Введение к работе
Актуальность исследований. Теория распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородных средах является важным и активно развивающимся разделом механики жидкости и газа. Актуальность этой тематики связана с многочисленными приложениями теории длинных волн при моделировании крупномасштабных явлений в атмосфере и океане, имеющим практические приложения в метеорологии и геофизике. Приближенные длинноволновые модели играют важную роль в задачах гидродинамики открытых русел, гидродинамических проблемах транспортировки нефти и природного газа, в задачах гидроаэроупругости, связанных с конструированием судов и плавающих платформ. Широкое применение длинноволнового приближения в теоретическом анализе волновых процессов обусловлено тем, что длинные волны затухают медленнее коротких и именно они определяют асимптотику решения при больших временах. Кроме того, в этом случае упрощаются математические постановки задач, что позволяет более детально изучить нелинейные волновые процессы численными и особенно аналитическими методами. При этом гидродинамические модели теории длинных волн позволяют учитывать ряд важных физических факторов, такие как нелинейность, пространственная неоднородность (сдвиговой характер движения), стратификация, эффекты коллективного взаимодействия пузырьков, геофизический эффект вращения, оказывающих существенное влияние на распространение волн в жидкости.
Длинноволновые модели, описывающие пространственно-неоднородные движения жидкости, являются интегродифференциальными, что существенно осложняет их качественный анализ и требует применения самых современных подходов. Важнейшими элементами исследования гидродинамических моделей является вычисление скоростей распространения возмущений в жидкости, определение типа системы и изучение корректности постановки задачи Коши, построение классов точных решений уравнений, дающих представление о характерных режимах движения. Таким образом, изучение распространения волновых возмущений в неоднородной жидкости и развитие новых элементов теории нелинейных интегродифференциальных уравнений является актуальной задачей теоретической гидромеханики. Научные исследования по данной тематике, применительно к различным нелинейным длинноволновым моделям механики сплошной среды, ведутся в России и за рубежом.
Целью работы является развитие новых элементов теории гиперболических систем интегродифференциальных уравнений, построение и физическая интерпретация точных решений пространственных уравнений теории длинных волн, а также изучение распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородных потоках жидкости и анализ устойчивости волновых процессов.
На защиту выносятся:
Математические модели распространения нелинейных длинноволновых возмущений в неоднородной жидкости и результаты их теоретического анализа (обобщенные характеристики и условия гиперболичности интегродифференциальных моделей, точные решения, доказательство существования решений в классе простых волн, решение линеаризованных уравнений);
Метод построения решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между интегральными инвариантами Римана;
Новые элементы теории разрывных решений интегродифференциальных моделей и анализ сильных разрывов, не имеющих аналогов в классической теории гиперболических систем;
Симметрии и новые точные решения пространственных уравнений теории длинных волн, полученные на основе систематического применения теоретико-группового подхода.
Научная новизна. Рассмотренные в диссертационной работе гидродинамические задачи теории длинных волн являются развитием классических постановок, связанным с более полным учетом реальных физических факторов, таких как нелинейность, пространственная неоднородность, стратификация и др. Основное отличие рассматриваемых математических моделей от обычных уравнений теории мелкой воды связано с необходимостью исследования нестандартных систем интегродифференциальных уравнений. До недавнего времени аналитические результаты для интегродифференциальных моделей механики были преимущественно связаны с линейной теорией и поиском законов сохранения. Развитый В. М. Тешуковым новый теоретический подход к исследованию уравнений с операторными коэффициентами, основанный на обобщении понятий гиперболичности и характеристик, позволил продвинуться в понимании основных закономерностей протекания нелинейных волновых
процессов. Тем не менее, теория нелинейных интегродифференциальных уравнений не является завершенной и выполненные в диссертации исследования вносят существенный вклад в ее развитие и обобщение, а также содержат решение ряда важных гидродинамических задач.
В диссертации получено решение спектральных задач для определенного класса операторов и построены обобщенные характеристики систем интегродифференциальных уравнений механики сплошных сред. Предложен и впервые применен метод построения решений нелинейных интегродифференциальных уравнений, основанный на функциональной зависимости между инвариантами Римана. Разработаны новые элементы теории разрывных решений для интегродифференциальных моделей. Впервые проведено систематическое исследование симметрийных свойств и классов точных решений пространственных уравнений длинных волн, учитывающих сдвиговой характер движения, неровность дна и геофизический эффект вращения. Результаты работы являются новыми, их достоверность устанавливается математическими доказательствами, иллюстрируется примерами точных и численных решений.
Теоретическая и практическая ценность. Выполненный в диссертации анализ обобщенных характеристик интегродифференциальных моделей пространственно-неоднородного движения идеальной однородной и стратифицированной жидкости в открытых каналах и упругих трубках позволил установить конечность скоростей распространения возмущений, выяснить влияние завихренности (потенциальной завихренности) на протекание нелинейных волновых процессов и исследовать их устойчивость. Теоретические подходы, разработанные для уравнений сдвигового движения жидкости, применены к кинетическим моделям разреженной пузырьковой жидкости, описывающим распространение волн концентрации с учетом эффекта коллективного взаимодействия пузырьков. Разработанный метод построения решений для обобщенно-гиперболических интегродифференциальных уравнений позволил существенно расширить запас точных решений уравнений вихревой мелкой воды и кинетической модели пузырьковой жидкости. При этом их интегрирование сведено к решению гиперболических систем дифференциальных уравнений. Большое значение имеет развитие теории разрывных решений интегродифференциальных уравнений, а предложенная специальная дискретизация, приводящая к "многослойным" гиперболическим системам дифференциальных уравнений, полезна для практики, поскольку позволяет применить известные численные методы и получить коли-
чественные результаты. Анализ симметрийных свойств пространственных моделей теории длинных волн позволил получить важный теоретический результат, имеющий прикладное значение: установлена эквивалентность обычных уравнений мелкой воды и уравнений, описывающих пространственные колебания вращающейся жидкости в круговом параболоиде (указанные модели связаны точечной заменой переменных). Результаты работы, разработанные теоретические методы, численные и полуаналитические алгоритмы используются при выполнении научно-исследовательских работ в ИГиЛ СО РАН, а также применяются в курсах лекций, читаемых в Новосибирском госуниверситете.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях по механике и математике, среди которых
VIII и IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001; Нижний Новгород, 2006);
Всероссийская конференция «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (Пермь, 2000; Снежинск, 2002; Абрау-Дюрсо, 2004; Санкт-Петербург, 2006);
Всероссийская конференция «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва» (Новосибирск, 2007);
Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004, 2009);
Всероссийская конференция «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2008);
IV Международный конгресс по математике (Стокгольм, 2004);
XI Международная конференция «Гиперболические уравнения: теория и приложения» (Лион, 2006);
Международная конференция, посвященная 100-летию И. Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск, 2007);
Международная конференция, посвященная 100-летию С. Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008);
Международная конференция «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2008);
Международная конференция «Симметрии в нелинейной математической физике» (Киев, 2007, 2009);
Международная конференция «Современный групповой анализ дифференциальных уравнений» (Уфа, 2009).
Результаты работы были представлены на научных семинарах под руководством академика Л. В. Овсянникова (ИГиЛ СО РАН), академика А. Г. Куликовского, д.ф.-м.н. А. А. Бармина и д.ф.-м.н. В. П. Карликова (ИМех МГУ), академиков А. В.Гуревича и В.Е.Захарова (ФИАН), чл.-корр. РАН В.М.Тешукова и д.ф.-м.н. В.Ю.Ляпидевского (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН В.В.Пухначева (ИГиЛ СО РАН), чл.-корр. РАН И. А. Тайманова (ИМ СО РАН), д.ф.-м.н. В. К. Андреева (ИВМ СО РАН), д.ф.-м.н. Ю.А.Маркова (ИДСТУ СО РАН), д.ф.-м.н. Ю. Д. Чашечкина (ИПМех РАН).
Публикации. Полученные результаты опубликованы в 12 статьях в рецензируемых научных журналах [1] [12], а также в трудах конференций [13] [16]. Работы [4, 5] и [8, 9], выполненные совместно, получены в процессе неразделимой творческой деятельности авторов.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 308 страницах текста, включая 57 рисунков и 6 таблиц, библиография содержит 163 наименований.
Научная тематика диссертации в значительной мере сформирована под влиянием чл.-корр. РАН В. М. Тешукова, который заинтересовал автора теорией нелинейных длинных волн в неоднородной жидкости и оказывал всестороннюю поддержку в работе.
