Введение к работе
Исследование процесса наката длинных волн на берег необходимо для решения разнообразных практических задач: расчет зоны затопления побережья во время морских природных катастроф (наводнения, паводки, цунами, штормовые волны, «волны-убийцы»), оценка устойчивости берегов и пляжей, строительство портовых и береговых сооружений и т.п. Во многих случаях длина накатывающейся волны превышает глубину бассейна, поэтому здесь может использоваться теория мелкой воды, получаемая из уравнений гидродинамики в первом порядке по малому параметру, равному отношению глубины бассейна к длине волны. Эти уравнения, в общем случае нелинейные (амплитуда волны сравнима с глубиной бассейна), содержат переменные параметры, связанные с изменчивостью донного рельефа в прибрежной зоне. С математической точки зрения система уравнений мелкой воды является гиперболической, допускающей сохранение нескольких интегралов (массы, энергии), и для нее может быть поставлена задача Коши. Использование интегральной формы уравнений мелкой воды позволяет исследовать не только гладкие (непрерывные) решения, но и разрывные (обобщенные) решения, соответствующие движению ударных волн. Для гиперболических систем эффективными методами их решения являются метод характеристик, преобразование годографа и метод интегральных соотношений. Если процесс наката волн на берег игнорируется, как в случае вертикальных стенок (отвесные берега или искусственные заградительные стенки), то задача нахождения волнового поля в области с фиксированной границей является традиционной в механике жидкости, хорошо разработанной в теоретическом плане и относительно просто реализуемой численно. Линейные задачи такого рода, сводятся, по существу, к нахождению резонансных колебаний бассейнов, трансформации волн над неоднородным рельефом дна, рефракции и дифракции волнового поля, существованию захваченных волн. Нелинейные задачи являются .более трудными, и аналитических результатов здесь немного.
В случае набегания волн на плоский откос решение уравнений мелкой воды приходится искать в области с заранее неизвестной подвижной границей, и зачастую определение закона движения этой границы является главным практическим выходом получаемых результатов. Решение задачи с подвижными границами имеет очевидные трудности при использовании как аналитических, так и численных методов, и основные результаты здесь получены, главным образом, в последние годы. Впервые точное решение нелинейных уравнений мелкой воды в случае плоского откоса было получено Кэрриером и Гринспаном, и оно послужило отправной точкой математических исследований решения нелинейных гиперболических уравнений в области с подвижной границей. Авторами использовано преобразование годографа, позволившее свести исходные нелинейные уравнения в области с подвижной, заранее неизвестной границей к линейным уравнениям в области с фиксированной границей. К сожалению, этот подход ведет к неявным выражениям для формул преобразования, так что на-
j *0С НАЦИОНАЛЬНА!*!
3 | ВНБЛИОТЕКА |
хождение, как самого решения, так и условий его существования, является весьма нетривиальной задачей. В последующем в рамках этого подхода были найдены точные и приближенные решения, отвечающие накату уединенных волн. Эти решения использованы как для тестирования численных схем расчета наката волн на берег, так и для грубых оценок высот наката разрушительных волн типа цунами. В диссертации данный метод развивается для волновых полей сложной конфигурации, обсуждаются также модели некоторых реальных событий (цунами, моретрясение и волны-убийцы).
Актуальность темы диссертации
Обычно в литературе в качестве падающей волны использовалась симметричная или антисимметричная волна. Между тем, как показывают наблюдения, форма волны в прибрежной зоне далека от симметричной. Обычно этот эффект учитывают для ветровых (коротких) волн, в то время как длинную волну рассматривают как симметричную. Последнее катастрофическое цунами 26 декабря 2004 г. в Индийском океане дало многочисленные примеры подхода к берегу волн несимметричной формы, а часто и ударной волны (бора). Во многих случаях на берегу регистрируются нерегулярные волны, обусловленные случайной интерференцией волн в прибрежной зоне. Исследование наката несимметричных, а также случайных волн на плоский откос представляется важной и актуальной задачей, решаемой в диссертации.
Одним из важных применений теории наката волн на берег является анализ реальных морских природных катастроф. Обычно число измерений достаточно мало, и они относятся к изолированным пунктам, достаточно далеко удаленным друг от друга. Восстановление источника природных катастроф (например, очага цунами), где измерения отсутствуют, по береговым данным является важной научной задачей. Как известно, в большинстве случаев решение обратных задач некорректно. Тем более это относится к нелинейным задачам. Поэтому зачастую используется прямое решение нелинейных уравнений мелкой воды (аналитическое или численное), позволяющее при правдоподобных предположениях о форме начальных условий проверить модель источника и при необходимости ее скорректировать. Другие подходы к задачам восстановления источника (не использующие уравнения гидродинамики) используются в теории обработки информации. Их применение к задачам восстановления гидродинамических источников представляется актуальным.
Приложения аналитической теории распространения и наката волн на плоский откос важны для анализа реальных природных событий. Одно из них связано с извержением вулкана Кракатау в 1883 г. Образовавшиеся волны цунами (максимальная высота до 45 м) обошли весь земной шар и были зарегистрированы во многих странах. По существу, это первое в истории человечества цунами планетарного масштаба, не только описанное очевидцами, но и зафиксированное приборами. Недавно случившееся катастрофическое цунами 26 декабря 2004 г., при котором высота наката волн на берег достигала 35 м, и около 300 000 человек погибло, еще раз подтвердило необходимость исследования
глобальных событий такого рода. Поэтому изучение цунами 1883 г., его моделирование и сопоставление его с цунами 2004 г. является актуальной научной задачей, также решаемой в диссертации.
Многие природные катастрофы носят локальный характер. К таковым относятся, например, так называемые «волны-убийцы», неожиданно появляющиеся на водной поверхности на короткое время. Другими примерами катастрофических явлений локального характера являются цунами в реках, в частности, цунами 1597 г. в Нижнем Новгороде, вызванное оползнем Печерского монастыря, и моретрясение 1806 г. вблизи Козьмодемьянска (Чувашия), вызванное слабым землетрясением. Их моделирование необходимо для прогнозирования возможных катастроф во внутренних водоемах, где обычно опасностью цунами пренебрегают.
Цели диссертационной работы
Основной целью диссертации является изучение наката длинных волн на плоский откос в рамках нелинейной теории мелкой воды, в частности, исследование аналитическими и численными методами свойств нелинейных волн на мелководье, наката асимметричной волны на плоский откос и характеристик случайного поля накатывающихся волн. Другой целью диссертации является изучение некоторых реальных событий: цунами, образовавшееся во время извержения вулкана Кракатау в 1883 г.; цунами в Нижнем Новгороде, возникшее после схода оползня в реку, необычные колебания воды, наблюдавшиеся в Козьмодемьянске в 1806 г. во время землетрясения. Их анализ и численное моделирование в рамках теории мелкой воды представляет несомненный научный и практический интерес.
Научная новизна н основные положения, выносимые на защиту
Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:
-
Аналитически рассчитаны характеристики первого обрушения в волне произвольной амплитуды, распространяющейся в мелком бассейне постоянной глубины. Найдена связь между крутизной волны и ее спектром.
-
Исследован накат асимметричной волны конечной амплитуды на откос постоянного уклона. Показано, что высота наката возрастает с увеличением крутизны набегающей на откос волны.
-
Исследовано влияние формы набегающей на откос одиночной волны на характеристики наката и показано, что введение эффективной длины волны позволяет унифицировать расчетные формулы для характеристик наката.
-
Собраны, оцифрованы, отфильтрованы от приливов и проанализированы записи цунами Кракатау 1883 г. Выполненные в рамках лучевой теории мелкой воды на сферической Земле расчеты времен распространения волн цунами 1883 г. сопоставлены с данными наблюдений в различных пунктах.
-
Предложен новый метод восстановления волны цунами в очаге, основанный на кепстральном подходе и статистическом усреднении многих реали-
заций волн цунами, полученных в разных береговых пунктах. С помощью этого метода определена форма волны цунами Кракатау в очаге, которая сопоставлена с записью в ближайшем пункте наблюдения.
-
Собраны исторические данные об аномальных волнах в российских внутренних водоемах. Проведено численное моделирование цунами 1597 г. на реке Волге в районе Нижнего Новгорода, вызванного сходом оползня. Данные наблюдений «нарочитого волнения» в 1806 г. в реке Волга в районе Козьмодемьянска интерпретированы в рамках эффекта «моретрясения», связанного с явлением параметрического возбуждения волн на воде в бассейне с осциллирующим дном (эффект Фарадея).
-
Проанализированы данные о наблюдении аномально высоких волн («волн-убийц») на побережье Мирового океана. Выполнены расчеты наката на плоский откос нерегулярного волнения, моделируемого суперпозицией Фурье - гармоник со случайными фазами в рамках нелинейной теории мелкой воды.
Практическая значимость результатов работы
Полученные теоретические результаты по исследованию наката длинных волн на плоский откос могут быть использованы для оценок последствий природных катастроф (наводнения, цунами, «волны-убийцы»).
Оцифрованные нами записи цунами Кракатау находятся в открытом доступе ().
Предложенный метод восстановления очага по ансамблю данных удаленных наблюдений может использоваться в задачах реконструкции формы очага исторических цунами, в частности, глобальных цунами 1960 г. в Тихом океане и 2004 г. в Индийском океане.
Сопоставление данных двух цунами глобального масштаба (цунами Кракатау 1883 г. и цунами 2004 г. в Индийском океане) позволяет лучше оценить опасность повторения подобной катастрофы в Индийском океане в будущем.
Результаты моделирования цунами в реках могут быть использованы для оценок чрезвычайных ситуаций в регионе при землетрясениях и сходе оползней; последняя проблема является очень актуальной для Волжских берегов.
Полученные результаты используются в российских и международных исследовательских проектах (РФФИ, ИНТАС и др.), выполняемых с участием автора диссертации.
Апробация работы
Основные результаты диссертации представлялись на следующих конференциях: V Международный симпозиум «Волны-2005» (Мадрид, Испания, 2005); Международные симпозиумы по цунами (Петропавловск-Камчатский, Россия, 2002; Чанай, Греция, 2005); Генеральные Ассамблеи Европейского геофизического союза (Вена, Австрия, 2005, 2006); Генеральная ассамблея международного общества геодезии и геофизики (Саппоро, Япония, 2003); Международный симпозиум «Актуальные проблемы физики нелинейных волн» (Н. Новгород, Россия, 2003); Сессия Российского акустического общества (Н. Новго-
род, Россия, 2002); IV Международная молодежная научно-техническая конференция «Будущее технической науки» (Н. Новгород, Россия, 2005); IX Нижегородская сессия молодых ученых (Саров, Россия, 2004); I - III Школы-семинары «Экологическая и промышленная безопасность» (Саров, Россия, 2001, 2003, 2004); V и VII Научные конференции по радиофизике (Н. Новгород, Россия, 2001, 2003). Результаты диссертации докладывались также на семинарах научной школы член-корр. РАН В.А. Зверева, а также в Институте прикладной физики РАН и в Нижегородском государственном техническом университете.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, основных результатов, списка литературы, содержащего 139 наименований, и работ автора по теме диссертации. Общий объем диссертации составляет 199 страниц.
