Содержание к диссертации
Введение
1. Автоматические системы с релейными, релейно-импульсными и логическими алгоритмами управления 16
1.1. Традиционные модели релейных систем управления 16
1.1.1. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 17
1.1.2. Типовая структура нелинейных систем управления с обратной связью 19
1.1.3. Релейные элементы с однозначными статическими характеристиками (СХ) 20
1.2. Проблема описания релейных элементов с многозначными СХ 21
1.2.1. Безынерционные релейные элементы с двузначными СХ. 21
1.2.2. Задание релейных (логических) алгоритмов управления в виде совокупности правил и алгебры логики 25
1.2.3. Задание логики переключений реле с помощью графа переходов между ветвями СХ. 27
1.3. Примеры релейно-импульсных преобразователей и проблемы их описания 28
1.3.1. Система управления ориентацией космического аппарата 28
1.3.2. Электромеханическая позиционная система 31
1.3.3. Формирователь сигнала с широтно-импулъсной модуляцией 33
1.4. Задачи и методы исследования релейных систем управления 35
1.4.1. Задачи исследования релейных систем 35
1.4.2. Традиционные методы исследования нелинейных систем 37
1.5. Программные средства моделирования и анализа нелинейных динамических систем 41
1.6. Необходимость развития моделей и методов исследования релейных систем. Постановка задач диссертации 46
Выводы по главе 1 52
2. Разработка гибридных моделей релейных и релейно-импульсных систем управления 55
2.1. Формализация описания динамических систем с неоднозначными разрывными характеристиками 55
2.1.1. Системы дифференциальных уравнений 55
2.1.2. Структурированные модели релейных систем 56
2.1.3. Автоматное описание релейных преобразователей и гибридные модели систем с обратной связью 58
2.2. Выбор формы представления гибридных моделей релейных, релейно-импульсньгх систем управления 61
2.2.1. Модель Тавернини 61
2.2.2. Модель Бэка—Гукенхеймера—Майера 62
2.2.3. Модель Брокетта 63
2.2.4. Гибридные автоматы 64
2.2.5. Модель Нероде—Кона 65
2.2.6. Выбор формы представления и задачи формализации описания релейных преобразователей 66
2.3. Математическое описание релейных систем управления в форме гибридных моделей Нероде—Кона 68
2.1.1. Описание непрерывной части 68
2.3.1. Описание конечного автомата 70
2.3.2. Модели интерфейса 72
2.4. Автоматные модели безынерционных преобразователей с кусочно-постоянными характеристиками 74
2.4.1. Преобразователи с однозначными статическими характеристиками 74
2.4.2. Аналого-символьный интерфейс 75
2.4.3. Преобразователи с многозначными статическими характеристиками 75
2.4.4. Примеры построения автоматных моделей 76
2.5. Описание конечного автомата с учетом начального состояния 79
2.6. Минимизация конечного автомата 81
2.7. Модели преобразователей с таймированными характеристиками 85
2.7.1. Преобразователи с таймированными характеристиками 85
2.7.2. Таймированныеавтоматы 86
2.7.3. Модель таймированных преобразователей на основе автомата 87
2.8. Реализация преобразователей с релейно-импульсными характеристиками 91
2.9. Преобразование таймированного автомата 93
2.10. Минимизация таймированного автомата 102
Выводы и результаты по главе 2 105
3. Разработка методов анализа состояний равновесия и периодических режимов в гибридных системах управления 107
3.1. Локализация состояний равновесия гибридных систем и прогнозирование периодических режимов 107
3.1.1. Локализация состояний равновесия гибридных систем графическим способом 108
3.1.2. Статические характеристики замкнутых гибридных систем 109
3.2. Численный анализ состояний равновесия гибридных систем 112
3.2.1. Метод простой итерации 112
3.2.2. Устойчивость состояний равновесия 113
3.3. Анализ периодических режимов на базе программ компьютерного моделирования. Общие положения 115
3,4- Особенности исследования периодических процессов в гибридных системах управления 121
3.5. Классификация форм периодических процессов в гибридных системах и параметризация искомого решения 124
3.6. Прогнозирование периодических процессов по результатам анализа статических характеристик гибридных систем 128
37, Методы и алгоритмы идентификации установившихся реакций разомкнутых гибридных систем 130
3,8, Методика и примеры анализа периодических режимов 133
3.8. L Методика поиска периодических режимов в гибридных системах 134
3.8.2. Пример исследования периодических реэюимов 135
Выводы и результаты по главе 3 138
4, Компьютерное моделирование, анализ и реализация релейно-импульсных систем управления 140
4.L Методика анализа релейно-импульсных систем управления 140
4.2. Разработка алгоритмического обеспечения методики 143
43. Реализация гибридных моделей релейных преобразователей 146
4.3.1. Программная реализация релейно-импульсного преобразователя 146
4.3.2. Модель релейного преобразователя в среде MATLAB/Stateflow 149
433. Модель релейного преобразователя в среде MATLAB/Simulink. 153
4.4. Реализация релейно-импульсного преобразователя с многозначной характеристикой 159
4.5, Организация вычислительных экспериментов по уточнению параметров периодических колебаний 163
4.5. L Автоматизация выбора параметров метода численного решения дифференциальных уравнений при компьютерном моделировании в задаче поиска периодических решений 163
4.5.2, Идентификация установившихся колебаний 164
4,6. Лабораторный макет системы управления положением вала двигателя с релейно-импульсным управляющим устройством 168
4.6. L Описание макета 168
4.6.2. Гибридная модель лабораторного макета 172
АЛ. Анализ позиционной системы управления 176
Заключение 184
Список литературы 186
- Задание релейных (логических) алгоритмов управления в виде совокупности правил и алгебры логики
- Автоматное описание релейных преобразователей и гибридные модели систем с обратной связью
- Статические характеристики замкнутых гибридных систем
- Реализация релейно-импульсного преобразователя с многозначной характеристикой
Введение к работе
Предметом исследований и разработок диссертационной работы является развитие методов анализа периодических режимов в автоматических системах с релейно-импульсными и логическими алгоритмами управления по гибридным моделям.
Недорогие и надежные релейные системы управления широко применяются в различных областях техники. Известны релейные системы автоматического регулирования температуры, напряжения, числа оборотов, системы автоматической подстройки частоты, автоматические потенциометры, автоколебательные конверторы, автопилоты, системы автоматической ориентации космических аппаратов и многие другие. В релейных и релейно-импульсных системах управления текущее состояние объекта управления известно с точностью до принадлежности к конечному множеству ситуаций, а воздействия на объект также принимают значения из конечного множества малой мощности. В силу этого алгоритмы управления, естественно, оказываются логическими, а в системах одновременно имеют место как непрерывные, так и дискретные по уровню сигналы, что свидетельствует о гибридной сущности релейных систем.
Релейные автоматические системы в разное время становились предметом пристального изучения многих специалистов в области нелинейной динамики, теории и практики автоматического регулирования и управления. Трудно дать исчерпывающий обзор работ по релейным и логическим системам управления, по системам с переменной структурой и разнообразным способам коррекции переключением сигналов и т, п. Наиболее известными в этой области являются работы Я. 3. Цыпкина, А, А. Кампе-Немма, А- С. Клюева, Б. Н. Петрова, М- В, Стариковой, С. В. Емельянова, Ю. В, Долголенко, Ю. И. Неймарка, Ґ. С. Поспелова, Б. Н. Наумова, Р. А. Нелепина, С. М. Федорова, Е. Н. Розенвассера,
P. МІОсупова, Е. И. Хлыпало, С. Н. Шарова, А, А. Вавилова, Д. X. Имаева, а также зарубежных авторов Дж, Тэлера (G. J. Thaler), М. Пестеля (MRPastel), Д.П,Атертона (D.P. Atherton), Б, Хамеля (В, Hamel), И. Флюгге-Лотца (I. Flugge-Lotz) и др.
В последние два десятилетия развитие техники и технологий привело к повышению интереса к переключающимся системам и к гибридным системам, образованным подсистемами различных типов и уровней иерархии. При этом огромное число публикаций посвящено языковым проблемам, т. е. формальному описанию гибридных систем [64], [98], [96], [99], [107]. Гораздо меньше работ выполнено по развитию методов анализа и синтеза этого класса систем автоматического управления.
Контур управления в релейных системах замыкается только в моменты смены событий, когда изменения управляемой переменной приводят к переключениям реле. Для большинства таких систем нормальным режимом функционирования оказывается автоколебательный режим. Периодические переключения реле обеспечивают, с одной стороны, восполнение недостатка текущей информации, а с другой — необходимое разнообразие управляющих воздействий- Отсюда наиболее востребованными на практике являются методы исследования периодических режимов в релейных системах.
Методам анализа периодических режимов в релейных системах с обратной связью посвящено огромное число публикаций отечественных [6], [13], [35], [37], [39], [41], [45], [46], [57], [71], [73], [84], [85] и зарубежных [54], [86], [105], [115], [116], [126] специалистов- Релейные системы управления традиционно рассматривались как примеры существенно нелинейных систем. Точные и приближенные, аналитические и графоаналитические методы разработаны применительно к расчетным структурам и типовым релейным элементам. На таких примерах иллюстрируются метод фазовой плоскости [6], [12], [45], [54] и метод сечения пространства парамет-
ров [74], приближенные методы гармонического баланса [13], [44], [45], [57] и статистической линеаризации [53], [73], анализа устойчивости положений равновесия и процессов [73], [23] и другие.
Для простейших релейных систем разработаны точные методы анализа периодических режимов. . Частотный метод Цыпкина [84], [85] и временной метод Хамеля [54], [106] используют тот факт, что форма колебаний на выходе типовых релейных элементов известна, что позволяет свести задачу к поиску нескольких параметров. Однако графоаналитические методики, базирующиеся на традиционном описании релейных преобразователей в виде статических характеристик (СХ), не позволяют исследовать периодические процессы в нелинейных системах высокого порядка и адекватно описывать сложные алгоритмы. Непосредственное применение программ компьютерного моделирования для поиска периодических режимов также сопряжено со значительными трудностями. Необходима радикальная модернизация способов математического описания, анализа и имитации релейных и логических систем управления на базе современных компьютерных технологий. Противоречие между ограниченными возможностями традиционных способов анализа и потребностями практики в новых технологиях исследования указанного класса систем делает актуальной научную задачу разработки методов исследования релейных и логических систем управления по гибридным моделям.
Вообще говоря, имея быстродействующие программы компьютерного моделирования, многократными вычислительными экспериментами можно отыскать устойчивые положения равновесия и периодические режимы в системах не очень высокого порядка. Вместе с тем, для систем высокого порядка с произвольными логическими алгоритмами управления непосредственное применение универсальных программ для анализа частных решений сопряжено со значительными трудностями. Назовем некоторые из них:
отсутствует единая методика реализации релейно-импульсных и логических систем управления в среде универсальных программ компьютерного моделирования;
трудно планировать вычислительные эксперименты с учетом априорной информации о форме решения;
сложно организовать целенаправленный поиск в пространстве состояний, например, применять градиентные методы;
таким способом практически нельзя отыскать неустойчивые решения.
Актуальность темы диссертации. Развитие компьютерных технологий создало предпосылки для разработки новых подходов к исследованию нелинейных систем, в частности, к анализу особых траекторий — состояний равновесия и периодических режимов. Это позволяет увеличить разнообразие исследуемых систем и повысить качество результатов исследований:
система может иметь произвольную структуру, непрерывная часть может быть нелинейной;
релейный элемент может быть динамическим (частотно-зависимым), с нетиповой характеристикой;
установившиеся процессы могут быть в виде колебаний сложной формы;
методы исследования могут быть принципиально точными.
Вместе с тем, для более полного использования потенциальных воз
можностей компьютеров в исследованиях релейных, релейно-импульсных
и логических систем управления необходим системный подход к пробле
ме. Реализация нового подхода связана с выполнением целого ряда усло
вий, с разработкой методологии и методов исследований, дополнительно
го алгоритмического и программного обеспечения. Во-первых, необходи-
мо разработать формализованное и достаточно унифицированное математическое описание широкого класса релейных, релейно-импульсных и логических систем управления, ориентированное на современные программные средства компьютерной имитации и расчета. Во-вторых, из всего многообразия существующих подходов и методов нелинейной теории управления следует выбрать перспективные для развития принципиально точные методы исследования, наиболее отвечающие современному состоянию вычислительной техники. В-третьих, стандартные возможности программ необходимо дополнять оригинальными разработками, позволяющими решать задачи анализа в специфических для релейных систем управления постановках.
Целью диссертационной работы является разработка методов анализа установившихся процессов в релейных системах управления по гибридным моделям.
Для достижения цели необходимо решить ряд основных задач.
Разработка гибридных моделей релейно-импульсных и логических систем управления и методов их построения и преобразования.
Разработка метода анализа равновесных режимов в релейно-импульсных системах с обратной связью.
Разработка точного метода аншгаза периодических режимов в релейно-импульсных системах управления.
Разработка алгоритмического и программного обеспечения методов анализа установившихся процессов,
Имплементация гнбридных моделей релейно-импульсных систем в среде универсальных программ компьютерного моделирования.
6. Реализация лабораторных макетов релейно-импульсных систем
управления, расчет установившихся процессов по их гибридным моделям,
компьютерное моделирование и экспериментальные исследования.
Методы исследования: теория автоматического управления, теория автоматов, теория графов, численные методы и компьютерное моделирование.
Основная идея работы заключается в развитии точных методов Цыпкина и Хамеля для исследования периодических режимов в релейных, релейно-нмпульсных и логических системах управления по гибридным моделям на базе современных программ компьютерного моделирования. Принятый в диссертации подход к анализу периодических процессов базируется на так называемых прямых методах. Традиционно прямыми называют такие методы приближенного решения задач теории дифференциального и интегрального уравнений, которые сводят эти задачи к конечным системам алгебраических уравнений [49], [80], В основе прямого метода лежит проверка того, удовлетворяет ли некоторая наперед заданная функция исходному уравнению. Если задается форма решения, то задача параметризуется; вместо функции времени ищутся параметры периодической функции известной формы, при подстановке которой в уравнение должно получаться тождество.
Задача поиска периодических решений несколько напоминает краевую задачу. В случае машинно-ориентированного подхода прямые методы имеют алгоритмическую природу, а процедура становится поисковой- Реализация подхода наталкивается на ряд проблем. Во-первых, программы компьютерного моделирования численно решают дифференциальные уравнения при заданных начальных условиях, т. е. решают задачу Коши. При поиске периодических решений начальные условия, т. е, координаты какой-либо точки предельного цикла заведомо не известны. Однако можно воспользоваться тем, что для искомого решения они периодически совпадают. Во-вторых, модели систем имеют программную форму. Следовательно, необходимо разработать метод генерирования и подстановки в компьютерную модель параметризованной периодической функции-
кандидата на искомое решение. В-третьих, необходимо разработать рекомендации по выбору метода и параметров численного решения дифференциальных уравнений с неоднозначной разрывной правой частью. Научные результаты, выносимые на защиту:
Гибридные модели релейно-импульсных систем управления.
Метод перечисления точных форм периодических колебаний в гибридных системах с обратной связью.
Методика поиска параметров периодических колебаний на базе программ компьютерного моделирования.
Достоверность полученных результатов обеспечивается применением апробированных программных средств компьютерного моделирования, тщательным выбором численных методов и алгоритмов обработки данных, сопоставлением результатов решения иллюстративных и практических примеров с результатами моделирования, а также близостью результатов расчетов с экспериментальными данными, полученными на лабораторных макетах релейно-импульсных систем управления.
Новизна научных результатов заключается в следующем,
1. Гибридные модели релейно-импульсных систем управления отличаются тем, что используют автоматное представление преобразователей с неоднозначными кусочно-постоянными статическими характеристиками, что позволяет единообразно описать системы с релейными, релейно-импульсными и логическими алгоритмами, упростить компьютерное моделирование систем и аппаратную реализацию управляющих устройств,
2- Метод перечисления точных форм периодических колебаний в гибридных системах- с обратной связью, отличается тем, что включает в себя анализ равновесных состояний гибридных систем и замкнутых маршрутов в графах переходов автоматов, что позволяет уменьшить неопределенность относительно точных форм периодических процессов.
3. Методика поиска параметров периодических колебаний на базе программ компьютерного моделирования, отличается тем, что является компьютерной версией прямых методов теории дифференциальных уравнений и использует процедуру подстановки в компьютерные модели точных форм периодических решений с последующей идентификацией установившихся реакций разомкнутой системы, что позволяет автоматизировать поиск искомых параметров колебаний.
Практическая ценность результатов диссертации определяется тем, что разработанные модели, методы, алгоритмы и программы представляют собой комплекс автоматизированного анализа равновесных режимов и периодических процессов в релейных, релейно-импульсных и логических системах управления. Комплекс позволит проектировать автоматические системы с новыми логическими алгоритмами для управления техническими объектами на основе малой информации о состоянии объектов и при недостаточном разнообразии уровней управляющих воздействий. Специализированная объектно-ориентированная программная реализация релейных и релейно-импульсных преобразователей с многозначными характеристиками, позволяет минимизировать вычислительные затраты и использовать преобразователи в системах реального времени.
Реализация результатов работы. Практическое значение диссертации подтверждается актами о внедрении результатов исследования в ОАО "Концерн "Гранит Электрон"; в разработках ЗАО "Русская Авионика" и ЗАО "Ассоциация предприятий морского приборостроения11, на кафедре Автоматики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ". Часть вычислительных экспериментов по компьютерной имитации выполнена в рамках Договора о межвузовском сотрудничестве с Техническим университетом Ополе (Польша) по теме: "Внедрение компьютерных программ в учебный процесс вуза и повышение квалификации преподавателей".
Апробация работы. Результаты научных и практических исследований автора докладывались на 7 научно-технических конференциях; 4-я конференция молодых ученых "Навигация и управление движением", 12-14 марта 2002 г., С-Петербург, VIII международная конференция "Современные технологии обучения11, 24 апреля. 2002 С-Петербург, Всероссийская научная конференция "Проектирование научных и инженерных приложений в среде Matlab", Москва, 28-29 мая 2002 года, V Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям, С-Петербург, 25-27 июня 2002 года, Всероссийская научная конференция "Управление и информационные технологии", С-Петербург, 3—4 апреля 2003 года, 3-я Всероссийская научная конференция "Управление и информационные технологии", С-Петербург, 30 июня — 2 июля 2005 г,, 4-я Всероссийская научная конференция "Управление и информационные технологии", С-Петербург, 10—12 октября 2006 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, из них 3 статьи в журналах из перечня изданий, рекомендованных ВАК, 9 работ в материалах всероссийских и международных научных и научно-технических конференций, два доклада на международных конференциях, одно свидетельство на полезную модель, один патент на полезную модель, один патент на изобретение.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 126 наименования. Основная часть диссертации изложена на 144 страницах машинописного текста. Работа содержит 72 рисунка и 10 таблиц.
Задание релейных (логических) алгоритмов управления в виде совокупности правил и алгебры логики
Релейно-импульсные преобразователи не являются безынернцион-ными, их реакция зависит не только от входного сигнала, но и от интервалов времени переключения воздействий.
В системе управления положением космического аппарата ([16], [61], [86], [105], [116]) для управления используются два реактивных сопла ("вперед" и "назад"). Реактивные сопла могут быть полностью закрыты или полностью открыты. Структурная схема системы показана на рис, 1,9.
В моменты переключения пороговых элементов имеем информацию о знаке скорости. При соответствующем выборе алгоритма управления, использующего эту информацию, можно без дополнительной обратной связи по скорости улучшить процессы в системе. Точное вычисление скорости в любой момент времени по данным датчика положения затруднительно.
Как видно из схемы рис. 1.9, на объект управления могут выдаваться воздействия трех уровней: "вперед 1, "ноль", "назад", т. е. выходной алфавит автомата управляющего устройства состоит из трех символов.
Простейший релейно-импульсный алгоритм управления основан на включении соответствующего двигателя в течение заданного промежутка времени при достижении сигналом ошибки определенных уровней. Число символов входного алфавита определяется количеством уровней сигнала ошибки, при которых "включаются" импульсы. В рассматриваемом примере таких уровней шесть (по три для положительных и отрицательных значений сигнала ошибки), следовательно, все множество значений сигнала ошибки разбивается на семь интервалов, т. е. входной алфавит логического управляющего устройства состоит из семи символов.
На рис, 1Л О приведена СХ управляющего устройства, используемого в системе ориентации космического аппарата. Однако рис. 1Л0 является только условным изображением характеристики- Длительность импульсов непосредственно не зависит от входной величины UB и, соответственно, изображение импульсов в координатах U(UE) не соответствует действительности.
Запишем систему логических правил, описывающую алгоритм управления ориентацией космического аппарата:
ЕСЛИ /в увеличивается и пересекает уровень Щ ТО вырабатывается импульс длительностью АЦ и U = 1
ЕСЛИ UB увеличивается и пересекает уровень U ТО вырабатывается импульс длительностью Д?2 и U = 1
ЕСЛИ UB увеличивается и пересекает уровень /дг ТО вырабатывается импульс длительностью Д дг и U = 1
ЕСЛИ/в СТОг/ = 1
ЕСЛИ UB уменьшается и пересекает уровень -Щ ТО вырабатывается импульс длительностью Аґ] и U = -1
ЕСЛИ UB уменьшается и пересекает уровень -Иі ТО вырабатывается импульс длительностью Д?2 и U = -1
ЕСЛИ UB уменьшается и пересекает уровень - U ТО вырабатывается импульс длительностью Д/дг и U = -1 ЕСЛИ/В С ТО U = -l Во всех остальных случаях (1 = 0.
Здесь; UB - величина отклонения, U - воздействие (U = 1 - открыто сопло "вперед", U = -\ - открыто сопло "назад", U-0 - сопла закрыты), U\, ..., Utf7 С - заранее заданные константы.
Как видно из приведенного примера, для описания даже относительно простого алгоритма релейно-импульсного управления потребовалось значительное количество логических правил, каждое из которых содержит сложные логические условия,
Автоматное описание релейных преобразователей и гибридные модели систем с обратной связью
Как следует из приведенного анализа, в традиционных моделях релейных и релейно-импульсных систем управления нет единообразия описания, что затрудняет построение формальных языков и, как следствие, компьютерную и аппаратную реализацию, разработку автоматизированных методов анализа и синтеза. По нашему мнению, проблема описания частично обусловлена стремлением сохранить традиционную "аналитическую" форму систем уравнений (2.1), произвольным образом комбинируя аналитические и логические выражения, дополненные их словесными уточнениями.
Решение проблемы естественно искать на пути четкого разделения описания—на аналитические выражения для ветвей многозначных разрывных функций и на логические условия перехода между ними. В работах [8], [10] для описания логики переключений многозначных функций с переходами в точках разрыва предложены так называемые графы переходов между ветвями (см., например, рис. 1,5,6, 1.6, 6, 1.7,61.8,6). Хотя для описания логических условий существует множество способов, математическую модель удобно представлять как конечный автомат. В работах [10], [108] предложено соответствующее "автоматное" представление кусочно-непрерывных многозначных безынерционных не-линейностей в виде структуры, изображенной на рис, 2.2, а. Переменные У, Заявляются последовательностями, составленными из символов входного X и выходного У алфавитов автомата. Множество S состояний автомата определяется многозначностью СХ реле. Детектор событий, представляющий собой ряд пороговых элементов, пороги которых соответствуют точкам разрыва, кодирует входные символы автомата в виде бинарных векторов. Декодер ставит в соответствие символам на выходе автомата у номера /однозначных функций Fj(x)9 описывающих ветви СХ,
В случае релейных (кусочно-постоянных) СХ структурное представление упрощается, так как ветвям СХ соответствуют постоянные числа. На рис. 2.2, б изображена упрощенная структурная схема описания в виде автомата в окружении интерфейса.
В результате такого разделения появляются модели многозначных кусочно-постоянных нелинейных преобразований в терминах вход-состояние-выход.
В результате автоматного представления релейных СХ модель замкнутой системы управления принимает структуру, изображенную на рис. 2.3. Система образована непрерывной и дискретной частями, взаимодействующими между собой посредством интерфейса. Интерфейс состоит из двух частей—информационной (шифратора, детектора событий) и исполнительной (декодера, дешифратора). Таким образом, получается гибридная модель логико-динамической системы, образованной непрерывной частью и дискретно-событийной частью.
Как будет показано далее, в соответствии с современной терминологией модель, изображенная на рис. 2.3, соответствует гибридной модели типа Нероде—Кона [114].
В последние годы внимание многих исследователей и проектировщиков было направлено яг описание и исследование гибридных систем- В литературе гибридными называются системы, содержащие сигналы как непрерывные, так и дискретные по уровню, независимо от того, непрерывно или дискретно время. Большое количество работ посвящено именно формам представления гибридных систем [93], [95], [98], [99].
Для представления систем, одновременно содержащих взаимодействующие непрерывные и дискретные элементы, существует множество моделей. Это, прежде всего, модель Тавернини [123], модель Бэка— Гукенхеймера—Манера [95], модель Нероде—Кона [114], модель Брокетта [99], [100], а также представление рассматриваемых систем в виде гибридных автоматов [89], [111], [110].
Если многозначные кусочно-постоянные характеристики описаны в терминах вход-состояние-выход, т. е. для них принято автоматное представление, модели релейных систем являются подклассом гибридных систем. Рассмотрим наиболее часто цитируемые формы представления гибридных систем с целью выбора соответствующих форм, для которых далее будут разрабатываться методы анализа.
Статические характеристики замкнутых гибридных систем
Рассмотрим модель статики системы расчетной структуры (см. рис, 3Л). Необходимо получить функцию z = Ф(#), которая описывает зависимость выхода замкнутой системы от входа в равновесных состояниях, если такие состояния существуют.
Легко показать справедливость следующего свойства: если функции F(x), р(у) являются кусочно-линейными относительно своих аргументов, то функция O(g) также кусочно-линейна. Вследствие этого построение СХ замкнутой системы сводится к пересчету координат "узлов" кусочно-линейных характеристик с последующим их соединением отрезками прямых.
Формулы пересчета координат "узлов" СХ у = F(x) для получения соответствующих координат z = Ф(#) просты: Если непрерывная часть линейна, т, е. z - Ку, то: z - Ку; g-x+z.
Пусть реле с зоной нечувствительности вместе с линейной частью z-.Kyобразуют замкнутую систему (см. рис. 3.1). Пересчитаем координаты "узловых" точек СХ замкнутой системы. Точка (х = Ъ, у = 0) остается на месте: z = Ky = 0; g=x+z=b+Q=b. Точка х-Ь,у-С) перемещается: z = KC; g = b + KC как это иллюстрируется на рис. 3.4. Координаты точек (-, 0); (-bt - С) пересчитываются аналогично.
Здесь вместо точек разрыва релейной характеристики получается и смещение вдоль оси абсцисс. Соответствующие точки на рис. 3.4 соединены штриховой линией. Таким образом, СХ замкнутой системы не определены для некоторых интервалов. Действительно, для таких значений входного сигнала нет положений равновесия.
Численное решение уравнения (3.1) или уточнение локализованного решения графическим способом можно проводить методом простой итерации (алгоритм Пикара) [80]. Вместо уравнения (3.1) рассматривается разностное уравнение первого порядка 4+\=fi k)-S-KF{xk}\ х0. (3.2)
Теорема: Если алгоритм Пикара для уточнения состояний равновесия гибридной системы с кусочно-постоянной СХ релейного элемента сходится, то он сходится за конечное число шагов.
Доказательство следует из того, что сходимость алгоритма означает устойчивость положения равновесия разностного уравнения (3,2). Для анализа устойчивости воспользуемся первым методом Ляпунова. Из анализа уравнения линейного приближения где х — исследуемое состояние равновесия, ясно, что для кусочно-постоянных характеристик производная равна нулю, т. е. линеаризованное разностное уравнение имеет вид Ьх +\ - 0.
Характеристический полином такого уравнения имеет единственный нулевой корень, что и свидетельствует о сходимости за один шаг [28], [50], [73], [23], [4]. Линеаризованное уравнение справедливо не только для малых отклонений (случай, когда положение равновесия приходится на точку разрыва исключим из рассмотрения).
Таким образом, если в процессе итераций очередной шаг приводит на ту ветвь, где находится точка равновесия, то далее процесс сходится за один шаг.
Следствие: Если начальное приближение XQ принадлежит той же ветви СХ, что и искомое решение, то алгоритм сходится за один шаг. В общем случае алгоритм может и не сходиться. В качестве примера приведем случай системы с реле с зоной нечувствительности (см. рис. 3.2), Если выбрать XQ b, ТО Х\ =-КС; если КС Ъ, то попадает на ветвь, где находится искомое решение. Условие сходимости выражается так:
КС/Ь 19 т. е. нормированное усиление контура должно быть менее единицы. Отметим, что для этого примера выполнение приведенного условия означает сходимость алгоритма при любых начальных приближениях за два шага (устойчивость разностного уравнения (3,2) "в целом").
Если же КС Ъ, то х\ попадет на другую ветвь и х = КС b; далее процесс периодически повторяется, но не сходится.
Реализация релейно-импульсного преобразователя с многозначной характеристикой
Выбор метода и параметров численного решения дифференциальных уравнений является определяющим фактором реализации разработанного метода поиска периодических режимов.
Разработано множество методов численного решения дифференциальных уравнений с автоматизированным выбором параметров метода решения [80], [113]. Основные из них реализованы в программе MATLAB/Siraulink. В частности, в MATLAB/Simulink реализованы методы с переменным шагом интегрирования, которые выбираются автоматически исходя из заданной точности решения.
При решении задачи поиска периодических решений в гибридных системах важна точность поиска моментов переключения (параметров периодического сигнала выбранной формы). При решении дифференциальных уравнений с разрывной правой частью моменты переключения принципиально определяются с ограниченной точностью. Найти зависимость точности определения моментов переключения от метода и параметров численного решения затруднительно, а во многих случаях невозможно.
Алгоритм поиска установившихся режимов, описанный в 3.8, предусматривает автоматическое изменение параметров метода решения дифференциальных уравнений непрерывной части в случае, если заданная точность их решения не позволяет найти момент наступления установившегося режима с точностью, удовлетворяющей принятому критерию.
При выполнении алгоритма поиска периодических решений, описанного в 3.8, после нескольких шагов следует анализ точности решения.
Для этого возможно применение двух способов.
1. Производится повторное решение дифференциальных уравнений с более высокой точностью и более строгим критерием поиска установившегося режима; далее производится сравнение результатов (значений параметров параметризованного периодического сигнала на выходе аналого-символьного интерфейса). Если результаты совпадают с точностью до заданного критерия, то параметры методов были выбраны правильно, если нет, то увеличивается точность методов и повторяется решение. Данный способ применяется при автоматическом выборе шага интегрирования в численных методах решения дифференциальных уравнений.
2. Производится анализ монотонности изменения параметров параметризованного периодического сигнала на выходе аналого-символьного интерфейса ("сдвига фаз"). Если на заданном числе шагов монотонность меняется более заданного количества раз, то увеличиваем точность методов и повторяем решение (например, если за 5 шагов монотонность меняется более двух раз).
Средства MATLAB/Simulink обладают широкими возможностями применения методов численного решения дифференциальных уравнений и предлагают ряд возможностей для ввода и редактирования моделей систем управления в наглядной форме (в виде структурных схем). Специальные функции языка MATLAB позволяют производить численное решение задачи Коши для любой Simu link-модели при любых начальных условиях.
Программа поиска момента наступления установившегося режима состоит из трех частей (рис. 4.14):
- Simulink-модели исследуемой системы (разомкнутой);
-функции вычисления критерия наступления установившегося режима;
- функции, реализующей алгоритм поиска.
Моделирование с использованием Simulink-модель исследуемой системы может производится всегда на интервале времени [О Т\. Для получения решения для любого интервала времени [т-і Г-(г + 1)], где /eN, используется решение на [О Т] при задании начальных условий равных значениям переменных состояния в момент времени T-i (х(о)-х{Г /)).
Как описано в 3.7, в процессе поиска момента наступления установившегося режима производится анализ параметров метода решения дифференциальных уравнений. Эти параметры как начальные могут использоваться при дальнейшем решении: поиске установившихся режимом для входного сигнала с другими параметрами, моделировании замкнутой системы.
Результат моделирования x(t) на последнем шаге фактически является решением дифференциальных уравнений непрерывной части на интервале [t t + т], где t - момент наступления установившегося режима, то есть является сигналом x(t) в установившемся режиме.
При поиске момента наступления установившегося режима возможна ситуация, когда заданное значение критерия R никогда не будет достигнуто вследствие недостаточной точности решения задачи Коши. Поэтому на каждом шаге алгоритма необходимо контролировать изменение критерия R и если это значение не уменьшается, то необходимо увеличить точность решения задачи Коши (см. блок-схему алгоритма рис. 4.15).
