Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор матричных, частотных, рекуррентных и вычислительных методов исследования устойчивости .
1.1. Матричные методы А. Гурвица, А. Льенара и М. Шипара, Э. Джури.
1.2. Метод В.И.Зубова о локализации собственных чисел матрицы системы первого приближения .
1.3. Частотные методы А.В.Михайлова и Найквиста.
1.4. Рекуррентные методы понижения порядка
Глава 2. Обзор методов исследования робастной устойчивости .
2.1. Типы неопределенности в линейных системах управления .
2.2. Исследование робастной устойчивости полиномов.
2.3. Исследование робастной устойчивости матриц.
2.4. Робастная устойчивость одномерных систем описанных неопределенными передаточными функциями.
Глава 3. Метод допустимых линейных преобразований для решения задач робастной устойчивости полиномов. Условия устойчивости выпуклых матричных множеств .
3.1. Исследование робастной устойчивости методом допустимых линейных преобразований .
3.2. Критерии существования выпуклых областей робастной устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического полинома.
3.3. Условия существования выпуклых областей робастной устойчивости в пространстве коэффициентов нестационарных линейных систем управления.
Заключение.
Список литературы.
- Матричные методы А. Гурвица, А. Льенара и М. Шипара, Э. Джури.
- Метод В.И.Зубова о локализации собственных чисел матрицы системы первого приближения
- Типы неопределенности в линейных системах управления
- Исследование робастной устойчивости методом допустимых линейных преобразований
Введение к работе
В очерках истории автоматического управления Ю.П. Петров приводит интересный факт, заключающийся в том, что регуляторы Д. Уатта для паровых машин переставали устойчиво работать при повышении их мощности и имели тенденцию к неустойчивой работе и самораскачиванию. Выдающийся английский физик Д.К. Максвелл поставил задачу исследования «странного» поведения этих устройств. Однако, в своей работе «О регуляторах» (1868) не дал четких практических рекомендаций для обеспечения устойчивости работы этих устройств. Только спустя двадцать лет русский инженер И.А. Вышнеградский сумел решить эту проблему. Он построил первую математическую модель всех регуляторов подобного вида. С его работы «О регуляторах прямого действия» берет начало современная инженерная теория автоматического регулирования. Фактически, он нашел те параметры конструкций регулятора, которые существенным образом влияют на устойчивость его работы. Более того, И.А. Вышнеградскому удалось найти допустимые границы изменения этих параметров, в рамках которых работа регулятора должна носить устойчивый характер. Эти фундаментальные исследования можно считать «предтечей» нового направления в теории устойчивости, а именно робастной устойчивости (устойчивость грубых систем по А.А. Андронову, 1937). Конечно, основой развития новой (робастной) теории являются достижения классической теории устойчивости динамических систем.
Основные подходы к созданию аналитических методов устойчивости и ее приложений были разработаны такими учеными как A.M. Ляпунов, Н.Н. Красовский, Н.Г. Четаев, А.Н. Крылов, К.П. Персидский, Е.А. Барбашин, А.А. Андронов, А.А. Марков, В.В. Румянцев, Н.П. Еругин, Л.А. Эсгольц, В.И. Зубов, Ю.А. Митропольский, В.М. Матросов, А.Н. Тихонов, В.В. Степанов, Н.Н. Боголюбов, В.В. Немыцкий, Н.М. Крылов, Б.С. Разумихин, А.Д. Мышкис, С.Н. Шиманов, М.Г. Крейн, А.А. Воронов, Б.Г. Болтянский, И.Г. Малкин, Б.П. Демидович, A.M. Летов, В.В. Семенов, А.А. Первозванский, Р. Беллман, Дж. Хейл, Т. Иошидзава, Ж.П. Ла-Салль и другими крупными отечественными и зарубежными математиками и их научными школами. Методы исследования нелинейных динамических систем управления по первому линейному приближению получили наиболее полное развитие трудами Э. Рауса, А. Гурвица, А.В. Михайлова, Найквиста, Е.П. Попова, Л.С. Понтрягина.
Однако, математические модели учета неопределенности в динамических системах управления появились гораздо позже новаторских работ И.А. Вышнеградского — почти через сто лет.
Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная) была предложена в работах А.П. Лурье (1951), М.А. Айзермана (1961), Ф.Р. Гантмахера (1967). Модели параметриче ской неопределенности в линейных системах появились позднее. Их систематическое изучение начал И. Горовиц (1970). Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью неизвестных, но ограниченных возмущений. Большой вклад в это направление внесли А.Б. Куржанский и Ф. Л. Черноусько. Модели частотной неопределенности интенсивно разрабатывались в 1980 гг., вероятностный подход к робастности получил большое развитие в последнее десятилетие.
Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные условия робастной устойчивости. Затем В.Л. Харитонов сделал большое продвижение — доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов (1978). Теорема Харитонова, как оказалось, не переносится на семейство интервальных матриц. Эта задача оказалась сложнее, т.к. устойчивость всех вершинных и реберных матриц семейства не обеспечивает робастной устойчивости. Поэтому усилия исследователей направлены на решение частных задач.
Исследование устойчивости систем управления при наличии неопределенности (роба-стная теория) является новым направлением, т.к. основные результаты получены совсем недавно. Например, графический критерий робастной устойчивости полиномов доказан в 1990 г. (Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин), а реберная теорема получена в 1988 г. (А.С. Bartlett, C.V. Hollot, Н. Lin).
Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) используют как известные подходы, например, теорию возмущений, так и новые: ц-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).
Разработке и созданию методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков, А.С. Немировский, М.Г. Сафонов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Ko-gan, R. Tempo, D.D. Siljak и др.
Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления диктуется, во-первых, современными потребностями науки и ее приложениями в практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и т.д.; во-вторых, наличием большого числа нерешенных задач, прямо связанных с инженерной практикой. Перечислим некоторые из них. Как проверить существует ли в данном аффинном семействе полиномов устойчивый полином. Найти ближайший (в смысле нормы в пространстве коэффициентов) устойчивый полином к данному неустой чивому. Для робастной устойчивости матриц вопросов еще больше. Например, задача о робастной устойчивости интервальных матриц и т.д.
Приведенными проблемами далеко не исчерпываются нерешенные задачи линейной теории управления при наличии неопределенности, т.е. робастности. Эта теория является динамичной, развивающейся областью исследований, где постоянно возникают новые задачи и создаются новые методы и подходы для их решения в соответствии с инженерными требованиями. Более того, многие вопросы робастной устойчивости в линейных системах управления остаются открытыми.
Работа посвящена развитию математического аппарата для анализа устойчивости стационарных и нестационарных систем управления по первому приближению, включающего новые аналитические методы и алгоритмы исследования задач робастной устойчивости для этих систем.
Целью диссертационного исследования является развитие аналитических и вычислительных методов исследования устойчивости систем управления по первому приближению, включающих аналитические методы и алгоритмы исследования робастной устойчивости этих систем.
В работе последовательно применяются как классические методы теории устойчивости (точное описание систем управления), так и методы робастной теории устойчивости (неопределенности в описании систем).
Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, базируется на достижениях в теории устойчивости, робастной теории, на корректности поставленных задач. Все доказательства проведены строго и основаны на выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, линейная и высшая алгебра, выпуклый анализ, теория матриц.
Основные результаты были представлены на международной конференции «Устойчивость и процессы управления» Санкт-Петербург (2005); на научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета Прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского Государственного университета (2002); на региональной научно-технической конференции «Проблемы безопасности морского судоходства, технической и коммерческой эксплуатации морского транспорта» Морской Государственной Академии имени адмирала Ф.Ф. Ушакова (2005). Результаты работы обсуждались на семинарах ПМ - ПУ СПбГУ, НФ КубГУ, МГА имени адмирала Ф.Ф. Ушакова. Работа использовалась при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивости динамических систем» на факультете Прикладной математики КубГУ и для издания двух учебных пособий.
По теме диссертации опубликовано семь научных работ и два пособия.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы.
В первой главе рассматриваются различные критерии устойчивости линейных стационарных систем, которые можно условно разделить на алгебраические (корневые), графические (частотные) и вычислительные. Алгебраические критерии устойчивости формулируются в терминах коэффициентов характеристического полинома. К алгебраическим методам относятся матричные критерии (§ 1.1), носящие имена А. Гурвица, А. Льенара и М. Шипара, шторный метод Джури и их модификации. Кроме того, к алгебраическим критериям можно отнести методы понижения порядка (МПП) характеристического полинома, например, алгоритмы Э. Рауса, А.Е. Барабанова, Н.В. Зубова (§ 1.4). С помощью геометрических критериев по поведению специальных кривых (годографов) делают выводы об устойчивости линейных систем. Наиболее известными являются критерии А.В. Михайлова, Ш. Эрмита и Билера, Найквиста (§ 1.3). Установление локализации собственных чисел матрицы системы без их прямого вычисления и без построения характеристического полинома является вычислительный метод В.И. Зубова (§ 1.2).
Во второй главе сделан обзор известных методов исследования робастной устойчивости семейств полиномов и матриц. В § 2.1 подробно анализируются различные типы неопределенности, т.е. наиболее используемые виды зависимости коэффициентов матриц A(q) и многочленов A(S,q), B(S,q) и P(z,q) от вектора параметров q и геометрии множества Q. В § 2.2 сделан анализ основных теоретических результатов в области робастной устойчивости полиномов. Подробно рассмотрены: принцип исключения нуля, теорема Харитонова, графический критерий Цыпкина - Поляка и реберная теорема. На основе этого анализа сделан вывод о том, что большинство методов определения устойчивости семейства полиномов основаны на принципе исключения нуля, который является обобщением критерия Михайлова, в ином виде сформулированный еще Эрмитом. К сожалению, этот принцип нельзя использовать при изучении матричной устойчивости.
В § 2.3 подробно анализируются известные подходы к исследованию робастной устойчивости матриц стационарных линейных систем управления или систем первого приближения. В § 2.4 рассматриваются основные приемы исследования робастной устойчивости одномерных систем управления, описанных неопределенными передаточными функциями.
В третьей главе предложены методы решения задач робастной устойчивости и построения границ области экспоненциальной устойчивости в системах первого приближения, опирающиеся на изучение замкнутых, выпуклых устойчивых множеств кчк в пространстве параметров системы первого приближения, так и в пространстве коэффициентов ее характеристического многочлена.
В § 3.1 для построения интервальных характеристических полиномов Харитонова использованы допустимые линейные преобразования их коэффициентов, оставляющие эти полиномы полиномами Гурвица. Ряд из них предложен Н.В. Зубовым, и они дополняют подобные результаты Ю.Н. Неймарка. Эти преобразования позволяют расширить множество устойчивых интервальных полиномов, базируясь на одном интервальном полиноме. При этих преобразованиях угловые точки одного устойчивого выпуклого множества Гурвица переходят в угловые точки другого устойчивого выпуклого множества Гурвица. Однако, при этих преобразованиях, устойчивые интервальные полиномы Харитонова, переходя в устойчивые выпуклые множества Гурвица, могут терять свойства интервальности, т.к. при допустимых линейных преобразованиях обычно меняются метрические соотношения между образами и прообразами различных точек.
В § 3.2 найдены необходимые и достаточные условия существования замкнутых, выпуклых устойчивых множеств в пространстве коэффициентов характеристического многочлена системы первого приближения.
В § 3.3 получены достаточные условия робастной экспоненциальной устойчивости нестационарных линейных систем управления. Установлены достаточные условия существования устойчивых выпуклых множеств в пространстве параметров нестационарной системы первого приближения, т.е. частично решена проблема «матричной» робастной устойчивости.
В заключении диссертации приведены основные научные результаты, полученные в работе, показана их новизна и практическая значимость.
В приложении приведены некоторые результаты численных экспериментов. Чтобы не загромождать изложение, туда же вынесены доказательства некоторых утверждений, примеры, схемы рисунки и модели. Для удобства, нумерация формул при переносе доказательств в приложение сохранена.
На защиту выносятся: 1. Аналитические критерии исследования экспоненциальной устойчивости для нестационарных линейных систем управления.
2. Методы построения устойчивых выпуклых множеств Гурвица и исследования устойчивости любых, заданных множеств коэффициентов семейства полиномов с помощью допустимых линейных преобразований коэффициентов стандартного полинома, сохраняющих его устойчивость.
3. Методы уточнения границ областей устойчивости и построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристического полинома, так и в пространстве параметров системы первого приближения.
4. Аналитические критерии, устанавливающие связь между собственными числами матрицы нестационарной системы управления и отрицательной определенностью ее квадратичной формы.
В заключение хочу выразить желание посвятить свою работу памяти моего учителя, члена-корреспондента Российской Академии Наук Владимира Ивановича Зубова, так рано ушедшего из жизни. Так же выражаю благодарность своим руководителям доктору физико-математических наук, профессору Николаю Владимировичу Зубову и кандидату физико-математических наук, доценту Геннадию Анатольевичу Зеленкову за постановку темы диссертационного исследования, постоянную помощь, поддержку и внимание к работе.
Матричные методы А. Гурвица, А. Льенара и М. Шипара, Э. Джури.
Критерий Рауса - Гурвица. Самым известным критерием, дающим условия налагаемые на коэффициенты характеристического многочлена для того, чтобы его корни находились слева от мнимой оси, является критерий Гурвица. В литературе имеется несколько доказательств этой теоремы, например, два доказательства в [12]. Первое основано на теореме Штурма и алгоритме Рауса, а второе — на свойствах ганкелевых матриц и индексов Коши. Поэтому этот критерий часто называют критерием Рауса - Гурвица.
Ниже мы рассмотрим другое доказательство [7]. Напомним несколько хорошо известных определений и свойств многочленов.
Определение 1.1. Полином f(z) = a0+alz + ...+anzn (1.1) степени п с действительными коэффициентами ап i = Q,n где а , ап 0, назовем стандартным полиномом.
Очевидно, что условие яд 0 обеспечивает отсутствие у стандартного полинома нулевых корней, а условие ап 0 означает, что полином (1.1) является полиномом степени п.
Определение 1.2. Если все корни полинома f(z) степени п, п 1 лежат в левой полуплоскости Re z 0, то он называется полиномом Гурвица.
Заметим, что такие полиномы называют устойчивыми [54] или абсолютно устойчивыми полиномами.
Определение 1.3. Полином F(z) = Saf(z), где F(z) = (\ + az)f(z) + f(-z), а 0 (1.2) назовем присоединенным к полиному f(z), а операцию Sa будем называть операцией присоединения.
Теорема 1.1 (Стодола). Условие положительности коэффициентов стандартного полинома является необходимым для того, чтобы он был Гурвицевым. Доказательство приведено в приложении 1, стр. 135.
Замечание 1.1. Если у стандартного полинома имеются коэффициенты щ О, / = \,п, то этот полином не является Гурвицевым, т.е. существует хотя бы один корень ZQ , что Rez0 0. Более того, если у стандартного полинома имеется хотя бы один коэффициент яд 0, то существует корень ZQ такой, что Re ZQ 0.
Замечание 1.2. Для и = 1,2 условие положительности коэффициентов стандартного полинома является необходимым и достаточным для того, чтобы этот полином был Гурвицевым.
Замечание 1.3. Если для полинома известно, что % 0, ап 0, то из локализации всех его корней в левой полуплоскости следует отрицательность всех его коэффициентов.
Пусть Нп (п = 1,2,...) — семейство всех стандартных полиномов Гурвица степени п.
Лемма 1.1. Полином, присоединенный к стандартному полиному Гурвица, является стандартным полиномом Гурвица, точнее, если f(z) є Нп, то и F(z) = Saf(z) = Нп+\ для любого а О.
Доказательство приведено в приложении 1, стр. 135.
Лемма 1.2. Если стандартный полином /(z) степени п не имеет чисто мнимых корней и его m (m n) корней лежат в левой полуплоскости, то присоединенный к нему полином F(z) степени и + 1, будучи стандартным полиномом, тоже не имеет чисто мнимых корней, и его m +1 корней лежат в левой полуплоскости.
Доказательство приведено в приложении 1, стр. 137.
Замечание 1.4. Из леммы 1.2 следует, что если полином F(z), присоединенный к стандартному полиному f(z) степени п, не имеющему чисто мнимых корней, является полином Гурвица степени п +1, то полином /(z) тоже является полином Гурвица. Доказательство от противного. Если бы f{z) Нп,то по лемме 1.2 F(z) Нп+\, т.к. число корней f(z) и F(z) справа от мнимой оси совпадало бы.
Лемма 1.3. Для любого стандартного полинома Гурвица степени п + \ (п \) существует стандартный полином Гурвица степени п, по отношению к которому данный полином является присоединенным. Точнее, если F(z)є#„+і, то существует а 0 и f(z)eHn такие, что F(z) = (1 + az)f(z) + f(-z) = Saf(z). (1.10)
Доказательство приведено в приложении 1, стр. 137.
Замечание 1.5. Пусть полином F(z) = A0+Alz+... + An+iz является стандартным полиномом степени п + \ и А\ 0. Тогда существует порождающий его стандартный полином f(z) = ciQ+a\Z + ...+anzn степени п, т.е. полином F(z) является присоединенным к полиному f(z). Очевидно, это следует из доказательства леммы 1.3 (т.к. AQ 0, ТО а = 2А1/А0 0).
Замечание 1.6. Из лемм 1.1 и 1.3 следует важный вывод о том, что множество всех стандартных полиномов Гурвица Н можно построить из семейства всех стандартных полиномов Гурвица первой степени Н\ и последовательного применения операции присоединения. Точнее: H2=SaxH\ H2 =Sa2H2,...,H = Hx US tfj USa2SaiHi U...{JSakSaki...SaiH] IL, где aji 0, /: = l,oo.
Метод В.И.Зубова о локализации собственных чисел матрицы системы первого приближения
В этом параграфе рассмотрим методы исследования устойчивости систем первого приближения, которые не используют коэффициенты характеристического полинома для определения положения его корней или поиска тех значений параметров, определяющих коэффициенты, при которых корни полинома находятся слева от мнимой оси (D разбиения) или прямого вычисления собственных чисел матрицы системы (корьей характеристического уравнения).
Как известно, для систем большого порядка построение характеристического уравнения требует для прямого развертывания det(A-ZE) огромного числа операций (порядка п!), время исполнения которых на современных ЭВМ слишком велико для прикладных задач. Даже использование специальных подходов получения коэффициентов характеристического полинома, не требующих развертывания соответствующего определителя [23, 24], требует неприемлемого числа операций умножения (порядка п ) для систем из нескольких десятков или сотен тысяч уравнений, которые появились в инженерной и вычислительной практике (системы разностных уравнений).
Для дальнейшего будем называть квадратную вещественную матрицу устойчивой, если все ее собственные числа локализованы в левой полуплоскости. Если специально не оговорено, то далее все матрицы вещественные и квадратные.
Число методов, не использующих коэффициенты характеристического полинома или вычисления самих собственных чисел для исследования устойчивости матриц не велико. Однако, одни решают частные случаи, а другие больше имеют теоретический интерес, в вычислительной практике не удобные или не экономичные. Ниже достаточно подробно изложен метод, предложенный В.И. Зубовым [7]. Предварительно кратко коснемся других подходов исследования устойчивости матриц без вычисления коэффициентов характеристического полинома или собственных значений матрицы системы [8,9].
Знаменитая теорема Ляпунова утверждает, что если А — вещественная квадратная матрица, С — также квадратная вещественная симметричная и положительно определенная матрица и уравнение ATV + VA = -C (1.20) имеет положительно определенное решение V, то матрица А устойчивая, т.е. все ее собственные значения Я,- удовлетворяют условию Rei;- 0. Если в качестве С взять единичную матрицу Е, то имеет место критерий. Теорема 1.6 Ляпунова. Пусть матрица V определяется соотношением ATV + VA = -E. (1.21)
Тогда необходимым и достаточным условием устойчивости матрицы А является положительная определенность матрицы V. Уравнения (1.20, 1.21) однозначно разрешимы, если для любых / , j, \ i,j n, для собственных значений матрицы А выполняется условие Я/ + Л,- ФО. Очевидно, это условие выполняется для устойчивой матрицы А.
Основные методы решения этих уравнений описаны в [12, 29, 37] и основаны на приведении матрицы А к форме Шура. Из формы Шура [4] легко определяется спектр матрицы А, что частично обесценивает метод, если нас интересует только исследование устойчивости без вычисления собственных значений, а только их локализация в левой полуплоскости. Таким образом, следуя теории, надо найти решение V уравнения (1.21) и проверить положительную определенность найденной матрицы. Если это уравнение не имеет решений, то А — неустойчива. То же следует, если V не является знакоположительной. Однако, рассмотрение численных методов, решающих матричные уравнения Ляпунова (1.20) или (1.21), выходит за рамки настоящего исследования. Кроме того, вычисление V дает пример известной ситуации, когда теоретически метод хорош, а его практическая реализация для расчетов или не возможна или тяжела, или не экономична. Хотя в данном случае сам характеристический полином не строится.
Рассмотрим критерий устойчивости для матриц специального вида [4]. Теорема 1.7. Если квадратная матрица А имеет вид Щ+ЬІ а2 0 0 0 -1 Ъ2 а3 0 0 0 -\ Ы аА 0 А= i , (1.22) 0 -1 К-\ ап , 0 0 -1 Ьп) где все элементы, не стоящие на главной диагонали и двух соседних с ней, равны нулю, причем элементы А/ действительные, а Ь; либо равны нулю, либо являются чисто мнимыми, то число положительных членов в последовательности произведений а\,а\а2,—,ап-\ап равно числу собственных значений матрицы А, имеющих положительные действительные части.
Доказательство основано на теории последовательностей Штурма и приведено в работе Шварца (см. ссылку в [4], глава 13). Там же доказано, что любая матрица А может быть приведена к виду (1.22) преобразованием подобия. Заметим, что сам теоретический результат безупречен, но удовлетворительный численный метод под него найти не удалось. Методы, использующие приведение матрицы системы к форме Жордана или характеристи ческуіо матрицу к форме Смита для исследования устойчивости матриц, фактически вычисляют их собственные числа. Однако для даже небольших п эти подходы неприемлемы из-за большого числа операций и выходят за рамки темы этого параграфа, где рассматриваются приемы без вычислений собственных чисел матрицы или коэффициентов характеристического полинома.
Исследование устойчивости матриц с неотрицательными элементами не входит в рамки настоящей работы. Этот класс матриц, возникающих в математической экономике, рассматривается, например, в [4,12, 37].
Кроме того, в работу не входят исследования матриц со случайными коэффициентами. Вопросы, связанные с робастной устойчивостью полиномов и матриц, рассматриваются в главах 2 и 3.
Типы неопределенности в линейных системах управления
Отметим, что не все виды неопределенности, которые приводятся здесь, будут ниже сопровождаться обзором методов их исследования. Очевидно, это связано с очень большим кругом вопросов, которые выходят далеко за рамки и объем настоящей работы (//-анализ, вероятностный подход к робастности и другое, см. например [36, 51, 59, 65, 66, 69-75, 77-89]).
Параметрическая неопределенность (стационарная неопределенность). Когда модель управления описывает какой-либо объект или процесс (механический, экономический, биологический и т.д.), то почти всегда его параметры не известны точно: либо нужные характеристики получены не точно, либо они вообще неизвестны, либо они меняются с течением времени (объект, устройство, социально - экономическая система, биологическая популяция, химический процесс и т.п.) и (или) зависят от других факторов. В таких случаях говорят о параметрической неопределенности. Как следствие, линейная система меняется на семейство систем (неопределенная система) х = A(q)x + B{q)u + D\ (q)co, (2.1) y = C(q)x + D2(q)co. Где x(t) — вектор состояния системы, u(t) — вектор управления, y(t) — вектор выходных сигналов системы, co{t) — выходные сигналы или задающие воздействия (внешние возмущения). Матрицы А, В,С,П\, D2 зависят от вектора параметров q є Q, QaRm. Размерности всех векторов и матриц системы (2.1) согласованы.
Определение 2.1. Множество Q называется допустимым множеством или множеством неопределенности.
Считаем, что система (2.1) является стационарной и известно, что параметры q не меняются со временем и находятся во множестве Q.
Подобным образом при описании системы управления с помощью передаточных функций ее элементы могут зависеть от параметров. Например, в одномерном случае передаточная функция объекта имеет вид H(S,q) = A(S,q)/B(S,q), qeQ, (2.2) где A(S,q), B(S,q) — неопределенные полиномы, коэффициенты которых аД#), bt{q), / = 0,/7, зависят от вектора параметров qeQ. В таких случаях H(S,q) называют неопределенным объектом. Например, при последовательном соединении / простых звеньев с передаточными функциями kj/(l + TjS), неопределенными постоянными времени 7} и коэффициентами усиления kj i = \,m мы можем записать семейство передаточных функций H(S,T,k) = г-- / (23) (1 + 7 ).....(1 + 7 ) T = (Th...,Tm)T =QT, k = (kh...,kmfeQk.
В (2.3) параметрами являются постоянные времени и коэффициенты усиления. Для удобства объединим векторы параметров Т и к в один вектор q = (Ti,...,Tm,k[,...,km)e R m и получим семейство передаточных функций в виде (2.2), что является общей моделью.
Ниже рассматриваются разные виды ограничений на неопределенные параметры, которые приводят к различным формам множества Q. Вообще говоря, множество Q может иметь произвольный вид или совпадать с Rm. Во многих задачах Q совпадает с параллелепипедом, где каждый из параметров (координаты вектора с/) меняется в общем случае независимо в интервале (интервал неопределенности): Q = [qeRm: qj qi qi\. (2.4)
Определение 2.2. Назовем вершинным или угловым элементом семейства (матрица, полином, передаточная функция) элемент, определяемый крайними допустимыми значениями параметров: 7/ = ЯІ либо qt =c[j, i = \,m
в случаях параллелепипеда Q в (2.4). Очевидно, имеются всего 2т угловых элементов (число вершин т- мерного параллелепипеда Q).
Часто параметры являются зависимыми, т.е. имеют общие ограничения. Например, допустимое множество Q является эллипсоидом вида Q = \qeRm: qTM-lq \,M 0} (2.5) qeRm: 2- Г1 1 или /=l ai ... » \ ii- it Q (2.6) где М — положительно определенная матрица квадратичной формы, q = lq\ ,..., ) — некоторое фиксированное значение вектора параметров q, соответствующее номинальной системе, щ — масштабные множители. Ограничения в (2.5 - 2.6) называют эллиптическими. Вообще говоря, Q рассматривают в какой-либо норме. Например, куб Q в бесконечной норме
Q = {qeRm: \\q\l \} (2.7) или шар Q во второй норме (Евклидова норма) й-{«6«": И, Si}. (2.8)
Функциональная зависимость неопределенности от параметра q может быть любой природы, поэтому ограничимся самой простой и наиболее часто используемой — линейной неопределенностью (другие зависимости пока мало изучены). В настоящих исследованиях коэффициенты a;(q) (і = 0,п) неопределенного полинома P(z,q) и коэффициенты а,у( /) (/,/ = \,п) неопределенной матрицы A(q) являются линейными функциями от переменного вектора параметров qeQe Rm.
Исследование робастной устойчивости методом допустимых линейных преобразований
Обычно коэффициенты характеристических многочленов исходной системы зависят от к технических параметров а, моделируемого объекта, которые могут быть модифицированы в процессе проектирования, изготовления и эксплуатации и, следовательно, образуют целое множество возможных значений коэффициентов характеристических многочленов аДа?!,...,#), / = 0,...,и. Решение вопроса о том, является ли заданное множество возможных значений коэффициентов характеристических многочленов — множеством коэффициентов многочлена Гурвица, всегда достаточно сложен. Если бы удалось найти или каким-либо образом достаточно просто описать всё множество значений коэффициентов многочленов Гурвица, то задача исследования асимптотической устойчивости стационарных систем была бы решена полностью. Теорема Харитонова [62] решает хотя и важную, но частную проблему робастной устойчивости — исследование устойчивости интервальных полиномов (в пространстве его коэффициентов).
Для того чтобы далее упростить решение поставленной выше задачи робастной устойчивости (более общей, чем класс интервальных полиномов), рассмотрим некоторые допустимые линейные преобразования коэффициентов многочлена Гурвица, оставляющие эти многочлены многочленами Гурвица.
Определение 3.1. Любое линейное преобразование B = DA, коэффициентов многочлена Гурвица f(z) = a0 + axz +...+ anz", (3.1) оставляющее его многочленом Гурвица F(z) = b0 + bxz +...+ bnz" (3.2) т будем называть допустимым линейным преобразованием. Здесь A = (aG,...,an) , т В = {Ь$,...,Ьп) , D — квадратная матрица. Замечание 3.1. Очевидно, что линейные преобразования коэффициентов многочлена Гурвица (3.1) bj=aaj, bj=a ai, (/ = 0,1,...,«), (3.3) где а 0 — произвольное положительное число, являются допустимыми линейными преобразованиями. Это вытекает из того, что если все корни многочлена f(z) лежат в левой полуплоскости Rez 0, то корни многочленов F(z) = af(z) и F(z) = f(az) при произвольном положительном числе а 0 также лежат в левой полуплоскости комплексного переменного.
Теорема 3.1. Линейные преобразования коэффициентов многочлена Гурвица b2i=aa2i, b2j+i=j3a2M, (/ = 0,1,...,п), (3.4) где а 0 и Р 0 произвольные положительные числа, являются допустимыми линейными преобразованиями. Теорема 3.2. Линейные преобразования коэффициентов многочлена Гурвица Ь2і=аа2і+уа2і+1, /+і=У?«2/+Ь (/ = 0,1,...), an+l=0, (3.5) где а 0, у 0 и в 0 произвольные положительные числа, являются допустимыми линейными преобразованиями.
Теоремы 3.1 и 3.2 можно доказать как с помощью критерия Рауса - Гурвица, так и критерия Михайлова. Последний дает необходимые и достаточные условия того, что рассматриваемый многочлен является многочленом Гурвица в терминах количества и расположения корней многочленов, являющихся вещественной и мнимой частью годографа Ми хайлова. Далее при доказательстве теорем мы будем использовать подход Михайлова, т.к. использование критерия Рауса - Гурвица будет не всегда очевидно.
Докажем, например, теорему 3.2, используя критерий Михайлова. Доказательство. Пусть годограф Михайлова многочлена (3.1), являющегося многочленом Гурвица, имеет вид fiico) = g{fo) + ih{co ), (3.6) g{co ) = а0-а2со + а4со -а6со +..., 3 5 7 (3-7) h(co ) = а\со-а3со +а5со -a-jco +..., тогда годограф Михайлова многочлена (3.2), коэффициенты которого находятся по формулам (3.5), имеет вид Fiico) = G(co) + iH(a)) = ag(co)+ -h(co) + ij3h(co). (3.8) со
Так как многочлен (3.1) является многочленом Гурвица, то из критерия Михайлова следует, что многочлены g(co) и h(a ) имеют в сумме п неотрицательных корней, которые не совпадают и перемежаются 0 = со\ со2 --- соп. Покажем, что корни многочленов G(co) и Н(со) обладают теми же свойствами.
Действительно, многочлен Н(со) = /3h(co) имеет те же корни со і, что и многочлен h(co): О = со\=со\ со2=(0т, --- сот=сот,(т = п если п — нечетное, т = п-\ если п четное). Заметим, что многочлен ag(co) также имеет те же корни, что и многочлен g(co), а многочлен (y/a )h(a ) имеет те же корни, что и многочлен h(co), кроме корня со J = 0. Так как многочлены g{co) и h(co) принимают поочередно положительные и отрицательные значения, то можно написать
