Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Регенерирующие и условно регенерирующие процессы 18
1.1. Свойство регенерации и условной регенерации 18
1.2. Регенерирующие и условно регенерирующие процессы 21
1.3. Условная независимость и регулярные условные распределения. Некоторые формулы 30
1.4. Тождество регенерации 34
Глава 2. Переходные функции. Теоремы существования . 40
2.1. Радоновы пространства 40
2.2. Регулярные условные распределения и переходные функции 48
Глава 3. Разложимые условно регенерирующие процессы 57
3.1. Рекуррентные и однородные УРЇЇ 57
3.2. Рекуррентные и однородные вложенные УРП . 66
3.3. Разложимые УРП 69
3.4. Разложимые УРП в ТМО 70
3.5. Регенерирующие процессы в теории систем . 76
Глава 4. Некоторые предельные теоремы для нерекуррентных процессов восстановления и вложенного восстановления 80
4.1. Асимптотические теоремы 80
4.2. Предельные теоремы для эксцесса и дефекта процессов восстановления 84
4.3. Нерекуррентные процессы вложенного и марковского восстановления 87
Литература 89
- Условная независимость и регулярные условные распределения. Некоторые формулы
- Регулярные условные распределения и переходные функции
- Рекуррентные и однородные вложенные УРП
- Предельные теоремы для эксцесса и дефекта процессов восстановления
Введение к работе
Необходимость исследования современных объектов большой сложности путем создания их математических моделей привело к возникновению и развитию самых разнообразных математических методов как аналитических, так и алгоритмических или вычислительных. Многообразие их связано с невозможностью вместить все разнородные системы в рамки одного метода, однако можно отметить следующие общие моменты: обычно предполагается, что система состоит из взаимосвязанных частей, подсистем, которые в свою очередь могут быть разбиты на более простые составляющие, а взаимодействие или обмен информацией между ними происходит лишь в некоторые дискретные, вообще говоря, случайные моменты времени - смысл такого структурного представления в том, что вместо цельного сложного объекта мы изучаем свойства его отдельных, более простых составляющих, и связи между ними . Такую структуру имеют многие вычислительные, транспортные, информационные системы, которые чаще всего не являются марковскими, но обладают следующим свойством: в моменты взаимодействия подсистем дальнейшее функционирование системы зависит только от ее состояния в этот момент времени и, может быть, еще закона управления системой.
Наиболее простым является случай, когда можно считать, что случайный процесс, описывающий данную систему, составлен из независимых одинаково распределенных циклов, т.е. является регенерирующим процессом в обычном понимании, как его ввел В.Смит. Однако такое представление возможно далеко не всегда: первый камень преткновения - независимость. Отказ от независимости циклов приводит к процессам с различными типами точек регенерации, полумарковским процессам, полумарковским процессам с добавочными
_ 4 -
траекториями. Другое препятствие - отсутствие однородности: например, моменты поступления вызова в пустую систему, моменты освобождения системы или моменты окончания обслуживании не однородны, кроме того, в моменты поступления вызова в пустую систему "будущее" не зависит от "прошлого", в моменты освобождения зависит от времени, оставшегося до появления новой заявки, в моменты окончания обслуживания будущее зависит как от времени до появления следующего требования, так и от числа заявок в системе, такие моменты естественно называть моментами условной регенерации, причем условия, определяющие будущее функционирование системы после указанных моментов различны по мощности. Это приводит к необходимости группировки моментов регенерации по однородности. Следующее затруднение связано с тем, что на периодах регенерации система достаточно сложна, и для вычисления ее характеристик следует разложить процесс на периоде регенерации на ряд более простых подпроцессов, например, свести описание к периоду обслуживания одной заявки - а на нем все уже достаточно просто: число требований в системе - процесс восстановления, время, оставшееся до поступления нового требования - кусочно-линейная функция, и вычислить их распределение несложно. Теория массового обслуживания, теория телетрафика, теория надежности, управления запасами дают примеры систем, характеристики которых вычисляются с помощью развитых в данной работе методов разложимых условно регенерирующих процессов.
Для случайного процесса, описывающего такую систему, задача формализуется следующим образом: требуется найти распределения процесса с помощью распределений (или условных распределений) процесса на периодах условной регенерации, т.е. между моментами условной регенерации, и распределения процесса в эти моменты.
Если моменты условной регенерации однородны, т.е. распределения процесса на периодах условной регенерации инварианты и вычисляются непосредственно, то решение этой задачи не представляет больших трудностей, иначе приходится группировать моменты условной регенерации по однородности. В этом случае возникает следующая задача - период условной регенерации между однородными моментами (т.е. со случайными концами) разбивается в случайную сумму более мелких периодов, на которых распределения процесса вычислить проще, и так далее до минимальных периодов, на которых распределения можно посчитать непосредственно. Следует отметить, что на периоде со случайными концами однородность и соответствующие равенства или уравнения приобретают специфический вид, кроме того условия (состояние или управление) в различные моменты условной регенерации, определяющие "будущее" процесса, могут быть различными, т.е. моменты условной регенерации могут отличаться по силе (регенерации). Так, наиболее сильной является регенерация в смысле Смита / I /, когда распределения на периодах попросту независимы.
Процессы, допускающие указанную редукцию к минимальным периодам, называются разложимыми - такие процессы особенно часто встречаются в системах обслуживания. Развитые в данной работе методы позволили получить рекуррентные формулы для вычисления распределений и других характеристик разложимых условно регенерирующих процессов либо аналитически, либо с помощью моделирования вложенных марковских цепей, порожденных процессом в моменты условной регенерации. Полученные формулы можно рассматривать также как эффективный алгоритм моделирования широкого класса стохастических систем средствами вычислительной техники.
-6-.
Следует также отметить, что предложенные методы избавляют от необходимости марковизовать процесс, что в лучшем случае повышает размерность процесса на несколько компонент - соответственно повышается размерность интегралов и иных функционалов в формулах, описывающих характеристики процесса - а это далеко не всегда необходимо. Зато появляются свои особенности во-первых из-за того, что переходные функции у процессов, определенных непосредственно, т.е. траекториями, не заданы, и как раз их и хотелось бы определить, а во-вторых они не обладают свойствами переходных вероятностей или соответствующих условных мер марковских процессов - эти вопросы рассматриваются далее.
Основные проблемы, рассмотренные в настоящей работе, а также методы их решения сначала проиллюстрируем на примере однолинейной системы обслуживания с произвольными законами поступления A(i) и обслуживания ВЦ) и неограниченной очередью.
Пусть ^ - число требований в системе в момент t , Ь+ - остаточное время ожидания появления новой заявки - требуется найти распределение процесса ( ^ , 4^ ), т.е. Pklt,a) = - РН=к>^*}. Если AU) абсолютно непрерывна, то моменты поступления требований в пустую систему являются моментами регенерации в обычном смысле, т.е. смысле Смита, и определяемые ими циклы однородны, поэтому
«J-
где Рк (*,*)=Р{^=к, 4^^-t^t ] - распределение на первом пе-
риоде регенерации; a U iv)= I Т (v) - функция восстановления
( Т ttf) - распределение периода регенерации) удовлетворяет урав<
нению восстановления
Необходимо обратить внимание на следующие обстоятельства: выполнение свойства регенерации в смысле Смита в момент Тк связано с требованием абсолютной непрерывности A(i) ; во-вторых, однородность циклов не означает совпадение распределений на всех периодах по каждому аргументу - распределение на п. -ом периоде совпадает с первым лишь почти наверно относительно распределения Т^ , т.е. почти наверное совпадение по тг имеет место относительно разных вероятностей на Т и лишь при абсолютной непрерывности А() возможна редукция их всех к мере Ле-бега; в-третьих, непосредственно посчитать Рк(і,зс} и Ttv) весьма непросто.
Для решения этой задачи период регенерации X разбивается на период занятости зг и свободный период, и распределение на ъ выражается через распределение на периоде занятости и распределение в момент освобождения системы, т.е. в момент JT процесса ^ и самого ж :
-т ТІ
где Рк (*,*)= P{Ot=ki^*a:j 1<тг} , a Q (a^J=P|^«i^j), кроме того
то есть описание системы свелось в периоду занятости.
Далее рассмотрим период занятости. Для него в моменты окончания S^ выполняется интуитивно ясная независимость будущего процесса ( \)t , ^ ) от прошлого при условии известных значений ^s и 4S в фиксированный момент SR , однако специфичность ситуации уже в том, что SK не будут моментами остановки ( ^ , >t ), попытка же расширить соответствующие б" -алгебры приведет к увеличению размерности процесса и соответствующих интегра-
лов, не вызванному никакой необходимостью, поскольку все полученные формулы справедливы и без этого, далее рассматриваются и другие причины, по которым пропшое и будущее отличаются от "марковских". Моменты S^ будут моментами вложенной условной регенерации в смысле данных далее определений, а сам двумерный процесс однороден на J , и
где Р* С $Л0=Р1^=к, 4tocfi
здесь О^Л^РІ^Мр^уЯ.
Эти уравнения определяют Рк (,х) и Q (П) через соответствующие характеристики на периоде обслуживания js , т.е. описание системы свелось к минимальному периоду - j3 , на котором процесс ( )). , 4-t- ) не однороден, но выглядит просто, и нужные распределения вычисляются непосредственно:
t-ч
при к>2 , и соответственно
Qr(2,S4)=-(>2 csUBi2M-V-B(M(M]
2 s V2
о f I *" K-1
при KM , где * - знак свертки.
Рассмотрим теперь проблематику диссертации более подробно.
Регенерирующие процессы как специальный класс случайных процессов были определены и систематически исследованы В.Л.Смитом / I /, где они рассматривались как процессы, составленные из независимых циклов - конечных (обрывающихся) случайных процессов, определенных на независимых промежутках времени - периодах регенерации, причем распределения циклов на различных периодах предполагались инвариантными.
Отказ от независимости периодов регенерации позволил ввести некоторый класс скачкообразных процессов, названных полумарковскими /1,2,3/. Для полумарковских процессов циклы - постоянные функции, определенные на условно независимых промежутках времени, периодах, два соседних периода независимы при условии, что состояние в момент окончания цикла фиксировано, причем процесс в моменты окончания циклов образует вложенную марковскую цепь. ПМП задаются конструктивным образом с помощью начального распредления и полумарковской матрицы (или другими эквивалентными путями, см. /4, 5 / или полумарковского ядра в случае несчетности пространства состояний / 6, 7 /. Близкими к полумарковским являются процессы марковского восстановления с добавочными траекториями, в основу которых положен тот факт, что ШП могут рассматриваться как компонента двумерного марковского процесса. 1MB с добавочными траекториями могут быть заданы либо конструктивным путем / 8 / с помощью циклов, полумарковской матрицы и вложенной марковской цепи, либо аксиоматически / 9 / с помощью многомерного случайного процесса, включающего циклы и добавочные траектории. С однородностью процесса относительно сдвига на момент остановки и условной независимостью от прошлого
в этот момент связывается понятие регенерации в / 10, II /.
Другого характера обобщение понятия регенерации и регенерирующего процесса связано со строгой стационарностью циклов без предположений о независимости их / 12 /. Для таких процессов справедлива формула для стационарного распределения, имеющая такой же вид, как и для обычных регенерирующих процессов, и соответствующая эргодическая теорема.
Итак, одна из проблем состоит в том, что многие процессы, например в ТМО, задаются непосредственно, т.е. траекториями, и задача заключается в нахождении их распределений или условных распределений (заметим, что в теории марковских процессов стандартной является обратная задача - построение процесса или семейства по заданной переходной функции). Для решения этой задачи необязательно, чтобы случайные моменты, определяющие процесс, были моментами остановки, не говоря уже о том, что определение, являются ли они моментами остановки рассматриваемого процесса, может быть вовсе нетривиальной (и дополнительной) задачей. Поставленная задача решается в диссертации в весьма общих предположениях о характере независимости в определяющие моменты и структуре пространства состояний процессов.
Указанные особенности легли в основу определения условной регенерации как независимости будущего стохастического процесса от предыстории в случайный момент времени при условии определенной б -алгебры событий в этот момент. В зависимости от того, насколько широка эта <5 -алгеора, регенерация может быть более или менее сильной, наиболее сильными являются регенерация в случае тривиальности этой с -алгебры или регенерация в смысле Смита. Причем б -алгебры прошлого и будущего здесь уже, чем
в марковском случае для случайного момента, являющегося моментом остановки.
- II -
Следует также отметить, что в основополагающем определении регенерирующих процессов, данном В.Смитом, нет каких-либо конкретных предположений о связи периода регенерации с "содержимым" цикла (типа свойства момента остановки), и это не случайно, а связано с определенными свойствами систем обслуживания, одной из главных областей применения этих процессов. Некоторые из этих свойств уже рассматривались на примере системы GJ/GJ/l/ , но на самом деле они имеют место и в самых простых системах: так например, если рассмотреть известную систему M/GM/00 , то вследствие экспоненциальное времен поступления в момент окончания обслуживания первого требования будущее
^ зависит только от числа требований в системе в момент в ,
и под прошлым до момента , т.е. содержимым цикла Г 0, r] ,
естественно понимать траектории \^ до р , а под будущим -
после р , но на ГО,р] ^ совпадает с процессом восстанов
ления, порожденным поступающим потоком, который не зависит от
ft - для марковского прошлого ситуация противоположна {js
должен бы быть не только моментом остановки, но и измерим относительно прошлого), а траектории будущего после f> определяются сдвигами времени на длительности последующих обслуживании, которые также не зависят от ^ на Го,р] , т.е. и будущее - не "марковское будущее". Аналогична ситуация для полумарковских процессов.
Соответственно данному определению условно регенерирующие процессы - это случайные процессы, удовлетворяющие свойству условной регенерации в некоторые случайные моменты времени (не обязательно моменты остановки) - моменты условной регенерации. Такие случайные процессы постоянно возникают в системах обслуживания, а также в моделях реальных стохастических систем с
дискретным вмешательством случая, их частными случаями являются скачкообразные процессы (полумарковские и прочие), регенерирующие процессы в смысле Смита, процессы марковского восстановления с добавочными траекториями. Тесно связанные с ними также процессы обновления в смысле Боровкова / 13 /.
Задача описания процесса в целом через его поведение на отдельных периодах условной регенерации, т.е. выражение распределения на всей прямой, через распределение или условное распределение на периоде условной регенерации, решается в весьма общих предположениях.
Такое представление имеет смысл, если распределения или условные распределения цикла найти проще, чем распределение в целом, и оказывается наиболее плодотворным, если эти распределения на различных периодах инвариантны - такие процессы названы рекуррентными. Причем, если условие однородности, и тем более строгой стационарности / 12 /, циклов выполняется далеко не всегда, то требование инвариантности условных распределений менее ограничительно. В этом случае распределение процесса выражается через распределение на периоде регенерации (например, первом) и функцию условной регенерации, аналог функции марковского восстановления, которая удовлетворяет уравнению, аналогичному уравнению марковского восстановления.
Однако и нахождение условного распределения на периоде-регенерации может быть непростой задачей, которую удается решить, если период допускает разбиение на более мелкие периоды - периоды вложенной условной регенерации, на которых процесс имеет более простой вид. Моменты вложенной регенерации могут отличаться по силе регенерации от моментов регенерации и не удовлетворять
- ІЗ -
условию рекуррентности или иметь другой, специфический вид рекуррентности или однородности. Определяемая ими однородная вложенная функция условной регенерации удовлетворяет уравнению вложенной условной регенерации - специального вида уравнению типа уравнения марковского восстановления. Итерация этой процедуры позволяет свести описание процесса к минимальным вложенным периодам регенерации - процессы, допускающие процедуру вложения, называются разложимыми.
Кроме того, уравнения условной регенерации и уравнения вложенной, условной регенерации позволяют установить сходимость мер, определяемых полумарковскими ядрами к произведению меры Лебега на инвариантное распределение вложенной цепи / 14 / при -fc—^=^ и, следовательно, на бесконечности выразить одномерное распределение через распределение на минимальном периоде и инвариантное распределение вложенной цепи.
Теория массового обслуживания является основной областью применения разложимых условно регенерирующих процессов, в качестве других можно назвать теорию надежности и теорию агрега-тивных систем /15, 16 /.
Дадим теперь краткий обзор результатов настоящей работы.
В главе I рассматриваются регенерирующие и условно регенерирующие процессы.
В I.I даются определения регенерации и условной регенерации и рассматриваются связанные с ними б -алгебры, дается их интерпретация, обсуждаются введенные понятия в связи с системами обслуживания.
В 1.2 определяются регенерирующие и условно регенерирующие процессы (УРЇЇ), показывается, что конструкция Смита приводит к введенному в этом параграфе процессу. Дается определение
циклической измеримости и соответствующей 6 -алгебры на стохастическом интервале, доказывается циклическая измеримость случайных процессов с односторонне непрерывными траекториями, рассматриваются регенерационные свойства процесса, сдвинутого на начальное время. Затем определяются условно регенерирующие процессы в узком смысле, исследуются их свойства, обсуждается связь УРЇЇ с процессами обновления в смысле Боровкова / 13 /.
1.3 посвящен регулярным условным распределениям, связанным с условной регенерацией.
В 1.4 выведено тождество регенерации, рассмотрен связанный с ним оператор сдвига на стохастическом интервале.
Условная независимость и регулярные условные распределения. Некоторые формулы
Существование переходных функций для марковских и регенерирующих процессов оказывается тесно связанным с проблемой аппроксимации мер компактами. Этим вопросам будет посвящен данный параграф.
Согласно теореме Улама / 29 / любая веростность на полном метрическом пространстве плотна / 30 /, но полнота не является необходимой: пространство рациональных чисел й не является даже топологически полным, однако любая вероятность на Q. , очевидно, плотна. С другой стороны, полнота существенна в том смысле, что от нее нельзя отказаться совершенно: если X - массивное подмножество / 31 / отрезка [0, I] (или множества действительных чисел R ), т.е. Х(Х] = 1 и \ (Х) = 0 , где
А - внешняя мера Лебега, а X - внутренняя, тогда (Х,!Б(Х) X ) - вероятностное пространство ( $(Х) - О"-алгебра его борелевских подмножеств), но любой компакт, содержащийся в X имеет меру 0 . Другим примером может быть любое вполне несовершенное / 32 / пространство, поскольку любой содержащийся в нем компакт не более, чем счетен. В связи с этим хотелось бы иметь достаточно простой и естественный критерий того, будет ли каждая вероятность на данном пространстве плотна.
I. Радоновы меры и пространства
Пусть (Х,Я) - топологическое пространство с С-алгеброй своих борелевских множеств. Напомним, что меры, определенные на бэровских множествах называются бэровскими, на борелевских мно - 41 жествах - борелевскими. Борелевская мера JK называется регулярной, если JU В = u.p-jуиР: ВзР Р J , где F - класс всех замкнутых в X множеств, для любого борелевского В любая бэровская мера регулярна / 34 / . Регулярные борелевские меры будут называться топологическими.
Поскольку здесь рассматриваются только вероятностные вопросы, будем для простоты предполагать все меры конечными (на самом деле доказываемые далее результаты справедливы для произвольных мер / 28 /. Определение I. Борелевская мера ju называется радоновой, если /33, 28 / juB= upJf4K: ВгКбЗГОО] для любого Ве Б(Х) , где Ж[Х) - класс всех бикомпактов, содержащихся в X . Поскольку УС является,очевидно,компактным классом / 34 /, любое слабое распределение (т.е. аддитивная функция) на ОС может быть продолжена до радоновой меры на % / 34 / , что является важным свойством радоновых распределений, поскольку проверка б -аддитивности распределения часто бывает трудной задачей. Определение 2. Пространство X называется радоновым, если любая топологическая мера на X радонова. Ясно, что любая радонова мера регулярна, однако существуют нерегулярные ( и следовательно, не радоновы). борелевские меры даже на бикомпактах, поэтому в определении 2 говорится только о топологических мерах.
Регулярные условные распределения и переходные функции
В задачах теории вероятностей часто используются пространства, являющиеся образами борелевских подмножеств действительных чисел (R при борелевских изоморфизмах (например / 43 /, П.7). Равномощные борелевские подмножества полных сепарабельных пространств борелевски изоморфны (/ 32 /, 37.11), кроме того по теореме Куратовского / 44 / между любыми двумя полными сепарабельными пространствами одинаковой мощности существует борелевский изоморфизм класса (I, I), поэтому в качестве универсального пространства можем выбрать R или отрезок [ 0, I] , однако, как будет видно далее, удобнее за универсальное пространство взять множество N иррациональных чисел отрезка [О, I] или гомеоморфное ему пространство Бэра В(К0) (/ 36 /, 4.6).
С другой стороны, в классе подмножеств полных сепарабельных пространств любой В -измеримый взаимнооднозначный образ борелевского множества является борелевским / 32 /, таким образом, класс борелевски изоморфных образов борелевских подмножеств
R совпадает с известным и конструктивным классом борелевских подмножеств полных сепарабельных пространств, в то время как прямая проверка существования борелевского изоморфизма может оказаться весьма непростой задачей. В силу вышесказанного теоре - 48 ма следующего параграфа о существовании регулярных условных распределений доказывается для значительно более широкого класса случайных элементов, чем обычно / 43 /.
В заключение отметим, что борелевские подмножества полных несепарабельных пространств могут иметь, конечно, мощность больше континуума и в этом случае не могут быть борелевски изоморфными образами какого-либо подмножества полного сепарабельного пространства. Для них универсальными множествами будут пространства Бэра Вес) / 45 /.
Теорема I. Для любого случайного элемента со значениями в метрическом радоновом пространстве (Х ) и любой О" -алгебры событий У&Т условное распределение ё, относительно & регулярно.
Доказательство. Для любого борелевского В$ положим 7vB-РЦев}. 7Г-вероятностная мера на (Х,Я) , поэтому для любого ії-ь ІЦ существует компакт КП Х , что 7V(XVKJ - , причем можем считать, что Kn$Kh .
Поскольку каждый Кл -метрический компакт, пространства непрерывных функций С{\6Л) на Кп сепарабельны (в смысле топологии равномерной сходимости или компактно открытой), пусть S Jf - счетное плотное в С(К„) множество. Продолжим каждую feC(Kh) до % -измеримой функции на X , полагая (х)=0 на X4Kh и для любой % -измеримой функции /са) на X обозначим через 1(.10,1) версию M(f()lty) , удовлетворяющую условиям
Рекуррентные и однородные вложенные УРП
Регенерирующие процессы оказываются хорошей вероятностной моделью сложеных агрегативных систем ( А - систем), введенных Н.П.Бусленко /15, 16 /. Агрегативные системы представляют собой математическую схему реальных объектов, состоящих из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов. Лежащие в их основе агрегаты являются универсальной математической моделью разнородных элементов сложных систем, так с их помощью могут быть описаны практически все известные системы массового обслуживания, сложные вычислительные комплексы, процессы дискретного производства, системы обработки информации и проч. / 49 /.
Наиболее удобной для алгоритмизации и исследования вероятностными или компьютерными методами явилась модификация агрегатов общего вида, названные кусочно-линейными агрегатами / 49 /. Качественные свойства таких моделей, а также методы их исследования рассматривались В.В.Калашниковым / 50 /.
Развитые в настоящей работе методы избавляют от необходимости марковизации процесса, описывающего агрегативную систему, или требования кусочной линейности траекторий, в остальном же предлагаемая модель носит традиционный характер.
Итак, агрегативная система состоит из подсистем, которые обмениваются информацией в дискретные, вообще говоря, случайные моменты времени, между которыми процессы функционирования подсистем независимы (если включить внешнюю среду в систему, то эти моменты будут соответствовать дискретному вмешательству случая). Причем в эти моменты времени забывается предыстория, т.е. последующее поведение системы будет зависеть только от состояния ее в этот момент. Таким образом, они будут моментами регенерации случайного процесса, описывающего систему.
Точная математическая модель такова: каждый агрегат Д -системы описывается регенерирующим процессом с непрерывными справа кусочно-непрерывными траекториями. Моменты регенерации ЧгЛ - это последовательные моменты достижения (или прикосновения) границ областей Т\ (R (реже - R ), внутри которых он развивается на периоде регенерации бЛ , т.е. между моментами выхода на границу или дискретного вмешательства случая извне.
Если каждая подсистема в свою очередь допускает разбиение на более простые подсистемы (агрегаты), то Л -система будет называться иерархической. Она описывается с помощью разложимых регенерирующих процессов. Неразложимые составляющие системы называются элементами, их в точности характеризуют ВРП на минимальных периодах регенерации / 51 /.
Если же и в момент регенерации подсистемы функционируют независимо, то и Ux раскладывается в произведение, что приводит к понижению размерности интеграла.
Обычно, в момент регенерации процесс, описывающий А -систему совершает скачок, поэтому важное значение для анализа А -систем играет оператор скачков, который описывает поведение системы в моменты регенерации. Он может быть интерпретирован как оператор, характеризующий взаимодействие подсистем в моменты обмена информацией.
Предположим, что состояние системы в моменты регенерации зависит только от г и не зависит от предыстории, тогда можно выделить оператор скачков.
Теорема 16. Если Рх - почти наверно Р ГКЛ. Р ПМ то справедливо следующее представление полумарковского ядра однородной А -системы
Предельные теоремы для эксцесса и дефекта процессов восстановления
Из теоремы 2 также следует, что любая вполне непрерывная мера на аналитических и С А -пространствах (т.е. их дополнениях в бикомпактах) радонова. Отказ от требования полной непрерывности меры связан с проблемой существования измеримых кардиналов.
Теорема 5. Аналитическое (строго аналитическое) пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно является аналитическим подмножеством некоторого полного (полного и сепарабель-ного) метрического пространства.
Доказательство. I. Необходимость. Пусть аналитическое (строго аналитическое) пространство X метризуемо. Обозначим его пополнение через X , тогда X X Х , а поскольку X лотно в X , то рХ является бикомпактным расширением X . По условию X - аналитическое (строго аналитическое) подмножество Х , и тем более У6 /\($ (X)) AlF()()) поскольку X метрическое пространство.
Кроме того, если X - строго аналитическое, то оно Лин-делефово /28 /, а значит и сепарабельно в силу метризуемости. Следовательно, и пополнение X сепарабельно.
2. Достаточность. Если X - аналитическое подмножество полного метрического пространства X , то пользуясь тем, что
X полно в смысле Чеха и является G -подмножеством своего любого бикомпактного расширения (/ 40 /, П.З), сразу получаем требуемое.
Если X к тому же сепарабельно, то оно является аналитическим (и строго аналитическим в силу метризуемости) подмножеством гильбертова кирпича I , а следовательно, строго аналитическим подмножеством любого своего бикомпактного расширения, что завершает доказательство.
Таким образом, в метризуемом случае определение 4 совпадает с классическим. Итак, все аналитические и С А-пространства счетного веса радоновы, что доказано "наивным" путем, т.е. без привлечения теоретико-множественных моделей, проблема же радоновости пространств проективных классов выше второго является неразрешимой / 28 /.
Аналитические пространства является результатом конструктивной А -операции или непрерывными образами множества иррациональных чисел из отрезка [0, П в классическом случае / 32 /, а С А -пространства - их дополнениями, т.е. образуют весьма естественные классы пространств и возникают в самых естественных ситуациях, так например, в пространстве замкнутых подмножеств [О, I] множество замкнутых несчетных множеств является аналитическим, но не борелевским (теорема Гуревича /41/), дифференцируемые функции образуют в пространстве R небо-релевское множество класса С А. (теорема Мазуркевича / 42 /), аналитические множества постоянно возникают в задачах теории управляемых случайных процессов как проекции борелевских.
3. Борелевские изоморфизмы и пространства
В задачах теории вероятностей часто используются пространства, являющиеся образами борелевских подмножеств действительных чисел (R при борелевских изоморфизмах (например / 43 /, П.7). Равномощные борелевские подмножества полных сепарабельных пространств борелевски изоморфны (/ 32 /, 37.11), кроме того по теореме Куратовского / 44 / между любыми двумя полными сепарабельными пространствами одинаковой мощности существует борелевский изоморфизм класса (I, I), поэтому в качестве универсального пространства можем выбрать R или отрезок [ 0, I] , однако, как будет видно далее, удобнее за универсальное пространство взять множество N иррациональных чисел отрезка [О, I] или гомеоморфное ему пространство Бэра В(К0) (/ 36 /, 4.6).
С другой стороны, в классе подмножеств полных сепарабельных пространств любой В -измеримый взаимнооднозначный образ борелевского множества является борелевским / 32 /, таким образом, класс борелевски изоморфных образов борелевских подмножеств
R совпадает с известным и конструктивным классом борелевских подмножеств полных сепарабельных пространств, в то время как прямая проверка существования борелевского изоморфизма может оказаться весьма непростой задачей. В силу вышесказанного теоре - 48 ма следующего параграфа о существовании регулярных условных распределений доказывается для значительно более широкого класса случайных элементов, чем обычно / 43 /.
