Содержание к диссертации
Введение
1. Основные направления и проблемы теории робастной устойчивости 11
1.1. Основные этапы развития теории робастной устойчивости 18
1.2. Типы неопределенностей в нелинейных системах 22
1.3. Обзор некоторых методов теории управления, используемых для исследования робастности дискретных систем 25
1.4. Вводные замечания по классу исследуемых систем 33
Выводы по разделу 37
2. Вопросы исследования абсолютной устойчивости многомерных НИАС 38
2.1. Математическая модель многомерных НИАС 38
2.2. Критерии абсолютной устойчивости многомерных НИАС 39
2.2.1. Критерий абсолютной устойчивости 1 41
2.2.2. Критерий абсолютной устойчивости 2 42
2.3. Аналитический метод получения критериев абсолютной устойчивости многомерных НИАС 43
2.3.1. Алгоритм вычисления определителей матрицы 43
2.3.2. Частные виды критериев абсолютной устойчивости многомерных НИАС 46
2.4. Оценки качества импульсных систем 49
2.4.1. Математическая модель и алгоритм деления двух полиномов 50
2.4.2. Определение степени устойчивости 53
2.4.3. Оценка колебательности 55
2.4.3. Суммарные квадратичные оценки 56
Выводы по разделу 60
3. Методы исследования строгой положительности вещественных полиномов 61
3.1. Модификация критериев абсольотной устойчивости НИАС 61
3.1.1. Алгоритм разложения передаточной функции на действительную и мнимую части 61
3.1.2. Полиномиальный вид частных критериев абсолютной устойчивости НИАС 65
3.2. Методы проверки строгой положительности вещественного полинома 72
3.2.1. Аналитический метод проверки строгой положительности вещественного полинома 75
3.2.2. Проверка строгой положительности вещественного полинома методом Штурма 78
3.2.3. Проверка строгой положительности вещественного полинома иннорным методом 84
3.2.4. Численный метод проверки строгой положительности критериального и полиномиальных уравнений 86
3.3. Сравнительная характеристика методов проверки строгой положительности вещественных полиномов 88
Выводы по разделу 99
4. Методы исследования робастной устойчивости многомерных НИАС 101
4.1. Математические методы, используемые при анализе и синтезе многомерных НИАС 101
4.1.1. Алгоритм получения коэффициентов полинома по заданным значениям корней 102
4.1.2. Аналитический метод замены вещественной переменной в полиноме на комплексную 104
4.1.3. Алгоритм одновременного перемножения нескольких полиномов 108
4.1.4. Аналитический метод получения коэффициентов интервального полинома 111
4.2. Метод проверки робастной устойчивости интервальных полиномов 113
4.3. Метод анализа робастной абсолютной устойчивости одномерных НИАС 122
4.4. Методы анализа робастной абсолютной устойчивости многомерных НИАС 12 6
4.5. Обзор существующих методов синтеза управляющих устройств 131
4.5.1. Математическая модель и метод интерактивного выбора параметров управляющих устройств 133
Выводы по разделу 13 6
5. Применение разработанных методов для исследования систем автоматического управления 138
5.1. Исследование робастной абсолютной устойчивости системы стабилизации ЛА 138
5.1.1. Аналитическое исследование робастной абсолютной устойчивости системы стабилизации самолета 139
5.1.2. Моделирование системы стабилизации самолета 14 4
5.2. Исследование робастной абсолютной устойчивости САУ двухзеркальной антенны 14 9
5.2.1. Аналитическое исследование робастной абсолютной устойчивости САУ двухзеркальной антенны 150
5.2.2. Моделирование САУ двухзеркальной антенны 15 6
Выводы по разделу 167
Заключение 168
Литература 171
- Обзор некоторых методов теории управления, используемых для исследования робастности дискретных систем
- Частные виды критериев абсолютной устойчивости многомерных НИАС
- Проверка строгой положительности вещественного полинома методом Штурма
- Аналитический метод замены вещественной переменной в полиноме на комплексную
Обзор некоторых методов теории управления, используемых для исследования робастности дискретных систем
Существенные результаты были получены А.А.Красовским для оценки качества процесса регулирования [47].
В 50-е годы одним из основных инженерных методов анализа и синтеза одномерных линейных систем являлся метод корневсго годографа, применяя который можно было определить влияние изменения параметров системы на ее характеристик;:. В США этот метод разрабатывали Д.Траксел, З.Джури, Ю.Ту [33,97], а в СССР Г.А.Бендриков, К.Ф.Теодорчик, Э.Г.Удерман, Г.В.Римский и другие ученые [11,74,99,106,110,113].
В 60-х годах появились работы, в последствие объединенные под термином "методы пространства состояний". Одним из родоначальников данного метода был Р.Е.Калман, который ввел ключевые понятия параметров состояния [31], например, управляемость, наблюдаемость оценка состояния и т.д. Так как методы анализа и синтеза, использующие пространство состояний, базируются на матричных и векторных представлениях, то оказалось, что они позволяют осуществить четкую формализацию и механизацию вычислительных процедур для исследования многомерных систем [31,4 0,41]. Возникшие трудности исследования многомерных систем были преодолены созданием теории управляемости и наблюдаемости, аналитического конструирования (АКОР) , модального управления". [90]. В связи с тем, что практика выдвинула задачи разработки систем, к которым предъявляются специфические требования, например, системы с ограничениями на переменные, минимизирующие время, расход топлива или энергии была построена математическая теория оптимального и адаптивного управления [58,101]. В построении теории оптимального управления внесли большой вклад ученые А.Н.Колмогоров, Л.С.Понтрягин, А. А.Красовский, Н.Винер, Р.Беллман, Р.Е.Калман. Основой современной теории устойчивости является учение великого русского математика и механика А.М.Ляпунова [56], согласно которому суждение об устойчивости состояния равновесия нелинейной системы "в малом" можно высказать по линеаризованным уравнениям (первый метод). А.М.Ляпуновым указаны и те случаи, когда для этой цели линеаризованные уравнения не могут быть использованы, т.е. необходимо рассматривать поведение системы "в большом" (второй или прямой метод) [90,96]. Широкое применение для исследования реальных систем нашли методы , основанные на частотном анализе, алгебре передаточных функций, преобразованиях Лапласа, z-и w-преобразованиях, которые занимают значительную область в теории управления [16,32,33,41,80,87,96,97].
Дальнейшим развитием идей Ляпунова является частотный подход В.М.Попова, который устанавливает достаточные условия абсолютной устойчивости путем наложения ограничений на амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной непрерывной части системы, если нелинейная характеристика лежит в "гурвицевом угле" [3,68,69].
После появления основополагающей статьи В.Л.Харитонова [102] было положено начало новому направлению в теории управления - робастной устойчивости.
В этой работе указывалось, что робастная устойчивость семейства интервальных полиномов может быть полностью гарантирована устойчивостью четырех полиномов, которые теперь получили название полиномов Харитонова. Сначала полученные результаты были применены для исследования линейных непрерывных систем [75,7 6,140]. Здесь следует отметить большой вклад в решение этой проблемы зарубежных и российских ученых таких, как Э.Джури, Б.Р.Бармиш, Ю.Акерманн, М.Р.Стоич, Я.З.Цыпкин, Б.Т.Поляк, В.А.Подчукаев, А. Р.Гайдук и др.
В работе [141] было отмечено, что для определения робастной устойчивости полинома достаточно проверить все ребра многогранника многочленов. Этот результат получил название теоремы ребер. Однако, в [14 0] был приведен контр—пример, показывающий , что реберная теорема годится только для случая, когда неопределенные параметры входят в коэффициенты полинома линейным образом.
Для исследования некоторых показателей качества была использована Н -норма передаточной функции. В [98] Н -критерий был эквивалентно преобразован в критерий устойчивости Гурвица для полинома с комплексными коэффициентами. Причем, как было показано, необходимо для проверки исследовать 16 полиномов. В [23] были получены достаточные условия для проверки линейных непрерывных систем. для того, чтобы корни интервального характеристического полинома принадлежали бы сектору в левой полуплоскости.
Задаче построения границ возможных вариаций численных _. значений- коэффициентов. гурвицева характеристического полинома посвящена работа [70] , в которой поставлена задача аналитического построения интервального гурвицева полинома, сопровождающего заданный характеристический.
Отличительной особенностью данной работы является то, что применяя полиномы Эрмита-Билера авторы получают «не улучшаемые» границы возможных вариаций корней.
Частные виды критериев абсолютной устойчивости многомерных НИАС
Таким образом, применение суммарной квадратической оценки для суждения о качестве процесса регулирования позволяет учитывать не только собственные движения исследуемой системы, но и характер внешнего воздействия. Однако, как суммарные квадратичные оценки так и показатель колебательности нечувствительны к границе области устойчивости. Видимо невозможно назвать единый критерий качества, который был бы универсальным для исследуемых систем, и поэтому эффективность применения той или иной оценки качества должна определяться в каждом конкретном случае. 1. Разработаны математическая модель многомерных НИАС и метод получения критериев абсолютной устойчивости многомерных НИАС позволяющий определить в символьном виде частные критерии абсолютной устойчивости НИАС. Впервые получены явные выражения критериев абсолютной устойчивости для четырех- и пятимерной систем. 2. Разработанные критерии и реализующие их алгоритмы позволяют использовать для суждения о качестве процессов в линейных и нелинейных системах косвенные оценки, такие как степень устойчивости, колебательность и суммарная квадратичная оценка. 3. Разработаны математическая модель и алгоритм, реализующий на ПЭВМ алгебраическое деление полиномов, который может быть также применен для вычисления симметрических функций от корней полинома, для выполнения деления как правильных, так и неправильных дробно рациональных функций и т.п. В работе алгоритм был использован для построения кривой переходного процесса с отображением ее на экране монитора. В разделе показано, что ; критерии абсолютной устойчивости многомерных НИАС могут быть сведены к вещественному полиному, строгая положительность которого свидетельствует об абсолютной устойчивости исследуемой системы. Рассмотрены численный и аналитические методы проверки строгой положительности вещественного полинома.
Применение частотных критериев абсолютной устойчивости многомерных НИАС (2.18)-(2.19) для инженерных расчетов наталкивается на значительные трудности из за необходимости проверки строгой положительности полученных выражений, состоящих из дробно-рациональных функций, так как отсутствуют практические приемы решения. Поэтому целесообразно осуществить переход от частотных к алгебраическим критериям. Такой подход может быть осуществлен путем разложения передаточных функций, входящих в критерий абсолютной устойчивости многомерных НИАС, на действительные и мнимые части с последующими алгебраическими преобразованиями, приводящими к получению вещественного полинома.
Разложение передаточных функций высокого порядка на вещественные и мнимые части целесообразно осуществлять с привлечением ПЭВМ, что требует разработки соответствующего алгоритмического обеспечения.
Проверка строгой положительности вещественного полинома методом Штурма
Таким образом, проведенное сравнение показывает правильность полученных результатов, разработанным методом " основного полинома ", что подтверждается теми же результатами, но полученными классическим методом Штурма. 1. Разработан алгоритм разложения дробно-рациональной функции на вещественную и мнимую части ,- .который позволяет свести проверку критериев абсолютной устойчивости одномерных и многомерных НИАС к проверке строгой положительности полученного вещественного полинома численным либо аналитическими методами. 2. Разработан алгоритм, реализующий формирование ряда Штурма и определяющий точное количество вещественных корней в полиномах высоких порядков, который может быть использован для исследования абсолютной устойчивости как одномерных, так и многомерных НИАС. 3. Проведено сравнение разработанного аналитического метода проверки строгой положительности вещественного полинома с известными, например, классическим методом Штурма, а также иннорным методом Джури, которое показывает на аутентичность результатов. Впервые получены области абсолютной устойчивости для систем второго и третьего порядков, которые свидетельствуют о том, что использование вещественных полиномов только с положительными коэффициентами для упрощения исследования НИАС сужает области абсолютной устойчивости. 4. Разработаны численный и аналитические методы проверки наличия положительных корней критериального и полиномиальных уравнений, равносильных критериям абсолютной устойчивости дву- и трехмерных НИАС. Эти уравнения имеют вид, аналогичный виду характеристического уравнения замкнутой системы, применяемого при исследовании одномерных систем методом корневого годографа, что позволяет использовать данный метод для исследования абсолютной устойчивости многомерных НИАС. 5. Разработано программное обеспечение ПЭВМ?-позволяющее осуществлять проверку . строгой положительности полинома с вещественньми коэффициентами как аналитическими методами (разработанным методом "основного полинома" или классическим методом Штурма), определяющими точное число вещественных положительных корней, а также численным методом, использующим вычисление корней полученного полинома с требуемой точностью. В данном. разделе рассматриваются вопросы .анализа,;; а также некоторые методы, применяемые для синтеза управляющих устройств как для линейных, так и нелинейных систем. Приводятся алгоритмы вычислительных процедур для разработанных методов, ориентированные на ПЭВМ и реализуемые с помощью современных компьютерных технологий. Рассматривается метод проверки гурвицевости интервального полинома с вещественными коэффициентами, границы области расположения корней которого представлены графическим изображением. Приводятся методы исследования робастной абсолютной устойчивости одномерных и многомерных НИАС. В [8,10,17,22,25,37] отмечено, что анализ и синтез САУ наиболее эффективен в диалоговом режиме использования ЭВМ. Такой режим может иметь место при нахождении коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции управляющего устройства т.е. при подборе корней характеристического уравнения, которые должны располагаться в области, соответствующей заданной степени устойчивости. Этот подбор корней, с последующим преобразованием в коэффициенты полинома, может быть осуществлен с помощью формул Виета [70,108] . При использовании критерия заданной степени устойчивости НИАС, а также при синтезе управляющих устройств необходимо осуществить замену в полиноме вещественной переменной на комплексную. 4 Осуществление этого целесообразно возложить на ПЭВМ. Поэтому требуется создание легко программируемого алгоритма, использование . которого было бы оправдано для систем высокого порядка. ;
Использование частных видов критериев абсолютной устойчивости многомерных НИАС (2 .17)-(2 .19) предполагает перемножение нескольких полиномов в каждом слагаемом соответствующего критерия. Если для этой цели применить процедуру одновременного перемножения . нескольких полиномов, то это позволит уменьшить затрачиваемую при этом память, а также сократить время вычисления их произведения.
Аналитический метод замены вещественной переменной в полиноме на комплексную
При исследовании ; робастной устойчивости НИАС возникает необходимость проверки наличия вещественных положительных корней интервальных полиномов с вещественными коэффициентами, получаемых из числителей и знаменателей передаточных функций с интервальными коэффициентами, входящих е передаточную матрицу исследуемой системы. Такая проверка может проводиться путем применения- аналитических методов, полученных в третьем разделе.
Проверку отсутствия вещественных положительных корней интервальных полиномов можно осуществить на основе слабой либо сильной теорем Харитонова [3 6] путем графического представления результатов в виде областей локализации на комплексной плоскости корней, полученных из соответствующих угловых полиномов. Необходимым и достаточным условием робастной устойчивости полинома с интервальными коэффициентами является гурвицевость четырех харитоновск/-их полиномов [102].
Для определения области локализации корней интервального полинома [127] где di - номинальное значение коэффициентов, a Adi - вариации, которые имеют ограничения -af Adi aif используем построение траекторий корней, отображающих на комплексную плоскость выделенные из (4.25) ребра, расположенные между двумя угловыми полиномами Харитонова. Рассмотрим выражение [106,130] где h - варьируемый параметр, изменяющийся от 0 до со . . . Все траектории корней выражения (4.26) выводятся на-график комплексной плоскости, по расположению которого делается заключение об областях робастной устойчивости исследуемого полинома. При h=Q на комплексную плоскость выводятся корни Di(s), при h=co - корни Dj(s), а при л, принимающем промежуточные значения, выводятся корни полиномов, отображающих соответствующее ребро . многогранника (4.25). Возможна постановка и обратной задачи, в которой необходимо проверить принадлежность заданному диапазону разброса коэффициентов полинома, получаемых в зависимости от назначаемых корней. Построение такого полинома возможно после назначения п корней, пересчет которых в коэффициенты полинома осуществляется с использованием матричной записи формул Виета [108]. Контроль нахождения полученных коэффициентов в соответствующих интервалах осуществляется путем интерактивного построения полинома, корни которого принадлежат соответствующим областям их расположения. Такое построение применяется потому, что прямое назначение корней полинома в соответствующие области не приводит к правильному результату. в виду сложной внутренней структуры области расположения корней. Это интерактивное построение может быть описано следующим образом. Возьмем произвольную точку со eQczC, где Q - область в левой полуплоскости, в которой расположены корни полиномов с коэффициентами принадлежащими заданным интервальным значениям. Из рис. 4.1 можно сделать следующее заключение: исследуемый интерзальный полином является гурвицевым. Однако вывод числовых значений корней четырех полиномов на комплексную плоскость мало информативен и не позволяет оценить границы их области локализации, что особенно важно для полиномов высоких порядков. Используя выражение (4.2 6) построим траектории корней, отображающих выделенные из (4.25) ребра, расположенные между четырмя угловыми полиномами Харитонова (рис.4.2). Из рис.4.2 видим, что таким построением удалось получить области локализации корней четырех харитоновских полиномов. Более того из рис.4.2 видно, что корни номинального полинома расположены на пересечении траекторий корней, отображающих диагонально расположенные ребра угловых полиномов четырехугольника, образованного корнями харитоновских полиномов. Проведем исследование слабой теоремы Харитонова, для чего выведем на комплексную плоскость корни всех 16. . угловых полиномов, включая корни полинома с номинальными коэффициентами (рис.4.3).
Похожие диссертации на Теоретические основы и практическое применение методов исследования робастной абсолютной устойчивости многомерных нелинейных импульсных автоматических систем
