренному в разделе 3.2 при том же условии. То есть для каждого Mf Є [М\Г\М\ ] существуют два значения Мд , ограничивающие область существования решения задачи сверху и снизу Мд Мд Мд . Числа Маха Mg , определяющие границы области существования решения, находятся по формуле (3.8).
Аналогичные проделанным в предыдущем пункте рассуждения показывают, что с приближением My к числу Маха My величина М стремится к бесконечности. При My Mj верхняя по Мд граница существования решения отсутствует. Зафиксируем теперь Мд. Очевидно, что в диапазоне Мд Є [1,М ), где My - число Маха, соответствующее пересечению предельной кривой 1д и огибающей г у изомах скачка уплотнения /, построенной из точки О, решение задачи отсутствует при любом значении Mf 1. Для определения числа Му используются зависимости (3.6). При Мд е[Мд1г\М ] , где Мд получается из условия пересечения предельных кривых 1д и /у семейств сердцевидных кривы скачков /ид (3.7) и (3.6), получим числа Маха М\ ограничивающие область существования решения задачи Му Є \М\ , М\ ]. Рассуждения, доказывающие это положение, приведены в разделе 3.2. При Мд М11 граница области существования решения получается из условия пересечения полярой / предельной точки поляры д. Очевидно, что при числе Маха Мд — М , где, как говорилось выше Мд , число Маха, при котором изомаха д касается прямой (3 = / , значение числа М) — оо. На рис.3.9.а представлена область существования решения для случая, когда произвольный разрыв отображается в область II. Как видно из рисунка, область решений с / = /; представляет полубесконечный прямоугольник со сторонами My = 1, Мд = My и Мд = Мд . Вне этого прямоугольника решение либо отсутствует, либо отвечает случаю / = /j. При этом кривая, соответствующая верхней по Мд границе отсутствия решения, исходит из точки с координатами (1,М ) и имеет вертикальную асимптоту My = My , а нижняя граница, начинающаяся в точке При смещении точки О к кривой 1д, то есть / — /3/(/о)? число М , соответствующее нижней по Мд границе отсутствия решения, и число My , соответствующее горизонтальной асимптоте, сближаются и при / = fii(Jo) выполняется равенство М = М = М = Мд . Вид областей существования решения, соответствующих этому пограничному случаю, показан на рис.3.9.б Как видно из рисунка, область решений с / = /; представляет полубесконечный прямоугольник со сторонами М/ = 1, Мд = М3) и Мд = Мд4). Ниже этого прямоугольника решение отсутствует, а выше отвечает случаю / = fj . При этом кривая, соответствующая верхней по Мд границе отсутствия решения, исходит из точки с координатами (1,М ) и имеет вертикальную асимптоту My — МІ .
Покажем, что область существования решения для параметров Jo и / из области II при приближенной постановке задачи (3.1) находится внутри области существования решения в случае точной постановки. Критерии смены разрыва в потоке /, то есть значения чисел Мд , задающих интервал, при котором разрыв в потоке / является волной разрежения / = fi, получались выше из тех же предпосылок, что и критерии при точной постановке задачи. Таким образом, область существования решения для случая, когда / = /г-, полностью соответствует области существования решения при точной постановке. Это связано с тем, что через область II проходят только слабые ветви поляр д, и, следовательно, ограничение (3.1) не влияет на ход рассуждений. При / = fj рассуждения о вложенности областей существования решения при ограничении (3.1) аналогичны рассуждениям из предыдущего раздела.
