Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка осесимметричных задач Хеле-Шоу 19
1.1. Постановка осесимметричных задач Хеле-Шоу применительно к нестационарному электрохимическому формообразованию 19
1.1.1. Математическая модель 20
1.1.2. Постановка задач на временном шаге 22
1.2. Постановка задач определения форм поверхности, не зависящих от времени 25
1.2.1. Задачи начального формообразования 25
1.2.2. Стационарные осесимметричные задачи 26
1.2.3. Автомодельные осесимметричные задачи 27
Глава 2. Решение плоских задач ЭХО 30
2.1. Постановка плоских задач стационарного формообразования 30
2.2. Задача стационарного формообразования при обработке проволочным электродом инструментом 31
2.3. Задача стационарной обработки цилиндрическим ЭИ. 33
2.4. Вычисление напряженности электрического поля при обработке ЭИ, сдвинутым относительно стационарной поверхности 37
2.5. Предельное распределение напряженности 42
Глава 3. Методы расчета параметров осесимметричных процессов, не зависящих от времени 46
3.1. Задача нахождения конформного отображения. 47
3.2. Определение составляющих напряженности 50
3.3. Модификация численных методов для решения осесимметричных задач 55
3.3.1. Оценка погрешности вычисления интегралов Положего при прямом применении квадратурных формул Гаусса 55
3.3.2. Численные методы вычисления интегралов Положего 57
3.3.3. Численный метод вычисления интеграла Шварца 64
3.4. Применение экстраполяции для оценки погрешности 67
3.4.1. Численная фильтрация 68
3.4.2. Ограничения при повторных экстраполяциях 71
3.4.3. Критерий размытости оценки 74
3.4.4. Визуализация результатов экстраполяции 75
Глава 4. Расчет форм осесимметричных поверхностей, не зависящих от времени 78
4.1. Задачи начального формообразования. 78
4.1.1. Тестовый пример 1 78
4.1.1. Тестовый пример 2 80
4.2. Автомодельная осесимметричная задача 86
4.3. Задача стационарного формообразования 92
Глава 5. Численное решение нестационарных задач Хеле-Шоу 101
5.1. Метод решения нестационарной задачи . 101
5.2. Численные результаты 105
5.2.1. Обработка неподвижным ЭИ 105
5.2.2. Обработка подвижным ЭИ, находившимся в начальный момент времени на некотором расстоянии от плоской обрабатываемой поверхности 108
5.2.3. Обработка ЭИ, движущимся из бесконечности 112
5.2.4. Обработка ЭИ, находившимся вначале на обрабатываемой поверхности 115
5.3. Определение параметров переходных процессов 118
Заключение 125
Литература 128
- Постановка задач определения форм поверхности, не зависящих от времени
- Вычисление напряженности электрического поля при обработке ЭИ, сдвинутым относительно стационарной поверхности
- Оценка погрешности вычисления интегралов Положего при прямом применении квадратурных формул Гаусса
- Автомодельная осесимметричная задача
Введение к работе
Большой вклад в развитие гидродинамики в конце 19 века внесла работа [103] написанная Henry Selby Hele-Shaw (Хеле-Шоу), который описал устройство, позднее названное ячейкой Хеле-Шоу, где хорошо воспроизводится плоское безвихревое движение, посредством пропускания вязкой жидкости между двумя параллельными пластинами. В дальнейшем она нашла широкое применение. В русской литературе прибор называется щелевым лотком, применялся Н.Е. Жуковским для демонстрации обтекания крыла ламинарным потоком, в настоящее время распространен в лабораториях. Он дает наглядную картину движения, позволяет воспроизводить неустановившееся движение (рис. В1).
injection /suction of fluid
Параллельные стеклянные пластины
\
\ Параболический профиль Рис. В1. Щелевой лоток (ячейка Хеле-Шоу)
В данной модели вязкая жидкость движется в замкнутой с двух сторон
^ области со свободными в двух измерениях границами. Жидкость
впрыскивается (или удаляется) через трубку, расположенную на пластине. В результате впрыскивания свободные границы смещаются.
В результате того, что ширина зазора между пластинами мала и образуется
плоский поток жидкости с преобладанием сил вязкого трения о пластины над
инерционными (число Рейнольдса мало), уравнение Навье - Стокса при
усреднении по ширине зазора между пластинами сводится к закону Дарси
[103].
12ц
^ где V- средняя по зазору скорость жидкости; h - расстояние между пластинами;
ц - коэффициент динамической вязкости; р - давление в жидкости).
Тем самым, поток жидкости является потенциальным и соленоидальным (divF=0 в силу отсутствия распределенных источников и стоков). Тогда давление является потенциалом и удовлетворяет уравнению Лапласа (Д/?=0).
Дальнейшие шаги в исследовании были сделаны П.Я. Полубариновой -Кочиной [68,118] и Л.А. Галиным [8]. В 1945 они независимо друг от друга использовали методы теории комплексного переменного для решения задач неинерционных потоков Хеле-Шоу [118].
Основная идея была в применении конформных отображений z=J{Q
области течения на область L, простой геометрической формы (в большинстве
случаев на круг единичного радиуса) вспомогательной плоскости, чтобы
t представить свободные границы в параметрическом виде.
Рассмотрим поток создаваемый источником или стоком напряженности Q, расположенным в точке z=0 (рис. В2).
др = 0
dp дп
р = 0, Vn =--^
Рис. В2. Задача Хеле-Шоу со свободной границей
При отсутствии силы тяжести или ее проекции на плоскость течения давление р на свободной границе постоянно. Примем р=0. Скорость движения границы совпадает с нормальной составляющей скорости жидкости, т.е.
дп Методами теории функций комплексного переменного было получено граничное условие [106]
( дЛ Q м л —— =— при g=i.
dC,dt) 2ті Н w
Полученное выражение называется уравнением Полубариновой - Галина [118]. Уравнение позволяет получать точные решения и применять конформные отображения и гипергеометрические функции для исследования потоков Хеле-Шоу.
Частную производную по времени можно выразить через интеграл Шварца [59] в виде уравнения типа Лёвнера-Куфарева [155]
= <
5/ М Q
%4п2
2л I
,/9
+с
eiQ - С
сів,
В дальнейшем в развитие решения задач Хеле - Шоу свой вклад внесли S. Richardson [120,121], GI. Taylor [122,123], RG Saffman [122,123], J. R. Ockendon [101,106], S.D. Howison [105-108], CM. Elliott[101], J.R. King[105,108,110], L.J.
с*
8
Cummings [100]). С помощью ТФКП они решают задачу Хеле - Шоу
\J* современными методами прикладной математики.
Последние годы интерес к задачам Hele-Shaw растет. Задачи решаются по
всему миру. Подобные задачи решаются в металлургии при описании движения
границ фазы, при напылении или растворении [106], при анодном растворении
Яг [99,113] (в электрохимической обработке) и т.д. Используя данную ячейку,
можно рассмотреть поверхностное натяжение [103], воздействие внешних сил, пронаблюдать устойчивые потоки в пористых средах [106], полагая, что они описываются законом Дарси. Сейчас ячейка Хеле - Шоу, удобный инструмент исследования в гидромеханике, физике, инженерных науках.
В диссертационной работе подходы, развитые для исследования плоских
'^\ течений, применяются для решения осесимметричных задач Хеле-Шоу. Под
\ этими задачами будем понимать осесимметричные краевые - задачи для
уравнения Лапласа АФ = 0 (Ф - потенциал) внутри некоторой области, на
границах которой выполняется условие Ф=сопз1, причем свободные границы
подвижны (скорость движения пропорциональна градиенту Ф). В частном
случае границы могут сохранять геометрическое подобие (автомодельные
^ решения), либо в подвижной системе координат могут быть стационарными.
Решения этих задач могут интерпретироваться как процессы движения
жидкости и как процессы растворения металлов при электрохимической
обработке (ЭХО). Это приложение позволяет рассмотреть новые задачи,
например, задачи с движущимся источником, и этим дополнить теорию задач
Хеле-Шоу.
(ц Обычно при исследовании ЭХО задача формообразования рассматривается
как стационарная, то есть предполагается, что при движении электрода-инструмента (ЭИ) поверхность обрабатываемого материала сохраняет некоторую стационарную форму в системе координат, связанной с ЭИ. Как показывает опыт, такой подход действительно оправдывает себя при прямом
9 копировании и прошивке отверстий в зоне, где происходит активное
ІР формообразование. Однако этот подход не позволяет рассчитать переходный
процесс, который необходим для установления стационарной формы, и требуется снятие определенного припуска для получения заданной точности копирования.
г Как частный случай в диссертационной работе рассматривается процесс
автомодельной ЭХО, т.е. такой случай нестационарной обработки, в котором форма обрабатываемой поверхности остается геометрически подобной начальной. Обработка приводит только к изменению масштаба межэлектродного пространства, при этом форма эпюры распределения плотностей тока на поверхности материала остается постоянной. Решение
л задачи автомодельной ЭХО позволяет рассмотреть некоторые предельные
случаи нестационарного формообразования, получить оценки изменения радиуса кривизны при скруглении острых кромок.
Следует отметить, что осесимметричные задачи Хеле-Шоу изучены намного меньше, чем плоские. Поэтому вначале рассмотрим осесимметричные задачи гидродинамики, постановка которых частично совпадает с задачами Хеле-Шоу. Далее обзор задач проводится по известным плоским решениям задач Хеле-Шоу на примере ЭХО и некоторых других приложений.
Существует целый ряд хорошо развитых численных методов, применимых для решения задач Хеле-Шоу. Для решения осесимметричных задач часто применяются методы конечных разностей [11,95] и конечных элементов [35,51]. Примеры применения этих методов к решению потенциальных задач можно найти в работах [39,72]. Однако недостатком названных методов является проблема удовлетворения граничных условий, заданных на бесконечности. Этого недостатка (например, в задачах потенциального обтекания тел безграничным потоком) лишены интегральные методы, такие как метод граничных интегральных уравнений [60,40].
Значительные результаты получены с помощью численно-аналитических методов, сводящихся к определению интенсивности источников и диполей, распределенных на границе [14], или вихревого слоя [14]. В последнее время широко используются методы граничного элемента, основанные на применении интеграла Грина [3,4,122].
Основой для применения методов ТФКП к решению осесимметричных задач служат интегральные преобразования Г.Н. Положего [67] аналитической функции комплексного переменного в потенциал и функцию тока некоторого осесимметричного поля. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах [12-13] для решения задач с линейными краевыми условиями. В [18-20] на основе интегральных преобразований разработан численно-аналитический метод, являющийся обобщением метода Леви-Чивиты для решения нелинейных осесимметричных задач. В [24, 73, 125] этот метод применен для исследования обтекания пузырей и других осесимметричных препятствий.
Ниже предлагаются модифицированные варианты численно-
аналитического метода с использованием преобразования Г.Н. Положего для
решения осесимметричных задач Хеле-Шоу. .,.
По плоским задачам Хеле-Шоу и, в частности, задачам ЭХО список публикаций весьма обширен.
Значительный вклад в разработку теории расчета размерной ЭХО внесли Ф.В. Седыкин, И.И. Мороз, Ю.Н. Петров, В.Д. Кащеев, Г.И. Корчагин, А.Х. Каримов, Ю.С. Волков, А.И. Дикуссар, В.В. Клоков, Л.М. Котляр, Е.И. Филатов, Д.В. Маклаков, Н.М. Миназетдинов, Г.А. Алексеев, Л.М. Щербаков, В.П. Смоленцев, А.Л. Крылов, B.C. Крылов, Г.Р. Энгельгарт, Н.Г. Зайдман, А.Н. Зайцев, В.П. Житников, J.A. McGeogh, J. Kozak и др.
Ряд задач начального формообразования решен в [20, 42, 104 111, 112], предельного - в [45,62, 65].
Задача определения стационарной формы границы анода по заданной форме катода-инструмента эквивалентна задаче построения комплексного
потенциала течения в бесконечном криволинейном канале, с заданным расходом, одна стенка которого известна, а вторая должна быть определена в ходе решения задачи. Ряд подобных задач решен в [9,10,93,92,110].
В работе [47] установлена гидродинамическая аналогия задачи стационарного электрического формообразования, согласно которой плоское потенциальное электрическое поле моделируется фиктивным течением идеальной несжимаемой жидкости. В работе [44] задача стационарного ЭХО сведена к задаче отыскания неизвестной границы течения жидкости по заданному на ней годографу скорости.
В [45] рассчитаны формы стационарной поверхности анода, получающиеся при обработке электродом-инструментом в виде изолированной плоской пластинки с точечной в сечении рабочей частью.
В работах [41,45] на основе идеальной модели решены плоские задачи расчета формы стационарной поверхности двугранным ЭИ без изоляции. Важным вопросом является учет побочных физических процессов в ходе анодного растворения. В статьях [7,50,66,90] решена аналогичная задача с учетом неравномерности поляризации анода, в [5,6,9,10,42,90,91] - с учетом зависимости выхода по току. В работе [88] был произведен расчет ширины зазора при стационарной ЭХО с учетом нагрева электролита. В [76] была поставлена и решена задача о влиянии тепловых полей на двумерное стационарное ЭХО путем сведения к решению краевой задачи Гильберта.
В [76] был решен ряд задач двумерного стационарного ЭХО методом конформных отображений годографа скорости с использованием непосредственного интегрирования в комплексных переменных, также решены задачи для ЭХО деталей со щелями.
Одной из актуальных задач теории ЭХО является изучение гидродинамики потока электролита. В определенных условиях имеется значительное влияние скорости течения электролита на скорость растворения металла. Результаты исследований гидродинамики потока электролита и ее влиянии на процесс ЭХО
12 освещены в работах [34,41,43,48,49,52,56,64,89,93]. Особое место занимают здесь кавитационные явления, так как каверны, возникающие в МЭП, вызывают местное экранирование поверхностей электродов и нарушают режим анодного растворения. Вопросы влияния кавитации на процесс ЭХО и специального профилирования ЭИ для обеспечения безотрывного потока электролита рассмотрены в [6,53,54,55,63].
Автомодельные задачи ЭХО (в которых с течением времени сохраняется геометрическое подобие межэлектродного пространства) рассматривались в [25,26,28,77-79,83,98]. Были решены частные случаи задачи обработки клиновидным ЭИ, которые имеют аналитические решения [29,77,98]. Также решены численно задачи обработки точечным и бесконечно удаленным ЭИ [25,26,77,83]. R.V. Crasrer [99], S.D. Howison [105] решали задачу о покрытии клина пленкой вязкой жидкости, краевые условия которой аналогичны условиям автомодельное ЭХО, и получили частные решения задачи, которые затем были обобщены в [84-87].
Наиболее простым способом решения, учитывающим изменение формы обрабатываемого материала при нестационарной ЭХО, представляется способ последовательного решения задач начального формообразования.
При решении задач численными методами возможно сближение узловых
точек на отдельных участках, приводящее к ухудшению сходимости [33].
Определение частной производной по времени позволяет при решении
нестационарной задачи производить временной сдвиг поверхности вдоль
dz , dz ,
вектора —: dz = —ах.
дт дх
Это дает возможность закрепить узловые точки на границе плоскости параметрического переменного или проводить их управляемое изменение, что значительно упрощает решение нестационарной задачи [1,2,69,70].
Наибольшее количество работ в области решения задач нестационарной ЭХО численными методами посвящено решению задач в малоискривленных
13 межэлектродных каналах (так называемые одномерные задачи
Лг электрохимического формообразования). Обширный обзор этих работ можно
найти в [15,41,71]. Трехмерное электрохимическое формообразование для построчной обработки при «идеальной» модели процесса рассмотрено в работе [17]. С помощью метода малого параметра при учете гидродинамики
у электролита для областей с большим радиусом кривизны поверхности анода и
катода решается задача нестационарной ЭХО в работе [90].
Двумерной нестационарной ЭХО для различных схем обработки посвящены работы по численному моделированию процесса методом конечных разностей [16,115], методом конечных элементов [117], методом граничных элементов [96,98,128].
^ Нестационарные двумерные задачи ЭХО общего вида решались в [76].
Использован метод граничных элементов, основанный на суперпозиции простых точных решений уравнения Лапласа, удовлетворяющих граничным условиям. Таким способом были решены задачи проектирования паза шестерни внутреннего зацепления, задачи по расчету ЭИ методом обратного копирования и расчету формообразования кромки лопатки газотурбинного двигателя. Метод
граничных элементов первого порядка точности использовался также в
[72,97,119,127] для решения ряда модельных задач. Отметим, что используя
данные методы трудно рассчитать процесс вплоть до выхода на стационарный
или автомодельный режим.
Численно-аналитический метод решения задач нестационарной ЭХО, в
котором форма обрабатываемой поверхности задается с помощью сплайна, а
, значение производных координат по времени определяется путем решения
системы уравнений, предложен в [27]. С помощью этого метода решен ряд
задач обработки точечным и пластинчатым ЭИ [27,80-82,98,126,57].
В работе [127] плоская задача нестационарной ЭХО сведена к решению задачи Римана Гильберта на каждом временном шаге, что позволяет избежать
14 решения системы уравнений. Этот метод возможно адаптировать и для решения осесимметричных задач.
Особенностью задач, решаемых в диссертации является их «жесткость», т.е. наличие двух (или более) характерных значений временных параметров, различающихся на порядки.
Целью исследований является:
Исследование закономерностей формообразования свободных границ в нестационарных осесимметричных задачах Хеле-Шоу, длительных переходных процессов, приводящих к формированию различных предельных конфигураций.
Для достижения поставленной цели необходимо решить:следующие задачи:
разработать численно-аналитические методы высокого (>2) порядка точности и алгоритмы для решения осесимметричных задач Хеле-Шоу; методы оценки погрешности и уточнения численных результатов путем экстраполяции данных, полученных при разном числе узловых точек;
проведение численного исследования решений стационарных, автомодельных и нестационарных решений задач Хеле-Шоу при помощи разработанных численно-аналитических методов.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.
В первой главе диссертации в п. 1.1 дается постановка нестационарной осесимметричной задачи Хеле-Шоу при этом задача на каждом временном шаге сводится к решению трех краевых задач: конформного отображения, определения составляющих напряженности, определения частных
15 производных по времени. Выводятся краевые условия этих задач.
В п. 1.2 приводится постановка осесимметричных задач определения форм поверхности, не зависящих от времени: стационарной, предельной, автомодельной (сохраняющей геометрическое подобие межэлектродного пространства).
Во второй главе диссертации приведены решения плоских задач Хеле-Шоу, аналогичных рассмотренным далее осесимметричным задачам, полученные усовершенствованным численно-аналитическим методом, описанным в п. 2.3 - 2.5. В п. 2.1 приведена постановка плоских задач стационарного формообразования, в п. 2.2 - решена задача стационарного формообразования при обработке точечным электродом инструментом, в п. 2.3 - решена задача стационарной обработки цилиндрическим ЭИ, в п. 2.4 -произведен расчет напряженности электрического поля при гэлектроде -инструменте, сдвинутом относительно стационарной поверхности, п. 2.5 -произведен расчет предельного распределения напряженности. В ходе решения была найдены скорости растворения материала анода (обрабатываемой детали) и формы обрабатываемой поверхности.
Для решения этих задач применялся видоизмененный метод Леви-Чивиты [19].
В третьей главе диссертации предлагаются методы расчета осесимметричных процессов, не зависящих от времени. В п. 3.1 решается задача нахождения конформного отображения. В п. 3.2 приводится расчет составляющих напряженности. В п. 3.3 - приводится видоизмененный метод численного интегрирования, используемый при решении осесимметричной задачи.
При выборе метода решения задач учитывалось следующее.
Метод Леви-Чивиты достаточно прост, но требует равномерной сетки, что неудобно с точки зрения учета особенностей решения. В осесимметричных задачах особых точек может быть больше, чем в плоских из-за сложности
представления краевых условий. Применение сплайна позволяет сгустить узлы вблизи особых точек или в области быстрого изменения функций.
Выбор полосы в качестве параметрической области позволяет перевести особую точку в бесконечность. Тогда характерные для задач дробностепенные особенности превращаются в убывающие экспоненты.
При решении нестационарной задачи малые возмущения, в особенности в точках, близких к бесконечности, приводят к резкому изменению коэффициентов ряда, что ведет к неустойчивости. Сплайн менее чувствителен к этим возмущениям.
Таким образом, комбинация сплайн - представления функций, интеграла Шварца и полосы в качестве параметрической области, использованная ранее в [7,61], является эффективной и для решения рассматриваемых ниже задач.
В п. 3.4 - приводится метод применения экстраполяции для оценки погрешности.
В четвертой главе диссертации производится расчет форм осесимметричных поверхностей, не зависящих от времени. В п. 4.1 решаются тестовые примеры задач начального формообразования. В п. 4.2 решается автомодельная осесимметричная задача обработки точечным ЭИ, в п. 4.3 -стационарная осесимметричная задача.
В пятой главе диссертации приводится решение нестационарных осесимметричных задач. В п. 5.1 описан метод расчета задачи нестационарного формообразования. В п. 5.2 приводятся полученные численные результаты. На защиту выносятся:
Численно-аналитический метод решения нестационарных осесимметричных задач Хеле-Шоу, основанный на интегральном преобразовании Г.Н. Положего аналитической функции комплексного переменного в потенциал и функцию тока осесимметричного поля.
Модификации метода для решения стационарных и автомодельных задач.
Численные алгоритмы, реализующие предложенный метод, использующие
17 видоизмененные квадратуры высокого порядка точности, методы оценки погрешности и уточнения численных результатов.
4. Численные решения ряда осесимметричных задач Хеле-Шоу при помощи разработанного метода. Выводы о тенденциях формообразования границ, полученные в результате численных исследований.
Научная новизна
Впервые нестационарная осесимметричная задача Хеле-Шоу сведена к решению трех краевых задач для аналитических функций комплексного переменного на каждом временном шаге, что позволило получить решение более устойчивое в диапазоне параметров на длительном промежутке времени.
Новыми в работе являются численно-аналитические методы решения задач Хеле-Шоу, которые, в отличие от известных, имеют порядок точности не ниже третьего, что позволяет сократить объем вычислений и получить результаты с более высокой точностью, оценить их погрешность экстраполяционными методами.
Новыми являются результаты численного исследования (с оценкой погрешности) задач об обработке осесимметричным (точечным) электродом-инструментом.
Практическая ценность
Автором разработаны алгоритмы и программы решения осесимметричных задач Хеле-Шоу, получены численные результаты, которые могут быть практически использованы в инженерных расчетах.
Работа проводилась по тематике госбюджетных научно-исследовательских
работ Уфимского государственного авиационного технического университета:
«Создание математических моделей естествознания», «Исследование
взаимосвязи вычислительных алгоритмов и архитектур
высокопроизводительных вычислительных систем».
Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Вычислительная математика» и «Прикладное математическое
18 моделирование».
Основные материалы диссертации опубликованы в работах автора [36-38,134] и в соавторстве [31,32,86,102,129-133]. В работах [31,32,36,37, 38, 86, 102, 129-134] диссертанту принадлежат разделы, касающиеся разработки численно-аналитических методов и решения осесимметричных задач Хеле-Шоу.
Основные результаты докладывались на международной научной конференции «Современные проблемы атомной науки и техники» (Снежинск, 2003); на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT'2003 (Уфа, 2003); на Всероссийской Молодежной научно - технической конференции «Интеллектуальные системы управления и обработки информации» (Уфа, 2003), на 14-м Международном симпозиуме по электрофизической обработке материалов ISEM XIV (Эдинбург, 2004); на второй международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2004), на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT'2004 (Будапешт, 2004), на Молодежной научно - практической конференции "Студенчество. Интеллект. Будущее" (Набережные Челны, 2005), на всероссийской научно-практической конференции "Вузовская наука - России" (Набережные Челны, 2005), на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT'2005 (Уфа, 2005), на всероссийской научной конференции «Мавлютовские чтения» (Уфа, 2006), на Международной научной конференции по надежности вычислений SCAN (Дюсбург, 2006), на международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование - 2006» (Кемерово, 2006), на IX всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н. Новгород, 2006).
Постановка задач определения форм поверхности, не зависящих от времени
Идеальная модель процесса предполагает постоянство электропроводности электролита во времени и в пространстве. В этом случае векторное поле электрической напряженности является потенциальным и соленоидальным. Поле в каждый момент времени описывается функциями Ф{2,і) - потенциалом электрического поля и {Z,t) - функцией тока, где Z=X+iY - комплексная переменная, X и Y - декартовы координаты точек сечения МЭП. Величина Y является расстоянием от точки до оси симметрии. Эти функции должны удовлетворять условиям [21, с. 72] дХ Y BY dY Y dY Приложение теории функций комплексного переменного (ТФКП) к решению осесимметричных задач возможно при применении интегральных преобразований. В связи с этим ниже дается краткое описание подходов, позволяющих применить аналитические функции для решения осесимметричных задач Хеле-Шоу. Потенциал Ф и функция тока Ш осесимметричного поля выражается через функцию комплексного переменного f(Z) = U(X,Y) + iV(X,Y), аналитическую (т.е. удовлетворяющую условиям Коши-Римана в области Z, форма границ которой совпадает с формой границ межэлектродного пространства в меридиональном сечении осесимметричного поля, с помощью формул (преобразований Г.Н. Положего [67]):
Таким образом, решение осесимметричной задачи сводится к решению некоторой плоской задачи для определения аналитической функции W{Z), представляющей комплексный потенциал некоторого вспомогательного плоского поля. Потенциал и функция тока осесимметричного течения получаются путем интегральных преобразований (1.1.2),(1.1.3), примененных к ywmjmj{Z)=dWldZ [21, с. 78-79].
Краевые условия вспомогательной плоской задачи записываются в виде интегральных уравнений, которые получаются приравниванием к константе правых частей (1.1.2) для эквипотенциальных границ или (1.1.3) для непроницаемых. Равенство нулю мнимой или действительной части f(Z) в общем случае не приводит к равенству нулю или константе соответствующих интегралов. Исключение составляют отрезки оси X, совпадающие с участками границы потока, на которых значения потенциала пропорциональны величине функции j{Z) [21, с. 77]. Поэтому вспомогательное плоское поле, определяемое аналитической функцией j{Z), должно обладать неэквипотенциальными и проницаемыми границами. Закон проницаемости и изменения потенциала задается уравнениями непроницаемости (Ч СОПБІ) и эквипотенциальности ( I =const) границ осесимметричной задачи (1.1.2),(1.1.3).
При построении функции j{Z) для вспомогательной плоской задачи необходимо также учитывать правила соответствия особенностей [21, с. 78]. Из (1.1.2) и (1.1.3) определяются значения продольной и радиальной составляющей напряженности точка на оси симметрии х.
Для задачи, рассмотренной на рис. 1,а область, соответствующая МЭП на плоскости комплексного потенциала W имеет форму криволинейной полосы (см. рис. 1.1.1,6).
Отобразим конформно области, соответствующие МЭП на плоскостях Z и W на полосу (рис. 1.1.1,в). При этом задачу определения функции W{Z), аналитической на области МЭП можно решать в параметрическом виде. Границы области МЭП определяются через частную производную —(%,t) dt численным методом путем дискретизации времени. 1.1.2. Постановка задач на временном шаге
Таким образом, на каждом временном шаге решаются три краевые задачи: й7 найти три аналитические внутри полосы % функции W{%,t), Z(%,f) и —(%,ґ), dt удовлетворяющие определенным краевым условиям. Краевым условием для определения функции W(x,t) является условие эквипотенциальное анода и катода, оговоренное выше.
Краевым условием для определения функции Z(x,i) является равенство мнимой (или действительной) части Z(%,t) на границе полосы %=G, %=G+i (-оо«т оо) известным при каждом фиксированном / функциям ід(с,ґ). Эта краевая задача решается аналитически (с помощью формулы Шварца [59, с.223],[73,(1.18),с.9]). где Ah - толщина слоя металла, растворенного за малое время At, Vecm-скорость электрохимического растворения, М, п - молярная масса и валентность материала детали, NA - число Авогадро, е - заряд электрона, р -плотность обрабатываемого металла, Еп - нормальная к поверхности анода составляющая вектора напряженности электрического поля, rj - выход по току, принимаемый, в зависимости от постановки задачи постоянной величиной или функцией плотности тока.
При решении задачи с помощью ТФКП область МЭП конформно отображается на полосу рис. (1.1.1 в). В отличие от области на физической плоскости, форма области на плоскости изменения параметрического переменного остается неизменной в любой момент времени. Неизменным остается и положение любых трех характерных точек на границе полосы [59, с.160-161].
Вычисление напряженности электрического поля при обработке ЭИ, сдвинутым относительно стационарной поверхности
Решение осесимметричных задач, в которых форма МЭП не изменяется во времени, состоит из двух этапов (подзадач): нахождения конформного отображения области параметрического переменного на физическую плоскость и определения составляющих напряженности с помощью интегральных преобразований аналитической функции.
При решении задач начального формообразования эти подзадачи можно реализовать независимо. При решении автомодельных и стационарных задач эти подзадачи должны решаться одновременно. При решении нестационарных задач на каждом шаге по времени решаются задачи начального формообразования.
Поэтому результаты данного раздела служат базой для решения всех задач представленных в диссертации.
В качестве примера рассмотрим задачу обработки точечным электродом-инструментом некоторой поверхности. Сечение межэлектродного пространства (МЭП) показано на рис. 3.1.1.
Схема МЭП на физической Рис. 3.1.2. Образ МЭП на плоскости плоскости параметрического переменного % Здесь ADB - граница растворяемого материала, точка С -точечный ЭИ с интенсивностью N, расположенный на расстоянии / от плоскости. При расчетах расстояние / принимается в качестве характерного размера в (1.1.11) для перехода к безразмерным величинам.
Задача нахождения конформного отображения Пусть форма сечения поверхности детали определяется уравнением gi(xy)=0. В качестве области изменения параметрического переменного %= з+ю удобно выбрать полосу ширины 1/2 с соответствием точек, указанным на рис. 3.1.2.
Функция при g 0 конформно отображает полосу плоскости % на левую полуплоскость с разрезом. При этом граница %=G отображается на поверхность ADB, граница %=а+//2 - на разрез А СВ . Положение точечного источника z0(//2)=-g.
Функция, отображающая плоскость % на физическую ищется в виде суммы Z(X)= O(X)+ZA(X). (3.1.2) При х - величина Re zA (%) - 0. Функция zA(%) получается следующим образом. Будем искать решение на границе %=о в узловых точках ат (т=0,...,п). Искомыми будут значения RezA(om) = xm. При ст=а„ примем RezA(aw)=0, поскольку zA(a) быстро (как экспонента) убывает при з-»оо. Значения RezA(a) в промежуточных между узловыми точках найдем, аналогично [7,с.ЗО, 61,с. 120], с помощью кубического сплайна, имеющего две непрерывные производные Отметим, что в силу симметрии МЭП относительно оси х RQZA(G) четная функция. Поэтому в качестве краевого условия используется равенство нулю первой производной P(G) при а=а0=0: Р (а0)=ро=0. При G=G„ также положим Р\Рп}=Рк=0.
Система (3.1.4) имеет единственное решение, для нахождения которого применяется метод прогонки. Для восстановления функции zA(%) используем формулу Шварца [73, (1.18), с. 9] с учетом того, что zA(%) аналитическая функция, имеющая, как и ZQ(%) чисто действительные значения на прямой Imx=l/2. Аналитически продолжая функцию zA(%) на полосу единичной ширины, получим
Задача решается методом коллокаций [21, с. 50]. Для этого используем представление функции z(a) в виде (3.1.2). Искомыми являются значения действительной части RezA(am)=xm в узловых точках ът (т=0,...,п-1). (Как было указано выше, х„=0). Для определения этих параметров составим систему нелинейных уравнений, потребовав выполнение уравнения поверхности і[х(а),у(а)]=0 при с=ст (т=0,...,п-1). Система уравнений решается методом Ньютона с регулированием шага. При решении нестационарной задачи система уравнений решается только в начале процесса. Дальнейшее изменение формы определяется из решения третьей задачи - вычисления частной производной хт по времени. При решении стационарной и автомодельной задач вместо уравнения формы поверхности используются, соответственно, условия стационарности (1.2.1) или автомодельности (1.2.5). 3.2. Определение составляющих напряженности
Осесимметричная задача решается путем сведения ее к вспомогательной плоской задаче. Для ее решения область, соответствующая МЭП на плоскости комплексного потенциала (рис. 3.2.1), конформно отображаются на плоскость параметрического переменного % (рис. 3.1.2).
Для вспомогательной плоской задачи областью изменения комплексного потенциала является криволинейная полуполоса (рис. 3.2.1), так как границы, соответствующие обрабатываемой поверхности в последнем случае не эквипотенциальны.
Оценка погрешности вычисления интегралов Положего при прямом применении квадратурных формул Гаусса
На каждом m-ом отрезке вычисляется интеграл с помощью некоторой квадратурной формулы. На первый взгляд удобно использовать формулу (П1.1) с весовой функцией, равной 1 на всех отрезках, за исключением последнего, содержащего точку сингулярности подынтегральной функции [19]. На этом последнем отрезке можно использовать формулу (П1.4), где соответствующая особенность учитывается в весовой функции.
Рассмотрим интеграл, подобный (3.3.1) при tQ-2h. Такой случай вызывается необходимостью вычисления значений интегралов в каждой узловой точке, в том числе и при ст=ст2 (рис. 3.2.3, б). Производя замену переменных (при этом отрезок интегрирования перейдет в [-1, 1]), получим следующий интеграл Таким образом, значение представленного интеграла не зависит от величины шага k Согласно формуле (П1.3), не зависит от h и погрешность. Сходимость к точному решению при й- 0 отсутствует.
Ухудшение сходимости может также вызываться тем, что увеличение точности в алгоритме решения общей задачи достигается путем уменьшения шага разбиения. При этом особенность подынтегральной функции при z=z0 учитывается только при интегрировании на ближайшем к особой точке отрезке. При уменьшении шага уменьшается и величина этого отрезка (рис. 3.3.1, а). На большей части отрезков особенность не учитывается.
Для устранения причины несходимости можно применить разные приемы. Однако необходимо учесть, что для того, чтобы время счета при увеличении числа узлов коллокации не росло слишком быстро, необходимо сохранение числа и расположения узлов квадратурной формулы внутри каждого отрезка интегрирования между двумя узлами коллокации. Поэтому предлагается использовать специальные квадратурные формулы, учитывающие наличие знаменателя подынтегральной функции.
Существенной особенностью условия применения квадратурных формул в общем методе решения рассматриваемых краевых задач является необходимость расчета интегралов (3.3.1), (3.3.2), когда параметр ат принимает все значения при т=0,...,п (при этом количество операций пропорционально п). Кроме того, при вычислении коэффициентов матрицы (3.2.11) это приходится повторять п раз (причем на каждом временном шаге, так как изменяется зависимость Z(CT)). Таким образом, получаем п операций, и это может стать самой затратной частью метода. Имеет смысл минимизировать затраты на вычисление интегралов. Для этого фиксируется относительное положение узловых точек квадратурных формул, являющихся внутренними узлами, расположенными между основными узловыми точками зт, (где вычисляются значения составляющих напряженности). При этом расчет можно разбить на три этапа: 1) вычисление значений функции (а.-) во всех czda J внутренних узловых точках, являющихся общими для всех интегралов по данному отрезку (если речь идет о вычислении коэффициентов матрицы (3.3.3), то эта функция представляет собой интеграл Шварца от единичных сплайнов, вычисляемый один раз, и данный этап сводится просто к вычислению матрицы значений функций); 2) вычисление матриц значений весовой функции с учетом коэффициентов квадратурной формулы (это - наиболее сложная операция, но ГУ она требует всего п операций) 3) непосредственное вычисление интегралов, которое теперь сводится к вычислению сумм произведений вычисленных заранее значений единичных сплайнов и весовой функции.
Таким образом, самая трудоемкая часть, требующая порядка и3 операций, предельно упрощается. Остается только выбрать узлы и коэффициенты квадратурных формул. При этом расположение узлов, как было оговорено, остается одинаковым для всех интегралов, а коэффициенты зависят от относительного расположения особых точек.
Автомодельная осесимметричная задача
При решении задачи обработки точечным ЭИ наибольший интерес представляет форма, которая устанавливается со временем в области начала врезания ЭИ в поверхность детали (рис. 5.2.5-5.2.6). По результатам численного fr решения задачи проведем экстраполяцию и оценку погрешности максимального по модулю значения кривизны поверхности К.
Поскольку предметом исследования являются параметры установившейся формы, то сравнительные исследования приходится проводить по трем параметрам: времени т, числу узлов п, и шагу по времени Ат.
Исследование зависимостей искомых параметров от безразмерного времени т, результаты которого приведены ниже, показало, что установление происходит с экспоненциальной скоростью, так, что для т 3 изменения искомых значений с полученной ниже точностью не происходит.
Поскольку значение кривизны требует двойного дифференцирования полученных зависимостей, то точность ее вычисления намного хуже по сравнению с линейными размерами. Кроме того, для определения максимального значения требуется интерполяция, что приводит к появлению нерегулярной погрешности, которая объясняется различным положением искомой точки относительно узлов при измельчении сетки. Для вычисления кривизны использовались три способа: непосредственное дифференцирование полученных зависимостей х(о),у(с); конечноразностная аппроксимация первых и вторых производных по узловым значениям координат; вычисление радиуса окружности по трем соседним узловым точкам с последующей интерполяцией и определением экстремума. Все три способа дали непротиворечивые оценки, но, как показали исследования, первый оказался более точным, а третий дал более стабильные результаты, позволившие провести экстраполяцию.
На рис. 5.2.8а, 5.2.9а показаны зависимости погрешности вычисления кривизны К от шага по времени для т=3 (цифрам 1-6 по оси абсцисс здесь и ниже соответствуют АТ=16-1(Г3, 8-Ю"3, 4-Ю"3, 2-Ю"3, 1-Ю"3, 0.540"3). Рис. 5.2.8 построен по результатам, полученным 1-м способом, рис. 5.2.9 соответствует 3-му способу. Результаты оценки позволяют утверждать, что значения, вычисленные при Ат=1-10 3, имеют более 5 верных цифр (относительно предельных при Лт-»0 значений), и этого оказывается достаточным для проведения экстраполяции по п. Ограничение точности экстраполяции в этом случае объясняется тем, что при печати результатов сохранялось 8 значащих цифр. Такие же результаты предположительно могли бы быть получены экстраполяцией значений, полученных при больших шагах Ат, однако в данном случае этому помешало ограничение по числу Куранта.
Для экстраполяции по п были использованы значения для Ат=1-10 , и=64, 96, 144, 216, 324, 486 (цифры 1-6). Видно, что результаты расчетов имеют максимально 4 точных цифры для первого метода и 2 для третьего. Линии, соответствующие результатам экстраполяции имеют сложный вид, что объясняется влиянием нерегулярных составляющих погрешности. В этих условиях малое количество полученных точек (это объясняется большим временем счета при решении нестационарных задач), используемое для исследования, уменьшает достоверность оценок, так как существует возможность принять случайную совокупность точек за линию. Чтобы увеличить достоверность, проводится сравнение результатов разных способов вычисления кривизны и совместное исследование значений, соответствующих разным
Оценка погрешности максимальной (по модулю) кривизны поверхности, вычисленной 3-м способом при т=3: а) - экстраполяция по величине шага по времени, б) -экстраполяция по числу отрезков разбиения
Для первого способа расчета кривизны (рис. 5.2.8 б) экстраполяция позволяет утверждать, что относительная погрешность результатов вычислений при «=486 не превышает 10"4. Уточнения результатов до 5-6 знаков, которое возможно при данном т=3, к сожалению, не происходит при других т.
Для третьего способа (рис. 5.2.9 б) результаты вычислений имеют только два точных знака, зато экстраполяция позволяет увеличить это число до 4. При других т уточнение позволяет получить не менее 3-х знаков (результаты приведены ниже в разделе 5.3 при исследования временных характеристик, см. рис. 5.3.8).
По результатам расчетов, экстраполяции и оценок, максимальная по модулю кривизна установившейся поверхности для начального расстояния от ЭИ до исходной обрабатываемой поверхности, равного стационарному зазору, находится в интервале ЛГ=-5.7445±0.0005.
На рис. 5.2.11 показаны зависимости погрешности вычисления кривизны К от Ат и п, при т=2, аналогичные представленным выше (рис. 5.2.8, 5.2.9). Видно, что линии первой экстраполяции пересекают уровень 5-й цифр, остальные позволяют оценить размытость оценки ( 0.1, см. рис. 5.2.116). Для т=6 (рис. 5.2.12) результаты примерно на один порядок грубее.
По результатам расчетов, экстраполяции и оценок, включая анализ временных зависимостей (см. р. 5.3), максимальная по модулю кривизна установившейся поверхности находится в интервале Л=-2.96880±3-10"5. Разработанный метод позволяет начать процесс с критической конфигурации, когда ЭИ касается поверхности детали (jtc(o)=О при т=0). Расчет, как и пункте 2.5.3, разделяется на три этапа.
Предполагается, что вначале имеет место автомодельный процесс. Это предположение базируется на двух позициях: в начальной время скорость растворения намного больше скорости движения ЭИ; автомодельная форма является аттрактором (согласно результатам, приведенным на рис. 5.2.3). Тогда, используя (1.1.12), (1.2.12) можно получить соотношение между безразмерным временем и сдвигом нижней точки растворяемой поверхности
