Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Получение нелинейных эволюционных уравнений для волн в стратифицированных потоках с помощьюасимптотического метода 23
1.1. Введение 23
1.2. Исходные уравнения в полу-лагранжевой форме 25
1.3. Вывод нелинейного эволюционного уравнения 31
1.4. Внутренние волны в океане: приближения Буссинеска и твердой крышки .42
1.5. Уравнение Кортевега - де Вриза второго порядка и его асимптотическая интегрируемость 44
1.6. Воздействие интенсивных внутренних волн на динамику примесей в приповерхностном слое жидкости .49
1.7. Генерация нелинейных импульсов при взаимодействии встречных волн 53
1.8. Заключение 56
ГЛАВА 2 Расчет коэффициентов нелинейного эволюционного уравнения для различных форм стратификации по плотности и течению 64
2.1. Введение 64
2.2. Решение линейной краевой задачи 66
2.3. Коэффициенты эволюционного уравнения для двухслойного потока 69
2.4. Поверхностная мода в двухслойном потоке 75
2.5. Внутренняя мода в "почти" двухслойном потоке 80
2.6. Внутренние волны в трехслойном потоке 82
2.7 Внутренние волны в жидкости с непрерывной стратификацией 86
8 2.8. Заключение 88
ГЛАВА 3
Обобщенное уравнение кортевега - де вриза в случае, когда квадратичная и кубическая нелинейности оказываются одного порядка (уравнение Гарднера) 109
3.1. Введение 109
3.2. Модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза и уравнение Гарднера первого порядка 111
3.3. Уравнение Гарднера второго порядка 115
3.4. Волновая динамика в рамках уравнения Гарднера второго порядка 120
3.4.1 Уединенные волны 121
3.4.2 Эволюция импульсного возмущения .124
3.4.3 Взаимодействие уединенных волн 126
3.5. Заключение 129
Заключение
- Вывод нелинейного эволюционного уравнения
- Коэффициенты эволюционного уравнения для двухслойного потока
- Модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза и уравнение Гарднера первого порядка
- Волновая динамика в рамках уравнения Гарднера второго порядка
Вывод нелинейного эволюционного уравнения
Первая глава посвящена изложению метода упрощения и асимптотической процедуры получения нелинейных эволюционных уравнений высокого порядка для волн в стратифицированных потоках со свободной поверхностью. В 1.2 исходные уравнения двумерного волнового движения невязкой несжимаемой стратифицированной жидкости обезразмерены и записаны в эйлерово-лагранжевой постановке. Подобный подход применялся в работах [Gear & Grimshaw, 1983; Lamb, 2000] как альтернатива традиционному эйлерову описанию. Замена вертикальной координаты на лагранжеву является более естественной с физической точки зрения, при этом выкладки упрощаются, так как плотность жидкости при таком подходе определяется лишь невозмущенным профилем, и уравнение неразрывности удовлетворятся автоматически. В 1.3 описана процедура разложения волнового поля в ряд по малым параметрам дисперсии и нелинейности, производится разделение переменных: структура волнового поля по лагранжевой переменной (аналог вертикальной координаты) определяется решением линейной краевой задачи, а также нелинейными и дисперсионными поправками к ней, а изменение волнового поля по горизонтали и его эволюция во времени описывается нелинейным уравнением в частных производных эволюционного типа, которое может быть выведено с точностью до требуемого порядка по малым параметрам. В настоящей работе это уравнение получено до третьего порядка. Коэффициенты такого уравнения определяются интегралами от функций структуры моды и вертикальных профилей плотности, скорости течения и частоты плавучести, имеют достаточно сложный вид и еще более усложняются с увеличением порядка приближений. Однако их нахождение необходимо, поскольку при некоторых моделях стратификации плотности и течения вклад нелинейности, дисперсии или нелинейной дисперсии высших порядков может быть значительным (как в случае внутренних волн в симметричной или близкой к симметричной жидкости). В 1.4 подробно рассмотрен важный частный случай внутренних волн в океане, когда используются приближения Буссинеска и твердой крышки. При этом форма коэффициентов нелинейного эволюционного уравнения и краевых задач для нахождения вертикальной структуры волнового поля несколько упрощается. В 1.5 обсуждается уравнение Кортевега - де Вриза второго порядка, условия его интегрируемости и частные решения. В общем виде приведено асимптотическое преобразование этого уравнения к классическому уравнению Кортевега - де Вриза. В 1.6 показана возможность применения развиваемой теоретической модели для решения таких задач, как моделирование динамики пленок поверхностно - активных веществ на поверхности жидкости и транспорта частиц донного материала. В 1.7 рассмотрен случай возбуждения нелинейных импульсов в поле стоячей волны. В 1.8 перечислены основные результаты первой главы.
Во второй главе рассмотрен рад модельных стратификации плотности и течения. Для них обсуждаются зависимости коэффициентов расширенного уравнения Кортевега - де Вриза от параметров модели, таких как соотношение толщин слоев, относительная скорость течения, величина перепада плотности, ширина пикноклина. Изучено влияние течения на параметры уединенных волн, в частности, на длительность солитонов и на предельную амплитуду солитонов, возникающих в ситуации почти симметричного двухслойного потока. В 2.2 обсуждаются методы решения основной краевой задачи, возникающей в теории волн в стратифицированных потоках. Возможности аналитического отыскания собственных функций и собственных чисел для таких задач ограничены, и на практике преимущественно используются численные методы. В этом параграфе описан способ нахождения точных частных решений линейной краевой задачи, которые можно использовать в качестве модельных. В 2.3 и 2.4 рассматривается модель двухслойного потока со свободной поверхностью: верхний слой движется с постоянной скорость, нижний неподвижен. В этих параграфах получены аналитические формулы коэффициентов расширенного уравнения Кортевега - де Вриза для внутренних и поверхностных волн, соответственно. Проанализированы зависимости коэффициентов от относительной толщины слоев, величины скачка плотности и относительной скорости фонового течения. Показано, что параметры внутренних волн чувствительны к изменениям стратификации плотности и течения, а вот характеристики поверхностных волн реагируют на них слабее. В 2.5 описана "почти" двухслойная модель: трехслойный поток с постоянным течением в верхнем слое и с тонким средним промежуточным слоем, обеспечивающим, в отличие от двухслойного случая, непрерывность профилей плотности и скорости сдвигового течения. Для этой модели стратификации параметры внутренних волн определены численно. Сравнение их с коэффициентами для двухслойного потока показало, что результаты хорошо согласуются. В 2.6 рассмотрено расширенное уравнение Кортевега - де Вриза для внутренних волн в симметричном трехслойном потоке с кусочно-постоянной плотностью и движущимся с постоянной скоростью средним слоем. Здесь все коэффициенты этого уравнения получены аналитически как функции относительной толщины слоев и относительной скорости течения. В этом случае в силу симметрии стратификации в ноль обращаются все коэффициенты нелинейных слагаемых четной степени, а коэффициент кубической нелинейности может менять знак, что принципиально влияет на динамику уединенных волн. В 2.7 рассчитываются параметры внутренних волн в жидкости, стратифицированной непрерывно, так что форма профиля плотности близка к типичным для океана ситуациям. Для такого случая проанализирована зависимость коэффициентов расширенного уравнения Кортевега - де Вриза от ширины области пикноклина. Расчеты показали, что значения некоторых коэффициентов (квадратичной нелинейности, нелинейной дисперсии) практически не зависят от ширины пикноклина, и для них можно использовать формулы двухслойной модели.
В третьей главе рассматривается обобщение уравнения Кортевега - де Вриза высшего порядка, описывающего длинные слабонелинейные внутренние волны в стратифицированной жидкости, когда коэффициент квадратичной нелинейности мал. Такая ситуация реализуется, например, при почти симметричной стратификации жидкости. При этом асимптотическая схема должна быть модифицирована и в первом порядке приводит к уравнению Кортевега - де Вриза с комбинированной нелинейностью (уравнение Гарднера). Получено обобщение уравнения Гарднера с учетом членов второго порядка малости по нелинейности и дисперсии. Предлагается асимптотическое преобразование, сводящее это уравнение к уравнению Гарднера с двумя дополнительными нелинейными слагаемыми четвертой и пятой степени (уравнение Гарднера второго порядка). Проведено исследование нелинейной динамики волн в рамках такого уравнения. В целом нелинейная динамика волн хорошо описывается уравнением Гарднера первого порядка, а учет высших поправок в уравнении ведет к слабой коррекции формы солитонов, небольшому увеличению амплитуды и скорости предельного «широкого» солитона и обусловливает слабый неупругий характер взаимодействия солитонов. В 3.1 сформулированы основные задачи третьей главы. В 3.2 обсуждается применимость модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза и уравнения Гарднера, свойства решений этих уравнений. В 3.3 рассмотрен вывод обобщенного уравнения Гарднера с использованием модифицированной асимптотической схемы и его сведение к уравнению Гарднера с добавочными нелинейными слагаемыми с помощью асимптотического преобразования. В 3.4 рассматривается динамика волн в рамках уравнения Гарднера второго порядка (решения в виде локализованных стационарных волн, начальная задача для импульсного возмущения и взаимодействие солитонов). В 3.5 перечислены основные результаты третьей главы.
Коэффициенты эволюционного уравнения для двухслойного потока
Общие выражения для коэффициентов при членах третьего порядка в этом уравнении приведены в Приложении А.
Аналогично можно получить уравнения любого приближения. С физической точки зрения мы не ожидаем новых физических эффектов в приближениях четвертого и более высоких порядков (только малое уточнение решения), поэтому мы не будем приводить соответствующие уравнения.
Отметим, что при выводе уравнений (1.57), (1.71), (1.73) мы удерживали члены одинаковых порядков по є я JI, так как стандартное масштабирование теории Кортевега - де Вриза предполагает соотношение є = j2 между малыми параметрами нелинейности и дисперсии. Это соотношение будет использоваться нами в последующих параграфах этой главы. В Главе 3 будут рассмотрены ситуации, когда необходимо использовать другое соотношение между параметрами є и /7.
В заключение параграфа следует заметить, что в работе применялось достаточно общее описание, включающее как внутренние, так и поверхностные волны (в последнем случае нужно просто положить ymzx = 0). Кроме того, хотя все вычисления проводились для безразмерных функций и переменных, полученные выражения остаются неизменными, если все входящие в них величины считать размерными. 1.4. Внутренние волны в океане: приближения Буссинеска и твердой крышки
Рассмотрим важный частный случай волн в стратифицированных потоках: внутренние волны в океанических течениях. Плотностная стратификация океана характеризуется тем, что относительные перепады плотности невелики - не больше нескольких процентов. Вследствие этого поверхностные проявления внутренних волн в океане также очень слабы: их характерные амплитуды составляют несколько сантиметров. Эта ситуация в нашем контексте соответствует применению приближений Буссинеска и твердой крышки. При этом форма коэффициентов нелинейного эволюционного уравнения и краевых задач для нахождения вертикальной структуры волнового поля несколько упрощается.
Во-первых, линейный оператор (1.47), определяющий левую часть уравнений (1.46а), (1.60а), (1.61а) с учетом этих приближений переписывается следующим образом:
Во-вторых, граничные условия на поверхности жидкости для линейной функции моды и нелинейных и дисперсионных поправок к ней становятся нулевыми. Формулы для коэффициентов расширенного уравнения Кортевега - де Вриза второго порядка (1.71) в этом случае имеют вид:
Хотя все выражения имеют достаточно сложный вид даже при учете приближений Буссинеска и твердой крышки, некоторые выводы могут быть сделаны без решения конкретной задачи. Так, при симметричной относительно половинной глубины форме профилей частоты Вяйсяля - Брента N(z) и скорости сдвигового течения U(z) линейная первая мода Ф(г) и дисперсионная поправка к ней TJz) оказываются также симметричными, а нелинейная поправка T„(z) -антисимметричной, вследствие чего при этом обращаются в ноль коэффициент квадратичной нелинейности (1.74) и коэффициенты нелинейной дисперсии (1.79) и (1.80). 1.5. Уравнение Кортевега - де Вриза второго порядка и его асимптотическая интегрируемость
Уравнение Кортевега - де Вриза, основное уравнение слабонелинейной теории, получаемое в первом порядке при разложении в рад по малым параметрам нелинейности и дисперсии, имеет вид (1.57)1. Это уравнение, как известно, интегрируемо, обладает бесконечным числом сохраняющихся интегралов и N-солитонными решениями [Захаров и др., 1980; Лэм, 1983; Newell, 1985]; при этом его односолитонное решение записывается так: ( і л А(Х,Т) = = a sech2 \ш (X VT) V = c сса (1.82) где а - произвольная амплитуда волны. Как видно из (1.82), полярность солитона (знак а) зависит от знака коэффициента квадратичной нелинейности а.
В случаях, когда необходимо учитывать эффекты высших порядков, асимптотический ряд можно продолжать и записывать обобщения уравнения Кортевега - де Вриза. Такие уравнения позволяют описывать более крутые и более короткие волны с большей амплитудой, чем уравнение Кортевега - де Вриза, то есть границы применимости теории несколько расширяются.
Во втором порядке теории возмущений мы получили обобщение уравнения Кортевега - де Вриза (1.57), имеющее вид (1.71) и содержащее члены кубической нелинейности и члены дисперсии второго порядка и нелинейной дисперсии. В общем случае уравнение (1.71) не обладает свойством интегрируемости, однако его специальный случай с коэффициентами, подчиняющимися условиям (мы не обсуждаем здесь тип стратификации, приводящий к таким условиям): Гі+Г2=30Д Щ=ЪП (1.88)
Модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза и уравнение Гарднера первого порядка
Как было показано в Главе 1, коэффициенты нелинейного эволюционного уравнения для волн в стратифицированных потоках со свободной поверхностью определяются интегралами от выражений, включающих линейную функцию моды (которая является решением задачи на собственные значения (1.46)), а также нелинейных и дисперсионных поправок к ней (которые находятся решением неоднородных краевых задач вида (1.60) и (1.61) для поправок второго порядка). Фазовая скорость с линейной волны также находится как собственное значение задачи (1.46). Таким образом, чтобы рассчитать коэффициенты уравнения (1.72) при заданных стратификациях плотности и течения, нам необходимо прежде найти решение указанной задачи на собственные значения, что само по себе не является тривиальным и требует обсуждения.
Аналитическое решение краевой задачи (1.46) в некоторых случаях может быть найдено для слоистых стратификации плотности и течения, когда в каждом слое уравнение (1.46а) имеет постоянные коэффициенты. Однако нахождение собственных значений и соответствующих собственных функций краевых задач типа (1.46) с переменными коэффициентами, возникающих в теории волн в стратифицированных потоках, чаще всего осуществляется с помощью численных методов, так как возможности аналитических решений для этих задач ограничены.
Наиболее популярным здесь является метод «стрельбы» [Press et al. 1992]. Суть его заключается в том, что при известных граничных условиях выбирается какое-то начальное условие, которое заставляют удовлетворять одному из граничных условий. Затем, задавая пристрелочный параметр (в случае задачи (1.46) - значение фазовой скорости с), решается задача Копій (дифференциальное уравнение плюс выбранные нами начальные условия) и находится функция Ф (у) вообще говоря, не удовлетворяющая другому граничному условию. На этой границе вычисляется невязка Ф (у) - Ф(у)\ и далее "пристрелочный" параметр варьируется так, чтобы свести эту невязку к минимуму. Другой метод - это матричный метод решения краевых задач. Этот метод заключается в приведении дифференциального уравнения к алгебраической матричной системе с помощью разложения всех компонентов уравнения в ряды Фурье по некоторой полной ортогональной системе функций. Задача при этом сводится к задаче на нахождение собственных значений и собственных векторов матричного уравнения с последующим нахождением структуры искомой функции Ф(у).
Наконец, может быть предложен специальный метод нахождения частных решений краевой задачи для непрерывно стратифицированных потоков, которые затем могут быть использованы для тестирования численных решений. Метод заключается в следующем: задавая функцию структуры моды Ф(у), удовлетворяющую граничным условиям и условию нормировки, и профиль плотности ро(у), можно найти структуру профиля скорости течения в океане: U(y)=c±J-i (2.1) \ podO/dy Например, если задать параболическую функцию структуры моды: (У) = У(Н-У) (2.2) Я и постоянную частоту плавучести N (у) = No, то (в условиях приближений Буссинеска и твердой крышки) профиль скорости течения, согласно (2.1), будет иметь вид: U(y) = c± 3(H2+2Hy-2y2). (2.3) о Пример расчета функции U(y) (2.3) при Н = 500 м, Л/о—0.008 с"1, с = 2.0 м/с показан на рисунке 2.1. Функция моды (2.2) показана на следующем рисунке 2.2.
Такие частные решения удобно использовать в качестве теста для различных численных методов решения краевой задачи. Кроме этого, зная ряд таких частных решений, можно использовать их для приближенного решения краевой задачи, когда профиль течения близок к одному из модельных.
На примере профиля скорости течения (2.3) с определенными выше параметрами, проведем сравнение расчетов функции первой моды Ф(у) и соответствующей ей фазовой скорости с методом стрельбы и матричным методом. При решении методом стрельбы допустимая невязка на верхней границе жидкости задавалась равной 1 10"6. Задача Коши решалась методом Рунге-Кутта пятого порядка. Рассчитанная функция моды вместе с теоретическим образцом (2.2) изображена на рисунке 2.2а (кривые практически неразличимы). При этом точность определения фазовой скорости с составила 2-Ю" , так что вычисленное значение с = 1.9999980 м/с. При решении матричным методом в качестве полной системы ортогональных функций использовалась система синусов с пространственным периодом, кратным глубине жидкости [Соболева, 2001]. При этом использовалась матрица десятого порядка, то есть при разложении функции моды в ряд мы ограничились его первыми десятью членами. Результат расчета модальной функции показан на рисунке 2.26 вместе с параболой (2.2). Разница между кривыми составляет несколько процентов. Фазовая скорость здесь определяется с точностью до 3-Ю" . Точность матричного метода можно повысить, увеличивая размер используемой матрицы, однако соответственно возрастают вычислительные затраты.
В дальнейших расчетах для численного нахождения функции моды будет использоваться главным образом метод стрельбы как более экономичный в плане используемого времени.
Рассмотрим систему двух жидкостей, ограниченную снизу неподвижным горизонтальным дном, а сверху - свободной поверхностью (рисунок 2.3). Плотности нижнего и верхнего слоев равны р\ и р2 (pi р2 для обеспечения устойчивости), а соответствующие глубины слоев равны h и Н - h, Н - полная глубина жидкости. Мы также включаем в модель сдвиговое течение, считая, что верхний слой движется с постоянной скоростью Uo Этот случай без сдвигового течения и в приближении твердой крышки был подробно рассмотрен в работе [Коор & Butler, 1981], где были получены все коэффициенты второго порядка расширенного уравнения Кортевега - де Вриза (1.71), и решения этого уравнения сравнивались с уединенными внутренними волнами, полученными в результате лабораторных экспериментов.
Для такой модели стратификации параметр Буссинеска определяется выражением а = 2(р]-р2)/(р1+р2), (2.4) а функция вертикальной структуры волны легко находится из задачи (1.46): Г ylh, 0 y h [(у + т- п)/т, п у Н где т = O{C-UQ) +h-Н, a = JIg. Фазовая скорость с линейной волны является решением уравнения четвертой степени: -с2(с-Щ)2а(2 + а) + с2(2 + сг)(Н-h)+(c-U0)2А(2 + а) -2gh(H-h) = 0 (2.6) и может быть выражена в полуявной форме: с2 = (2 + a)(H-h + (l-u)2h)-jD 2(1-и)2а(2 + а) где D = (2 + j){(2 + r)(H-h + (\-u)2h)2 -Щ-и)2ah(H-h)j, и = U01 с - относительная скорость сдвигового течения. Структура функции моды (2.5) при h = 0.4 Н и различных значениях относительной скорости течения W = {/O/CH относительной плотности г = р\ I рг показана на рисунке 2.4. Фазовая скорость (2.7), отнесенная к со = -JgH , как функция относительной толщины нижнего слоя h І Я для различных значениях параметров и иг приводится на рисунке 2.5. Видно, что с увеличением значения г (то есть с увеличением разницы плотностей) фазовая скорость падает, а с ростом скорости течения волна, как и ожидалось, ускоряется.
Волновая динамика в рамках уравнения Гарднера второго порядка
Очевидно, что при таких симметричных и близких к ним стратификациях стандартное масштабирование уравнения Кортевега - да Вриза (т.е. соотношение между малыми параметрами нелинейности и дисперсии є = Д), применявшееся нами в Главе 1, требует модификации t? = J2 для учета дисперсионных и нелинейных эффектов в одном порядке, и должна возрастать роль следующих по нелинейности членов в асимптотическом разложении волнового поля.
Модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (3.1) является интегрируемым и решается методом обратной задачи рассеяния [Ablowitz & Clarkson, 1991]. Его решение в виде уединенной волны (на нулевом пьедестале) существует лишь при щ 0 и имеет вид: \аха {X-VT) ( I—Г \ А(Х,Т) = a sech ща V =с+ J (3.2) где а - произвольная по величине и знаку амплитуда волны. Полярность солитона может быть любой и не зависит от параметров уравнения. При а\ О солитонные решения существуют только на ненулевом пьедестале, но существуют стационарные решения в виде бездиссипативных ударных волн [Grimshaw, Pelinovsky, Talipova, 1997]. Известны также другие элементарные возмущения в рамках модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза (3.1) при а\ 0 - бризеры, или "осциллирующие пульсирующие солитоны". Начальная задача для этого уравнения с положительной кубической нелинейностью изучена в работе [Clarke et al., 2000], где обсуждаются условия трансформации исходного волнового поля в солитоны или бризеры.
Уравнение (3.1) применимо для внутренних волн в симметричной трехслойной жидкости (см. 2.6). Влияние течения в такой модели приводит к изменению длительности солитона модифицированного уравнения Кортевега -де Вриза (3.2): длина его уменьшается на попутном течении и возрастает на встречном.
В случаях, когда коэффициент квадратичной нелинейности мал, но не равен нулю, применяется уравнение Гарднера, которое записывается в следующем виде: дА ( \дА д А — + \с + єаА + є2а,А2)— + Ш—г = 0, (3.3) дТ l JdX ЪХЪ Решение этого уравнения в виде уединенной стационарной волны легко находится в явном виде: А(Х,Т)= А \ + Bch{r{X-VT)Y (3.4) а І6(5 1 + В 6 где Ї/Г - эффективная ширина солитона, и а - амплитуда солитона. Любой из этих параметров может считаться свободным. Оказалось, что коэффициент кубической нелинейности может иметь различный знак для различных профилей стратификации жидкости [Grimshaw, Pelinovsky, Talipova, 1997; Талипова и др., 1999]. В случае отрицательной из кубической нелинейности полярность солитона (3.4) определяется знаком коэффициента квадратичной нелинейности а, в частности, в двухслойной модели солитон представляет собой впадину, если пикноклин расположен близко к поверхности, и горб, если пикноклин находится близко к дну. Важно подчеркнуть, что амплитуда солитона не может превышать (по модулю) предельного значения аХ\т С3-5) щ а его форма при этом стремится к прямоугольной (рисунок 3.1а), при приближении к предельной высоте солитон бесконечно уширяется.
Если кубическая нелинейность (а{) положительна, то солитонное решение уравнения (3.1) формально не содержит ограничений на амплитуду волны. Физически же таким ограничением является малость нелинейных и дисперсионных поправок к скорости волны, приводящих к сходимости асимптотического ряда. Интересно отметить, что решение (3.4) с отрицательными значениями параметра В также возможно, оно соответствует солитону противоположной полярности, однако такой солитон возможен, если его амплитуда (по модулю) больше 2\ос/а\\. Таким образом, при малой амплитуде солитон имеет только одну полярность (определяемую знаком a), a при большой амплитуде его полярность может быть любой. Структура солитонов при положительной кубической нелинейности иллюстрируется рисунком 3.16.
Уравнение Гарднера (3.3) явилось предметом исследований многих авторов [Kakutani & Yamasaki, 1978; Miles, 1979, 1981] и продемонстрировало сильно нелинейные эффекты, не описываемые классическим уравнением КдВ [Grimshaw, Pelinovsky, Talipova, 1999; Слюняев & Пелиновский, 1999; Слюняев, 2001; Grimshaw et al, 2002]. В частности, получено распространение солитонов по гребню близкого к предельному «широкого» солитона, формирование двух цугов солитонов различной полярности на начальной стадии разрушения запредельного импульсного возмущения, при этом «широкий» солитон играет роль пьедестала. Начальное возмущение прямоугольной формы оказалось топологически особенным для задачи Коши в рамках этого уравнения: ее решение сильно различается для прямоугольного и гладкого начального импульса. Существование «широкого» солитона и возможность распространения по нему других солитонов были подтверждены в рамках более общих нелинейных моделей [Miyata, 1988, 2000; Mirie & Pennell, 1989; Michallet & Barthelemy, 1998; Rusas & Grue, 2002].
Коэффициент кубической нелинейности оказывается отрицательным при любых значениях параметров для двухслойного потока (см. 2.3), следовательно, уединенные волны в такой системе ограничены по амплитуде (в рамках модели Гарднера). Зависимость предельной амплитуды (3.5) солитона уравнения Гарднера от положения пикноклина для двухслойного потока представлена на рисунке 3.2. Как видим, попутное течение увеличивает предельную амплитуду солитона, если пикноклин смещен в сторону дна, и уменьшает ее, если пикноклин у поверхности. Максимально амплитуда солитона, согласно рисунку 3.2, может увеличиться до половины полной глубины бассейна, и здесь встает вопрос о применимости описанной теории, основанной на введении малых параметров. Легко видеть из (3.3), что нелинейная поправка к скорости волны характеризуется параметрами: аА/с и ctiA2/c, которые в случае предельного солитона становятся равными друг другу: c?/(ct\c), и это значение должно быть малым в рамках асимптотической теории. Если принять его равным 0.3, то слабонелинейная теория справедлива при положении пикноклина в пределах (0.35 - 0.65)-Н (в отсутствие течения) и максимальная амплитуда солитона не будет превышать 0.15-Я. При глубине прибрежной зоны океана в 100 - 200 м, такие предельные солитоны в 15 - 30 м вполне могут быть описаны развиваемой теорией.
