Введение к работе
Актуальность работы. Изучение разнообразных явлений окружающего мира приводит к заключению, что будущее течение многих процессов оказыиается зависящим ие только от их настоящего, но и существенно определяется всей предысторией. Математическое описание указанных процессов может быть осуществлено при помощи уравнений с последействием. Следствием этого является интенсивное развитие теоретических исследований качественных свойств систем с последействием, осуществляемое в различных направлениях, в том числе исследование асимптотического поведения решений таких уравнений и проблемы построения оптимального управления. Полученные при этом результаты находят значительное приложение в автоматическом регулировании, механике, технологии, экономике, медицине, биологии и других отраслях.
Одним из наиболее аффективных общих методов исследования качественных свойств решений функционально - дифференциальных уравнений является второй метод Ляпунова. Предложенный первоначально для систем с конечным запаздыванием этот метод обобщался в различных направлениях и для различных классов уравнений с последействием. Кроме того, наряду с развитием общей теории, изучались также и конкретные уравнения с помощью построения подходящих функционалов Ляпунова. При этом, однако, трудности процесса построения указанных функционалов подчас столь велики, что некоторые авторы отмечают как упрощение исследования возможность избежать применения второго метода Ляпунова. Вместе с тем было замечено, что процедура построения ряда ранее известных функционалов допускает единое формальное описание а может быть также использована при построении новых функционалов для исследования свойств решений.
Исследование систем с последействием сопряжено со значительными трудностями, вследствие которых, точиое аналитическое решение задач оптимального управления системами с последействием удается получить лишь в
исключительных случаях. При этом наряду с обычными для конечномерных задач трудностями решение - задачи управления для систем с последействием сопряжено и с рядом специфических трудностей, обусловленных прежде всего тем, что фазовое пространство этих систем, как правило, бесконечномерно.
В связи с. вышесказанным по-прежнему актуальной является задача исследования устойчивости решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений с последействием, а также разработка различных методов приближенного решения задач оптимального управления такими системами.
Цель работы. Анализ литературных данных показывает, что при использовании .второго метода Ляпунова для конкретных систем с последействием трудности процесса построения подходящих функционалов Ляпунова подчас столь велики, что некоторые авторы отмечают как упрощение исследования возможность избежать применения второго метода Ляпунова. Вместе с тем было замечено, что процедура построения ряда ранее известных функционалов допускает единое формальное описание и может быть также использована и при построении новых функционалов для исследования свойств решений.'В связи с этим, а также так как точное аналитическое решение задач оптимального управления системами с последействием удается получить лишь в исключительных случаях, в работе были поставлены и решены следующие задачи:
получить условия устойчивости зависящие от характеристик рассматриваемого уравнения и логарифмических норм матриц Якоби правых частей уравнений
а) гулевого решения функционально дифференциального уравнения с веско ькими дискретными запаздываниями;
б) нулевого решения функционально дифференциального уравнения
запаздывающего типа общего вида;
в) тривиального решения функционально дифференциального уравнения
нейтрального типа общего вида с дискретными запаздываниями;
разработать алгоритм численного решения задачи оптимального управления по быстродействию рассмотрев его на примере модели хемостата.
- Методы исследования. При решении задачи анализа устойчивости решений указанных типов уравнений применяется процедура, основанная на использовании второго метода Ляпунова для систем с последействием, позволяющая полупить условия устойчивости в терминах характеристик рассматриваемых уравнений. При разработке алгоритма приближенного решения задачи оптимального управления использовался принцип максимума Понтрягина для систем с последействием, метод Эйлера и метод нелинейного программирования - метод модифицированной функции Лагранжа. Для исследования разработанного алгоритма управления использовалось моделирование на ЭВМ.
Научная новдэна. Полученные в диссертации теоретические результаты являются расширением области применения второго метода Ляпупова. На его основе в работе получены условия устойчивости тривиальных решений систем дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов общего вида, сформулированные в терминах характеристик рассматриваемых уравнений и логарифмических норм матриц Якоби их правых частей. При этом построены новые функционалы Ляпунова, полученные с помощью модификации функций Ляпунова для вспомогательных, специальным образом сконструированных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Также, в работе на основе принципа максимума' Понтрягина разработан алгоритм численного решения задачи оптимального управлення по
быстродействию системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием.
Практическая ценность." Полученные в работе теоретические и алгоритмические результаты позволят разработчикам реальных физических устройств и технологических процессов, допускающих математическое описание с помощью дифференциальных уравнений с последействием, определить область устойчивости процессов в пространстве параметров моделей, а также наличие устойчивого положения равновесия. Это даст возможность разработать системы управления, которые приводят рассматриваемую модель в положение равновесия за наименьшее время,' по истечении, которого управление можно отключить и предоставить системе функционировать автономно, что существенно сокращает расходы на управление. Определение области устойчивости необходимо также для определения области действия построенного управления.
В диссертации доказан ряд утверждений, которые позволяют конструктивно проверить устойчивость решений конкретных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с последействием. Очевидна практическая ценность решения задачи оптимального управления системой хемостатного типа с запаздыванием. Полученные результаты могут быть применены к другим реальным задачам.
Внедрение. Программная реализация предложенного в работе алгоритма решения задачи оптимального управления была использована для управления процессом роста биомассы микроорганизмов в лабораторных условиях в ВНИИ селекции п семеноводства овощных культур.
Апрлбяпия работы Основные результаты работы докладывались и были
обсуждены на заседаниях научного семинара "Устойчивость и управление"
кафедры "Кибернетика" МГИЭМ; на конференции "Современные методы
'нелинейною анализа" (Воронеж,1995г.); на IV Международном семинаре
"Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва,1996г.).
ІІубдикаїїии. Основные положения диссертации изложены в четырех ну Л.'і и кани их.
&І>ХК1УРЗ_'І_ЛІ^Є^1-Д}іссе4на_и.!ш. Диссертации состоит из введения, трех глаи, списка литературы и приложении. Объем работы составляет 110 страниц машинописного текста. Библиография содержит 49 наименований, из них 18 на иностранных языках.
Похожие диссертации на Анализ устойчивости и разработка алгоритма управления для некоторых систем с последействием
