Содержание к диссертации
Введение
1. Математическая модель движения идеальной сжимаемой жидкости с образование разрывов 15
1.1. Основные уравнения математической модели 15
1.2. Вихревое движение 25
1.3. Кинематика и геометрия поверхностей в пространстве 30
2. Изучение поведения вектора вихря скорости за стационарными ударными и детонационными волнами, расположенными в сверхзвуковом неоднородном потоке горючего газа 38
2.1. Плоскопараллельные и осесимметричные незакрученные установившиеся движения газа 38
2.2. Осесимметричное закрученное установившееся движение газа 46
2.3. Фронт детонации общего вида 51
2.4. Поведение завихренности в зависимости от угла наклона касательной для течений с постоянными параметрами 57
3. Изучение поведения вектора вихря скорости в сверхзвуковом неоднородном закрученном потоке горючего газа за движущейся ударной или детонационной волной. Возможность распространения детонационных волн во вращающихся потоках в режиме Чепмена-Жуге 67
3.1. Одномерные неустановившиеся движения газа 67
3.2. Возможность распространения детонационных волн во вращающихся потоках в режиме Чепмена-Жуге 74
3.3. Плоскопараллельные и незакрученные осесимметричные неустановившиеся движения газа 88
3.4. Осесимметричные закрученные неустановившиеся движения газа 98
4. Изучение параметров течения за ударной и детонационной волной заданной формы в однородном сверхзвуковом потоке горючего газа 106
4.1. Изучение поведения параметров течения в зависимости от угла наклона касательной к поверхности разрыва 106
4.2. Исследование параметров течения и завихренности за ударной и детонационной волной заданной формы, находящейся в сверхзвуковом потоке горючего газа 119
Заключение. Основные результаты 148
- Вихревое движение
- Осесимметричное закрученное установившееся движение газа
- Возможность распространения детонационных волн во вращающихся потоках в режиме Чепмена-Жуге
- Исследование параметров течения и завихренности за ударной и детонационной волной заданной формы, находящейся в сверхзвуковом потоке горючего газа
Введение к работе
В работе рассматриваются течения газа со сверхзвуковой скоростью, в которых возникают разрывы в пространственном распределении параметров среды. Изучается завихренность потока за стационарными и нестационарными ударными и детонационными волнами, которые возникают в сверхзвуковых неоднородных потоках горючего газа.
Проблема является актуальной, поскольку задача о сверхзвуковом взаимодействии вихревого течения с ударной волной является одной из классических в теоретической газовой динамике и ей посвящено достаточно много как теоретических, так и экспериментальных работ. Эти проблемы имеют важное прикладное значение, так как они лежат в основе ряда технических приложений. Взаимодействие сверхзвукового вихревого потока с ударными волнами встречается в ряде аэродинамических задач связанных с полетом ракет и самолетов, в камерах сгорания ракетных двигателей и так далее. Таким образом, задача по изучению завихренности потока за ударными или детонационными волнами, возникающими в сверхзвуковом потоке горючего газа, имеет важное теоретическое и прикладное значение.
Выражение для вихря за искривленной стационарной ударной волной для течений с постоянными параметрами было впервые получено К. Трусделом в 1952 году [1]. Позже выражение для вихря было получено другими авторами, которые не были знакомы с работой К. Трусдела. М. Лайтхилл (1957) [2] распространил этот результат на произвольный искривленный скачок, получив выражение для вихря непосредственно за скачком через главные кривизны поверхности ударной волны, в предположении, что ударная волна имеет бесконечную интенсивность.
В работе [3] У.Д. Хейз (1957) получил обобщенную формулу для завихренности с помощью рассуждений, в которых не используются условие постоянства полной энтальпии и формула Крокко для вихря. В работах [4,5] были получены формулы для компонент вектора вихря за ударной волной любой интенсивности при постоянных значениях параметров набегающего
потока, которые совпадают с формулами для вихря, полученными М. Лайтхиллом.
Так в работе [4] Г.И. Майкапаром (1968) получены формулы для вектора вихря скорости за головной ударной волной. Для нахождения величины вихря на поверхности разрыва была введена ортогональная криволинейная система координат, где одна криволинейная координата отсчитывалась по нормали, а две другие отсчитывались вдоль главных линий кривизны. При исследовании величины завихренности Майкапаром показано, что интенсивность вихря растет с увеличением числа Маха. Так же им показано, что вихри концентрируются в областях большой кривизны ударной волны.
Чуть позже В.В. Русанов (1973) в своей работе [5], вычисляя связь между формой ударной волны и производными газодинамических функций за ее фронтом, вывел ту же формулу для завихренности, что ранее была получена в работах [1—4].
В работе [6] приведены численные расчеты взаимодействия сверхзвукового продольного вихря с наклонной ударной волной. Выявлено три режима взаимодействия: слабый, умеренный и сильный. Численно показано, что при сильном и умеренном взаимодействии возможно расщепление вихря на ударной волне. При сильном взаимодействии форма фронта ударной волны существенно отличается от прямолинейной. Данные численные исследования подтверждают экспериментальные работы I.M. Kalkhoran [7-9], а так же аналогичные численные исследования [10-13]. Результаты, изложенные в диссертации, предполагают наличие одновременно вихревого потока и поверхности разрыва в потоке. Поэтому полученные результаты справедливы как для сильного, так и для слабого взаимодействия вихря с ударной волной.
В работе [14] с использованием лагранжевого подхода получены формулы для обобщенного вектора вихря. Рассматривается модель адиабатического движения газа, неоднородной несжимаемой жидкости и
идеальной магнитной гидродинамики. В этой работе получен закон сохранения обобщенного вектора вихря на ударных волнах для плоского вихревого течений.
В данной работе определяется завихренность непосредственно за ударной или детонационной волной находящейся в вихревом сверхзвуковом потоке. Завихренность определяется для одно-, двух-, и трехмерных течений. Г. Эммонсом [15] было произведено подобное исследование для разного типа стационарных волн горения в несжимаемой жидкости.
Отличие от предыдущих работ заключается в том, что в данной работе рассматривается не только ударные, но и детонационные волны. Завихренность определяется как для стационарных, так и для нестационарных поверхностей разрыва. При этом набегающий поток является вихревым.
Как уже говорилось ранее, в данной работе завихренность изучается не только за ударными, но, главным образом, за детонационными волнами. Термин детонация (франц. detoner — взрываться, от лат. detono — гремлю) возник, когда около 1880 г. ряд французских физиков, главным образом Вьей, Малляр, Ле Шателье и Вертело, начали производить опыты над распространением пламени. Они нашли, что при обычных условиях пламя в трубе, которая наполнена горючей газообразной смесью, поджигаемой в конце, распространяется с небольшой скоростью, порядка нескольких метров в секунду. Но при некоторых обстоятельствах медленный процесс горения переходит в очень быстрый процесс, распространяющийся с огромной скоростью, около 2000 м/с или больше. Этот быстрый процесс сгорания был назван детонацией. Естественно, что странный факт наличия двух скоростей распространения горения (часто встречающийся не только у газов, но и у твердых взрывчатых веществ) требует теоретического объяснения. Очень простое и убедительное объяснение было дано в 1899 г. Чепменом и независимо от него в 1905 г. Жуге. Они предположили, что химическая реакция происходит мгновенно, другими словами, что имеется резкий фронт,
бегущий по несгоревшему газу и сразу превращающий его в сгоревший. Очевидно, что переход через такой фронт аналогичен переходу от несжатого газа к сжатому во фронте ударной волны. Единственная разница между ударным и детонационным переходом состоит в том, что химическая природа сгоревшего газа отличается от природы несгоревшего и что реакция влияет на энергетический баланс [16-18].
Принято различать два режима возникновения детонации в газе [19]:
- жесткий режим прямого инициирования детонации без
промежуточной стадии ускорения пламени;
- мягкий режим перехода горения в детонацию при ускорении пламени.
Жесткий режим возбуждения детонации связан с наличием мощного
источника инициирования, например в форме взрыва заряда взрывчатого вещества. Размеры заряда, достаточные для жесткого возбуждения детонации, зависят от вида горючего, типа окислителя и состава смеси. Характерные значения заряда тротила минимального веса, инициирующего детонацию смесей некоторых горючих газов с воздухом, можно найти в [20-22].
Характер развития течения, а в конечном итоге реализация того или иного режима горения, зависит от начального состава [23, 24] и состояния среды [25], от способа инициирования [24,26 - 29] и количества подведенной энергии [24, 26, 27, 29-31], от условий, в которых происходит инициирование [32 — 35].
Впервые задача о распространении детонации от поджигающего источника в однородном окружающем пространстве была поставлена О.Е. Власовым (1937), который показал, что задача является автомодельной, и получил соответствующее уравнение [36].
Наиболее общий подход к анализу задач о распространении волн детонации или горения от поджигающего источника на основании теории размерности был развит Л.И.Седовым (1945) [37, 38]. Л.И.Седовым в 1945 г. были впервые исследованы в общем виде все возможные
автомодельные движения со сферической и цилиндрической симметрией и дано решение многих конкретных задач (о сферическом и цилиндрическом поршне, о сходящихся и расходящихся потоках и других), в том числе задача о сильном точечном взрыве [38].
В однородном взрывчатом веществе детонация обычно распространяется с постоянной скоростью, которая среди возможных для данного вещества скоростей распространения детонационной волны является минимальной. Детонация, отвечающая указанным выше условиям, называется процессом Чепмена-Жуге; соответствующая ей минимальная скорость распространения принимается в качестве характеристики взрывчатого вещества [39]. При определённых условиях во взрывчатом веществе может быть возбуждена детонация, скорость распространения которой превышает минимальную скорость детонации. Так, взрыв заряда твёрдого взрывчатого вещества, помещённого в газообразную взрывчатую смесь, порождает в смеси ударную волну, интенсивность которой во много раз превосходит интенсивность волны, отвечающей режиму с минимальной скоростью. В результате в газовой смеси распространяется детонационная волна с повышенной скоростью. В этой волне, в отличие от процесса Чепмена-Жуге, зона химической реакции движется относительно продуктов реакции с дозвуковой скоростью. Поэтому по мере удаления такой волны от места её возникновения ударная волна постепенно ослабевает (сказывается влияние волн разрежения) и скорость распространения детонации снижается до минимального значения [40].
Детонационную волну с повышенной скоростью распространения можно также получить в неоднородном взрывчатом веществе при движении волны в направлении убывающей плотности. Ещё одним примером распространения детонации со скоростью, превышающей минимальное значение, может служить сферическая детонационная волна, сходящаяся к центру. Скорость волны с приближением к центру возрастает. В центре такая
волна в течение короткого интервала времени создаёт давление, во много раз превышающее величину, характерную для режима Чепмена-Жуге [41].
В решении задач о распространении волн детонации необходимо выделить случай, когда осуществляется режим Чепмена-Жуге. Этот режим интересен тем, что в ряде практически важных задач детонационная волна с момента возникновения имеет скорость волны Чепмена-Жуге или, по мере удаления от места инициирования, асимптотически стремится к этому режиму.
В результате решения краевой задачи движения плоской волны детонации от поджигающего источника А.А. Гриб (1939) показал, что волна обязательно должна распространяться в режиме Чепмена-Жуге (Ч.-Ж.), тем самым был получен ответ на вопрос о выборе ее скорости [42].
Я.Б. Зельдовичем (1940) была глубоко и всесторонне развита теория детонационной волны [43]. Детально рассмотрев структуру фронта детонационной волны и процессы, происходящие в нем, Зельдович впервые объяснил и строго доказал определенность скорости детонации в условиях обычного опыта [44]. Зельдович, одним из первых дал в 1942 г. строгое решение задачи о сферической детонации и пришел к выводу, что и в этом случае волна детонации так же распространяется в режиме Ч.-Ж. [45].
В работах В.А.Левина, Г.Г.Черного (1967, 1976) показано, что в отличие от ударных волн, плоская пересжатая волна детонации стремится в бесконечности к асимптоте г — Dj(t — t0} = const, где Dd — скорость
распространения волны Ч.-Ж., г — координата, вдоль которой распространяется волна, / — время. А переход цилиндрической или сферической сильной детонационной волны в волну Ч.-Ж. может происходить вообще на конечном расстоянии от места инициирования [46 — 48].
Детальный анализ структуры течения в окрестности точки перехода показал, что за точкой перехода волна распространяется в режиме Ч.-Ж. За
ней формируется область автомодельного течения, как если бы волна с самого начала распространялась в режиме Ч.-Ж. [48].
В одномерной постановке (плоская, цилиндрическая и сферическая симметрия) решение задачи подробно изучено; найдено, что в однородных средах режим Ч.-Ж. может осуществляться только в расходящейся волне [38, 40, 45, 49], сходящиеся же детонационные волны при приближении к центру симметрии ускоряются [50 - 52], то есть режим Чепмена-Жуге невозможен.
Аналогичные результат получен в работе [53] для детонационной волны имеющей вид произвольной достаточно гладкой поверхности в пространстве. В работе показано, что детонационная волна может распространяться в однородной среде в режиме Ч.-Ж. только при условии выпуклости этой поверхности в сторону движения волны, т.е. волна должна расширяться с течением времени.
Ряд задач о распространении детонационной волны в неоднородных средах решен в работах [54 — 57]. Изучались как расходящиеся, так и сходящиеся детонационные волны. В частности, показано, что в однородной среде сходящиеся цилиндрические и сферические волны обязательно пересжатые [50, 58].
Трудности, возникающие при исследовании волн Ч.-Ж., заключаются в том, что поверхность волны в этом случае является огибающей характеристических поверхностей уравнений газовой динамики. Впервые это было отмечено в работе В.А. Левина, Г.Г. Черного (1967) [46].
Для произвольных систем квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка исследованы условия существования и определен вид асимптотического разложения решения в окрестности огибающей характеристических поверхностей, на которой заданы начальные значения функций (В.А. Левин, A.M. Свалов, 1978) [59].
Как и в случае произвольных волн детонации Ч.-Ж., в общем случае существует только два решения и оба по одну сторону огибающей
поверхности. Сходимость таких рядов доказана В.А. Куликовским (1985) [60].
Примером неодномерного распространения волн детонации в режиме Ч.-Ж. является решение задачи об инициировании волны вдоль полуплоскости. В этом случае от ребра полуплоскости формируется цилиндрическая волна Ч.-Ж., переходящая в плоскую волну. Особенностью этого течения является образование висячего скачка уплотнения в продуктах сгорания за цилиндрической частью волны детонации (В.А. Левин, А.М. Свалов, 1980) [36].
При инициировании волн детонации в средах с переменным тепловыделением, так же возможны различные режимы распространения (Э.И. Андрианкин, 1966; Я.Г. Сапунков, 1967) [55, 56].
Критерий, при выполнении которого волна может распространяться в режиме Ч.-Ж. в общем случае получен в работе А.А. Афанасьева, В.А. Левина [61]. Критерий получен для волны детонации распространяющейся в покоящейся горючей неоднородной смеси газов.
Остановимся еще на решении задач об обтекании тел горючим газом с образованием отсоединенной волны детонации. СМ. Гилинский, З.Д. Запрянов и Г.Г. Черный (1966) [62] и СМ. Гилинский и З.Д. Запрянов (1967) дали решения задач об обтекании сферы и цилиндра с отсоединенной детонационной волной. Интересной новой особенностью обтекания тел с волной детонации оказалось то, что при обтекании плоских контуров волна детонации, постепенно ослабевая при удалении от тела, в бесконечности переходит в волну Чепмена-Жуге; в случае же обтекания тела вращения переход сильной волны детонации в волну Чепмена-Жуге происходит на конечном расстоянии от тела. Аналитическое доказательство этого факта дано В.А. Левиным и Г.Г. Черным (1967, 1968) [46].
Настоящая диссертационная работа посвящена дальнейшему изучению поведения параметров газа за движущимися и стационарными ударными и детонационными волнами. Наряду с основными величинами,
определяющими движение газа (плотностью, скоростью и давлением), рассматривается так же завихренность движущегося потока.
Первая глава посвящена описанию моделей течений с разрывами. В первом параграфе вводятся основные уравнения математической модели движения газа с образованием ударных и детонационных волн, приводится постановка задачи для стационарных и нестационарных течений. Во втором параграфе данной главы описываются вихревые движения. Третий параграф посвящен кинематике и геометрии поверхностей в пространстве. В нем описывается криволинейная ортогональная система координат, которая вводится на поверхности разрыва. Приводятся основные формулы из дифференциальной геометрии, которые потом используются для нахождения компонент вектора вихря за поверхностью разрыва.
Вторая глава посвящена исследованию установившихся движений газа. Изучается поведения вектора вихря скорости за детонационной волной, расположенной в стационарном сверхзвуковом вихревом потоке горючего газа. Отличие от работ [1—5] заключается в том, что рассматриваются не только ударные, но и детонационные волны, так же рассматривается поток с отличной от нуля начальной завихренностью. В первом параграфе рассматриваются плоскопараллельные и незакрученные осесимметричные движения. Во втором параграфе рассматриваются осесимметричные закрученные движения. В третьем параграфе рассматривается фронт детонации общего вида. Набегающий поток является вихревым с заданным распределением параметров. В четвертом параграфе анализируется зависимость величины относительной завихренности от определяющих параметров задачи.
Третья глава посвящена исследованию распространения волн детонации в закрученных потоках газа. В первом параграфе данной главы рассматриваются одномерные нестационарные завихренные течения. Во втором параграфе данной главы рассматривается распространение осесимметричных детонационных волн во вращающихся неоднородных потоках газов, а так же
плоских волн в плоском сдвиговом течении. Решение ищется в виде разложение в ряд. Определено необходимое условие существования решения, соответствующее распространению волны в режиме Чепмена-Жуге. Причем, в отличие от работы [61], в которой исследовались незакрученные течения, в данной работе критерий ищется как для сходящихся, так и расходящихся волн детонации в закрученном потоке газа. В третьем параграфе третьей главы рассматриваются плоскопараллельные и осесимметричные незакрученные неустановившиеся движения газа. Определяется завихренность за движущейся детонационной искривленной волной, образующейся в неоднородном потоке горючего газа. В четвертом параграфе данной главы изучается поведение вектора вихря скорости в осесимметричном закрученном потоке на движущейся поверхности разрыва, возникающей в неоднородном потоке горючего газа.
Четвертая глава посвящена исследованию параметров течения -давления, плотности, скорости и завихренности непосредственно за двумерной криволинейной стационарной волной детонации при постоянных значениях параметров набегающего потока. В первом параграфе данной главы рассматривается распределение параметров относительно угла наклона касательной к волне детонации. Течение исследуется в пределах: aj <а<7г/2, где 0Cj — угол наклона касательной к волне в точке перехода
волны в режиме Чепмена-Жуге. Параметры течения исследуются при различных значениях числа Маха набегающего потока и при различных значениях тепловыделения. Производится сравнение параметров течения для ударных и детонационных волн. Так же в данном параграфе данной главы исследуются параметры течения в режиме Чепмена-Жуге. Во втором параграфе данной главы изучается поведение давления, скорости, плотности и завихренности на поверхности разрыва, расположенной в сверхзвуковом, однородном потоке горючего газа. Поверхность разрыва рассматривается заданной формы.
Заключение содержит краткий обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [63 — 69].
В главах принята тройная нумерация формул и двойная нумерация рисунков. Первая цифра в номере формулы обозначает номер главы, вторая -номер параграфа, третья - порядковый номер формулы в параграфе. Первая цифра в номере рисунка обозначает номер главы, на протяжении каждой главы нумерация рисунков сквозная.
Выражаю благодарность своему научному руководителю д-ру физ.-мат. наук, профессору, академику Левину Владимиру Алексеевичу за постановку задачи, научное руководство и постоянный контроль, а так же моральную поддержку и взаимопонимание, которые создавали творческие условия для работы.
Вихревое движение
Как уже говорилось ранее, основная цель данной работы — изучение завихренности потока за ударными и детонационными волнами. Вихревым движением называется такое движение жидкости или газа, при котором их малые элементы (частицы) перемещаются не только поступательно, но и вращаются около некоторой мгновенной оси. Подавляющее большинство течений жидкости и газа, которые происходят в природе или осуществляются в технике, представляет собой вихревое движение. Например, движение воды в трубе всегда является вихревым движением. Вращение элементарных объёмов обусловлено здесь тем, что на поверхности стенки из-за прилипания жидкости скорость её равна нулю, а при удалении от стенок быстро возрастает, так что скорости соседних слоев значительно отличаются друг от друга. В результате тормозящего действия нижнего слоя и ускоряющего действия верхнего возникает вращение частиц, т. е. имеет место вихревое движение. Примерами вихревого движения являются: вихри воздуха в атмосфере, которые часто принимают огромные размеры и образуют смерчи и циклоны; водяные вихри, которые образуются сзади устоев моста; воронки в воде реки и т.д. [81]. Количественной мерой завихренности служит вектор co = —rotV, где V— скорость жидкости; со называют вектором вихря или просто завихренностью. Вектор со зависит от координат точки в потоке и от времени. Если со = О в некоторой области течения, то в этой области течение безвихревое или потенциальное. [82] Если уравнение импульсов (1.1.1) представить в форме Громеки-Лэмба при отсутствии внешних массовых сил, то для установившегося движения оно имеет вид [85]: Это уравнение указывает явно на связь завихренности установившегося движения с градиентами энтропии S и полного теплосодержание h в потоке. Движение будет безвихревым, если энтропия и полное теплосодержание газа одинаково на всех линиях тока (исключение составляют так называемые винтовые движения, у которых вектор скорости и вектор вихря в каждой точке коллинеарны; этот специальный класс течений изучал И.С. Громека).
В общем случае энтропия и полная энтальпия постоянны на каждой линии тока, но могут меняться от одной линии тока к другой. Поскольку S изменяется скачком при переходе через поверхность разрыва, вихрь т, вообще говоря, таюке терпит разрыв. Изменение энтропии за ударной или детонационной волной приводит к образованию завихренности. (Ударная или детонационная волна, огибающая тело, сильно искривлена, поэтому в течении за ней наблюдаются большие поперечные градиенты энтропии. В соответствии с формулой Крокко для вихря это течение будет также сильно завихренным) [86]. Это справедливо и для нестационарных ударных волн. Выражение для вихря за искривленной стационарной ударной волной для течений с постоянными параметрами было впервые получено К. Тру сд ел ом [1]: где со — интенсивность вихря за ударной волной, которая определяется формулой: Здесь U- скорость набегающего потока, є=—, о — угол наклона скачка. Завихренность, вызванная искривленным скачком, очевидно, сильно зависит от величины є. В точке, где скачок является прямым (cos а— 0), интенсивность вихря равна нулю. Позже это выражение для вихря было получено другими авторами, которые не были знакомы с работой К. Труздела. М. Лайтхилл [2] распространил этот результат на произвольный искривленный скачок, получив выражение для вихря непосредственно за скачком через главные кривизны поверхности ударной волны, в предположении, что ударная волна имеет бесконечную интенсивность: Здесь ка,кь — главные кривизны, оа,иь — тангенциальные компоненты скорости. Таким образом, М. Лайтхилл получил, что компонента вихря в одном из двух основных направлений кривизны поверхности скачка равна кривизне в перпендикулярном направлении, умноженной, с одной стороны, на тангенциальную компоненту скорости в перпендикулярном направлении, и, с другой стороны, на множитель є 1(є-і) , который представляет значительную величину. В работе [3] У.Д. Хейз получил обобщенную формулу для завихренности с помощью рассуждений, в которых не используются условие постоянства полной энтальпии и формула Крокко для вихря. В работах [4, 5] были получены формулы для компонент вектора вихря за ударной волной любой интенсивности при постоянных значениях параметров набегающего потока, которые совпадают с формулами для вихря полученными М. Лайтхиллом. Подобные результаты получаются для двумерного или осесимметричного потока; эти случаи проще, так как компонента скорости в одном из двух основных направлений искривления обращается в нуль. Всеми этими авторами рассматривался вихрь за стационарной ударной волной при постоянных значениях набегающего потока.
В работе [15] Г. Эммонс определил вихрь, порожденный плоским фронтом пламени общего вида в несжимаемой жидкости, когда набегающий поток является завихренным: где со0 — завихренность набегающего потока, R0 — радиус кривизны линии тока в несгоревшей смеси, щ — скорость набегающего потока, s — координата вдоль линии тока. Таким образом, чтобы найти вихрь в продуктах сгорания по известному вихрю в исходной смеси, необходимо умножить последний на є (здесь = const) и вычесть затем некоторую величину, зависящую от кривизны линии тока в несгоревшей смеси и от скорости расширения трубок тока. Отличие данной работы от указанных выше исследований заключается в том, что в ней рассматриваются как ударные, так и детонационные волны, которые в перечисленных выше исследованиях не рассматривались. В данной работе определяется завихренность не только за криволинейными стационарными, но и за нестационарными детонационными и ударными волнами, распространяющимися в сжимаемом газе, в случае, когда набегающий поток является вихревым. В дальнейшем для нахождения компонент вектора вихря нам понадобится ввести на поверхности разрыва криволинейную ортогональную систему координат, связанную с волной. Если - поверхность ударной или детонационной волны является неподвижной, тогда в декартовой системе координат ее уравнение можно записать в виде где у1, у2- криволинейные координаты на поверхности, хг,х2,х3 — координаты в декартовой системе. Векторы с координатами dxtldya =xia (а = 1,2) являются векторами, касательными к поверхности Е. Ковариантные компоненты метрического тензора поверхности определяются из уравнения: Здесь и в дальнейшем принято суммирование по повторяющимся индексам, латинские индексы принимают значение 1, 2, 3, греческие -1,2. Выражение gaf}dyadyp = g (dyl) + 2gndyldy2 + g22(dy2) = (dl)2 называют обычно первой квадратичной формой (или римановой метрикой) на поверхности. Так как необходимым и достаточным условием ортогональности системы криволинейных координат является то, чтобы выражение (dl)2 содержало только члены с квадратами дифференциалов, т.е. члены с {dy") , то дифференциал любой дуги в ортогональной системе координат складывается следующим образом: Из ковариантных компонент метрического тензора можно получить контрвариантные компоненты gaP, так что линейных уравнений для определения компонент gap по известным компонентам gau. В случае ортогональной системы координат, когда метрический тензор представляет собой диагональную матрицу, для контрвариантных компонент метрического тензора справедливо.
Осесимметричное закрученное установившееся движение газа
В данном параграфе рассмотрим завихренность в сверхзвуковом неоднородном осесимметричном закрученном (w0 0) потоке за ударной или детонационной волной. Движение газа в этом случае будет описываться системой уравнений (1.1.10). Распределение параметров перед поверхностью разрыва задается с помощью (1.1.13). Вектор вихря 2co=rotV в цилиндрической системе координат имеет компоненты (1.2.6). Так как д1д(р-0,то вектор вихря будет следующим На поверхности разрыва выполняются законы сохранения массы, импульса и энергии (1.1.11), (1.1.12). На поверхности разрыва выполняются геометрические условия совместности (2.1.7), в которых, s - натуральный параметр на кривой, которая расположена на поверхности разрыва вдоль меридионального сечения плоскостью ф = const, vr,vx - компоненты единичного вектора нормали к поверхности направленного в сторону течения за фронтом, тг, тх — компоненты единичного касательного вектора к поверхности разрыва r = rs, Формулы (2.1.5) — (2.1.14) остаются справедливыми и в данной задаче. Используя условия (2.1.7) и то, что касательные составляющие скорости не изменяются при переходе через поверхность разрыва (1.1.12), найдем выражение для компонент вектора вихря (2.2.1) непосредственно перед и за волной при г = R(x) {R(x) - уравнение поверхности разрыва): завихренность непосредственно перед волной: В эти выражения для компонент вектора вихря входят производные компонент скорости газа по нормали и вдоль естественной координаты. Производные по нормали определяются из уравнений движения (1.1.10): Подставив выражения для производных по нормали (2.2.4), (2.2.5) в (2.2.2), (2.2.3), получим выражения для компонент вектора вихря перед волной в следующем виде: и с учетом соотношений на скачке (1.1.11) получим выражения для вихря за волной: 2% = -Pj(p»n)+vx ll{rvn)-o0TSи0т/ия -vns Разложим вектор завихренности на нормальную соп и касательные составляющие сот,а 9: перед волной: При переходе через поверхность разрыва нормальная компонента скорости остается непрерывной функцией. Также для данного класса течений выполняется закон сохранения величины оэт/р при любых распределениях параметров газа в набегающем потоке.
Для нахождения касательной компоненты вихря со за волной воспользуемся законами сохранения массы и импульса на поверхности разрыва (1.1.11), (2.1.23) и выражением для со0я из (2.2.6): Подставив эти соотношения в выражение (2.2.7) для а р получим за волной зависят от завихренности перед волной, от параметров газа и их производных по естественной координате, отношения плотностей и функций, определяющих геометрию поверхности разрыва к, v и т. Если параметры набегающего потока являются постоянными, то завихренность за волной будет определяться следующими формулами: 2 I Ро) где и0т = uQ cos а. Что совпадает с формулой (2.1.33), полученной в предыдущем параграфе, а так же ранее другими учеными в работах [1-5]. Таким образом, в данном параграфе решена задача по определению вектора вихря скорости на поверхности разрыва, являющейся ударной или детонационной волной, расположенной в сверхзвуковом потоке горючего газа. Начальная завихренность рассматриваемого течения отлична от нуля. Получено, что для данного класса течения при переходе через поверхность разрыва нормальная компонента скорости остается непрерывной функцией. Так же для данного класса течений выполняется закон сохранения величины сот/р при любых распределениях параметров газа в набегающем потоке. Результаты, полученные в данном параграфе, опубликованы в [65]. Рассмотрим фронт детонации общего вида. Пусть в стационарном сверхзвуковом вихревом потоке горючего газа расположена детонационная волна. Детонационная волна рассматривается как произвольная поверхность сильного разрыва, задаваемая уравнением (1.3.1). Движение газа вне поверхности разрыва описывается уравнениями (1.1.14). На поверхности разрыва выполняются законы сохранения массы, импульса и энергии (1.1.11), (1.1.15). Вектор вихря 2co=rotV в декартовой системе координат имеет компоненты (1.2.1): 2col =vkJ -ojk, где индексы i, j, к образуют круговую перестановку из 1, 2, 3. Здесь запятая означает производную utJ = dut Ідх. — і-ой компоненты скорости по j-ой координате, индексы i, j принимают значения 1,2,3. Т.е. в декартовой системе координат компоненты вектора вихря вычисляются по следующим формулам: Для нахождения компонент вектора вихря введем на поверхности разрыва криволинейную ортогональную систему координат, связанную с волной, как это было описано в параграфе 3 главы 1.
В качестве криволинейных координат в (1.3.1) можно взять координаты I, s — длины дуг линий, отсчитываемых в направлении fi, т (см. параграф 3 главы 1). Тогда во введенной таким образом ортогональной системе координат справедливы соотношения (1.3.2) - (1.3.18). Частные производные функции / по координатам пространства х,- связаны с производными по криволинейным координатам / и s соотношениями (1.3.27). В данном случае они примут следующий вид: где /n = fJvi — производная по нормали. Вектор завихренности в системе координат, связанной с главными направлениями имеет координаты со = \сор, оот, соп), где Если перейти от производных по декартовым координатам, к производным по поверхностным координатам с помощью соотношения (2.3.2), то для і-ой производной компоненты скорости по j-ой координате имеем ии = vi»vi + v,,axi,a = vi.nvi + u,jA + »,& (нет суммирования по і) (2.3.4) и тогда компоненты завихренности (2.3.1) примут вид: О, если среди i, j, к есть два одинаковых индекса. В соотношениях (2.3.8) свертка с є к представляет собой і-ую компоненту следующих векторных произведений: Таким образом, компоненты вектора вихря в системе координат связанной с волной зависят от производных компонент скорости вдоль нормали и вдоль главных направлений. Производные вдоль нормали определяются из уравнения движения, записанного за поверхностью разрыва. Вычислим производные вдоль главных направлений в проекции на v, /?, т.
Возможность распространения детонационных волн во вращающихся потоках в режиме Чепмена-Жуге
В предыдущем параграфе была рассмотрена завихренность за одномерными нестационарными плоскими, цилиндрическими детонационными и ударными волнами. В этом параграфе рассмотрим возможность распространения осесимметричных детонационных волн во вращающихся неоднородных потоках газов, а так лее плоских волн в плоском сдвиговом течении в режиме Чепмена-Жуге. Детонационная волна рассматривается как поверхность сильного разрыва, на которой при сгорании единицы массы газа выделяется тепло Q, величина которого также зависит от координаты Q Qfr)- Волна распространяется вдоль координаты г. Рассматриваемые параметры течения являются функциями этой координаты и времени. Течения за фронтом волны детонации с плоскими и цилиндрическими описываются уравнениями (3.1.1), (3.1.13), которые можно записать в следующем виде: Параметр X имеет значение X = 0 для плоских волн и /1=1 для цилиндрических волн. Начальное распределение параметров определяется соотношениями (3.1.9) — для плоских волн: Здесь индексом "J" обозначены параметры газа и скорость волны в режиме Ч.-Ж., верхний знак соответствует сходящимся к центру оси или плоскости симметрии волнам, нижний - расходящимся. Система уравнений газовой динамики, будучи гиперболической, имеет три семейства характеристик, на которых выполняются соответствующие характеристические соотношения [38]. Если при этом на некоторой достаточно гладкой линии ro{t) значения функций удовлетворяют одному из характеристических соотношений, но не удовлетворяют другому соотношению на характеристике, то эта линия является огибающей соответствующего семейства характеристик системы уравнений (3.2.1) и решение в ее окрестности следует искать в виде Здесь нижний индекс с нулем обозначает коэффициент разложений в ряд, а верхний индекс с нулем — это значение параметров газа перед поверхностью разрыва. Этот подход использовался для определения условий существования плоских ДВ Чепмена-Жуге во внешних электрических и магнитных полях [91], а также для анализа распространения ДВ в неоднородных средах [61]. Для произвольных систем квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка исследованы условия существования и определен вид асимптотического разложения решения в окрестности огибающей характеристических поверхностей, на которой заданы начальные значения функций [59].
Сходимость соответствующих рядов доказана в [60]. Чтобы найти коэффициенты разложения в ряд /., нужно подставить разложения (3.2.5) в систему уравнений (3.2.1) и прировнять множители при одинаковых степенях \г - г0 (Л. Для этого определим производные — и —: Здесь дифференцирование not обозначено точкой, a D=f0. Подставим производные (3.2.8), (3.2.9) и сами разложения (3.2.6), (3.2.7) в систему уравнений (3.2.1), получим следующую систему уравнений: а) закон сохранение массы: Если прировнять коэффициенты при одинаковых степенях r-r0(/)J, то получим бесконечную систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения. Часть ее для коэффициентов с индексами 0, 1 и 2 имеют вид Запишем системы уравнений (3.2.15), (3.2.16) в матричном виде АХк - Вк, где Хк -\pk,vk,pkj, Вк - столбец свободных членов к-ой системы, к=1,2,..., причем матрица А будет одна и та же для всех систем: Запишем определитель систем (3.2.15), (3.2.16) относительно переменных Так как ДВ распространяется в режиме Ч.-Ж., то (ц, - Z))2 = а , т-е-выполняется характеристическое соотношение [46]. Отсюда сразу следует, что определители систем (3.2.15), (3.2.16), а также систем всех последующих приближений для нахождения коэффициентов разложения ик,рк,рк равны нулю. Столбцы свободных членов для систем с индексами 1 и 2 выглядят следующим образом: Коэффициенты разложения ик и wk находятся сразу по известным величинам предыдущих коэффициентов, причем ul=wl 0 и поэтому разложение в ряд для скоростей и и w имеет вид: Для совместности линейной системы уравнений (3.2.16) и всех последующих необходимо равенство нулю расширенного определителя систем (3.2.15), (3.2.16) и всех последующих систем. Вычислим расширенный определитель системы (3.2.16), заменив третий столбец, столбцом свободных членов: Аналогичные выражения можно получить для следующих коэффициентов разложения vk,pk,pk. С учетом соответствующих условий совместности, это позволяет полностью построить ряды указанного вида и тем самым определить решение уравнений (3.2.1) в некоторой окрестности линии r=r0(i), в данном случае окрестности ДВ, распространяющейся в режиме Ч.-Ж.
Для существования искомого решения необходимо потребовать выполнения условия причем знак равенства определяет выполнение соответствующего соотношения вдоль характеристики. Рассмотрим течение за ДВ, распространяющейся в режиме Ч.-Ж. Вдоль траектории ДВ, задаваемой соотношением r0=r0(t) = rj(t), выполняется причем нижний знак соответствует расходящимся, а верхний — сходящимся волнам. Таким образом, траектория волны Чепмена-Жуге есть огибающая характеристика, в соответствии с чем можно, используя соотношение (3.2.24), определить необходимое условие существования решения за волной Неравенство (3.2.25) вместе с выражениями для параметров за волной детонации Ч.-Ж. (3.2.4) определяет необходимое условие существования волны Ч.-Ж., распространяющейся по среде с распределением параметров в закрученном потоке (3.2.2), (3.2.3) с переменным законом тепловыделения Диапазон изменения параметров qj лежит в интервале (0,1). Значение qj — 0 отвечает асимптотический случай р0 /ps «1. Рассмотрим случай, когда q3 «1. В этом случае Нижний знак соответствует расходящимся, а верхний - сходящимся волнам. Ч.-Ж. Рассмотрим необходимое условие существования волны Ч.-Ж. в закрученном потоке газа (3.2.31). I. Движение с плоскими волнами (Я = 0): плотность является убывающей функцией по г. А для расходящихся волн с постоянным тепловыделением —-— 0, т.е. плотность возрастает по г. 2) Рассмотрим среду с постоянной плотностью [р = const) и переменным тепловыделением (Q — Q(r)): Т.е. для плоских сходящихся (расходящихся) волн детонации в среде с постоянной плотностью тепловыделение должно являться убывающей (возрастающей) функцией по г. Если же среда является однородной, все параметры течения являются постоянными величинами, то в плоском случае необходимое условие существования волны Ч.-Ж. выполняется всегда, что и было показано в работе [42]: в однородной среде плоская волна детонации обязательно должна распространяться в режиме Чепмена-Жуге, если она движется с постоянной скоростью.
Исследование параметров течения и завихренности за ударной и детонационной волной заданной формы, находящейся в сверхзвуковом потоке горючего газа
Таким образом, в данном параграфе рассмотрено распределение параметров течения относительно угла наклона касательной к волне детонации. Произведено сравнение параметров течения для ударных и детонационных волн. Получено, что увеличение числа Маха для волн детонации приводит к увеличению плотности и давления потока за детонационной волной и к уменьшению отношения нормальных компонент скорости. С ростом же тепловыделения в волне детонации при фиксированном значении числа Маха происходит обратная картина -тепловыделение уменьшает плотность, давление и увеличивает отношение скоростей. Т.е. для ударных волн плотность и давление будет больше, чем для волн детонации, а скорость меньше. Найдены пределы, в которых могут изменяться параметры течения: минимальные и максимальные значения плотности, скорости и давления, которые они могут принимать при заданных параметрах. Получено, что минимальные и максимальные значения параметров течения зависят только от показателя адиабаты у, числа Маха М0, тепловыделения q и начальных значений параметров газа перед волной, т.е изменение параметров течения газа может происходить только в этих пределах (4.1.5)-(4.1.7) при любой форме волны детонации. Исследовано поведение параметров течения в режиме Чепмена-Жуге. Так как в режиме Ч.-Ж. параметры зависят только от q и у, то исследование проведено в зависимости от значения тепловыделения при фиксированном значении показателя адиабаты /. Получено, что в режиме Чепмена-Жуге плотность не возрастает неограниченно при q — q , а имеет предел (4.1.8). Так же скорость не падает неограниченно при q - q , а уменьшается до определенного значения (4.1.11). Давление стремится к величине (4.1.14).
Если же критическое значение тепловыделения q , зависящее от М0, неограниченно возрастает, то плотность имеет предел сверху (4.1.9), скорость имеет предел снизу (4.1.12), а давление же в режиме Ч.-Ж. неограниченно возрастает с ростом тепловыделения. 4.2. Исследование параметров течения и завихренности за ударной и детонационной волной заданной формы, находящейся в сверхзвуковом потоке горючего газа В данном параграфе рассмотрим, как изменяются параметры течения (плотность, скорость, давление и завихренность) на поверхности разрыва, возникающей при обтекании тела сверхзвуковым, неоднородным потоком горючего газа. Поверхность разрыва является ударной или детонационной волной заданной формы. Исследование будет проводиться в зависимости от тепловыделения в волне и числа Маха набегающего потока. Как уже говорилось, что для течений с цилиндрической или сферической волной детонации переход к режиму Чепмена-Жуге, в отличие от течений с плоскими волнами, происходит на конечном расстоянии. В точке перехода пересжатой волны в режим Чепмена-Жуге волна имеет касание третьего порядка [46]. В связи с данным фактом рассматривать будем осесимметричное течение с постоянными значениями параметров набегающего потока ( р0 = const, р0 = const, и0 = const). Завихренность набегающего потока в данном случае будет равна нулю {со0(р = 0). Из трех компонент вектора вихря, за поверхностью разрыва отлична от нуля только CDV, которая определяется формулой (2.4.1). Параметры течения за волной детонации определяются формулами (4.1.1). Если же (4.1.1) зависит только от числа Маха, тепловыделения в волне, показателя адиабаты и утла наклона касательной к волне, то в (2.4.1) входят также множители, зависящие только от геометрии волны. В связи с данным фактом проведем исследования для волны простейшей формы, дающей представление о поведении вихря за поверхностью разрыва, а так же остальных параметров течения. Вид волны выбирался из условия, чтобы в точке перехода в режим Чепмена-Жуге волна имела касание третьего порядка [46]. Рассмотрим течение за участком волны детонации, предшествующее наступлению режима Чепмена-Жуге. В качестве примера предположим, что при обтекании некоего тела образуется волна вида: которая в точке xd - в точке перехода в режим Чепмена-Жуге обладает следующими свойствами (имеет касание третьего порядка): Функция R равна нулю в точке х0 = а —, за точкой х = Xj волна является прямолинейной. Для того чтобы определить параметры а, Ь, подставим (4.2.1) в (4.2.2). Получим следующую систему уравнений: Условия в точке перехода в режим Чепмена-Жуге выполняются при следующих значениях параметров функции: зависит от числа Маха набегающего потока и тепловыделения в волне.
График волны детонации R(x) и касательной к волне при различных значениях числа Маха М0 для q = 10, у = 1,4 приведен на рис. 4.10. R, х — обезразмеренные по характерному линейному размеру величины. Точками на графике показаны точки перехода волны в режим Чепмена-Жуге. За этими точками волна представляет собой прямую линию. Из рисунка видно, что чем больше число Маха, тем меньше угол наклона касательной к волне и тем волна ближе к поверхности тела. и является положительной функцией на промежутке [х,),. ], при X Xj кривизна равна нулю. Для данной волны детонации (4.2.5) построим графики отношения плотности, давления и скорости непосредственно за волной детонации, определяемые соотношениями (4.1.1), а так же график завихренности (2.4.1). Для этого подставим в (4.1.1), (2.4.1) выражения (4.2.4)-(4.2.7), а так же (2.4.3) - (2.4.7). Сначала рассмотрим поведение параметров течения за поверхностью разрыва при фиксированном значении тепловыделения для различных значений числа Маха. На рис. 4.11 представлен график отношения плотностей р/р0 как функция от х на промежутке [х0, со) при различных значениях числа Маха для q = 10, 7 = 1,4. Как видно из графика, отношение плотностей за волной детонации тем больше, чем больше число Маха [92]. Наибольшее значение р/р0 принимает в т. хо (а = л/2, sma= 1), и по мере продвижения по волне детонации отношение плотностей уменьшается. В точке xj — точке перехода волны в режим Ч.-Ж. и далее вдоль волны независимо от того, какое значение имеет число Маха, отношение плотностей принимает одно и то же значение, определяемое выражением (4.1.2), которое зависит только от q и у и не зависит от формы волны. Это значение К будет одно и то же для любой волны детонации при любом значении числа Маха. При #=10, у =1,4 — А:= 1,617. Максимальное значение в т. х0 для отношения плотностей р I р0 определяется формулами (4.1.4). Максимальное значение не зависит от выбранной формы волна, а определяется только значением у, q и М0. Так для q = 10, у = 1,4, М0 = 10 оно будет равно 5.
