Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задачи 13
1.1 Научная проблема и цель диссертационного исследования 15
1.2 Основные понятия эвентологии и теории вероятностей . 18
2. Решение задачи 24
2.1 Двудольное множество случайных элементов 25
2.2 Совместное распределение случайных множеств 29
2.3 Связь эвентологических распределений множества событий и эвентологических распределений множества их индикаторов 32
2.4 Эвеитологическое распределение двудольного множества случайных элементов 66
2.5 Двудольное множество случайных событий 74
2.6 Двудольная эвентологическая модель сложных систем . 76
2.7 Метод двудольных множеств случайных событий в эвентоло-гическом системном анализе 78
3. Применение полученных результатов 88
3.1 Описание статистики 88
3.2 Задача определения неблагополучных районов по состоянию здоровья населения 94
3.3 Решение задачи определения неблагополучных районов по состоянию здоровья населения для практических примеров 99
3.4 Обсуждение полученных результатов 114
3.5 Рекомендации по использованию результатов диссертации 118
Заключение 120
Список использованных источников 123
- Научная проблема и цель диссертационного исследования
- Основные понятия эвентологии и теории вероятностей
- Двудольное множество случайных элементов
- Задача определения неблагополучных районов по состоянию здоровья населения
Введение к работе
Актуальность темы диссертации определяется потребностью современной науки и техники в изучении сложных систем, которые характеризуются сложной структурой зависимостей между элементами. Интерес к этой важной задаче обусловлен стремлением выявить закономерности функционирования и развития объектов и процессов, представимых как системы, и выработать мероприятия по совершенствованию управления ими и принятию решений.
Основная трудность при проведении анализа сложных систем состоит в том, что из - за большого числа событий в них число всех возможных состояний, в которых может оказаться система, очень велико. Особенно остро стоит эта проблема в тех прикладных областях, которые связаны с анализом технических, экономических, биологических, медицинских и социальных систем. К числу таких областей науки относятся здравоохранение, экология, биология, экономика, финансы, страхование, социология, история, психология, политология, этнология, филология, лингвистика, педагогика и др.
Большинство известных методов системного анализа направлено на изучение систем, поведение которых описывается количественными или качественными показателями. К числу методов, занимающихся количественными показателями, относятся методы общеалгебраические (В.И. Городецкий и О.В. Карсаев [36], Б. Уимен [90]), теории игр (Дж. фон Нейман и О. Моргенштейн [68], Н.Н. Воробьев [27], Э.Й. Вилкас [25], Г. Оуэн [74]), исследования операций (Н.Н. Моисеев [65], Л.А. Раскин [80], Т. Саати [82]), многомерного статистического анализа (М. Кендалл и А. Стыоарт [49 - 51], Т. Андерсон [2], Р.Дж. Литтл и Д.Б.Рубин [58], B.C. Муха [66]), теории вероятностей и математической статистики, в т.ч. выдвижения и проверки статистических гипотез (А.Н. Колмогоров [52, 53], В. Феллер [91], Г. Крамер [55], А.А. Боровков [20, 21]), теории массового обслуживания (Б.В. Гнеденко и И.Н. Коваленко [35], А.А. Боровков [22]), марковских процессов (В.В. Калашников [46], Е.Б. Дынкин [41], Т.Саати [83]), теории информации (А.Дж. Вильсон [26], Р.В.Л. Хартли [95]) и другие. Также существуют методы, позволяющие работать с разнотипными данными: количественными и качественными. К ним относятся методы теории графов (Ф. Харари [93, 94] , Ф.С. Роберте [104], А.А.Зыков [44]), имитационного моделирования (Р. Шэннон [97], Н.П. Бусленко [23]), непараметрических методов статистического анализа (Г. Дэйвид [42], А.В. Лапко и СВ. Чепцов [56], Б.Г. Миркин [64], В.Т. Перекрест [76]), экспертных оценок (Дж. Элти [98], Л.А. Панкова [75]), теории нечисловых статистик (А.И. Орлов [70-72], Г.В. Раушенбах [81], А.Ю. Терехина [89] и др.) и нечетких множеств (Л.А. Заде [43, 108, 109], Р. Беллман [17], А. Кофман [54], Д.А. Поспелов [78], С.А. Орловский [73], А.Е. Алтунии [1], М. Земанкова-Лич [110], Б. Коско [101] и др.). Е.В. Смирновой [86, 87] был предложен метод повышения корреляций между данными при изучении адаптации и организации сложных систем, характеризующихся разнотипными данными.
Чаще всего на практике встречается ситуация, когда поведение сложных систем характеризуется разнотипными данными, из которых од ВВЕДЕНИЕ ни — числовые, а другие — множественные. Изучением подобных систем занимались преимущественно представители двух направлений: теории нечисловых статистик (А.И. Орлов) и нечетких множеств (М. Земанкова-Лич , Б. Коско, А.Е. Алтунин , М.В. Семухин). Число работ, посвященных данной тематике, очень мало. Кроме того, математические модели сложных систем, предложенные в рамках данных направлений, имеют ряд ограничений. Поэтому можно констатировать, что на данный момент сложные системы, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, недостаточно хорошо изучены.
О.Ю. Воробьевым был предложен общий эвентологический метод анализа различных систем как систем событий, которые лежат в основе их поведения [34]. С помощью данного метода были исследованы системы, поведение которых характеризуется только одним из типов данных (количественными, качественными, множественными).
Таким образом, на сегодняшний день существует проблема развития системного анализа в направлении исследования сложных систем, поведение которых характеризуется статистикой, состоящей из числовых и множественных данных. Решение данной проблемы позволит обеспечить дальнейшее развитие системного анализа и будет способствовать повышению эффективности управления и принятия решений в технических, экономических, биологических, медицинских и социальных системах.
Научная проблема диссертационного исследования заключается в создании математической модели сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, и разработке нового метода системного анализа, рассматривающего системы как множества событий, характеризующих их поведение.
ВВЕДЕНИЕ Изучением распределений случайных событий и случайных множеств событий, зависимостей и взаимодействий случайных событий, которые лежат в основе поведения различных систем, занимается эвентология. Основоположником эвентологии является О.Ю. Воробьев. Понятие случайного множества событий — центральное в эвентологии — позволяет выявить общие статистические закономерности распределения случайных событий в различных системах. Одной из положительных сторон эвентологии является возможность учета полной структуры зависимостей и взаимодействий систем случайных событий.
Для исследования объектов и субъектов, представимых как системы событий, О.Ю.Воробьевым был предложен общий метод эвентологическо-го системного анализа [34], в основе которого лежит рассмотрение объектов и субъектов как систем событий в целостности многообразных типов взаимосвязей событий. Данный метод применялся для анализа систем из различных прикладных областей: здравоохранения, финансов и страхования, товарных рынков и др. События, описывающие поведение исследованных систем, определялись данными одного типа.
Изучение систем, поведение которых характеризуется разнотипными данными, представляет собой новое, никем не исследованное направление в эвеитологической теории.
Объект исследований. Сложная система, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными.
Предмет исследований. Математическая модель сложной системы, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными, и разработка нового метода системного анализа, рассматривающего системы как множества событий, характеризующих их поведение.
Цель работы. Целью работы является разработка метода анализа сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными, рассматривающего систему как двудольное множество событий, первая доля которого определяется случайными величинами, а вторая — случайными множествами.
Задачи исследований.
Цель работы достигается решением следующих задач:
• построение двудольной эвентологическои модели сложной системы, основанной на понятиях двудольного множества случайных элементов и двудольного множества случайных событий;
• нахождение эвентологического распределения двудольного множества случайных событий для двух ситуаций: бернуллиевских случайных величин (индикаторных функций на множестве случайных событий) и произвольных случайных величин;
• изучение связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также — эвентологического распределения множества событий и эвентологического распределения множества их индикаторов;
• разработка метода двудольных множеств событий в эвентологичес-ком системном анализе сложных систем и применение предложенного метода к решению задачи нахождения экстремального элемента системы.
Основная идея диссертации заключается в представлении любой сложной системы с помощью двудольной эвентологическои модели, в которой поведение каждого элемента системы характеризуется двудольным множеством событий: его первая доля определяется случайными величинами, а вторая — случайными множествами событий. Затем анализ поведения элементов системы сводится к анализу эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий. Для измерения расстояния между двудольными множествами событий предложено использовать вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому.
Методы исследования основаны на использовании теории вероятностей, эвентологии и эвентологического анализа систем случайных событий.
Основные новые научные результаты.
1. Предложена двудольная эвентологическая модель сложной системы, основанная на новых понятиях двудольного множества случайных событий и двудольного множества случайных элементов.
2. Получены эвентологическис распределения двудольных множеств случайных событий для двух ситуаций: бернуллиевских случайных величин и произвольных случайных величин.
3. Впервые введены эвентологические распределения множества индикаторов событий. Сформулированы и доказаны теоремы о связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также эвентологического распределения множества событий и эвентологического распределения множества их индикаторов. Выведены формулы обращения Мебиуса, связывающие между собой все эвентологические распределения множества индикаторов событий.
4. Разработан метод двудольных множеств событий в эвентологическом ВВЕДЕНИЕ системном анализе сложных систем. Введены понятия сет-операций по Минковскому для двудольных множеств событий. Для измерения расстояния между двудольными множествами событий предложено использовать вероятность сет-операции симметрической разности по Минковскому. Предложен метод двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе сложных систем. Метод двудольных множеств событий был применен к решению задачи нахождения экстремального элемента системы.
Значение для теории. Полученные в диссертации результаты создают строгую математическую основу для исследования сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.
Значение для практики состоит в том, что предложенный в диссертации метод двудольных множеств событий существенно упрощает и работу с разнотипными данными, описывающими поведение системы, и сравнение элементов системы как эвентологических распределений соответствующих им двудольных множеств событий.
Достоверность полученных результатов работы подтверждается строгими математическими доказательствами, опирающимися на аппарат эвентологии, теории вероятностей и математической статистики. Все результаты теоретически доказаны и оформлены в виде теорем.
Использование результатов диссертации. Работа предложенного в диссертации метода двудольных множеств событий в эвентологическом системном анализе проиллюстрирована на практическом примере задачи ВВЕДЕНИЕ И нахождения экстремального элемента системы — задаче определения неблагополучных районов Красноярского края по состоянию здоровья их населения. Результаты диссертационного исследования включены в учебную программу дисциплин «Введение в эвентологию», «Прикладная эвен-тология» и «Экономическая эвентология» кафедры «Прикладная математика» факультета математики и информатики Красноярского государственного университета для преподавания студентам специальностей 010101 «Математика», 010501 «Прикладная математика и информатика».
Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены лично автором.
Рекомендации по использованию результатов диссертации.
Результаты работы рекомендуется использовать для решения задач управления в здравоохранении, обязательном медицинском страховании и банковском кредитовании; задач классификации и ранжирования на фондовом и товарном рынках и в обработке результатов социологических опросов.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационных исследований докладывались на конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2001, 2002), конференциях молодых ученых ИВМ СО РАН (Красноярск, 1999, 2002), всероссийских конференциях по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (ИВМ СО РАН, Красноярск, 2002 - 2005), малых ФАМ-конференциях (Красноярский государственный торгово-экономический институт, 2004 - 2005), III, IV, V ежегодных городских конференциях по финансово-актуарной математике (ИВМ СО РАН, Красноярск, 1998 - 2000), I и II всесибирских конгрес ВВЕДЕНИЕ сах женщин-математиков (Красноярский государственный университет, 2000, 2002), межрегиональных конференциях «Математические модели природы и общества» (Красноярский государственный торгово-экономический институт, 2002, 2004), всероссийской конференции «Информационно-аналитические системы и технологии в здравоохранении и обязательном медицинском страховании» (КМИАЦ, Красноярск, 2004), научно-практической конференции «Вопросы сохранения и развития здоровья населения Севера и Сибири» (ГУ НИИ медицинских проблем Севера СО РАН, Красноярск, 2002), международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирский государственный университет, 1999 — 2001), а также на постоянно действующем семинаре кафедры «Прикладная математика» Красноярского государственного университета (1998 — 2006гг.) и на постоянно действующем семинаре по финансово-актуарной математике Института вычислительного моделирования СО РАН (1998 - 2006гг.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 статей, из которых 1 статья в периодическом издании по списку ВАК, 1 статья в периодическом издании, 11 статей в сборниках трудов всероссийских конференций, 1 депонированная статья.
Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из 3 разделов, введения, заключения, содержит основной текст на 139 с, 10 иллюстраций, 12 таблиц, список использованных источников из 110 наименований.
Научная проблема и цель диссертационного исследования
Научная проблема диссертационного исследования заключается в создании математической модели сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, и разработке нового метода системного анализа, рассматривающего системы как множества событий, характеризующих их поведение.
Данная проблема может быть решена с помощью методов эвентологи-ческого системного анализа, позволяющих исследовать объекты и субъекты как системы событий в целостности многообразных типов взаимосвязей событий. Эвентология представляет собой часть теории вероятностей, которая занимается изучением распределений случайных событий и случайных множеств событий, зависимостей и взаимодействий случайных событий, лежащих в основе поведения различных систем. Основоположником эвен-тологии является О.Ю. Воробьев. Одной из положительных сторон эвен-тологии является возможность учета полной структуры зависимостей и взаимодействий систем случайных событий. Центральное понятие в эвен-тологии — случайное множество событий — позволяет выявить общие статистические закономерности распределения случайных событий в различных системах. Оно было использовано в качестве общей модели для многих приложений в медицине, финансах и страховании, товарных рынках и т.д. [30, 34, 107]. Работы [28 - 30] посвящены математическому аппарату эвентологической теории. В монографии [31] рассматривался структурный анализ зависимостей случайных событий, в монографии [32] — регрессионный анализ случайных событий. Для исследования объектов и субъектов, представимых как системы событий, О.Ю. Воробьевым был предложен общий метод эвентологического системного анализа [34], в основе которого лежит рассмотрение объектов и субъектов как систем событий в целостности многообразных типов взаимосвязей событий. С помощью данного метода были исследованы системы, поведение которых характеризуется только одним из типов данных (количественными, качественными, множественными). Изучение систем, поведение которых характеризуется разнотипными данными, представляет собой новое, никем не исследованное направление в эвентологической теории.
Объектом исследований диссертации является сложная система, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными. Предмет исследований — математическая модель сложной системы, поведение которой характеризуется числовыми и множественными данными, и разработка нового метода системного анализа, рассматривающего системы как множества событий, характеризующих их поведение.
Целью работы является разработка метода анализа сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными, рассматривающего систему как двудольное множество событий, первая доля которого определяется случайными величинами, а вторая — случайными множествами — разработка метода двудольных множеств событий в системном анализе сложных систем.
Цель работы достигается решением следующих задач: построение двудольной эвентологической модели сложной системы, основанной на понятиях двудольного множества случайных элементов и двудольного множества случайных событий; нахождение эвентологического распределения двудольного множества случайных событий для двух ситуаций: бернуллиевских случайных величин (индикаторных функций на множестве случайных событий) и произвольных случайных величин; изучение связи эвентологического распределения множества событий и функции распределения множества их индикаторов, а также — эвентологического распределения множества событий и эвентологического распределения множества их индикаторов;
Основные понятия эвентологии и теории вероятностей
Определение 1.1. Вероятностным пространством называется тройка (Q, З1", Р), где Г2 — пространство элементарных событий, 3 — алгебра событий и Р — вероятность, определенная на элементах алгебры 5F — случайных событиях х, у,... Є Э\ Определение 1.2. Конечное множество избранных событий X Є , выбранных из алгебры вероятностного пространства ( ,5", Р) и состоящее из N = \Х\ событий, называется мпооїсеством случайных событий. Определение 1.3. Случайное мнооїсество событий под X, определяется как измеримое отображение где 2х — множество всех подмножеств множества X. Определение 1.4. Множество случайных событий X порождает различные наборы так называемых событий-террасок, среди которых выделяются шесть наборов для X С X: — события-терраски в форме пересечений событий, — события-терраски в форме прямых пересечений событий, — события-терраски в форме дополнительных пересечений событий, — события-терраски в форме объединений событий, — события-терраски в форме прямых объединений событий, — события-терраски в форме дополнительных объединений событий. Множество случайных событий X Є 5F, выбранных из алгебры вероятностного пространства (О,, 3 , Р) или случайное множество событий К под X можно определить эквивалентным образом, задав на множестве 2х всех подмножеств конечного множества X одну из следующих функций Все функции эвентологических распределений, определяющие множество случайных событий X и случайное множество событий К, попарно связаны взаимо-обратпыми формулами Мебиуса, где X Є 2х: первом разделе изложена проблема развития системного анализа в направлении исследования сложных систем, поведение которых характеризуется статистикой, состоящей из числовых и множественных данных. Научная проблема диссертационного исследования заключается в создании математической модели сложных систем, поведение которых характеризуется числовыми и множественными данными, и разработке нового метода системного анализа, рассматривающего системы как множества событий, характеризующих их поведение. Приведен обзор работ ряда авторов по тематике диссертационного исследования и показана ограниченность полученных ими результатов в части исследования подобных сложных систем. Для решения научной проблемы предложено использовать эвентологический подход, поскольку он позволяет преодолеть трудности анализа сложных систем, связанные с большой размерностью, сложной структурой зависимостей между элементами и разнотипностью данных, описывающих их поведение. Сформулирована цель работы — разработка метода двудольных множеств событий в системном анализе сложных систем, характеризующихся числовыми и множественными данными. Изложена основная идея решения научной проблемы диссертационного исследования. Приведены основные понятия эвентологии и теории вероятностей. Решается задача разработки метода двудольных множеств событий в эвен-тологическом анализе сложных систем, позволяющего преодолеть трудности, возникающие при их анализе. С помощью предложенного метода находится решение одной из наиболее востребованных задач системного анализа — задачи нахождения экстремального элемента системы. Вводятся новые понятия двудольного множества случайных элементов и связанного с ним двудольного множества случайных событий, на основе которых строится двудольная эвентологическая модель сложной системы. Находятся и исследуются эвентологические распределения двудольных множеств случайных событий для следующих ситуаций: когда случайные величины, определяющие первую часть двудольного множества, являются бернуллиевскими случайными величинами — индикаторными функциями на множестве случайных событий, произвольными случайными величинами — общий случай. Формулируются и доказываются теоремы, в которых с помощью прямых и обратных соотношений связывается эвентологическое распределение множества событий и функция распределения множества их индикаторов, а также эвентологическое распределение множества событий и эвентологическое распределение множества их индикаторов.
Двудольное множество случайных элементов
В ситуации, когда поведение каждого элемента сложной системы, характеризуется данными, одна часть которых является числовой, а другая часть — множественной, объект, порождающий данную двудольную статистику, может быть представим как объединение двух долей: случайных величин и случайных множеств событий. Поскольку любую случайную величину и любое случайное множество событий, следуя Колмогорову [52], можно рассматривать как реализацию случайного элемента, то можно представить данный объект как двудольное множество случайных элементов [5]. Первая доля — это случайные величины , вторая — случайные множества событий К. Пусть А — множество индексов случайных величин, В — множество индексов случайных множеств. Тогда множество случайных величин = {а, а Є Л}, а множество случайных величин Определение 2.1. Множество случайных элементов {,К}, предста-вимое в виде объединения двух этих долей, будем называть двудольным множеством случайных элементов. Двудольное множество случайных элементов представимо в следующем виде: Приведем практические примеры статистик двудольных множеств, в которых их элементы являются либо случайной величиной, либо случайным множеством событий: 1. Статистика больных и заболеваний. Каждый человек, который обратился за помощью в медицинское учреждение, может быть представлен, например, как множество следующих его характеристик: возраст, пол, рост, вес, множество симптомов, множество синдромов и множество заболеваний, которые у него есть. Мы можем любого человека (не только больного, но и здорового) представить в виде множества данных характеристик [15]. Если человек здоров, значит множество его болезней пусто. Но множество симптомов и множество синдромов у здорового человека не являются пустыми, поскольку у человека существуют такие симптомы и такие синдромы, которые являются характерными для здорового состояния. Получаем множество {, К}, где А = {а, Ь, с, d}, В = {а, (3,7}. Здесь — случайные величины со значениями из Ш. К — случайные множества событий, значениями которых являются события, означающие, что множество принимает значение определенного подмножества соответствующего множества: для Ка — множества симптомов Ха С Ха, для Кр — множества синдромов Хр С Хр, для К1 — множества всех известных заболеваний Ху С Х7. 2. Статистика показателей здоровья населения. Пусть {, К} — множество показателей здоровья населения для каждого района Красноярского края [16, 10, 8]. Здесь А = {а, 6, с,...}, В — {а, (3}. Показатели здоровья из первой доли — числовые, они являются случайными величинами. Два последних показателя — множественные, представимы с помощью случайных множеств событий. Область значения каждого показателя а — числовая прямая Ш. К числу таких показателей районов относятся климатические (среднемесячная температура воздуха, среднемесячная скорость ветра и т.д.), экономические (среднемесячные доходы на душу населения, уровень безработицы, средний прожиточный минимум и т.д.), антропогенные (валовой выброс загрязняющих веществ). Показатель Ка — химический состав загрязнения почв данного района. Значение данного показателя — это событие, означающее, что почва данного района загрязнена определенным множеством химических элементов, являющимся подмножеством всех известных химических элементов Ха С Ха. Показатель Кр — множество заболеваний населения. Значение данного показателя — это событие, означающее, что множество заболеваний населения принимает значение определенного подмножества из множества всех известных заболеваний, уже упоминавшегося выше, Хр С Зір.
Задача определения неблагополучных районов по состоянию здоровья населения
Своевременное выявление негативных отклонений в состоянии здоровья населения является одним из важных моментов в эффективном управлении системой охраны здоровья. Осуществляемый в стране социально -гигиенический мониторинг позволил сформировать обширную статистику показателей здоровья населения. Возникла необходимость создания методов, позволяющих оценить здоровье населения на основе данных показателей и с их помощью выявить неблагополучные территории. На сегодняшний день количество работ российских и зарубежных авторов, посвященных созданию индексов здоровья и оценке здоровья населения, достаточно велико [19]. Однако большинство моделей сводится к интерпретации отдельных первичных данных и сопоставлению многочисленных средовых и медицинских показателей. Поэтому задача создания методов комплексной оценки здоровья населения на основе многочисленных показателей остается актуальной. Использование предложенного в диссертации метода двудольных множеств событий позволяет успешно решить задачу оценки здоровья населения и выявить неблагополучные территории по состоянию здоровья населения. В диссертации данная задача решается для районов Красноярского края. Таким образом, задача заключается в оценке состояния здоровья населения Красноярского края на основе статистики показателей здоровья и выявлении неблагополучных по состоянию здоровья населения районов края. Предлагается произвести полную классификацию районов края по состоянию их здоровья. Для найденных неблагополучных районов специалисты НИИ КПГПЗ СО РАМН выработают рекомендации по улучшению уровня жизни и медицинской обеспеченности населения. Задача определения неблагополучных районов по состоянию здоровья их населения является практическим примером задачи нахождения наихудшего элемента системы, решение которой было изложено в предыдущей главе. Красноярский край предлагается рассматривать как систему, состоящую из районов края. Представим данную систему в виде двудольной эвенто-логической модели, в которой состояние здоровья населения каждого района края характеризуется двудольным множеством случайных событий: Введем понятия идеального «наилучшего» и идеального «наихудшего» районов соответственно как наилучшие и наихудшие значения для каждого показателя здоровья: В нашем практическом примере все числовые показатели принимают ограниченное число значений, поэтому соответствующие им а, а Є А являются случайными величинами с конечным множеством возможным значений Во втором разделе в пункте 2.5 Двудольное множество случайных событий было показано, что множества событий Уа, которые ставятся в соответствие случайным величинам а, а Є А, составлены из вложенных событий и являются множествами вложенных событий или множествами случайных событий с вложенной эвентологической структурой. Э-распределения множества вложенных событий принадлежат к классу так называемых монотонных Э-распределений. О.Ю. Воробьевым в работе [33] доказана лемма, утверждающая, что Э-распределение множества вложенных случайных событий X = {xi,..., х } полностью определяется их индивидуальными вероятностями р(х) = Р(К — {х}), х Є X. Множество вложенных событий X разбивает Q на 21 1 = 2N событий-террасок, из которых непустыми оказываются только \Х\ + 1 = N -\- 1 событие-терраска где
