Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Основные задачи и метсды теории оптимального управления систем с запаздыванием
1.1. Современное состояние теории оптимального управления систем с запаздыванием 9
1.2. Применение теории оптимального управления систем с запаздыванием при решении определенного класса технических задач 20
ГЛАВА 2. Оптимизация одной системы с запаздыванием в управлении принципом максимума пштряшна и методом динамического программирования
2.1. Общие сведения по теории оптимального управления 27
2.2. Необходимые условия оптимальности. Принцип максимума Понтрягина для систем с запаздыванием 31
2.3. Оптимизация одной системы с запаздыванием в управлении принципом максимума Понтрягина 39
2.4. Метод динамического программирования в задаче оптимального управления. Основные соотношения 47
2.5. Оптимизация одной системы с запаздыванием в управлении методом динамического программирования 51
ГЛАВА 3. Оптимизация режима сложной энергосистемы с запаздыванием в управлении
3.1. Постановка задачи и основные уравнения 58
3.2. Решение задачи оптимизации режима энерго -системы принципом максимума Понтрягина 64
3.3. Решение задачи оптимизации режима энергосистемы методом динамического программирования 75
ГЛАВА 4. Численный расчет оптимального режима сложной энергосистемы и анализ полученных результатов
4.1. Описание выбранной сложной энергосистемы 82
4.2. Вычислительный эксперимент, основанный на принципе максимума Понтрягина 85
4.3. Вычислительный эксперимент, основанный на методе динамического программирования 96
4.4. Анализ результатов численной реализации 117
Выводы 122
Литература 124
- Современное состояние теории оптимального управления систем с запаздыванием
- Необходимые условия оптимальности. Принцип максимума Понтрягина для систем с запаздыванием
- Решение задачи оптимизации режима энерго -системы принципом максимума Понтрягина
- Вычислительный эксперимент, основанный на принципе максимума Понтрягина
Введение к работе
Одним из факторов, влияние которого на повышение качества и эффективность управления различными объектами (системами) может быть существенным и требует специальных исследований особенностей происходящих в них процессов, является запаздывание, проявляющееся в достаточно широком классе управляемых систем. В задаче оптимизации практически важных систем, в частности, сложных энергетических систем, с каскадно расположенными гидроэлектростанциями при относительно больших значениях времени добегания волны с верхних ступеней каскада на нижние, традиционные математические модели, без учета фактора запаздывания, не являются удовлетворительными. В связи с этим универсальные алгоритмы расчета оптимальных параметров систем с запаздыванием, основанные на обобщении известных методов оптимизации, какими являются принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования, могут быть достаточно эффективными при реализации на ЭВМ.
Актуальность проблемы. Непрерывное расширение областей использования автоматических и автоматизированных систем управления с вычислительными машинами в последние годы привело к необходимости исследования сравнительно широкого класса задач управления объектами с различными типами запаздываний. Особенно это относится к техническим системам, в частности, к задачам оптимального управления режимов функционирования энергетических систем, где совершенствование методов принятия решений с учетом запаздывания в управлении позволяет повысить эффективность использования энергетических ресурсов.
Цель работы. Выявление и исследование влияния фактора запаздывания в управлении на процесс решения при оптимизации системы, разработка эффективных алгоритмов и программ расче-
та для реализации на ЭВМ решения задачи определения оптимальных параметров режима сложной энергосистемы с реальными характеристиками, где имеется запаздывание в управлении в связи с учетом времени добегания волны с верхних на нижние гидростанции каскада, входящего в состав энергосистемы, а также сравнительный анализ при некоторых значениях параметров запаздывания по точности, устойчивости и экономичности примененных вычислительных схем, основанных на разные методы оптимизации систем управления.
Научная новизна. По сравнению с ранее изученными задачами управления в настоящей работе представлены:
постановка задачи оптимального управления сложной технической системы (на примере энергетической системы) с запаздыванием в управлении;
математическая модель оптимального управления исследуемой задачи с запаздыванием в управлении;
алгоритмы решения поставленной задачи на основе принципа максимума Понтрягина и методе динамического программирования;
программы реализации алгоритмов на ЭВМ EC-I022 на языке Фортран-4;
результаты вычислительного эксперимента.
Расчет основных оптимальных параметров рассматриваемой энергосистемы по разработанным алгоритмам позволил вскрыть ряд особенностей решения, связанных с учетом запаздывания по управлению, и сделать определенные выводы о применимости предложенных алгоритмов на практике.
Практическая ценность. Проведенные в работе исследования применимы к исследованию и расчету оптимального функционирования сложной технической системы с запаздывани-
ем в управлении на примере смешанной энергосистемы, содержащей каскадно-расположенные гидроэлектростанции с учетом времени до-бегания волны с верхних ступеней каскада на нижние. Результаты работы могут быть использованы при проектировании и эксплуатации сложных технических систем аналогичной структуры.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 133 страницах машинописного текста. Работа содержит 8 рисунка, 19 таблиц и список литературы из 101 наименований.
В первой главе изложены постановки основных задач и методы их решения по различным проблемам теории управления систем, главным образом систем с запаздыванием. Вкратце описывается и приводится обзор важнейших результатов в области исследований по проблемам управляемости, наблюдаемости, устойчивости и синтеза, относящихся к системам с запаздыванием. Относительно подробно приводится обзор результатов по использованным в настоящей работе необходимым условиям оптимальности для процессов с запаздыванием в форде принципа максимума Л.С.Понтрягина и по связанным с его применением численным методам приближенного решения, а также некоторым методам, основанным на принципе оптимальности Р.Беллмана.
Во второй главе рассматривается оптимизация одной системы с запаздыванием в управлении, которая встречается при исследовании сложных технических систем, в частности, энергетических. Приводится решение поставленной задачи, основанное на необходимых условиях оптимальности в форме принципа максимума Л.С.Понтрягина, полученных в работе [14] .На основе дискретной аппроксимации исходной задачи предлагается алгоритм построения оптимальной траектории и оптимального управления, учитывающий эф-
фект запаздывания в управлении. Рассматривается также решение той же задачи оптимизации методом динамического программирования, причем показано, что при помощи аппроксимации фазовой траектории соответствующей ломаной исходную задачу можно редуцировать к задаче определения минимума аддитивной функции конечного числа переменных, что позволяет применить известный алгоритм
[4о] решения аддитивных задач, основанный на принципе оптимальности динамического программирования.
В третьей главе методами, предложенными во второй главе, решается задача оптимизации режима работы сложной энергосистемы, содержащей тепловую электростанцию и каскадно-расположенные гидроэлектростанции с запаздыванием в управлении, обусловленным временем добегания волны с верхних ступеней на гидравлически связанные с ними нижние ступени каскада. Здесь приводятся алгоритмы определения оптимальных значений основных параметров энергосистемы, причем усложненные вследствие запаздывания в управлении условия максимума гамильтониана удовлетворяются с использованием известной схемы динамического программирования.
В четвертой главе приводится численная реализация алгоритмов решения рассматриваемой в третьей главе задачи определения оптимального суточного режима работы энергосистемы на примере двух каскадно-расположенных гидроэлектростанций с водохранилищем суточного регулирования при верхней ГЭС и тепловой электростанции с реальными характеристиками для различных значений параметров запаздывания. В результате расчета на ЭВМ EC-I022 получены значения основных параметров оптимальных режимов рассматриваемой энергосистемы. Алгоритмы численной реализации основаны на принципе максимума Понтрягина, методе динамического программирования, последовательных приближений с использованием вычислитель-
ной схемы динамического программирования. Там же приводится сравнительный анализ вариантов вычислительного эксперимента и исследуются ряд особенностей, связанных с учетом запаздывания по управлениго.
В заключении работы сформулированы основные выводы по рассмотренным вопросам.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Ереванского политехнического института имени К.Маркса (1973, 1981, 1983, 1984), на республиканской научно-практической конференции "Проблемы повышения эффективности производства и науки" (Ереван, 1982).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано семь работ.
Современное состояние теории оптимального управления систем с запаздыванием
Первым методом приближенного решения задач оптимального управления, на основе которого была осуществлена численная реализация на ЭВМ сложных практических задач, является метод градиента в функциональном пространстве, позволяющий построить относительно эффективный итеративный процесс при помощи градиента основного функционала. Для решения практически важных вариационных задач различного рода впервые Р.Курантом [62] был предложен метод штрафных функций, который можно считать достаточно универсальным в связи с возможностью применения различных форм штрафных функций типа внешних, внутренних, комбинированных и других, однако, несмотря на то, что исследования по направлению развития и усовершенствования метода продолжаются и в настоящее время, при реализации встречаются трудности, обусловленные относительно медленной сходимостью, ненадежностью и не достаточной точностью результатов [ Z,46,47,461 .
Известный метод проекции градиента относительно недавно был обобщен и распространен на задачи оптимального управления с различными ограничениями на фазовые переменные и управляющие воздействия, для учета которых используются штрафные функции, преобразования Валентайна, замена управления и другие приемы, хотя можно отметить, что трудности реализации, встречающиеся в методах градиента и штрафных функций, здесь полностью не устраняются [73,21, 19 ] .
Как известно, если в основу получения оптимального решения ставится принцип максимума Понтрягина, то экстремальное управление и траектории системы должны удовлетворять канонической системе дифференциальных уравнений, условию минимизации гамильтониана, граничным условиям, образованным начальными условиями, характером целевой функции и условием трансверсальности. Как правило, при построении траектории строго удовлетворяются два какие-нибудь из перечисленных условий, после чего итеративным изменением выбранной траектории достигается выполнение третьего условия. Широкое распространение получил градиентный метод, где исходные траектории удовлетворяют первому и третьему условию, и путем итеративного изменения достигается выполнение второго условия [24,21, 74] .В методе, который часто называют методом квазилинеаризации, итерируется решение задачи, удовлетворяющее второму и третьему условиям, до получения с достаточной точностью решения канонической системы дифференциальных уравнений, то есть первому условию [9о] . Наконец, в так называемом методе окрестностей оптимума, который часто применяется при решении технических задач вариационного типа, выбранные траектории точностью удовлетворяют первому и второму условию, и итеративным изменением достигается выполнение граничных условий и условий трансверсальности [20,54,76] .
Приведенные выше методы в принципе могут быть распрастранены и на системы с запаздыванием, в частности, в настоящей работе для построения оптимального решения на основе принципа максимума для систем с запаздыванием был выбран последний из описанных методов. Среди итеративных методов при реализации различных схем оптимизации, в том числе и для систем с запаздыванием, одним из основных является достаточно изученный метод Ньютона и его модификации, применение которых основывается на хорошо известном свойстве локальной, по крайней мере квадратичной сходимости для достаточно широкого класса систем [59,16] .
Среди методов, получивших достаточно широкое распространение в практике расчета оптимальных решений, особое место занимает метод динамического программирования, а также многочисленные вычислительные алгоритмы, основанные на принципе оптимальности, предложенные Р.Беллманом [5] . Один из основных алгоритмов решения аддитивных задач, основанный на принципе оптимальности динамического программирования и который применим при отыскании глобального оптимума для достаточно широкого класса управляемых систем, в том числе систем с запаздыванием, был предложен в работе 1461 , основное содержание которой состоит в формулировке правила сужения множества конкурентоспособных вариантов. В связи с тем, что алгоритмы типа, предложенного в работе [4о] , при реализации на ЭВМ предъявляют большие требования к машинной памяти, в работах [41,-Ьо] были предложены модифицированные алгоритмы, названные соответственно "блуждающей трубкой" и методом локальной вариации. Основное содержание последних сводится к замене поиска глобального оптимума специальным образом построенным итеративным процессом, имеющим достаточно быструю локальную сходимость, что позволяет заметно сэкономить машинное время и оперативную память.
При приближенном решении задач оптимального управления почти всегда исходную задачу в процессе конечно-разностной аппроксимации можно редуцировать к задаче математического программирования с переносом всех ограничений на значения сеточных функций. Тем самым создается возможность применения известных методов математического программирования [2,6о] , хотя и основные затруднения в аспекте реализации на ЭВМ полностью не преодолеваются. В частности, в [22] рассматривается без приведения конкретного примера дискретная система с запаздыванием, описываемая соотношениями
Необходимые условия оптимальности. Принцип максимума Понтрягина для систем с запаздыванием
Рассмотрим задачу оптимизации режима работы энергосистемы, содержащей в своем составе тепловые электростанции (ТЭС) и кас-кадно-расположенные гидроэлектростанции (ГЭС). Для расчетов оптимальных режимов работы ГЭС и ТЭС в энергетических системах, прежде всего, необходимо иметь их расходные характеристики. Расходная характеристика ГЭС , т.е. зависимость мгновенного расхода воды Q станции от ее мощности гг и напора н строится на основе расходных характеристик отдельных агрегатов ГЭС, получаемых путем модельных, а более точнее, натурных испытаний. Расходные характеристики гидроагрегатов, как правило, имеют вид слабо выпуклых вниз функций. Не останавливаясь на способах построения расходных характеристик станции, основанных на методах оптимизации внутристанционных режимов ГЭС, отметим некоторые их особенности. Для реальных ГЭС, как правило, функции Q=Q (Рр4) являются слабо выпуклыми кусочно-непрерывными, имеющими разрыв на конечном множестве точек.
Расходная характеристика, т.е. зависимость расхода условного топлива b станции от ее мощности Р т строится на основе расходных характеристик отдельных агрегатов ТЭС, получаемых путем данных заводских или натурных испытаний. В ряде случаев характеристики отдельных агрегатов имеют изломы или отклонения от условий выпуклости.
Получение расходной характеристики ТЭС на основе характеристик ее агрегатов является самостоятельной оптимизационной задачей, которая не рассматривается в настоящей работе. Отметим, что для реальных ТЭС эти характеристики в определенных точках имеют изломы, где производная функции Ъ- Ь (Рт ) претерпевает разрыв, но в целом эта функция остается выпуклой. В случае наличия в составе энергосистемы нескольких ТЭС, решая соответствующую оптимизационную задачу, строится эквивалентная расходная характеристика для них, что позволяет при исследовании работы сложной энергосистемы группу ТЭС заменить одной электростанцией с эквивалентной характеристикой. Следует отметить, что эквивалентная расходная характеристика является более гладкой, чем составляющие ее отдельные характеристики.
Расход воды на ГЭС - основной количественный показатель потребления гидроэнергоресурсов, который может быть определен при помощи следующих компонент: естественной приточности, расхода воды из водохранилища, притока за счет естественных осадков на поверхность водохранилища, потерями воды на льдообразование, потерями вследствие фильтрации и забора воды для водохозяйственных систем.
Естественная приточность определяется с помощью применения различных математических методов с учетом динамики гидравлических процессов в водохранилище. В настоящей работе принято, что естественная приточность С - ,( "О _ заданная непрерывная функция от времени. Расход воды из водохранилища может быть определен при известном режиме работы водохранилища и для непрерывного режима определяется по формуле: где \/№ - объем водохранилища в момент X .
Приток к ГЭС за счет естественных осадков учитывается для крупных водохранилищ длительного цикла регулирования с заметным уменьшением вертикальной конвекции воздуха над водохранилищем. В настоящей работе рассматривается суточный режим регулирования, вследствие чего приток за счет естественных осадков не учитывается.
Потери воды на испарение с поверхности водохранилища определяются на основе прогнозирования и расчета слоя испарения с использованием различных эмпирических зависимостей толщины слоя от температуры воздуха и воды, скорости ветра и других факторов. Для кратковременных циклов регулирования (суточного, недельного), эти потери не существенны и ими можно пренебречь. Точно также для краткосрочных циклов регулирования можно пренебречь потерями воды на льдообразование и фильтрацию.
В исследованиях сложных систем энергетики особое место занимают системы с каскадно-расположенными гидроэлектростанциями, которые связаны не только электрически, но и гидравлически, т.к. они расположены на одном водотоке и имеют общий водный режим. Гидравлические связи имеют асинхронный характер, так как при значительном расстоянии между ступенями каскада время добегания волны, обусловленное изменением расхода воды от каждой из них до следующей по течению, может быть значительным. В таких случаях изменение режима верхней гидростанции вызывает соответствующее изменение притока воды к следующей гидростанции с запаздыванием, пренебрежение которым может привести к существенным погрешностям. Время добегания волны зависит от многих геометрических и гидромеханических параметров гидравлической связи между ступенями каскада и его нахождение может стать предметом специальных исследований. В настоящей работе вопросы определения времени добегания волны не затронуты и предполагается, что запаздывание Ь для каждой ступени каскада является известной функцией от расхода воды из соответствующего водохранилища: \\-л (О?) . Для смешанной энергосистемы задача наивыгоднейшего распределения нагрузки делится на две различные задачи: оптимизация длительных и краткосрочных режимов системы. В задачах оптимизации длительных режимов, как правило, принимается годовой цикл, при краткосрочной оптимизации режимов находится наивыгоднейшее распределение нагрузки в смешанной системе для суточного периода оптимизации. Краткосрочные и долгосрочные режимы оптимизации тесно связаны, но алгоритмические и вычислительные трудности не позволяют рассматривать эти задачи в едином цикле. Основанием для такого деления является, кроме различия целей и алгоритмов, существенное различие в полноте и достоверности исходной информации. Для краткосрочной оптимизации имеется достаточно достоверная информация, в то время как для оптимизации длительных режимов информация имеет либо неопределенную форму, либо вероятностную. Это приводит к существенным различиям методов решения этих задач, и кроме того, их объединение сопряжено с резким усложнением оптимизационных алгоритмов.
Решение задачи оптимизации режима энерго -системы принципом максимума Понтрягина
Численная реализация определения глобального оптимума поставленной задачи методом динамического программирования позволяет выявить ряд ее особенностей.
Как показали расчеты на ЭВМ ЕС 1022, в основном варианте выбранных размеров сетки At AV В фазовом пространстве, где АТ = 1ч, дУ = 50400м3, глобальный оптимум в случае управления без учета запаздывания был достигнут за 55 сек машинного времени. В случае управления с запаздыванием h = Іч и Ь = 2ч при той же размерности сетки глобальный оптимум достигается за время не-значительно превышающее I минуты. При этом из таблиц (4-3-1), (4-3-2) и (4-3-3) следует, что расход топлива, как и следовало ожидать, увеличивается с возрастанием времени запаздывания: прирост расхода топлива по сравнению со случаем управления без запаздывания составляет соответственно 11.47 т.у.т. и 7.51 т.у.т при h =1ч и 1п=2ч. Из таблиц (4-3-4) и (4-3-5), где приводятся основные параметры задачи без учета запаздывания при выборе сетки с размером &t AV И 4&t 4лУ соответственно, видно, что точность решения ухудшается и расход топлива заметно возрастает: прирост расхода топлива по сравнению со случаем для размера сетки ді &V составляет 14.13 т.у.т. и 18.57 т.у.т. Аналогичные явления наблюдаются и для случаев управления с запаздыванием \\ =2ч и \\ =4ч, что видно из сравнения результатов таблиц (4-3-2), (4-3-6), (4-3-7): прирост расхода топлива по сравнению с соответствующим решением для сетки с размером А\ А/ составляет 15.64 т.у.т. и 18.21 т.у.т. для сеток с размером 2.дХ Z&V и 4ді 4д\/ соответственно Отметим однако, что время счета задачи с увеличением размерности сетки заметно уменьшается.
Как видно из таблицы (4-3-8) расход топлива, соответствующий начальному приближению в случае без учета запаздывания на 13.17 т.у.т., больше соответствующего значения расхода топлива при глобальном оптимуме. На первой итерации этот показатель заметно улучшается, и из таблицы (4-3-9) следует, что эта разница уже составляет 3.7 т.у.т. Как уже отмечалось выше, на пятой итерации оптимальное решение полностью совпадает с глобальным оптимумом (табл. 4-3-1), что свидетельствует о достаточно быстрой сходимости итеративного процесса. Результаты, приведенные в таблице (4-3-10), (4-3-ІІ) показывают, что аналогичные явления имеют место также и при учете запаздывания в управлении: разность суммарного расхода топлива между начальным приближением и соответствующим глобальным оптимумом составляет 1.03 т.у.т. и 9.42 т.у.т. для случаев запаздывания \\ = 1ч и \\ =2 ч соответственно. При этом, как уже отмечалось выше, число итераций, необходимое для достижения окончательного решения, которое совпадает с соответствующим глобальным оптимумом (табл. 4-3-2, 4-3-3), несколько увеличивается по сравнению с предыдущим случаем: шесть и восемь итераций при запаздывании К =1ч и п =2ч соответственно. Как показывают расчеты, выбранная толщина слоя оказывается наиболее эффективной для обеспечения необходимой скорости сходимости итеративного процесса. Отметим, также, что получение локального оптимума в данном слое, как и следовало ожидать, требует существенно меньшей затраты машинного времени по сравнению со случаем глобального оптимума.
Сравнение результатов численной реализации решений поставленной задачи оптимизации методами принципа максимума и динамического программирования позволяет сделать некоторые выводы.
Как видно из таблиц (4-2-2) и (4-3-1), значения основных параметров глобального оптимума в методе динамического программирования и конечной итерации в решении по методу принципа максимума, в случае без учета запаздывания, практически совпадают, из чего следует, что благодаря эффективному выбору значения сопряженной переменной решение в начальной итерации в методе максимума достаточно быстро сходится к глобальному оптимуму.
Вычислительный эксперимент, основанный на принципе максимума Понтрягина
Как видно из таблицы (4-3-8) расход топлива, соответствующий начальному приближению в случае без учета запаздывания на 13.17 т.у.т., больше соответствующего значения расхода топлива при глобальном оптимуме. На первой итерации этот показатель заметно улучшается, и из таблицы (4-3-9) следует, что эта разница уже составляет 3.7 т.у.т. Как уже отмечалось выше, на пятой итерации оптимальное решение полностью совпадает с глобальным оптимумом (табл. 4-3-1), что свидетельствует о достаточно быстрой сходимости итеративного процесса. Результаты, приведенные в таблице (4-3-10), (4-3-ІІ) показывают, что аналогичные явления имеют место также и при учете запаздывания в управлении: разность суммарного расхода топлива между начальным приближением и соответствующим глобальным оптимумом составляет 1.03 т.у.т. и 9.42 т.у.т. для случаев запаздывания \\ = 1ч и \\ =2 ч соответственно. При этом, как уже отмечалось выше, число итераций, необходимое для достижения окончательного решения, которое совпадает с соответствующим глобальным оптимумом (табл. 4-3-2, 4-3-3), несколько увеличивается по сравнению с предыдущим случаем: шесть и восемь итераций при запаздывании К =1ч и п =2ч соответственно. Как показывают расчеты, выбранная толщина слоя оказывается наиболее эффективной для обеспечения необходимой скорости сходимости итеративного процесса. Отметим, также, что получение локального оптимума в данном слое, как и следовало ожидать, требует существенно меньшей затраты машинного времени по сравнению со случаем глобального оптимума.
Сравнение результатов численной реализации решений поставленной задачи оптимизации методами принципа максимума и динамического программирования позволяет сделать некоторые выводы.
Как видно из таблиц (4-2-2) и (4-3-1), значения основных параметров глобального оптимума в методе динамического программирования и конечной итерации в решении по методу принципа максимума, в случае без учета запаздывания, практически совпадают, из чего следует, что благодаря эффективному выбору значения сопряженной переменной решение в начальной итерации в методе максимума достаточно быстро сходится к глобальному оптимуму.
Аналогичное явление, как видно из таблиц (4-2-3), (4-2-4) и (4-3-2), (4-3-3), имеет место и в случае с запаздывающим управлением, где значения основных параметров системы в последней итерации в методе принципа максимума незначительно отличаются от соответствующих решений метода динамического программирования, причем следует отметить, что суммарные расходы топлива в методе принципа максимума, вследствие относительно высокой точности в критерии достижения конечного решения, всегда получаются меньше соответствующих значений глобального оптимума.
Отметим также, что сходимость итеративного процесса в методе динамического программирования при оптимизации в пределах итеративного слоя и в методе принципа максимума указьюает на достаточную устойчивость решения вблизи глобального оптимума.
В связи с этим заметим, что на основе метода нелинейного программирования в работе [70] исследована оценка устойчивости решения вблизи глобального оптимума аналогичной задачи оптимизации без учета запаздывания в управлении, которая дает возможность при задании в аналитической форме соответствующих функциональных зависимостей применить использованный подход к исследованию задачи с запаздыванием в управлении. 1. Влияние запаздывания в управлении в задаче оптимизации режима сложной энергосистемы, как это следует из анализа вычислительного эксперимента, является существенным, что указывает на необходимость учета фактора запаздывания при расчете оптимального функционирования аналогичных сложных технических систем. 2. Предлагаемый на основе принципа максимума Понтрягина алгоритм построения оптимальной траектории и оптимального управления режима смешанной энергосистемы позволяет учитывать фактор запаздывания в управлении и получить достаточно эффективное решение. 3. Предложена формула усредненных значений сопряженных переменных, которая позволяет достаточно эффективно выбрать их начальное значение при построении итеративного процесса в алгоритме решения задачи на основе метода принципа максимума. 4. Полученное на основе физической интерпретации сопряженных переменных правило их коррекции позволяет выбрать после каждой итерации обеспечивающее достаточно быструю сходимость начальные значения сопряженных переменных для новой итерации в алгоритме решения задачи по принципу максимума Понтрягина. 5. Предложен алгоритм для решения задачи оптимизации режима сложной энергосистемы на основе метода динамического программирования, который позволяет найти глобальный оптимум задачи с учетом запаздывания в управлении, причем запаздывание в общем случае может быть переменным.
Похожие диссертации на Применение математических методов оптимизации в системах с запаздывающим управлением
