Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы исследования дискретных управляемых систем ...18
1. Некоторые подходы к моделированию цифровых систем и их основные свойства 18
2. Структурная минимизация стационарных дискретных систем управления и наблюдения 33
3. Основные методы исследования дискретных систем 47
Глава 2. Критерии устойчивости и стабилизируемое дискретных управляемых систем 61
1. Критерии устойчивости и робастной устойчивости дискретных систем 61
2. Графические методы исследования устойчивости и устойчивости по части координат дискретных систем 64
3. Построение систем линейной стабилизации в дискретных управляемых системах 78
Глава 3. Проблемы управляемости для нестационарных дискретных систем управления 82
І. Критерий полной управляемости для нестационарных дискретных систем управления 82
2. Программные управления в дискретных нестационарных системах, удовлетворяющих удерживающим связям 88
3. Программные управления в дискретных нестационарных системах, удовлетворяющих неудерживающим связям 93
4. Синтез программных управлений и проблемы оптимизации в дискретных систем управления 99
Заключение 108
Литература 110
- Некоторые подходы к моделированию цифровых систем и их основные свойства
- Структурная минимизация стационарных дискретных систем управления и наблюдения
- Критерии устойчивости и робастной устойчивости дискретных систем
- Критерий полной управляемости для нестационарных дискретных систем управления
Введение к работе
Одной из главных проблем современного этапа развития науки, техники и технологии являются фундаментальные исследования в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных управляемых систем. Необходимо разрабатывать новые аналитические, качественные и количественные методы исследования динамики функционирования управляемых систем, методы аналитического конструирования систем и законов управления, методы построения программных управлений и оптимальных систем стабилизации.
Анализ направлений развития науки в этой области, существующие научные публикации и тематика международных научных форумов, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед исследователями, работающими в данном направлении, будут, следующие:
Разработка систем глобального мониторинга для контроля и минимизации негативных сторон развития цивилизации и усиления позитивных направлений этого развития. Создание таких систем необходимо в частности для защиты и противодействия глобальным угрозам, таким как изменение климата и использование биологического, сверхточного ракетно-космического, а также психотропного оружия. Сюда можно отнести и терроризм, который может воспользоваться любым достижением новых технологий;
Разработка математических методов исследования систем управления динамическими объектами и технологическими процессами, включающих качественный анализ их динамики функционирования;
Разработка аналитических методов построения систем управления обеспечивающих надёжность и динамическую безопасность техниче-
ских систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.
На современном этапе развития систем управления и наблюдения наибольший интерес представляют цифровые системы управления и наблюдения, т.к. основой функционирования почти всех сложных систем управления и наблюдения являются вычислительные устройства. Известно, что динамика работы всех цифровых систем завязана на тактовую частоту и поэтому динамика их функционирования описывается дискретными управляемыми системами, которые представляют собой системы рекуррентных уравнений. С другой стороны вопрос об исследовании дискретных систем возник задолго до создания первых ЭВМ. Дело заключается в том, что любой численный метод решения дифференциальных уравнений и представляет собой рекуррентную цепочку, которая и является дискретной системой. Таким образом, создание методов исследования динамики поведения дискретных систем имеет длительную историю.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. При практическом решении задач управления и наблюдения, а особенно при реализации этих решений в реальных технических системах необходим переход к исследованию дискретных аналогов рассматриваемых непрерывных моделей. Это связано с тем, что информация, поступающая на вход системы управления или наблюдения, в основном носит дискретный характер, т.к. по мере ее поступления она с определенной тактовой частотой подвергается преобразованию в цифровой код для ее хранения и дальнейшей обработки. Заметим, что в достаточно сложных реальных технических системах управляющие сигналы формируются с помощью микропроцессоров и также носят дискретный характер.
С другой стороны, если задача управления или наблюдения решена для динамической системы описываемой системой дифференциальных уравнений, т.е. это решение получено на основе исследования непрерывной модели, то это не означает, что полученное решение непосредственно можно воплотить на практике для любой сложной технической системы. С этих позиций становится понятным, почему исследованию дискретных систем управления и наблюдения посвящено достаточно много работ.
Настоящее диссертационное исследование направлено на решение очень важной практической задачи структурной минимизации дискретных систем управления и наблюдения. Решение этой задачи заключается в поиске минимального числа входов (выходов) так, чтобы рассматриваемую открытую дискретную систему сделать полностью управляемой (наблюдаемой). Дальнейшее направление исследований заключается в построении аналитических конструкций всего множества дискретных систем управления (наблюдения) обладающих минимальной структурой и полностью решающих задачу управления (наблюдения).
Другой не менее важной задачей поставленной в данной работе является поиск критериев существования и методов построения программных управлений и движений в дискретных управляемых системах удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, а также решение задачи построения оптимального управления при наличии этих ограничений.
Выбранное направление исследований является крайне важным как с теоретической, так и с практической точки зрения, т.к. с одной стороны оно позволяет определить избыточность существующих дискретных систем управления (наблюдения), а с другой еще на этапе создания этих систем выбрать их оптимальную структуру, что обеспечит
громадную экономию материальных ресурсов при их создании и эксплуатации.
До настоящего времени при исследовании вопросов полной управляемости или наблюдаемости использовали знаменитый критерий Калмана, который, хотя и дает необходимые и достаточные условия управляемости и наблюдаемости в непрерывном и дискретном случае, однако оставляет в стороне такой важный вопрос как структурная минимизация этих систем, а также вопросы избыточности уже существующих систем.
Развитие современного промышленного производства невозможно без широкого использования дискретных систем управления и наблюдения, позволяющих значительно повысить его эффективность и обеспечить конкурентноспособность отечественных отраслей промышленности. В настоящее время разработка новых методов анализа дискретных систем управления и наблюдения, а также изучение динамики их функционирования обусловлено широким кругом прикладных задач, среди которых основными являются задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, а также бурным развитием компьютерной техники.
Эти методы с одной стороны, позволяют еще на этапе создания дискретных систем управления и наблюдения решать вопросы их структурной оптимизации, а с другой, дают возможность более точного прогнозирования динамики функционирования этих систем, при использовании различных законов управления и тем самым определять границы их динамической безопасности.
Представленная работа посвящена развитию математических методов, позволяющих осуществлять общий и прикладной анализ дискретных систем управления и наблюдения, включающий не только структурный
анализ этих систем, но и построение законов управления в этих системах, обладающих требуемыми качествами.
Качественные и аналитические методы исследования систем управления и наблюдения для динамических объектов были развиты в трудах зарубежных и российских ученых, начиная с Д.К. Максвелла, И.А. Выш-неградского, Р.Е. Калмана, Н.Н. Красовского, ЯЗ. Цыпкина, Е.П. Попова, A.M. Летова, Б.Н. Петрова, В.И. Зубова, А.А. Воронова, Ф.Л., СВ. Емельянова, Р. Габасова, В.А. Бессекерского, Ф.М. Кириловой, Р. Белл-мана, Ж.П. Ла-Салля и многих других, а также научных школ, созданных ими.
Разработке и созданию методов анализа дискретных систем управления и их динамики в последнее время посвящено большое число научных работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как: СВ. Емельянов, СК. Коровин, СН. Васильев, Ю.Г. Евтушенко, Ю. И. Журавлев, Ф.Л. Черноусько, Е.А. Федосов, А.Б. Куржан-ский, Ю.С Попков, Б.Т. Поляк, А.И. Егоров, В.Б. Колмановский, Е.Д. Теряев, Б.М. Шамриков, В.А. Фурсов, Николаев Ю.А., Рутковский В.Ю. и многим другим.
Целью диссертационного исследования является решение задач структурной оптимизации систем управления и наблюдения и задач построения программных управлений в дискретных управляемых системах, удовлетворяющих удерживающим и неудержи вающим связям, а также разработку методов построения оптимальных управлений в дискретных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям.
Областью исследования являются дискретные аналоги математических моделей динамических объектов, представляющих собой линейные и нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые являются основой при создании и эксплуатации систем управления и наблюдения в промышленности.
Методы исследований. В работе применяются как классические методы исследования дискретных систем управления и наблюдения, так и методы качественной теории дифференциальных уравнений. Кроме того, используются методы теории устойчивости, математического анализа, линейной и высшей алгебры.
Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на известных достижениях в рассматриваемой области, корректности постановок задач, строгом использовании методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, линейной и высшей алгебры. Все полученные результаты имеют строгие доказательства.
Научная новизна. В диссертации впервые дано конструктивное решение задачи структурной оптимизации для дискретных систем управления и наблюдения. При решении задач построения программных управлений в дискретных системах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, получены новые результаты, позволяющие найти управления дающие решение поставленной задачи, а также предложены способы построения оптимальных в том или ином плане управлений удовлетворяющих условиям удерживающего и неудерживающего типа. Эти результаты вносят существенный вклад в развитие фундаментальных и прикладных методов системного анализа, как самих дискретных систем управления, так и законов управления в этих системах. Так как с одной стороны они дают возможность создавать дискретные системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих дискретных систем, а с другой позволяют строить программные управления в этих системах, удовлетворяющие краевым условиям и являющимися оптимальными.
Практическая полезность. На основе результатов полученных в диссертации созданы новые критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем управления (наблюдения) дающих возможность конструировать дискретные системы управления (наблюдения), обладающие минимальным числом входов (выходов) или определять избыточность уже существующих дискретных систем управления (наблюдения). Это дает возможность значительно снизить затраты материальных ресурсов и времени на отработку вновь создаваемых, актуальных дискретных систем управления и наблюдения. Необходимо также отметить, что результаты, полученные в диссертации, позволяют для дискретных систем, удовлетворяющих краевым условиям удерживающего и неудер-живающего типа, находить программные управления и отвечающие им движения, а также строить оптимальные управления в этих системах, удовлетворяющие различным краевым условиям. Кроме этого, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в общую теорию дискретных систем управления и наблюдения. Результаты работы могут быть использованы в учебных курсах по теории управления сложными техническими объектами и инженерами, занимающимися конструированием дискретных систем управления и наблюдения.
Реализация результатов. Результаты диссертации были использованы при проведении НИР в отделе нелинейного анализа и проблем безопасности ВЦ РАН и в учебном процессе.
Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором. Построен алгоритм, позволяющий для рассматриваемой открытой дискретной системы находить все системы управления (наблюдения) обладающие минимальной структурой. Предложены методы позволяющие найти программные управления и движения в дискретных системах,
удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям. Разработаны методы построения оптимальных управлений, удовлетворяющих ограничениям удерживающего и неудерживающего типа.
Апробация работы. По основным результатам диссертационного исследования автором были сделаны доклады на 3 международных и 1 вузовской научных конференциях, проходивших в Москве, Пензе и Киеве. Результаты диссертации обсуждались также на научных семинарах Вычислительного центра РАН, а также на семинарах Института системного анализа РАН.
Публикации. По теме диссертации М.В. Крыловой опубликовано 11 научных работ, общим объемом 3 п.л., среди которых 3 работы вышли в изданиях рекомендованных перечнем ВАК для публикации результатов по кандидатским и докторским диссертациям объемом 1 п.л.. В работах, опубликованных с соавторами, диссертанту принадлежит не менее 50 % материала.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Главы состоят из разделов. В каждом главе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации -117 страниц. Список литературы содержит 93 наименования.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
Разработаны конструктивные критерии и методы структурной оптимизации дискретных систем управления, наблюдения и стабилизации.
Для дискретных линейных систем, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, установлены критерии существования и предложены аналитические методы построения управлений и отвечающих им движений.
Предложены методы решения задачи синтеза программных управлений и методы построения оптимальных управлений в дискретных управляемых системах.
Краткое содержание диссертации
Во введении диссертации приведена общая характеристика работы, включающая актуальность темы исследования, ее цель, методы и область исследования, достоверность, научную новизну, практическую значимость, реализацию результатов, полученных в работе. Также во введении приведено краткое содержание диссертации и даны сведения о ее апробации.
В первой главе приведены математические модели и методы исследования дискретных (цифровых) систем, а также известные критерии управляемости, наблюдаемости и достижимости для дискретных систем. В этой главе также изложены новые результаты по структурной минимизации дискретных систем управления и наблюдения.
В первом параграфе дано описание одночастотных и многочастотных дискретных (цифровых) систем в пространстве состояний и условий эквивалентности непрерывных и дискретных систем.
Во втором параграфе приведены известные критерии управляемости, наблюдаемости и достижимости для дискретных систем и изложены новые результаты полученные автором по структурной оптимизации дискретных систем управления и наблюдения.
Впервые решена задача поиска минимального числа р управляющих воздействий, при которых открытая дискретная система
Хм = АХк, = 0,1,2,..., Х,=(х,,,х,.2,...,х,,)г (1)
может быть сделана полностью управляемой, путем выбора соответствующей матрицы В = {BV...,B } полного ранга, т.е. задачу минимизации
структуры системы управления, при которой замкнутая система
Xk+l=AXk+BUk, = 0,1,2,...,, (2)
будет полностью управляемой. Здесь А и B = {Bv...,Bp} постоянные
матрицы размера (пхп) и (пхр); U = (uv...,up)T - вектор управлений ut — const.
Не ограничивая общности под полной управляемостью системы (2) будем понимать то, что для любого начального положения Х0 и конечного положения Хп системы (2) можно построить дискретное управление (векторы U0,Ux,...,Un_x) переводящее систему (2) из этого начального положения в конечное [17].
Определение. Назовем характеристикой полной управляемости системы (2) (системы (1)) минимальное число р управляющих воздействий, при которых систему (1) можно сделать полностью управляемой путем выбора матрицы В = {Вх,..., Вр} полного ранга.
Иногда, для краткости, будем говорить о характеристике полной управляемости матрицы А.
Теорема 1. Характеристика полной управляемости матрицы А равна максимальной геометрической кратности ее собственных чисел.
Теорема 2. Если ранг матрицы В меньше характеристики полной управляемости матрицы А, то система (2) не является полностью управляемой.
Следствие. Если характеристический многочлен матрицы А совпадает с его минимальным многочленом, то система (1) может быть сделана полностью управляемой с помощью скалярного управления [48].
Доказательство этих теорем целиком опирается на тот факт, что если характеристика полной управляемости матрицы А равна р, то всегда можно выбрать р линейно независимых вещественных векторов ВХ,...,В , являющихся столбцами матрицы В так, что ранг матрицы
D = {B,AB,A2B,...,AniB} был равен п. Если же ранг матрицы В меньше р, то система (2) не является полностью управляемой [40].
Для линейной стационарной дискретной системы наблюдения Xk+l=AXk, Yk=CXk, = 0,1,2,...,
хк = Оа„**2>->**,/> к=(Ук1>Ук2>—>Укг)Т где А и С - постоянные матрицы размера пхп и гхп соответственно,
Ук=(Укі>Ук2>--->Укг)Т вектоР наблюдений (выходы системы) впервые решена задача поиска минимального числа р выходов, при которых открытая система
Xk+l = AXk, = 0,1,2,..., X;.=(x,„x.2,...,x,.Jr (4)
может быть сделана полностью наблюдаемой путем выбора соответствующей матрицы С размера рхп полного ранга, т.е. задачу структурной минимизации системы наблюдения. Полная наблюдаемость означает, что по значениям векторов наблюдений Yk, к-0,п можно восстановить начальное положение системы (4) Х0 [42].
Определение. Назовем характеристикой полной наблюдаемости системы (3) минимальное число р выходов, при которых открытая система (4) может быть сделана наблюдаемой путем выбора соответствующей матрицы С размера рхп полного ранга.
Справедлива теорема.
Теорема 3. Характеристика наблюдаемости матрицы А равна максимальной геометрической кратности ее собственных чисел.
Доказательство теоремы целиком опирается на тот факт, что если величина р для матрицы А , является максимальной геометрической
кратности ее собственных чисел, то всегда можно выбрать р линейно
независимых вещественных векторов С,,...,С , являющихся столбцами
матрицы С так, что ранг матрицы VT = [СТ ,АТСТ ,...,(А" '} С7] был равен п. Если же ранг матрицы С меньше р, то система (3) не является
наблюдаемой
Следствие. Если характеристический многочлен матрицы А совпадает с его минимальным многочленом, то система (3) может быть сделана наблюдаемой с помощью скалярной системы наблюдения [42].
В третьем параграфе для дискретных управляемых систем приведены инвариантные преобразования в пространстве состояний и основные модели и методы исследования дискретных систем.
Вторая глава носит в основном справочный характер. В ней для дискретных систем приведены наиболее известные методы исследования устойчивости, робастной устойчивости, устойчивости по части координат и робастной устойчивости по части координат. Обзор этих исследований необходим для дальнейшего изложения собственных результатов по построению критериев линейной стабилизации дискретных управляемых систем, что дает возможность построения системы стабилизации минимальной структуры.
В первом параграфе приведены наиболее известные критерии устойчивости и робастной устойчивости дискретных управляемых систем и проведен анализ их возможного применения.
Во втором параграфе дано подробное описание критериев устойчивости и робастной устойчивости по части координат, полученных в последние годы В.В. Дикусаром, Г.А. Зеленковым и Н.В. Зубовым.
В третьем параграфе впервые решена задача структурной минимизации дискретных систем линейной стабилизации.
В третьей главе полностью решена проблема управляемости для дискретных нестационарных систем управления и разработаны методы построения программных управлений в дискретных управляемых систе-
мах, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям. Также в этой главе дано решение задачи синтеза этих управлений и предложены методы их оптимизации в том или ином смыслах.
В первом параграфе впервые получены критерии полной управляемости для дискретных нестационарных систем, причем сама система управления в этих системах может быть также нестационарной.
Пусть задана нестационарная дискретная управляемая система со скалярным управлением
Xk+i=PtXk+B«k+Fk> = 0,1,2,..., Х,=(хП9хІ2,...9хІН)ті (5)
где Рк єЛда" и Fk gR", к = 0,1,2,...вещественные, постоянные матрицы
размеров пхп и пхі, ВeRn вещественный постоянный вектор размера п х 1, а ик, к = 0,1,2,... управляющие воздействия (вещественные величины).
Определение 1. Будем говорить, что система (1) является полностью управляемой на промежутке [0,7V] (n>N), если для любого начального положения системы (1) Л'(0) можно выбрать управления
U~{u0,uv...,uN_x)T так, чтобы для любого конечного положения X(N) этой системы выполнялись равенства Х0 = Х(0), XN = X(N) , т.е. управление U = {щ,их,...,иК_х)т переводит систему (1) из начального положения Х(0) в конечное положение X(N) за N шагов. Любое управление U = {uu,i{{,...,uN_{)T дающее решение поставленной выше задачи
будем называть программным управлением.
Доказана следующая теорема.
Теорема 4. Для того чтобы система (1) была полностью управляемой необходимо и достаточно, чтобы матрица A(N) = D{N)D1(N) была положительно определенной (A(N) > 0).
Здесь матрица D(N) размера пх N имеет вид:
ЩЮ = {Т\Р,В,11Р,В,--.,Р»-гВ,В}/
i=l (=2
При этом все множество программных управлений для рассматриваемой задачи можно выписать в явном виде.
В случае нескольких управлений будем считать, что В є R"xm вещественная постоянная матрица размера их га, a Uk=(ukl,uk2,...,ukm),
к = 0,1,2,... управляющие воздействия (вещественные векторы).
Доказана следующая теорема.
Теорема 5. Для того чтобы система (1) была полностью управляемой необходимо и достаточно, чтобы матрица A(N) = D{N)D7(N) была положительно определенной ( A(N) > 0).
Здесь матрица D(N) размера nx(m-N) столбцы которой имеют вид:
f[P,BJ,BJ / = 1,2,...,^-1, 7=1,2,...,/77
При этом все множество программных управлений для рассматриваемой задачи можно выписать в явном виде.
Полученные результаты обобщены на случай, когда сама система управления является нестационарной, т.е. когда система (5) имеет вид:
Xk+x=PkXk+Bkuk+Fki = 0,1,2,..., ЛГ, =(^,^,...,^/, (6)
где Вк = {Вп,Вк2,...,ВктУ - вещественные постоянные матрицы размера пхт, a Bkj, j-1,2,...,т их столбцы. В этом случае теоремы 4 и 5 остаются в силе с заменой матрицы D(N) на матрицу
/=1 1=2
и столбцов матрицы D(N) на столбцы матрицы D(N)
Y[P,Bk-ijt Bn^> = 1,2,...,JV-1, 7=1,2,...,//1.
i=k
Во втором параграфе разработаны критерии существования программных управлений в дискретных управляемых системах, удовлетворяющих удерживающим связям, и предложены методы построения этих управлений и соответствующих им движений.
В третьем параграфе разработаны критерии существования программных управлений в дискретных управляемых системах, удовлетворяющих неудерживающим связям, а также предложены методы построения этих управлений и соответствующих им движений.
В четвертом параграфе для дискретных управляемых систем, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям, предложены методы их синтеза и методы построения управлений, оптимальных в том или ином смыслах.
В заключение диссертации приведены основные научные результаты, полученные в работе.
Некоторые подходы к моделированию цифровых систем и их основные свойства
В первом параграфе приведено краткое описание цифровых систем во временной и частотной областях, критерий эквивалентности дискретных и непрерывных систем, а также известные критерии управляемости, наблюдаемости и достижимости для дискретных систем.
Дискретные управляемые системы являются либо моделями цифровых систем управления или дискретной реализацией определенного численного метода построения решения (движения) динамической управляемой системы описываемой системой дифференциальных уравнений. Принципиальная схема цифровой системы управления сложной технической системы (СТС) изображена на рис 1.
Она включает в себя объект управления - ОУ и микро-ЭВМ (МЭВМ). Выходом объекта управления служат непрерывные сигналы с датчиков, которые преобразуются в цифровую форму аналого-цифровым преобразователем (АЦП). Преобразование осуществляется в дискретные моменты времени kT0i, где То; период квантования сигналов в / - ом канале управления. поступающий на вход исполнительных органов системы управления (СУ).
Работа МЭВМ синхронизируется таймером реального времени. МЭВМ функционирует последовательно в режиме разделения времени, т.е. обслуживает в определённой последовательности отдельные каналы управления. Для управления объектом непрерывного действия на выходе ЦАП необходимо иметь непрерывный по времени сигнал. Обычно это достигается путём сохранения постоянных уровней управляющих сигналов между преобразованными. Процессы преобразования сигналов
в АЦП и ЦАП сопровождаются их квантованием по уровню, которое состоит в замене в соответствующие моменты времени мгновенных значений преобразуемой величины ближайшими разрешёнными её дискретными значениями в соответствии со статическими характеристиками преобразователей, изображёнными на рисунке 2. при равномерном квантовании по уровню, обычно используемом в преобразователях, шаг квантования не зависит от величины преобразуемого сигна-ла(см.рис.2.а). Цифровые системы управления СТС в общем случае описываются смешанной системой нелинейных дифференциальных и конечно-разностных уравнений, малопригодных для анализа и синтеза. В данной главе основное внимание уделяется линейным моделям цифровых систем, которые формируются путём линеаризации уравнений движения объекта и исполнительных органов и пренебрежения эффектами квантования сигналов по уровню ЦАП и АЦП.
МЭВМ получает значения регулируемых параметров процесса в дискретные моменты времени и вырабатывает управляющие сигналы так же в дискретные моменты времени, которые синхронизированы с таймером. При этом, хотя реальные физические процессы управления объектом являются непрерывными, линейные математические модели цифровой системы могут быть описаны конечно-разностными управлениями изменения переменных состояния или передаточными функциями в форме вход-выход.
Одной из важных задач теории цифрового управления является описание непрерывной части системы, связанной с МЭВМ посредством ЦАП и АЦП. Сигналы выхода-входа МЭВМ представляют собой числовые последовательности м[ Т0;.]и/[А:Т0/]. Требуется определить зависимость между ними.
Будем считать, что непрерывная часть системы задаётся дифференциальными уравнениями вид dXldt = CX{t) + Pu(t), у {і) = HX(t) + Gu(t) (1.1) и имеет m входов, p выходов и порядок п.
Построение дискретного эквивалента непрерывной системы называется квантованием непрерывной системы по времени. Получаемая таким образом дискретная модель описывается конечно-разностными уравнениями и даёт связь между переменными системы только в моменты квантования.
Приведём к виду (1.2) непрерывную часть системы, описываемую уравнениями (1.1). Наиболее распространённой ситуацией при цифровом управлении является сохранение ЦА-преобразователем уровня аналогового управляющего сигнала постоянным до тех пор, пока не потребуется новое преобразование, т.е. выход ЦАП представляется кусочно-постоянной функцией времени. Будем считать, что в точках разрыва этот сигнал непрерывен справа. Тогда он однозначно определяется числовой последовательностью {и[кТ0]\.
Следовательно, вектор состояния в момент времени (к + \)Т0 есть линейная функция от Х[&Г0] и г/[Г0]. Если ЦАП и АЦП синхронизированы с таймером, а время преобразований незначительно, то можно считать, что вход и и выход у квантуются одновременно.
Структурная минимизация стационарных дискретных систем управления и наблюдения
Результаты, полученные в этом параграфе, отличаются от результатов других авторов тем, что еще на этапе создания системы управления можно определить не только минимальное число входов, при которых эту систему можно сделать полностью управляемой, но и указать аналитическую конструкцию всего множества таких систем. Этот результат дает основу в экономии материальных и интеллектуальных ресурсов при создании систем управления и наблюдения. Более того, возникает возможность в доработке (некотором изменении параметров) существующих систем управления и наблюдения для усиления надежности и безопасности их функционирования.
Поставим задачу поиска минимального числа р управляющих воздействий, при которых открытая дискретная система Xk+l=AXk, к = 0,1,2,..., .=( , ,...,)7 (2.1) может быть сделана полностью управляемой, путем выбора соответствующей матрицы В = {ВХ,...,В } полного ранга, т.е. задачу минимизации структуры системы управления, при которой замкнутая система XM=AXt+BUt+Fk, = 0,1,2,...,, (2.2) будет полностью управляемой. Здесь А и В = {Вх,...,В } постоянные матрицы размера (пхп) и (пх р); Uk ={щ ,...,ир) - вектор управлений ui — const. Определение 2.1. Не ограничивая общности, под полной управляемостью системы (2.2) на промежутке [0,iV] мы будем понимать, что для любого начального положения Х0 = (0) и конечного положения XN — X(N) системы (2.2) можно построить дискретное управление (векторы U0,Ui,...,Uдг_,) переводящее систему (2.2) из этого начального положения в конечное [1]. Определение 2.2. Назовем характеристикой полной управляемости системы (2.2) (системы ((2.1)) промежутке [0,vV] минимальное число р управляющих воздействий, при которых систему (2.2) можно сделать полностью управляемой путем выбора матрицы В = {Bl ,...,./5} полного ранга. Иногда, для краткости, будем говорить о характеристике полной управляемости матрицы А. Справедлива следующая теорема (алгоритм минимизации). Теорема 2.1. Если максимальная геометрическая кратность собственных чисел матрицы А равна р, то система (2.2) может быть сделана полностью управляемой на промежутке [0,Л ] (N п р) путем выбора матрицы В = {Вх,...,В } полного ранга. Доказательство. Допустим вначале, что при выполнении условий теоремы можно выбрать матрицу В = {Вх,...,В } полного ранга, так, чтобы совокупность векторов В1ЬЩ,...,АпЛВх, i = Vp (2.3) содержала п линейно независимых. Выпишем дискретный аналог формулы Коши, для системы (2.2) считая, что программное управление U (UN_x, UN_2,..., U0 ) задано. Для этого используя рекуррентное соотношение (2.2), получим: Л -1 XN=AN-lXQ+ Ai(BUN_l_i+FN+l) = ы , (2.4) = AN lXQ + D(N)U + H(F) где U = (UN_l,UN_2,...,U0 ) вектор размера N-p, D(N) матрица размера п X (N р) полного ранга, столбцы которой имеют вид: АнВп (y = l,...,iV), / = (1,..., ), N-\ a H(F) = y A FN_l4 вектор размера п. Выберем управление U = (JJ N_\,UN_2,...,U0) , удовлетворяющее условиям: U = DT(N)C + V, D(N)V = 0, (2.5) где вектор С размера п подлежит определению, а вектор V размера N р ортогонален строкам матрицы D(N). Подставим управление (2.5) в формулу (2.4). получим уравнение: XN = AN XX0 + D(N)DT (N)C + H(F). (2.6) Так как матрица D(N) полного ранга, то матрица D(N)D (N) неособенная и это уравнение однозначно разрешимо относительно вектора С, т.е. С = (D(N)DT (TV))"1 (XN - AN lX0 - H(F)) (2.7) при любых значениях векторов XN, Х0 и H(F). Это означает, что любое управление U = (UN ,UN_2,...,U0) удовлетворяющее условиям (2.5). (2.7) переводит систему (2.2) из любого начального положения XQ В произвольное конечное положение XN при любых внешних воздействиях H(F) за N шагов.
Итак, мы показали, что если совокупность векторов В АВ,,..., - , i = hp содержит п линейно независимых, то система (2.2) будет полностью управляемой на промежутке [0,7Y]. Покажем теперь, что при выполнении условий теоремы можно построить р линейно независимых векторов ВХ,...,В , так, чтобы совокупность векторов ВІ,АВІ,...:,А" Вп i — \,p содержала п линейно независимых. Так как между матрицами и операторами существует взаимно однозначное соответствие, то перенесем рассмотрение поставленной выше задачи, в комплексное пространство С", считая, что матрица А является матрицей оператора А действующего в этом комплексном пространстве. Будем полагать, что оператор А имеет собственные значения к Лі, (і = l,k), имеющие кратность kt, у,кі = п. Обозначим через ;=1 7", і — \,к корневые инвариантные подпространства оператора А со ответствующие этим собственным значениям и имеющими размерности к ki, 2_, i n- дающими в прямой сумме все пространство Сп: ҐГ\ п\п-к Т ... Т — С". Каждое из этих подпространств Т" содержит р{ Pi корневых векторов Xj, j = l,pi имеющих высоты гj , /. у —кп а сами подпространства Т1 представляют собой прямые суммы инвари антных подпространств Т j = \,pl (Т1 = Тх! ... Т і = \,к) по рождаемых корневыми векторами X ., j — \, р-, и имеющими циклические базисы [3] Х)ХА- Е)Х1р...ХА-Х -хХр j = TJ„ i = hk (2.8) Таким образом, все пространство Сп представимо в виде прямой суммы непересекающихся инвариантных подпространств Т / = 1, pt, і = \,к имеющих базисы (2.8). Заметим, что каждое инвариантное корневое подпространство Т1 содержит р1 линейно независимых собственных ,/-,0 -і векторов (А — Я(Е)J Xj, J = 1, pi. Заметим, что величина р определяется как р — max pi. Покажем, что можно выбрать р линейно независимых векторов Вх,..., В, так, чтобы совокупность из п векторов В1 ,АВ;.,..., А -1 В,, і = їр, X Щ = п (2.9) была линейно независимой. Возьмем вектор Вх, как линейную комбинацию векторов принадлежащих корневым инвариантным подпространствам Тх, і = 1, к, причем все коэффициенты в этой линейной комбинации, стоящие при корневых векторах Х[, і = \,к отличны от нуля. Тогда легко показать, что совокупность из тх векторов Bx,ABl9...9A Bl9 5 i(0=Wi (2-Ю) линейно независима и составляет базис в инвариантном подпространстве Тх = Тх Є... Є Тхк. Действительно, любая линейная комбинация векторов из совокупности векторов (2.10) может быть записана в виде pm_l(A)Bl, где (pm_i(А) операторный многочлен степени тх \. Если предположить линейную зависимость этой совокупности, то это будет означать, что для некоторого операторного многочлена (рт ч (А) степени тх — 1 справедливо равенство (рт _j (А)ВХ = 0. Так как в разложении вектора Вх присутствуют все корневые векторы Х\, i = l,k, каждый из которых имеет высоту гх , і — \,к, то многочлен фт_х(уА) для того, чтобы обнулить все компоненты вектора Вх должен иметь сомножители {А — Л;ЕУХ , т.е. иметь степень больше чем тх—1, ибо /лі = Щ С другой стороны, любой вектор из совокупности (2.10) принадлежит инвариантному подпространству Тх имеющему размерность mx. Это и означает, что совокупность из тх векторов (2.10) линейно незави сима и составляет базис в инвариантном подпространстве Т{. Исключим из дальнейшего рассмотрения подпространства 7] , / = 1, к. Возьмем вектор В2, как линейную комбинацию векторов, принадлежащих корневым инвариантным подпространствам Т2, і = 1,к, причем все коэффициенты в этой линейной комбинации, стоящие при корневых векторах Х2, / = 1,к отличны от нуля. Заметим, что в этой линейной комбинации может быть меньше корневых векторов, чем к, если какое либо корневое подпространство Т1 содержало всего один корневой вектор Х[. По аналогии с предыдущим можно показать, что совокупность из к т2 векторов В2,АБ2,...,А П2 В2, 2 іГ2 тг линейно независима и /=1 составляет базис в инвариантном подпространстве Т2 — Т2 ... Ф Т2 . Действуя таким же образом и далее, пока все корневые подпространства 7" не будут исчерпаны, мы построим р векторов В{,...,В таких, что совокупности векторов (2.9) образуют базис в С". Это вытекает из того, что каждая совокупность векторов В ,АВ.,...,Л Bj, I к Г j — m. представляет собой базис инвариантного подпространства /=i Tj, j = 1,р, прямая сумма которых представляет собой все пространство С".
Критерии устойчивости и робастной устойчивости дискретных систем
Y(t) є R - вектор выхода системы, W{t) є R"h - вектор входных сигналов (внешних возмущений) или задающих воздействий. Мат Л ,- ппхп г _ ппхт / г _ г /хи Г"» — ппхт, г\ _ ппх-т, лт рицы Аєк ,Вєк ,СЄА ,І \ЄА 1,и2єк не зависят от времени t. Форму записи (1.1) называют описанием в пространстве состояний. По аналогии с непрерывными системами (1.1) рассмотрим дискретные системы, описываемые разностными системами уравнений вида: Xk=AXt_x+BUk_{+DxWk_x, Yt=CXk+D2Wt. Индекс к играет роль времени (дискретное время), смысл всех остальных векторов и матриц тот же. Дискретные системы возникают как при дискретной аппроксимации непрерывных систем, так и в других случаях. Например, к может обозначать номер итерации в итерационном процессе или время в дискретных процессах, связанных с цифровым управлением. Открытая дискретная система имеет вид Yt=CXt+D2Wt. Ее решение в явной форме имеет вид: (=0 Определим оператор сдвига назад s: и будем рассматривать его как формальную переменную. Тогда при Х0 — (0,0,...,0) уравнение (1.2) запишется в форме Хк = sAXk + sBUk + sDxWk. (1.3) Рассмотрим характеристические полиномы системы (1.3): fd(s) = det(A-sE), (1.4) fsh(s) = det(sA-E), (1.5) где Е — единичная матрица порядка п. Определение 1Л Матрица А дискретно устойчива, если ее собственные числа лежат внутри единичного круга с центром в нуле. Определение 1.2 Полином (1.4) вида fd(s) — aQ + axs + ... + ansn дискретно устойчив, если все его нули лежат внутри круга единичного радиуса с центром в нуле. Определение 1.3 Полином (1.5) вида fsh(s) = aQ + axs+ ...+ ans" называют устойчивым по Шуру, когда все его нули находятся вне единичного круга с центром в нуле. Очевидно, преобразование вида ГО /( )= "/. sh (1.6) дает полином с коэффициентами полинома fsh{s), записанными в обратном порядке.
Определение 1.44. Полином (1.5) принадлежит классу (п, к) эквивалентности в смысле Шура если к его нулей лежат внутри единичного круга, а остальные вне его. Приведем аналог алгоритма Рауса для дискретного случая (дискретный критерий Рауса-Шура). Рассмотрим полиномы f(s) и fsh(s) из (1.3), и (1.6) считая, что у полинома fsh(s) коэффициент а0 0. Возьмем их линейную комбинацию fsh (А) = fsh О) - Af(S) Л = ап I а0 Полином fsh (s) будет иметь степень п — 1, т.е. на единицу меньше степени fsh (s). Имеет место известная лемма. Лемма 1. Если а0 О, а0 — (ап/ а0)ап 0 и полином fsh{s) устойчив по Шуру, то и fsh(s) устойчив по Шуру; в противном случае fsh(s) неустойчив. Таким образом, рекуррентно понижая степень полинома, придем к полиному первой степени вида aQ + axs; он устойчив при \а0 I а{ 1. Этот простой алгоритм проверки дискретных полиномов является аналогом алгоритма Рауса для дискретного случая. Если корни fsh{s) лежат вне единичного круга, то fsh(s) не ме няет знак для всех — 1 5 1. С учетом неравенства Р(0) = aQ О это дает соотношения Р(\) 0 и Р(— 1) 0. Отсюда получаем следующие необходимые условия устойчивости: а0 +ах +... + ап 0, а0 -ах +... + (—ї)"ап О.
Дискретный критерий Рауса-Шура дает простой алгоритм проверки устойчивости по Шуру дискретных полиномов. Имеются и другие критерии устойчивости (Шура-Кона, Джури). Однако последние не пригодны для подсчета числа собственных чисел вне и внутри единичного круга, а критерий Рауса-Шура может быть использован для этих целей после изменения алгоритма метода понижения порядка Рауса-Шура. Однако, проще использовать следующую процедуру: Сначала делаем замену s = l/t, fshО) - fd(t), т.е. ат = ап_т, т = 0,1,...,п. Далее выполняем дробно-линейную замену взаимно-однозначно отображаю щую внутренность единичного круга на левую полуплоскость, а внеш ность на правую. Например, г = , fd{s) — /(т),где /(т) непре t — i рывный полином. После этого можно применять МПП для непрерывного случая.
Аналог метода понижения порядка для подсчета нулей Н.В. Зубова можно построить и для дискретного случая (как для полиномов с вещественными, так и с комплексными коэффициентами).
При использовании графических критериев соглашение относительно корней устойчивого по Шуру полинома удобно, т.к. никакого труда не составляет визуально определить по графику, охватывает ли кривая начало координат (рис. 1). Однако, посчитать число оборотов визуально вокруг нуля бывает сложно, особенно при больших п. Однако с помощью ЭВМ для больших п число оборотов можно считать, отслеживая текущую траекторию годографа при построении петли, хотя и это не просто (см. рис. 1). В некоторых случаях, годограф не дает информации о расположении корней [3], например, f(s) = /,нов таких случаях локализация корней очевидна. При других подходах бывает проще проверить расположение корней относительно единичного круга с центром в нуле. Для этого молено воспользоваться следующим соображением. При изменении порядка коэффициентов полинома на обратный порядок (инверсия) ат — ап_т, т — О,1,..., п, его корни переходят во взаимно обратные (Л.. — 1/Л..). Точнее, корни полиномов инверсные относительно единичной окружности. Далее можно рассматривать полином fd (s).
Критерий полной управляемости для нестационарных дискретных систем управления
В настоящем параграфе для линейных нестационарных дискретных управляемых систем впервые получены критерии полной управляемости, причем сама система управления в этих системах может быть также нестационарной.
Для простоты изложения рассмотрим вначале нестационарную дискретную управляемую систему со скалярным управлением Xk+l=PkXk+Buk+Fk, к = 0,1,2,..., X,.=(xn,xi2,...,xJ , (1.1) где PkeRmn и FkeRn, к = 0,1,2,... вещественные, постоянные матрицы размеров пхп и пх\, BGR" вещественный постоянный вектор размера пх\, а ик, к — 0,1,2,... управляющие воздействия (вещественные величины). Наряду с управляемой системой (1.1) будем рассматривать открытую систему Xk+l=PkXk+Fk, к = 0,1,2,.... (1.2) Определение 1. Будем говорить, что система (1.1) является полностью управляемой на промежутке [О,N] (п N), если для любого начального положения системы (1.1) Х(0) можно выбрать управления U = (и0,щ,...,uN_x) так, чтобы для любого конечного положения X(N) этой системы выполнялись равенства XQ = Х(0), XN=X(N), т.е. управление U = (и0 ,1 ,...,1( ) переводит систему (1.1) из начального положения Х(0) в конечное положение X(N) за N шагов. Любое управление U — (iiQ,ul,...,uN_l) дающее решение поставленной выше задачи будем называть программным управлением. Введем в рассмотрение матрицу D(N) размера пх N имеющую вид: (=1 ;=2 Справедлива теорема. Теорема 1. Для того, чтобы система (1.1) была полностью управляемой необходимо и достаточно, чтобы матрица A(N) = D(N)D (N) была положительно определенной (A(N) 0). При этом все множество программных управлений для рассматриваемой задачи можно выписать в явном виде. Необходимость. Пусть матрица A(N) не является положительно определенной. Это означает, что строки этой -матрицы линейно зависимы и, следовательно, существует вектор С Ф 0 ортогональный всем столбцам этой матрицы, т.е. справедливы равенства N-\ CTD(N) = 0 CTYlP,B = 0, Jfc = 1,2,...,#, CTB = 0. (1.3) i=k Допустим, что система (l.l) является полностью управляемой, тогда для любого начального Х(0) и любого конечного X(N) положения этой системы справедливо равенство x(N) = xN=flplx(0)+f[p,(Bu0+F0)+flPi(Bul+Fl) + + ... + BuN_x + FN_X = S(N)X(0) + H(F) + D(N)U, (1.4) Эта формула при замене Х(0) на Х0, a X(N) на XN является дискретным аналогом формулы Коши. Выберем конечное положение системы (1.1) в виде X(N) = С + П Х(О) + П P,FtA + FN_,, /=0 =1 i=k тогда тождество (1.4) можно переписать в виде C = YXlP,Buk_t+BuN_,. (1.5) Умножая это равенство слева на вектор С и, учитывая равенства (1.3) получим тождество С С = 0, что невозможно, т.к. С Ф 0 . Достаточность. Пусть A(N) 0, тогда выберем управление U = (щ,их,...,им_х)Т в виде С/ = )Г(ЛГ)С + Г, C = A-\NXX{N)-f{PiX(Q )- f{piFk_x -FN_X) /=0 к=\ і=к D(N)V = 0, r = (v0,v,,.--,W- d-7) Нетрудно видеть, что эти управления дают решение поставленной выше задачи управления по переводу системы (1.1) из начального положения -А (О) в конечное положение X(N) за N шагов. Действительно подставляя управление (1.6), (1.7) в дискретный аналог формулы Копій (1.4) получим XN = S(N)X(0) + H(F) + D(N)DT (N)C + D(N)V = X(N). Полученное равенство и означает, что управление (1.6), (1.7) дает решение поставленной задачи. Теорема доказана. Замечание 1. Если система (1.1) является полностью управляемой на промежутке [0,vV], то она является полностью управляемой и на промежутке [0,М], M N. Это утверждение является следствием теоремы 1, т.к. имеет место очевидное соотношение A(N) Q= A(M) 09 M N. Замечание 2. Нетрудно видеть, что в стационарном случае Pt = А, і = 0,1,2,... теорема 1 полностью эквивалентна критерию Калмана.
Замечание 3. Легко показать, что при выполнении условий теоремы 1 множество всех программных управлений для системы (1.1) удовлетворяет условиям (1.6), (1.7). Отсюда вытекает, что при N п программное управление может определяться не единственным образом и его можно выбирать оптимальным в том или ином смысле. Таким образом, задача построения оптимального управления сводится к решению задачи условной оптимизации: Ф(Х(Л0,Х(0), ,.. .,FN_{,V) -» min, D(N)V = 0. Рассмотрим теперь случай нескольких управлений. Будем считать, что В є Rn m вещественная постоянная матрица размера пхт, а Uk = (ик1, ик2,..., икт ), к = О,1,2,... управляющие воздействия (вещественные векторы). Введем в рассмотрение матрицу D(N) размера п х {т N) столбцы которой имеют вид: flPfi Bj i = l,2,...,N-\, j = l,2,...,m. і Дословно повторяя доказательство теоремы 1 нетрудно убедиться в том, что справедлива следующая теорема. Теорема 2. Для того чтобы система (1.1) была полностью управляемой необходимо и достаточно, чтобы матрица A(N) = D(N)D (N) была положительно определенной (A(N) 0). При этом все множество программных управлений для рассматриваемой задачи можно выписать в явном виде. Замечание 4. Очевидно, что в случае т - управлений справедливы замечания 1 - 3 с заменой матрицы D(N) на D(N) и матрицы A(N) на A(N). Это же касается и всего множества программных управлений задаваемых системой линейных алгебраических уравнений (1.6), (1.7).
Пусть выполняются условия теоремы 1. Для того чтобы построить всю совокупность программных управлений для задачи (2.1),(2.2) и подробно исследовать все возможные ситуации заметим, что любое программное управление U = (щ,щ,...,uN_x) молено представить в виде: U = J%C + V, (2.6) где вектор V = (v0, Vj,..., v ) удовлетворяет условию: A2V = 0. (2.7) Тогда подставляя управление (2.6), в уравнение (2.5) получим равенство: AXXQ + А24С = H-F. (2.8) Отсюда вытекает, что справедлива теорема. Теорема 2. Для того чтобы существовало программное управление и соответствующее ему решение системы (2.1), удовлетворяющее условиям (2.2) необходимо и достаточно, чтобы ранги матриц {А1,А2} и {АХ,А2,Н — F} совпадали, причем это программное управление имеет вид (2.6),(2.7). Следствие 1. Если ранг матрицы А равен N, то для любого начального положения системы (2.1) Х0 = Х(0) существует единственное программное управление для системы (2.1) такое, что программное движение этой системы удовлетворяет условиям (2.2), и это программное управление имеет вид: U = Al(AAr\H -F- А,Х{)). (2.9)
Следствие 2. Если ранг матрицы А2 равен рангу матрицы {АХ,А2,Н — F}, то для любого начального положения системы (2.1) Х0 = Х(0) существуют программные управления для этой системы такие, что соответствующие этим управлениям программные движения системы (2.1) выходящие из точки XQ =Х(0) удовлетворяет условиям (2.2), и эти программные управления имеют вид (2.6),(2.7), где С произвольный вектор, являющийся решением уравнения: А2АТ1С = H-F-AlX0. (2.10)
