Введение к работе
Актуальность темы исследования. Главной современной проблемой развития науки, техники и технологии являются фундаментальные исследования в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Необходимость разработки новых качественных и количественных методов исследования динамики систем, построения программных управлений связана с поиском условий устойчивого, надежного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В наступившем столетии создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.
Величайшее открытие XX века - компьютер. Связанные с ним революционные изменения в хранении и передаче данных, управлении и моделировании с каждым годом еще более подчеркивают необходимость приоритетного и ускоренного развития фундаментальных исследований, без которых компьютерные технологии оказываются беспомощными при решении приоритетных задач, стоящими перед человечеством, среди которых: создание новых космических технологий и дальнейшее освоение космического пространства; создание новых энергетических технологий переработки и использования газа, нефти и каменного угля и создание децентрализованных автоматизированных систем энергоснабжения; создание общемировой динамической системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем; глобальное решение транспортной проблемы; создание новых биотехнологий для решения продовольственной проблемы; создание многофункциональных гибких автоматизированных систем.
Решение указанных проблем не может быть осуществлено без серьезной научной проработки и создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учетом надежности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью и т.д., с различного рода особенностями и условиями.
Современные математические задачи системного анализа и управления характеризуются нарастающей сложностью математического описания, отражающего взаимосвязь управляемого процесса или изучаемой системы с множеством сопутствующих факторов, без учета которой нельзя с требуемой точностью исследовать этот процесс. В математической постановке такие задачи приводят, в частности, к раздельному и совместному рассмотрению совокупности систем обыкновенных уравнений и систем уравнений в частных
POC национальная! БИБЛИОТЕКА ]
' 0> tt4w
производных. В настоящее время развитие методов системного анализа динамических систем и процессов управления обусловлено широким кругом прикладных задач, среди которых задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, задачи обработки информации и прогнозирования поведения систем. Появившиеся в настоящее время возможности использования компьютерной техники, в том числе систем сбора данных на базе микрокомпьютерных систем в задачах управления (SCADA), заставляет математиков пересматривать существующие и создавать новые методы исследования, позволяющие разрабатывать математическое обеспечение систем управления, как обладающее высокими операционными скоростями, так и вполне учитывающее все особенности математической модели.
Проблемы анализа динамики управляемых систем, рассматриваемые в диссертации. Практическая сложность исследования реальных систем и процессов управления, описываемых с помощью подобных систем дифференциальных уравнений, состоит не просто в многомерности обобщенного фазового состояния, но и в трудности выделения существенных для данной задачи характеристик процесса на фоне различного типа особенностей его поведения в целом. К числу последних относятся:
Проблема наиболее точного прогнозирования динамики системы;
Проблема нахождения инвариантных множеств;
Проблема устойчивости инвариантных множеств;
Возможная неограниченность части фазовых координат;
Проблема перерегулирования;
Данному кругу вопросов и посвящена настоящая диссертация.
В ней развивается математического аппарат, позволяющий осуществлять анализ и синтез систем управления с точки зрения более точного прогнозирования динамики системы, разрабатывать новые численные алгоритмы решения задач управления, применению полученных результатов к задачам, связанным с управлением движением пучков заряженных частиц, теории динамических процессов в сплошных средах, задачам управления механическими системами, задачам вычислительной математики и технологии применения компьютеров.
Проблема максимально точного прогнозирования динамики систем. Для более точного прогнозирования состояния системы необходимо провести качественный анализ уравнений динамики системы с точки зрения установления наличия инвариантных множеств и общих характеристик динамики системы при возрастании времени, к числу которых относятся устойчи-
вость по Лагранжу, наличие областей притяжения инвариантных множеств общих систем и их границы. При прямом компьютерном моделировании полученная дискретная модель может не сохранять основных перечисленных свойств моделируемой системы и давать тем самым неверный прогноз динамики системы. Собственно это обстоятельство и обусловило выдвижение Смейлом задачу о соответствии компьютерной модели аттрактора Лоренца действительному поведению этой системы как одной из основных математических проблем XXI века.
Необходимым математическим аппаратом описания динамических процессов являются системы дифференциальных уравнений. Поэтому задачи современной автоматики, т.е. задачи создания новых эффективных систем управления различными технологическими комплексами и техническими объектами, обусловливают развитие методов исследования линейных и нелинейных систем обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений, описывающих динамику функционирования систем автоматического управления. Задачи управления на протяжении последних десятилетий были основными "потребителями" достижений качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории нелинейных колебаний.
Задача прогнозирования поведения моделируемых систем в количественном плане сводится к численному интегрированию уравнений динамики. В качественном плане - к аналитическому исследованию системы для установления структурных особенностей моделируемой системы - наличия инвариантных множеств, характера предельного поведения решений.
Наиболее важная проблематика в задачах управления - изучение уравнений динамики систем. Пусть управляемая система описывается системой дифференциальных уравнений
X = F(X,u) (1)
где X - вектор фазовых переменных, и - вектор управления. Одной из основ- -ных задач теории управления является построение управления, обеспечивающего существование инвариантного множества М системы (1), обладающего требуемыми в приложении свойствами. Инвариантным множеством может являться и положение равновесия. Наиболее распространенным является требование асимптотической устойчивости в целом для инвариантного множества М. Если под инвариантным множеством понимается определенный режим функционирования управляемой системы, то задача управления формулируется как нахождение управления, обеспечивающего устойчивость за-
данного режима системы. В классической теории управления достаточно хорошо изучены вопросы динамики управляемых систем с инвариантным множеством, являющимся положением равновесия или, может быть, заданной интегральной гиперповерхностью. Но новые задачи ставят вопрос об изучении систем с несколькими положениями равновесия, когда множество точек покоя системы (1) может быть не связно, причем сами точки покоя могут быть и неустойчивыми.
В задачах управления особенную важность и наибольшее распространение имеют общие динамические системы, т.е. системы, представляющие полугруппу преобразований фазового пространства.
Инвариантные множества общей системы могут не являться интегральными многообразиями, т.е. не состоять из целых траекторий, но именно они являются важнейшим объектом исследования в задачах управления.
Предельные режимы, автоколебания, аттракторы. В последние три десятилетия в круг исследования вошли нелинейные системы с несколькими неустойчивыми положениями равновесия, обладающие компактными глобально притягивающими множествами. Эти математические модели имеют не только большое теоретическое, но и практическое значение. Академик О.А. Олейник отмечала: "Оказалось, что наряду со стационарными и периодическими предельными режимами возможны предельные режимы совершенно иной природы, а именно такие, в которых каждая отдельная траектория неустойчива, а само явление выхода на данный предельный режим структурно устойчиво. Открытие и подробное изучение для систем обыкновенных дифференциальных уравнений таких предельных режимов, называемых аттракторами, потребовало привлечения средств дифференциальной геометрии и топологии, функционального анализа и теории вероятностей. В настоящее время происходит интенсивное внедрение этих математических понятий в приложения. Так, например, явления, происходящие при переходе ламинар-ного течения в турбулентное при повышении чисел Рейнольдса, описываются аттрактором. Изучение аттракторов предпринято также и для уравнений с частными производными"1.
Термин аттрактор является достаточно устоявшимся в русской математической терминологии, однако не лишним является указание на то. что это понятие тесно связано с понятием автоколебание. Любое автоколебание, по определению, является аттрактором, но аттрактор может представлять собой
'Олейник О.А. Голь теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложи mm. Mry,l&96^ttp://wwwjnmoiiliiieju/articles php3?mid=1367
совокупность нескольких автоколебаний.
В электродинамике известен экспериментально установленный факт, что фокусировка пучка заряженных частиц приводит к его нагреву и расплыва-ние приводит к охлаждению. Математически это следует из теоремы Н.Н.Кра-совского об асимптотической устойчивости нелинейной системы дифференциальных уравнений.После установления В.И. Зубовым универсальности системы уравнений Максвелла появилась возможность аналитического конструирования управляющих полей. Однако вышеуказанное обстоятельство не позволяет строить модели, обладающие асимптотической устойчивостью и в пространстве скоростей и пространстве координат. Выходом из существующего положения является конструирование и применение моделей, имеющих глобально притягивающие асимптотически устойчивые инвариантные множества, которые имеют неустойчивые положения равновесия. В этом случае ограничения критерия Красовского могут быть сняты.
Этот пример показывает, что рассмотрение математических моделей, основанных на аттракторах является актуальной проблематикой теории управления. Рассмотрение этих моделей позволяет существенно расширить круг рассматриваемых дифференциальных систем, т.к. системы, имеющие только неустойчивые положения равновесия становятся "пригодными для задач управления". Ранее такие системы в задачах управления не рассматривались.
Дж. Биркгоф показал, что в окрестности неособой точки система дифференциальных уравнений, описывающая динамику системы, может быть приведена заменой переменных к виду Xi = 1,Х2 = 0, ...,х„ = 0. Это называется также теоремой о выпрямлении и основной теоремой теории дифференциальных уравнений. Это объясняет то, что исследования уравнений динамики проводятся только в окрестности особых точек. Однако такое исследование не может дать ответа на вопрос о существовании глобально устойчивого инвариантного в смысле общей системы (инвариантного для полупотока) инвариантного множества в общем нелинейном случае. Пример Э. Лоренца показывает это. Гомеоморфность векторного поля в окрестности неособой точки постоянному полю е; показывает, что движения локально топологически эк-вивалентены семейству прямых, т.е. имеют структуру уходящего движения.
Численное интегрирование. Важнейшей задачей анализа динамики систем является прогнозирование состояния системы. Следует отметить, что основным инструментом изучения нелинейных дифференциальных систем является численное интегрирование. И для известных моделей, имеющих аттракторы долгое время не существовало математического доказательства о
существовании глобально притягивающего инвариантного множества и все рассуждения были основаны на результатах численного интегрирования систем с помощью компьютера.
В связи с изложенным возникает вопрос - как изучать такие нелинейные системы с точки зрения глобального поведения решений. Только ли численно? Следует отметить, что численное интегрирование нелинейных систем может давать не только искаженную, но и в корне неверную информацию о глобальном поведении решений, так приближенная "численная" траектория "не чувствует" прохождения интегральной поверхности, и в случае ее неустой-чивости(имеется ввиду та ситуация, когда интегральная поверхность условно устойчива, т.е. устойчива только для определенного набора начальных данных), приближенное решение "уходит" от существующей интегральной поверхности. Кроме того, при численном интегрировании на значительных временных интервалах происходит накопление вычислительных ошибок.
Простейшим примером такой системы может быть система, описываемая уравнением в полярных координатах
р=(1-р)2,0 = 1
где р = у/х1 + у2 - радиус-вектор, х = pcosip, у = psimp. Все траектории, начинающиеся в круге р < 1 стремятся к предельному циклу р = 1, а все траектории, начинающиеся в области р > 1 уходят на бесконечность. Можно показать, что при численном интегрировании этой системы с начальным условием 0 < pQ < 1 приближенные траектории уходят на бесконечность, сделав некоторое количество осцилляции в окрестности единичной окружности.
Другим примером является невозможность с помощью компьютерных методов обнаружить специальные центральные движения, так как они не являются предельными ни для каких движений динамической системы.
Эти рассуждения показывают, что численное интегрирование не всегда может быть напрямую применено для прогнозирования состояния системы.
Нелинейные системы с несколькими положениями равновесия не могут быть асимптотически устойчивыми в целом. Это обстоятельство также требует более внимательного изучения вопроса об области притяжения таких систем.
Важнейшей задачей является установление границы области притяжения инвариантного множества М общей системы (1). В практических задачах -это множество возможных состояний управляемой системы после стабилизации.
14-я проблема Смейла. В известном докладе Давида Гильберта "Математические проблемы", произнесенном им на 2-м Международном конгрессе математиков в 1900 году, были изложены 23 математические проблемы, которые в сильной степени определяли развитие математики XX века, и 16 из них считаются полностью решенными. Через 100 лет один из известнейших американских математиков С. Смейл2 формулирует 18 проблем для математиков XXI века, одной из которых является проблема соответствия поведения решений системы Лоренца, геометрическим представлениям, получаемым на основе численного интегрирования системы. Смейл отмечает, что математическое доказательство существования глобально притягивающего компактного инвариантного множества для системы Лоренца отсутствовало.
С.Смейл ставит также вопрос об условиях возникновения так называемых "странных" аттракторах, характеризующихся выраженной хаотичностью своей динамики.
Проблема нахождения инвариантных множеств.В приложениях наиболее важным видом инвариантных множеств являются стационарные инвариантные множества общих систем, описываемых системами дифференциальных уравнений, определяющих динамику функционирования системы управления, представляющие собой множества в фазовом пространстве. Острота проблемы обусловлена тем, что основным аппаратом исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений является численное интегрирование с помощью компьютеров. При таком исследовании, как уже было отмечено, возможны не только неточности, но и принципиальные ошибки в оценке характера поведения траекторий системы. Выходом из этого положения является построение консервативных численных алгоритмов, учитывающих наличие интегральных многообразий интегрируемых нелинейных систем
Если речь идет об интегральных многообразиях, то нахождение стационарных интегралов или доказательство их существования, фактически является задачей интегрирования заданной системы.
Возможная неограниченность части фазовых координат.
Одной из целей настоящей диссертации является изучение уходящих движений динамических систем. В основном это будут системы, определяемые системами дифференциальных уравнений. Отметим, что далеко не каждая система дифференциальных уравнений определяет динамическую систему. При выполнении условий теоремы существования и единственности одним из основных вопросов, возникающих здесь, является вопрос о продолжаемости
^tp://ww.math;w^hiHgtO»,edu/cour^/572-prmg-20Q2/5ma]e,pdf
решений на бесконечном интервале. Можно рассматривать системы дифференциальных уравнений, которые формально не определяют динамической системы, но имеют продолжаемые решения, которые и можно изучать как уходящие движения некоторой динамической системы.
Проблема перерегулирования. В теории автоматического управления обычным делом является рассмотрение систем, которые допускают перерегулирование. Это так называемые системы с переменной структурой. Хорошо известны работы СВ. Емельянова, Е.А. Барбашина, Е.П. Попова и других исследователей. Проблема состоит в том, что при реализации таких систем на практике возникают существенные трудности, так как математическая модель не вполне соответствует инженерной реализации. А именно, системы, которые не учитывают запаздывание требуют в пределе теоретически неограниченной мощности переключения, системы, реализующие математические модели с разрывными правыми частями вызывают ударные нагрузки на весь объект регулирования. Поэтому создание систем управления без перерегулирования является актуальной задачей. С этой проблемой тесно связана следующая проблема.
Проблема простоты структуры управляемой системы. Интуитивно очевидно, что системы с простой структурой легче реализуются в инженерном смысле. Конечно, понятие простоты весьма относительно, но, скажем, квадратичные системы вызовут предпочтение у любого конструктора перед системами, включающими более сложные нелинейности. Рассмотрение нелинейных систем с простой структурой, имеющих несколько неустойчивых положений равновесия, но имеющих заданным образом геометрически локализованное ограниченное инвариантное множество к тому же глобально асимптотически устойчивое позволяет создавать весьма эффективные системы управления. По сути, это предельное множество является аналогом устойчивого положения равновесия для линейных и линеаризованных систем. Но в данном случае алгебраические критерии устойчивости, основанные на анализе собственных чисел матрицы линейного приближения, беспомощны. Это связано с тем, что аналитическая природа этих предельных множеств, как правило, весьма сложна. Для составления возмущенной системы требуется интегрирование уравнений движения, что в общем случае неосуществимо.
Основные положения, которые выносятся на защиту:
Разработанные новые и усовершенствованные существующие методы анализа динамики систем управления и управления сложными системами, включающие:
Метод анализа и аналитические критерии существования стационарных интегральных многообразий у нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику функционирования управляемых систем.
Методы исследования динамических систем, не имеющих предельных точек.
Методы построения численных алгоритмов решения различных вычислительных задач, встречающихся в задачах системного анализа.
Методы исследования устойчивости интегральных многообразий систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Работа посвящена развитию математического аппарата, позволяющего осуществлять системный анализ и синтез систем управления конструировать алгоритмы обработки информации с целью максимально точного прогнозирования динамики систем, разрабатывать новые численные алгоритмы решения задач управления, применению полученных результатов к задачам, связанным с управлением движением пучков заряженных частиц, теории динамических процессов в сплошных средах, задачам управления механическими системами, задачам вычислительной математики и технологии применения ЭВМ. Качественные аналитические методы исследования систем дифференциальных уравнений развиты в трудах российских математиков A.M. Ляпунова. Н.М. Гюнтера, В.В. Степанова, В.В. Немыцкого, Н.П. Еругина. Е.А.Барбашина, Н.Г. Четаева, A.M. Летова, Н.Н. Красовского, В.И. Зубова и научных школ, созданных ими.
Целью диссертации является развитие аналитических, качественных и численных методов системного анализа динамики управляемых систем с целью повышения эффективности функционирования объектов исследования. Содержанием диссертации являются теоретические и прикладные исследования системных связей и закономерностей функционирования и развития управляемых объектов и процессов, ориентированные на повышение эффективности управления ими с использованием современных методов обработки информации Главная проблема исследования диссертации - проблема максимально точного прогнозирования динамики управляемых систем. Решение этой проблемы приводит к развитию методов системного анализа и разработке алгоритмов обработки информации, позволяющих осуществлять более точное прогнозирование динамики систем. Основные положения выносящиеся на защиту состоят в разработке новых алгоритмов обработки информации, позволяющих осуществлять более точный прогноз динамики систем.
Областью исследования является разработка методов и алгоритмов обработки информации с целью более точного прогнозирования динамики управляемых систем, решения задач системного анализа, оптимизации и управления, теоретические основы и методы системного анализа, формализация и постановка задач системного анализа, оптимизации и управления сложными системами, описываемыми нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнениями в частных производных, и задачи вычислительной математики, связанные с совершенствованием существующих методов цифровой обработки информации и управления сложными системами. Исследование ориентировано на повышение эффективности управления рассматриваемыми системами с использованием современных методов обработки информации. Методы исследований в работе основаны на использовании методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных, методах численного анализа.
Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании качественных и численных методов. Все полученные результаты имеют строгие доказательства. На защиту выносятся разработанные новые и усовершенствованные существующие методы обработки информации, анализа динамики систем управления и управления сложными системами, включающие: Методы конструирования алгоритмов обработки информации, обеспечивающих более точное прогнозирование динамики управляемых систем. В работе на основе исследовательской работы автора установлено, что конструирование алгоритмов обработки информации с целью точного прогнозирования динамики изучаемых систем должно быть основано на качественном анализе моделей, с целью установления наличия характерных признаков, в число которых входят: характер предельных режимов систем, наличие инвариантных множеств в смысле общих систем, устойчивость интегральных многообразий. В диссертации показано, что рассмотрение моделей, имеющих устойчивые предельные режимы, но не имеющие устойчивых положений равновесия не только в сильной степени расширяет возможности по построению систем управления, но и в рассмотренных автором практически интересных задачах электродинамики и механики, является просто необходимым математическим аппаратом описания управляемых систем. Математически строго установлен факт существования стационарных инвариантных глобально устойчивых множеств у практически значимых моделей со многими неустойчивыми положениями
равновесия. Установлена также граница этого инвариантного множества для наиболее известной модели нелинейной динамики. Метод анализа и аналитические критерии существования стационарных интегральных многообразий у нелинейных управляемых систем. Методы исследования динамики управляемых систем, не имеющих предельных точек. Метод построения численных алгоритмов решения различных вычислительных задач, встречающихся в задачах системного анализа. В диссертации показано, что численное моделирование необходимо проводить совместно с аналитическим исследованием динамики управляемых систем на наличие интегральных многообразий и их устойчивости. Методы численного прогнозирования, применяемые при математическом моделировании необходимо должны учитывать наличие интегральных многообразий. Метод анализа информации, обеспечивающие конструирование алгоритмов, максимально точного прогнозирования динамики управляемых систем. Метод анализа и аналитические критерии существования стационарных инвариантных множеств нелинейных управляемых систем. Методы построения численных алгоритмов решения различных вычислительных задач, встретившихся при конструирования алгоритмов обработки информации с целью более точного прогнозирования динамики управляемых систем.
Научная новизна. Все изложенные в диссертации результаты являются новыми. Впервые изложен метод системного анализа динамики управляемых систем, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений, порядка выше второго, позволяющий установить наличие стационарных режимов этих систем. Этот метод является существенным вкладом в развитие методов системного анализа, так как позволяет установить классы уравнений, интегрируемых в замкнутой форме. В диссертации также предложены алгоритмы решения различных вычислительных задач, связанных с задачами системного анализа и методы исследования динамических систем, не имеющих предельных точек. В диссертации дан метод построения функций Ляпунова, обеспечивающих строгое математическое доказательство существования глобально притягивающего инвариантного множества для нелинейных систем дифференциальных уравнений.. В диссертации показано, что рассмотрение моделей, имеющих и только неустойчивые положения равновесия, является важным в задачах управления.
Практическая полезность. Результаты диссертации могут быть применены в задачах системного анализа управляемых систем, описываемых системами дифференциальных уравнений, задачах синтеза законов управле-
ния и построения эффективных численных алгоритмов решения задач теории управления. На основе результатов диссертации созданы алгоритмы управления реальными системами в ходе ряда работ ведущихся в Санкт-Петербургском государственном университете. Результаты работы могут быть также использованы в учебном процессе при чтении курсов дифференциальных уравнений и теории управления и численного анализа.
Реализация результатов. Результаты диссертации реализованы в результате многих госбюджетных и хоздоговорных работ, проводившихся в Санкт-Петербургском университете. Шифр госбюджетной темы - 01.20.0004662.
Апробация работы. По основным результатам работы автором были сделаны доклады 20 научных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Таллинне, Ереване, Одессе, Киеве, Иркутске, V Еругинских чте-ниях(1998), 11 международном семинаре IFAC САО'2000, научных конференциях факультета ПМ-ПУ Санкт-Петербургского государственного университета 1989-2002.Результаты диссертации обсуждались также на научных семинарах ИПК РАН под руководством акад. В.А.Мельникова, ИПУ РАН под руководством проф. М.А. Красносельского, МРТИ под руководством проф. Б.П.Мурина, IX Международном семинаре BDO 2002. Публикации. По теме диссертации опубликовано 35 научных работ, включая 5 монографий и учебных пособий.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Главы состоят из параграфов. В каждом параграфе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации - 266 страниц. Список литературы содержит 160 наименований.
