Содержание к диссертации
ВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
ПОДХОДА К МОДЕЛИРОВАНИЮ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКОЙ 16
1.1. Обзор методов моделирования и исследования нелинейных
систем 16
Математические модели нелинейных систем 32
Качественное исследование динамических систем 42
Геометрический подход к исследованию фазовых портретов 46
Топологическая классификация грубых состояний равновесия 53
Выводы по главе 61
ГЛАВА 2. АППАРАТ ГРУПП СИММЕТРИИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ 63
2.1. Групповой анализ нелинейных систем с управлением 63
2.3. Методика группового анализа систем с управлением 67
Применение классификации систем, допускающих группы симметрии для анализа решений 67
Методика исследования групповых систем 74
Методика исследования симметрии по состоянию 76
Аппарат непрерывных симметрии дискретных моделей 88
Группы симметрии фазового пространства 95
Выводы по главе 101
ГЛАВА 3. РЕДУКЦИЯ НА ЦЕНТРАЛЬНОЕ МНОГООБРАЗИЕ СИСТЕМ,
ДОПУСКАЮЩИХ ГРУППЫ СИММЕТРИИ 104
3.1. Методика анализа динамики систем, допускающие симметрию на
инвариантном торе 104
Методика исследования в инвариантном торе 104
Использование групповых свойств для построения эквивалентных отображений 113
3.2. Метод моделирования систем, редуцированных на инвариантное
многообразие в локальной области 119
Исследования инвариантного многообразия 119
Метод редукции систем на центральное многообразие 126
3.3. Обобщение теоремы о центральном многообразии для систем,
допускающих группы симметрии 131
Выводы по главе 140
ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНОЙ
ДИНАМИКОЙ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ 142
Оценка показателей Ляпунова по временному ряду 142
Методика использования свойств показателей Ляпунова для моделирования 142
Методы расчета показателей Ляпунова 153
Разработка алгоритмов оценки показателей Ляпунова по временному ряду 156
Разработка алгоритмов оценки инвариантных характеристик 159
Модифицированный метод реконструкция аттракторов для систем, допускающих группы симметрии 168
Метод моделирования нелинейных систем по экспериментальным
данным 176
Выводы по главе 186
ГЛАВА 5. РАЗРАБОТКА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ
АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ 188
5.1. Постановка задачи проектирования алгоритмов управления в системах
с нелинейной динамикой 188
5.2. Разработка геометрических принципов управления 193
Геометрическое представление фазовых потоков и задач управления 193
Геометрические критерии управляемости и достижимости.... 202
5.3. Методики построения алгоритмов управления 210
5.3.2. Редукция к исследованию множества достижимости 210
5.3.1. Построение алгоритмов управления на основе параметрического
периодического воздействия для систем малой размерности 214
Геометрический метод построения алгоритмов управления... 217
Методика исследования управляемых систем на основе принципа усреднения 226
5.4. Геометрический метод парето-оптимального управления 242
Выводы по главе 252
ГЛАВА 6. ТЕХНОЛОГИЯ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА
ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ УПРАВЛЯЕМЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ 254
Технология обеспечения повышения качества функционирования управляемых систем 254
Методика применения прогнозирующих моделей 257
Управление системой теплообмена с вязкой средой 266
Управление процессом охлаждения алюминиевых слитков 276
Выводы по главе 280
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 282
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 284
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Акты о внедрении результатов диссертации 309
Введение к работе
Актуальность. Развитие вычислительной техники и совершенствование промышленных технологий обуславливают повышение требований к качеству и надежности технических систем, которые определяются не только конструктивными особенностями и техническими возможностями систем автоматического управления, но и используемыми математическими методами моделирования управляемых процессов.
Динамическое поведение управляемых процессов многих технических систем носит нелинейный характер: имеют место нерегулярные и хаотические явления, бифуркации. К ним относятся системы, в которых происходят процессы теплообмена, потока вязких жидкостей, химические реакции и др. Часто сложные конструкции промышленных устройств не позволяют строить математические модели, учитывающие нелинейную автоколебательную природу явлений. Отсутствие моделей определяет практический подход к управлению техническими объектами промышленных систем: устанавливается дополнительное оборудование; системы автоматического управления строятся по принципу следящей системы; вводится несколько дополнительных контуров управления; искусственно вводятся дополнительные ограничения и пр., все это ухудшает показатели качества функционирования технических систем.
В теории нелинейной динамики сформировалось направление, связанное с реконструкцией инвариантных характеристик и аттракторов систем по временным рядам (Ф. Такенс, Д. Рюэль, Н. Пакард, А. Вольф, В. С. Анищенко, Т. Е. Владивласова, В. В. Астахов, А. Б. Нейман, Г. Г. Малинецкий, и др.). В области реконструкции моделей по экспериментальным данным разработаны только общие рекомендации. При этом по одномерной реализации восстанавливается фазовый потрет, который, согласно теореме Такенса, топологически эквивалентен аттрактору динамической системы. На следующем этапе
идентифицируются параметры априорно заданных уравнений.
Классические и наиболее универсальные методы реконструкции состоят в идентификации коэффициентов разложений Тейлора и Лежандра (Д. Кремере, А. Халберт, Д. П. Кручфилд, Б. С. МакНамара и др.), что не позволяет в полной мере описывать качественное поведение систем с нелинейной динамикой. Существует ряд работ по использованию нелинейных уравнений (О. Л. Аносов, О. Я. Бутковский, Я. А. Кравцов, Д.Л. Вреден, Р. Браун, Е. Р. Трайс и др.), уравнений с задержкой (М. Д. Буннер, М. Попп, Т. Мейер, Д. Парией и др.). Отличительной особенностей большинства публикаций является то, что предлагаемые алгоритмы тестируются на модельных примерах, когда результат заранее известен. Все это, с одной стороны, дает предпосылки для создания методологических основ моделирования нелинейных явлений по экспериментальным данным, с другой — нерешенной остается задача создания математических методов и моделей, позволяющих описывать качественное динамическое поведение реальных технических систем с заранее неизвестными структурами моделей.
Наличие моделей хаотических явлений расширяет возможности по
улучшению качества функционирования технических систем— малые воздействия позволяют управлять переходами возможных режимов работы системы и временем переходных процессов. Задача подавления хаотических колебаний, то есть перевода системы либо к устойчивым периодическим движениям, либо в состояние равновесия, может быть сформулирована как классическая задача автоматического управления. Базовый поход к управлению хаосом, заключающийся в стабилизации периодических орбит, встроенных в аттрактор, был предложен в работе Е. Отта, С. Гребожи, Д. А. Йорка (метод OGY). На основе метода OGY было построено множество алгоритмов управления хаосом в различных системах, включая гидродинамические, механические, химические и медико-биологические (В. С. Анищенко, Р. Лима, Л. Фронтзони, Р. Хасон, М. Петтини, В. В. Астахов и др.). Разработаны методы по проектированию
систем управления, основанные на нечеткой логике и принципах адаптивности (Л. М. Пекора, Дж. X. Пенг, К. Танака и др.). Аналитическому конструированию регуляторов посвящены работы А. А. Колесникова, Ю.-Ч. Лау, С. Гребоджи, Т. Ушио.
В качестве базового аппарата для получения результатов повышения качества функционирования технических систем, выбрана дифференциально-геометрическая теория. Актуальность этого аспекта диссертации определяется следующим. Качественное поведение динамической системы описывается фазовым потоком, порожденным векторным полем, т. е. однопараметрической группой преобразований пространства состояний. Управляемая система представляет собой семейство векторных полей, что позволяет совместно с разработкой моделей адаптировать и обобщить методы геометрической теории управления. В последние десятилетия созданы теоретические результаты по оптимальному управлению нелинейными системами, полученные в терминах групп конечных преобразований — групп симметрии, допускаемых управляемыми нелинейными системами, и главной линейной части этих преобразований — алгебр Ли (Р. У. Брокетт, А. Г. Бутковский, Ю. Н. Павловский, Г. Н. Яковенко, В. И. Елкин, К. Лобри, Г. В. Кондратьева, К. Г. Гареев, А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков, М. К. Кросс, Р. О. Григорьев).
Таким образом, разработка комплекса инвариантных геометрических методов исследования и моделирования систем с нелинейной динамикой, с целью повышения качества функционирования управляемых технических систем, является актуальной задачей системного анализа и теории управления, имеющей важное практическое значение.
Цель: разработка инвариантных дифференциально-геометрических методов качественной теории моделирования и исследования систем с нелинейным динамическим поведением с целью повышения качества функционирования управляемых технических объектов.
Задачи, решаемые в работе:
Обзор и анализ методов качественной теории систем с нелинейной динамикой.
Анализ и развитие математического аппарата групп симметрии, как одного из наиболее эффективных методов исследования нелинейных систем.
Разработка методов качественного анализа фазовых траекторий управляемых систем на центральном многообразии в локальной области.
Разработка моделей, реконструируемых по экспериментальным данным функционирования нелинейных систем.
Создание инвариантного метода математического моделирования и методики параметрической идентификации систем с нелинейным динамическим поведением.
Разработка принципов и технологий управления для систем с нелинейным поведением, основанных на дифференциально-геометрической теории.
Практическое применение разработанных методов и моделей для проектирования систем автоматического управления промышленными системами.
Оценка эффективности использования разработанных методов при управлении сложными техническими объектами.
9. Внедрение результатов исследований в учебный процесс.
Методы исследования. В диссертации использованы методы
нелинейной динамики, системного анализа, математической теории автоматического управления, дифференциальной геометрии и информатики.
Объект исследования. Данные, полученные в результате функционирования управляемых сложных технических систем, в динамическом поведении контролируемых параметров которых наблюдаются нелинейные явления — регулярные или хаотические колебания.
Предмет исследования. Разработка инвариантных методов моделирования и исследования и геометрических методов синтеза управления с целью повышения качества функционирования технических системам.
Научная новизна. Полученный в работе комплекс теоретических результатов, обобщений и исследований позволил решить научно-техническую проблему создания теоретико-методологических основ повышения качества функционирования управляемых технических систем, на базе разработанных инвариантных геометрических методов исследования и моделирования качественного поведения нелинейных явлений. При этом:
Разработан метод моделирования качественного поведения систем с нелинейным динамическим поведением по экспериментальным данным, основанный на теории групп симметрии.
Теоретически обоснована редукция систем с нелинейной динамикой на инвариантное центральное многообразие в локальной области, основанная на модифицированном аппарате групп однопараметрических преобразований для непрерывных и дискретных моделей систем с управлением.
Создана методика построения параметрически-идентифицируемых моделей систем с нелинейным динамическим поведением на основе представления систем на центральном многообразии и дифференциально-геометрическом анализе.
Разработан инвариантный геометрический метод управления систем с нелинейным динамическим поведением, учитывающий особенности предложенных идентифицируемых моделей.
5. Предложен метод нахождения парето-оптимального управления
на основе построения вариационных симметрии лагранжианов,
определяющих заданные критерии качества.
6. Разработана технология повышения качества функционирования
систем управления промышленными объектами с нелинейным
динамическим поведением, на основе созданных геометрических методов и моделей.
Достоверность и обоснованность научных положений, результатов, выводов и рекомендаций, приведенных в диссертационной работе, обеспечивается корректным использованием дифференциально-геометрической теории, использованием вычислительно-надежных методов исследования и подтверждается экспериментальными данными, полученными в ходе моделирования и проектирования систем управления техническими объектами; апробацией и обсуждением результатов работы на международных и всероссийских научных конференциях; рецензированием и предварительной экспертизой научных статей, опубликованных в ведущих научных изданиях.
Практическая значимость и внедрение. На основе полученных в работе теоретических и методологических результатов создан комплекс геометрических методов, позволяющий решать важную научно-техническую задачу повышения качества функционирования технических объектов и промышленных систем, включающий анализ экспериментальных данных, моделирование, исследование и разработку систем автоматического регулирования.
Результаты работы использованы при выполнении:
НИР «Разработка геометрических методов исследования управляемых динамических систем», по программе Рособразования РФ «Развитие научного потенциала высшей школы 2005 г.» (код проекта: 63372);
НИР по заказу НИИ «Энергия» Главного управления информационных систем Спецсвязи РФ, выполняемой во исполнение Постановления Правительства РФ от 02.02.1996 г. №87-04 и Указа Президента РФ от 03.04.95 №334;
НИР «Разработка теории, методов, и средств математического моделирования систем» в рамках тематического плана МГАПИ (2001-2003 г.г.).
Результаты исследований внедрены в системе управления на ТЭЦ-17
Филиал Мосэнерго, в информационной системе поддержки принятия решений в НИИ «Энергия» ГУИС Спецсвязи РФ, в системе регулирования на ЗАО «Ступинская металлургическая компания», в системе управления теплообменником в ООО «Марс», в системе управления потоком вязкой жидкости для 000 «Центр передовых технологий «Базис» и моделировании процессов теплообмена на ряде промышленных предприятий.
Использование разработанных методов и моделей позволило повысить быстродействие систем теплообмена в 1,5-2 раза, и увеличить качество и надежность их функционирования.
Результаты диссертационной работы использованы в учебном процессе кафедры «Управления и моделирования систем» Московского государственного университета приборостроения и информатики, кафедры «Моделирования систем и информационных технологий» «МАТИ» — Российского государственного технологического университета им. К. Э. Циолковского.
Результаты внедрения подтверждены соответствующими актами.
Основанные положения, выносимые на защиту.
метод, позволяющий на основании экспериментальных данных технических систем с нелинейным поведением, строить динамические модели систем, редуцированных на инвариантное центральное многообразие в локальной области, допускающих группы симметрии;
теоретическое обоснование и методика параметрической идентификации моделей управляемых систем с нелинейным динамическим поведением, использующая дифференциально-геометрический анализ;
геометрические инвариантные методы и технологии управления систем с нелинейным динамическим поведением, допускающих группы симметрии.
- технология повышения качества функционирования систем управления промышленными объектами с нелинейным динамическим поведением.
Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 36 международных и всероссийский научных конференциях, в том числе:
1-й, 2-й Международной науч.-техн. конф. «Моделирование и исследование сложных систем» (Кашира, 1996; Озеры, 1998);
Международной науч.-практ. конф. «Теория активных систем» (Москва, 2001);
2-й, 3-й, 4-й, 5-й Всероссийской науч. конф. молодых ученых по математике, математическому моделированию и информатике (Новосибирск, 2001; 2002, 2004; Красноярск 2003, везде— пленарные доклады);
4-ой конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» (С.-Петербург, 2002);
1-й и 2-й Всероссийской науч. конф. «Проектирование научных и инженерных приложений в системе MATLAB» (Москва, 2002, 2004);
2-ой Международной научной школе «Моделирование и анализ безопасности в сложных системах» (С.-Петербург, 2002);
11-ом Международном науч.-техн. семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Крым, Алушта, 2002);
3-й Международной науч.-практ. конф. «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2003);
Международной конф., поев. 100-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова «Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2003);
Международной конф. по теории управления, посвященная памяти акад. Б. Н. Петрова (Москва, 2003);
5-ой молодежной науч.-техн. конф. «Наукоемкие технологии и
интеллектуальные системы» (Москва, 2003);
2-ой Международном конференции по проблемам управления (Москва, 2003);
Международной науч.-техн. конференции «Автоматизация и управление в технических системах» (Пенза, 2004);
8-м международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», поев, памяти Е. С. Пятницкого (Москва, 2004);
Всероссийской науч.-техн. конф. «Информационные технологии» (Воронеж, 2005),
а также на регулярных научных семинарах ИПУ РАН и семинарах МГАПИ под рук. проф., д. т. н. С. Н. Музыкина (1995-2004), под рук. д. т. н., проф. Б. М. Михайлова (2004-2005), под рук. д. т. н. М. В. Ульянова (2005).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 60 работах, основные 35 публикаций приведены в конце автореферата, включая 10 статей в ведущих периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 11 статей в других журналах и сборниках трудов, 14 работ в сборниках трудов научных конференций.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения.
В первой главе «Теоретические основы геометрического подхода к
моделированию фазовых траекторий управляемых систем с нелинейной
динамикой» проведен аналитический обзор подходов к исследованию и
управлению систем с нелинейной динамикой, определен объект
исследования, применительно к которому сформулированы понятия
качественной теории систем; проведен анализ и обобщены положения
геометрического подхода к моделированию фазовых траекториях систем с
управлением; уточнены задачи и направления исследования.
Во второй главе «Аппарат групп симметрии для исследования
моделей управляемых систем» изложены вопросы применения группового
анализа для рассматриваемого класса систем с управлением; разработан аппарат непрерывных групп симметрии дискретных моделей; определены основные результаты для анализа фазовых портретов систем с нелинейной динамикой.
В третьей главе «Редукция на центральное многообразие систем, допускающих группы симметрии» рассмотрено поведение фазовых портретов на инвариантном торе; сформулированы и доказаны теоремы для редукции систем, допускающих группы симметрии, на устойчивое и неустойчивое многообразие; сформулировано обобщение теоремы о центральном многообразии на основе однопараметрических преобразований.
В четвертой главе «Моделирование систем с нелинейной динамикой по экспериментальным данным» проведена классификация методов оценки характеристических показателей по временным рядам; изложен модифицированный метод восстановления аттракторов нелинейных систем; разработан метод построения идентифицируемых моделей; приводятся примеры моделирования реальных систем по экспериментальным данным.
В пятой главе «Разработка геометрических методов построения алгоритмов управления нелинейными системами» изложены подходы к управлению хаотическими системами; рассмотрены геометрические критерии локальной управляемости нелинейных систем; сформулированы геометрические принципы сведения рассматриваемых классов задач управления к исследованию множества достижимости; разработан метод построения алгоритмов управления нелинейными системами, допускающими группы симметрии; создан метод нахождения парето-оптимального управления на основе построения вариационных симметрии лагранжианов для заданных критериев качества.
В шестой главе «Технология повышения качества функционирования управляемых технических систем» на основе использования созданных инвариантных геометрических методов и моделей разработана технология, обеспечивающая повышение качества функционирования управляемых технических систем с нелинейной динамикой; приведены результаты, полученные при внедрении разработанных методов при моделировании и управлении промышленных систем.
В заключении приведены основные результаты и выводы.
Автор благодарит за консультации и неоценимую помощь научного консультанта д. т. н., проф. С. Н. Музыкина, ректора д. т. н., проф. Б. М. Михайлова и д. т. н. проф. М. В. Ульянова, без чьих усилий диссертация не стала бы реальностью. Вместе с тем все неточности и недостатки принадлежат только автору.
