Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Способы представления допустимых управлений и решение краевых задач для систем с последействием 41
1.1. Введение 41
1.2. Критерии линейной независимости скалярных и векторных функций ...42
1.3. Некоторые способы представления допустимых управлений 62
1.4. Аналитические методы построения решений краевых задач 68
1.5. Итерационные методы построения решений краевых задач 75
Глава 2. Построение программных управлений в системах с последействием, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям 84
2.1. Введение 84
2.2. Построение программных управлений для линейных систем 85
2.3. Построение программных управлений в квазилинейных системах с последействием 92
2.4. Построение программных управлений в динамических системах, удов
летворяющих неудерживающим связям 93
2.5 Непрерывная стабилизация программных управлений в системах с после действием 101
Глава 3. Исследование устойчивости в системах с последействием по первому нелинейному приближению 116
3.1. Введение 116
3.2. Устойчивость систем с последействием на конечном интервале времени . .120
3.3. Исследование устойчивости квазилинейных уравнений с последействием по первому нелинейному приближению 126
3.4. Исследование устойчивости уравнений с последействием с нелинейной частью порядка выше первого 132
Глава 4. Вычислительные методы и рекуррентные алгоритмы исследования устойчивости динамических систем по первому приближению .. 141
4.1. Введение 141
4.2. Выделение кратных и кососимметричных корней многочлена с помощью алгоритма Евклида 142
4.3. Определение числа вещественных корней многочлена и их локализация с помощью алгоритма Штурма 155
4.4. Определение числа корней многочлена лежащих в левой и правой полуплоскости с помощью метода понижения порядка 162
4.5. Методы исследования многочленов, имеющих только кососимметричные корни 175
Глава 5. Методы решения задач робастной устойчивости и оценки границ области экспоненциальной устойчивости в системах с последействием 179
5.1. Введение 179
5.2. Решение задач робастной устойчивости методом допустимых линейных преобразований коэффициентов 180
5.3. Необходимые и достаточные условия существования выпуклой области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического много члена 196
5.4. О существовании выпуклых областей устойчивости в пространстве коэффициентов системы первого приближения 209
5.5. Модифицированный вычислительный метод Зубова определения местоположения корней характеристического уравнения системы первого приближения 224
Заключение 229
Литература 232
- Критерии линейной независимости скалярных и векторных функций
- Построение программных управлений для линейных систем
- Устойчивость систем с последействием на конечном интервале времени
- Выделение кратных и кососимметричных корней многочлена с помощью алгоритма Евклида
Введение к работе
Одной из главных проблем современного этапа развития науки, техники и технологии являются фундаментальные исследования в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Необходимо разрабатывать новые качественные и количественные методы исследования поведения решений динамических систем, построения программных управлений, поиск условий устойчивого, надежного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В настоящее время создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.
Анализ направлений развития науки, существующие научные публикации и тематика международных научных форумов, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед человечеством в XXI веке будут, например, следующие:
- создание новых космических технологий и ракетно-космических систем;
- создание нетрадиционных энергетических технологий, в т.ч. переработки газа и нефти;
- создание общемировой динамической системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем;
- глобальное решение транспортной проблемы;
- создание новых биотехнологий для решения продовольственной проблемы;
- создание многофункциональных гибких автоматизированных систем.
Решение указанных проблем не может быть осуществлено без серьезной научной проработки и создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учетом надежности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью и т.д., с различного рода особенностями и условиями.
Сделаем небольшой исторический экскурс к постановке и развитию тематики, рассмотренной автором в диссертационном исследовании.
Первые серьезные математические результаты, полученные при исследовании функционирования динамических систем, видимо, следует отнести к И. Ньютону. Им впервые были четко сформулированы и поставлены перед математикой прямая и обратная задачи: требуется определить движение, если известны силы, его вызывающие, и наоборот, требуется определить силы, если известно движение, ими порожденное. Последнюю задачу в широком плане можно считать задачей поиска управления порождающего искомое движение. С решением второй задачи, как известно, И. Ньютон успешно справился, используя наблюдения Т. Браге с поправками на рефракцию И. Кеплера, а, также опираясь на гипотезу центральной силы, предложенную X. Гюйгенсом, т.е. получил закон всемирного тяготения. Он также сумел решить ряд дифференциальных уравнений описывающих прямолинейное движение материальной точки под действием различных сил. И. Ньютон сумел путем синтетико - геометрических построений описать динамику движения твердого тела, находящегося в центральном поле сил. Однако у И. Ньютона отсутствовала запись дифференциальных уравнений и их интегралов в аналитической форме, а его метод последовательных приближений давал решение рассматриваемых задач в виде степенного ряда.
Вторым крупным результатом, послужившим большим толчком к созданию математических методов исследования динамических систем следует считать разработку метода квадратур для решения дифференциальных уравнений Лейбницем и его последователями - братьями Бернулли. Им впервые был предложен термин "дифференциальные уравнения", методы подстановки и интегрирующего множителя для решения некоторых классов дифференциальных уравнений.
В дальнейшей разработке теории дифференциальных уравнений особенно велик вклад Л. Эйлера давшего полное решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и развившего метод интегрирующего множителя. Также большой вклад в развитие методов реше ния дифференциальных уравнений внесли его современники: А. Клеро, Ж. Даламбер, Ж.Л. Лагранж, Б. Тейлор.
Переломным моментом в исследовании нелинейных динамических систем явилась теорема существования и единственности доказанная О. Копій методом ломаных Эйлера и предложенный им метод последовательных приближений. Здесь также необходимо отметить работы Штурма и Лиувиля, положившие начало исследованиям по теории краевых задач.
Существенным шагом вперед при исследовании динамических систем являлась разработка качественной теории дифференциальных уравнений, одновременно созданной А. Пуанкаре и A.M. Ляпуновым. Методы, созданные в рамках этой теории, позволяли по свойствам правых частей дифференциальных уравнений судить о поведении решений этих уравнений и их особенностях. Существенные результаты в данной области были получены также Дж. Биркгофом.
Дальнейшее создание методов исследования поведения решений динамических систем проводилось в рамках теории колебаний, сильно развитой такими учеными, как А.Н. Крылов, А.А. Андронов, А.А. Марков, Н.П. Еругин, В.И. Зубов, Ю.А. Митропольский и др.
Бурное развитие техники в середине XX века, а особенно систем автоматического управления, породило целый класс новых задач в рамках теории динамических систем: построение решений динамических систем, удовлетворяющих различным краевым условиям, исследование устойчивости решений динамических систем с последействием; построение программных управлений и движений, удовлетворяющих краевым и начальным условиям; синтез этих управлений; решение проблем стабилизации программного движения в случае прямого и непрямого регулирования.
Основоположниками в решении этих задач выступили Н.Н. Красовский, А.Н. Тихонов, Л.С. Понтрягин, К.П. Персидский, В.В. Степанов, Н.Н. Боголюбов, Н.Г. Четаев, В.В. Немыцкий, Н.М. Крылов, Б.С. Разумихин, А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц, С.Н.Шиманов, В.И. Зубов, М.Г. Крейн, А.А. Воронов, Б.Г. Болтянский и многие другие отечественные и зарубежные ученые.
В настоящее время, в промышленно развитых странах, развитие современных средств производства и транспорта, в первую очередь, характеризуется созданием всё более сложных технических систем и технологических процессов. При эксплуатации этих технических систем и технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязей между ними, естественным образом, на практике, увеличивается интенсивность отказов, что приводит к увеличению числа крупных технических и техногенных катастроф. В последнее время это практически подтверждается увеличением числа различных аварий и катастроф в развитых странах (отказы на АЭС, массовое отключение электричества, ава рий на транспорте и т.д.). В связи с этим возникает задача обеспечения безопасности динамики функционирования технических систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.
Если обратиться к опыту истории развития систем управления паровыми машинами, то можно привести парадоксальный факт, заключающийся в том, что регуляторы Уатта для паровых машин перестали устойчиво работать при повышении точности обработки составляющих их деталей. Выдающийся английский физик Максвелл поставил задачу объяснения этого феномена и даже в 1868 г. выпустил книгу о регуляторах. Однако только спустя 20 лет русский инженер путей сообщения Вышнеградский сумел решить эту проблему с помощью фундаментальных исследований в этой области. Он построил точную математическую модель всех регуляторов подобного вида и создал новые математические методы их исследования. Таким образом, он нашел те параметры конструкции регулятора, которые существенным образом влияют на устойчивость его работы. Более того, Вышнеградскому удалось найти допустимые границы изменения этих параметров, в рамках которых, работа регулятора будет носить устойчивый характер. Эти фундаментальные исследования легли в основу нового направления в теории устойчивости, а именно - робастной устойчивости.
В связи с вышесказанным, одной из важнейших проблем современного производства, является развитие фундаментальных научных исследований в области обеспечения динамической безопасности функционирования сложных технических систем и технологических процессов. В первую очередь, это касается использования, в качестве объекта исследования, адекватных динамических моделей и создания математических методов исследования их динамической безопасности.
Большинство математических моделей, используемых при описании сложных технических систем и технологических процессов и претендующих на некоторую целостность, представляют собой динамические системы, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений с последействием, то есть системами имеющими предысторию, и, учитывающими как задержки в каналах измерительных и управляющих органов, так и процессы старения, инерции и деградации. Если проводить исследование упрощенных математических моделей, не учитывая влияние существующего в них последействия, то можно прийти к неверным техническим и технологическим решениям, которые будут, не только экономически невыгодны, но и будут увеличивать вероятность аварий и катастроф.
В связи с этим перед фундаментальной наукой встает задача создания и разработки методов исследования динамической безопасности объектов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений с последействием.
Динамическая безопасность рассматриваемой системы обычно включает такие её свойства как:
• существование для этой системы программных управлений и движений, отвечающих заданному уровню безопасности;
• устойчивость этих движений в фазовом пространстве;
• существование стабилизирующих управлений и систем стабилизации;
• устойчивое поведение системы в пространстве её параметров, т.е. её робастная устойчивость.
Критерии линейной независимости скалярных и векторных функций
В настоящей главе излагаются способы представления произвольных скалярных и векторных управлений, принадлежащих пространству функций суммируемых с квадратом, в виде разложения по некоторой системе базовых функций и рассматриваются вопросы существования и единственности этих представлений. Приведены необходимые и достаточные условия линейной независимости скалярных и векторных функций и рассмотрены некоторые системы этих функций. Эти результаты обобщены на случай бесконечного интервала времени с целью решения задач непрерывной стабилизации.
Для квазилинейных динамических систем с последействием, удовлетворяющих неудерживающим связям, предлагаются методы построения решений этих краевых задач. В случае линейных систем без последействия приведены необходимые и достаточные условия существования решений краевых задач, и они даны в аналитической форме. Для квазилинейных систем даются условия существования решений, удовлетворяющих квазилинейным крае вым условиям неудерживающего типа, и предложены итерационные методы их построения.
Очевидно, что матрица A(tvt2) является симметричной, то есть Л (/,, 2) = У4(Ґ15/2) а, как известно, у симметричной матрицы все собственные числа Л вещественны. В этом нетрудно убедиться. Действительно, если X — собственный вектор, а Я собственное число матрицы А, то справедливы следующие эквивалентные равенства где Л и X комплексно сопряженные величины к величинам Я и X. Далее используя эти равенства можно написать соотношения [39]: Откуда непосредственно следует, что Л = Л . Определение 1.2. Симметричная матрица А называется положительно определенной, если для любого вещественного вектора С Ф 0 квадратичная форма, порождённая этой матрицей, принимает положительные значения САС 0. Нетрудно видеть, что у положительно определённой матрицы А все её собственные числа Я - положительны, так как для её собственного вектора X соответствующего собственному числу Я, справедливо неравенство Справедливы теоремы [51]: Теорема 1.1. Для того чтобы непрерывные функции bt (/), ( і = 1,...,n ) были линейно независимы на промежутке [0,Г] необходимо и достаточно, чтобы матрица A(tx,t2) была положительно определённой на некотором промежутке [tx,t2 ] с [О,Г]. Доказательство. Необходимость. Пусть функции bt (?) линейно независимы, тогда для любого вещественного вектора С Ф О выполняется неравенство В [t)C Ф О хотя бы для одного значения t = Гє [tx,t2]. В силу непрерывности функции B (t)C в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство В (/)С Ф О, то есть функция сохраняет знак. Отсюда вытекает, что так как yB (t)C\ 0 в некоторой окрестности точки Т. В силу произвола выбора вещественного вектора СФО ИЗ ЭТОГО неравенства следует то, что матрица A{tx,t2) - положительно определенная. Заметим здесь, что положительная определенность матрицы A(tx,t2) эквивалентна положительной определенности матрицы А(0,Т) при [ ,?2]с[0,Г]. Достаточность. Пусть матрица A(tx,t2) -положительно определённая. Предположим, что функции / ,(/) - линейно зависимы на промежутке [/,,/2] тогда существует вещественный вектор С Ф О такой, что В (t\C = О для всех t є [tx,t2]. Следовательно, справедливо равенство Полученное равенство противоречит положительной определёЯности матрицы A(tx,t2). Таким образом, что функции bt{f) - линейно независимы на промежутке [/,,/2], а тем более и на промежутке [0,Г]. Теорема доказана. Замечание 1.1. Если все собственные числа Xi симметричной матрицы А положительны, то она является положительно определённой и для любого вещественного вектора С Ф 0 справедливы неравенства .
Построение программных управлений для линейных систем
Как было показано выше, одной из главных задач при исследовании динамических свойств нелинейных систем и систем автоматического регулирования, является проблема изучения устойчивости расчетных режимов этих систем. В тех случаях, когда устойчивость поведения нелинейной динамической системы полностью определяется устойчивостью положения равновесия ее первого линейного X = АХ (или нелинейного X = A(t,X)X) приближения вопрос об устойчивости или неустойчивости этой системы, обычно сводится к определению положения корней характеристического многочлена (полинома) на комплексной плоскости.
Наиболее конструктивные методы и критерии, позволяющие, решить эту задачу, в случае, когда матрица коэффициентов системы является постоянной, изложены в работах Рауса, Гурвица, А.В. Михайлова, Э. Джури, Л.С. Понтрягина, Ю.И. Неймарка, А.Т. Барабанова [43,81,44,92,84,6] и многих других. Эти подходы в основном опираются на матричные и частотные методы, а также на рекуррентные алгоритмы понижения порядка.
В случае, когда коэффициенты системы первого приближения зависят от временных и пространственных координат одним из самых конструктивных методов исследования устойчивости можно считать известную теорему Харитонова об устойчивости интервальных многочленов. Она также служит основой исследования систем на робастную устойчивость.
Все методы и критерии исследования устойчивости, перечисленные выше, имеют свои достоинства и недостатки. Целью данной главы является изложение как уже известных, так и вновь созданных рекуррентных алгоритмов представляющих собой последовательные линейные преобразования коэффициентов исходного характеристического многочлена с целью определения характеристик корней этого многочлена и их локализации относительно мнимой оси. Эти алгоритмы имеют перед остальными методами и критериями в данной области преимущество в основном вычислительного характера. Дело здесь заключается в том, что число элементарных арифметических операций требующихся для полной реализации этих алгоритмов несравненно меньше, чем у других методов и, следовательно, ошибки округления будут при их применении минимальными. Это позволяет использовать предлагаемые рекуррентные алгоритмы для исследования устойчивости систем практически любого порядка.
Во втором разделе настоящей главы на основе применения алгоритма Евклида предлагаются методы разбиения исходного характеристического многочлена на произведение многочленов имеющих только простые корни. Это позволяет не только определить кратность каждого корня исходного многочлена, но и отделить все кососимметричные корни, включающие в себя и чисто мнимые корни этого многочлена. Такое разбиение не только ускоряет, но и упрощает любой последующий анализ и нахождение самих корней.
В третьем разделе приведена известная теорема Штурма и реализующий эту теорему алгоритм Евклида, позволяющий определить число отрицательных и положительных действительных корней многочлена. Четвертый раздел, посвящен изложению нового метода понижения порядка, являющегося некоторым аналогом алгоритма Рауса и позволяющий определить число корней исходного многочлена лежащих как в левой Rez 0, так и правой Rez 0 полуплоскости не более чем за —п{п +1) элементарных арифметических операций. В пятой части, на основе метода понижения порядка, предлагается алгоритм вычисления числа чисто мнимых корней у характеристического многочлена. Решение этой задачи позволит исследовать достаточно тонкий вопрос о простой устойчивости линейной системы, т.е. тот случай, когда характеристический многочлен имеет, кроме корней лежащих в левой полуплоскости чисто мнимые, но не кратные корни. Шестой раздел посвящен методам исследования многочленов имеющих только кососимметричные корни и описанию общей методики исследования качественной картины распределения корней произвольного многочлена на комплексной плоскости.
Устойчивость систем с последействием на конечном интервале времени
Так как операция перемножения квадратных матриц порядка п требует 2п2 арифметических операций, то для систем порядка п \0 применение, к примеру, итерационного критерия (5.51) для выяснения асимптотической устойчивости системы (5.50) займет меньшее число вычислений чем построение характеристического многочлена этой системы.
Замечание 5.21. В предыдущем разделе было показано, что величина мнимых частей собственных чисел матрицы А никак не влияют на то, будет ли ее квадратичная форма положительно или отрицательно определена. Отсюда вытекает, что для определения того, является ли квадратичная форма матрицы А отрицательно определенной достаточно проверить первое из условий последней теоремы. При этом величина а должна быть меньше любого корня многочлена. Для случая, когда матрица перехода к вещественному базису Жордана не является ортогональной вопрос остается открытым.
Основные результаты диссертационной работы. Результаты, полученные в данной работе, носят системный характер, т.к. с одной стороны они направлены на изучение условий существования и методов построения решений в управляемых и неуправляемых системах с последействием, удовлетворяющих краевым условиям неудерживающего типа, а с другой на исследование устойчивости этих решений. С этой точки зрения все представленные в работе результаты можно условно разделить на две группы. 1. Результаты, касающиеся вопросов существования и методов построения решений в управляемых и неуправляемых квазилинейных системах с последействием: - предложен ряд представлений для систем прямого регулирования осуществляющих непрерывную стабилизацию исходной динамической системы, так, что стабилизирующие управления, заданные на бесконечном интервале времени, представлены в виде разложения по произвольной системе базовых функций и доказан ряд свойств этого разложения; - получены условия существования и предложены методы построения решений в линейных и квазилинейных системах с последействием, удовлетворяющих краевым условиям неудерживающего типа; - проведен анализ существующих методов построения программных управлений и движений в квазилинейных системах с последействием и на его основе получены критерии существования и предложены методы построения этих управлений и движений в системах, где на управления также наложены ограничения типа двусторонних неравенств; - для линейных и квазилинейных управляемых систем с последействием получены условия, при выполнении которых предложенная система прямого регулирования осуществляет непрерывную стабилизацию исходной системы, т.е. стабилизирующие управления найдены в явном виде. 2. Результаты, касающиеся исследования устойчивости полученных решений в квазилинейных системах с последействием: - получены критерии экспоненциальной устойчивости тривиальных решений в квазилинейных системах с последействием по первому линейному и нелинейному приближению; - разработаны рекуррентные методы исследования устойчивости стационарных систем первого приближения, позволяющие полностью решить проблему отделения корней характеристического многочлена; - предложены допустимые линейные преобразования коэффициентов характеристических многочленов, сохраняющие их устойчивость и позволяющие исследовать устойчивые выпуклые множества таких коэффициентов; — для системы первого приближения получены аналитические критерии существования и методы построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы.
Выделение кратных и кососимметричных корней многочлена с помощью алгоритма Евклида
В этой главе предложены методы решения задач робастной устойчивости и построения границ области экспоненциальной устойчивости в системах с последействием. Для построения интервальных характеристических многочленов Харитонова предложены допустимые линейные преобразования их коэффициентов, оставляющие эти многочлены полиномами Гурвица. Эти преобразования дополняют аналогичные преобразования предложенные Ю.А. Неймарком [84] и позволяют расширить множество устойчивых интервальных многочленов, не прибегая каждый раз для их анализа к теореме Харитонова.
Так же в этой главе получены достаточные условия существования устойчивых выпуклых матричных множеств (т.е. условия в пространстве параметров системы первого приближения), а для их характеристических многочленов необходимые и достаточные условия существования таких множеств дополняющие результаты, полученные в работах Б.Т. Поляка, П.С. Щербакова А.П. Жабко, В.Л. Харитонова и др. [86-88,90,47,104].
Для матрицы системы линейного приближения установлена взаимно однозначная связь между её собственными числами и отрицательной определенностью её квадратичной формы, что позволяет, с помощью модифицированного вычислительного метода В.И. Зубова [50], получать оценки областей экспоненциальной устойчивости, не прибегая каждый раз к построению характеристического многочлена.
Решение задач робастной устойчивости методом допустимых линейных преобразований коэффициентов Часто, на практике, коэффициенты характеристических многочленов исходной системы зависят от к технических параметров а{ моделируемого объекта, которые могут быть модифицированы в процессе проектирования, изготовления и эксплуатации и, следовательно, образуют целое множество возможных значений коэффициентов характеристических многочленов я(.( 2,,...,аД / = 0,...,п. Решение вопроса о том, является ли заданное множество возможных значений коэффициентов характеристических многочленов - множеством коэффициентов многочлена Гурвица, всегда достаточно сложен. Если бы удалось найти или каким - либо образом достаточно просто описать всё множество значений коэффициентов многочленов Гурвица, то задача исследования асимптотической устойчивости стационарных систем была бы решена полностью. Теорема Харитонова, в сильной степени, помогает решить эту проблему робастной устойчивости [104] Для того, чтобы далее упростить решение поставленной выше задачи робастной устойчивости, рассмотрим некоторые допустимые линейные преобразования коэффициентов многочлена Гурвица, оставляющие эти многочлены многочленами Гурвица. Определение 5.1. Любое линейное преобразование В = DA, коэффициентов многочлена Гурвица оставляющее его многочленом Гурвица будем называть допустимым линейным преобразованием. Здесь А = (а0,...,ап) , B = (b0,...,bn) , D - квадратная матрица. Замечание 5.1. Очевидно, что линейные преобразования коэффициентов многочлена Гурвица (5.1) где а 0 - произвольное положительное число, являются допустимыми линейными преобразованиями. Это вытекает из того, что если все корни многочлена f{z) лежат в левой полуплоскости Rez 0, то корни многочленов при произвольном положительном числе а О также лежат в левой полуплоскости комплексного переменного. Теорема 5.1. Линейные преобразования коэффициентов многочлена Гурвица (5.1) где а О и (3 О произвольные положительные числа, являются допустимыми линейными преобразованиями. Доказательство. Так как многочлен (5.1) является многочленом Гурвица, то для матрицы Гурвица этого многочлена выполняются условия Рауса - Гурвица положительности главных миноров этой матрицы Нетрудно видеть, что матрица Гурвица для многочлена (5.2), коэффициенты которого находятся по формулам (5.4), получается из матрицы Гурвица для исходного многочлена (5.1) умножением её четных столбцов на число а 0, а нечетных на число (5 0. Очевидно, что главные миноры этих матриц связаны соотношениями.
Похожие диссертации на Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием
