Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Изучение гравитационных внутренних волн в океане представляет интерес как с прикладной, так и с теоретической точек зрения. К настоящему времени установлено, что внутренние волны оказывают существенное влияние на самые разнообразные процессы в океане. Так, течения, создаваемые внутренними волнами, охватывают значительную толщу верхнего слоя океана и играют заметную роль в процессах тепло- и массо- обмена между океаном и атмосферой, переноса примесей и загрязнений, а температурные и плотностные возмущения, сопровождающие внутренние волны, влияют на процессы прохождения звуковых сигналов [1, 2]. Уже отсюда ясно, что описание генерации и распространения внутренних волн является актуальной задачей механики жидкости. Как показывают многочисленные экспериментальные данные, наблюдаемые внутренние волны часто оказываются нелинейными, а иногда и сильно нелинейными. Поэтому неудивительно, что одно из центральных мест в теории внутренних волн (как и вообще в теории нелинейных волн) занимают нелинейные уединенные волны – солитоны, интерес к которым в значительной мере обусловлен возможностью моделирования с их помощью различных волновых процессов [2–14]. Представление исследуемого волнового возмущения последовательностью взаимодействующих солитонов позволяет (в случае квазистационарной эволюции каждой из уединенных волн) свести исходную распределенную задачу к анализу и решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений для параметров солитонов [2–8, 10–14]. Такой подход весьма успешно использовался, например, при описании динамических и стохастических режимов трансформации периодических и квазипериодических волн, эволюции фронтов волновых возмущений различной волновой природы [3, 4, 6–8]. Однако, в приложении к внутренним волнам его использование оказывается, вообще говоря, не столь эффективным из за особенностей, присущих солитонам в стратифицированной жидкости конечной глубины. Наличие естественных границ в этой ситуации (дно и поверхность) обуславливает наличие предельной амплитуды солитонов, при приближении к которой их размеры неограниченно увеличиваются, что в свою очередь также неограниченно сужает область параметров задачи, при которых возможно квазистационарное описание эволюции солитонов. Такие солитоны известны сейчас для многих приближенных слабо и сильно нелинейных моделей внутренних волн [9–14].
Таким образом, решение проблемы описания неквазистационарной эволюции солитонов внутренних волн, близких к предельным, представляется актуальной и важной задачей механики жидкости как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения возможных приложений.
Цели диссертационной работы
Основной целью диссертационной работы является развитие приближенного описания эволюции составных солитонов интенсивных внутренних волн и последующее изучение их неквазистационарной динамики. В частности, предполагается:
1. Модернизировать приближенное описание эволюции солитонов, близких к предельным, используя представление таких уединенных волн, как составные образования, сформированные кинками (перепадами поля) разной полярности. На примере интегрируемого уравнения Гарднера провести сравнение полученных приближенных решений с точными.
2. Изучить особенности динамики составных солитонов неинтегрируемой системы уравнений Choi-Camassa (СС-модель), описывающих распространение сильнонелинейных длинных внутренних волн в двухслойной жидкости.
3. Исследовать особенности динамики составного солитона в рамках уравнения Гарднера с переменными коэффициентами.
Научная новизна результатов работы
Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:
1. Развита теория возмущений для описания неквазистационарной эволюции солитонов близких к предельным, основанная на представлении уединенных волн в виде составных образований, сформированных кинками разных полярностей.
2. Построено приближенное N-солитонное решение для уравнения Гарднера, впервые описывающее взаимодействие N солитонов как взаимодействие составляющих их кинков. Показано, что структура общего поля взаимодействующих уединенных волн с учетом поправок, полученных методом сращиваемых асимптотических разложений, имеет вид суперпозиции кинков, как и в точном решении. Установлено, что движение координат центров кинков в приближенном решении определяется из интегрируемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнение Каца – Мербека).
3. Проведено сравнение полученного приближенного решения с точным решением уравнения Гарднера. Показано, что приближенное решение в качественном отношении полностью соответствует точному, т. е. описывает упругое взаимодействие, оставляющее без изменения после столкновения как число солитонов, так и величины их скоростей (амплитуд), а появляющиеся сдвиги фаз для каждого солитона равны сумме сдвигов фаз при парных взаимодействиях. При этом приближенные выражения для сдвигов фаз при парных столкновениях оказываются главными членами разложений соответствующих точных соотношений.
4. Выяснены особенности двухсолитонных взаимодействий, обусловленные их составной структурой. Показано, что при сближении солитонов с большим различием их параметров происходит временное объединение кинков, принадлежащих разным уединенным волнам. Это приводит к трансформации узкого солитона в такой же солитон противоположной полярности, движущийся по вершине широкого солитона от его фронта к спаду. Процесс взаимодействия заканчивается обратным превращением узкого солитона в солитон исходной полярности вблизи спада широкого солитона.
5. В рамках разработанного подхода проведено моделирование эволюции фронта приливной внутренней волны, имеющего вид группы солитонов большой амплитуды на 20-километровой трассе шельфовой зоны Тихого океана вблизи северо-западного побережья США. Сравнение результатов расчета на основе приближенного подхода с численным решением уравнения Гарднера и данными натурных исследований, полученных в ходе комплексного эксперимента СОРЕ-1995, демонстрируют хорошее соответствие как во времени движения группы солитонов в целом, так и в изменении интервалов между солитонами в группе на расстояниях, составляющих сотни характерных длин солитонов.
6. Впервые построено приближенное N-солитонное решение неинтегрируемой нелинейной модели Choi-Camassa, описывающей сильно нелинейные внутренние волны в двухслойной жидкости. Показано, что в качественном отношении построенное решение соответствует аналогичному решению уравнения Гарднера: взаимодействие упругое, скорости и амплитуды солитонов после столкновения восстанавливаются, многочастичные эффекты отсутствуют. Вместе с тем в случае столкновения солитонов с большим различием их размеров обнаружены аномально большие сдвиги фаз относительно узких солитонов. Выяснено, что эта особенность связана с отличием скорости солитона обратной полярности, временно возникающего на стадии наибольшего сближения уединенных волн, по сравнению со скоростью первоначально узкого солитона. Этот эффект находит подтверждение при численном моделировании и оказывается важным при интерпретации экспериментальных данных эволюции интенсивных внутренних волн.
7. Впервые получено аналитическое решение модельной задачи о неквазистационарной эволюции солитона уравнения Гарднера с переменными коэффициентами. Показана эффективность представления уединенной волны как составной структуры, позволившего детально описать трансформацию поля солитона (фронт, спад, вершина) и характерные параметры поля, возникающего за его спадом. Полученный результат может быть использован при описании эволюции интенсивных внутренних волн в шельфовой зоне океана.
Положения, выносимые на защиту
1. Представление солитонов внутренних волн, близких к предельным, как составных структур, образованных кинками разных полярностей, является основой для построения приближенного описания неквазистационарной эволюции таких уединенных волн.
2. Приближенные N-солитонные решения уравнений Гарднера и Choi-Camassa, представляющие взаимодействие солитонов, близких к предельным, как взаимодействие составляющих их кинков, адекватно описывают столкновение уединенных волн.
3. Алгоритм построения приближенного решения задачи о неквазистационарной эволюции составных солитонов, близких к предельным, в рамках уравнения Гарднера с переменными коэффициентами дает детальную картину трансформации поля уединенной волны.
Практическая значимость результатов работы
Основные научные и практические приложения диссертации связаны с разработкой модернизированного приближенного подхода, результаты которого могут быть использованы при интерпретации наблюдаемых интенсивных внутренних волн. Результаты работы использовались при выполнении проектов РФФИ (06-05-64890а, 09-05-00487а, 11-02-97029а, 12-05-00822а), гранта Ведущей научной школы НШ-1244.2008.2, выполняемой под руко-водством академика РАН В.И. Таланова, гоконтракта №02.740.11.0566, выполняемого ИПФ РАН в рамках ФЦП «Научно-педагогические кадры инновационной России», а также гранта Правительства Российской Федерации (договор №11G34.31.0048).
Апробация работы
Основные результаты диссертации представлялись на российских и международных конференциях «Нелинейные волны – 2008, 2012»; «Нелинейные колебания механических систем», Н. Новгород, 2008; Всероссийская конференция по прикладной океанографии, Москва, 2010; Международный симпозиум «Актуальные проблемы нелинейной физики» С.-Петербург – Н. Новгород, 2004, 2007; Международный симпозиум «Fluxe and structures in fluid», Москва, 2009; Генеральной ассамблее Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2009–2012); XII всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (Москва, 2010); X Всероссийский съезд по фундаментальной и прикладной механике (Н. Новгород, 2011).
Личный вклад автора. Автор принимала непосредственное участие как в постановке задач, так и в аналитических и численных расчетах по развиваемому в диссертации модернизированному приближенному подходу, в обсуждении и физической интерпретации результатов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации – 101 страница, включая 24 рисунка.
