Содержание к диссертации
Введение
Часть I. Обоснование метода
Глава 1. Математический формализм имм 17
Глава 2. Исследование условий x - гиперболичности трансформированных уравнений Эйлера 19
Глава 3. Система конечно-разностных аппроксимаций 27
Глава 4. Аналитическое исследование свойств вычислительной схемы 32
Глава 5. Модифицированная схема 50
Часть II. Численные исследования
Глава 6. О реализации вычислительной схемы .58
Глава 7. Несжимаемая жидкость 72
Глава 8. Сжимаемая жидкость 121
Глава 9. Внутренние и внешние задачи механики жидкости и газа при наличии излома образующей стенки 143
Глава 10. Об эффективности имм 201
Заключение 212
Список литературы 216
Приложение.
- Исследование условий x - гиперболичности трансформированных уравнений Эйлера
- Аналитическое исследование свойств вычислительной схемы
- Несжимаемая жидкость
- Внутренние и внешние задачи механики жидкости и газа при наличии излома образующей стенки
Введение к работе
Диссертация посвящена разработке эффективного, обладающего алгоритмической простотой и высокой степенью универсальности метода численного интегрирования систем уравнений Навье - Сток-са и его применению для решения имеющих прикладную значимость задач механики жидкости и газа.
Движения жидкости, газа либо плазмы, тем или иным образом связанные с проблемами современной техники (физики, биологии, метеорологии, океанологии и т. д.), могут быть проанализированы в рамках сплошной среды с учетом всех деталей лишь путем интегрирования полных систем, описывающих движения указанных сред. Наиболее общими из таких систем являются системы Навье - Сток-са либо (близкие ей по структуре) системы уравнений Рейнольде а, используемые для описания турбулентных течений.
В настоящее время существует большое разнообразие конечно-разностных методов решения этих систем применительно к конкретным классам задач. Наряду с известными достоинствами существующие методы обладают и очевидными недостатками. Весьма широкая совокупность методов, основанная на принципах какого-либо расщепления, сводится к представлению сложной исходной разностной схемы последовательностью более простых аналогов. В результате а) в схему вводится погрешность расщепления, б) каждый шаг (итерация) представляет собой совокупность нескольких разнородных этапов (то есть алгоритм вычислений остается достаточно сложным), в) появляется необходимость в искусственных граничных условиях, что может вносить произвол в вычисления (и постановка которых представляет самостоятельную проблему).
Широко используемые в последнее время методы решения задач о движениях газа, реализуемые на каждом временном шаге с использованием релаксации Гаусса-Зей де л я по линиям (для решения алгебраической системы уравнений), имеют ограничение на сходимость типа условия Куранта и теряют эффективность в тех подобластях расчетной области, где число Маха мало. Использование этих методов для расчета движений несжимаемой жидкости основано на использовании идеи искусственной сжимаемости, что существенно усложняет исходный алгоритм вычислений. Кроме того в этом случае в уравнение неразрывности вводится слагаемое, оптимальный вид которого для рассматриваемого типа задач заранее неизвестен. В частности, для решения стационарных задач вводится требующий подбора параметр исскусственнои сжимаемости, а для решения нестационарных задач вводится дополнительный параметр - псевдовремя.
Таким образом, разработанные в настоящее время конечно - разностные методы решения систем уравнений Навье - Стокса приспособлены фактически для решения конкретных типов задач.
Эти обстоятельства существенно снижают мобильность исследователя. Действительно, при переходе к рассмотрению новых физических задач (связанных с новыми типами течений) исследователь вынужден не только осваивать новые численные методы, но и приспосабливать их к решению этих новых задач. Ситуация эта реализуется часто в настоящее время. Достаточно вспомнить, что существуют и разрабатываются сложные технические системы, одним из элементов которых является движение тех или иных сплошных сред. Такие системы могут одновременно содержать участки как стационарных, так и нестационарных движений, иметь режимы, при которых ере- да несжимаема, режимы, при которых важен учет сжимаемости, или режимы, при которых важно учитывать неоднородность либо много-компонентность среды. Как правило, движения в сложных системах трехмерные. Однако, на начальной стадии моделирования процессов целесообразно использовать двумерные и даже одномерные модели, полученные на основе упрощений физического характера. Понятно, что для количественного анализа всех "участков1', всех режимов и всех моделей таких сложных систем на основе полной системы уравнений, описывающей движение сплошной среды, важно иметь один численный метод.
Отсюда ясна актуальность темы настоящей диссертации, посвященной разработке метода, свободного от указанных выше недостатков существующих методов, и решению при его использовании имеющих прикладную значимость новых внешних и внутренних, стационарных и нестационарных задач о движении жидкости и газа при наличии обширных зон возвратного течения.
Основным элементом разрабатываемого метода применительно ко всем типам задач является маршевая процедура, то есть (применительно к двумерному случаю) последовательное, начиная от ближайшего к левой границе луча, вычисление сеточных функций на всех лучах, заканчивающееся на луче, ближайшем к правому граничному лучу. Это та процедура, которая используется для решения одной из простейших задач гидрогазодинамики - задачи о двумерном стационарном пограничном слое. Но, если в упомянутом простейшем случае одним маршевым проходом заканчивается решение задачи, то в настоящей работе маршевый проход - лишь элемент итерационного процесса. Число итераций, необходимое для решения задачи в целом зависит от особенностей задачи. Этот вопрос подробно рассмотрен в диссертации. Однако, сразу становится ясно, что алгоритмическая простота такого метода налицо.
В соответствии с существом метода будем называть его итерационно- маршевым, или кратко ИММ, имея в виду, что для всех типов задач маршевые процедуры осуществляются по пространственной координате.
ИММ строится не на пустом месте. В его основе известная с 70-х годов [1] идея глобальных итераций (ГИ) по давлению (смысл ее изложен в главе 1). Эта идея использовалась и развивалась (и развивается по сей день) в многочисленных работах зарубежных и отечественных авторов для решения задач на основе упрощенных систем уравнений Навье-Стокса. Это задачи, характеризуемые наличием выделенного направления движения, как правило, стационарные, двумерные [1-10]. (В работах, где решаются трехмерные задачи, для расчета сечений, ортогональных маршевому направлению, используются алгоритмы, отличные от маршевых). Краткий обзор такого рода работ приведен в "ПРИЛОЖЕНИИ".
Важной особенностью метода ГИ было то обстоятельство, что он допускал построение такого конечно-разностного аналога системы дифференциальных уравнений, для которого вычислительная схема была маршевой, то есть наиболее простой из неявных схем, и что он был применим к задачам о движениях как сжимаемых, так и несжимаемых сред. Усилия ученых, обративших внимание на метод ГИ, были направлены на совершенствование метода с целью повышения его устойчивости и ускорения сходимости. Основной вклад в эти исследования внесли Davis R.T., Rubin S.G. (и его ученики), Тирский Г.А. (и его ученики), Vigneron Y.C., Rakich J.V., Tannehill J.С, Войнович П.А., Фурсенко A.A., Israely М., Lin А., Головачев
Ю.П., Ковеня B.M., Марков А.А., Толстых А.И., Черный С.Г.
Рядом авторов делались попытки расчета полей течения, содержащих зоны отрыва. Авторы констатировали потерю устойчивости либо сходимости при появлении таких зон. Повидимому, в значительной степени по этой причине в литературе принято считать, что маршевые процедуры с итерациями не пригодны для расчета течений, содержащих отрывные либо рециркуляционные области (см., например гл. 17 в [11]). В настоящей работе будет показано, что это не так.
В отличие от упомянутой направленности работ, развивающих метод Г И для решения задач на основе упрощенных уравнений, настоящая работа направлена на расширение области применимости идеи глобальных итераций по давлению. В настоящей работе развивается метод численного решения полных систем уравнений Навье-Стокса, задач стационарных и нестационарных, задач любой размерности.
Разумеется, такая "идеология универсальности" не отвергает необходимости использования и совершенствования существующих численных методов. Обычно [12-14] при решении новой задачи авторы апробируют на этой задаче различные методы и, сопоставляя точность результатов и трудоемкость их получения, выбирают наиболее эффективный метод. Такая стратегия разумна в том случае, когда предполагается проведение серийных расчетов.
Заметим, кстати, что и разрабатываемый нами "универсальный" метод решения возможно сможет претендовать и на роль "эффективного метода". Действительно, разрабатываемый метод решения полных систем уравнений применим и для решения упрошенных систем и для уравнений, записанных в приближении Эйлера (кото- рые являются частными случаями полных систем уравнений). Это следует уже из результатов аналитических исследований (см. ниже "ЧАСТЬ I"). Вместе с тем, как видно из обзора, приведенного в "ПРИЛОЖЕНИИ", разумная модификация метода ГИ может давать весьма эффективный алгоритм решения конкретного круга задач.
В нескольких работах зарубежных авторов делались попытки расширения области применимости идеи глобальных итераций по давлению. Так, для частных задач в [15] получены решения полной системы уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, а в [16] - для сжимаемой (с упрощенным, впрочем, до алгебраического соотношения уравнением энергии). Соответствующие вычислительные схемы имели первый порядок точности и "работали" в ограниченном диапазоне чисел Рейнольдса и Маха. Судя по литературе эти работы не получили развития. Отметим еще, что в работе [17] решалась нестационарная задача газодинамики, но на основе упрощенной системы уравнений и также лишь с первым порядком точности по маршевой координате.
В работах автора с коллегами [18-21] идея глобальных итераций по давлению, как и в работах других авторов, использовалась для решения задач газодинамики и гидродинамики на основе упрощенных систем уравнений. Анализ методических результатов этих работ показал, что попытка использования этой идеи для решения задач на основе полных систем уравнений может быть успешной лишь при наличии анализа х-гиперболичности трансформированных систем уравнений в приближении Эйлера и при выборе такой системы конечно-разностных аппроксимаций всех членов уравнений Навье-Стокса, которой соответствовала бы вычислительная схема, обладающая хорошими устойчивостью маршевых процедур и сходимостью
ГИ. Решение этих вопросов лежит в основе разработки ИММ. Соответствующему анализу посвящены гл. 2, 3, 4 работы. В гл. 1 указана идея простого преобразования системы уравнений, позволяющая организовать итерационный цикл и являющаяся по-сути идеей традиционного метода глобальных итераций. В гл. 5 описан и аналитически исследован частный случай общей схемы, который можно рассматривать как синтез прицшта установления и глобальных итераций по давлению. Такая модифицированная схема оказалась эффективной для решения стационарных задач. Первые пять глав посвящены обоснованию метода и тематически объединены в "ЧАСТЬ Г. "ЧАСТЬ И" содержит гл. 7-9, где приводятся результаты решения с использованием ИММ разнообразных задач механики жидкости и газа, отмечаются особенности применения метода к задачам разного типа. В предваряющей их главе 6 приводятся общие для последующих глав сведения, касающиеся исходных систем уравнений и вычислительной схемы ИММ, показана важность использования второго порядка аппроксимации маршевых производных. Численные исследования проведены с целью апробации ИММ, выяснения на практике его свойств и решения новых актуальных задач. В гл. 10 указаны свойства метода, характеризующие его эффективность, анализируется скорость сходимости глобальных итераций на однородных и неоднородных сетках, указан простой способ повышения скорости сходимости. В " ЗАКЛЮЧЕНИИ" сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. В wПРИЛОЖЕНИИ" дан краткий обзор работ, посвященных использованию и развитию метода ГИ на основе упрощенных уравнений.
Новизна результатов диссертации связана с тем, что впервые по- казано, что задачи механики жидкости и газа могут эффективно решаться на основе полных систем уравнений Навье - Стокса с помощью численного метода, вычислительная схема которого (без использования каких-либо видов расщепления) целиком основана на маршевых процедурах по пространственной координате (либо координатам для трехмерных задач). Здесь имеются ввиду как задачи, в которых есть выделенное направление движения потока, так и задачи, не имеющие выделенного направления движения и содержащие обширные стационарные или нестационарные отрывные и рециркуляционные области.
В отличие от существующих методов расчета предложенный в диссертации метод численного интегрирования систем уравнений Навье - Стокса позволяет без изменения (либо корректировки) вычислительной схемы решать задачи о движениях как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости, задач стационарных и нестационарных, задач любой размерности, задач внешних и внутренних и т.д.
То есть метод обладает весьма высокой степенью универсальности; вычислительная схема его проста; она обладает хорошей устойчивостью и сходимостью. При этом метод имеет порядок аппроксимации не ниже второго по всем независимым переменным.
Показано, что при соединении ИММ с принципом установления по времени возникает вычислительная схема, названная в диссертации модифицированной, которая в отличие от существующих схем, использующих принцип установления, позволяет осуществлять расчет на каждом временном слое с использованием двумерной (либо трехмерной) маршевой процедуры и не содержит "схемных параметров" .
Очевидно, что решение задач, связанных с созданием новой тех- ники, является актуальным. В диссертации с применением ИММ получены решения ряда новых задач о движениях жидкости и газа, связанных со следующими современными техническими проблемами: - исследование возможности воздействия пространственно неоднородного электромагнитного поля на характер вязкого обтекания подводного объекта (задача о воздействии электромагнитного поля на отрывные течения); - моделирование частотных характеристик вихревого генератора звука с целью создания устройства для эффективного решения проблем навигации, изучения донных отложений и других (задача о вихревой трубе и истекающей из нее струи); -исследование новых гидрофизических эффектов, связанных с возмущением движущимся объектом окружающей его вязкой стратифицированной среды (задача об эволюции пары вихрей). На защиту выносятся: — система конечно-разностных аппроксимаций итерационно- маршевого метода численного интегрирования полных систем урав- нений Навье-Стокса, обеспечивающая порядок аппроксимации не ни- ; же второго в сочетании с алгоритмической простотой и высокой сте- _ іпенью универсальности; ^ схема решения трехмерных задач, целиком основанная на маршевых процедурах; не содержащая "схемных параметров," эффективная для решения стационарных задач модифицированная вычислительная схема; — результаты анали-ческого обоснования метода, включающие условия х - гиперболичности трансформированных систем уравне ний в приближении Эйлера и условия устойчивости и сходимости его вычислительных схем; — результаты численного решения задачи о воздействии электро- магнитного поля на пристенное отрывное течение и ближний след; численный анализ эволюции пары круговых вихрей в вязкой стратифицированной среде; результаты численного решения задачи о движениях жидкости и газа в вихревой трубе и истекающей из нее струй; результаты численного решения задачи о продольном обтекании кругового цилиндра с плоскими передним и задним торцами (и его модификации) и о следе за ним в широком диапазоне значений числа Рейнольдса (Re — 10 — 103) и при до - и трансзвуковых значениях числа Маха (0 < Mq < 0.95). — численный анализ трехмерного нестационарного движения жидкости в полости, расположенной между коаксиальными цилин драми, под воздействием аксиально колеблющегося поршня и вра щения внутреннего цилиндра.
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [18-21, 25-28, 32-36, 38, 39, 43, 44, 58-61, 72, 77-79, 81-83], научных отчетах по НИР "ЦАРГАН", "ЦАРГАН-2-ГКНО", "ЦУГЦВАНГ", выполняемых по договору с в/ч 31270, и "ЦЕРЕМОНИЯ-СПНЦ", выполненной по договору с СПП РАН, и в отчете по теме 005.01.01.18, 2000 г., выполненной по программе "Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники" (подпрограмма "Транспорт").
Проведенные исследования поддержаны грантами РФФИ 96-01-00390, 00-01-00633, 00-01-10705, 00-15-96106 и грантом Минобразования по фундаментальным исследованиям в области естественных наук Е00-4.048.
Основные результаты диссертации доложены автором на следующих конференциях и семинарах: — 14 Школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (Новосибирск, 1994), XVII Всероссийском семинаре "Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах" (Санкт-Петербург, 1997J,
13 и 14 Международной Школе по моделям механики сплошной среды (Санкт-Петербург, 1995; Жуковский, 1997),
IV Международной конференции ГА-98 "Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики" (Санкт-Петербург, 1998), в Физико-техническом ин-те им. А.Ф. Иоффе на семинаре под руководством проф. Ю.П.Головачева (Санкт-Петербург, 1998), в Санкт-Петербургском политехническом университете на семинаре под руководством проф. Ю.В. Лапина (1998), в Московском госуниверситете на семинаре по вычислительной аэрогидродинамике под руководством проф. В.М.Пасконова и Г.С.Рослякова (1999),
Юбилейной Международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы" (Переслазль-Залесский, 1999),
Всероссийской конференции по механике " Вторые Поляховские Чтения" (Санкт-Петербург, 2000),
Третьей Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра - Москва, 2000), First International Conference on Computational Fluid Dynamics (Kyoto, Japan, 2000).
Исследование условий x - гиперболичности трансформированных уравнений Эйлера
Первый вопрос, который возникает при попытке реализовать вычислительную схему, описанную в разд. 1, - существуют ли такие є, при которых трансформированная система была бы х - гиперболической? Положительный ответ на этот вопрос является для нас принципиальным, поскольку известно, что для гиперболических систем от двух независимых переменных [24] и для симметрических х - гиперболических систем от большего числа независимых перемен-ньгхуЗадача Коши является корректной, а значит можно надеятся на то, что маршевые процедуры решения соответствующих конечно-разностных аналогов будут устойчивыми. Рассматриваемые ниже в п. 1, 2 системы уравнений не являются, вообще говоря, симметрическими. Однако мы учитываем, что нет доказательства того, что для х - гиперболических систем, не являющихся симметрическими, задача Коши не является корректной. В такой ситуации при получении отрицательного ответа на поставленный вопрос нет смысла строить вычислительную схему на основе формализма, изложенного в гл. 1. При положительном ответе есть смысл делать такие попытки, так как доказано, что, по краней мере, для некоторых подклассов х - гиперболических систем задача Коши является корректной. Забегая вперед, заметим, что ответ будет положительным и что результаты аналитического и численного исследований покажут устойчивость маршевых процедур при решении разностных аналогов дифференциальных уравнений. Эти результаты дают дополнительное оправдание настоящему рассмотрению.
В некоторых работах (например, [2, 99]) условия гиперболичности отыскиваются на основе трансформированных упрощенных уравнений, включающих вязкие члены, которые также, как и маршевый градиент давления, вносят эллиптичность ("негиперболичность") в исходные уравнения. В случае полной системы Навье-Стокса в численных схемах (см. ниже, гл. 4) вторые производные по маршевой координате (точнее их "эллиптическая компонента") записывается явно по ГИ. То есть конечно-разностные соотношения для этих производных аппроксимируют их лишь при сходимости ГИ. В таком случае исследование условий х - гиперболичности на основе полной системы теряет смысл, так как это исследование проводится лишь с целью выяснения вопроса о "корректности" маршевой процедуры. По этой причине при рассмотрении условий х - гиперболичности разумно основываться на приближении Эйлера (вообще не содержащем вязких членов).
Заметим, кстати, что упомянутые исследования для упрощенных систем (в которые не входят вторые производные по х), показывают, что одно из условий х - гиперболичности системы уравнений есть условие неотрицательности маршевой составляющей вектора скорости. Это условие сказывается и при расчетах - как уже упоминалось во "введении11 (см. также "приложение") с использованием упрощенных уравнений не удается рассчитывать течения с развитыми отрывными областями. Отсюда ясно, что основная причина возможности использования ИММ для расчета развитых отрывных и рециркуляционных областей состоит в учете всех членов уравнений Навье-Стокса (в совокупности, конечно, с адэкватным выбором системы конечно-разностных соотношений).
Для гиперболических систем уравнений в частных производных первого порядка задача Кош и является корректной (см. начало этой главы) и, следовательно, возможно численное интегрирование таких систем с использованием маршевых процедур. Исследуемая система, строго говоря, не является гиперболической, так как она имеет кратные корни. Однако, известно [22, 24], что некоторые системы с кратными корнями тоже следует причислить к классу гиперболических, так как они обладают одинаковыми с ними свойствами. Практика (см. гл. 7-9) свидетельствует о том, что "гиперболизо-ванные" системы уравнений Эйлера, характеристические уравнения которых имеют кратные корни, обладают свойствами гиперболических систем (в том смысле, что маршевые процедуры для конечно-разностных аналогов таких систем оказываются устойчивыми). Из сказанного следует, что при условии (2.5) для численного интегрирования системы (2.1, 2.3) возможно применение маршевой по координате процедуры.
Аналитическое исследование свойств вычислительной схемы
Исследование свойств вычислительной схемы основывается на применении метода Фурье к системе уравнений с " замороженными" коэффициентами [30]. Для определенности системы уравнений записываются в декартовой системе координат. Разностная сетка считается равномерной. Первые производные по маршевой координате х аппроксимируются с первым порядком по соотношениям (3,6) и (3.7) в варианте двухточечной разности, то есть с q — 1 при и 0ид = 0 при и 0. Производные по у аппроксимируются с использованием центральных разностей (3.9), производные по времени - с первым порядком.
Исследования свойств вычислительной схемы сводятся к исследованиям условий устойчивости маршевых процедур и сходимости ГИ и осуществляются с использованием известных подходов, изложенных в работах [30, 31]. Исследование сходимости ГИ проводится при наиболее жестком предположении о значении параметра в (1.2): г = 1.
К сожалению, строгие аналитические результаты для вязкого газа получить не удается, поэтому ограничимся рассмотрением невязкого газа. Соответствующая система уравнений, записанная в декартовой системе координат х. т/, г, в переменных - составляющие вектора скорости и, v iu, плотность /?, давление р с "замороженными" коэффициентами имеет вид.
Для конечных значений MQ результаты могут быть получены при рассмотрении предельного случая Щ — 0, когда \ становится вещественным. Рассмотрение этого случая аналогично рассмотрению одномерной задачи, к чему мы сейчас и переходим. Характеристическое уравнение для одномерной задачи следует из рассмотрения определителя матрицы, которая получается из матрицы (4.6), если в ней отбросить второй столбец и вторую строку. В этом случае один из корней будет иметь вид (4.8), а два других будут определяться формулой (4.10), где А = 0, Х = 1+ПІ\щ\. (4.12) Рассмотрим два случая. 1) Примем е = 1, д = 0 - типичные значения, используемые в расчетах (см. ЧАСТЬ II). Найдем условия, при которых модуль числителя не превышает модуль знаменателя: 2jM0V + l-2M025lX+l±\/(2M025ix + l)2-4Mo25i(M0V + l)l 0 Поскольку х положительно, то достаточно рассмотреть случай знака плюс перед корнем. Следовательно, искомые условия должны быть определены из неравенства: 2М Іх2 + 1 - 2M2S1X \J(2M$S1X + І)2 - 4M025i(M0V + 1) Отсюда находим: х і что выполняется. Следовательно, безусловно выполняется неравенство А2,з 1. Такой же результат получается и для предельного при VQ — 0 случая для двумерной задачи. 2) Рассмотрим случай с = д = — 1, представляющий особый ин терес для одномерной задачи. Согласно результатам, приведенным в разд. 2, для рассматриваемого случая задача Коши является кор ректной при 0. Нетрудно видеть, что при --1 функция р исчезает из соотношения (1.1) и трансформация становится триви альной. Это означает, что исходная система является х- гипербо лической и, следовательно, решение может быть получено за один маршевый проход.
Таким образом, рассмотренные два случая значений е показывают, что вычислительная схема безусловно устойчива при значении, лежащем вне области х - гиперболичности, и может быть условно устойчивой при значении, принадлежащем этой области. Подобная ситуация имеет место и для многомерных нестационарных задач. Этот парадокс может быть объяснен тем, что выводы об х - гиперболичности, с одной стороны и об устойчивости, с другой, относятся разным объектам: первый - к системе дифференциальных уравнений, второй - к системе алгебраических уравнений.
Полученные здесь результаты свидетельствуют о следующем. 1) Для газа в исследованных случаях устойчивость маршевых про цедур и сходимость ГИ оказываются абсолютными в случае "обыч ного" значения е = 1. Рассмотрение одномерной задачи для "не обычного" значения 6 = — 1, но допускаемого условием х - гипербо личности системы уравнений, показывает абсолютную устойчивость маршевых процедур при MQ 1 И условную при MQ 1. 2) Рассмотрение выражений для корней характеристических уравнений, являющихся предельными при MQ — 0 для газа и со ЦО впадающих с характерестическими уравнениями для жидкости (п. 2 гл. 4), показывает, что устойчивость маршевых процедур и сходимость ГИ обеспечены по крайней мере при 1 е 3 в случае 1/ = 1, а случаю щ = 0 соответствует расходимость ГИ (при г = 1). Эти результаты относятся к системам уравнений, не содержащим вязкие члены. Влияние на сходимость вязких членов в случае жидкости подробно рассмотрено в п. 2, 3 гл. 4. Для газа этот вопрос исследовался при численном решении конкретных задач (гл. 7-9).
Несжимаемая жидкость
Результаты, приведенные в этом подразделе, получены при использовании основной схемы ИММ, стационарных уравнений, первого порядка аппроксимации первых производных по маршевой координате и второго (центральные разности) по поперечной координате. Принималось е = 1,г = 0,3-т-1.
Первые попытки апробации ИММ на течениях с отрывом осуществлены в работах [38, 39]. Здесь рассмотрено течение в плоском диффузоре, конфигурация которого дается соотношениями (6.3). Численное моделирование осуществлялось на основе системы уравнений, записанной в ортогональной криволинейной системе координат (6-4). В качестве тестовой была рассмотрена задача о развитии течения на начальном участке плоского канала постоянной высоты при Re — 1000, Н = 0,5, А = 0 (рис. 6.1). Граничные условия ставятся следующим образом: х = XQ = 0, ио(у) = 1, dv/дх = 0; х = хк = 38,5, Эр/дх = 2u0/{H2Re), на стенке - прилипание, на оси условия симметрии. Условие для давления является следствием точного аналитического решения системы уравнений Навье-Стокса для течения между параллельными плоскостями (и0 - скорость на оси). Значения давления в начальном сечении и на стенке, а также значения составляющих вектора скорости в конечном сечении вычислялись посредством экстраполяции по двум или трем внутренним точкам расчетной области. По сути использовались, так называемые, мягкие условия. Порядок экстраполяции, согласно расчетам, практически не влияет на решение в точках области, удаленных от указанных границ на одну две расчетные точки.
Значительный прикладной интерес представляют собой задачи обтекания тела электроповодящей жидкостью в электромагнитных полях, создаваемых источниками, находящимися внутри тела. Такие источники позволяют, в частности, уменьшать гидродинамическое сопротивление тела посредством воздействия электромагнитной объемной силы на пристенный слой жидкости. Задачи такого рода рассматривались в [50-52] (шар, пластина) и других работах. В настоящей пункте моделируется ситуация плавного, но быстрого изменения угла наклона образующей тела, когда в отсутствие МГД-силы в пристенной области либо в следе за телом реализуется отрыв. Изучается влияние электромагнитной силы на параметры зоны отрыва и гидродинамическое сопротивление тела.
Течение в диффузоре рассмотрено в работе [21] на основе упрощенной системы уравнений (что оправдано для больших значений числа Рейнольдса). Конфигурация стенки, параметры сетки и граничные условия те же, что и в предыдущем пункте. Рассматривается случай течения в независящих от времени скрещенных электрическом и магнитном полях. Предполагается, что напряженность электрического поля Е имеет ненулевую компоненту Ei лишь в направлении, перпендикулярном стенке, а вектор напряженности магнитного поля Н имеет ненулевую компоненту лишь в направлении, перпендикулярном плоскости (х,у) [52]. Объемная сила, связанная с МГД-взаимодействием, вычисляется по формуле где а - электропроводность, v - вектор скорости. Для определенности магнитная проницаемость здесь принята равной единице. Предполагается, что магнитное число Рейнольдса мало, так что воздействием гидродинамического потока на электрическое и магнитное поля можно пренебречь. В этом приближении учет МГД-воздействия сводится к добавлению составляющих объемной силы в правые части уравнений баланса составляющих вектора количества движения вдоль семейств координатных линий Fe = rH(Ej, - Ни), Fv = TH{Et - ffv), где , ETj и и, v - проекции на направления координатных линий , т/ векторов Е, v соответственно. Как и в [52], связь между электрическим и магнитным полями задавалась с помощью коэффициента нагрузки к : Е\ = —кщН, где и$ - характерное значение скорости, и предполагалось, что магнитное поле затухает экспоненциально при удалении от стенки: Н = Щехр(—{3п), где Ко = const, (3 = const, ті -координата, отсчитываемая от стенки по нормали к ней.
Ниже приводятся расчетные данные, характеризующие влияние параметров к и /3, а также параметра МГД-воздействия N = aH2L/(puo) на поле течения (здесь р - плотность жидкости). Данные, приведенные на рис. 7.7 - 7.11 относятся к случаю А = —0,08, Re = 6250, Н = 0 4, N = 0,7. Штриховыми линиями на рисунках отмечен случай N = 0.
Из данных рисунка следует, что за счет увеличения толщины слоя, на который непосредственно воздействует МГД-сила, можно существенно снизить поверхностное трение (кривая 1). Однако, величина суммарного местного сопротивления, обусловленная как трением, так и МГД-силой, при этом возрастает, о чем свидетельствует кривая 2. Заметим, что снижение суммарного сопротивления за счет МГД-силы может быть обеспечено при отрицательном значении коэффициента нагрузки. Значительное влияние оказывает МГД-сила на распределение давления. Это обстоятельство демонстрируется на рис. 7.11, где изображено распределение давления на стенке для случая j3 = 60. Здесь 1 - к = 0, 2 - к = 0,2, 3 - к = -0,2.
Внутренние и внешние задачи механики жидкости и газа при наличии излома образующей стенки
В п. 2 гл. 6 отмечалось, что, с одной стороны, при использовании ИММ алгоритм решения систем Навье-Стокса для жидкости и газа один и тот же, а с другой, - система уравнений изотермического движения жидкости является частным случаем системы уравнений для газа при характерном значении числа Маха MQ, равном нулю. Поэтому возможно численное моделирование движений жидкости на основе системы уравнений для газа. В последние годы эта возможность реализована в работах [28, 77-79] применительно к внутренним и внешним задачам - к задаче о поле течения в вихревой трубе и в истекающей из нее струе и к задаче о продольном обтекании кругового цилиндра потоком газа. Возможность получения решения при MQ — 0 является важной, поскольку такое решение является предельным для случая течения сжимаемой жидкости при малых значениях числа Маха.
Расчетные области для упомянутых задач содержат резкие изломы образующих твердых стенок и этим они отличаются от случаев, рассмотренных в предыдущих главах. Это важное отличие, так как оно (см. ниже) требует отказаться от центральных разностей для аппроксимации производных по поперечной координате.
По этим причинам упомянутые задачи вынесены в отдельную главу. Численное решение этих задач (п. 2, 3) осуществляется на основе системы уравнений для сжимаемой жидкости (6.11), (6.12), записанной для независимых переменных (6.9). Для решения этих задач, которые являются стационарными, используется модифицированная схема ИММ (см. гл. 5). Все пространственные производные аппроксимируются со вторым порядком.
Предварительно ИММ апробируется на тестовой задаче, в качестве которой выбрано обтекание ступеньки (п. 1). В п. 4 этой главы приведены результаты расчетов вихрей Тейлора. Здесь, в частности, подчеркнута значимость односторонних аппроксимаций поперечных производных. В п. 5 демонстрируются возможности ИММ на примере решения трехмерной нестационарной задачи гидродинамики.
Рассмотрим течение несжимаемой жидкости в области, ограниченной сверху плоскостью, а снизу профилем со ступенькой (рис, 9.1). Линейным масштабом здесь служит высота входного сечения h, масштабом скорости - сред нерасходная скорость v .
Использование для решения такой задачи центральных разностей для аппроксимации всех производных по поперечной координате является неприемлемым, так как приводит к осцилляциям сеточных функций вблизи угловых точек. Гладкие решения в этих случаях удается получить при использовании односторонних разностей второго порядка для аппроксимации производной по поперечной координате в уравнении неразрывности (формула (3.12)) и производной по той же координате от давления в уравнении движения (формула 3.13)). Важно, чтобы эти аппроксимации были бы разнонаправлены.
Задача в такой постановке экспериментально исследована в работе [49] для широкого диапазона чисел Рейнольдса Re = 2hv fv. В расчетах мы задаем постоянное значение давления и мягкие условия для составляющих вектра скорости в выходном сечении z = 40. Давление в начальном сечении z — 0 определяется посредством линейной экстраполяции по внутренним точкам расчетной области.
Расчетная структура течения показана на рис. 9.1. В общем случае поле течения содержит три отрывных зоны: - очевидную зону (1) за ступенькой, зону (2) на противоположной стенке и вторую зону отрыва на нижней стенке - зону (3). Отрыв на верхней стенке появляется при числах Re 400, вторая отрывная зона на нижней стенке появляется при Re 1000.
Такая структура поля течения в плоском канале подтверждается экспериментальными данными работы [49]. Согласно этим данным при Re 1200 в таком канале реализуется турбулентный режим течения. Таким образом, используемый метод позволяет получить решение такого рода задач во всем диапазоне "ламинарных11 значений чисел Re. Для получения решений для случая турбулентного режима необходимо привлечение адекватной модели турбулентности.
Для изучения ряда актуальных прикладных проблем, таких как механизм теплового разделения газа или генерирование звука вихревыми трубами, необходимо иметь детальную информацию о поле течения внутри трубы. В частности, для определения частоты звуковых колебаний необходимо знать расход жидкости (п. 1.4 гл. 7).
Ясно, что, строго говоря, задача о поле течения в трубе должна решаться совместно с задачей о поле течения в закрученной струе, истекающей из трубы. Другими словами граничные условия необходимо ставить вдали от выходного сечения трубы. При расчете струи предполагалось, что на выходном торце трубы z = І в плоскости, перпендикулярной оси расположена жесткая стенка препятствующая затеканию потока во внешнюю область трубы. Вдоль образующей трубы при h z I предполагается прилипание потока. В области вдува на стенке при z h продольная составляющая вектора скорости и принималась равной нулю, а значения радиальной v и окружной w составляющих задавались постоянными, причем за характерную скорость принималось размерное значение радиальной составляющей на входе в трубу v (так что ее безразмерное значение на входе v = — 1). На левой границе ставились условия симметрии (использование условий прилипания здесь сказывается на параметры поля течения лишь вблизи левой границы).
