Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ систем со случайной структурой 20
1.1 Постановка задачи анализа 20
1.2 Спектральный метод анализа систем со случайной структурой 27
1.3 Примеры анализа систем со случайной структурой спектральным методом 60
2 Синтез систем со случайной структурой 75
2.1 Постановка задачи синтеза оптимального управления . 75
2.2 Достаточные условия оптимальности 77
2.3 Синтез оптимального в среднем управления 85
2.4 Синтез оптимальных линейных систем 90
2.5 Спектральный метод синтеза оптимального управления системами со случайной структурой 98
2.6 Примеры синтеза оптимальных систем со случайной струк турой 121
3 Программное обеспечение спектрального метода анализа и синтеза систем управления 140
3.1 Назначение и основные возможности 140
3.2 Диалоговый формирователь алгоритма вычислений в спектральной области 144
3.3 Классы решаемых задач 147
Заключение 150
Приложения 152
- Постановка задачи анализа
- Спектральный метод анализа систем со случайной структурой
- Постановка задачи синтеза оптимального управления
- Назначение и основные возможности
Введение к работе
Современные задачи управления техническими объектами, позволяющие учитывать различные режимы функционирования, скачкообразные внешние воздействия или возможный отказ элементов, приводят к необходимости описания их математических моделей различными уравнениями на разных интервалах времени, т.е. использовать модели систем с переменной структурой, или мультиструктурпые системы.
Примерами систем с переменной структурой могут служить системы управления сближением летательных аппаратов [108], системы управления посадкой спускаемого аппарата, снабженного парашютной системой, в турбулентной атмосфере [10], системы поиска и захвата информационного сигнала в задачах навигации и управления полетом летательных аппаратов [29], системы комбинированного наведения на цель [42], а также системы управления с возможными нарушениями и отказами [11,87,88,116-118].
Причины, приводящие к изменению структуры системы, могут иметь различный характер, например, выход из строя одной из подсистем, перерывы при поступлении информации в контуре управления [42], адаптация к условиям внешней среды [108], скачкообразно изменяющиеся помехи [19], являющиеся результатом естественных или искусственных внешних воздействий, превышение координатами вектора состояния заданных пороговых значений [28] и т.д.
Область применения систем с переменной структурой не исчерпывается задачами управления летательными аппаратами, эти системы являются математическими моделями мультирежимиых систем автоматического управления, для которых характерно скачкообразное изменение отдельных параметров или структуры, т.е. совокупности функциональных элементов
и характера связей между ними [26].
Таким образом, разработка новых методов анализа и синтеза систем управления с переменной структурой является актуальной задачей.
Теория детерминированных систем с переменной структурой начала развиваться в конце 50-х годов прошлого столетия. В большинстве работ того периода рассматривались системы с ограничением на координаты вектора состояния и кусочно-линейные системы второго порядка со скалярными управлением и регулируемой величиной [107], а базовым методом исследования был метод фазовой плоскости в координатах ошибки и ее производных. Основные результаты этой теории изложены в работах СВ. Емельянова и его учеников [26,102].
В 70-е годы начался следующий этап, для которого характерны исследования существенно нелинейных систем с нелинейными поверхностями переключения и векторным управлением. Наиболее эффективным методом управления детерминированными системами с переменной структурой служит преднамеренное введение скользящих режимов, позволяющее произвести декомпозицию исходной задачи на подзадачи меньшей размерности. Применение скользящих режимов в системах с переменной структурой развивалось В.И. Уткиным [106,107]. В настоящее время разрабатываются методы синтеза оптимального управления нелинейными системами с переменной структурой [53,112,127].
Более общим классом систем, математическая модель которых позволяет учитывать случайные воздействия, являются стохастические системы с переменной структурой. Модель стохастической системы с переменной структурой имеет конечное число структур, переключение между которыми происходит в случайные моменты времени. Прежде всего, следует отметить, что в отличие от детерминированных систем с переменной структурой переход между структурами в стохастической системе может происходить не только при достижении координатами вектора состояния заданной поверхности переключения (такой тип переключения называется
сосредоточенным переходом), но и при любом значении координат вектора состояния с вероятностью, зависящей в общем случае от времени и текущего значения этих координат (распределенный переход). Стохастические системы с распределенными переходами называются системами со случайной структурой.
Целью настоящей диссертации является разработка новых методов анализа и синтеза систем со случайной структурой, основанных на спектральной форме математического описания систем управления.
Остановимся на обзоре существующих методов решения задач анализа и синтеза систем со случайной структурой. Можно выделить два основных направления вероятностного анализа. Первое направление, берущее начало в работах А.Н. Скляревича [87,88] и продолженное впоследствии Ф.А. Скляревичем [89], связано с определением моментных характеристик вектора состояния динамической системы с возможными нарушениями, например, в задачах теории надежности. А второе, более общее, заключается в нахождении плотности вероятности вектора состояния и плотности вероятности перехода, как наиболее полных вероятностных характеристик вектора состояния. В основе второго подхода лежит модель систем с поглощением и восстановлением реализаций случайного процесса, позволяющая с единых позиций рассматривать задачи анализа, синтеза и фильтрации стохастических систем управления с переменной структурой как при распределенных переходах, так и при сосредоточенных [5,7,29], а также стохастических логико-динамических систем [6].
Применение скользящих режимов в стохастических системах также имеет место [113], но, как показано в [31], анализ подобных систем можно свести к анализу мультиструктурных систем с сосредоточенными переходами.
В связи с вышесказанным второй подход представляется более предпочтительным с точки зрения решения прикладных задач, и поэтому составляет методологическую и теоретическую базу исследования, основы
которой были заложены в 70-е годы В.М. Артемьевым [5,6], В.А. Бухале-вым [12-15] и И.Е. Казаковым [28,30,32].
Для нахождения плотности вероятности вектора состояния системы управления со случайной структурой необходимо интегрировать систему обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова [5,28-31,108,120]. Методы анализа систем со случайной структурой, основанные на интегрировании обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, аналогичны методам анализа стохастических моноструктуриых систем (систем с фиксированной структурой) [20,55,83,104] и, следовательно, обладают всеми их достоинствами и недостатками. Аналитические методы применимы лишь в исключительных случаях. Из приближенных методов наиболее простым является метод гауссовской аппроксимации, однако он наименее точен, т.к. в отличие от моноструктурных стохастических систем даже в случае линейной модели объекта данный метод не дает точного результата [2,31]. Основное распространение получили методы, в основе которых лежит представление неизвестной плотности вероятности в виде ряда по ортогональным функциям (метод ортогонального разложения [28], методы анализа с использованием семиинвариантов и квазимоментов [108]). Эти методы позволяют перейти от уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова к системе обыкновенных дифференциальных уравнений достаточно большой размерности, численное интегрирование которой требует значительных временных затрат.
В качестве альтернативы обобщенным уравнениям Фоккера-Планка-Колмогорова можно с помощью преобразования Фурье свести задачу к решению обобщенных интегро-дифференциальных уравнений B.C. Пугачева [28,31], неизвестными в которых являются характеристические функции вектора состояния. Данный метод удобно применять в случае негладких локальных статистических характеристик вектора состояния — коэффициентов сноса и диффузии. Уравнения B.C. Пугачева имеют меньший порядок, тем не менее, аналитические методы решения к ним в общем случае
также не применимы.
Другой подход основан на численном интегрировании обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова с использованием методов, разработанных для классических уравнений [33,104,109,114]. Однако подобные методы имеют очевидные ограничения на размерность вектора состояния исследуемой системы.
Методы решения классических уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова подробно рассмотрены в работах [20,30,104,115,124-126].
Для определения плотности вероятности вектора состояния также можно применять метод статистического моделирования [2,3,45,55,83], но для достижения приемлемой точности требуется значительный объем вычислений.
В настоящей диссертации предлагается новый подход к решению задачи вероятностного анализа, основанный на формализме спектрального метода [93-98,123], позволяющий перейти от системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе линейных неоднородных алгебраических уравнений и получить решение в явном виде, Общая характеристика спектрального метода и основные этапы его развития будут приведены ниже.
Рассмотрим задачи и методы синтеза оптимального управления системами со случайной структурой. В работах [5,30] рассматривалась задача синтеза оптимального управления с полной обратной связью на ограниченном интервале изменения времени с учетом смены структуры в случае линейного по плотности вероятности функционала качества, т.о. оптимального в среднем управления. А в [116-118] изучалась та же задача, по на полубескоиечном промежутке изменения времени, а также с эргодическим критерием качества управления. Однако на практике не всегда есть возможность измерения всех координат вектора состояния, кроме того, рассмотрение случая, когда функционал качества является линейным по плотности вероятности вектора состояния, сужает класс возможных решаемых
задач.
В настоящей работе получены новые достаточные условия оптимальности в задаче управления нелинейной системой со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния, основанные на принципе расширения В.Ф. Кротова [23,37]. При выводе соотношений для оптимального управления используется методика, предложенная А.В. Пантелеевым для моноструктурных детерминированных и стохастических систем, а также систем управления ансамблем траекторий [47,48,50,82]. Другая форма условий оптимальности для моноструктурных систем была получена М.М. Хрусталевым [52,76]. Результаты [47,48,50,76,82] обобщаются на класс систем со случайной структурой.
Полученные соотношения позволяют найти оптимальное управление с неполной обратной связью, т.е. в случае, когда управление зависит от времени и части координат вектора состояния, причем функционал качества управления в общем случае является нелинейным по плотности вероятности вектора состояния, как частный случай рассмотрен синтез оптимального в среднем управления. Также проанализированы предельные случаи информированности о векторе состояния и найдены соотношения для синтеза оптимального программного управления и управления с полной обратной связью.
Наряду с этим решена задача синтеза оптимальных линейных систем со случайной структурой и квадратичным по координатам вектора состояния функционалом качества как при отсутствии информации, так и при наличии полной информации о векторе состояния.
Существующие методы решения задачи синтеза стохастических систем с фиксированной структурой применимы лишь в частных случаях [35,110,119], а для систем со случайной структурой подобные методы в литературе практически не описаны, за исключением синтеза оптимального управления линейными системами и квадратичным по координатам вектора состояния функционалом качества при точных и неточных измерени-
ях. В связи с этим для решения задачи синтеза оптимального управления мультиструктурными системами предлагается новый метод, так же как и для задачи вероятностного анализа, основанный на спектральной форме математического описания систем управления.
С помощью спектрального преобразования, соотношения для определения оптимального управления, а именно система обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова и обобщенных уравнений Беллмана, сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений, решение которой осуществляется либо итерационными методами [46], либо методом сведения к эквивалентной задаче безусловной оптимизации с последующим применением методов нулевого порядка, например, случайного поиска или конфигураций [49].
Спектральный метод анализа и синтеза линейных детерминированных и стохастических систем управления был разработан в конце 60-х годов В.В. Семеновым [77,78,86], а затем обобщен на нелинейные системы [85]. Предпосылкой развития спектрального метода явились исследования иод руководством В.В. Солодовиикова в области аналитических самонастраивающихся нестационарных систем и применение метода ортогональных спектров как обобщения частотного метода [92].
В основе спектрального метода лежит представление сигналов совокупностью коэффициентов разложения их в ряд Фурье по полной ортонор-мированной системе функций, заданной в общем случае на нестационарном отрезке. Базовые понятия метода - нестационарные спектральные характеристики (спектральные характеристики функций), нестационарные спектральные плотности (спектральные характеристики математического ожидания и ковариационной функции случайного процесса) и нестационарные передаточные функции (спектральные характеристики линейных операторов). Теория спектрального метода и ее приложения нашли свое отражение в монографиях В.В. Семенова и В.В. Солодовиикова [93-95], В.В. Солодовиикова, А.Н. Дмитриева и Н.Д. Егупова [91], а также СВ. Ла-
пина и Н.Д. Егупова [41].
Дальнейшее развитие спектрального метода связано с решением задачи вероятностного анализа многомерных стохастических систем с фиксированной структурой. В работе [79] введено понятие обобщенной характеристической функции — нестационарной спектральной характеристики плотности вероятности вектора состояния стохастической системы, однако для получения уравнения обобщенной характеристической функции как спектрального аналога уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова спектральное преобразование применялось только по координатам вектора состояния, и, таким образом, уравнение Фок кер а-Плаї і ка-Колмогоров а сводилось к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналогичный подход был применен для синтеза оптимального управления нелинейными стохастическими системами [80]. В работах И.Л. Сотсковой [96, 97] для вывода уравнения обобщенной характеристической функции спектральное преобразование применялось и по координатам вектора состояния, и по переменной времени, что позволило свести уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова к линейному алгебраическому тензорному уравнению и получить решение в явном виде, а в [123] приведено обоснование данного метода и вывод как дифференциального, так и алгебраического уравнения обобщенной характеристической функции. В работе [51] был предложен подход, использующий спектральных метод, для решения задачи синтеза оптимальных стохастических систем с неполной обратной связью, в частности, были получены спектральные аналоги уравнений стохастического принципа максимума и уравнения Беллмана. Кроме того, И.Л. Сотсковой и автором настоящей диссертации разработаны спектральные методы анализа логико-динамических и непрерывно-дискретных стохастических систем как частного случая стохастических систем с переменной структурой [63,64,99,100].
Использование спектральной формы математического описания позволяет формализовать процесс решения задач анализа и синтеза в слу-
час различных областей изменения времени и координат вектора состояния [62,98]. При решении задач анализа или синтеза стохастических систем управления с ограниченными областями изменения времени и координат вектора состояния используется алгоритмическое обеспечение спектрального метода для нестационарных конечных отрезкон [84,93-95]. В случае неограниченных областей предлагается использовать обобщенные полиномы и функции Лагерра, ортогональные в пространстве /^([О^+со)), а также полиномы и функции Эрмита, ортогональные в пространстве L2 (М) [G9].
В диссертационной работе получены алгоритмы расчета спектральных характеристик операторов дифференцирования, интегрирования и умножения (нестационарных передаточных функций дифференцирующего, интегрирующего и усилительного звеньев соответственно), а также спектральных характеристик множительного звена (трехмерных нестационарных передаточных функций множительного звена), определенных относительно системы обобщенных полиномов и функций Лагерра, полиномов и функций Эрмита для решения различных прикладных задач теории управления с использованием спектральной формы математического описания систем в случае полубескопечпых или бесконечных промежутков изменения времени и координат вектора состояния, в частности, для решения задач анализа и синтеза систем со случайной структурой. Выбор базисных функций определяется условиями конкретной задачи, но в рассматриваемом контексте полиномы или функции Эрмита удобно применять при спектральном преобразовании по координатам вектора состояния, а для переменной времени целесообразно применять обобщенные полиномы или функции Лагерра, если промежуток изменения времени не ограничен.
При численном расчете систем управления спектральным методом можно использовать как полиномы, так и функции Эрмита для бесконечных интервалов изменения координат вектора состояния, и обобщенные полиномы или функции Лагерра для полубесконечных интервалов изменения времени с последующим сравнением результатов, что является одним
из методов контроля правильности и точности расчетов [05].
Спектральный метод является более универсальным по сравнению с другими методами, основанными на ортогональных разложениях, например, методом моментов [111], представлением плотности вероятности рядами Грама-Шарлье или Эджворта [108], поскольку соотношения для решения задач анализа и синтеза спектральным методом, во-первых, представляют собой алгебраические уравнения, а во-вторых, они инвариантны к выбору базисных систем и их свойствам.
В первую очередь, спектральный метод ориентирован на применение цифровых вычислительных машин, поэтому наряду с развитием спектральной теории разрабатывалось и совершенствовалось соответствующее алгоритмическое и программное обеспечение. В семидесятых годах для расчета систем управления использовались пакеты подпрограмм спектрального метода, написанные на языках Алгол-СО и Фортран [95], а в начале восьмидесятых были заложены принципы построения САПР динамики систем управления с диалоговыми формирователями программ, ее основу составили система элементарных алгоритмов динамического расчета, ориентированная на предметную область теории управления, и система специализированных алгоритмов динамического расчета, предназначенная для решения конкретных прикладных задач [81]. В частности, были разработаны модули элементарных и специализированных алгоритмов динамического расчета спектрального метода на языках программирования Алгол-60, Фортран и PL/1 [72]. В начале девяностых появилась система СПЕКТР для расчета систем управления спектральным и частотным методами, а также методом моделирования [1С]. Особенностью данного программного обеспечения является задание системы управления с помощью структурных схем, что обеспечивает наглядность и простоту решения задач анализа. Другой подход использован в системе ИКС-АЛГОРИТМ [17], в основе которой лежит ввод формул в директивном режиме на ограниченном языке, ориентированном на применение библиотеки подпрограмм
спектрального метода. Однако все описанные программные средства не отвечают современным требованиями, предъявляемым к программному обеспечению, более того, они разрабатывались для устаревших в настоящее время операционных систем и вычислительных машин, поэтому возникла необходимость в разработке нового программного обеспечения спектрального метода, В настоящее время на кафедре «Математическая кибернетика» Московского авиационного института В.В. Рыбиным разработаны расширения математических пакетов MathCAD, VisSim+MathCAD, Matlab, Maple и Matheinatiea для анализа линейных нестационарных непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных систем управления при детерминированных или случайных воздействиях в спектральной форме математического описания [73-75], В рамках диссертационной работы создано программное обеспечение Spectrum, прежде всего ориентированное на решение задач анализа и синтеза многомерных нелинейных стохастических систем с фиксированной и случайной структурой [56].
Научная новизна работы заключается в следующих результатах;
предложена новая форма записи основных соотношений для решения задачи анализа — обобщенных уравнений Фокксра-Плапка-Колмогорова, позволяющая с единых позиций рассматривать задачи анализа и синтеза систем с фиксированной и случайной структурой;
разработан спектральный метод анализа систем со случайной структурой, а именно найден спектральный аналог обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова — уравнения обобщенных характеристических функций, приведен алгоритм их решения как для общего случая, так и для ряда частных случаев, найдены соотношения для определения вероятностных характеристик активности структур и моментных характеристик вектора состояния с использованием спектральной формы математического описания, сформирована методика решения задачи анализа;
поставлена задача синтеза оптимальных систем со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния и доказаны
достаточные условия оптимальности в этой задаче;
получены соотношения для определения оптимального управления системами со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния, как частный случай рассмотрена задача оптимального в среднем управления;
найдены соотношения для определения оптимального программного управления и оптимального управления с полной обратной связью линейными системами со случайной структурой с квадратичным функционалом качества;
разработан спектральный метод синтеза оптимальных в среднем систем со случайной структурой, а именно найдены спектральные аналоги обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова и обобщенных уравнений Беллмана1 сформирована методика решения задачи синтеза;
для решения задач анализа и синтеза систем со случайной структурой спектральным методом разработаны алгоритмы расчета спектральных характеристик операторов дифференцирования, интегрирования и умножения в базисах обобщенных полиномов и функций Лагсрра, полипомов и функций Эрмита.
Результаты, полученные в диссертационной работе, вносят определенный вклад в развитие методов анализа и синтеза систем со случайной структурой и теорию оптимального управления системами со случайной структурой, дополняют спектральную теорию систем управления.
Практическая значимость диссертационной работы состоит в разработке новых алгоритмов анализа и синтеза систем со случайной структурой, основанных па спектральной форме математического описания систем управления, которые достаточно просто реализуются на современных вычислительных машинах, и в разработке специализированного алгоритм мического и программного обеспечения для решения указанных задач с применением ЭВМ.
Основные результаты диссертационной работы докладывались на,
научно-образовательном семинаре «Проблемы математической кибернетики» центра исследования устойчивости и нелинейной динамики при институте машиноведения РАН и кафедры «Математическая кибернетика» Московского авиационного института под руководством академика В.М. Мат-росова и на следующих научных конференциях: на втором международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ», Москва, июнь 2002 г.; на одиннадцатом международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации», Алушта, сентябрь 2002 г.; на четвертой международной конференции «Компьютерное моделирование 2003», Санкт-Петербург, июнь 2003 г.; па двенадцатой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Владимир, июль 2003 г.; на восьмой международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении», Санкт-Петербург, июнь 2004 г.; на третьей международной конференции «Авиация и космонавтика - 2004», Москва, ноябрь 2004 г.; па международной конференции «Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика)», Минск, май 2005 г.: на второй всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, июнь 2004 г.
По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ [56?58,59.64,66, 68,69], две работы находятся в печати [60,71]. Часть материалов вошла в отчеты о научно-исследовательской работе по госбюджетной теме «Развитие методов нелинейного анализа в классической небесной механике» за 2002, 2003, 2004 годы, раздел «Программное обеспечение новых методов анализа и синтеза динамических систем и тестирующих обучающих система.
Программное обеспечение Spectrum используется в учебном процессе кафедры «Математическая кибернетика» Московского авиационного института для проведения расчетных, лабораторных и курсовых работ по курсам «Теории автоматического управления» и «Спектральная теория систем управления».
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав? заключения, двух приложений и списка литературы.
В первой главе рассматривается задача анализа систем со случайной структурой. В разделе 1.1 дана постановка задачи анализа, приведены основные соотношения для нахождения плотности вероятности вектора состояния (обобщенные уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова), а также выражения для вероятностей работы структур системы и взвешенных и условных моментных характеристик вектора состояния, В разделе 1.2 доказаны утверждения о свойствах спектрального преобразования функций и линейных операторов, в частности, операторов дифференцирования, приведен вывод уравнений обобщенной характеристической функции как спектрального аналога обобщенных уравнений Фокксра-Планка-Колмогорова и алгоритм решения этих уравнений для общего случая систем со случайной структурой и для ряда частных случаев: систем с двумя структурами, систем с однонаправленными переходами и систем, переходы в которых возможны только между соседними структурами. Введено понятие спектральных характеристик линейных функционалов и доказан ряд свойств, на основе которых получены соотношения для определения вероятностей работы структур системы и моментных характеристик вектора состояния с использованием спектральной формы математического описания. В разделе 1.3 даны примеры анализа систем со случайной структурой спектральным методом.
Вторая глава посвящена синтезу оптимальных систем со случайной структурой. Раздел 2.1 содержит постановку задачи синтеза оптимального управления при неполной информации о векторе состояния. В разделе 2.2 доказаны достаточные условия оптимальности, на основе которых получены соотношения для определения оптимального управления в общем случае минимизируемого функционала качества. Рассмотрены предельные случаи информированности и получены соотношения для синтеза оптимального программного управления и оптимального управления с полной
обратной связью. В разделе 2.3 выведены соотношения для решения задачи синтеза оптимального в среднем управления, рассмотрены предельные случаи информированности. Далее в разделе 2,4 рассмотрен частный случай, когда уравнение каждой структуры модели объекта является линейным, а функционал качества— квадратичным по координатам вектора состояния. В разделе 2.5 получены спектральные аналоги соотношений для синтеза оптимального в среднем управления при неполной информации о векторе состояния, и в частности, для предельных случаев информированности; приведен алгоритм решения этих уравнений. В разделе 2.6 приведены примеры синтеза оптимального управления в случае нелинейного по плотности вероятности функционала качества, оптимального программного управления и оптимального управления с полной обратной связью линейной системой с квадратичным по координатам вектора состояния функционалом качества, а также пример синтеза оптимального управления линейной системой с полной и неполной обратной связью спектральным методом.
В третьей главе описывается программное обеспечение спектрального метода анализа и синтеза систем управления Spectrum. В разделе 3.1 дана краткая характеристика системы Spectrum, описаны ее основные функции и возможности. Раздел 3.2 посвящен подробному описанию одного из главных модулей этой системы —диалоговому формирователю алгоритма вычислений в спектральной области, а о разделе 3.3 перечислены классы задач теории управления, которые можно решать спектральным методом с использованием системы Spectrum.
Приложение 1 содержит необходимые сведения из теории многомерных матриц. В разделе П1.1 даны основные понятия и определения. Способ представления многомерных матриц изложен в разделе П1.2, а в разделе П1.3 определены основные операции над многомерными матрицами и указаны их свойства,
Алгоритмическое обеспечение спектрального метода содержится в приложении 2- В разделе П2.1 даны базовые понятия спектрального ме-
тода — спектральные характеристики функций и линейных операторов для одномерного случая. В разделах П2.2 и П2.3 приведен вывод рекуррентных соотношений для вычисления спектральных характеристик операторов дифференцирования, интегрирования и умножения, а также спектральных характеристик множительного звена относительно обобщенных полиномов и функций Лагерра соответственно, а в разделах П2.4 и П2.5 — алгоритмы расчета спектральных характеристик относительно полиномов и функций Эрмита.
Постановка задачи анализа
Основным итогом диссертационной работы является разработка спектральных методов анализа и синтеза систем со случайной структурой. Это выражается в следующих результатах.
1. Предложена новая форма записи основных соотношений для решения задачи анализа — обобщенных уравнений Фоккера-Планка Колмогорова, позволяющая с единых позиций рассматривать задачи ана лиза и синтеза систем с фиксированной и случайной структурой.
2, Разработан метод анализа систем со случайной структурой, основанный па спектральной форме математического описания систем управления, а именно получен спектральный аналог обобщенных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова — уравнения обобщенных характеристических функций, приведен алгоритм их решения как для общего случая, так и для ряда частных случаев: для систем с двумя структурами, для систем с однонаправленными переходами между структурами и для систем, переходы в которых возможны только между соседними структурами. Получены соотношения для определения вероятностных характеристик активности структур и момеитиых характеристик вектора состояния с использованием спектральной формы математического описания. Сформирована методика решения задачи анализа.
3, Доказаны достаточные условия оптимальности в задаче управления системами со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния.
4. Найдены соотношения для определения оптимального управления системами со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния для общего случая минимизируемого функционала. Рассмотрены предельные случаи информированности.
5. Найдены соотношения для определения оптимального в среднем управлении системами со случайной структурой при неполной информации о векторе состояния. Рассмотрены предельные случаи информированности,
6. Получены соотношения для определения оптимального программного управления и оптимального управления с полной обратной связью для линейных систем со случайной структурой в случае квадратичного функционала качества,
7. Разработай метод синтеза оптимального в среднем управления для систем со случайной структурой, основанный на спектральной форме математического описания, а именно найдены спектральные аналоги обобщенных уравнений Фоккср а-План ка-Колмогорова и обобщенных уравнений Беллмапа. Сформирована методика решения задачи синтеза.
8. Разработано и внедрено в учебный процесс кафедры «Математическая кибернетика» Московского авиационного института (государственного технического университета) программное обеспечение спектрального метода Spectrum, предназначенное для решения задач анализа и синтеза систем управления различных классов, в том числе систем со случайной структурой.
9. С помощью разработанного алгоритмического и программного обеспечения решены следующие прикладные задачи: задача анализа релейной следящей системы управления, находящейся иод действием случайной помехи, с учетом возможного разрыва обратной связи; задача анализа системы поиска и захвата информационного сигнала; задача оптимальной стабилизации одномерной и двумерной систем с двумя структурами при неполной информации о векторе состояния.
Спектральный метод анализа систем со случайной структурой
Частоты попадания в разряд откладываются вверх в виде прямоугольников. Ломанная линия, соединяющая вершины разрядов гистограммы называется полигоном. При N-& со она превращается в теоретическую кривую, которая называется функцией плотности вероятности (или дифференциальным законом распределения) [71].
Вид полученной гистограммы позволяет сделать предположение о законе распределения случайной величины и наличии «грубых промахов» в выборке измерений. Для этого необходимо первоначально определить оценки основных выборочных параметров ряда распределения. Основными характеристиками любого распределения случайной величины являются моменты. Нас интересу ют 4 момента ряда распределения: простой или начальный момент, являющийся средним арифметическим выборки X; центральный момент второго поряд ка, который называется дисперсией распределения (оценка этой величины обозначается S, а корень квадратный из этой величины называется выборочным среднеквадратическим отклонением); основные моменты третьего и четвертого порядка, которые служат мерой косости (ассиметрией) кривой распределения относительно центра распределения и мерой крутости (эксцессом) выборочного распределения относительно кривой нормального распределения соответственно.
При статистических расчетах в силу конечности числа опытов большое значение имеют ошибки вычисления всех параметров ряда распределения. Одним из доказательств, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, является равенство нулю одновременно меры косости и меры крутости. Если их значения меньше или равны их удвоенной ошибке вычисления, то считается доказанным нормальный закон распределения случайной величины.
По каким либо признакам, обычно по внешнему виду кривой, высказывается гипотеза о том, что распределение случайной величины приближается к той или иной теоретической кривой распределения. Эта гипотеза проверяется с помощью вычисления выравнивающих частот выбранного распределения и одного из критериев согласия. По полученным результатам гипотеза либо принимается, либо отвергается.
Одной из предпосылок отыскания математической модели методами статистического моделирования является нормальный закон распределения параметра оптимизации. Это следует из того, что многие статистические критерии выполняются только при условии нормального закона распределения случайной величины и в случае отклонения дают неадекватные результаты. Поэтому необходимо иметь возможность предварительно проверить закон распределения параметров и в случае необходимости преобразовать его к нормальному [1].
Для проверки закона распределения на совпадение с нормальным законом распределения используется критерий согласия 2-Пирсона (хи-квадрат).
Значение критерия вычисляется путем суммирования квадратов разностей между вычисленными выравнивающими частотами, то есть частотами, которые должны быть при нормальном (согласно нашему предположению) распределении, приведешіьши к масштабу опыта, и уже имеющимися по гистограмме выборочными частотами. По таблице (% ) определяется вероятность совпадения выборочного ряда распределения с нормальной кривой распределения.
Критерий согласия Р(# ) не дает возможности с уверенностью утверждать или отрицать гипотезу. Существует довольно простое правило (критерий Романовского) [71], значительно облегчающее использование критерия согласия Пирсона для оценки расхождения между выборочными и выравнивающими частотами, которое при выполнении неравенства говорит о том, что расхождение случайно и вызвано малостью выборки, в противном случае, расхождение следует полагать существенным и признать, что выборочное распределение не подчиняется теоретическому закону, с которым его сравнивали.
Практика показала, что список параметров, имеющих место при исследовании сложного объекта современного производства, варьируется от нескольких десятков до нескольких сот наименований, причем степень воздействия каждого из факторов в начальный момент не ясна. Приступать к работе по не « посредственному определению модели в этих условиях нельзя - объем требуе мой информации может оказаться слишком велик, причем большая часть работы по сбору этой информации будет проделана впустую из-за того, что степень влияния на параметры оптимизации большинства факторов из первоначального списка окажется пренебрежимо малой. Поэтому необходимым этапом при определении модели сложного объекта является работа по сокращению размерности факторного пространства. Большинство промышленных производств являются групповыми иерархическими процессами массового и крупносерийного производства, характеризующимися сотнями факторов, С целью исследования системных связей и закономерностей функционирования таких сложных объек тов обычно выбираются несколько информативных параметров и осуществляется их выборочный контроль- Такие же задачи встречаются, например, и при исследовании показателей состояния организма людей, химических и физико-механических показателей сельскохозяйственной продукции, оптимизации и прогнозировании экономических показателей и так далее. Таким образом мы почти всегда имеем дело с большим количеством показателей, которые можно измерить и зафиксировать, но нельзя произвольно изменять. Для фиксации цифровых значений таких показателей и упорядочения первичной собранной информации удобно использовать форму таблицы.
Постановка задачи синтеза оптимального управления
Методы моделирования требуют создания той или иной матрицы со статистически несовпадающими строками. При активном эксперименте такие матрицы (планы эксперимента) создаются в ходе самой работы, а для пассивного эксперимента создание такой матрицы представляет определенные трудности. Применим один из методов разбиения многомерных пассивных экспериментальных данных на статистически однородные группы для гарантированного получения матрицы данных со статистически несовпадающими строками.
Теоретическое обоснование и процедура определения количественной однородности описаны в [5, 60], Алгоритм расчета - проверки однородности т-мерной статистической совокупности - заключается в следующем. Исходный статистический материал ранжируется (упорядочивается) по наиболее существенному из набора т признаку. Затем осуществляется последовательный расчет критерия однородности U(f?) для последовательностей / и п-1 (=1, 2,.,., п-1) и сравнение его с критическим значением %2 — Пирсона при уровне значимости q и т степеней свободы. Если значение критерия U($) Хтабл то совокупность признается однородной, иначе совокупность признается неоднородной и должна быть разбита по крайней мере на две группы. Каждая из полученных таким образом групп m-мерных наблюдений снова проверяется на однородность. Процедура такого деления неоднородной статистической совокупности про 67 должается до тех пор, пока все образованные группы не будут признаны однородными.
Критерий однородности приспособлен для деления неоднородной совокупности только на две части. Поэтому, когда число однородных групп больше двух, процесс последовательного дробления исходной совокупности может привести к появлению статистически неустойчивых границ между однородными группами. Дня проверки устойчивости межгрупповых границ рассчитывают U(GbGk+i). Если выполняется условие UfG G i) Хтабл (Я т) то межгрупповая граница признается неустойчивой и это приводит к объединению к и (+/) групп и их последующему совместному сравнению с группой (к+2). Выявление таких межгрупповых границ и их устранение из первоначально полученной группировки приводит к определению ее действительных интервалов.
Одним из наиболее простых и удобных методов моделирования исследуемого объекта по пассивным данным является модифицированный метод случайного баланса (ММСБП) [2,49].
Результатами пассивного эксперимента является двумерная таблица, столбцы которой представляют собой набор факторов, влияющих на целевую функцию, а также сама целевая функция (или параметр оптимизации); строки являются числовыми измерениями этих факторов в ходе технологического процесса и каждая строка принадлежит одному объекту измерения- Такая таблица является результатом длительных контрольных измерений выходного показателя качества однородной продукции и сопутствующих ему факторов, например, режимов работы оборудования или параметров самого изделия.
Таблица пассивного эксперимента представляет собой основу для решения достаточно сложной задачи, по извлечению из нее скрытой информации, конечная цель которой получение модели исследуемого объекта в виде уравнения многомерной регрессии. Эти трудности связаны с рядом причин:
Во-первых, никакого искусственного изменения (варьирования) факторов в достаточно широких пределах нет, а имеет место лишь естественное производственное варьирование в пределах допуска на параметр» то есть сравнительно малое. Это означает, что для выявления влияния факторов на целевую функцию на фоне «шума» достигается путем увеличения таблицы экспериментальных данных. Опытным путем установлено, что таблица результатов пассивного эксперимента должна быть длинной по 10-15 строк на каждый исследуемый фактор, но не более 300 - 350 строк всего.
Во-вторых, при составлении первоначального списка факторов нет информации о конкретном влиянии каждого фактора на целевую функцию. Исследования показали, что, как правило, таблицы исходных данных представляют собой так называемые сверхнасыщенные планы, часть факторов которых не влияют на целевую функцию и, в конце концов, уйдет в шум эксперимента. Отсев таких факторов может производиться на основе объективных (например, метод случайного баланса) или субъективных (методы экспертных оценок) методов, в результате чего размерность факторного пространства сокращается в 2-5 раз без существенной потери информации.
В-третьих, в первоначальном списке факторы могут быть сильно кор-релированы между собой. Естественно, что один из них должен быть отброшен как не дающий дополнительной информации в будущую модель. Наиболее подходящим методом для этого является метод корреляционных плеяд и ядер. При этом размерность факторного пространства сокращается еще в 2 5 раз без существенной потери информации.
В результате получается таблица некоррелированных (точнее слабокоррелированных) данных, которая и является исходной для любых методов моделирования по пассивным данным. Одним из таких методов, позволяющим выявить наиболее значимые факторы, а также произвести дополнительную очистку данных является модифицированный метод случайного баланса по пассивным данным.
Назначение и основные возможности
Существенной особенностью и преимуществом МНКО является то обстоятельство, что в силу перехода данных в заведомо ортогональную систему координат можно получать оценки коэффициентов и для коррелированных факторов и для квадратных членов.
Другой существенной особенностью и преимуществом МНКО является то, что для получения модели, в отличие от ММСБП, не требуется слишком длинная таблица исходных данных,, лишь бы координаты точек факторного пространства были бы достаточно далеко друг от друга-Модель МНКО является обычным алгебраическим выражением, коэффициенты ее представляют собой смешанные оценки и не являются весами соответствующих факторов.
Комбинированный метод моделирования по пассивным данным (КММП) основан на применении метода МНКО, однако не по исходной, а по специально приготовленной таблице данных. Подготовка таблицы заключается в следующем: таблица исходных многомерных экспериментальных данных расслаивается как в ММСБ, однако данные факторов не кодируются, а остаются как есть. Это позволяет по каждому фактору иметь строчную выборку, по которой можно получить средние арифметические и дисперсии и оценить однородность всех выборок (например, по критерию Бартлетта). В случае невыполнения гипотезы о статистической неотличимости дисперсий все строчные выборки проверяются на наличие скрытых грубых промахов, производится поиск и очистка данных (например, по критерию Ирвина, г-критерию или др,) до тех пор пока по каждому параметру не будет достигнута однородность всех строчных выборок. Тогда при гарантированной однородности можно составлять таблицу строчных средних арифметических как для факторов, так и для выходной величины. Она и является первичной таблицей данных для МНКО. Полученная на ее основе математическая модель обладает более высокой информационной емкостью - 70 - 80% от информации, заключенной в исходной таблице пассивных экспериментальных данных, что позволяет получать модели не хуже, чем модели, найденные по данным активного эксперимента [38],
Как известно эффективность и качество управления объектом во многом зависит от его адекватного описания, то есть выбора соответствующих математических моделей, что представляет определенные трудности, особенно для сложных объектов.
В настоящее время существуют различные подходы, позволяющие анализировать объект с различных точек зрения- Наибольшее распространение получили статистические методы, включающие корреляционный и регрессионный анализ. В основе этих методов лежит схема входно-выходного механизма (модель типа «черный япщк»), игнорирующая природу внутренних взаимодействий и структуру их взаимодействия- Такое описание объекта зачастую недостаточно для учета всего многообразия реальных связей, приводит к большим временным и материальным затратам, что особенно остро ощущается при анализе сложных объектов или процессов, когда приходиться сталкиваться с необходимостью сокращения размерности факторного пространства. Одним из возможных подходов к решению проблемы является проведение декомпозиции структуры объекта исследования на основе полного или частичного представления о его функционировании [50].
Как правило, большинство сложных объектов имеют иерархическую структуру, поэтому адекватное представление объекта в виде некоторого графа структуры по сравнению с классическим «черным ящиком» дает дополнительную информацию о его свойствах, внутренних взаимосвязях, что следует использовать при математическом описании, а в дальнейшем при оптимизации и управлении. Если представить граф (рис. 2,8) как множество корневых (конечных) вершин Z;(/ = 15/H) (это могут быть выходные показатели исследуемого объекта), множество промежуточных величин Yj{j-\yk) (выходные параметры технологических операций) и множество инцидентных вершин-Xt(i \9ri) (режимы функционирования оборудования), которые соединены рёбрами там, где между ними имеется связь, то можно сформировать матрицу инциденций (табл. 2-3), В этой матрице число 2 (число уровней варьирования каждого фактора) ставится на пересечение тех строк и столбцов, которые имеют связь согласно графу объекта, и 0 там, где такая связь отсутствует. Матрица позволяет получить правильную объективную декомпозицию объекта на части, модели которых искать много проще, чем глобальную модель.
