Введение к работе
Актуальность темы. Одним из основных моментов при анализе сложной системы является нахождение явных зависимостей между ее входными и выходными характеристиками. Под явными зависимостями будем понимать либо независимость выходных характеристик от входных - своего рода инвариантность, - либо их скачкообразную зависимость, - аналог фазового перехода в физических системах. Обнаружение таких зависимостей даже для упрощенной модели системы позволяет рассчитывать на их сохранение при более детальном описании системы. В результате возникают содержательные гипотезы о поведении сложной системы. Без формулировки таких гипотез дальнейшее аналитическое исследование и вычислительный эксперимент могут стать весьма громоздкими и затратными процедурами.
Настоящая диссертационная работа посвящена развитию асимптотических методов с целью нахождения явных зависимостей между входными и выходными характеристиками для сетевых моделей массового обслуживания и надежности. Актуальность такой задачи связана с интенсивным развитием телекоммуникационных и компьютерных сетей, а также других технических систем. Постоянная модернизация компьютерных сетей и компонентов связи требует умения своевременно реагировать на происходящие изменения. Естественно появляется необходимость посмотреть на примере математических моделей, как ведут себя системы при различных значениях параметров.
В работе исследуются два типа асимптотик, характерных для сложных стохастических систем. Первый из них связан с эффектом объединения автономно работающих систем. Изучение таких эффектов в различных сетевых моделях теории надежности и теории массового обслуживания представляет большой практический интерес, т.к. в этом случае появляется иной режим работы. Объединенная система приобретает новые свойства, знание которых позволяет в дальнейшем конструировать системы, обладающие заданными характеристиками.
Второй тип асимптотик, исследуемый в настоящей работе связан с поведением тяжелых хвостов распределений случайных величин, обнаруженных в последние годы во многих моделях массового обслуживания, теории надежности и страхования. Однако модели, для которых проводятся эти исследования, в основном ограничиваются классической моделью риска и одноканальными системами массового обслуживания в стационарном режиме. В современных же системах передачи данных
(включая Интернет) потоки являются нестационарными и, более того, имеют зависимые интервалы между приходом заявок. Поэтому существует потребность в изучении систем массового обслуживания с такими потоками. Причем основной акцент делается на выборе таких нестационарных характеристик потоков, чьи асимптотические свойства можно было бы получать для сетей со структурой достаточно общего вида.
Цель работы. Используя асимптотические методы выделить явные зависимости между входными и выходными характеристиками в моделях резервирования, массового обслуживания и страхования.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
исследовать поведение вероятности наличия элементов на всех рабочих местах объединенной системы дублирования с восстановлением и системы резервирования с восстановлением и конкуренцией между ремонтными местами;
провести асимптотическое исследование нестационарных характеристик потоков в системах массового обслуживания;
провести асимптотическое и численное исследование вероятности разорения в модели риска с дискретным временем.
Научная новизна.
Для предельной вероятности наличия элементов на рабочих местах системы резервирования с восстановлением (с конкуренцией между ремонтными местами и без таковой) обнаружено явление типа фазового перехода.
Получены новые предельные соотношения для хвоста распределения интервалов между выходом заявок и хвоста распределения времени пребывания заявки в многоканальной системе массового обслуживания в нестационарном режиме.
Впервые исследована асимптотика хвоста распределения свободного периода в открытой сети массового обслуживания.
Получены новые асимптотические формулы для хвостов распределения времени ожидания в одноканальных системах массового обслуживания.
Получена новая асимтотика распределения времени жизни логической системы с ненадежными элементами.
Получены асимптотические и численные оценки вероятности разорения на конечном отрезке времени в модели риска с дискретным временем.
Теоретическая и практическая значимость. Обнаруженные свойства рассмотренных моделей могут быть использованы для исследования широкого круга моделей сложных стохастических систем, при обработке данных для систем, которые описываются этими моделями, при планировании вычислительных экспериментов.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Апробация результатов. Результаты реферируемой работы докладывались на Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2001, 2003, 2005, 2006 гг.), на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2001-2003 гг.), на семинарах ИПМ ДВО РАН (Владивосток, 2002, 2004 гг.), на Международной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики"(Хабаровск,
г.), на заседаниях кафедры математики БГПИ (Биробиджан, 2001-
гг.), на двух семинарах лаборатории приближенных методов и функционального анализа ВЦ ДВО РАН (Хабаровск, 2004 г.). Работа вошла составной частью в поддержанный РФФИ проект 03-01-00512: "Разработка методов стохастического управления параметрами систем массового обслуживания и асимптотического исследования их потоков".
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 98 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Работа изложена на 83 страницах.
Похожие диссертации на Разработка и применение асимптотических методов к исследованию моделей резервирования и массового обслуживания
