Методы исследования динамики и синтеза управления для химико-технологических систем Левков Сергей Петрович

Содержание к диссертации

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ 4

ВВЕДЕНИЕ 7

1. Постановка задачи ..... 7

2. Основные концепции 13

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ХТС 25

1.1. Модели нижнего уровня 27

1.1.1. Статические модули 30

1.1.2, Динамические модули .... 33

2. Модели отдельных аппаратов ХТС 38

3. Построение модели ХТС в целом 44

1. О выборе метода формального описания ХТС 44

2. Исследование особенности рассматриваемого класса ХТС . 51

1.4. Вопросы идентификации параметров моделей ........ 58

2. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ХТС И СИНТЕЗ САУ 67

2.1. Сверточные алгебры и их свойства 68

3. Алгебры с носителем на R+ , 68

4. Алгебры с носителем на R . 71

2. Свойства операторов объекта 74

3. Анализ устойчивости ...... 87

4. Синтез регулятора 89

3. РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ 100

1. Построение передаточных матриц 101

2. Численный анализ передаточных матриц 107

3. Построение взаимно-простой факторизации передаточной матрицы 112

3.4. Численное обращение преобразования Лапласа 115

4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

ИССЛЕДОВАНИЙ 125

4. Модель динамики участка подготовки окислов азота процесса производства слабой азотной кислоты 125

5. Стабилизация места окончания спекания в агломерационном производстве 133

4.2.1. Построение динамической модели стадии спекания
агломерационной машины 133

4.2.2. Вопросы синтеза регулятора 139

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 144

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 147

ПРИЛОЖЕНИЕ 159

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

Условные обозначения. Некоторые условные обозначения имеют различный смысл в разных главах, что связано с традиционными обозначениями,принятыми в различных отраслях науки. В таких случаях в скобках указывается номер раздела, для которого специфично данное обозначение. Векторы (вектор-столбцы) обозначаются прописными буквами. Матрицы обозначаются заглавными буквами. Знак т обозначает транспонирование. Знак л обозначает преобразование Лапласа.

Индекс і соответствует входу, индекс о соответствует выходу (I). S^JB- сверточные алгебры, определенные в разделе 2.1; С - поле комплексных чисел;

С«+ - правая полуплоскость в С , C^*{seC: Res ^S₀) . С«і,«г - полоса в С , Cg.^-lseC: S₄ ^ ReS < 6г J ;

C_P(s)- алгебра правильных рациональных дробей в С ;

(j - расход (I);

ьМ- вектор тепловых эффектов реакций (I);

I - единичный элемент сверточных алгебр или единичная матрица;

N_T- мощность (I);

О - нулевая матрица;

Р- давление (I);

R- универсальная газовая постоянная (I); поле действительных чисел (2,3); R₊ -{ і' і>0 })

.^(6.)- алгебра "устойчивых" рациональных дробей, j^o>Cp(^s)n<^(60*

$- площадь сечения (I);

Т- температура (I);

Q.- теплота (I);

W- передаточная или импульсно-переходная матрица;

С - вектор теплоємкостей, соответствует вектору состава (I);

а - вектор состава потока, й=[ф,..., Qn ]^т , где (Ь - весовая доля і -ой компоненты (I);

К- коэффициент открытия вентиля (I);

Кт- коэффициент теплопередачи (I);

I - длина;

т- число реакций, протекающих в аппарате (I);

П- число компонент в векторе состава (I);

fl_T- число оборотов турбины или компрессора (I);

р- число входов или выходов аппарата (I);

ty- удельная теплота парообразования (конденсации) (I);

%- вектор скоростей реакции, Т/ = [Тм₇,,., Ъл 1 (I); S- комплексная переменная, s = 6+juJ ;

і- время;

\У- скорость потока (I);

и/- объем аппарата (I);

Х- вектор входных переменных;

U- вектор выходных переменных;

Z- вектор параметров потока;

ot- сдвинутая Hat 8-функция Дирака,6^=<5(і-Х);

J - коэффициент трения (I);

ЗЄ- показатель адиабаты (I);

JU- матрица молекулярных весов, соответствует вектору состава,

ju - dtag [fii,..., jun ](I) ;

l- коэффициент полезного действия (I); j- плотность;

- б -

У - параметр вентиля (І).

Сокращения. ШФ - быстрое преобразование Лапласа; ВВ - вход-выход;

ШФ - взаимно-простая факторизация;

ДУЧП - дифференциальное уравнение в частных производных; ЛШ - лево-взаимно-простые; МСМ - минимальное существенное множество; ОДУ - обыкновенное дифференциальное уравнение; ОРП - объект с распределенными параметрами; ОСП - объект с сосредоточенными параметрами; ПВП - право-взаимно-простые; ПМ - передаточная матрица; ССК - сильно связанная компонента; ТП - технологический процесс; ХТС - химико-технологическая система.

Введение к работе

I. Постановка задачи.

Целью работы является разработка инженерных методов исследования динамики химико-технологических систем (ХГС) и синтеза систем автоматического управления для них. Как объект управления, ХГС характеризуются значительной сложностью и указанная проблема имеет различные аспекты: математический, вычислительный, технологический. В работе рассматривается инженерный взгляд на проблему, объединяющий некоторым образом вышеперечисленное. Под инженерными методами здесь понимаются доведенные до уровня вычислительных алгоритмов и. прикладных программ методы качественного и количественного исследования динамики, достаточно простые и пригодные для использования инженерами в области проектирования ХГС и систем управления к ним, основанные на современных результатах теории управления. При этом предполагается включение разрабатываемых методов в качестве математического ядра в систему автоматизированного проектирования.

В качестве объекта управления рассматриваются ХТС с непрерывным характером производства - типичные представители сложных /12,49,85/ или, по другой терминологии, больших систем /24,119/, подсистемами которых являются отдельные аппараты (блоки) технологического процесса - реакторы, теплообменники, трубопроводы, компрессоры и другие. Взаимосвязи между подсистемами осуществляются потоками вещества и информации (предполагается, что отдельные подсистемы могут иметь локальные регуляторы ).

Характерными свойствами ХГС являются: многомерность, много-связность, инерционность, наличие запаздываний, разнородность отдельных подсистем, среди которых встречаются статические, динамические, объекты с сосредоточенными (ОСП) и распределенными параметрами (ОРП). При этом в работе рассматриваются лишь ОРП с сосредоточенными управлениями, у которых управляющие воздействия приложены или на границах объекта (параметры входньк или выходных потоков), или в отдельных точках, число которых невелико. Среди объектов химической технологии таких объектов большинство.

Характерной особенностью данной работы является то, что объекты рассматриваются с учетом газодинамики и сжимаемости потоков. В литературе по моделированию ХГС эти эффекты обычно не учитываются, по-видимому,по причине того, что их влияние на статических режимах не столь заметно. При исследовании динамических режимов оказывается, что газодинамика и сжимаемость потоков существенно влияют на переходные процессы в системе и удовлетворительно управлять динамикой ХГС невозможно без учета этих явлений.

Рассмотрим основные факторы, определяющие актуальность изучаемой темы.

При управлении технологическим процессом (ТП) в реальных условиях нельзя избежать эффектов, связанных с тем, что ТП обладает инерционностью. Поэтому при строгом решении общей задачи синтеза оптимального управления необходимо учитывать динамику ТП. Такая задача весьма сложна для большинства технологических процессов, так как относится,как правило, к нелинейным.

Существует обширный класс технологических процессов, у которых естественным образом можно выделить статические стационарные состояния и основное время функционирования которых приходится на эти режимы. Для таких ТП задачу управления обычно разбивают на три части:

Нахождение оптимального при заданных условиях стационарного состояния.

Стабилизация ТП в окрестности выбранного стационарного состояния в присутствии возмущений.

3. Перевод ТП в другое стационарное состояние при изменении условий функционирования.

Задача I, относящаяся к статическим, в настоящее время достаточно хорошо изучена и во многих случаях успешно решается в рамках АСУТП. Задачи 2,3, относящиеся к динамическим, изучены мало и решаются в основном с помощью человека-оператора, осуществляющего стабилизацию и компенсацию возмущений. Успешному решению им этих задач способствует то обстоятельство, что большинство ХТС проектируются с достаточно большим запасом устойчивости.

Возрастание единичной мощности аппаратов, сложности ХТС и повышение требований к их эффективности, характерные для современного этапа технического прогресса, требуют замены человека-оператора замкнутой системой автоматического управления или повышения его квалификации путем обучения на специальных тренажерах. Оба эти пути связаны с необходимостью изучения динамики ХТС.

Существует и другой фактор, определяющий актуальность темы. Анализ литературы по химической технологии показывает усиление исследований по динамическим режимам функционирования химических реакторов. Работы в этой области ведутся по двум направлениям.

В работах первого направления изучается сравнительная эффективность стационарных и нестационарных режимов функционирования. Под нестационарным режимом понимается любой режим, возбуждаемый во времени серией управляющих воздействий. Эти воздействия - периодические, обычно ступенчатые /121/ или гармонические /104/ функции времени. В работах установлено, что нестационарные режимы могут быть более эффективны чем стационарные, особенно для процессов сепарации (экстракция, абсорбция, дистилляция) /83,104,121/, а также для реакторов с существенно нелинейными выражениями для скоростей реакций /26,104/. Нестационар- нне режимы приводят к увеличению конверсии и дают эффект, эквивалентный увеличению емкости реактора. Понятно, что для успешного функционирования ТП в нестационарном режиме необходимо наличие САУ.

В работах второго направления изучается множественность стационарных режимов, их устойчивость и технологическая эффективность. При этом часто возникает ситуация, когда наиболее эффективный стационарный режим оказывается неустойчивым и функционирование в таком режиме без системы стабилизации невозможно /97,118/. Возможны следующие основные случаи.

При экзотермических и особенно автотермических реакциях возможно существование нескольких стационарных состояний, которые определяются из пересечения кривых тепловыделения реакции и теплопоглощения системой охлаждения (так называемая диаграмма Ван-Хирдена). Низкотемпературное устойчивое состояние для ряда процессов возможно при небольшой разности температуры между реагентом и хладоагентом, для чего необходимо снижать интенсивность процесса или сильно увеличивать поверхность теплоотвода. Выбор высокотемпературного устойчивого режима часто ограничен термостойкостью аппаратуры. Поэтому в ряде случаев оптимальные условия отвечают средним, неустойчивым стационарным режимам. Например: окисление этилена, синтез винилацетата /64/, сжигание топлива, синтез аммиака /123/.

При экзотермических обратимых реакциях кривая скорости реакции загибается вниз, так как равновесие смещается в сторону реагентов и нежелательность работы в высокотемпературной точке может быть вызвана малой конверсией /123/. Аналогичная картина может быть вызвана эффектами вязкости в реакциях полимеризации /III/ или эффектами отравления катализатора /99/. - II -

3. Многие важные промышленные реакции проходят в несколько стадий (последовательно, параллельно), при этом желаемым продуктом является промежуточный продукт (например: хлорирование, нитрирование, алкирование). В этих случаях высокая избирательность желаемого продукта достигается при низкой конверсии, а при высокой конверсии - низкая избирательность (например: процесс хлорирования декана /103/). Поэтому целесообразно вести реакцию в компромиссном режиме между избирательностью и конверсией. Этот режим может попадать в область неустойчивых состояний.

Во всех указанных выше работах рассматриваются динамические свойства только отдельных реакторов. Естественно ожидать, что динамические эффекты в ЖС еще более разнообразны. Однако, подобные исследования для ХТС сопряжены с большими трудностями, связанными не только с большой размерностью и сложностью системы, но также и с недостаточной разработанностью методов исследования динамики для них.

Остановимся кратко на положении дел в области исследования динамики ЖС. Имеется большое число работ (как монографий,так и журнальных публикаций), посвященных исследованию динамики отдельных аппаратов химической технологии. Как примеры можно отметить работы /16,62,64,67,118/. В них рассматриваются вопросы моделирования динамики, анализа устойчивости и синтеза реакторов для отдельных объектов химической технологии с сосредоточенными и распределенными параметрами.

Значительно меньшее число работ посвящено динамике технологической совокупности аппаратов - ХТС. Рассмотрим основные из них.

В работах /1,2/ сформулирована динамическая модель ХТС в виде "балансовых уравнений" (системы обыкновенных дифференциальных уравнений), в которых автор учитывает только процессы аккумуляции массы, энергии, компонентов. При этом, сложные физико-химические взаимодействия между и внутри потоков заменяются некоторыми случайными процессами. Для такой модели ХТС автор исследует наблюдаемость и оценку состояния.

В работе /20/ рассмотрен один метод расчета и оптимизации ХТС, формально описываемых в виде общего операторного уравнения, позволяющий для некоторых систем провести декомпозицию и осуществлять расчет без разрыва обратных связей.

В работе /79/ сформулированы достаточные условия устойчивости сложной системы, состоящей из взаимосвязанных подсистем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями в частных производных.

Работа /65/ содержит раздел, посвященный исследованию устойчивости стационарных режимов ХТС. Здесь рассмотрены вопросы получения передаточных матриц отдельного блока, построения передаточной матрицы ХГС, условия устойчивости в виде частотного критерия типа Найквиста. Необходимо отметить, что полученное разложение передаточной матрицы ОРП по степеням комплексной переменной s (чему в пространстве оригиналов соответствует разложение по степеням производной от <Г-функции) не обладает достаточной степенью физической наглядности.

В работе /66/ рассматриваются вопросы численного моделирования на ЭВМ нестационарных режимов ХТС. Для расчетов используются методы численного интегрирования по времени с аппроксимацией ОРП по длине методом прямых. Авторы отмечают очень большую трудоемкость подготовки задачи для ЭВМ, большое время счета (7 часов для модели ХТС получения винилацетата), а также малое число публикаций по динамике ХТС.

Анализ литературы показывает, что вопросы исследования динамики ХТС изучены в настоящее время недостаточно. В немногочисленных имеющихся работах, как правило, рассматриваются отдельные воп- - ІЗ - росы моделирования динамики и исследования устойчивости и некоторые частные случаи ХТС. Практически отсутствуют работы по синтезу САУ. Обращает на себя внимание также отсутствие комплексного рассмотрения всех основньк проблем, связанных с моделированием динамики, анализом и синтезом САУ для ХТС.

Описанное положение дел в изучаемой области привело к тому, что диссертационная работа направлена на достижение двух результатов. С одной стороны, малая изученность рассматриваемых вопросов в литературе обусловила необходимость выработать единую концепцию моделирования динамики ХТС и синтеза САУ и в рамках этой концепции выбрать и/или разработать методы анализа и решения поставленных задач. При этом в работе используются новые теоретические результаты по теории систем с обратной связью /89,93,94,102/. С другой стороны, инженерная направленность работы требовала доведения предлагаемых методов до практической реализации в виде вычислительных алгоритмов и прикладных программ, так как для изучаемых объектов даже элементарный анализ невозможен без применения ЭВМ. Это обусловило необходимость тщательной проработки вычислительных аспектов разрабатываемых методов и вопросов их реализации на ЭВМ.

При разработке методов моделирования учитывалась также необходимость исследования динамики на стадии проектирования ХТС совместно с системой управления.

2. Основные концепции,

В работе рассматривается, применительно к ХТС, традиционная задача автоматического управления - стабилизация динамического объекта в окрестности стационарного состояния в присутствии возмущений. При этом изучается линеаризованная динамика и использу- ются линейные методы синтеза регулятора, что,естественно,сужает класс решаемых задач, но позволяет довести разрабатываемые методы до практической реализации.

Как известно, проектирование замкнутой системы управления состоит из трех этапов: моделирование объекта, анализ, синтез регулятора /102/. Каждый из этапов в отдельности может быть выполнен различными методами. Однако в инженерной практике эти этапы взаимосвязаны,и выбор метода на одном из них должен производиться с учетом возможностей на остальных. Особенно это касается таких сложных объектов, какими являются ХТС. Таким образом, выбор концепции (совокупности методов) при проектировании замкнутой системы управления в данном случае представляет собой нетривиальную задачу.

Рассмотрим основные возможные подходы к моделированию, анализу и синтезу с целью выбора приемлемого варианта. Предварительно кратко сформулируем исходные положения (более подробное их обоснование приведено в главе I).

ХТС будем представлять как сложную систему 3 , состоящую из подсистем (отдельных аппаратов) S_K K-J,2,...,M , взаимосвязи между которыми и системными входами и выходами задаются уравнениями (I) (см. рис. I.I.):

Хк(Ч]= Akj4jM+X_kxs(4; y_sM⁼ZYKijK(t)₇ (і) где 3Ck,Uk и X_s , LJs - векторы входов и выходов подсистемы Sk и системы 8 соответственно; вектор Х_к включает в себя параметры входных потоков и управляющие воздействия, при этом Xs⁼ [ul , ttfs^T ]^Т > Us - вектор системных управлений, -u/_s - вектор системных возмущений; Akj X_KYk^- постоянные матрицы типа матриц инциндентности.

Исходные соотношения, описывающие произвольную подсистему формулируются в аналитическом виде /22,27,37,65/ и представляют собой в зависимости от типа аппарата систему алгебраических, обыкновенных дифференциальных (ОДУ) или дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), записанную для вектора Zk параметров потоков подсистемы Sk . Таким образом, в общем случае пространство состояний /25/ отдельных подсистем и, следовательно, системы S бесконечномерно.

Различия в рассматриваемых далее подходах определяются видом математической модели, принятой для описания подсистем Зк , формальное задание которой определяет вид модели системы S и класс методов анализа и синтеза.

Первый подход заключается в следующем. Модель подсистемы формулируется в терминах бесконечномерного пространства состояний, то есть сохраняется исходный вид моделей. Тогда систему J3 можно описать в виде некоторой граничной задачи для системы ДУЧП. Сформулируем ее.

Учитывая различия в типах аппаратов, общий вид модели подсистемы S_K будет следующий: граничные условия: начальные условия:

2к(0,ЄЬН>к(О ₇ (4) где П,Гг - границы области, предполагая, что длина всех аппаратов нормирована - (-.[0,0, получим, что Г*: ⁼0 , Гг'. 1-і ; Bn(^zW)j Ъ1 ) ^и Brz(*CW>—^f" 1 - операторы сужения на границы Г і и Г г ;

Е_к F_K Cj_k D'_k^j (L,j = і,г) - векторные функции соответствующей размерности. При этом для ОСП выполняется: Lk₇Cjk .,])!! Ь_{к 7}Dk =0 ,

Вг_г - тождественный оператор; для статических объектов, кроме этого - Ек-0

Обозначим: А ^а { Al]}ij= и,...,м ; L-diaj [L,,..., L_M ] и аналогично . Тогда, учитывая урав- нения взаимосвязи (1)_? получим граничную задачу, описывающую систему $ (5)*(7) и уравнения выходов (8).

8ECz) _ГГз D D _т -)+?( 3^ ЪЧ -) ъКь^^ь^п(ь_ГгУ1к[ъЧкУъ^гХь_Гг)]-И^_} (6)

2(0,1) *(г), (7) u_s = Y[D²¹(br>]f(BrJ]. (8)

Отметим, что полученная граничная задача обладает большой м размерностью ( N⁼ZIn._K, где П._к ⁼ 3-Ч0 - число переменных в век-торе состояний подсистемы $к ), наличием граничных управлений и нерегулярной структурой, которая проявляется в том, что входящие в нее векторные функции E,F,G,L D имеют различную структуру в зависимости от к и, в частности, для некоторых к обращаются в нуль. Таким образом, задачу нельзя отнести к какому-либо классу (параболическая, гиперболическая, эллиптическая).

Введем функционал, отражающий цели управления:

1= \ 9(i|_s,u_Slur_SlTOdt (9) и поставим задачу синтеза регулятора, минимизирующего I : определить оператор С : Us ⁼C(4s") доставляющий минимум функционалу 1 при заданных vtf_s %$ , где ts - некоторые дополнительные входные воздействия, характеризующие желаемое поведение замкнутой систе- мы при ограничениях (5)*(8).

Задачи оптимального управления и синтеза регуляторов для систем с распределенными параметрами изучались многими авторами, например /13,14,28,58,75,113,114/.

Так в /58/ на случай симметричных, положительных неограниченных операторов в бесконечномерных пространствах обобщена классическая линейная теория для ОДУ с квадратичным функционалом без ограничений на управления и фазовые переменные. В эту схему удалось вложить задачи для параболических уравнений с различными типами управлений и наблюдений. При этом, ядро оператора обратной связи удовлетворяет интегродифференциальному уравнению Риккати.

В /ИЗ/,развитые в /58/,методы синтеза распространены на линеаризованную систему уравнений Навье-Стокса с "точечными управлениями" и "финальными наблюдениями", а в /П4/-на плохо обусловленные системы (параболическо-эллиптические).

Что касается рассматриваемого здесь случая сложных систем, то можно отметить лишь работу /75/, в которой получены необходимые условия существования оптимального управления для последовательности однотипных аппаратов, описываемых системой гиперболических ДУЧП.

Анализ литературы показывает, что, как правило, изучаются системы, принадлежащие вполне определенному классу ДУЧП (что соответствует в рассматриваемом здесь случае отдельной подсистеме), а также, что решение задачи синтеза в настоящее время имеется для некоторых частных случаев линейных систем с распределенными параметрами.

Нетрудно показать, что оператор, порождаемый линеаризованной граничной задачей (5)*(8), не обладает свойствами, позволяющими применить теорию /58/.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что строго решения задачи (5)*(9) в настоящее время нет и этот подход, таким образом, для практического применения нереализуем.

Второй подход, часто используемый при исследовании ОРП, заключается в аппроксимации системы ДУЧП совокупностью систем ОДУ. Здесь существует большое число методов : конечно-разностные /73/, Галеркина /60/, конечных элементов /78/, коллокации /105/.

Обозначим 2к(*0"²<00 для ОСП и IkCO'UUU),...^^)] для ОРП - аппроксимация вектора 2_К(^,0 , полученная одним из перечисленных методов. Тогда, для отдельной подсистемы $к получим приближенную модель ^dU^^m - ЇЛШ,*М), ₍₁₀) у_к(0-6к2к(і), 1,,(0)-?к , где для статических подсистем по-прежнему Ек-0 .

Учитывая уравнения (I), получим модель системы S :

Щр-їа№+ш, (id

Для синтеза регулятора по модели (II) можно использовать стандартные методы для конечномерных динамических систем /11,57,70/, в частности, для линеаризованной системы (II) - хорошо разработанную линейно-квадратическую теорию /5,39,80,120/.

Такому подходу присущи существенные недостатки. Первый из них связан с очень большой размерностью полученной задачи. Если для одного ОРП размерность вектора состояний г_к уже достаточно велика, то для более-менее сложной ХТС она достигает неприемли-мой для практических расчетов величины. Так, например, для рассматриваемого в данной работе ТП производства слабой азотной кислоты, содержащего 49 аппаратов, 25 из которых - ОРП, при дискретизации последних на 10 уровней и средней размерности вектора па- раметров потока для одного аппарата равной б получаем, что система (II) содержит приблизительно 1500 уравнений. Необходимо учесть также, что размерность задачи синтеза регулятора будет еще выше, так как в нее войдет задача построения динамического наблюдателя, позволяющего оценить по 10*15 наблюдениям вектор состояния размерностью 1500.

Второй недостаток вызван тем, что как известно /70/, при аппроксимации ОРП теряется структура исходной задачи; свойства полученной модели существенно зависят от метода аппроксимации, расположения точек дискретизации. В результате чего применяемые в дальнейшем методы носят формальный характер, мало учитывающий специфику исходной задачи. Здесь можно отметить трудности с построением наблюдателя и выбором весовых матриц в квадратичном критерии, от которых существенно зависит качество переходных процессов в замкнутой системе /80/.

Третий недостаток связан со степенью оптимальности получаемого в результате управления. Известно, что полученное в результате конечномерной аппроксимации граничной задачи оптимальное управление может не сходится в пределе к оптимальному решению исходной задачи /45/, и доказательство подобной сходимости является сложной математической задачей, актуальной в настоящее время /28/.

Указанные выше обстоятельства делают нежелательным применение данного подхода.

Третий подход основан на переходе от моделей подсистем в пространстве состояний к моделям "вход-выход" (ВВ), то есть построении оператора Wk , связывающего входы и выходы подсистемы:

УкО) -WkXkU). (12)

Учитывая уравнения (I) и вводя такие же как и ранее векторные обозначения^ получим модель ВВ системы S : у, -Y(I- WA)~'Xxs= WsXs. (із)

Функционал и задача синтеза остаются при этом прежними.

Преимущество этого подхода заключается прежде всего в существенном сокращении размерности. Действительно, поскольку взаимодействия между подсистемами осуществляется через конечномерные векторы входов и выходов и управления сосредоточенные, то при построении модели системы можно оперировать моделями подсистем небольшой размерности, при этом внешняя структура их (оператора Wk ) будет одинаковой для ОСП и ОРП, что важно при численной реализации на ЭВМ. С другой стороны, размерность пространства входов и выходов системы S также невелика,и. наличие модели ВВ для S позволяет решать задачу синтеза малой размерности.

Применение этого подхода также не лишено трудностей. Одна из них связана с представлением моделей ВВ. Для их получения часто используют экспериментальные методы /27/. Однако, полученные в результате модели справедливы обычно в узком диапазоне изменения параметров объекта и их невозможно получить на этапе проектирования, что является необходимым условием в данной работе.

Поэтому здесь используются модели ВВ, полученные в результате решения аналитических уравнений в пространстве состояний,^ 2)*: (4) относительно входных и выходных переменных. При этом, точное представление для вход-выходного оператора Wk не всегда возможно или удобно получить из-за сложности граничной задачи (2)*(4). Для линейных инвариантных во времени систем это можно сделать, используя преобразование Лапласа по временной переменной и получить точное представление для Wk в частотной области в виде пе- редаточной матрицы w_K(s) . Отметим, что во временной области матрицу WkOO можно получить даже в этом случае лишь приближенно, применяя либо численные методы обращения преобразования Лапласа, либо многократно численно решая граничную задачу (2)*(4) со специальным образом подобранньми граничными условиями. Использование преобразования Лапласа представляет также удобства с вычислительной точки зрения, так как для последующей работы с передаточными матрицами достаточно применение методов линейной алгебры в поле комплексных чисел. Инвариантность во времени не является серьезным ограничением в данном случае, поскольку переходные процессы в системах рассматриваемого класса протекают обычно намного быстрее, чем проявляется нестационарность параметров системы.

После получения модели системы S дальнейший анализ и синтез регулятора возможен во временной или в частотной области. Во временной области возможны два пути: синтез непосредственно по оператору \л/₅(Оили переход с помощью методов теории абстрактной реализации к модели системы в дифференциальной форме /48/, которая, например,в дискретном случае может иметь вид: u_s(KAt)= Е W<(j^)u/Ut) ⁺ W_z(j*t)x_sCj*t) . (14)

В обоих случаях модель является весьма приближенной и при оценке степени оптимальности получаемого в результате управления возникает проблема сходимости, так:же как и при втором подходе.

Таким образом, более корректным представляется синтез в час- тотной области, основанный на точном представлении оператора W_s(s). На этом пути также возникают определенные трудности, связанные с тем, что для систем, описываемых моделями ВВ в частотной области, методы анализа и синтеза менее развиты. Действительно, с 60-х годов в теории управления большее распространение и развитие получили методы пространства состояний. Однако, возрождение в последние годы интереса к методам ВВ /115/ привело к появлению новых результатов в этой области. Рассмотрт.і некоторые из них, имеющие непосредственное отношение к данной работе.

В работах /4,10,50/ разработан и развит аналитический метод синтеза в частотной области оптимального регулятора для конечномерных, линейных, инвариантных во времени систем. Идея метода заключается в специальном выборе варьируемой матрицы в теории оптимальной фильтрации Винера-Хопфа.

Аналогичные по форме результаты получены для конечномерных объектов в несколько более широкой постановке в работе /124/. Процедура получения оптимального регулятора здесь основана на следующем алгебраическом результате. Для объекта, передаточная матрица которого представима в виде: W(s)-- Na(Ob"iCs)^sB"iWN«(s), (15)

Л л л л где Иг D^Ne,!^ "* взаимно-простые полиномиальные матрицы, (то есть существуют полиномиальные матрицы и_г,У_г UeVe для которых выполняется и_гМ_г⁴'V_XD_X-I₇ NtUe⁺D*Ve⁼I )_? любой регулятор, обеспечивающий устойчивость замкнутой системы,имеет вид: с со = (v_T(s) + kcs) NttoKutW- щтшґ > (їв) где K(s) - любая дробно-рациональная матрица с полюсами в заданной области левой полуплоскости.

Этот простой по форме результат оказался фундаментальным для теории систем управления с обратной связью типа "вход-выход" и получил дальнейшее развитие в многочисленных публикациях /86,89, 94,98,102/.

Параллельно с этим, в работах /23,90,91,92,93,95,96/ интенсивно развивались методы анализа широкого класса линейных инвариантных во времени систем типа ВВ, включающего в себя 0СП,0РП и объекты с запаздыванием. Для их исследования был введен математический аппарат сверточных банаховых алгебр /82/ (нормированных колец в терминологии /19/). Для таких систем в /93,95/ построена алгебра передаточных функций, в /23,90,91,92,101/ получены крите- рий устойчивости различных видов замкнутых систем, в /94/ на основании результатов /124/ получен общий вид регулятора, дающего решение стандартной задачи автоматического регулирования: отслеживание входных сигналов независимо от возмущений из заданного класса и размещение заданным образом полюсов замкнутой системы. В работе /102/ результаты обоих направлений были объединены в аксиоматическую теорию анализа и синтеза с обратной связью на основе дробного представления оператора объекта и регулятора.

Указанные результаты послужили теоретической основой для разрабатываемых в данной работе методов.

Таким образом общая концепция, принятая в данной работе для моделирования, анализа и синтеза САУ для ХГС выглядит следующим образом.

ХТС представляется в виде сложной системы 3 ,состоящей из подсистем &ц .

Исходные модели подсистем ь>к формулируются в виде дифференциальных уравнений различного типа в пространстве состояний.

Переход к моделям ВВ подсистем в частотной области с помощью преобразования Лапласа и решения полученных уравнений.

Построение модели ВВ в частотной области для всей системы S .

Анализ передаточной матрицы системы $ .

Синтез регулятора в частотной области.

Переход во временную область с помощью методов численного обращения преобразования Лапласа с целью получения закона регулирования и анализа поведения замкнутой системы. (Этот этап может осуществляться также после пунктов 3,4 при необходимости получения наглядной картины динамического поведения объекта).

Перечисленные выше пункты отражают также и структуру диссертационной работы, которая состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения.

Похожие диссертации на Методы исследования динамики и синтеза управления для химико-технологических систем

Синтез и исследование адаптивных гидроакустических систем методами нелинейной динамикиБублей, Ирина Евгеньевна

Управление безопасностью химико-технологических систем на базе метода активного контроля утечекЛуконин Вадим Павлович

Управление функционированием дискретно-непрерывных химико-технологических систем на основе модифицированных сетей ПетриБасырова, Дина Ирековна

Оптимизация химико-технологической системы нефтеперерабатывающего завода с использованием энергосберегающих методовКашин, Олег Николаевич

Методы исследования систем массового обслуживания с динамической маршрутизациейАленичев Алексей Вячеславович

Разработка метода исследования систем автоматического управления объектами с большими постоянными времени при наличии широтно-импульсной модуляцииАнисимов, Дмитрий Николаевич

Аналитические методы исследования дискретных систем управления и наблюденияКрылова Мария Владимировна

Разработка и исследование методов и системы семантического анализа естественно-языковых текстовМокроусов, Максим Николаевич

Разработка и исследование методов проектирования систем управления промышленными объектами с упругими связями Папкова Марианна Дмитриевна

Синергетический метод исследования постуральной системы человекаКононов Антон Федорович