Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор методов компьютерного анализа систем 11
1.1. Сингулярные числа и сингулярные векторы матриц 11
1.2. Сингулярные числа и сингулярные функции динамических систем 13
1.3. Содержание ганкелева эксперимента с объектом 17
1.4. Применение сингулярных чисел для идентификации систем 21
1.5. Вопросы системного анализа условий идентифицируемости 23
1.6. Выводы 25
2. Систематизация линейных операторов динамической системы на основе их симметрии 27
2.1. Введение 27
2.2. Поиск симметричных или самосопряженных частей 28
2.3. Мультипликативное симметрирование систем 33
2.4. Аддитивное симметрирование систем 36
2.5. Симметрия собственных функций систем 41
2.6. Примеры экспериментов с симметричными операторами систем 43
2.7. Выводы 47
3. Аналитические и численные методы поиска спектральных характеристик динамических систем 48
3.1. Спектральные характеристики на ограниченном интервале времени 48
3.2. Сингулярные функции систем 51
3.3. Свойства сингулярных функций 58
3.4. Поиск сингулярных функций на основе частотного подхода 69
3.5. Графо-аналитический метод исследования 78
3.6. Выводы 81
4. Организация и численные методы обработки результатов натурного эксперимента 82
4.1. Основные понятия и определения 82
4.2. Содержание флип-метода в натурном эксперименте 84
4.3. Распространение флип-метода на другие операторы 93
4.4. Примеры применения флип-метода 101
4.5. Алгоритмы идентификация на основе сингулярных функций 107
4.6. Выводы 120
5. Системные критерии и вырожденные задачи 121
5.1. Введение 121
5.2. Матричное уравнение Сильвестра 123
5.3. Меры модального доминирования 127
5.4. Автоматизация выбора спектра 138
5.5. Решение вырожденных задач идентификации 143
5.6. Идентифицируемость систем 150
5.7. Учет ограничений на управления 165
5.8. Алгоритмическое и программное обеспечение 172
5.9. Выводы 174
Заключение 175
Список использованных источников 176
Приложение 189
- Сингулярные числа и сингулярные функции динамических систем
- Поиск симметричных или самосопряженных частей
- Сингулярные функции систем
- Содержание флип-метода в натурном эксперименте
Введение к работе
Актуальность темы. Распространение персональных вычислительных машин приводит к появлению новых компьютерных методов анализа и обработки информации. Этому в немалой степени способствует становление известных в мировой практшсе пакетов численного анализа, символьных вычислений, структурного моделирования MATLAB, Maple и др. Последнее время возрастает влияние сетевых технологий, способствующих распространению и накоплению знаний. Компьютер становится существенной частью научного исследования, выполняя многочисленные задачи анализа и синтеза систем, включая визуализацию результатов научного эксперимента. Все это сказывается, в свою очередь, на теории и методах обработки информации, куда проникают подходы, сложившиеся на основе обширной вычислительной практики.
В диссертации рассматривается направление, связанное с так называемым ганкелевым экспериментом над объектом моделирования, когда время подачи воздействия на динамическую систему и наблюдение реакции на него разделены. При этом, благодаря вычислительному устройству легко выполняются некоторые необходимые манипуляции с накапливаемыми выборками сигналов, такие, как инверия выборки реакции во времени и выработка нового управляющего сигнала на основе нормирования полученной выборки. Теоретическое обоснование целесообразности ганкелевых экспериментов возникло ввиду последовательного развития теории динамических систем в девяностых годах на базе изучения ганкелева оператора и его применений. Такие понятия, как ганкелева норма передаточной функции, ганкелевы сингулярные числа и др. широко используются ныне при решении задач аппроксимации и редукции, при синтезе робастных систем управления методами Н -теории, при решении задач идентификации моделей динамических систем.
Численные алгоритмы вычисления ганкелевой нормы передаточной функции, ганкелевых чисел, ганкелевых функции, канонической формы Мура и другие реализованы в широко распространенной системе MATLAB.
В теории ганкелева эксперимента бесконечный интервал времени заменяется конечным, причем входной или выходной сигнал рассматриваются в инверсном времени. В таком случае удается учесть не только ограничение на интервал времени, но и использовать аппарат соответствующих собственных функций. Собственные и сингулярные функции ганкелева оператора находятся распространенными пакетами математического моделирования, такими, как MATLAB, при известном математическом описании объекта. В то же время для практики (в особенности, в условиях натурного эксперимента) типична ситуация, когда математическое описание реального объекта известно недостоверно, либо вообще неизвестно. Тем самым, математическая теория развита в относительно узких пределах постановки ганкелева эксперимента с объектом - даже небольшие условия изменения его приводят к тому, что существующий математический аппарат становится непригодным и требуется создать более детальное математическое описание.
Указанными обстоятельствами определяется актуальность разработки новых подходов, позволяющих систематизировать и исследовать возникающие при этом достаточно сложные математические задачи, дать на основе новых математических моделей рекомендации к проведению натурных экспериментов с односвязными или многосвязными динамическими объектами.
Цель исследования. Целью настоящей диссертационной работы, соответственно, является обобщение известных компьютерных методов анализа линейных динамических систем с выработкой новых теоретических подходов, формирование существенно новых методов, алгоритмов и реализующего их программного обеспечения. Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:
1. Расширение и систематизация состава линейных операторов, близких к ганкелевому, на основе признаков их симметрии.
2. Разработка аналитических и численных методов поиска собственных и сингулярных чисел и собственных и сингулярных функций выделенных систематизированных операторов динамических систем.
3. Выявление связи классических частотных характеристик динамических систем с собственными или сингулярными числами математических моделей динамических систем на ограниченном интервале времени.
4. Исследование возможности поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций для односвязных и многосвязных динамических систем в процессе натурного эксперимента с объектом при неизвестном математическом описании объекта.
5. Разработка новых численных методов идентификации динамических систем, в том числе, на основе ганкелевых, собственных и сингулярных функций.
6. Разработка современных методов анализа и синтеза адаптивных систем и визуализации научного эксперимента с целью повышения качества исследований.
Методы исследования. При исследовании аналитических моделей собственных и сингулярных функций динамических систем в работе использованы матричные методы, методы вариационного исчисления, методы анализа динамических систем в частотной области. При разработке алгоритмов и методов идентификации используются численные методы линейной алгебры.
Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность результатов исследований обеспечиваются корректностью применяемого математического аппарата, использованием нескольких независимых подходов к изучаемым вопросам, включая аналитические и численные методы с апробацией итогов проведенной работы в научных журналах.
Научные результаты, выносимые на защиту.
1. Проведено исследование математических моделей экспериментов, близких к ганкелевому, и проведена систематизация соответствующих ассоциированных с динамической системой обобщенных операторов на основе признаков симметрии.
2. Предложен флип-метод поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени.
3. Разработаны матричные численные методы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных функций односвязных и многосвязных динамических систем.
4. Разработан частотный метод поиска собственных и сингулярных чисел и функций динамических систем с использованием частотной модели флип-оператора. Получены аналитические выражения для характеристичесішх уравнений, собственных и сингулярных функций элементарных звеньев (интегратора, апериодического звена, колебательного звена и прочих).
5. Показана связь классических частотных характеристик динамических систем с собственными или сингулярными числами математических динамических систем, моделируемых на ограниченном интервале времени.
6. Построены алгоритмы поиска ганкелевых, собственных и сингулярных фушщий односвязных и многосвязных динамических систем в процессе натурного эксперимента с объектом.
7. Разработаны численные методы идентификации динамических систем на основе ганкелевых, собственных и сингулярных фушщий односвязных и многосвязных динамических систем.
Научная новизна работы. В диссертации существенно расширен состав компьютерных экспериментов, сходных с ганкелевым. Учитывается таюке, что математическая модель линейного динамического объекта может быть известна недостоверно. Использование существующего математического аппарата и программного обеспечения в таких случаях затруднено или невозможно. Все выносимые на защиту положения нацелены на преодоление отмеченных сложностей и имеют научную новизну.
Практическая ценность и реализация. Предлагаемая методология имеет широкую сферу практического применения при решении задач технической диагностики и идентификации динамических объектов различных классов. Она позволяет существенно повысить эффективность проведения научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ. Практическая ценность результатов работы состоит в их реализации в виде современных компьютерных инструментальных средств: специализированного пакета VISUAL MATLAB и пакета MALAB он-лайн для решения научно-исследовательских задач в сети, опубликованных на сайтах Exponenta.ru (дистрибутора MATLAB в России), EqWorld (Мир математических уравнений). Сопровождающий пакет научно-образовательный портал artspb.com внесен в реестр федеральных порталов на сайте Министерства образования и науки и доступен широкому употреблению.
Результаты работы использованы также в научных отчетах по исследованию фундаментальной проблемы формировании основ математической теории функциональной диагностики динамических систем в рамках научных работ Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ).
Апробация работы. Основные научные и практические результаты диссертационной работы были представлены и одобрены на отечественных и международных конференциях и семинарах, в том числе на Второй Российско-Шведской конференции 1995 года, на Международных научно-технических конференциях ДИМЭБ по диагностике, информатике, метрологии, экологии и безопасности (1995-1998 гг. Санкт-Петербург), на конференциях того же уровня по проблемам логико-лингвинистического управления динамическими объектами (DOLLC 1999-2001 г., Санкт-Петербург), на конференциях в городах Москва, Саранск, Алушта, и др. и на теоретических семинарах кафедр вычислительных систем и сетей ГУАП, теоретической кибернетики СПбТУ, на семинарах институтов Машиноведения РАН и СПИИРАН в 2001-2005 г. Помимо прочего результаты диссертации регулярно апробировались в рамках отчетов по проекту Минобразования 01-01-00011 и грантов РФФИ за номерами 95-0100044, 96-01-14088, 98-01-0011, 04-01-00464 за 2004-2006 г.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены самостоятельно и в соавторстве в 3 книгах и 42 других публикациях (из них 12 опубликованы в периодических изданиях, входящих в перечень ВАК), в том числе имеется 5 авторских свидетельств на изобретения.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения.
В первой главе проводится обзор основных понятий, используемых в диссертации, рассматриваются определения сингулярных чисел и функций ганкелева оператора линейной динамической системы, поясняется метод их нахождения, не требующий знания математического описания объекта, приводится описание ганкелева эксперимента с объектом, рассматриваются его математические модели, а также модели ганкелевых функций. Ставится расширенная постановка задачи на проведение ганкелева эксперимента. Описывается применение сингулярных чисел в задачах идентификации. Приводятся также сведения по идентифицируемости систем как части компьютерного системного анализа.
Вторая глава имеет цель описать и систематизировать ряд операторов, ассоциированных с линейной динамической системой, обладающих разными видами симметрии. При этом наряду с обычной рассматривается симметрия ганкелева и теплицева типа, а также некоторые виды скрытой симметрии.
В третьей главе рассмотрены спектральные свойства линейных динамических систем на ограниченном интервале времени. Показана связь исследуемых сингулярных характеристик с классическими частотными характеристиками. Исследованы сингулярные характеристики типовых динамических звеньев, трансцендентные характеристические уравнения, парциальные спектры сингулярных функций. В методическом отношении такой подход полезен, поскольку он позволяет предсказать поведение динамических систем, у которых по мере уменьшения интервала времени Т меняются спектральный состав и "удельный вес" парциальных компонент, так что на малом интервале времени они становятся сходными с элементарными звеньями.
В четвертой главе флип-метод распространен на оператор свертки и другие операторы, связанные с системой. Рассмотрены примеры применения флип-метода для определения сингулярных функций операторов динамических систем: в процессе натурного эксперимента для электрической цепи и для системы связанных резервуаров. Предложены численные методы идентификации динамических систем, включая идентификацию их на основе исследуемых сингулярных функций.
В пятой главе рассмотрены дополнительные вопросы построения системных критериев управляемости и идентифицируемости, мер модального доминирования, алгоритмы решения вырожденных задач идентификации. Рассмотрены таюке вопросы визуализации компьютерных экспериментов, реализации разработанных численных методов в составе пакетов автора VISUAL MATLAB, MATLAB ON LINE и др.
В заключении приведены основные научно-технические результаты и сделаны выводы по диссертационной работе.
В приложение помещено описание программного обеспечения, разработанного автором.
Сингулярные числа и сингулярные функции динамических систем
Перейдем к более полному описанию линейных динамических систем с тем, чтобы ввести интересующие нас понятия более строго. Следуя Гловеру [125], рассмотрим линейную стационарную динамическую систему с одним входом и одним выходом, описываемую уравнениями в пространстве состояний х(0 = Аж(/) + Вм(0, ХО = Сх(0, 1 ; где x(t) є R" - вектор состояния, u(t), y(t) - входной и выходной сигналы соответственно для каждого / 0. Передаточная функция системы имеет вид Q(p) = СОЕ - А)_1В. (1.2.2) Если собственные значения матрицы А расположены строго в левой части комплексной плоскости, можно определить также грамианы управляемости и наблюдаемости, соответственно, как СО 00 Р= jeAtBB eAtdt, R = JeA C CeA . (1.2.3) о о Обе указанные выше матрицы могут быть найдены из уравнений Ляпунова вида АР+РА +ВВ =0, A R+RA+CC =0. Эти матрицы при линейном преобразовании координат z(/) = Тх(ґ) меняются конгруэнтно: ТРТ , Т RT , однако их произведение изменяется преобразованием подобия TPRT-1. Следовательно, собственные числа произведения матриц PR не зависят от выбора базиса и являются вход-выходными инвариантами данной линейной динамической системы. Опираясь на это обстоятельство, Гловер предложил следующее определение.
Запишем некоторый вектор х(0)=\с[и(-Г),и(-2),... ]Т Пусть при / 0 управление n(t) = 0, тогда выход [y(Q),y(Y),... ] = W0 х(0), что ведет к следующей формуле [у(0),у(ї),... ] = Н [г/(-1),г/(-2),... ] . Обратим внимание на инверсию отсчетов входного сигнала по отношению к выходному. Выходной сигнал, взятый в качестве входного, на котором реализуется собственное значение Н, является собственным вектором, соответствующим собственному числу X. (Н Н)= а,- (Н)2 .
Данные определения ганкелевых сингулярных значений и сингулярных функций (сингулярных векторов) линейного ганкелева оператора, введенные Гловером [125], естественным образом обобщает аналогичные понятия, применяемые в книге Ч. Лоусона и Р. Хенсона [76]. Они применены для решения сходных по существу задач вычисления степени обусловленности и редукции плохо обусловленных систем. Тем самым, они являются достаточно важными обобщениями и расширениями существующих понятий теории линейных систем на случай динамических объектов, описываемых передаточными функциями.
Напомним, что при определении сингулярных чисел матриц рассматриваются оба произведения А А и АА . При переходе к динамическим системам одно из произведений, сходных этому, образует линейный оператор, описывающий прохождение входного сигнала через исходную и сопряженную системы, а второе - дает матрицу кросс-грамиана, образуемую из произведения грамианов управляемости и наблюдаемости, введенных в теории Калмана. Поэтому сингулярные числа динамической системы определяются также через корни квадратные из собственных чисел матрицы кросс-грамиана.
В рамках этого направления были постулированы и изучены ганкелевы сингулярные числа, ганкелевы сингулярные функции, ганкелева норма передаточной функции [1, 125, 135, 136], каноническая форма Мура (сбалансированная каноническая форма динамической системы) и др., широко используемые при решении задач аппроксимации и редукции математических моделей объектов [7, 81, 133], при синтезе робастных систем методами Яоо-теории [122, 126], при решении задач идентификации параметров математических моделей объектов [129-131].
Из предыдущего следует, что для того, чтобы экспериментально наблюдать действие ганкелева оператора на сигнал u(f), заданный на интервале (0, Ті), надо развернуть его во времени, перейдя к сигналу u(), возбудить им систему на интервале (-Ті, 0), и зарегистрировать реакцию на интервале (0, Т2). Далее указанную последовательность действий будем для краткости называть ганкелевым экспериментом.
Ганкелев оператор играет важную роль в современной теории. В отличие от оператора свертки, который отображает текущие входы системы в ее текущие выходы, ганкелев оператор Г описывает отображение прошлых входов в будущие выходы.
Ганкелевы сингулярные функции представляют собой выходные сигналы модели, возбуждаемой при t 0 сигналами щ(і), Ui(i), ііг(І), являющимися зеркальными отражениями функций /\(t), /2(t), /3(f) относительно оси ординат. Масштаб графиков и,-(/) уменьшен в \t раз.
В работе [82] исследованы собственные функции ганкелева оператора скалярных систем и сингулярные функции ганкелева оператора многосвязных систем. Эти функции несут существенную информацию о системе и оказываются полезными при анализе ее минимальности, идентифицируемости и диагностируемости. Кроме того, они обладают экстремальными свойствами и могут быть получены как решения специальных оптимизационных задач.
Использование этих методов требует знания математического описания исследуемой системы, например, ее матричной передаточной функции или описания в пространстве состояний. При решении прикладных задач возникает необходимость в отыскании собственных и сингулярных функций ганкелева оператора и при неизвестном описании объекта.
Поиск симметричных или самосопряженных частей
Наиболее глубокие результаты теории операторов получены для самосопряженных систем. Это объясняется тем, что они обладают высокой степенью симметрии, характеризуемой равенством А = А . Многие операторы, возникающие при исследовании линейных динамических систем, не являются симметричными в указанном классическом смысле. Типичным примером служит оператор свертки, а также операторы управления и наблюдения. Поэтому представляет интерес задача симметрирования этих операторов, т.е. перехода от них к симметричным или самосопряженным операторам, сохраняющим те или иные свойства исходных операторов.
Сначала остановимся на мультипликативном подходе к выделению симметричной части линейного оператора. Симметричные операторы #i и Нг наследуют ряд важных свойств оператора А, в частности имеют те же сингулярные числа (и, следовательно, спектральные нормы), а их сингулярные функции связаны простой зависимостью. Заметим, что если не требовать положительной определенности Н\, Нг, то указанное разложение не единственно, т.е. существует много полярных разложений одного и того же опера-тора (по числу квадратных корней из самосопряженных операторов АА и А А).
Технически реализацию указанных ганкелевых операторов можно осуществить, добавляя ко входу или к выходу динамической системы блок, реализующий оператор зеркального отображения функции во времени относительно середины временного интервала (О, Т). Этот оператор, осуществляющий переход к обратному времени, будем называть флип-оператором (от анг. flip - разворот) и обозначать как F. Его действие на непрерывный сигнал поясняется рис. 2.2.1.
Целесообразность рассмотрения ганкелевых операторов Н\, Нг поясним на следующем примере. Рассмотрим на множестве линейных систем отношение изометрической эквивалентности, а именно, будем считать две системы S\ и Sj изометрически эквивалентными, если их операторные нормы совпадают.
Нетрудно убедиться, что системы с операторами Н\ и Н2 изометрически эквивалентны системе S в смысле любой из операторных р-норм, как в конечномерном пространстве R", так и бесконечномерных пространствах L\, L2, Ню. Более того, поскольку действие флип-оператора сохраняет форму непрерывных сигналов с точностью до зеркального отображения, у этих трех операторов будут совпадать (с той же оговоркой) и входные сигналы, на которых достигаются эти нормы. Это означает, что для решения задач, связанных с отысканием норм операторов и экстремальных сигналов, на которых достигаются нормы, можно вместо оператора свертки S использовать симметричные операторы Яь Н2, более просто устроенные с точки зрения классической теории операторов.
Оператор свертки является оператором типа Вольтерра с нулевым спектром и на конечном интервале не имеет собственных функций. Для нахождения его сингулярных функций требуется решать двухточечную краевую задачу, доставляющую серьезные трудности уже в случае систем второго порядка. В то же время спектр операторов Яь Н2 вещественный, а собственные функции ортогональны. Изометрическая эквивалентность операторов #ь H2nS свидетельствует о том, что сингулярные функции оператора свертки совпадают с собственными функциями симметрированных операторов. Для отыскания собственных функций может быть использован итерационный метод, сущность которого иллюстрирует схема, приведенная на рис. 2.2.2.
Согласно схеме, для отыскания собственной функции симметричного оператора Н его нормированная реакция y(t) итерационно подается на вход в качестве нового входного сигнала u{f). Через несколько итераций в контуре устанавливается сигнал, соответствующий главной собственной функции оператора (после ее исключения из выходного сигнала можно последовательно найти и остальные собственные функции). Условия сходимости такого итерационного процесса дает теория операторов. В теории матриц аналогичные итерационные процедуры используются для нахождения или уточнения собственных векторов.
При переходе от оператора свертки к операторам Н\ и Н2 был использован флип-оператор F. Отметим некоторые его свойства. Ближайший матричный аналог флип-оператора, к которому он сводится при дискретизации процессов на входе и выходе системы - это оператор, описываемый матрицей перестановок с единичными элементами на побочной диагонали. Правое (левое) умножение матрицы перестановок на произвольную матрицу приводит к зеркальному отражению последней относительно вертикальной (горизонтальной) оси, то есть к своеобразному вертикальному или горизонтальному "транспонированию".
Флип-оператор обладает целым рядом специальных свойств: он симметричен F = F, ортогонален F = F l и инволютивен F = Е, где Е — тождественный оператор. Отсюда вытекает, что собственные числа флип-оператора вещественны и по модулю равны единице, то есть его спектр сосредоточен в точках ±1. Множество собственных функций флип-оператора, отвечающих собственным числам +1, образовано всеми функциями, заданными на интервале (О, Т) и симметричными (четными) относительно середины этого интервала, а множество собственных функций, отвечающих собственным числам -1, образовано всеми кососимметричными (нечетными) функциями. В конечномерном случае число четных собственных векторов равно или больше на единицу числа нечетных. Флип-оператор допускает экспоненциальное представление вида F = e , где симметричный оператор Ф определяется формулой 0 TI{E-F)I2. Матрица дискретного представления оператора Ф имеет крестообразную структуру - все ее ненулевые элементы расположены на главной и побочной диагоналях. В силу изометричности флип-оператор не меняет энергии преобразуемых сигналов, а также их классических норм. Это качество позволяет образовывать с помощью флип-оператора F эквивалентные по норме комбинированные операторы типа FS, SF, FSF.
Сингулярные функции систем
К числу наиболее значимых результатов относятся частотный критерий устойчивости, синтез корректирующих звеньев по логарифмическим частотным характеристикам и др. Несмотря на достигнутое, эта сфера продолжает расширяться. Так, сравнительно недавно, возникли методы редукции моделей динамических систем на основе сингулярных чисел ганкелева оператора и методы синтеза //оо-оптимальных регуляторов на основе сингулярных чисел передаточной функции. В теории динамических систем, в частности, в теории управления, спектральные характеристики линейных операторов обычно рассматривают на неограниченном интервале времени протекания процессов. Подобные идеализации упрощают математический аппарат, однако нередко это происходит в ущерб содержательной стороне его применения.
Глава посвящена изучению спектральных характеристик оператора свертки на конечном интервале времени (О, Т). Предпочтение отдается частотному подходу. Частотный подход играет особую роль в теории управления. Амплитудно-частотная (АЧХ) и фазовая (ФЧХ) характеристики динамических объектов широко используются при решении задач анализа и синтеза систем управления. Однако все они отвечают бесконечному интервалу времени приложения воздействия, тогда как реальные системы работают конечное время. Возникает естественное желание ввести аналоги частотных характеристик на ограниченном интервале времени и выяснить их связь с классическими. Содержательный ответ на этот вопрос можно получить в терминах спектральных характеристик оператора свертки. В главе показывается, что сингулярные числа оператора свертки, рассматриваемого на интервале длительности Т, образуют дискретное множество, точки которого расположены на классической непрерывной АЧХ. Чем протяженнее интервал Т, тем плотнее будут линии дискретного операторного спектра. Указанная закономерность нетривиальна и не повторяет во всех деталях соотношения дискретного и непрерывного спектров сигналов, известного в теории преобразования Фурье. В отличие от теории сигналов, при переходе от бесконечного интервала времени к конечному спектр хотя и становится дискретным, но его отсчеты на оси частот не становятся регулярными. В отношении спектральных характеристик оператора свертки исследуются три основные задачи.
Первая из них состоит в получении характеристического уравнения (или совокупности уравнений) для сингулярных чисел оператора свертки. Соответствующий конечномерный аналог в матричном исчислении содержит полином, здесь это будет уже трансцендентная функция, имеющая бесконечное (счетное) количество нулей.
Вторая задача связана с поиском аналитических соотношений между сингулярными числами и сингулярными функциями. В теории матриц известно немного примеров, в которых компоненты собственных векторов явным образом выражаются через собственные значения. В частности, известно, что для матрицы Фробениуса собственные векторы образуют матрицу Вандермонда из собственных чисел. Тем более интересно отыскать такого рода соотношения для бесконечномерных задач.
Третья задача состоит в поиске характеристик сингулярных функций оператора свертки и установлению их связи с классическими. Континуальность сингулярных функций не отвергает возможности описания их конечным набором коэффициентов. Так, например, весовая функция скалярной системы полностью характеризуется 2п параметрами (где п -порядок системы), которые можно связать с коэффициентами передаточной функции. Сингулярную функцию можно рассматривать как модель динамической системы, раскрывающую ее пропускные способности на конечном интервале времени. Так же, как и любая другая функция времени, она имеет амплитудный спектр Фурье. Частоты сингулярной функции, т.е. ее парциальный спектр, связаны с топологическими особенностями АЧХ. Заметим, что на топологию АЧХ опирается анализ устойчивости систем по Наиквисту, так что развиваемый подход вполне лежит в русле традиций теории моделирования динамических систем.
Тем самым, исследование разбивается на три этапа: изучение качественных закономерностей, отличающих спектральные характеристики линейных динамических систем на ограниченном интервале времени; изучение парциальных частот гармонических компонент сингулярных функций и их локализация (подобно кругам Гершгорина, только не для спектра оператора, а для парциального спектра сингулярных функций); разработка численных алгоритмов и графоаналитических методов нахождения спектральных характеристик.
Глава состоит из пяти разделов. В разделе 3.2 вводятся необходимые математические модели и дается определение сингулярных функций оператора свертки на конечном интервале времени. В разделе 3.3 устанавливаются важное свойство симметричности сингулярных функций и другие качественные характеристики, облегчающие нахождение их аналитического описания. Раздел 3.4 посвящен поиску сингулярных функций на основе частотного подхода, при этом важную роль играет флип-оператор, введенный в работах [19, 20].
Содержание флип-метода в натурном эксперименте
Как уже отмечалось, при решении ряда прикладных задач возникает необходимость в отыскании собственных и сингулярных функций ганкелева оператора. Можно выделить два подхода к их нахождению - аналитический и экспериментальный. Аналитические методы опираются на формулы, приведенные в предыдущем разделе. Однако для их применения необходимо знать матрицы А, В, С описания в пространстве состояний либо матричную импульсную характеристику объекта. Если же математическое описание исследуемого объекта неизвестно, то аналитические методы непосредственно неприменимы. В таких случаях следует использовать практический подход, предполагающий разработку инженерных методов определения ганкелевых собственных и сингулярных функций путем проведения некоторых вход-выходных экспериментов над объектом.
Имеется реальный объект с г входами и s выходами, удовлетворяющий принципу суперпозиции. Назовем вход-выходным экспериментом над объектом процедуру подачи на его входы некоторого управляющего воздействия 11(7) и регистрации выходных реакций (отклика) у (і) на это воздействие.
Требуется разработать метод, позволяющий в результате конечного числа таких экспериментов определить с заданной степенью точности ганкелевы сингулярные числа и функции. Отметим, что с методической точки зрения здесь имеется полная аналогия с задачей определения импульсной весовой характеристики объекта, для решения которой разработан ряд экспериментальных методов, таких как возбуждение объекта импульсным или ступенчатым сигналом с последующей обработкой реакции, возбуждение объекта белым шумом и вычисление взаимной корреляционной функции между выходом и входом, возбуждегше объекта произвольным сигналом с последующим решением уравнения Винера-Хопфа и др.
Через Q (р) на ней обозначена передаточная функция дуальной системы, а через Г - сопряженный ганкелев оператор. Схема иллюстрирует итерационную процедуру нахождения правых и левых сингулярных функций ганкелева оператора, т. е. функций R,(/) и S7(/), удовлетворяющих уравнению (4.1.4) . К сожалению, эта схема не может быть непосредственно применена для экспериментального определения ганкелевых сингулярных функций из-за наличия в ней сопряженного оператора Г. В связи с этим возникает важная задача определения реакции сопряженного ганкелева оператора путем проведения экспериментов с исходной системой.
Переключатели Пь Пз и П2, ГЦ движутся синхронно. В исходном положении П2, П4 находятся в верхнем положении, Пь П3 пробегают все положения, полученные результаты суммируются, в результате чего определяется величина z\(t). Переключатели П2, Щ переводятся во второе положение, вся процедура повторяется, в результате чего определяется величина zi{t) и т.д.
Дуальный эксперимент позволяет, проведя конечное число N=rxs экспериментов с исходной системой, найти реакцию дуальной системы на любое наперед заданное входное воздействие.
Получение ганкелевых сингулярных функций. Воспользуемся описанным способом для того, чтобы определить выходные сигналы блока QT(p) в схеме, изображенной на рис. 4.2.2. Это дает возможность осуществить ее экспериментальную реализацию, имея в распоряжении единичный экземпляр исследуемой системы, с которым сначала проводится ганкелев, а затем дуальный эксперимент.
При отыскании остальных ганкелевых сингулярных чисел и функции алгоритм следует дополнить процедурой ортогонализации Грама-Шмидта для отстройки от уже найденных сингулярных функций.
С целью улучшения сходимости алгоритма в случае близких сингулярных чисел могут использоваться различные его модификации. Для односвязных систем алгоритм упрощается, поскольку шаги 2 и 3 будут отличаться только длительностями вход-выходных интервалов. Завершая данный раздел, перечислим основные черты флип-метода определения ганкелевых сингулярных функций.
При отсутствии равных по модулю сингулярных чисел флип-метод позволяет найти полный набор левых и правых сингулярных функций ганкелева оператора для любых (устойчивых и неустойчивых) линейных систем при любых конечных длительностях интервалов Ть Т2.
При наличии кратных или равных по модулю сингулярных чисел соответствующие им ганкелевы сингулярные функции определяются с точностью до их линейных комбинаций и могут далее уточняться путем специальных экспериментов.
