Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 6
ГЛАВА І. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ ПРАКТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИКЕНИЯ И ИХ ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ 30
§1. Постановка задач практической устойчивости движения 31
§2. Общие теоремы о практической устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений
§3. Критерии практической устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений 41
§4, Исследование задач практической устойчивости нелинейных систем
§5. Практическая устойчивость систем разностных уравнений
§6. Критерии практической устойчивости в задачах с краевыми условиями
§7. Устойчивость динамических систем на конечном интервале времени, зависящих от параметров
§8. Исследование задач практической устойчивости систем уравнений с частными производными
§9. Задачи совместной устойчивости систем с распре деленными и сосредоточенными параметрами 97
ГЛАВА П. ЧИСЛЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
§10. Постановка задачи и некоторые вспомогательные сведения 99
§11. Теоремы об устойчивости динамических систем в заданных направлениях
§12. Критерии устойчивости по направлению для линейных систем - Алгоритмы расчета устойчивости по направлению для нелинейных систем
Аналитическое представление экстремальных множеств устойчивости и уравнения движения
пучка 112
Задачи стабилизации движения до практической устойчивости И5
Стабилизация движения динамических систем по направлениям 122
ГЛАВА ІУ. МЕТОДЫ УСТОЙЧИВОСТИ В ПРОЕКТИРОВАНИИ ЛИНЕЙНЫХ РЕЗОНАНСНЫХ УСКОРИТЕЛЕЙ 208
§28. Уравнения движения и постановка задачи 09
§29. Оптимизация продольного движения частиц в линейном ускорителе 216
§30. Определение оптимальных параметров структуры линейного ускорителя с учетом продольных и колебаний 225
§31. Методы практической устойчивости в моделировании оптимальной динаміти пучков заряженных частиц 234
§32. Учет более сложных конфигураций управляющих полей и экспериментальных данных в структур линейных ускорителей 251
§33. Исследование задач кулоновского взаимодействия и перспективы их оптимизации 254
§34. Расчет допусков на параметры ускоряющей и фокусирующей систем методами практической устойчивости 260
ГЛАВА У. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЭВМ ОПТИМАЛЬНОЙ ДОШКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ПУЧКОВ 263
§35. Выбор начального управления и оптимизация продольного движения 264
§36. Учет квазипериодичности в численном моделировании оптимальной динамики пучков 272
§37. Численные расчеты оптимизации продольных и радиальных колебаний динамики пучка в линейных ускорителях 276
§38. Параметрическое представление полей в резонаторах и учет сил кулоновского взаимодействия 283
§39. Расчет оптшлальпого группирователя электронов в многорезонаторных клистронах 285
§40. Численный расчет самосогласованных распределений 290
§41. Минзшазация роста эффективного поперечного фазового объема пучка при наличии продольных колебаний частиц в сгустке 293
ЛИТЕРАТУРА 301
Приложения 320
а). Результаты численного моделирования 320
б). Акты внедрения 3
Введение к работе
Математические методы устойчивости и оптимизации широко используются для создания новых систем управления объектами различной природы. Несмотря на большое количество разработанных алгоритмов по устойчивости и оптимизации,приложение их к решению определенного класса прикладных задач требует, как правило, дополнительных теоретических исследований. С другой стороны анализ конкретных задач приводит к новым математическим постановкам и способствует их решению. Развитые в диссертации методы исследования задач практической устойчивости и структурно-параметрической оптимизации обоснованы на классических результатах А.М.Ляпунова, .ЗиС.Понтрягина, Н.Г.Четаева и применяются для формирования оптимальной динамики потоков заряженных частиц в линейных ускорителях.
В настоящее время ускорители заряженных частиц принадлежат к числу наиболее часто встречающихся объектов в современной науке и технике. Они применяются в научных исследованиях, промышленности, сельском хозяйстве, биологии, медицине и т.д. Теория и техника проектирования ускорителей заряженных частиц достаточно хорошо разработана на основе физических принципов ускорения и фокусировки [27,30,84,85,87,124,126,127]. Однако еще отсутствуют надежные методы получения пучков с оптимальными выходными характернетиками. К числу первых работ, посвященных разработке математических методов управления потоками заряженных частиц, следует отнести исследования В.И.Зубова [79J , Д.А. Овсянникова [129-133] и их учеников. В отличие от указанных работ, в диссертации, для решения задач оптш\Жзации динамики пучков, разработаны методы практической устойчивости и структурно-параметрической оптимизации.
Примером может служить схематическое изображение простейшего линейного резонансного ускорителя с трубкагж дрейфа,показанного на Рис.0.1. Ускорение заряженных частщ осуществляется в зазорах между трубчатыми электродами (трубками дрейфа), расположенных вдоль продольной оси. В данном случае трубки с четными номерам подключены к одному полюсу источника переменного напряжения, а с нечетными номерами -к другому. Если в каком-то зазоре частица ускоряется, то для ее ускорения в следующем зазоре необходимо изменить полярность за то время, которое необходимо частице для прохождения длины соответствующей трубки дрейфа.
Как правило, структура системы задается с точностью до некоторых параметров. В этом плане удобно представить поля (управляющие функции) в зависимости от параметров технической системы и внешних воздействий. Отсюда следует целесообразность развития метода структурно-параметрической оптимизации. Такой подход позволяет получать физически реализуемые режимы, построить быстросходящиеся алгоритмы выбора оптимальных параметров системы, представить управляющие поля в удобном для оптимизации виде, проводить учет экспериментальных данных и расчет допусков параметров фушщионирования системы.
Наряду с этим мы должны иметь надежные алгоритмы численного расчета областей захвата частиц в процесс ускорения, определять максимальный по объему захват при различных фазовых ограничениях. Для оценки таких областей, быстрого моделирования сгустков частиц в диссертации разработаны методы практической устойчивости и устойчивости по направлению, позволяющие правильно поставить некоторые задачи управления потокшли заряженных частиц и существенно уменьшить время счета на ЭВМ.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 187 наименований и приложения, которое содержит 26 рисунков, 12 таблиц и акты внедрения.
Доказаны и другого типа теоремы для системы (0.34), исследованы вопросы практической устойчивости систем уравнений в частных производных с постоянно действующими возмущениями и совместных систем с распределенными и сосредоточенными параметрами. Такие задачи возникают при управлении плотностью распределения частиц в пространстве.
Во второй главе излагается методика численного построения экстремальных областей устойчивости, обсуждаются вопросы их оптимизации. Под экстремальным множеством устойчивости понимается все начальные условия системы, при которых не нарушаются заданные фазовые ограничения в динамике. Для численного построения таких областей вводится понятие устойчивости по некоторому направлению -с в момент Ь-Ь0 • Задача состоит в определении такого К? , для которого траектория объекта 02( ) о начальными условиями 0C.(Xo) lc(U С А?) не нарушает заданных фазовых ограничений.
Для системы (0.66) рассмотрены задачи оптишізацин, когда структура функции Ц(Ь) на некоторых участках задается в виде трапеции.
Описаны алгоритмы оптимизации квазппериодических систем, отмечается важность применения подобных вычислительных процедур в прикладных задачах. Введением меньшего количества параметров можно добиться улучшения сходимости итерадионного процесса, достичь выпуклости іжншжзируемого критерия качества.
Ыетод структурно-параметрической оптимизации развивается на задачи с фазовыми и параметрическими ограничениями. Описаны методы итерационного спуска, обоснованные на вычислении функций чувствительности. При этом сами функции чувствительности используются для оценки качества оптимального решила. Предложена методика быстрого расчета функций чувствительностипо совокупности параметров. С помощью методов практической устойчивости приведены алгоритмы расчета допусков параметров системы на оптимальных режимах, исследуются вопросы структурно-параметрической оптимизации с параллельным учетом выполнения ограничений чувствительности траектории к иптіїмизируемшл параметрам. Предлагается методика расчета гарантированной чувствительности динамических систем по оптимизируемым параметрам. В этом случае изучаются уравнения чувствительности с постоянно действующими возмущениями, причем в последние входят ошибкп рассогласования правых частей рассматриваемых уравнений при расчетных и произвольных параметрах системы. В одноїл из параграфов исследуются задачи выбора оптимальных параметров функционирования дынашческих систем для ансамбля траекторий с заданным начальным множеством М0.
Предлагаемые алгоритмы шнышзащш функционалов (0.68), (0.72) псполь зутотся в оптимизации областей практической устойчивости (0.47),(0.49)
Исследованы совместные задачи структурно-параметрической оптимизации систем с распределенными п сосредоточенными параметрами. При движении пучка под действием внешнего электрического высокочастотного поля его потенциал в зазорах определяется из уравнения Лапласа или Пуассона с соответствующими граничными условиями. Задача решения уравнения в частных производных для нахождения потенциала эквивалентна мшшлизации некоторого функционала качества [68,119] . Применяя методы Ритца, Галеркина, невязки мы приходим к системе линейных алгебраических уравнений, коэ Тмциенты которой зависят от оптимизируемых параметров. В этом случае исходная задача шшиьжзащш критерия качества с параллельным расчетом полей в резонаторе ускоряющей структуры свелась к задаче на условный экстремум. Расчет поля с совместной оптимизацией динамики пучка может проводится методами аналитического продолжения, разделения переменных [I24J .
Приведены алгоритмы вычисления вторых производных по компонентам вектора ol . Для критерия.-качества (0.52), на девТхоерещиальных связях (0.54) при условиях (0.55),(0.56), получены формулы /вычисления матрицы вторых производных по точкам переключения. Структурно-параметрическая оптимизация с использованием матрицы вторых производных дает возможность улучшить сходимость итерационных процессов, выяснить достаточные условия локального экстремума.
В последних параграфах третьей главы рассмотрены вопросы сходимости итерационных процедур, уточнения управляющих функций в кусочно-непрерывном классе, алгоритмы структурно-параметрической оптимизации распространены на другие типы функционалов.
В четвертой главе разработанные в диссертации методы практической устойчивости и структурно-параметрической оптшдгаации применяются для решения задач управления пучками заряженных частиц в линейных ускорителях. Используя принцип поэтапного моделирования,предложены общие подходы уортлирования ускоряющих и фокусирующих ПОЛЄЙ для различных по сложности моделей уравнении движения.
Предполагается, что фушщіш o пред ставима в структурио-параі.іетри ческом віще. Причем в качестве параметров оптш.мзации выбирались точки переключения, задающие структуру изменения функции (), вежливы напряжений высокочастотного поля на трубках и т.д. Предложены алгоритмы оптш жзацпи продольного движения, которое описывается дискретной и дискретно-непрерывной системами. Рассмотрены задачи определения оптимальных параметров структуры линейного ускорителя с учетом продольных и радиальных колебаний. Для различных уравнений движения описаны алгоритмы решения подобных задач на основе метода структурно-параметрической оптимизации, приведена методика вычисления частных производных с помощью функций чувствительности.
Особое внимание уделяется применению методов практической устойчивости .для моделирования оптимальной дішашки потоков заряженных частиц, анализируются их преимущества перед общепринятым дискретным моделированием. Показывается, что основная задача ускорительной техники о максимальном захвате частиц в процесс ускорения совпадает с оптшжзационными задачами практической устойчивости. Описаны эффективные методы определения экстремальных областей захвата с помощью разработанных методов устойчивости. Определение формы сгустка в динамике осуществляется моделированием дифференциального уравнения Ляпунова или фундаментальной системы решений.
Таким образом,при управлении пучками траекторий мы имеем дело с задачами минимаксной структурно-параметрической оптшлизации. Минимаксный характер таких постановок проявляется в рассмотрении функционалов типа (0.68),(0.72) и достижении качества пучка для всего ансамбля из начального множества ш .
Описана методика учета сложных конфигураций ускоряющих полей и экспериментальных данных в оптимизации структур линейных резонансных ускорителей. Рассмотрены задачи структурно-параметрической оптшжзации динамики пучка в случае, когда управляющие поля являются решением соответствующего уравпершя в частных производных. При этом напряженности полей представляются как функции оптимизируемых параметров. Приведены алгоритмы расчета кулоновских сил на основе метода "макрочастиц". В таких процедура}: основное внимание уделяется нахождению координат маїсрочастиц в один момент времени, так как в оп-тшжзацпонных процедурах используются системы дифференциальных уравнении движения с независимой продольной координатой. Если плотность распределения объемного заряда представить как фушщшо, зависящую от паршлетров, то для расчета оптимальной динаїжки пучков непосредственно применяются и алгоритмы струкутрпо-параметрической оптимизации. Предлагается методика учета кулоновских сил с помощью методов практической уст ойчивос ти.
В последнем параграфе четвертой главы описан подход к расчету допусков на параметры ускоряющей и фокусирующей систем с помощью методов практической устойчивости. Приведены алгоритмы решения подобных задач для различных уравнений движения, записаны оценки изменения параметров системы,в пределах которых выполняются ограничения на функции чувствительности.
Пятая глава посвящена чпслешюі.іу моделированию на ЭВМ оптимальной динашки потоков заряженных частиц. Решение конкретных задач приведено по схеме усложнения математической модели: выбор начального управления и оптимизация продольного движения; решение задачи о максимальном захвате частиц в процесс ускорения или коррекция параметров оптимизации с учетом продольных и радиальных колебаний:, оптимизация структур линейных ускорителей ігри малых токах пучка с предварительным расчетом полей в резонаторе и учетом экспериментальных данных; оценка предельного значения тока пучка на оптимальных режимах и учет сил кулонов ского взаимодействия при расчете оптимальных характеристик структуры; определение допусков па параметры системы и погрешностей моделирования процесса. По описанной методике с помощью методов практической устойчивости и структурно-параметрической оптигжзацип решены задачи проектирования линейных ускорителен семизарядных ионов урана и протонов в различных вариантах, по такой же схеме проводился численный расчет оптимальной динамики пучка в ускорителе с асимметричной фазone-ременной Фокусировкой, для одной из частей ускоряющего комплекса ыезонной фабрики проведена мшшлизація элективного поперечного фазового объема пучка при наличии продольных колебаний частиц в сгустке [!&"] , методами параметрической оптимизации решена задача нахождения самосогласованного распределения поля пучка [i?] , проведен расчет оптимальных параметров груййрователя электронов трехрезонаторного пролетного клистрона с целью повышения к.п.д. установки. Результаты численных расчетов на ЗВІЛ указанных прикладных задач иллюстрируются рисунками и таблицами. Применение такого подхода позволяет улучшить качество динамики пучка на 20-30/а по сравнению с расчетами классическим способом.
Основные научные результаты диссертации докладывались на Ы и ІУ Всесоюзных конференциях по оптимальному управленшо в механических системах /г.Киев, 1978 г.; г.Ыосква 1982 г./, на ГУ Четаевской конференции по устойчивости движении, аналитической механике и управленшо движением /г.Ыосква, 1982 г./, на 1,П,Ы Республиканских конференциях "Вычислительная математика в современном научно-техническом про 29 грессе (г.Канев,1974г.; г.Киев, 1978г.; г.Канев, 1982г.), на семинаре по аналитической механике и устойчивости движения при Московском-госуниверситете, научном семинаре факультета прикладной математики - процессов управления Ленинградского госуниверситета, семинаре кафедры систем автоматического регулирования МВТУ им.Баумана, в ВЦ АН СССР, республиканском семинаре "Моделирование и оптимизация сложных систем" Киевского госуниверситета, семинаре Московского радиотехнического института АН СССР, семинаре Института кибернетики им.В.М.Глушкова АН УССР "Управление объектами с распределенными параметрами".
Работа выполнена в рамках ЦКНТП ПШТ СССР 0.Ц.027 (Постановление ИСНТ, Госплана СССР, АН СССР М74/250/І32 от 12.12.80г.), КВДТП "АСУ-РЕГИОН" (Приказ Минвуза УССР №189 от 28.04.81г.), КВДТП "АСНИ" (Приказ Минвуза УССР Ж378 от 24.07.81г.) "Разработка методов моделирования, идентификации и оптимизации сложных динамических объектов и создание на их основе комплекса программ для автоматизации обработки натурных испытаний, структурного проектирования систем управления летательными аппаратами и линейными ускорителями" (Номер государственной регистрации 8І005І06).
Основное содержание работы опубликовано в тридцати шести печатных работах.
Автор выражает глубокую благодарность чл.-корр. АН УССР Б.Н.Публику и профессору Н.Ф.Кириченко за постоянное внимание к работе, профессору Б.П.Мурину, д-ру технических наук В.В.Кушину, профессору Л.С.Соколову, доц.Д.А.Овсянникову, кандидатам технических наук Б.И.Бондареву, А.П.Дуркину, П.А. Федотову за обсуждения ряда прикладных задач пятой главы по формированию оптимальной динамики заряженных пучков.
