Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Методы анализа волновых пакетов МСВ в ферритовых структурах 21
1.1. Общие представления о магнитостатических волнах 21
1.2. Структура феррит-диэлектрик-металл 25
1.3. Методы моделирования линейных МСВ 32
1.4. Эволюционное уравнение для нелинейных МСВ 34
1.5. Основные сведения о солитонах нелинейного уравнения Шредингера 36
1.6. Характерные расстояния при распространении импульса 39
1.7. Методы решения модельного уравнения 40
1.8. Область применения модели 43
ГЛАВА II. Солитоны поверхностных магнитостатических волн в структуре феррит-диэлектрик-металл 50
2.1. Постановка задачи 50
2.2. Пороги образования солитонов 53
2.3. Исследование огибающей импульсов 55
2.3.1. Зависимость длительности импульса от входной амплитуды 55
2.3.2. Зависимость длительности импульса от пройденного расстояния 59
2.3.3. Зависимость пиковой амплитуды импульса от пройденного расстояния 63
2.3.4. Многосолитонныережимы 66
2.4. Исследование фазы солитона 69
2.5. Оценка длины формирования солитона 72
2.6. Зависимость выходной пиковой мощности от входной 76
2.7. Сравнение результатов расчета с экспериментом 79
2.8. Выводы 86
ГЛАВА III. Особенности возбуждения мсв прямоугольным импульсом СВЧ 87
3.1. "Компрессия" прямоугольных импульсов в линейной диспергирующей среде 87
3.2. Длина компрессии прямоугольных импульсов 94
3.3. Сравнение результатов расчета с экспериментом 95
3.3.1. Описание эксперимента 96
3.3.2. Исследование связи длины компрессии и дисперсии волны 98
3.3.3. Измерение коэффициента дисперсии среды с помощью эффекта компрессии импульса 106
3.4. Компрессия импульсов ПМСВ в ФДМ структуре 107
3.5. Поведение импульса в "ближней" зоне ПО
3.6. Оценка длины формирования солитона с помощью эффекта компрессии 118
3.7. Выводы 118
ГЛАВА IV. Влияние несолитоннои волны на формирование и распространение солитона МСВ 120
4.1. Влияние несолитоннои волны на солитон в бездиссипативном приближении 120
4.2. Оценка частоты осцилляции пиковой амплитуды 122
4.3. Влияние несолитоннои волны в диссипативной среде 127
4.4. Особенности поведения солитона, определяемые несолитоннои волной 130
4.5. Выбор оптимальных условий распространения солитона 134
4.6. Выводы 136
Заключение 139
Литература
- Эволюционное уравнение для нелинейных МСВ
- Зависимость длительности импульса от пройденного расстояния
- Сравнение результатов расчета с экспериментом
- Влияние несолитоннои волны в диссипативной среде
Введение к работе
Одним из основных этапов развития электроники СВЧ стало использование в качестве волноведущей среды естественных периодических структур - кристаллических решеток. В твердом теле в зависимости от его характеристик, внешних условий и частоты возбуждения могут распространяться волны различных типов - электромагнитные, акустические, спиновые. Первые представляют собой обычные электромагнитные волны в среде, вторые - упругие волны смещения атомов в решетке кристалла, третьи - распространение возмущений прецессии магнитных моментов атомов в узлах кристаллической решетки в магнитоупорядоченных структурах. Спиновые волны можно условно разделить на дипольные и обменные. Они могут существовать в очень широком частотном диапазоне от единиц до сотен гигагерц. При малых значениях волнового числа (к<\04см'х) обменное взаимодействие в большинстве случаев не играет существенной роли в формировании спектра волн, такие волны называют дипольными спиновыми или магнитостатическими волнами (МСВ). При больших значениях волнового числа влияние обменного взаимодействия существенно, и в твердом теле возбуждаются обменные спиновые волны.
Все эти волны могут взаимодействовать как между собой, так и с волнами в потоках носителей заряда в твердотельной плазме, что обеспечивает их взаимное преобразование и открывает возможности для создания устройств, управляющих амплитудой, фазой, временем задержки высокочастотного сигнала, т.е. устройств, используемых для обработки СВЧ сигнала. На поверхностных акустических волнах (ПАВ) в настоящее время разработан ряд устройств, например линии задержки, фильтры, резонаторы, корелляторы и конвольверы с малыми потерями, широкой полосой частот и большим динамическим диапазоном.
Однако, технологические трудности изготовления структур субмикронных размеров (связанные главным образом с литографией), а также возрастание вносимых потерь на высоких частотах ограничивают верхний частотный предел применения устройств на ПАВ величиной около 2 ГГц. В то же время МСВ представляется перспективными для создания устройств с рабочими частотами до 30 ГГц. Эта техника основана на распространении магнитостатических волн в монокристаллических ферромагнитных пленках, таких как пленки железо-иттриевого граната (ЖИГ), и является основой целого ряда планарных устройств для распознавания, контроля и обработки сигналов непосредственно в сантиметровом и миллиметровом диапазонах длин волн - см. [1] и литературу в ней. В таких устройствах отпадает необходимость в СВЧ-смесителях, традиционно применяемых для преобразования входящих сигналов в более низкочастотный (УВЧ) диапазон, в котором могут быть использованы другие устройства (например, на ПАВ).
Устройства на МСВ обращают на себя внимание малыми потерями на распространение. Так как конструкция устройств на МСВ планарна, технология их изготовления совместима с общепринятой технологией изготовления гибридных и монолитных СВЧ интегральных схем. Кроме того, поскольку скорость распространения МСВ на два - четыре порядка меньше скорости электромагнитных волн, устройства на МСВ имеют размеры порядка сантиметров и могут быть изготовлены простыми технологическими методами.
Еще одно существенное преимущество техники МСВ заключается в возможности перестройки параметров устройств. Амплитудо-частотные характеристики линий задержки, фильтров, резонаторов на МСВ могут изменяться в широких пределах изменением внешнего магнитного поля, которое, в свою очередь, легко управляется изменением тока электромагнита. С другой стороны, МСВ чувствительны ко внешним условиям -металлические экраны, периодические границы - что позволяет варьировать
в широких пределах дисперсионные свойства линий задержки на пленках ЖИГ [2].
Так как пленки ЖИГ оптически прозрачны, то можно использовать взаимодействие МСВ и оптических волн для построения магнитооптических устройств, например брэгговских ячеек с большой величиной произведения ширины полосы частот на длительность обрабатываемых сигналов [3,4].
Системы на МСВ обладают значительной нелинейностью, что позволяет при достаточно низких уровнях сигнала (десятки - сотни милливатт) наблюдать широкий спектр нелинейных явлений, связанных, например, с развитием параметрической и модуляционной неустойчивостей. В настоящее время показана возможность создания ряда устройств на нелинейных МСВ: ограничителей и шумоподавителей, умножителей частоты [5-14].
Так, изучение особенностей распространения МСВ представляется актуальным с точки зрения обнаружения основополагающих принципов для разработки устройств на МСВ. С другой стороны, уникальная совокупность свойств МСВ, приводящая к огромному разнообразию физических эффектов, наблюдающихся при возбуждении, распространении и взаимодействии волн, обуславливает интерес к МСВ с фундаментальной точки зрения.
Впервые МСВ были описаны теоретически для однородно намагниченного ферритового слоя в 1961г. [15]. Первое сообщение об экспериментальном наблюдении эффекта распространения спиновых волн в перпендикулярно намагниченном диске железо-иттриевого граната (ЖИГ) было опубликовано в 1965г. [16]. В последующие годы вопросу использования МСВ, распространяющихся в объемных образцах был посвящен ряд работ [17,18], однако ни один из приборов на их основе не нашел широкого применения. Одним из главных недостатков таких приборов явились трудности воспроизводимого возбуждения и приема МСВ, обусловленные неоднородностью внутреннего постоянного магнитного поля.
Новый виток исследований МСВ продолжающихся по сей день, начался в 1971 году с освоением технологии жидкофазной эпитаксии для получения высококачественных пленок ЖИГ на подложках из галлий-гадолиниевого граната [19]. Такие структуры свободны от указанного выше недостатка объемных образцов, волны в пленках ЖИГ легко возбуждаются и распространяются на расстояния в десятки и сотни длин волн.
Первые шаги по изучению МСВ в ферритовых структурах были направлены на изучение линейных свойств системы. Исследовались особенности приема и возбуждения МСВ, проблема поглощения МСВ для избежания паразитного отраженного сигнала, амплитудо-частотные и фазо-частотные характеристики линий задержки на МСВ, полоса пропускания [20-22]. Особое внимание уделялось исследованию дисперсионных свойств системы на МСВ. Было показано, что в свободной пленке возможно распространение трех основных мод МСВ - поверхностной и обратной объемной в касательно намагниченной пленке и прямой объемной в нормально намагниченной пленке ЖИГ [15,16,23,24]. Исследованы слоистые структуры на основе пленок ЖИГ [25]. Дисперсионные уравнения получены как для безграничной пленки, так и для волноводов с конечной шириной [26,27]. Исследована температурная стабильность пленок ЖИГ [28,29].
В последние два десятилетия интерес исследователей сместился к нелинейным режимам распространения МСВ благодаря низким пороговым мощностям, богатству динамических картин, перспективе применения в различных устройствах. Интересными являются два класса нелинейных явлений, связанных с развитием неустойчивости волны. К первому классу относятся эффекты, обусловленные развитием параметрической неустойчивости, которая приводит к возбуждению неравновесных магнонов в коротковолновых участках спектра обменных волн. Систематическое исследование параметрической неустойчивости в объемных образцах было положено Сулом [30]. В тонких пленках особенности развития параметрической неустойчивости связаны с многомодовостью спиновых
волн. К настоящему времени нелинейные волновые эффекты, связанные с параметрической неустойчивостью изучены достаточно подробно (см. например [31-34]).
К другому классу относят эффекты, обусловленные развитием модуляционной неустойчивости, связанной с взаимодействием несущей волны с частотой (о0(к0) и сателлитов с частотами сох{к^) и о2(к2), симметрично отстоящими от несущей:
2со0 = щ + о)2, \со2 -0,|« б)0 (0.1а)
0 ~~ 1 1 >
/Сл К\ ^.v. Лі
(0.16)
Модуляционная неустойчивость может приводить к таким эффектам, как самомодуляция непрерывного сигнала постоянной амплитуды, самоканализации и самофокусировке волны, а также к образованию солитона огибающей [35-52].
Возможность образования солитона МСВ в неограниченной пластине ферромагнетика впервые была рассмотрена в работе [35] Лукомским В.Г. Им впервые с использованием метода возмущений было получено нелинейное уравнение для огибающей поверхностной МСВ в виде параболического уравнения с кубической нелинейностью - нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) и показана его неустойчивость относительно поперечных возмущений. Аналогичное уравнение для трех основных типов МСВ - поверхностных, прямых и обратных объемных было получено позднее Звездиным А.К. и Попковым А.Ф. [36] на основе метода геометрической оптики [53,54]. Ими, с использованием известного критерия Лайтхилла на развитие модуляционной неустойчивости [55]:
Г/?<0, (0.2)
где х - д д\<р\ - коэффициент нелинейности, /3 = д2й?/дкг - коэффициент
дисперсионного расплывания проанализирована неустойчивость нелинейных МСВ относительно продольных и поперечных возмущений, а также, с использованием точного солитонного решения НУШ, полученного
Захаровым В.Е. и Шабатом А.Б. [56] проведена оценка пороговых мощностей возникновения эффектов самовоздействия.
Впервые солитоноподобные импульсы наблюдались Калиникосом Б.А. и Ковшиковым Н.Г. в работе [37]. В перпендикулярно намагниченной пленке ЖИГ с закрепленными спинами в области сильной дисперсии, соответствующей обменной щели на выходе системы с ростом входной мощности наблюдалось образование узкого пика, который объяснялся формированием солитона. На зависимости затухания прошедшего импульса от входной мощности наблюдалось образование минимума - возникновение "самоиндуцированной прозрачности спин-системы". Изучение солитонов диполь-обменных волн было продолжено в работах [38, 57].
В дальнейшем стало понятным, что наблюдения огибающей импульса на выходе недостаточно, чтобы судить о формировании солитона - в работах [39,40] для изучения нелинейных режимов распространения импульсов уже чисто дипольной волны применялся метод измерения зависимости выходной пиковой мощности от входной Р^Р^). В какой-то мере эти зависимости являются аналогом измеренных в работе [37] зависимостей затухания импульса от входной мощности. Здесь было показано, что при достижении порога модуляционной неустойчивости, такие зависимости демонстрируют рост, значительно превышающий линейный. Позже, в работе [44] было обнаружено, что с увеличением входной мощности, около порога двухсолитонного режима происходит насыщение зависимости и дальнейшее убывание выходной мощности, при этом, такое немонотонное поведение согласуется с зависимостью затухания в работе [37]. Позже немонотонность зависимости Рвых(Рвх) наблюдалась во многих работах по экспериментальному и численному исследованию солитонов МСВ [58,59,61,62]. В настоящее время такие зависимости принято использовать как один из критериев формирования солитона и для определения порога односолитонного режима [58,59].
В то же время изучались и другие свойства солитона - в ряде работ [43,60-62] было рассмотрено затухание импульса в нелинейном режиме. Основным результатом было более высокое по сравнению с линейным режимом затухание по амплитуде импульса и не зависящее от входной мощности затухание суммарной энергии импульса. Эти результаты хорошо согласуются с теоретически предсказанными результатами для солитонов в диссипативной среде [63]. В работе [62] увеличение затухания импульса использовалось для определения длины формирования солитона и времени его "жизни" - времени, которое импульс в диссипативной среде сохраняет свойства солитона. Изучение поведения солитона в диссипативной среде показало также, что порог солитонообразования для импульсов большой длительности увеличивается [64].
Интересной особенностью солитона является его частицеподобные свойства, в частности, способность сохранять форму при столкновении с другим солитонном. Эти его свойства наблюдались в ряде работ [43,45,65,66].
В работах [67,68] исследовался вопрос о скорости солитона. Были обнаружены зависимости скорости от мощности входного сигнала, а также от количества формирующихся солитонов. Однако эта зависимость оказалась слабой - изменение скорости солитона составило не более 10% от групповой скорости, при этом разница в задержке лийных импульсов и солитонов оказывается незначительной и не превышает длительности импульса.
В 1998 году была опубликована работа по изучению распределения фазы солитона [69] - как известно из солитонного решения НУШ фаза солитона в центральной его части должна иметь линейный характер, в работе [69] такое линейное распределение наблюдалось экспериментально для солитонов обратной объемной МСВ. Линейное распределение фазы импульса предложено было использовать как критерий формирования солитонов.
Помимо экспериментальных исследований с начала 90х годов в связи с развитием вычислительной техники стали проводится также и численные исследования солитонов МСВ. В 1990г. была опубликована первая работа по моделированию солитонов МСВ [70], описанных в работах [37,38,57]. Моделирование проводилось на основе нелинейного уравнения Шредингера. Было показано, что такая модель может хорошо описывать экспериментальные результаты. В дальнейшем численное моделирование использовалось наряду с физическим экспериментом в работах по изучению солитонов МСВ.
Позже появились работы по моделированию солитонов при помощи модифицированного НУШ в котором учитывались члены с третьей производной. Такое моделирование позволило описать поведение импульсов в областях, где коэффициент дисперсии обращается в ноль [68,71-73]. С помощью такого модифицированного НУШ исследована зависимость скорости солитона от входной мощности сигнала, рассмотрены солитоны ПМСВ в структуре феррит-диэлектрик-металл.
В 2002г. Калиникосом, Костылевым и Ковшиковым был разработан и применен принципиально новый подход к моделированию МСВ. Он основан на решении системы дифференциальных уравнений для Фурье-компонент переменной намагниченности [45,59]. Такой подход позволяет как моделировать процесс возбуждения МСВ, так и учитывать особенности дисперсии не описываемые квадратичным приближением, например, позволяет моделировать импульсы при выборе рабочей частоты вблизи границы полосы пропускания линии задержки.
Дальнейшие работы по изучению солитонов МСВ были направлены на изучение более сложных систем - генерации темных солитонов МСВ [74-77], учет влияния постоянной [78,79] и импульсной [80] волны накачки на формирование солитонов МСВ, влияния однородной и локальной параллельной накачки на солитон [81,82], изучение особенностей распространения солитонов в пленках ЖИГ, намагниченных под углом к
поверхности [83], генерации последовательности солитонов в кольцевых системах [84,85], исследовалось распространение солитонов МСВ в слоистых структурах [86] и системах связанных ферритовых пленок [87], исследовано также влияние параметрической неустойчивости на распространение солитона [80].
В то же время, несмотря на то, что солитонам магнитостатических волн посвящено большое количество работ, подавляющее большинство из них описывает солитоны объемных волн в связи с возможностью развития модуляционной неустойчивости в свободной пленке ЖИГ. Однако, с точки зрения создания устройств на солитонах МСВ наиболее перспективными оказываются поверхностные магнитостатические волны. Это связано как с локализацией энергии волны вблизи поверхности пленки, что облегчает ее прием и передачу, так и с одномодовостью и невзаимностью ПМСВ. Поэтому представляется интересным изучение солитонов поверхностных волн.
К настоящему времени известно несколько работ, посвященных изучению солитонов этого типа волн. В работе [41], было рассмотрено распространение ПМСВ в пленках ЖИГ с закрепленными поверхностными спинами. В таких пленках ПМСВ могут резонансно взаимодействовать с объемными обменными модами пленки и за счет этого менять характер дисперсионной зависимости на резонансных частотах [88]. При этом в достаточно узкой полосе частот (<15 МГц) выше частоты синхронизма условие (0.2) оказывалось выполненным и именно на этих частотах наблюдалось формирование солитонов ПМСВ. Однако, узкая полоса частот и высокие потери ПМСВ в области обменной щели [88] сужают возможности практического использования этого эффекта.
Другая возможность выполнить критерий Лайтхилла для ПМСВ может быть реализована, если вблизи пленки ЖИГ размещается заземленный металлический экран таким образом, что между металлом и пленкой ЖИГ имеется воздушный зазор толщиной h. Поскольку металл влияет на свойства
ПМСВ с длиной волны Я » h и практически не оказывает влияние на закон дисперсии волн с Я«h, то в области длин волн Я ~ h дисперсионная кривая ПМСВ меняет наклон и условие (0.2) оказывается выполненным [89]. Именно в этой, "переходной" части закона дисперсии ПМСВ в структуре феррит-диэлектрик-металл (ФДМ) экспериментально наблюдались как модуляционная неустойчивость [48], так и образование солитонов огибающей ПМСВ [80].
С теоретической точки зрения вопрос о формировании солитонов ПМСВ в ФДМ-структуре в отсутствии потерь затрагивался в работах [72,73]. В работе [72] на основе численного решения модифицированного НУШ с учетом дисперсии второго Р2 = д2о)/дк2 и третьего J33 = д3со/дк3 порядка и
2 / I |2
нелинейной дисперсии Q = d щдщ дк в бездиссипативном приближении
наблюдалось распространение солитона, при условии /33 = 0, влияние
нелинейной дисперсии в этом случае было незначительным. При условии Р2 = 0 также наблюдалось распространение солитоноподобных импульсов. В
работе [73] аналитически и численно показана возможность формирования светлых и темных солитонов модифицированного НУШ в точках /?2=0.
Рассмотрена также возможность формирования многосолитонных режимов. Так, основные результаты работ [72,73] связаны с изучением солитонных решений модифицированного НУШ в точках /?2 = 0 в условиях отсутствия
диссипации. Вопрос о численном исследовании солитона ПМСВ в ФДМ-структуре с учетом реальных потерь в области максимальной дисперсии второго порядка, где /?2»Р3 остается неизученным. В то же время эта задача представляется актуальной поскольку, во первых, именно при таких условиях солитоны ПМСВ в ФДМ структуре наблюдались экспериментально [80], а во вторых для объемных волн, исследованию которых посвящены практически все известные работы по солитонам МСВ, реализуется ситуация /?2»/?3, что позволяет проводить при исследовании солитонов ПМСВ
аналогии с известными результатами.
До сих пор при анализе солитонов никак не учитывалось влияние несолитонной волны, образующейся при возбуждении солитона импульсом, по форме и амплитуде, отличающимся от солитонного решения. В то же время из работ по нелинейной оптике известно, что такая волна может оказывать значительное влияние на эволюцию солитона [90]. При этом, несмотря на то, что аналогия с нелинейной оптикой широко используется для анализа солитонов МСВ, результаты в этом случае могут значительно отличаться за счет более высокого уровня диссипации. С одной стороны ее влияние может приводить к качественным изменениям в эволюции огибающей импульса в зависимости от расстояния, с другой стороны, ограниченная диссипацией длина распространения импульсов для МСВ оказывается одного порядка с длинами дисперсии и нелинейности, а значит и длиной формирования солитона, т.е. значительный вклад в наблюдаемую огибающую могут давать процессы формирования солитона.
Другой особенностью экспериментов с импульсами МСВ является возбуждение прямоугольным СВЧ импульсом - очевидно, что формирование как .sec/г-образного солитона, так и гауссова линейного импульса из прямоугольного должно занять некоторый конечный отрезок пути, сравнимый по величине с длиной дисперсии, а, следовательно, с длиной распространения. Так, логично ожидать влияния прямоугольной формы входного импульса на наблюдаемую на выходе огибающую. Такая задача для МСВ также ранее не исследована.
С учетом сказанного представляется актуальной задача численного моделирования солитонов ПМСВ при параметрах, отвечающих реальным структурам и выполнению условия (0.2), а также сравнения результатов с известными экспериментальными данными. При этом интересным оказывается исследование влияние на наблюдаемую картину несолитонной составляющей, а также процессов связанных с формированием солитона из прямоугольного входного импульса. Возможность определить, при каких условиях, и на каких расстояниях наблюдаются переходные процессы, дает
возможность разделять эффекты с ними связанные и проявления модуляционной неустойчивости. Решение данной задачи может оказаться важным дополнением проводимых исследований самовоздействия МСВ.
Целью работы являлось численное исследование солитонов поверхностной МСВ, распространяющихся в структуре феррит-диэлектрик-металл, а также исследование влияния на формирование и распространение солитона несолитонной волны и прямоугольной формы входного импульса.
Новизна работы.
На основе моделирования распространения импульсов ПМСВ с помощью нелинейного уравнения Шредингера впервые:
показано, что в структуре феррит-диэлектрик-металл при типичных для эксперимента значениях параметров происходит формирование и распространение солитонов ПМСВ; проведено исследование зависимости от уровня входного сигнала обычно наблюдаемых в эксперименте параметров солитона, таких как длительность по уровню 1/2, длина пробега, затухание, распределение фазы и выходная пиковая амплитуда;
выделена роль дисперсионных процессов в формировании солитона из прямоугольного импульса, показано, что их вклад в эволюцию формы и длительности импульса по половине амплитуды сопоставим с вкладом эффектов самовоздействия;
исследованы особенности влияния несолитонной волны на поведение солитона МСВ, определены условия при которых несолитонная волна может оказывать значительное влияние на солитон МСВ.
Положения, выносимые на защиту.
1) Модуляционная неустойчивость поверхностной
магнитостатической волны в структуре феррит-диэлектрик-металл, описываемая параболическим уравнением с кубической нелинейностью и диссипативным членом, приводит к формированию солитонов, причем эволюция их огибающей с ростом входной амплитуды согласуется с известными экспериментальным результатами.
При возбуждении солитона МСВ прямоугольным СВЧ импульсом значительное влияние на эволюцию оказывают дисперсионные процессы "перестройки" формы импульса, которые могут приводить к обужению по полувысоте (компрессии) импульса до 35% от входной длительности на расстояниях, сравнимых с длиной формирования солитона.
Эффект "компрессии" прямоугольного импульса в линейной среде позволяет измерять коэффициент дисперсии среды и оценивать расстояние, на котором можно ожидать формирование солитона при заданных параметрах входного импульса.
Влияние несолитонной волны на солитон МСВ оказывается заметным около порога двухсолитонного режима и может объяснять наблюдавшиеся ранее увеличение затухания, длительности и немонотонное поведение выходной пиковой мощности при росте амплитуды имульса на входе.
Научная и практическая значимость результатов.
Исследованная численно задача о формировании солитона ПМСВ в ФДМ-структуре подтверждает выводы работы [80] о формировании солитона в такой структуре и модуляционной природе наблюдавшегося обужения импульса. Это является актуальным, т.к. в работе [80] наблюдалась также и параметрическая неустойчивость, которая при определенных условиях может стать причиной наблюдения на выходе системы узких импульсов.
Обнаруженный в работе эффект компрессии прямоугольных импульсов и полученное аналитически выражение для расстояния, на котором происходит компрессия позволяют измерять дисперсию среды менее трудоемким способом, нежели традиционно используемый метод дифференцирования фазо-частотных характеристик.
Обнаруженная связь длины формирования солитона ПМСВ и длины компрессии и простая методика экспериментального определения последней позволяет оценивать длину формирования солитона при заданных параметрах входного импульса.
Полученные результаты по влиянию несолитонной волны позволяют подбирать такие параметры входного импульса, при которых достигается минимальная длительность импульса на расстояниях порядка 1см, что может представлять интерес при создании устройств на нелинейных МСВ.
Апробация работы и публикации.
Материалы диссертационной работы докладывались на научных семинарах СФ ИРЭ РАН, а также были представлены на научной школе-конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2005" (Саратовский государственный университет, 2005), международных конференциях "Magnetism 2003" (Рим, Италия), "Functional Materials" (Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, Симферополь, Украина) в 2003 и 2005 годах, "Wave Electronics and Its Applications in Information and Telecommunication Systems" (Санкт-Петербург) в 2004 году, "Intermag 2006" (Сан-Диего, Калифорния, США), на международной конференции по Спиновой электронике и Гировекторной электродинамике (Москва, 2003)
По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, в том числе 7 статей в реферируемых научных журналах, 2 статьи в результатах конференций и тезисы 5 конференций.
Результаты работы получены в рамках грантов РФФИ № 04-02-17537, 05-02-17361, №01-02-17178, CRDF №REC-006, МНТЦ №1522, программы РАН поддержки молодых ученых грант №28 и гранта Фонда содействия отечественной науке за 2005г. Личный вклад соискателя.
Автором лично получены все численные и аналитические результаты приведенные в главах II - IV диссертационной работы. Предложена методика экспериментального изучения эффекта сжатия линейных прямоугольных импульсов и совместно с Кожевниковым А.В. поставлен эксперимент [A3]. Постановка задач и обсуждение полученных результатов были проведены автором совместно с научным руководителем.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения и содержит 153 страницы. В их числе 89 страниц основного текста, 48 иллюстраций, 4 таблицы, список литературы, включающий 98 наименований на 9 страницах и список публикаций по теме диссертации из 14 наименований на 2 страницах.
Краткое содержание работы.
Во введении обоснована актуальность исследования магнитостатических волн и нелинейных их свойств. Приведен краткий обзор литературы по исследованной проблеме и сформулирована цель работы.
В главе I вводится понятие магнитостатических волн, приведены дисперсионные уравнения основных типов МСВ, рассмотрена возможность развития модуляционной неустойчивости для ПМСВ. Подробно рассмотрена дисперсия структуры ФДМ и обсуждается возможность развития модуляционной неустойчивости в такой структуре. Проведено сравнение измеренной в эксперименте [80] дисперсии для нее и рассчитанной на основе известных дисперсионных уравнений. Описаны способы получения эволюционных уравнений для линейной и нелинейной сред. Приводятся основные сведения о солитонах нелинейного уравнения Шредингера: пороги образования, аналитическая форма солитонного решения. Описаны известные результаты по влиянию несолитонной волны на солитон. Вводятся выражения для характерных длин, используемых для анализа распростанения импульсов - длины нелинейности, дисперсии, диссипации. Описаны методы численного решения эволюционных уравнений, использованные в работе и проводится анализ их применимости к поставленной задаче.
В главе II численно исследованы солитоны ПМСВ в ФДМ структуре при параметрах, соответствующих эксперименту [80] на участках дисперсии отвечающих выполнению условия (0.2), проведено сравнение результатов с поведением импульсов в рабочих точках, где условие (0.2) не выполняется.
Исследованы зависимости длительности импульса от входной мощности на различных расстояниях от входа, зависимости длительности и пиковой амплитуды импульса от пройденного расстояния. Проведен анализ затухания солитона. Рассмотрены многосолитонные режимы распространения ПМСВ. Исследовано распределение фазы импульса. Получена аналитическая оценка длины формирования солитона и порога образования солитона в диссипативной среде. Построены зависимости выходной пиковой мощности от входной. Проведено сравнение полученных численных результатов с известными экспериментальными результатами по наблюдению солитонов ПМСВ в ФДМ-структуре
В главе III исследовано влияние прямоугольной формы входного линейного импульса и проведено сравнение его эволюции с эволюцией частотно-модулированного гауссова импульса. Рассмотрен подробно механизм компрессии линейного прямоугольного импульса. Получено выражение для длины компресии и проведено сравнение оценочных данных с результатами эксперимента по распространению линейного прямоугольного импульса ПМСВ в свободной пленке. Обсуждается возможность измерения коэффициента дисперсии среды на основе компресии импульса. Исследован эффект компрессии импульса ПМСВ в ФДМ-структуре, проведено сравнение с экспериментальными результатами. Рассмотрено поведение импульса на расстояниях не превышающих длину компресии. Исследована связь длины компрессии и длины формирования солитона, а также рассмотрено влияние эффекта компрессии на формирование солитона.
В главе IV исследовано влияние несолитонной волны на солитон МСВ. Рассмотрено влияние несолитонной волны в бездиссипативном приближении, проведено сравнение с известным случаем возбуждения солитона sec/z-образным входным импульсом. Проведены оценки амплитуды формирующегося в системе солитона и частоты осцилляции его пиковой амплитуды. Рассмотрено влияние несолитонной волны при различных
уровнях диссипации, подобраны параметры системы и входного импульса при которых наблюдение осцилляции пиковой амплитуды солитона возможно в условиях диссипации, отвечающей реальным пленкам ЖИГ. Исследовано влияние несолитонной волны на солитон МСВ в случае когда осцилляции не наблюдаются. Получены условия для оптимального распространения нелинейного импульса на расстояния порядка ~ 1см. В заключении подведены итоги диссертационной работы.
Эволюционное уравнение для нелинейных МСВ
Рассмотрим распространение плоской МСВ вдоль положительного направления оси х [93]. Пусть среда занимает полупространство х О и на ее границе задан входной сигнал = 0,/) = (/), (1.12) который имеет частотный спектр F( ») = ±-]VoW dt. (1.13) 2л-_ю Так как спектральные компоненты распространяются в линейной среде независимо друг от друга, то поведение волны дается суперпозицией гармонических волн y/(x,t) = jF(«)exp[- icot + ік(&)х\ій). (1.14)
Если подставить выражение (1.13) для спектра в (1.14), можно выразить искомое решение через поле на границе: 1 00 00 if/(x,t)= — j ji//0(t )Qxp[-ico(t )+ik(u))x}iu)df = \\f/Q(f)G(x,t-f)df. (1.15) " -CD -00 Здесь 1 G(y,/) = — fexp[- icot + ik(co)x]do) (1-16) 2яг_т есть функция Грина. В диспергирующих средах, где зависимость к((д) не является линейной, функция Грина точно рассчитывается лишь в редких случаях, поэтому на практике часто применяются приближенные методы. В нашем случае будем использовать приближение для волнового пакета - квазимонохроматического сигнала с узким частотным спектром: Уй( )= Р0Ь=$У0 . (1.17) Здесь (о0 - некоторая средняя частота сигнала, ф0 - комплексная медленно изменяющаяся функция. Медленность изменения (\d(p0jdt\«ct)0\ p0\) связана с наличием малого параметра С, /S.mJQ)u, где До - ширина спектра волнового пакета. Отметим, что для импульсов МСВ такое приближение работает в подавляющем большинстве случаев.
Итак, для узкополосных сигналов в диспергирующей среде общие выражения (1.14), (1.15) могут быть эффективно упрощены. Такое упрощение возможно при любой зависимости к(со), так как фактически требуется знать не полный закон дисперсии, а лишь его локальное поведение в окрестности средней частоты со = со0:
Подставляя (1.17) и (1.18) в (1.15), запишем выражение для поля волнового пакета в виде: у/{х, i) = (р{х, f)exp(- ico0t + ik0x). (1-19) Ограничиваясь вторым порядком разложения в (1.18) после преобразований получим для огибающей волнового пакета:
Можно показать, что амплитуда волнового пакета (1.20) удовлетворяет уравнению параболического типа 8± = Лгд\, (1.21) дх 2 дт До сих пор речь шла о сигнале, заданном на границе среды. Рассмотрим теперь задачу об эволюции начального возмущения. Пусть в среде в момент времени t = О создается возмущение: у,(х,і = 0) = р0{уУх. (1.22)
По аналогии с изложенным выше случаем, для эволюции огибающей во втором приближении теории дисперсии можно записать выражение / dq, (1.23) j2mj3x _a которое удовлетворяет уравнению Z = -J - (1.24) dt 2P д? Здесь = x-vgt, /3 = [д2со/дк2)к . Отметим, что уравнения (1.21) и (1.24) являются идентичными поскольку относятся к одному и тому же второму приближению теории дисперсии. Действительно, эти уравнения записаны в различных независимых переменных: первое в х и v = t-xlv \ второе в = jc-vg/ и /. Если перейти, например, в уравнении (1.24) к переменным, использованным в (1.21) и отбросить в правой части малые члены, получим да / 1 д2(р Г = :ЬЛ- (1.25) дх 2 v g дт v Если рассматривать со = со(к) как неявную функцию для к(со), то можно записать d2k d2(o 1 J3 y- -i=" Y з=з- (1-26) dco dkz vg vg v ; С учетом последнего соотношения уравнение (1.25) в точности совпадает с (1.21).
Эволюционное уравнение для нелинейных МСВ Для анализа нелинейных волн используем подход, основанный на идеях геометрической оптики, известный в литературе как метод "огибающих" [53,54]. Предположим, что в среде распространяется волна, вида: ц/ = (реАк(-м\ (1.27) при этом комплексная амплитуда ср предполагается функцией координаты и времени, т.е. p = p(y,t), медленно изменяющейся на расстоянии порядка периода колебаний основной гармоники. Предполагается, что возникающие из-за нелинейности высшие гармоники малы. Наличие дисперсии предотвращает в общем случае нарастание высших гармоник (по крайней мере, при не очень больших амплитудах основной гармоники). Роль нелинейности проявляется в зависимости частоты или фазовой скорости от амплитуды волны, т.е. нелинейное дисперсионное уравнение принимает вид: D(o),k,\(p\2)=0. (1.28)
Дисперсионное уравнение вида (1.28) позволяет записать нелинейное параболическое уравнение, определяющее функцию (p(x,t). Это делается следующим образом (подробнее см. [53,54]). Пусть сой и к0- частота и волновое число основной гармоники
Для определения коэффициента нелинейности х принимаем во внимание, что в случае нелинейных МСВ: 2 Пі ,2 ам = 47гуМ0 -» 4яуМ0 1+ Н (1.32) й)н(сон+й)м)] 2 Затем подставляем (1.32) в дисперсионное уравнение (1.7) и I 2 дифференцируем по щ . Коэффициенты vgH р получаются непосредственно из (1.7). Для случая линейных МСВ также использовалось уравнение (1.9), при этом коэффициенты определялись численным дифференцированием дисперсионных уравнений или при помощи пакета символьных вычислений МАРЬЕ ver.8 0.
Основные сведения о солитонах нелинейного уравнения Шредингера Известно, что при выполнении условия (0.2) уравнение (1.30) описывает процессы, связанные с модуляционной неустойчивостью (0.1). В случае непрерывного входного сигнала это самомодуляция выходного сигнала, в случае импульсного возбуждения - образование солитона огибающей. Наиболее подробно солитоны НУШ исследовались в задачах нелинейной оптики для световых импульсов в волноводе. Одним из интересных результатов было формирование несолитонной волны одновременно с солитоном. Впервые влияние несолитонной составляющей (несолитонной волны) на солитон НУШ было описано в работе [94].
Зависимость длительности импульса от пройденного расстояния
В случае рабочих точек А, С, Е и F наблюдалось увеличение длительности импульса с ростом р0, при этом насыщения ни при каких расстояниях не наблюдалось - рисунок 2.5. Еще одной особенностью является сжатие импульсов малой амплитуды ( 0 0.04) на расстоянии х, = 0.15см. Действительно, в рабочей точке D импульс с амплитудой р0 = 0.05 достигает длительности 50% от входной.
Такое же сжатие наблюдалось и для рабочих точек А, С, Е и F, где нелинейность приводит к декомпрессии импульса. Причиной такого сжатия является прямоугольная форма входного импульса, как будет показано в главе III, дисперсия в данном случае приводит к образованию "фокуса" на некотором расстоянии от входа - т.е. сжатию импульса независимо от наличия нелинейности.
Так, уменьшение длительности импульсов с ростом ср0 может свидетельствовать о формировании солитона - такой критерий использовался в ряде известных работ. В то же время поведение длительности импульса с расстоянием оказывается достаточно сложным, остановимся на этом вопросе в следующем разделе.
Огибающие импульсов на расстоянии х = 03см для рабочих точек А, Е, С и F (указаны на графиках). Рядом с огибающими указаны значения входной амплитуды р0. по уровню 1/2 в процессе его распространения, рассмотрим поведение относительной длительности импульса W = Т/Т0 в зависимости от координаты импульса дг , отвечающей максимуму # max = д [хтр).
На рис. 2.6 представлены зависимости W{xmp), рассчитанные при значениях параметров, отвечающих рабочим точкам В, D и А. На расстояниях, JC w0 = vgT0 происходит процесс формирования импульса в пленке (для точек А, В и D w = 0.054см, w j = 0.072см, w =0Л04см, соответственно). При х = xs w0..2w0 независимо от выполнения условия (0.2) импульс ПМСВ сжимается. При р0 = 0.04 длительность импульса W с параметрами, отвечающими рабочей точке В, составляет W &21% на расстоянии xs да 0.85лш и возвращается за счет дисперсионного расплывания к исходной W «100% при х « 2мм. Сжатие импульса в рабочей точке А при р0 = 0.04 составляет W да 32% на расстоянии л:, » 0.1мм, а возврат ширины импульса к начальной происходит при х«2лш. Такое сжатие, как уже говорилось в предыдущем разделе, определяется формой импульса и влиянием дисперсии.
Из сравнения кривых W(x ), отвечающих разным амплитудам ср0, можно заключить, что нелинейность усиливает сжатие для рабочих точек В и D и сдвигает положение минимума ширины в область больших х, тогда как для рабочей точки А влияние нелинейности прямо противоположно. В рабочих точках В и D рост амплитуды входного импульса сопровождается увеличением вклада нелинейности, что приводит к компенсации дисперсионного расплывания нелинейным сжатием и уменьшает наклон кривых W(x ). Об этом же свидетельствует вогнутый характер кривых вследствие диссипации вклад нелинейности постоянно уменьшается, что приводит к более быстрому расплыванию и постепенному увеличению наклона кривой.
Рисунок 2.6. Зависимости относительной длительности импульса W от его координаты хтр для рабочих точек а) В, б) D и в) А. Рядом с кривыми указана входная амплитуда р0. кривыми) ведут себя более сложно - в начале эволюции длительность таких импульсов достигает минимального значения, которое сохраняется некоторое расстояние, затем их длительность резко возрастает и превышает даже длительность линейных импульсов.
Отметим, что, например, для (р0 = 0Л1 (рис. 2.6а) при х 0.3см или (р0 = 0.13 (рис. 2.66) на всем диапазоне расстояний поведение зависимости W{ximp) явно нелинейное. Из этого следует, что на указанных расстояниях резкое увеличение длительности не связано с распадом солитона и дисперсионным расплыванием импульса, которое, как известно, сопровождается линейным ростом длительности. Эта особенность поведения определяется влиянием несолитонной волны, подробнее см. главу IV.
В рабочей точке А (рис. 2.6в) наблюдаются прямо противоположные эффекты: увеличение амплитуды приводит к более быстрому расплыванию импульса, по аналогии с предыдущим случаем можно объяснить и выпуклый характер кривых.
Зависимость пиковой амплитуды имульса от пройденного расстояния В работах [60,43,61] экспериментально показано, что "затухание", т.е. скорость падения амплитуды солитона отличается от затухания линейного импульса. Действительно, согласно выражению (1.39), амплитуда солитона в диссипативной среде пропорциональна e 2at, в то время как амплитуда линейной монохроматической волны е_(й. В работе [43] показано, что падение амплитуды достаточно длинных импульсов (длина дисперсии больше длины пробега) также пропорционально е а. В случае коротких линейных импульсов затухание превышает е м за счет дополнительного влияния дисперсионного расплывания, однако наблюдается заметное отличие от затухания солитона [61].
Сравнение результатов расчета с экспериментом
Это решение не является единственным, оно выбрано исходя из предположения, что, несмотря на сложное поведение импульса и образования множества локальных максимумов в процессе эволюции, после точки компрессии импульс монотонно расплывается, т.е. решение (3.11) соответствует максимально удаленному от входа экстремуму. Такое предположение подтверждается при графическом анализе зависимости (3.7). Из (3.10), (3.11) получаем компрессионную длину: Ie« — = -. (3.12) с 18.4 у 18.4/? } С учетом выражения для дисперсионной длины выражение (3.12) с точностью не хуже 2% перейдет в (3.5). Подставляя (3.12) в (3.7) можно получить максимальное пиковое значение амплитуды огибающей для прямоугольного входного импульса: 4««1-ЗИ. (3.13)
Сравнение результатов расчета с экспериментом Сопоставим полученные результаты с экспериментом по изучению прохождения прямоугольных импульсов ПМСВ через макет линии задержки на основе пленки ЖИГ, поставленным Кожевниковым А.В [A3]. Использовалась пленка ЖИГ с параметрами: толщина с1 = \9мкм, намагниченность насыщения 4/гМ0 = 1750/ Ь, ширина линии ферромагнитного резонанса АН = 0.353. Макет помещался во внешнее намагничивающее поле, которое менялось в пределах Я = 654-7303 и было направленно вдоль микрополосковых преобразователей. Расстояние S между преобразователями в эксперименте могло меняться в диапазоне 0.4..1.2 см.
Подаваемые на входной преобразователь импульсы СВЧ получались путем модуляции непрерывного сигнала СВЧ частотой fr =4100МГц и мощностью Р0 = 10мВт. Длительности фронта Тф и среза Тс импульса не превышали Тф 5нс и Тс 2нс, соответственно, что позволяло уже при длительности импульсов Г0 7 нс получать импульсы с плоским участком на вершине.
Методика эксперимента по обнаружению компрессии смодулированных импульсов основывалась на использовании, с одной стороны, связи длины компрессии импульса Lc (3.12) с длительностью входного импульса Т0 и дисперсионными характеристиками среды (3 и v , а с другой, на ожидаемом росте амплитуды импульса в точке компрессии. Действительно, при фиксированных величинах расстояния между микрополосками S, магнитного поля Я и частоте генератора /г, равенство длин компрессии импульса Lc и расстояния S будет достигаться при некотором значении Т0 = TQ(S) : ЬС(Т) = S. При условии LC(TQ) = S следует ожидать, что относительная длительность выходного импульса W будет минимальна, а пиковая амплитуда импульса (ртгк максимальна.
На рисунке 3.4 приведена серия осциллограмм для входного и выходного импульса с изменением длительности Т0. Понятно, что при условии LC»S, что реализуется уже при Г0 ЗГ0С(), влияние компрессии импульса будет слабым и длительность выходного импульса Т будет близка к длительности входного импульса Т0 (рис. 3.4а-д). При этом значения q mm соответсвует некоторому стационарному значению р , отвечающему уровню выходного сигнала в непрерывном режиме возбуждения ПМСВ.
С другой стороны, при Т0 TQ(S) длина компрессии окажется меньше расстояния между преобразователями (LC S) и за счет эффектов дисперсионного расплывания следует ожидать как уширения импульса относительно входного, так и падения его пиковой амплитуды относительно случая Г0 = TQ(S) - рис. 3.4м-р.
Случай на рисунках 3.4к,л примерно соответствует ситуации LC=S, амплитуда импульса при этом максимальна, а длительность достигает минимума.
С учетом сказанного, рассмотрим поведение относительной длительности W и пиковой амплитуды ртах, нормированной на амплитуду сигнала р , выходного импульса при изменении Г0 в исследуемом макете при величине магнитного поля Н = 12\Э и расстоянии между преобразователями S = \\MM, рис. 3.5. На вставке показаны серии огибающих входного импульса, полученные из рис. 3.4. Точками на рисунке отмечены значения, соответствующие огибающим на вставке. Можно видеть, что по мере уменьшения длительности входного импульса амплитуда выходного импульса растет, а его длительность по уровню 1/2 уменьшается. При значении Т0 = Т «18нс длительность выходного импульса составляет Г и 11.5не, что соответствует «64%. При этом пиковая амплитуда импульса вырастает в 1.1 раза относительно уровня сигнала р . При длительности входных импульсов TQ TQ да 18нс ширина выходных импульсов по уровню 1/2 резко возрастает, а пиковая амплитуда убывает. Отметим, что именно такое поведение характерно для гауссова импульса по мере уменьшения его длительности [93]. В целом, зависимости W(T0) и ртах(Т0) на рис. 3.5 показывают, что поведение импульса ПМСВ отвечает представлениям о сжатии супергауссовых импульсов, см. рис. 3.1.
Влияние несолитоннои волны в диссипативной среде
Зависимости относительной длительности выходного импульса W от длительности входного Г0 на расстоянии S = 0.SCM при значении несущей частоты а) /п= 4430МГц, б) /Г2 = 4532МГц, в) /п=4630МГц, # = 897Э. Кривые 1 получены экспериментально, 2 - из расчета на основе квадратичного приближения дисперсии, 3 - из расчета на основе (1.14) с учетом дисперсионного уравнения в виде (1.9). основе уравнения (1.31) (кривые 2) и на основе разложения по плоским волнам с помощью (1.14), (1.9) (кривые 3) зависимости W(T0). Прежде всего, отметим, что результаты расчетов, полученные как в рамках параболического приближения, так и с учетом дисперсии вида (1.9) путем разложения сигнала по плоским волнам, достаточно близки. Можно видеть, что расхождение в значениях длительностей импульсов Т , отвечающих минимуму в зависимостях W(T0), не превышают 25%. При этом, независимо от частоты /г и знака коэффициента дисперсии /?, включая частоты /А и /в на кривой г(/) на рис. 1.4а, все рассчитанные кривые демонстрируют минимум при некоторых значениях длительности входного импульса.
Из сравнения экспериментальных и рассчитанных зависимостей W(T0)m рис. ЗЛО видно, что качественное соответствие имеется лишь для импульсов ПМСВ с частотой несущей /п « 4630МГц, см. рис. З.ІОв. В двух других случаях из-за отсутствия явного минимума в экспериментальных зависимостях W(Т0) совпадение хуже. Однако, как экспериментальные, так и рассчитанные кривые демонстрируют рост значений W(Г0) при достаточно близких значениях длительностей входных импульсов: Т0 Г0е «50нс и Г0 Г0с»25нс для случаев, показанных на рис. 3.10а и рис. 3.106, соответственно.
Одной из причин, по которой в экспериментальных зависимостях W(T0) на рис. 3.10а и рис. 3.106 отсутствует явный минимум может являться неоднородность 5h толщины воздушного зазора h между поверхностями пленки и металлического экрана, которая не зависела от величины зазора и составляла 5к \0мкм. Понятно, что к неоднородности наиболее чувствительны ПМСВ с длиной волны A h, а степень влияния неоднородности определяется отношением Shlh.
С другой стороны, при расчетах не учитывалось возможное влияние дифракционных эффектов, которые могут заметно менять распределение фазы и амплитуды по ширине пленочного волновода [98] и, как следствие, форму огибающей выходного импульса МСВ.
Рассмотренная задача о компрессии прямоугольного импульса имеет аналог в оптике - она соответствует задаче о дифракции плоской электромагнитной волны на щели. При этом длительность импульса соответствует ширине щели, пройденное расстояние расстоянию от экрана, а огибающая импульса распределению интенсивности волны в плоскости, параллельной экрану (см. например [90]). Продолжая аналогию, можно ввести для МСВ понятия ближней и дальней зон - первая будет соответствовать х Lc, где эволюция огибающей определяется, в основном, формой входного импульса, дальняя зона соответствует х Lc где эволюция определяется дисперсионным расплыванием и не зависит от формы входного импульса.
Рассмотрим поведение импульса в ближней зоне. Такая задача становится актуальной в случае низкой дисперсии среды или больших входных длительностях. При этом длина компрессии Lc может оказаться сравнимой и большей длины пробега S импульса. Например, для рабочей точки В, длительность входного импульса, соответствующая Lc = 8лш составит Т0«90нс, использование таких и даже больших длительностей характерно для экспериментов с импульсами МСВ. На рисунке 3.11 приведены серии огибающих на расстояниях х ОЛвсм, х2=03см, х3= 0.5см, х4=0.$см от входа для импульсов р0 = 0.01 и 0 = 0.04.
Отметим, что пороги одно- и двухсолитонного режимов для Т0 = 90нс составят р%=ї = 0.009 и (р 1 - 0.026, соответственно. Видно, что независимо от значения р0, поведение импульсов оказывается практически идентичным, при этом на выходе огибающая имеет довольно сложный характер -наблюдаются несколько пиков, сравнимых по амплитуде, солитоны при этом не формируются. Характер огибающей на рисунке 3.11 а,б качественно совпадает с огибающими на рис. 3.4а-д, огибающая на рис. 3.11в - с приведенными на рис. 3.4е.
На расстоянии х4=0.$см (рис. 3.11 г) наблюдается максимально сжавшийся основной импульс, что соответствует ситуации на рис. 3.4л. В отличие от экспериментальной огибающей 3.4л на рис. 3.11г можно видеть серию импульсов меньшей амплитуды, бегущие впереди основного импульса. Такие импульсы называются предвестниками [93] и определяются быстрыми гармониками спектра входного импульса. В рамках квадратичного приближения дисперсии, существует бесконечное количество предвестников, бегущих как впереди импульса со скоростью v vg, так и позади него со скоростью v vg. При этом, при времени, стремящемся в бесконечность форма огибающей импульса совпадает со спектром прямоугольного входного импульса, что соответствует представлениям о поведении импульса в линейной диспергирующей среде [90]. Каждый предвестник образуется гармониками, принадлежащими соответствующему "лепестку" спектра входного импульса. В случае МСВ количество предвестников ограничено полосой пропускания линии задержки и минимальным уровнем сигнала, который можно наблюдать, определяемым уровнем шумов установки. В эксперименте возможно наблюдение до 6-7 предвестников - см. например рис. 2.15.
