Содержание к диссертации
Введение
Обзор методов аэродинамического проектирования 10
1.1 Методы аэродинамического проектирования 10
1.2 Численные методы аэродинамического проектирования 10
1.3 Оптимизация на основе решения сопряженных уравнений в задачах аэродинамического проектирования 14
1.4 Метод поправок давления и метод искусственной сжимаемости для стационарного несжимаемого вязкого течения 17
1.5 Цель и задачи исследования 19
2 Оптимизация на основе решения сопряженных уравнений для стационарного несжимаемого вязкого течения 21
2.1 Сопряженные уравнения 21
2.2 Процедура оптимизации 36
2.3 Численное решение сопряженных уравнений методом поправок давления 41
2.4 Алгоритм 54
2.5 Выводы по главе 2 57
3 Анализ достоверности результатов оптимизации 58
3.1 Валидация решения прямой задачи 58
3.2 Верификация алгоритма оптимизации
3.2.1 Постановка тестовой задачи 60
3.2.2 Анализ влияния размерности расчетной сетки на результат оптимизации 63
3.2.3 Анализ влияния формы исходного профиля на результат оптимизации 71
3.2.4 Сравнение результатов оптимизации, полученных при помощи разработанного метода и градиентного метода на основе конечных разностей 72
3.3 Выводы по главе 3 79
4 Оптимизация несущего аэродинамического профиля 80
4.1 Постановка задачи..!...; 80
4.2 Результаты оптимизации 85
4.3 Выводы по главе 4 .V. 88
Основные результаты работы 90
Список литературы
- Оптимизация на основе решения сопряженных уравнений в задачах аэродинамического проектирования
- Метод поправок давления и метод искусственной сжимаемости для стационарного несжимаемого вязкого течения
- Численное решение сопряженных уравнений методом поправок давления
- Анализ влияния размерности расчетной сетки на результат оптимизации
Введение к работе
Актуальность темы.
При проектировании дозвуковых самолетов, судов с динамическим принципом поддержания и экранопланов важной задачей является рациональный выбор форм несущих поверхностей (крылья, подводные крылья, горизонтальное и вертикальное оперения). Удачный выбор формы несущей поверхности в значительной степени обуславливает получение высоких аэродинамических характеристик несущей поверхности и аппарата в целом.
В связи с тем, что обтекание центральных частей несущих поверхностей, имеющих большое удлинение (X > 8 ), близко к плоскому обтеканию аэродинамических профилей, обоснованным является исследование и проектирование профилей с высокими аэродинамическими характеристиками. Фундаментальные исследования в этой области были проведены в ЦАГИ. На основе многочисленных экспериментов были сформулированы принципы, которые позволяют проектировать трансзвуковые профили с улучшенными аэродинамическими характеристиками. Однако подходы на основе обобщения экспериментальных данных не гарантируют получение оптимальных форм профилей. Поэтому в настоящее время широкое распространение получили численные методы аэродинамического проектирования. Эти методы основаны на использовании математического аппарата механики жидкости и газа и позволяют определить оптимальную форму профиля для заданного режима течения.
Среди численных методов наиболее эффективным является метод оптимизации на основе решения непрерывных сопряженных уравнений. Этот метод формулируется при помощи теории оптимального управления системами, описываемыми уравнениями с частными производными (J.-L. Lions 1968). Принято считать, что основоположниками метода являются авторы О. Pironneau и A. Jameson. Метод обладает рядом преимуществ, которые позволяют применять его к широкому классу задач. К таким преимуществам относятся:
Возможность использовать большое количество проектных переменных (величин определяющих форму оптимизируемого объекта). Например, в качестве проектных переменных могут выступать координаты узлов оптимизируемой поверхности.
Разнообразие в выборе целевого функционала. В качестве целевого функционала могут выступать различного рода аэродинамические характеристики оптимизируемых объектов, например лобовое сопротивление, аэродинамическое качество, аэродинамический момент и другие.
Сравнительно низкие вычислительные затраты. Согласно методу на основе решения непрерывных сопряженных уравнений на каждой итерации оптимизации машинное время практически не зависит от числа проектных
переменных и приблизительно равно машинному времени решения двух
прямых задач. 4. Возможность использования надежного стороннего решателя с закрытым
кодом для решения прямой задачи.
В работе рассматриваются задачи оптимизации аэродинамических профилей для стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости, описываемого осредненными по Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса. В современных работах, посвященных методу оптимизации аэродинамических форм на основе решения непрерывных сопряженных уравнений для рассматриваемого режима течения (S. Shankaran, A. Jameson, L. Martinelli 2010; L. Martinelli, A. Jameson 2007; A.S. Zymaris, D.I. Papadimitriou, K.C. Giannakoglou 2010), для решения прямой задачи и сопряженных уравнений используется метод искусственной сжимаемости, впервые изложенный в работе A.J. Chorin 1967 года. Выгодной альтернативой методу искусственной сжимаемости является метод поправок давления, который был впервые предложен в работе S.V. Patankar и D.B. Spalding 1972 года. Благодаря хорошей производительности, надежности и универсальности метод поправок давления широко применяется для решения прямых задач в популярных коммерческих вычислительных пакетах, таких как STAR-CD, STAR-CCM+, CFX, FLUENT, TMG-Flow и другие. Так как сопряженные уравнения имеют схожую структуру с уравнениями движения, справедливо предположить, что использование метода поправок давления для решения сопряженных уравнений также будет эффективно.
Целью диссертационной работы является разработка эффективного инструмента проектирования аэродинамических профилей различных назначений для стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости и газа.
Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
Разработать метод оптимизации для стационарного несжимаемого вязкого течения на основе решения непрерывных сопряженных уравнений, использующий метод поправок давления для решения прямой задачи и сопряженных уравнений.
Осуществить программную реализацию метода.
Провести анализ достоверности результатов оптимизации аэродинамических профилей.
Решить однорежимную задачу оптимизации несущего аэродинамического профиля.
Научная новизна работы:
1. Разработана численная схема решения сопряженных уравнений для двухмерного стационарного несжимаемого вязкого течения жидкости, отличающаяся использованием модифицированного SIMPLE алгоритма.
Разработана процедура контроля формы оптимизируемой поверхности, позволяющая предотвращать появление изломов и самопересечений на профиле в ходе оптимизации.
Разработан алгоритм оптимизации аэродинамических профилей на основе решения непрерывных сопряженных уравнений, отличающийся использованием численной схемы на основе SIMPLE алгоритма для решения прямой и сопряженной задач и использованием сглаживания градиента совместно с процедурой контроля формы оптимизируемой поверхности.
Для оптимизации несущего аэродинамического профиля предложен оригинальный целевой функционал, учитывающий аэродинамические и массовые характеристики профиля.
Практическая значимость работы:
Разработанный метод может быть использован для однорежимной и многорежимной оптимизации аэродинамических профилей различного назначения, находящихся в потоке несжимаемой жидкости или газа при числе Маха М < 0,3.
Результаты оптимизации профиля NACA0012 могут быть использованы при проектировании пилонов, горизонтального и вертикального оперений дозвуковых самолетов и экранопланов.
Результаты оптимизации профиля FX 61-163 могут быть использованы при проектировании подводных крыльев и крыльев планеров.
Достоверность полученных результатов подтверждается:
Использованием точных законов сохранения МЖГ и корректными математическими преобразованиями.
Использованием апробированного вычислительного пакета STAR-CD 3.24 для решения прямых задач. На примере тестовой задачи проведена валидация решения прямой задачи.
Верификацией разработанного метода. На примере тестовой задачи оптимизации выполнено сравнение результатов на расчетных сетках различной размерности. Проведен анализ влияния исходной формы профиля на результат оптимизации. Выполнено сравнение результатов оптимизации, полученных при помощи разработанного метода и градиентного метода на основе конечных разностей.
Положения, выносимые на защиту:
Метод оптимизации аэродинамических профилей для стационарного несжимаемого вязкого течения на основе решения непрерывных сопряженных уравнений, использующий метод поправок давления для решения прямой и сопряженной задач.
Результаты решения частных задач оптимизации аэродинамических профилей.
Анализ достоверности результатов оптимизации аэродинамических профилей.
Реализация результатов работы. Разработанный метод, его программная реализация и результаты решения задач оптимизации аэродинамических профилей переданы в ОАО «Гос МКБ «Радуга» им. А.Я. Березняка» и используются в курсовом и дипломном проектировании в СГАУ.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях: 9-я Международная конференция «Авиация и космонавтика — 2010», МАИ, г. Москва, 16-18 ноября 2010 г.; XXII научно-техническая конференция по аэродинамике, ЦАГИ НИО-2, пос. Володарского, 3-4 марта 2011 г.; III Всероссийская научно-практическая конференция «Актуальные проблемы машиностроения», СНЦ РАН, г. Самара, 22-24 марта 2011 г.; VI международная научно-практическая конференция STAR-2011: «компьютерные технологии решения прикладных задач тепломассопереноса и прочности», CD-adapco, Саровский инженерный центр, г. Нижний Новгород, 17-18 мая 2011 г.; Международная молодежная конференция «XIX Туполевские чтения», КГТУ, г. Казань, 24-26 мая 2011 г., XV Всероссийский семинар по управлению движением летательных аппаратов и их навигации, СГАУ, г. Самара, 13-15 июня 2011 г.; Семинар НИО-2 НАГИ, 21 июля 2011.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 3 статьи - в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов и списка использованных источников из 101 наименования. Работа содержит 107 страниц машинописного текста, 44 рисунка, 1 таблицу.
Оптимизация на основе решения сопряженных уравнений в задачах аэродинамического проектирования
Повышение эффективности аэродинамического проектирования является актуальной задачей для авиационной, судостроительной, автомобильной и энергетической отраслей промышленности. Значительное внимание в этом направлении уделяется совершенствованию методов проектирования аэродинамических профилей. Это связано с тем, что широкий класс задач можно привести к двумерному проектированию аэродинамического профиля. В работах [1, 2] на основе многочисленных экспериментов были сформулированы принципы, которые позволяют проектировать трансзвуковые профили с улучшенными аэродинамическими характеристиками. Однако подходы на основе обобщения экспериментальных данных не гарантируют получение оптимальных форм профилей. Поэтому в настоящее время широкое распространение получили численные методы аэродинамического проектирования. Эти методы основаны на использовании математического аппарата механики жидкости и газа и позволяют определить оптимальную форму профиля для заданного режима течения. Кроме того, многие численные методы аэродинамического проектирования, разработанные для решения двумерных задач, могут быть распространены на трехмерные задачи и различные режимы течения. Эффективность таких методов обычно не зависит от вида конкретной задачи аэродинамического проектирования. Поэтому ниже представлен краткий аналитический обзор численных методов для решения произвольных задач аэродинамического проектирования.
Современные численные методы аэродинамического проектирования можно разделить на две группы: обратные методы и прямые методы оптимизации.
Обратные методы позволяют найти аэродинамическую форму по заданному распределению давления или скорости [3 - 5]. В большинстве случаев для того, чтобы получить физически реализуемое решение обратной задачи, необходимо удовлетворить условиям разрешимости [6, 7]. В работах [3, 8] разработан метод, в котором производится коррекция исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. В результате применения такого подхода исходное распределение скорости или давления может существенно измениться. Следует также отметить, что для большинства задач аэродинамического проектирования поле давления (скорости) не задано.
Численные методы оптимизации совместно с методами вычислительной гидроаэродинамики (ВГАД) позволяют найти такую аэродинамическую форму, которая доставляет минимум целевому функционалу при заданных функциональных ограничениях. Целевым функционалом может быть лобовое сопротивление, аэродинамическое качество, перепад давления и т. д. В качестве функциональных ограничений могут выступать различного рода аэродинамические или геометрические ограничения, такие как заданные подъемная сила, объем или площадь оптимизируемого объекта. Аэродинамическая форма описывается при помощи набора параметров, которые выступают в качестве проектных переменных. Процедура поиска экстремума целевого функционала представляет собой итерационный процесс. На каждой итерации новые значения проектных переменных определяются на основе решения ряда прямых задач. Для решения прямой задачи могут использоваться различные методы ВГАД [9 - 12], которые должны удовлетворять следующим требованиям: 1. надежность, то есть задача должна быть корректно решена для любой аэродинамической формы, удовлетворяющей заданным геометрическим ограничениям; 2. высокая точность; 3. приемлемые вычислительные затраты. Как правило, за высокую точность приходится расплачиваться большими вычислительными затратами. Однако во многих задачах оптимизации аэродинамическая форма и, соответственно, характер течения могут изменяться существенным образом, поэтому использование быстродействующих методов ВГАД [13], моделирующих безотрывное течение жидкости и газа, не всегда оправдано. Для большинства практически важных задач аэродинамического проектирования необходимо использовать методы ВГАД [9, 14, 15], моделирующие течение вязкой жидкости и газа, что требует существенных вычислительных затрат. В работе [16] показано, что даже для безотрывного обтекания учет влияния вязкости существенно отражается на результатах оптимизации крыла самолета. Снизить вычислительные затраты решения ряда прямых задач на каждой итерации возможно за счет использования поверхности отклика целевого функционала [17 - 19]. На основе единожды решенного ряда прямых задач для различных значений проектных переменных, используя различные методы аппроксимации, строится поверхность отклика. Далее определяется экстремум для поверхности отклика. В отличие от обратных методов, численные методы оптимизации не требуют предопределенного поля давления или скорости и могут быть сформулированы для широкого класса задач аэродинамического проектирования.
В последнее время были разработаны различные численные методы оптимизации для задач аэрогидродинамики [20], их можно разделить на две группы: безградиентные и градиентные методы.
Метод поправок давления и метод искусственной сжимаемости для стационарного несжимаемого вязкого течения
Назначим на границе объекта условия у/2 =-Mz(y-y0), y/2=Mz(x-x0). Как и в предыдущей задаче, множитель ц/х на границе объекта и множители у/х, у/2 и ц/ъ на внешней границе могут быть выбраны произвольным образом. Решив сопряженные уравнения (2.31) с полученными граничными условиями, вариацию целевого функционала можно вычислить по формуле граничные условия сопряженных уравнений можно получить для многих других задач оптимизации аэродинамических профилей, например для различных сочетаний рассмотренных постановок. Градиентные методы можно разделить на методы первого и второго порядка [80 - 85]. В методах первого порядка для определения новых значений проектных переменных используется градиент целевого функционала. В методах второго порядка помимо градиента используется матрица Гессе (матрица, составленная из вторых частных производных целевого функционала). Представленное выше вычисление градиента уже является довольно сложной задачей. Еще более сложным является вычисление матрицы Гессе. Поэтому в данной работе используется градиентный метод первого порядка.
В работе [86] представлен сравнительный анализ различных методов первого порядка на примере решения задачи о брахистохроне. Показано, что для задач с большим количеством проектных переменных конкурентным является метод градиентного спуска с постоянным шагом и сглаживанием градиента. Этот подход был использован в данной работе.
Градиент целевого функционала зависит от проектных переменных () и не может зависеть от способа деформации расчетной сетки при изменении формы тела. Поэтому вариация целевого функционала может быть представлена в виде 61= \ &}«!&, где G - функция градиента, определенная на контуре тела Bw. Как правило, градиент G не обладает той же гладкостью что и исходный контур, поэтому алгоритм оптимизации может оказаться неустойчивым. Во избежание этой проблемы в работе [86] предлагается заменить градиент G сглаженным градиентом G, который получается в результате решения неявного сглаживающего уравнения: G-e = G, (2.38) д где е - параметр, влияющий на степень сглаживания градиента. Применив к уравнению (2.38) метод конечных разностей с использованием центрально-разностной схемы второго порядка, получим Gk-e(Gk+1-2Gk + Gk ) = Gk, к = (йт), (г.39) где Gk и Gk - это значение градиента до и после сглаживания соответственно для к-оя проектной переменной, т - число проектных переменных. Система линейных алгебраических уравнений (2.39) решается методом последовательной верхней релаксации [87]. Пользуясь методом градиентного спуска с постоянным шагом для вариации вектора проектных переменных можно записать 8s = -aG, (2.40) где а - шаг градиентного спуска (положительное малое число), который определяется в ходе численных экспериментов.
Тогда вариацию целевого функционала можно представить в виде д2ол э& 81 = \G8sdB = -aI\G-el± Gd$. "w Проинтегрируем это выражение по частям и учтем, что вариации проектных переменных в граничных точках контура Bw равны нулю (фиксированная задняя кромка), тогда I (2.41) » G2 +е d&. 81 =-а V У а?, Из формулы (2.41) следует, что сглаженный градиент минимизирует целевой функционал до тех пор, пока не будет достигнуто 0=0.
Проектные переменные. В представленной работе при решении задач оптимизации в качестве проектных переменных используются координаты узлов расчетной сетки, лежащие на поверхности оптимизируемого объекта. Координаты узлов варьируются вдоль линий расчетной сетки (рисунок 2.2).
Проектные переменные При перемещении какого-либо узла, принадлежащего поверхности объекта, узлы расчетной сетки также перемещаются вдоль соответствующей линии сетки таким образом, что относительные расстояния между ними сохраняются (рисунок 2.3).
Деформация расчетной сетки, соответствующая вариации одной из проектных переменных Процедура контроля формы оптимизируемой поверхности. Как показывают численные эксперименты, в ходе оптимизации поверхность объекта может принимать неприемлемые формы (самопересечение, изломы). Такие решения формально удовлетворяют поставленной задаче, однако не могут быть использованы на практике. Поэтому необходимо ввести такую процедуру контроля, которая не позволит объекту принимать неприемлемую форму в ходе оптимизации. Так как проектные переменные являются независимыми величинами, то при фиксации некоторых из них результатом оптимизации будет являться локальный минимум, удовлетворяющий заданным ограничениям. Поэтому справедлив следующий подход:
1. На каждой итерации алгоритма оптимизации вычисляется сглаженный градиент, и форма объекта изменяется. После этого производится проверка поверхности объекта на наличие самопересечений и изломов.
2. Если выявлены дефекты в геометрии измененного объекта, то определяются узлы, которые нужно зафиксировать на объекте, чтобы устранить найденные дефекты.
3. Компоненты градиента, соответствующие зафиксированным узлам, приравниваются нулю. Далее заново вычисляется сглаженный градиент, после чего изменяется форма объекта. Процедура контроля формы оптимизируемой поверхности позволяет получить гладкую поверхность без самопересечений. Ниже представлен алгоритм поиска узлов объекта, которые необходимо фиксировать, чтобы не допустить появление изломов и самопересечений в ходе оптимизации. Пусть хк и ук координаты узлов текущего объекта, а xvk и yvk координаты узлов измененного объекта (рисунок 2.4), где к = (1,/и).
Численное решение сопряженных уравнений методом поправок давления
Расчетная сетка Задача была решена на трех расчетных сетках размерностью 330x60, 660x120 и 1320x240 соответственно. На рисунке 3.3 представлен график сходимости по сетке коэффициента лобового сопротивления С д. На том же графике горизонтальная линия показывает значение коэффициента лобового сопротивления, полученного в эксперименте [90] для рассматриваемого режима течения.
График сходимости по сетке коэффициента лобового сопротивления Из графика сходимости следует, что при измельчении расчетной сетки значение коэффициента лобового сопротивления приближается к экспериментальному значению и наиболее точно вычисляется на расчетной сетке размерностью 1320x240. На рисунке 3.4 представлено распределение коэффициента давления Ср, полученное на различных сетках и в эксперименте. профиля; V - площадь текущего профиля. В качестве исходного профиля используется NACA0012. Задача оптимизации решается для вязкого турбулентного несжимаемого течения жидкости. Число Рейнольдса Re « 3,3 10 , модель турбулентности Спаларта-Альмараса.
Проектными переменными являются координаты узлов расчетной сетки, лежащие на контуре профиля. Фиксированными являются узлы, принадлежащие задней кромке и носку профиля. Координаты узлов варьируются вдоль линий расчетной сетки (рисунок 3.5). где Cv - весовой коэффициент, который влияет на величину отклонения площади профиля от исходного значения и подбирается в ходе численного эксперимента. Слишком большое значение Су может привести к расходящемуся решению, с другой стороны, малое значение Су приводит к большим отклонениям площади профиля от исходного значения. Поэтому в ходе численных экспериментов определяется такое значение Су, при котором получается сходящееся решение с отклонением площади профиля от исходного значения не более 1% (для рассматриваемых задач Су=1000). Принимаем, что у/2=1, Уз=0 на границе тела, и решаем сопряжённые уравнения (2.31). Получаем вектор множителей Лагранжа. После этого, согласно выражениям (2.37) и (3.1), вариацию целевого функционала можно записать как где Z y. -у-ни контрольный объем в вычислительном пространстве; Npy- количество КО на которые разбита расчетная область; sk - к-я. проектная переменная; m - число проектных переменных. Частные производные по проектным переменным от потоков F{ и FJ при заданных переменных поля течения определяются численно в центрах КО. Варьируя компоненты вектора проектных переменных на величину As И трансформируя расчетную сетку соответствующим образом, для у-oro КО получим
Согласно полученным вариациям изменяется форма профиля и для предотвращения образования скошенных ячеек в ходе оптимизации генерируется новая расчетная сетка.
Анализ алияния размерности расчетной сетки на результал оптимизации Для оценки достоверности результатов оптимизации тестовая задача решалась на расчетных сетках размерностью 330x60 и 660x120.
Ниже представлены результаты оптимизации, полученные на расчетной сетке размерностью 330x60. На рисунке 3.6 изображен исходный профиль NACA0012 и оптимизированный при числе итераций N=100.
Анализ влияния размерности расчетной сетки на результат оптимизации
Несущий аэродинамический профиль не только создает подъемную силу, но и размещает в себе конструкцию крыла, необходимую для восприятия аэродинамических нагрузок. Масса этой конструкции (речь идет о погонной массе сечения крыла) зависит, главным образом, от формы профиля и величины изгибающего момента, действующего в данном сечении. Таким образом, если в оптимизации учитывать только аэродинамические характеристики, можно получить профиль с высоким аэродинамическим качеством, но с неприемлемо высокой погонной массой. В результате общий эффект (например, топливная эффективность самолета) может оказаться отрицательным. Погонную массу сечения крыла на основе геометрии профиля можно достаточно точно оценить при помощи так называемого силового фактора /„ [94]. Поэтому задача оптимизации формулируется следующим образом: минимизируются лобовое сопротивление профиля Ха, отклонение подъемной силы от исходной величины — "1(4-rfl0Л подъемная сила исходного профиля; 1т - силовой фактор для текущего профиля; 1т0 - силовой фактор для исходного профиля. В качестве исходного используются аэродинамический профиль FX 61-163. Этот профиль широко используется на многих современных планерах, таких как Mistral-C, Schweizer SGS 1-34, Bikle Т-6. Угол атаки а=5,5, что соответствует углу максимального аэродинамического качества данного профиля.
Прямая задача решается для вязкого турбулентного несжимаемого течения при помощи алгоритма SIMPLE в вычислительном пакете Star-CD. Число Рейнольдса Re « 3,3 10 , модель турбулентности Спаларта-Альмараса. Расчетная область и граничные условия аналогичны таковым для тестовой задачи (рисунок 3.1). Расчетная сетка также строится при помощи метода, основанного на решении уравнений Пуассона [88]. На рисунке 4.1 изображена расчетная сетка для исходного профиля FX 61-163, размерностью 660x120.
Проектные переменные Рисунок 4.1 - Расчетная сетка Проектными переменными являются координаты узлов расчетной сетки, лежащие на контуре профиля. Фиксированными являются узлы, принадлежащие задней кромке и носку профиля. Координаты узлов варьируются вдоль линий расчетной сетки (рисунок 4.2).
Целевой функционал. Как уже было отмечено, для получения практически применимых результатов в оптимизации несущего профиля необходимо учитывать погонную массу сечения крыла. Теоретически необходимый объем материала полнонапряженной конструкции VT может быть оценен при помощи силового фактора 1т [94] по следующей формуле где \ап\ - модуль нормальных напряжений, возникающих от изгиба в некотором сечении крыла; V- площадь профиля. Нормальные напряжения в некотором сечении крыла с изгибающим моментом Q могут быть определены по известной формуле где у - расстояние от нейтральной оси (главная центральная ось х) до рассматриваемого сечения; 1Х - момент инерции, определенный относительно главной центральной оси х.
Покажем связь между теоретически необходимым объем материала полнонапряженной конструкции VT и величиной силового фактора 1т. Разобьем область профиля на п непересекающихся областей. Представим теоретическую конструкцию сечения крыла как совокупность стержней, воспринимающих нормальные напряжения от изгиба в каждой области Vt при и оо (рисунок 4.3). модель теоретической полнонапряженной конструкции Для того чтобы представленная теоретическая конструкция была полнонапряженной, необходимо подобрать площади стержней VTi таким образом, чтобы напряжения в каждом из них были равны допустимому напряжению [а], то есть V„=Nt/[ r].
То есть силовой фактор пропорционален теоретически необходимому объему или массе материала полнонапряженной конструкции. Реальная масса конструкции превышает теоретическую массу. Чем совершеннее конструкция, тем ближе ее масса к теоретической массе полнонапряженной конструкции. Таким образом, у двух разных профилей с одинаковым силовым фактором и степенью совершенства конструкции масса должна быть одинаковой.
Так как силовой фактор пропорционален изгибающему моменту Q, который является заданной величиной, то значение момента Q не будет влиять на результат оптимизации. Поэтому изгибающий момент Q принимается равным 1. Таким образом, согласно формулировке задачи, целевой функционал можно записать следующим образом где CY и Cm - весовые коэффициенты. Они влияют на величины отклонений подъемной силы и силового фактора от исходных значений. В ходе численных экспериментов определяются такие значения Су и Ст, при %,. которых получается сходящееся решение с отклонениями подъемной силы и силового фактора от заданных значений не более 1% (для данной задачи CY=4, Ст=150). Вариацию целевого функционала можно записать как
