Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Автоматизированный синтез систем управления - современное состояние вопроса 13
1.1. Общая характеристика методов и программного обеспечения, используемых для синтеза нелинейных систем управления в настоящее время 13
1.1.1. Линеаризация как наиболее распространенный метод анализа нелинейных моделей: достоинства и недостатки 13
1.1.2. Возможные альтернативы линеаризации. Методы исследования систем с переменной структурой 15
1.2. Подходы к автоматизации синтеза нелинейных систем управления 21
1.3. Номенклатура и возможности современного программного обеспечения 23
1.4. Характеристика, возможности и достоинства фазовых пространств как инструмента для автоматизации синтеза нелинейных систем управления 27
1.5. Выводы, постановка цели работы и определение задач исследования 33
Глава 2. Автоматизированное построение и анализ фазовых пространств: общие принципы 35
2.1. Общее описание метода синтеза систем управления на основе анализа структуры фазового пространства 35
2.2. Основные понятия и определения 40
2.2.1. Состояния равновесия: аттракторы, репеллеры и седла 40
2.2.2. Определение областей притяжения и характеризация границ устойчивости аттракторов 44
2.2.3. Форма фазового пространства, участки однообразного поведения, области существования скользящего режима 46
2.3. Геометрический анализ траекторий фазового пространства 48
2.4. Геометрическая интерпретация характеристик управления 51
Выводы по главе 2 54
Глава 3. Техническая реализация алгоритмов автоматизированного геометрического анализа 55
3.1. Алгоритм построения траекторий и структурирование фазового пространства 55
3.2. Алгоритм верификации фазового пространства 64
3.3. Улучшение и оптимизация алгоритмов 67
3.4. Синтез закона управления по результатам анализа геометрической структуры фазового пространства 69
3.5. Пример действия алгоритмов 71
Выводы по главе 3 77
Глава 4. Исследование возможности использования проекций фазового пространства для синтеза систем управления 78
4.1. Общие рассуждения 78
4.2. Построение и исследование особенностей проекций фазового пространства системы 4-го порядка 79
4.2.1. Построение и анализ фазовых портретов для упрощенной математической модели системы 4-го порядка 79
4.2.2. Построение и анализ фазовых портретов для физической модели системы 4-го порядка 86
4.3. Использование результатов анализа геометрии фазового подпространства для улучшения качества работы регулятора в скользящем ре жиме 90
4.4. Выбор переменных состояния для построения проекций фазовых пространств 98
Выводы по главе 4 104
Глава 5. Применение качественного анализа геометрической структуры фазового пространства для синтеза системы управления электрическим инвертором 105
5.1. Построение, анализ и декомпозиция фазовых портретов 105
5.1.1. Анализ уравнений объекта управления и выбор поверхности переключений 105
5.1.2. Построение и анализ геометрической структуры фазовых портретов. Синтез закона управления 107
5.2, Моделирование и модификация синтезированной стратегии управления 114
5.2.1. Анализ результатов моделирования 114
5.2.2. Модификация синтезированного регулятора с целью расширения диапазона регулирования 118
5.2.3. Сопоставление характеристик модифицированного регулятора с характеристиками других регуляторов 129
Выводы по главе 5 140
Заключение 143
- Возможные альтернативы линеаризации. Методы исследования систем с переменной структурой
- Общее описание метода синтеза систем управления на основе анализа структуры фазового пространства
- Алгоритм построения траекторий и структурирование фазового пространства
- Построение и анализ фазовых портретов для упрощенной математической модели системы 4-го порядка
Введение к работе
Актуальность темы. Современные технические системы, как правило, функционируют в существенно нелинейных режимах, многокомпонентны и описываются большим числом переменных состояния. При синтезе регуляторов для таких систем приходится сталкиваться с недостатком доступных стратегий управления и методов анализа. Традиционные (разработанные для линейных систем) методы проектирования и анализа, сталкиваясь с нелинейно-стями, в большинстве случаев оказываются несостоятельными. Теория же проектирования нелинейных регуляторов все еще находится в стадии развития. Отдельные методики сильно «разрознены», ориентируются на свой определенный достаточно узкий класс систем и имеют индивидуальные ограничения, не позволяющие рассматривать их с единой точки зрения. В связи с этим очень сложно создать более или менее универсальный алгоритм для автоматизированного синтеза систем управления нелинейными объектами. Вместе с тем, требования к системам автоматического регулирования постоянно растут. Все эти обстоятельства, а также сложность и широкие диапазоны изменения характеристик используемых объектов регулирования заставляют вести поиск новых широко применимых методов и средств построения систем управления.
Нелинейные системы являются предметом исследования уже достаточно давно. Прежде всего, следует отметить работы отечественных ученых Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова и А.А. Андронова, создавших способы решения широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений, на основе которых впоследствии были разработаны многие методы проектирования систем автоматического управления. Нелинейным системам были посвящены труды таких ученых, как А.Ф. Филиппов, Е.А. Леонтович, Н.Н. Баутин, Ж. Палис, В. Ди Мелу, М. Холодниок и др.
Начиная с 90-х годов XX в. в мировой научной литературе наблюдается еще более заметный рост интереса к исследованиям в области теории нелинейных систем, в частности, в области нелинейной динамики физико-технических
систем и нелинейной теории управления. Например, на XIII Всемирном конгрессе ИФАК (Международной федерации по автоматическому управлению), состоявшемся в 1996 г, в Сан-Франциско, доля заседаний участников, посвященных этим аспектам, составила 13%, что превысило аналогичные показатели (5% и 6%) для двух предыдущих конгрессов (1990 и 1993 гг.), вместе взятых. Количество монографий, изданных по данной тематике за рубежом только в 90-е годы, достигло нескольких десятков и продолжает расти сейчас.
В связи с развитием и повсеместным внедрением электроники особое значение в последнее время приобрели системы, содержащие ключевые элементы с присущей им ярко выраженной нелинейностью. Источники питания, приводы, разнообразные электромеханические исполнительные механизмы и пр. проникли во все отрасли промышленности. Все они относятся к классу систем с переменной структурой (СПС). Этот класс характеризуется своими особенностями поведения и методами анализа. Вообще говоря, СПС с точки зрения режимов работы можно рассматривать как обобщенный класс систем, так как они представляют собой сочетание переключаемых систем других типов, т.е., в простейшем случае, могут полностью ограничиваться какой-то одной системой.
Изучению СПС посвящено большое число трудов. Среди ранних публикаций на эту тему важное место занимают работы Е.А. Барбашина, И, Флюгте-Лотц, Биго, Фоссара. Одним из первых общий анализ принципов построения СПС с единых позиций выполнил СВ. Емельянов. В его работах проведено исследование различных режимов функционирования СПС, выявлены важные особенности и преимущества систем данного класса, приведено описание методов синтеза управлений для объектов, работающих в условиях непрерывно действующих внешних возмущений. Вместе с тем, СВ. Емельянов отмечал, что практическое использование методов СПС в значительной степени затрудняется большой разобщенностью публикуемых по этой теме теоретических результатов. Эта разрозненность в полной мере не преодолена до сих пор, несмотря на то, что теория СПС стала более упорядоченной.
7 Очень существенный вклад в исследование принципов построения и методов синтеза СПС сделал В.И. Уткин. Он разработал математический аппарат для исследования разрывных динамических систем и рассмотрел различные случаи его применения. Основное внимание в своих работах В.И. Уткин уделял системам управления и оптимизации с разрывными управляющими воздействиями, работающим в так называемых скользящих режимах, которые обладают рядом очень привлекательных свойств и в настоящее время оказались основными режимами работы СПС. В.И. Уткиным были проведены достаточно фундаментальные исследования и найдены решения для широкого круга задач. Однако следует отметить, что скользящие режимы представляют собой не единственно возможный вид движений в СПС, и не всегда существует возможность организовать работу в таких режимах. Другие режимы работы обладают своими преимуществами, и пренебрежение ими может лишить проектируемую систему определенных полезных качеств, или сделать невозможным построение работоспособной системы, отвечающей заданным требованиям. Поскольку в исследованиях В.И. Уткина рассматриваются исключительно скользящие режимы, полученные им алгоритмы достаточно трудно использовать для синтеза стратегий управления, использующих сочетание различных видов движений.
Интерес к СПС не ослабевает до сих пор, и исследования в этой области ведутся довольно интенсивно. В связи с этим можно отметить работы К.Д. Ян-га, Ю. Степаненко, А.С.И. Зинобера, А.Д. Кошкуи, Чун-И Су, П. Матавелли, Дж. Спиази, и др.
С развитием компьютерных технологий разработчики и инженеры получили средства для преодоления затруднений, связанных с учетом нелинейно-стей. Появилась возможность создавать сложные высококачественные системы управления на основе численных методов исследования нелинейных систем без применения линеаризации. Однако, несмотря на успехи в компьютерной технике, нелинейные системы все еще достаточно трудны для анализа и синтеза. Прежде всего, это связано с недостатком методик проектирования, учитывающих особенности нелинейностей, и отсутствием соответствующих программ-
8 ных средств, позволяющих в полной мере использовать производительность
современных вычислительных систем. Большинство методик по-прежнему сводится к итеративным процедурам моделирования поведения системы численными методами. При этом часто приходится сталкиваться с отсутствием строго сформулированных критериев оптимальности проектируемых систем, а основная роль в принятии решений в данном процессе отводится человеку-эксперту. Получаемые в результате регуляторы можно назвать специализированными, они не универсальны, подходят только для конкретных условий (объектов управления) и требуют больших затрат времени и человеческих усилий.
Первые попытки автоматизировать процесс проектирования нелинейных систем управления были предприняты зарубежными учеными Ф. Чжао, Ч.С. Су, Т. Нишидой, К. Мизутани, Е. Саксом, У. Ли, Д.Б. Куйперсом и другими. Так или иначе, все они были основаны на использовании геометрического анализа фазовых портретов или пространств и имеют общий недостаток -плохую приспособленность к работе с системами высокого порядка. Большинство из этих методик ориентировано исключительно на двумерные системы, другие же сталкиваются с затруднениями из-за роста вычислительной сложности при обработке значительных массивов данных для многомерных фазовых пространств. Кроме того, ни в одной из методик не учитываются скользящие режимы, представляющие собой очень важный вид движений в СПС, без которого возможности таких систем существенно снижаются.
Итак, общих универсальных методов исследования нелинейных систем по-прежнему не существует - слишком велико разнообразие нелинейностей. Эффективные методы анализа и синтеза разработаны лишь для отдельных видов нелинейных систем. Таким образом, поиск систематизированных и автоматизируемых методов анализа и синтеза нелинейных систем представляет собой очень актуальную задачу, которая в настоящее время в полной мере не решена.
Цель работы. Разработка компьютерных методов анализа структуры фазовых пространств технических объектов и синтеза нелинейных регуляторов с
9 переменной структурой для повышения качества функционирования создаваемых систем управления.
Задачи исследования. Для достижения сформулированной цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:
Разработка и исследование методов автоматизированного качественного анализа фазовых пространств для широкого класса сложных нелинейных технических объектов, имеющих в своем составе ключевые элементы, с целью последующего синтеза систем управления на основе полученной информации.
Разработка алгоритмов управления, использующих информацию о геометрической структуре и характеристиках фазовых пространств и подпространств системы.
Исследование возможности уменьшения размерности фазовых пространств и синтез на его основе законов управления в системах высокого порядка.
Экспериментальное исследование синтезируемых стратегий управления на компьютерных моделях и реальных объектах (ИВЭП).
Методы исследования, используемые в диссертации, основываются на теории автоматического управления, теории структурно-параметрического синтеза, методиках исследования систем с переменной структурой, понятиях теории вычислительной геометрии, численных методах, а также на проведении математического моделирования.
Основные положения, выносимые па защиту:
Метод автоматизированного качественного анализа геометрической структуры фазовых пространств СПС, позволяющий подготавливать данные для последующего синтеза системы управления и учитывающий возможность движения в скользящем режиме.
Метод и алгоритмы синтеза систем управления, работающих в скользящем режиме, которые позволяют получать нелинейные поверхности пе-
10 реключений и оптимизировать качество работы создаваемых систем за
счет сочетания скользящего режима с другими режимами.
Способ сокращения размерности фазового пространства при автоматизированном синтезе систем управления, основанный на использовании особенностей скользящих режимов.
Блок-схема работающего в скользящем режиме регулятора для преобразователя постоянного тока, синтезированная в результате анализа двумерной проекции фазового пространства и обеспечивающая улучшение качества работы преобразователя и повышение его устойчивости.
Блок-схема работающего в скользящем режиме регулятора для инвертора напряжения, построенная на основе качественного анализа структуры фазового пространства инвертора с использованием нелинейной поверхности переключений и характеризующаяся простотой, высокой помехоустойчивостью и повышенным быстродействием.
Научная новизна работы состоит в создании новых методов и алгоритмов автоматизированного синтеза систем управления сложными техническими объектами, основанных на качественном анализе фазовых пространств и использующих принципы теории структурно-параметрического синтеза.
Предложен новый метод автоматизированного качественного анализа геометрической структуры фазовых пространств для широкого класса сложных нелинейных технических объектов с целью последующего синтеза систем управления на основе полученной информации.
Предложены базирующиеся на анализе структуры и декомпозиции фазового пространства объекта методы и разработаны соответствующие алгоритмы проектирования для систем управления, работающих в скользящем режиме, которые позволяют получать нелинейные поверхности переключений и оптимизировать качество работы создаваемых систем за счет сочетания скользящего режима с другими режимами.
Исследована возможность уменьшения размерности фазового пространства при автоматизированном синтезе систем управления. Определены
условия и сформулированы ограничения, позволяющие осуществлять управление по фазовым подпространствам. Показано, что в данном случае значительно экономится время, затрачиваемое на создание системы управления, а получаемые в результате алгоритмы автоматического регулирования остаются эффективными и могут использоваться на практике. 4. С помощью полученных алгоритмов построен регулятор для инвертора напряжения, обладающий простой схемой, высокой помехоустойчивостью и повышенным быстродействием. На его основе определены основные особенности и характеристики получаемых в результате применения предложенного метода систем управления. Проведено сравнение этих параметров с характеристиками регуляторов, спроектированных с использованием существующих методов управления. Практическая ценность работы.
В диссертации разработаны теоретически обоснованные и практически реализуемые новые алгоритмы, позволяющие автоматизировать процесс проектирования систем автоматического управления для широкого класса технических объектов, а именно: систем вторичного электропитания, цифровых и аналоговых приводов. В результате использования данных алгоритмов сокращаются временные затраты на проектирование систем автоматического управления, а получаемые в результате такого синтеза регуляторы позволяют улучшить качественные характеристики процесса управления.
В результате применения нелинейных алгоритмов построена система управления инвертором напряжения, работающая в скользящем режиме и характеризующаяся повышенным быстродействием, робастностью к внешним возмущениям и внутренним параметрическим неопределенностям, а также чрезвычайной простотой реализации.
Апробация работы. Основные положения диссертации, отдельные ее разделы и результаты исследований докладывались на конференциях и семинарах, в том числе на 52-й научно-технической конференции (Челябинск, ЮУр-
12 ГУ, 2000), XX Российской школе по проблемам проектирования неоднородных
конструкций (Миасс, 2000), Международной конференции по управлению «АВТОМАТИКА - 2001» (Одесса, 2001), XXI и XXIII Российской школе по проблемам науки и технологии (Миасс, 2001, 2003), XXXII Уральском семинаре по механике и процессам управления (Миасс, 2002), 55-й юбилейной научной конференции (Челябинск, ЮУрГУ, 2003), 10-м международном семинаре-ярмарке «Российские технологии для индустрии» (Санкт-Петербург, 2006).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 157 страниц. В работу входит 65 рисунков. Список литературы содержит 127 наименований.
Возможные альтернативы линеаризации. Методы исследования систем с переменной структурой
Нелинейные системы существенно менее исследованы по сравнению с линейными [123, 124]. Как было отмечено выше, традиционные методы проектирования и анализа не подходят для них, и при синтезе регуляторов приходится сталкиваться с недостатком (а иногда, наоборот, с затрудняющим выбор переизбытком) доступных стратегий управления и методов анализа. При этом на практике вынуждены не только учитывать нелинейности, которые свойственны объекту, но также искать решения задач путем синтеза существенно нелинейных законов управления. С появлением высокопроизводительных компьютеров разработчики и инженеры получили средства для преодоления трудностей, связанных с учетом нелинейностей, что позволило создавать сложные высококачественные системы управления. Численное исследование нелинейных систем составило серьезную альтернативу линеаризации. Однако, несмотря на успехи в компьютерных технологиях, по-прежнему невозможно сказать, что нелинейные системы теперь также легко анализировать и синтезировать как линейные. Затруднения связаны, прежде всего, с недостатком методик проектирования, учитывающих особенности нелинейностей, и отсутствием соответствующих высокоуровневых средств, позволяющих полностью использовать производительность современных вычислительных систем. Во множестве существующих методик проектирования нелинейных систем управления, учитывающих нелинейные свойства объектов управления, по-прежнему в той или иной степени применяется линеаризация свойств системы [98, 123], недостатки которой уже рассматривались.
Только немногие нелинейные системы позволяют находить решения в аналитической форме. В большинстве же случаев для определения необходимых стратегий управления состоянием таких систем требуется итеративно выполнять моделирование поведения системы с помощью численных методов. Результаты проведенных экспериментов обрабатываются человеком-специалистом на каждом шаге, после чего выносится соответствующее решение об изменении параметров моделируемой системы. Этот процесс аналогичен описанному ранее процессу линеаризации и достаточно трудно автоматизируется, поскольку, как уже отмечалось, сложные нелинейные системы сравнительно мало изучены, а единых систематизированных методов для их анализа нет. При анализе специалист-эксперт обычно использует обособленные, рассчитанные на довольно узкий класс объектов методы синтеза систем управления, в основе которых лежат различные теоретические принципы. Иногда даже при незначительном изменении требований технического задания приходится полностью повторять все пройденные шаги.
Все, что было отмечено выше, усугубляется повсеместным внедрением электрических систем. Так, применяемые во многих технических комплексах источники питания, генераторы, различные преобразователи и т.д., как правило, построены на базе силовых электронных элементов, которые могут функционировать исключительно в ключевом режиме. Эти устройства обычно работают в условиях изменения нагрузки и действия помех питающей сети [109], причем к их характеристикам предъявляются достаточно строгие требования. Управление такими объектами с помощью алгоритмов, основанных на использовании теории линейных систем автоматического управления (т.е. линеаризации), противоестественно. Управляющие воздействия в системах данного типа в любом случае формируются в виде высокочастотного разрывного сигнала, средняя составляющая которого равна желаемому непрерывному управлению, и в этой ситуации более целесообразно применять алгоритмы, заранее ориентированные на разрывной характер управляющих воздействий. В дальнейшем сосредоточимся на рассмотрении класса систем, которые способны функционировать в ключевом режиме. Во-первых, как было отмечено выше, такие системы чрезвычайно распространены, и их доля продолжает расти. Во-вторых, данный класс в полной мере обладает существенно нелинейным поведением и очень плохо сочетается с традиционными методами исследования. В-третьих, можно считать, что он включает в себя другие классы, поскольку ключевая функция в вырожденном случае представляет собой непрерывную функцию. Системы с ключевым поведением относятся к классу систем с переменной структурой (СПС). Теория СПС была предложена в 60-х гг. советскими учеными СВ. Емельяновым и В.И. Уткиным. СВ. Емельянов [16, 46] классифицировал режимы движения, которые могут возникать в СПС, и дал характеристику каждому из них. Принципы СПС были применены к очень широкому кругу задач, которые практически не решались в рамках классической теории управления и потребовали разработки новых подходов. Среди них можно выделить: 1) обеспечение ограничений на координаты системы; 2) обеспечение устойчивости при наличии запаздывания в контуре управления; 3) управление существенно нелинейными объектами; 4) управление вынужденными движениями и свободным движением объектов с изменяющимися параметрами; 5) управление объектами при неполной информации о состоянии системы и неидеальностях управляющего устройства; 6) получение информации о состоянии управляющего процесса.
Общее описание метода синтеза систем управления на основе анализа структуры фазового пространства
Как видно из алгоритма работы диода, сопротивления диода в открытом и закрытом состояниях отличаются на 10 порядков. В результате любая система, имеющая в своем составе такой элемент, становится чрезвычайно жесткой. Следует отметить, что это касается также всех остальных элементов ключевого типа (транзисторов, тиристоров и т.д.). Аналогичным образом описываются ключевые элементы и в других пакетах программного обеспечения. Жесткость моделируемых систем - еще одно существенное препятствие на пути к получению универсального устойчивого численного метода. В связи с вышесказанным алгоритмы численного решения для нелинейных систем всегда характеризуются переменным шагом интегрирования, контролем точности, а также имеют средства для обработки событий, вызванных переключениями структуры и скачкообразным изменением состояния. В результате для каждого алгоритма требуется отдельная настройка и отладка (за исключением наиболее простых случаев). Здесь уже мало приемлемо тестовое уравнение вида обычно применяющееся для подтверждения работоспособности алгоритма интегрирования [50], и необходимо всестороннее изучение свойств метода на нескольких нелинейных системах.
В современных пакетах программного обеспечения, таких как MATLAB SIMULINK [15, 113], 20-SIM [61, 62], DYMOLA [75, 76] и др. имеются библиотеки численных методов, в которых, как правило, содержится не менее десятка отлаженных алгоритмов. В связи с этим представляется целесообразным использовать уже имеющиеся и отлаженные методы. Однако необходимо отметить, что указанные алгоритмы всегда следует применять с большой осторожностью. Исследование схем отдельных электронных нелинейных устройств с помощью разных алгоритмов численного интегрирования из нескольких пакетов показало, что процессы, происходящие в одной и той же сложной схеме, могут по-разному моделироваться в различных программных средах и различными алгоритмами. А в связи с отсутствием каких-либо инструментов для контроля результатов моделирования, приходится отдельно кропотливо изучать каждую из схем с целью внесения необходимых изменений и получения более корректных вычислений.
Итак, наиболее приемлемым вариантом является использование отлаженных алгоритмов численного решения существующих программных пакетов, однако применимость алгоритмов все еще требует дополнительного детального исследования, б) Другим важным аспектом на первом шаге является собственно способ описания исходной модели, т.е. язык, на котором составляется модель технической системы. В большинстве случаев модель представляется сразу же в виде системы дифференциально-алгебраических уравнений [58, 60, 125]. Такой способ представления очень неудобен, поскольку требует предварительной обработки данных. Как правило, сначала формируется структурно-функциональная модель системы, т.е. выбираются основные элементы, определятся способ их взаимодействия и уточняются функциональные связи между ними. А далее путем объединения математических моделей отдельных элементов создается модель системы в целом. Процесс перехода от структурно-функционального описания к итоговой системе уравнений достаточно трудоемок. Поэтому программа синтеза должна быть способна работать с моделями, заданными в графическо-параметрическом виде, т.е. с помощью графов и схем с указанием значений параметров отдельных элементов. После ввода модели системы определяются число и тип так называемых особых точек фазового пространства (устойчивые и неустойчивые узлы (аттракторы и репеллеры), а также седла). Затем посредством задания начальных условий в ближайшей окрестности этих точек формируется система фазовых траекторий определенной плотности, в результате чего получается таблица векторов фазовой скорости - исходных данных для еледующего этапа. С использованием этой таблицы производится декомпозиция фазового пространства на различные геометрические объекты: участки однообразного поведения (семейства эквивалентных траекторий), области устойчивости и неустойчивости и т.п. Здесь же можно оценить возможность реализации скользящих движений на некоторой заданной поверхности или некотором участке заранее определенной формы (например, на совокупности прямых линий). 3) После определения структуры фазового пространства появляется основа для дальнейшего синтеза закона управления. В результате, исходя из целей управления и имеющихся ограничений, формируется и выдается итоговая стратегия управления.
Ниже вводятся основные понятия и определения, относящиеся к характеристикам и структуре фазовых пространств. В дальнейшем они будут использованы для формализации всех этапов вычислений, относящихся к анализу геометрической структуры фазового пространства и синтезу управлений на его основе.
Алгоритм построения траекторий и структурирование фазового пространства
На основе модели системы путем численного решения алгебраических уравнений типа (2.2) методом Ньютона-Рафсона [50] вычисляются координаты особых точек. В результате действия алгоритма для каждого значения щ управляющего воздействия формируется таблица графа фазовых траекторий.
Алгоритм анализа состоит из 3 основных шагов и построен на базе алгоритма, созданного Ф. Чжао [125]. 1. Отображение - разбиение фазового пространства на элементарные участки-ячейки, размер которых может варьироваться в зависимости от характера (монотонности) траекторий. 2. Структурирование - построение графа переходов от каждой ячейки к смежным ячейкам. При этом ячейка х считается смежной с ячейкой у, если для некоторого возможного управляющего воздействия и существует такое натуральное число п, что/ (центр(х), и) ех,Ук п и /"(центре), и) є у. В граф переходов также включаются ячейки, в которых может быть организован скользящий режим. 3. Маршрутизация - если определено конечное состояние (цель), для каждой ячейки с находится путь к этому состоянию. Если такой путь отсутствует, с маркируется как ячейка, находящаяся вне области управляемости системы. Иначе, в соответствии с заданным критерием оптимизации выбирается один из существующих путей, а соответствующий ему выходной управляющий сигнал заносится в таблицу управления. Следует отметить, что в понятие «конечное состояние» включается не только точка в фазовом пространстве, но также предельный цикл или поверхность переключения для скользящего режима. На шаге 3 при наличии нескольких вариантов движения используются алгоритмы выбора пути. В качестве критерия оптимизации на этом этапе могут применяться различные характеристики системы. Например, если необходимо оптимизировать быстродействие, следует выбирать наиболее короткие пути. При этом могут существовать дополнительные ограничения на выбор траекторий движения, например, для обеспечения заданного перерегулирования должно выполняться условие: хп хаер. Особым образом отмечаются ячейки, находящиеся на «поведенческой» границе системы, то есть представляющие различные по своим качественным характеристикам пути (рис. 3.2). Алгоритм выбирает пути, расположенные как можно дальше от таких границ. Использование этого дополнительного критерия обусловлено тем, что данные состояния наиболее подвержены влиянию помех и ошибок моделирования, при этом незначительная ошибка может привести к существенным изменениям поведения системы. Форма элементарных ячеек, используемых при разбиении фазового пространства, может быть как треугольной (триангуляция), так и прямоугольной. Первый тип позволяет использовать ячейки большего размера по сравнению с прямоугольным типом. Однако второй способ более прост в применении и не требует привлечения дополнительных алгоритмов для реализации. В случае синтеза управлений в скользящем режиме возможны две ситуации: 1) поверхности разрыва задаются заранее (вместе с моделью); 2) поверхности разрыва заранее не определяются, а вычисляются автоматически при появлении возможности использовать скользящий режим для достижения конечного состояния. В первом случае, требуется оценить, способна ли анализируемая система при данном наборе управляющих воздействий осуществлять движение по из 59 вестной поверхности s(x). Для этого маркируются все ячейки, через которые проходит эта поверхность (см. рис. 3.3), т.е. формируется граница, которая должна разделять переключаемые системы в скользящем режиме. Далее проверяются условия существования скользящего режима на этой границе. В каждой из отмеченных ячеек рассчитываются векторы градиента функции s(x) и вычисляются их произведения с векторами скорости fa и fa (к которым стремится вектор Т(х,и) при стремлении х к каждой из рассматриваемых точек с разных сторон от поверхности разрыва). Поскольку для того, чтобы скользящий режим мог быть организован, векторы фазовой скорости, соответствующие разным системам, должны быть направлены навстречу друг другу, условие существования такого режима можно представить в следующем виде: Ячей и области существования г I скользящего режима Ячейки вне области существования скользящего режима Рис. 3.3 - Определение границы существования скользящего режима Все ячейки, удовлетворяющие условию (3.3) маркируются как принадлежащие области существования скользящего режима и, соответственно, включаются в область управляемости (рис. 3.3). Остальные ячейки поверхности разрыва маркируются как лежащие вне области существования скользящего режима. В этих ячейках скользящий режим невозможен, поэтому при синтезе требуемого управления нельзя допускать попадания в них изображающей точки.
Построение и анализ фазовых портретов для упрощенной математической модели системы 4-го порядка
Поскольку рассматриваемая система имеет 4-й порядок, полное представление о ее поведении можно получить лишь по виду четырехмерного фазового пространства. Однако фазовые траектории в пространстве такой размерности невозможно отобразить, не прибегнув к его проецированию. Только машинный анализ позволяет исследовать многомерные пространства. Но как было сказано выше, это сопряжено со слишком большими трудностями [123]. Поэтому желательно перейти к подпространству меньшей размерности,
В связи с тем, что наиболее простыми и удобными для анализа являются фазовые портреты (трехмерные фазовые пространства, хотя и могут быть представлены визуально, не обладают большими преимуществами по сравнению с пространствами более высокой размерности), далее будут изучаться двумерные проекции фазового пространства. Таким образом, для дальнейшего исследования необходимо выбрать какие-либо две фазовые координаты. Одной из таких переменных должна быть величина напряжения на конденсаторе С2, так как это напряжение является выходным, то есть подается на нагрузку, и требуется регулировать форму именно этого сигнала. В качестве второй переменной состояния наиболее целесообразно использовать ток во входном дросселе L1, поскольку его легче измерить [17,28].
Сначала воспользуемся упрощенной линеаризованной математической моделью преобразователя SEPIC, рассмотренной в работе [97]. Такая модель позволит более детально исследовать фазовые пространства преобразователя, исключив ошибки, возникающие из-за плохой применимости современных численных методов к существенно нелинейным моделям.
Следует отметить то, что в данной модели не учитываются особенности реальных ключевых элементов, присутствующих в схеме. Однако эта модель широко используется для анализа поведения преобразователя SEPIC и синтеза алгоритмов управления для него [97], при этом, структуры, между которыми происходит переключение, являются абсолютно линейными, что значительно упрощает работу с ними. Учет нелинейных эффектов будет произведен в следующем разделе.
Так как рассматриваемая система имеет 4-й порядок, представить графически ее фазовое пространство практически невозможно; имеет смысл говорить лишь о трехмерных и двумерных проекциях полного фазового пространства. Построим и проанализируем данные проекции (см. рис. 4.2 и 4.3). Исходные данные для построения приведены в табл. 4.1.
На рис. 4.2 показаны двумерные и трехмерные фазовые подпространства для структуры II. Можно видеть, что фазовые траектории этих подпространств ведут себя подобно фазовым траекториям систем 2-го порядка, то есть не имеют самопересечений. Причиной этого является то, что структура II, образованная путем замыкания ключа Swl, получается в результате разбиения исходной системы на две независимых подсистемы 1-го порядка: первая представляет собой обычную RL-цепь, подключенную к источнику постоянного напряжения; во второй происходит разряд конденсатора С2 на сопротивление нагрузки. Влияние реактивных элементов С1 и L2 исключено, поскольку в данном режиме диод D закрыт.
Итак, фазовые подпространства рассматриваемого преобразователя в режиме замыкания ключа достаточно просты и вполне пригодны для синтеза управления на основе анализа их геометрической структуры.
Теперь рассмотрим двумерные и трехмерные проекции фазовых пространств, соответствующие структуре I (см. рис. 4.3), которая имеет место после размыкания ключа Swl.
В данном случае разделения на две независимых подсистемы нет, и фазовые траектории взаимодействуют значительно сильнее, что придает фазовым подпространствам очень «запутанный» вид. Большое число самопересечений практически исключает возможность синтеза управлений на основе геометрической декомпозиции фазового пространства. В дополнение к этому возникает неоднозначность при определении того, по какой траектории будет перемещаться изображающая точка из текущего положения. Это обусловлено тем, что разным фазовым траекториям соответствуют разные начальные значения не относящихся к фазовым подпространствам переменных состояния, а именно U1 и 12. Таким образом, чтобы знать, в каком направлении начнет двигаться изображающая точка в данный момент времени, необходимо либо помнить, откуда она была смещена в это положение, либо обладать информацией о других переменных состояния (а это, по существу, уже является одним из способов управления по полноразмерному пространству). Все отмеченное значительно затрудняет использование геометрического подхода к синтезу регуляторов по проекциям фазовых пространств в многомерных системах.
На рис. 4.4 показаны поля векторов фазовой скорости для обеих структур, построенные по результатам анализа траекторий фазовых подпространств (направления векторов не отображаются). Как и следовало ожидать, в первом случае (рис. 4.4а) структура поля вполне распознаваема и однозначно идентифицируется с фазовыми траекториями. Что касается второго случая, здесь по векторному полю практически невозможно определить породившие его фазовые траектории (сравн. с рис. 4.3 - поле отображается программным обеспечением в упрощенном виде и не позволяет оценить поведение системы), а само поле представляет собой совокупность разнонаправленных векторов, В данной ситуации трудно предложить какие-либо способы структуризации (т.е. декомпозиции) фазового пространства, используя алгоритмы, рассмотренные ранее.
Однако затруднения, связанные с упорядочиванием поведений в фазовом пространстве, относятся, прежде всего, к режиму переключений. Для скользящего режима ситуация не столь малоперспективна.
Вновь обратимся к рис. 4.2а и 4.3а. В первых квадрантах соответствующих фазовых портретов структура двумерных проекций фазового пространства достаточно проста, а фазовые траектории направлены навстречу друг другу. Это позволяет предположить, что на данном участке возможны скользящие движения по каким-либо прямым или кривым линиям. Таким образом, скользящий режим по-прежнему может быть организован на основе данных о геометрической структуре фазового пространства.
